Деление многочленов «уголком»

Сегодня учимся делить многочлены “уголком”, так, как это делают с обычными числами. Рассмотрим несколько примеров подробно. Например, разделим многочлен на двучлен  (Здесь деление можно произвести без остатка. Этот вопрос – можно или нельзя поделить данный многочлен на предлагаемый двучлен обсуждается в статье “Схема Горнера”). Итак, за работу!

Выписываем наш многочлен и рядом, “на полочке” – двучлен, на который будем делить – все как с числами:

Теперь сравниваем старшую степень многочлена и старшую степень делителя, и определяем, во сколько раз первая больше второй (по сути, делим на ):

Результат деления записываем под полочку – это первый “кусочек” ответа:

Теперь нам предстоит умножить полученный одночлен  на двучлен , который стоит на полочке (на наш делитель). Умножаем почленно, сначала на первое слагаемое:

А теперь на второе:

Результаты умножения пишем, как показано, под соответствующие степени делимого многочлена – кубы под кубы, квадраты – под квадраты и т. п.  Теперь производим вычитание:

И сносим вниз следующий одночлен (

Переходим на новый уровень и продолжаем в том же духе. Опять сравниваем старшие степени и результат деления на  записываем под полочку, получилось (не забудем про минус!):

И опять умножаем полученный одночлен () на оба слагаемых делителя. Сначала на первое слагаемое:

Теперь на второе:

И снова вычитаем, и к полученному результату сносим вниз новый одночлен, который собираемся подвергнуть казни операции деления:

И вот мы опять на новом уровне! Но… здесь все надо начинать сызнова. Сравниваем старшие степени, делим старшую степень делимого на старшую степень делителя, результат пишем под полку:

Умножаем почленно, сначала  на , потом  на :

Вычитаем, сносим последнее слагаемое, сравниваем старшие степени, производим деление  на , результат (-15) – пишем под полку.

Ну, чем кончилось данное приключение, понятно:

Деление закончилось без остатка – то есть исходный многочлен поделился на  нацело. Ответ: . Заметим, что исходный многочлен был четвертой степени, деление производили на двучлен первой степени – получили в ответе многочлен третьей степени.

Попробуем еще раз?

Разделим многочлен на .

Выполняем те же шаги: сравниваем старшие степени делимого и делителя. Производим деление:

Полученное частное записываем под полочку. Умножаем его почленно на слагаемые делителя: на , затем на  , и наконец на  :

Выполняем вычитание, “спускаем” вниз очередное слагаемое делимого. После этого все начинаем сначала: сравниваем старшие члены делимого и делителя…:

Дальше – можно уже без комментариев:

И наконец:

Ответ: . Заметим, что исходный многочлен был третьей степени, деление производили на квадратный трехчлен – получили в ответе двучлен первой степени. Вообще степень делимого многочлена понижается всегда на степень делителя.

Пример 3:

Во всех примерах получалось разделить многочлен на многочлен без остатка, однако так бывает не всегда. Вот, например, случай, когда остаток от деления ненулевой:

Деление необходимо продолжать, пока степень делимого не станет равной, а лучше – меньшей, чем у делителя.

Задача:

при делении многочлена на двучлен  образовался остаток 42. Найти результат деления.

Решение: рассмотрим случай, когда остается остаток от деления. Если  разделить на  и при этом остается остаток N, то это можно записать так: . Тогда V можно найти так: . Определим ту часть многочлена, которая полностью делится на  (без остатка):

Теперь произведем деление:

Ответ:  .

Еще задача:

при делении многочлена на двучлен  образовался остаток . Найти результат деления.

Решение:  V можно найти так: . Определим ту часть многочлена, которая полностью делится на  (без остатка):

Теперь можно делить:

Ответ:  .

Достоинства способа: делить можно что угодно на что угодно, лишь бы степень делимого не была меньше, чем степень делителя. Делить можно на двучлен, на трехчлен и т.д. Делить можно даже в том случае, если остается остаток.

easy-physic.ru

Деление многочлена на многочлен столбиком

РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, НЕРАВЕНСТВА И СИСТЕМЫ

Деление многочлена на многочлен столбиком

Для решения уравнение вида Р(х)=0, где Р(х) — многочлен степени n>2, часто применяют метод понижения степени. Он основывается на таком факте: если число x=b является корнем многочлена P(x), то есть P(b)=0, то многочлен P(x) делится без остатка на двучлен x-b.

После того, как мы разделим многочлен P(x) степени n на двучлен x-b, то мы получим многочлен степени n-1, то есть на единицу меньшей исходного. И  дальше процедуру можно повторить.

Если старший коэффициент многочлена P(x) равен 1, то корни многочлена P(x) мы ищем среди делителей свободного члена.

Решим уравнение

Свободный член многочлена в левой части уравнения равен 10.

Делители числа 10: 1; 2; 5; 10.

Проверим, является ли какое-либо из этих чисел корнем многочлена. Для этого последовательно подставим эти значения  вместо х в  многочлен.

является корнями многочлена , и он делится на  двучлены и без остатка.

Разделим многочлен  на двучлен x-2 столбиком:

Таким образом, корни исходного уравнения:

х=2; х=1; х=-5.

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

ege-ok.ru

Кубические уравнения. Метод деления в столбик. Примеры *

Определение

Рассмотрим произвольное уравнение вида

\[a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_1x+a_0=0 \qquad \qquad (1)\]

где \(a_n, a_{n-1},\dots,a_0\) – некоторые числа, причем \(a_n\ne 0\), называемое алгебраическим уравнением (с одной переменной) \(n\)-ой степени.

Обозначим \(P_n(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_1x+a_0\). Таким образом, сокращенно уравнение \((1)\) можно записать в виде \(P_n(x)=0\).

Замечание

Заметим, что квадратное уравнение — это алгебраическое уравнение, степень которого равна \(2\), а линейное — степень которого равна \(1\).
Таким образом, все свойства алгебраических уравнений верны и для квадратных уравнений, и для линейных.

Теорема

Если уравнение \((1)\) имеет корень \(x=x_0\), то оно равносильно уравнению

\[(x-x_0)\cdot P_{n-1}(x)=0\]

где \(P_{n-1}(x)\) – некоторый многочлен степени \(n-1\).

Для того, чтобы найти \(P_{n-1}(x)\), необходимо найти частное от деления многочлена \(P_n(x)\) на \((x-x_0)\)
(т.к. \(P_n(x)=(x-x_0)\cdot P_{n-1}(x)\)).

Следствие: количество корней уравнения

Любое алгебраическое уравнение степени \(n\) может иметь не более \(n\) корней.

Замечание

В частности, квадратное уравнение действительно имеет всегда не более двух корней: два, один (или два совпадающих) или ни одного корня.

Для того, чтобы найти частное от деления одного многочлена на другой, удобно пользоваться следующим способом, который мы рассмотрим на примере.

Пример

Известно, что \(x=2\) является корнем уравнения \(2x^3-9x^2+x^4-x+6=0\). Найдите частное от деления \(2x^3-9x^2+x^4-x+6\) на \(x-2\).

Решение.
Будем делить многочлен на многочлен в столбик. Запишем

\[\begin{array}{rr|l} x^4+2x^3-9x^2-x+6&&\negthickspace\underline{\qquad x-2 \qquad}\\ &&\\ \end{array}\]

Заметим, что записывать слагаемые в делимом необходимо по убыванию их степеней: в данном случае сначала \(x^4\), затем \(2x^3\) и т.д.
Подбирать слагаемые в частном будем таким образом, чтобы при вычитании уничтожить сначала четвертую степень, затем третью и т.д.
Т.к. делитель \(x-2\) состоит из двух слагаемых, то при делении в столбик будем сносить по два слагаемых.

Посмотрим, на что необходимо домножить \(x-2\), чтобы после вычитания из \(x^4+2x^3\) полученного многочлена уничтожилось слагаемое \(x^4\,\).
На \(x^3\). Тогда после вычитания \(x^4+2x^3-x^3(x-2)\) останется \(4x^3\). Снесем слагаемое \(-9x^2\):

\[\begin{array}{rr|l} x^4+2x^3-9x^2-x+6&&\negthickspace\underline{\qquad x-2 \qquad}\\ \underline{x^4-2x^3\,} \phantom{000000000000}&&\negthickspace \quad x^3\\[-3pt] 4x^3 -9x^2\phantom{0000000}&&\\ \end{array}\]

Теперь посмотрим, на что необходимо домножить \(x-2\), чтобы после вычитания из \(4x^3-9x^2\) полученного многочлена уничтожилось слагаемое \(4x^3\).
На \(4x^2\): \(\quad 4x^3-9x^2-4x^2(x-2)=-x^2\).
Опять снесем следующее слагаемое \(-x\):

\[\begin{array}{rr|l} x^4+2x^3-9x^2-x+6&&\negthickspace\underline{\qquad x-2 \qquad}\\ \underline{x^4-2x^3\,} \phantom{000000000000}&&\negthickspace \quad x^3+4x^2\\[-3pt] 4x^3 -9x^2\phantom{0000000}&&\\ \underline{4x^3 — 8x^2\,}\;\phantom{000000}&&\\[-3pt] -x^2 — x\phantom{000}\;&&\\ \end{array}\]

Рассуждая аналогично, определяем, что третье слагаемое в частном должно быть \(-x\)

\[\begin{array}{rr|l} x^4+2x^3-9x^2-x+6\phantom{0}&&\negthickspace\underline{\qquad x-2 \qquad}\\ \underline{x^4-2x^3\,} \phantom{0000000000000}&&\negthickspace \quad x^3+4x^2-x\\[-3pt] 4x^3 -9x^2\phantom{00000000}&&\\ \underline{4x^3 — 8x^2\,}\phantom{0000000}\;\;&&\\[-3pt] -x^2 — \,x\phantom{0000}\;&&\\ \underline{-x^2+2x}\,\phantom{000}\;&&\\[-3pt] -\;3x+6&&\\ \end{array}\]

Четвертое слагаемое в частном должно быть \(-3\):

\[\begin{array}{rr|l} x^4+2x^3-9x^2-x+6\phantom{0}&&\negthickspace\underline{\qquad x-2 \qquad}\\ \underline{x^4-2x^3\,} \phantom{0000000000000}&&\negthickspace \quad x^3+4x^2-x-3\\[-3pt] 4x^3 -9x^2\phantom{00000000}&&\\ \underline{4x^3 — 8x^2\,}\phantom{0000000}\;\;&&\\[-3pt] -x^2 — \,x\phantom{0000}\;&&\\ \underline{-x^2+2x}\,\phantom{000}\;&&\\[-3pt] -\;3x+6&&\\ \underline{-\;3x+6}&&\\[-3pt] 0&&\\ \end{array}\]

Таким образом, можно сказать, что \(x^4+2x^3-9x^2-x+6=(x-2)(x^3+4x^2-x-3)\).

Замечание

1) Если \(x=x_0\) действительно является корнем уравнения, то после такого деления в остатке должен быть \(0\). В противном случае это означает, что деление в столбик выполнено неверно.

2) Если многочлен делится без остатка (то есть остаток равен \(0\)) на \(x+a\), то он также будет делиться без остатка на \(c(x+a)\) для любого числа \(c\ne 0\). Например, в нашем случае, если бы мы поделили многочлен, к примеру, на \(2x-4\), то получили бы в частном \(\frac12 x^3+2x^2-\frac12x-\frac32\).
Заметим, что также происходит и с числами: если мы разделим \(10\) на \(2\), то получим \(5\); а если разделим \(10\) на \(3\cdot 2\), то получим \(\frac53\).

3) Деление в столбик помогает найти другие корни уравнения: теперь для того, чтобы найти остальные корни уравнения \(x^4+2x^3-9x^2-x+6=0\), необходимо найти корни уравнения \(x^3+4x^2-x-3=0\).
Поэтому рассмотрим несколько фактов, часто помогающих подобрать корни алгебраического уравнения.

Теорема

Если число \(x=1\) является корнем уравнения \((1)\), то сумма всех коэффициентов уравнения равна нулю:

\[a_n+a_{n-1}+\dots+a_1+a_0=0\]

Доказательство

Действительно, так как \(x=1\) является корнем уравнения \((1)\), то после подстановки \(x=1\) в него мы получим верное равенство. Так как \(1\) в любой степени равен \(1\), то слева мы действительно получим сумму коэффициентов \(a_i\), которая будет равна нулю.

Пример

У уравнения \(x^2-6x+5=0\) сумма коэффициентов равна нулю: \(1-6+5=0\). Следовательно, \(x=1\) является корнем этого уравнения. Это можно проверить просто подстановкой: \(1^2-6\cdot 1+5=0\quad\Leftrightarrow\quad 0=0\).

Теорема

Если число \(x=-1\) является корнем уравнения \((1)\), то сумма коэффициентов при четных степенях \(x\) равна сумме коэффициентов при нечетных степенях \(x\).

Доказательство

1) Пусть \(n\) – четное. Подставим \(x=-1\):

\(a_n\cdot (-1)^n+a_{n-1}\cdot (-1)^{n-1}+a_{n-2}\cdot (-1)^{n-2}+\dots+a_1\cdot (-1)+a_0=0 \quad\Rightarrow\)   \(a_n-a_{n-1}+a_{n-2}-\dots-a_1+a_0=0 \quad \Rightarrow\)   \(a_n+a_{n-2}+\dots+a_0=a_{n-1}+a_{n-3}+\dots+a_1\)

2) Случай, когда \(n\) – нечетное, доказывается аналогично.

Пример

В уравнении \(x^3+2x^2-8x+5=0\) сумма коэффициентов равна нулю:

\[1+2-8+5=0\]

Значит, число \(x=1\) является корнем данного уравнения.

Можно разделить в столбик \(x^3+2x^2-8x+5\) на \(x-1\):

\[\begin{array}{rr|l} x^3+2x^2-8x+5&&\negthickspace\underline{\qquad x-1 \qquad}\\ \underline{x^3-\ x^2\,} \phantom{00000000}&&\negthickspace \quad x^2 + 3x -5\\[-3pt] 3x^2 — 8x\,\phantom{000}&&\\ \underline{3x^2 — 3x\,}\phantom{000}&&\\[-3pt] -5x + 5&&\\ \underline{-5x +5}&&\\[-3pt] 0&&\\ \end{array}\]

Таким образом, \(x^3+2x^2-8x+5=(x-1)(x^2 + 3x -5)\). Значит, остальные корни исходного уравнения — это корни уравнения \(x^2+3x-5=0\).

А это \(x_{1,2}=-\dfrac 32\pm \dfrac{\sqrt{29}}2\).

Таким образом мы нашли все корни исходного уравнения.

Пример

В уравнении \(x^3-x^2+x+3=0\) сумма коэффициентов при четных степенях \(-1+3=2\), а при нечетных: \(1+1=2\). Таким образом, число \(x=-1\) является корнем данного уравнения.

Можно разделить в столбик \(x^3-x^2+x+3\) на \(x+1\):

\[\begin{array}{rr|l} x^3-\,x^2+ \ x+3\phantom{0}&&\negthickspace\underline{\qquad x+1 \qquad}\\ \underline{x^3+x^2\;} \phantom{00000000}&&\negthickspace \quad x^2 -2x +3\\[-3pt] -2x^2 + x\phantom{0000}&&\\ \underline{-2x^2 -\! 2x}\,\phantom{000}&&\\[-3pt] 3x + 3&&\\ \underline{3x +3}&&\\[-3pt] 0&&\\ \end{array}\]

Таким образом, \(x^3-x^2+x+3=(x+1)(x^2 — 2x +3)\). Значит, остальные корни исходного уравнения — это корни уравнения \(x^2-2x+3=0\).
Но это уравнение не имеет корней (\(D<0\)), значит, исходное уравнение имеет всего один корень \(x=-1\).

Замечание

Подбор корней таким образом, деление в столбик и разложение многочлена на множители помогают найти корни уравнения.

Существует еще одна очень важная теорема, позволяющая подобрать рациональный корень алгебраического уравнения, если таковой имеется.

Теорема

Если алгебраическое уравнение

\[a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_1x+a_0=0,\] где \(a_n, \dots, a_0\) — целые числа,
имеет рациональный корень \(x=\dfrac pq\), то число \(p\) является делителем свободного члена \(a_0\), а число \(q\) — делителем старшего коэффициента \(a_n\).

Пример

Рассмотрим уравнение \(2x^4-5x^3-x^2-5x-3=0\).

В данном случае \(a_0=-3, a_n=2\). Делители числа \(-3\) — это \(\pm 1, \pm 3\). Делители числа \(2\) – это \(\pm 1, \pm 2\). Комбинируя из полученных делителей дроби, получаем все возможные варианты рациональных корней:

\[\pm 1, \ \pm \dfrac12, \ \pm 3, \ \pm\dfrac32\]

По предыдущим теоремам можно быстро понять, что \(\pm1\) не являются корнями. Подставив \(x=-\dfrac12\) в уравнение, получим:

\[2\cdot \dfrac1{16}+5\cdot \dfrac18-\dfrac 14+5\cdot \dfrac12-3=0 \quad \Leftrightarrow \quad 0=0\]

Значит, число \(x=-\frac12\) является корнем уравнения.

Можно перебрать остальные варианты: таким образом мы найдем еще один рациональный корень уравнения \(x=3\). Значит, уравнение можно представить в виде

\[\left(x+\frac12\right)(x-3)\cdot Q_2(x)=0 \quad \text{или}\quad (2x+1)(x-3)\cdot P_2(x)=0\] (тогда \(P_2(x)=\frac12 Q_2(x)\)). Заметим, что второй вид записи уравнения более удобный, т.к. нам не придется при делении в столбик работать с дробями.

После деления в столбик \(2x^4-5x^3-x^2-5x-3\) на \((2x+1)(x-3)=2x^2-5x-3\):

\[\begin{array}{rr|l} 2x^4-5x^3-\ x^2-5x-3\phantom{0}&&\negthickspace\underline{\qquad 2x^2-5x-3 \qquad}\\ \underline{2x^4-5x^3-3x^2\;} \phantom{00000000}&&\negthickspace \qquad x^2+0x+1\\[-3pt] 0x^3 +2x^2-5x\phantom{0000}&&\\ \underline{0x^3 + 0x^2+0x}\phantom{0000}&&\\[-3pt] 2x^2 — 5x-3\,&&\\ \underline{2x^2-5x-3}\;&&\\[-3pt] 0&&\\ \end{array}\]

получим, что \(P_2(x)=x^2+1\). Данный многочлен не имеет корней, значит, уравнение имеет только два корня: \(x=-\frac12\) и \(x=3\).

Замечание

Заметим, что если, пользуясь предыдущей схемой, не удалось подобрать рациональный корень уравнения, это вовсе не значит, что уравнение не имеет корней.
Например, уравнение \(x^3-2=0\) имеет корень — это \(x=\sqrt[3]2\), и он не рациональный.
Для подбора иррациональных корней не существует универсального алгоритма.

Пример

Найдите корни уравнения \(4x^3-3x^2-\frac{23}6x-1=0\).

Заметим, что в данном уравнении не все коэффициенты – целые числа (коэффициент при \(x\) равен \(-\frac{23}6\)). Но мы можем преобразовать данное уравнение к нужному нам виду: необходимо умножить правую и левую части уравнения на \(6\):

\[24x^3-18x^2-23x-6=0\]
Делители свободного члена: \(\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6\).
Делители старшего коэффициента: \(\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm4, \pm 6, \pm 8, \pm 12, \pm 24\).
Получилось достаточно много \(:)\)
Выпишем некоторые возможные рациональные корни уравнения:

\[\pm 1, \ \pm \dfrac12, \ \pm \dfrac13, \ \pm \dfrac 16, \ \pm\dfrac18, \ \pm2, \ \pm\dfrac23, \ \pm \dfrac14, \ \pm3\quad \text{\small{и т.д.}}\]

Перебирая варианты, убеждаемся, что \(\frac32\) подходит. Значит, многочлен \(24x^3-18x^2-23x-6\) должен без остатка поделиться на \(x-\frac32\). Для удобства разделим на \(2(x-\frac32)=2x-3\) (чтобы не работать с дробями):

\[\begin{array}{rr|l} 24x^3-18x^2-23x-6\phantom{0}&&\negthickspace\underline{\qquad 2x-3 \qquad}\\ \underline{24x^3-36x^2}\;\; \phantom{000000000}&&\negthickspace \quad 12x^2 +9x +2\\[-3pt] 18x^2 -23x\phantom{0000}&&\\ \underline{18x^2 -27x}\,\;\phantom{000}&&\\[-3pt] 4x -6&&\\ \underline{4x -6}&&\\[-3pt] 0&&\\ \end{array}\]

Таким образом, \(24x^3-18x^2-23x-6=(2x-3)(12x^2 +9x +2)\). Уравнение \(12x^2 +9x +2=0\) в свою очередь корней не имеет. Значит, \(x=\frac32\) – единственный корень исходного уравнения.

Теорема

Любой многочлен \(P_n(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_1x+a_0\) можно разложить на произведение множителей: линейных (\(ax+b, a\ne 0\)) и квадратичных (\(cx^2+px+q, c\ne 0\)) с отрицательным дискриминантом.

Следствие

Кубическое уравнение \(Ax^3+Bx^2+Cx+D=0\) всегда имеет как минимум один вещественный корень, т.к. его левую часть всегда можно представить как

\[Ax^3+Bx^2+Cx+D=A(x+r)(x^2+px+q)=0\]

Замечание

На самом деле, такой вывод можно сделать о любом алгебраическом уравнении нечетной степени. Но, как правило, в школьном курсе математики крайне редко встречаются уравнения степени выше \(4\).

shkolkovo.net

Онлайн калькулятор: Деление многочленов

Калькулятор ниже делит один многочлен на другой. В результате получаем два многочлена — частное и остаток. Принцип деления многочленов описан ниже.

Деление многочленов

Введите коэффициенты многочлена, который надо разделить, через пробел.

Введите коэффициенты многочлена-делителя через пробел.

Знаков после запятой: 2

save Сохранить share Поделиться extension Виджет

• Многочлен, который нужно поделить записывается в строку, включая нулевые члены.
• Определим первый член результата деления, делением первого члена делимого на первый член делителя.
• Умножим многочлен делитель на полученный на предыдущем шаге результат деления.
• Запишем получившийся многочлен сразу под предыдущим многочленом.
• Вычтем полученный на предыдущем шаге многочлен из начального многочлена.
• Запишем остаток следующей строкой, пропуская начальные члены, обратившиеся в ноль.
• Если степень оставшегося полинома выше или равна степени делителя повторим все шаги, кроме первого для остаточного многочлена.
• В противном случае деление закончено, все полученные множители составляют частное, оставшийся полином или константа — остаток от деления.

Рассмотрим процесс деления многочленов на примере деления 3x⁴+5x³+2x+4 на x²+2x+1.

3x4/x2

-x3/x2

-x2/x2

В итоге получаем результат деления: 3x²-x-1 и остаток 5x+5.

planetcalc.ru

Деление многочленов «столбиком» («уголком»).

Начнём с некоторых определений. Многочленом n-й степени (или n-го порядка) будем именовать выражение вида $P_n(x)=\sum\limits_{i=0}^{n}a_{i}x^{n-i}=a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+a_{2}x^{n-2}+\ldots+a_{n-1}x+a_n$. Например, выражение $4x^{14}+87x^2+4x-11$ есть многочлен, степень которого равна $14$. Его можно обозначить так: $P_{14}(x)=4x^{14}+87x^2+4x-11$.

Коэффициент $a_0$ называют старшим коэффициентом многочлена $P_n(x)$. Например, для многочлена $4x^{14}+87x^2+4x-11$ старший коэффициент равен $4$ (число перед $x^{14}$). Число $a_n$ называют свободным членом многочлена $P_n(x)$. Например, для $4x^{14}+87x^2+4x-11$ свободный член равен $(-11)$. Теперь обратимся к теореме, на которой, собственно говоря, и будет основано изложение материала на данной странице.

Для любых двух многочленов $P_n(x)$ и $G_m(x)$ можно найти такие многочлены $Q_p(x)$ и $R_k(x)$, что будет выполнено равенство

причём $k < m$.

Словосочетание «разделить многочлен $P_n(x)$ на многочлен $G_m(x)$» означает «представить многочлен $P_n(x)$ в форме (1)». Будем называть многочлен $P_n(x)$ – делимым, многочлен $G_m(x)$ – делителем, многочлен $Q_p(x)$ – частным от деления $P_n(x)$ на $G_m(x)$, а многочлен $R_k(x)$ – остачей от деления $P_n(x)$ на $G_m(x)$. Например, для многочленов $P_6(x)=12x^6+3x^5+16x^4+6x^3+8x^2+2x+1$ и $G_4(x)=3x^4+4x^2+2$ можно получить такое равенство:

Здесь многочлен $P_6(x)$ является делимым, многочлен $G_4(x)$ – делителем, многочлен $Q_2(x)=4x^2+x$ – частным от деления $P_6(x)$ на $G_4(x)$, а многочлен $R_3(x)=2x^3+1$ – остатком от деления $P_6(x)$ на $G_4(x)$. Замечу, что степень остатка (т.е. 3) меньше степени делителя, (т.е. 4), посему условие равенства (1) соблюдено.

Если $R_k(x)\equiv 0$, то говорят, что многочлен $P_n(x)$ делится на многочлен $G_m(x)$ без остатка. Например, многочлен $21x^6+6x^5+105x^2+30x$ делится на многочлен $3x^4+15$ без остатка, так как выполнено равенство:

Здесь многочлен $P_6(x)=21x^6+6x^5+105x^2+30x$ является делимым; многочлен $G_4(x)=3x^4+15$ – делителем; а многочлен $Q_2(x)=7x^2+2x$ – частным от деления $P_6(x)$ на $G_4(x)$. Остаток равен нулю.

Чтобы разделить многочлен на многочлен часто применяют деление «столбиком» или, как его ещё называют, «уголком». Реализацию этого метода разберём на примерах.

Перед тем, как перейти к примерам, я введу ещё один термин. Он не является общепринятым, и использовать его мы будем исключительно для удобства изложения материала. До конца этой страницы будем называть старшим элементом многочлена $P_n(x)$ выражение $a_{0}x^{n}$. Например, для многочлена $4x^{14}+87x^2+4x-11$ старшим элементом будет $4x^{14}$.

Пример №1

Разделить $10x^5+3x^4-12x^3+25x^2-2x+5$ на $5x^2-x+2$, используя деление «столбиком».

Решение

Итак, мы имеем два многочлена, $P_5(x)=10x^5+3x^4-12x^3+25x^2-2x+5$ и $G_2(x)=5x^2-x+2$. Степень первого равна $5$, а степень второго равна $2$. Многочлен $P_5(x)$ – делимое, а многочлен $G_2(x)$ – делитель. Наша задача состоит в нахождении частного и остатка. Поставленную задачу будем решать пошагово. Будем использовать ту же запись, что и для деления чисел:

Первый шаг

Разделим старший элемент многочлена $P_5(x)$ (т.е. $10x^5$) на старший элемент многочлена $Q_2(x)$ (т.е. $5x^2$):

Полученное выражение $2x^3$ – это первый элемент частного:

Умножим многочлен $5x^2-x+2$ на $2x^3$, получив при этом:

Запишем полученный результат:

Теперь вычтем из многочлена $10x^5+3x^4-12x^3+25x^2-2x+5$ многочлен $10x^5-2x^4+4x^3$:

Этот многочлен допишем уже под чертой:

На этом первый шаг заканчивается. Тот результат, что мы получили, можно записать в развёрнутой форме:

Так как степень многочлена $5x^4-16x^3+25x^2-2x+5$ (т.е. 4) больше степени многочлена $5x^2-x+2$ (т.е. 2), то процесс деления надобно продолжить. Перейдём ко второму шагу.

Второй шаг

Теперь уже будем работать с многочленами $5x^4-16x^3+25x^2-2x+5$ и $5x^2-x+2$. Точно так же, как и на первом шаге, разделим старший элемент первого многочлена (т.е. $5x^4$) на старший элемент второго многочлена (т.е. $5x^2$):

Полученное выражение $x^2$ – это второй элемент частного. Прибавим к частному $x^2$

Умножим многочлен $5x^2-x+2$ на $x^2$, получив при этом:

Запишем полученный результат:

Теперь вычтем из многочлена $5x^4-16x^3+25x^2-2x+5$ многочлен $5x^4-x^3+2x^2$:

Этот многочлен допишем уже под чертой:

На этом второй шаг заканчивается. Полученный результат можно записать в развёрнутой форме:

Так как степень многочлена $-15x^3+23x^2-2x+5$ (т.е. 3) больше степени многочлена $5x^2-x+2$ (т.е. 2), то продолжаем процесс деления. Перейдём к третьему шагу.

Третий шаг

Теперь уже будем работать с многочленами $-15x^3+23x^2-2x+5$ и $5x^2-x+2$. Точно так же, как и на предыдущих шагах, разделим старший элемент первого многочлена (т.е. $-15x^3$) на старший элемент второго многочлена (т.е. $5x^2$):

Полученное выражение $(-3x)$ – это третий элемент частного. Допишем к частному $-3x$

Умножим многочлен $5x^2-x+2$ на $(-3x)$, получив при этом:

Запишем полученный результат:

Теперь вычтем из многочлена $-15x^3+23x^2-2x+5$ многочлен $-15x^3+3x^2-6x$:

Этот многочлен допишем уже под чертой:

На этом третий шаг заканчивается. Полученный результат можно записать в развёрнутой форме:

Так как степень многочлена $20x^2+4x+5$ (т.е. 2) равна степени многочлена $5x^2-x+2$ (т.е. 2), то продолжаем процесс деления. Перейдём к четвёртому шагу.

Четвёртый шаг

Теперь уже будем работать с многочленами $20x^2+4x+5$ и $5x^2-x+2$. Точно так же, как и на предыдущих шагах, разделим старший элемент первого многочлена (т.е. $20x^2$) на старший элемент второго многочлена (т.е. $5x^2$):

Полученное число $4$ – это четвёртый элемент частного. Допишем к частному $4$

Умножим многочлен $5x^2-x+2$ на $4$, получив при этом:

Запишем полученный результат:

Теперь вычтем из многочлена $20x^2+4x+5$ многочлен $20x^2-4x+8$:

Этот многочлен допишем уже под чертой:

На этом четвёртый шаг заканчивается. Полученный результат можно записать в развёрнутой форме:

Так как степень многочлена $8x-3$ (т.е. 1) меньше степени многочлена $5x^2-x+2$ (т.е. 2), то процесс деления завершён. Частным от деления многочлена $P_6(x)$ на многочлен $G_2(x)$ есть многочлен $Q_3(x)=2x^3+x^2-3x+4$. Остаток от деления $P_6(x)$ на $G_2(x)$ – это многочлен $R_1(x)=8x-3$. По сути, мы представили исходный многочлен $P_6(x)$ в форме (1):

Ответ: частное от деления – многочлен $2x^3+x^2-3x+4$, остаток – многочлен $8x-3$.

Пример №2

Разделить $4x^3+2x-11$ на $x+5$, используя деление «столбиком».

Решение

Здесь можно использовать схему Горнера (и это было бы несколько менее громоздко). Однако для сугубо демонстрационных целей используем деление «столбиком». Подробные пояснения есть в примере №1, посему здесь укажем только ход решения.

Результат можно записать в такой форме:

Следовательно, частным от деления $4x^3+2x-11$ на $x+5$ является многочлен $4x^2-20x+102$, а остаток есть число $(-521)$ (по сути, это многочлен нулевого порядка).

Ответ: частное – многочлен $4x^2-20x+102$, остаток – число $-521$.

Пример №3

Разделить $7x^3+9x^2-5x+9$ на $5x^7+10x^6-17x^2+14x-7$.

Решение

Степень делителя (т.е. многочлена $5x^7+10x^6-17x^2+14x-7$) равна $7$. Степень делимого (многочлена $7x^3+9x^2-5x+9$) равна 3. В этом ситуации, когда степень делителя больше степени делимого ($7 > 3$) разложение вида (1) возможно лишь в такой форме:

Ответ: частное есть 0, остаток – многочлен $7x^3+9x^2-5x+9$.

math1.ru

Деление и умножение многочленов уголком и столбиком

Теорема

Пусть P_k(x), Q_n(x) – многочлены от переменной x степеней k и n, соответственно, причем k ≥ n. Тогда многочлен P_k(x) можно представить единственным способом в следующем виде:
(1)   P_k(x) = S_k–n(x) Q_n(x) + U_n–1(x),
где S_k–n(x) – многочлен степени k–n, U_n–1(x) – многочлен степени не выше n–1, или нуль.

Доказательство

По определению многочлена:
;
;
;
,
где p_i , q_i – известные коэффициенты, s_i , u_i – неизвестные коэффициенты.

Введем обозначение:
.
Подставим в (1)   :
;
(2)   .
Первый член в правой части – это многочлен степени k. Сумма второго и третьего членов – это многочлен степени не выше k – 1. Приравняем коэффициенты при x ^k:
p_k = s_k-n q_n.
Отсюда s_k-n = p_k / q_n.

Преобразуем уравнение (2):
.
Введем обозначение:   .
Поскольку s_k-n = p_k / q_n, то коэффициент при x ^k равен нулю. Поэтому   – это многочлен степени не выше k – 1,   . Тогда предыдущее уравнение можно переписать в виде:
(3)   .

Это уравнение имеет тот же вид, что и уравнение (1), только значение k стало на 1 меньше. Повторяя эту процедуру k–n раз, получаем уравнение:
,
из которого определяем коэффициенты многочлена U_n–1(x).

Итак, мы определили все неизвестные коэффициенты s_i , u_l. Причем s_k–n ≠ 0. Лемма доказана.

Деление многочленов

Разделив обе части уравнения (1) на Q_n(x), получим:
(4)   .
По аналогии с десятичными числами, S_k–n(x) называется целой частью дроби или частным, U_n–1(x) – остатком от деления. Дробь многочленов, у которой степень многочлена в числителе меньше степени многочлена в знаменателе называется правильной дробью. Дробь многочленов, у которой степень многочлена в числителе больше или равна степени многочлена в знаменателе называется неправильной дробью.

Уравнение (4) показывает, что любую неправильную дробь многочленов можно упростить, представив ее в виде суммы целой части и правильной дроби.

Деление многочленов уголком

По своей сути, целые десятичные числа являются многочленами, у которых переменная равна числу 10. Например, возьмем число 265847. Его можно представить в виде:
.
То есть это многочлен пятой степени от 10. Цифры 2, 6, 5, 8, 4, 7 являются коэффициентами разложения числа по степеням числа 10.

Поэтому к многочленам можно применить правило деления уголком (иногда его называют делением в столбик), применяемое к делению чисел. Единственное отличие заключается в том, что, при делении многочленов, не нужно переводить числа больше девяти в старшие разряды. Рассмотрим процесс деления многочленов уголком на конкретных примерах.

Пример деления многочленов уголком

Выделить целую часть дроби и найти остаток от деления:
.

Решение

Здесь в числителе стоит многочлен четвертой степени. В знаменателе – многочлен второй степени. Поскольку 4 ≥ 2, то дробь неправильная. Выделим целую часть, разделив многочлены уголком (в столбик):

Приведем подробное описание процесса деления. Исходные многочлены записываем в левый и правый столбики. Под многочленом знаменателя, в правом столбике, проводим горизонтальную черту (уголок). Ниже этой черты, под уголком, будет целая часть дроби.

1.1   Находим первый член целой части (под уголком). Для этого разделим старший член числителя на старший член знаменателя:   .

1.2   Умножаем 2x ² на x ² – 3x + 5:
. Результат записываем в левый столбик:

1.3   Берем разность многочленов в левом столбике:

.

Итак, мы получили промежуточный результат:
.

Дробь в правой части неправильная, поскольку степень многочлена в числителе (3) больше или равна степени многочлена в знаменателе (2). Повторяем вычисления. Только теперь числитель дроби находится в последней строке левого столбика.
2.1   Разделим старший член числителя на старший член знаменателя:   ;

2.2   Умножаем на знаменатель:   ;

2.3   И вычитаем из последней строки левого столбика:   ;

Промежуточный результат:
.

Снова повторяем вычисления, поскольку в правой части стоит неправильная дробь.
3.1   ;
3.2   ;
3.3   ;

Итак, мы получили:
.
Степень многочлена в числителе правой дроби меньше степени многочлена знаменателя, 1 < 2. Поэтому дробь – правильная.

Ответ

;
2x ² – 4x + 1 – это целая часть;
x – 8 – остаток от деления.

Пример 2

Выделить целую часть дроби и найти остаток от деления:
.

Решение

Выполняем те же действия, что и в предыдущем примере:

Здесь остаток от деления равен нулю:
.

Ответ

.

Умножение многочленов столбиком

Также можно умножать многочлены столбиком, аналогично умножению целых чисел. Рассмотрим конкретные примеры.

Пример умножения многочленов столбиком

Найти произведение многочленов:
.

Решение

Умножаем многочлены столбиком.

1   Записываем исходные многочлены друг под другом в столбик и проводим черту.

2.1   Умножаем младший член второго многочлена на первый многочлен:
.
Результат записываем в столбик.

2.2   Умножаем следующий член второго многочлена на первый многочлен:
.
Результат записываем в столбик, выравнивая степени x.

2.3   Умножаем следующий (старший) член второго многочлена на первый многочлен:
.
Результат записываем в столбик, выравнивая степени x.

3   После того, как все члены второго многочлена умножили на первый, проводим черту и складываем члены с одинаковыми степенями x:
;
;
;
.

Заметим, что можно было записывать только коэффициенты, а степени переменной x можно было опустить. Тогда умножение столбиком многочленов будет выглядеть так:

Ответ

.

Пример 2

Найти произведение многочленов столбиком:
.

Решение

При умножении многочленов столбиком важно записывать одинаковые степени переменной x друг под другом. Если некоторые степени x пропущены, то их следует записывать явно, умножив на нуль, либо оставлять пробелы.

В этом примере некоторые степени пропущены. Поэтому запишем их явно, умноженными на нуль:
.
Умножаем многочлены столбиком.

1   Записываем исходные многочлены друг под другом в столбик и проводим черту.

2.1   Умножаем младший член второго многочлена на первый многочлен:
.
Результат записываем в столбик.

2.2   Следующий член второго многочлена равен нулю. Поэтому его произведение на первый многочлен также равно нулю. Нулевую строку можно не записывать.

2.3   Умножаем следующий член второго многочлена на первый многочлен:
.
Результат записываем в столбик, выравнивая степени x.

2.3   Умножаем следующий (старший) член второго многочлена на первый многочлен:
.
Результат записываем в столбик, выравнивая степени x.

3   После того, как все члены второго многочлена умножили на первый, проводим черту и складываем члены с одинаковыми степенями x:
.

Ответ

.

Автор: Олег Одинцов.     Опубликовано: 21-05-2015

1cov-edu.ru

Деление многочленов уголком

1 октября 2013

Сегодня мы узнаем, как выполняется деление многочленов друг на друга, причем выполнять деление мы будем уголком по аналогии с обычными числами. Это очень полезный прием, который, к сожалению, не изучают в большинстве школ. Поэтому внимательно прослушайте данный видеоурок. Ничего сложного в таком делении нет.

Для начала давайте разделим друг на друга два числа:

\[595:17=35\]

Как можно это сделать? В первую очередь, мы отсекаем столько разрядов, чтобы полученное числовое значение было больше чем то, на которое мы делим. Если мы отсечем один разряд, то получим пять. Очевидно, семнадцать в пять не вмещается, поэтому этого недостаточно. Берем два разряда — у нас выйдет 59 — оно уже больше, чем семнадцать, поэтому мы можем выполнить операцию. Итак, сколько раз семнадцать помещается в 59? Давайте возьмем три. Перемножаем и записываем результат под 59. Итого у нас получилось 51. Вычитаем и у нас вышло «восемь». Теперь сносим следующий разряд — пять. Делим 85 на семнадцать. Берем пять. Перемножим семнадцать на пять и получаем 85. Вычитаем и у нас получается ноль.

Решаем реальные примеры

Задача № 1

Теперь выполним те же самые шаги, но не с числами, а с многочленами. Для примера возьмем такое:

\[\frac{{{x}^{2}}+8x+15}{x+5}=x+3\]

Обратите внимание, если при делении чисел друг на друга мы подразумевали, что делимое всегда больше делителя, то в случае деления полиномов уголком, необходимо, чтобы степень делимого была больше, чем делителя. В нашем случае все в порядке — мы работаем с конструкциями второй и первой степени.

Итак, первый шаг: сравниваем первые элементы. Вопрос: на что нужно домножить $x$, чтобы получилось ${{x}^{2}}$? Очевидно, что на еще один $x$. Умножаем $x+5$ на только что найденное число $x$. У нас есть ${{x}^{2}}+5$, которое вычитаем из делимого. Остается $3x$. Теперь сносим следующее слагаемое — пятнадцать. Снова посмотрим на первые элементы: $3x$ и $x$. На что следует домножить $x$, чтобы вышло$3x$? Очевидно, что на три. Домножаем почленно $x+5$ на три. Когда мы вычтем, то получим ноль.

Как видите, вся операция деления уголком свелась к сравнению старших коэффициентов при делимом и делителе. Это даже проще, чем когда вы делите числа. Тут не требуется выделять какое-то количество разрядов — мы просто на каждом шаге сравниваем старшие элементы. Вот и весь алгоритм.

Задача № 2

Давайте попробуем еще:

\[\frac{{{x}^{2}}+x-2}{x-1}=x+2\]

Первый шаг: посмотрим на старшие коэффициенты. На сколько нужно домножить $x$, чтобы записать${{x}^{2}}$? Домножаем почленно. Обратите внимание, при вычитании у нас получится именно $2x$, потому что

\[x-\left( -x \right)=x+x=2x\]

Сносим -2 и снова сравним первый полученный коэффициент со старшим элементом делителя. Итого у нас вышел «красивый» ответ.

Переходим ко второму примеру:

\[\frac{{{x}^{3}}+2{{x}^{2}}-9x-18}{x+3}={{x}^{2}}-x-6\]

В этот раз в качестве делимого выступает полином третьей степени. Сравним между собой первые элементы. Для того чтобы получилось ${{x}^{3}}$, необходимо $x$ домножить на ${{x}^{2}}$. После вычитания сносим $9x$. Домножаем делитель на $-x$ и вычитаем. В итоге наше выражение полностью разделилось. Записываем ответ.

Задача № 3

Переходим к последней задаче:

\[\frac{{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+50}{x+5}={{x}^{2}}-2x+10\]

Сравниваем ${{x}^{3}}$ и $x$. Очевидно, нужно домножить на ${{x}^{2}}$. В итоге мы видим, что мы получили очень «красивый» ответ. Записываем его.

Вот и весь алгоритм. Ключевых моментов здесь два:

1. Всегда сравнивайте первую степень делимого и делителя — повторяем это на каждом шаге;
2. Если в исходном выражении пропущены какие-либо степени, при делении уголком их обязательно следует добавить, но с нулевыми коэффициентами, иначе ответ будет неправильным.

Больше никаких премудростей и хитростей в таком делении нет.

Краткое содержание

Материал сегодняшнего урока нигде и никогда не встречается в «чистом» виде. Его редко изучают в школах. Однако умение делить многочлены друг на друга очень поможет вам при решении уравнений высших степеней, а также всевозможных задач «повышенной трудности». Без данного приема вам придется раскладывать многочлены на множители, подбирать коэффициенты — и результат при этом отнюдь не гарантирован. Однако многочлены можно делить и уголком — так же, как и обычные числа! К сожалению, данный прием не изучают в школах. Многие учителя считают, что деление многочленов уголком — это что-то безумно сложное, из области высшей математики. Спешу вас заверить: это не так. Более того, делить многочлены даже проще, чем обычные числа! Посмотрите урок — и убедитесь в этом сами.:) В общем, обязательно возьмите этот прием на вооружение. Умение делить многочлены друг на друга очень пригодится вам при решении уравнений высших степеней и в других нестандартных задачах.

Я надеюсь, этот ролик поможет тем, кто работает с полиномами, особенно высших степеней. Это относится и к старшеклассникам, и к студентам университетов. А у меня на этом все. До встречи!     

Смотрите также:

1. Теорема Безу: разложение на множители
2. Схема Горнера
3. Тест к уроку «Площади многоугольников на координатной сетке» (легкий)
4. Задача 7 — геометрический смысл производной
5. Как решать задачи B15 без производных
6. Симметрия корней и оптимизация ответов в тригонометрии

www.berdov.com