Делимость произведения, суммы и разности чисел

Рассмотрим произведение чисел 24 ⋅ 73 = 1752. Один из множителей в этом произведении делится на 3, т.е. 24 : 3. Можно убедиться, что и всё произведение делится на 3, т.е. 1752 : 3 = 584.

В произведении 25 ⋅ 58 = 1450 множитель 25 делится на 5. Также можно сделать вывод, что всё произведение делится на 5 , т. е. 1450 : 5 = 290.

Итак, признак делимости произведения:

если хотя бы один из множителей делится на некоторое число, то и произведение делится на это число.

Значит, если a делится на некоторое число с, то и ab также делится на это число с.

Рассмотрим сумму чисел 12 и 21. В этой сумме каждое из слагаемых делится на 3. Проверяя делимость суммы на 3, получим, что сумма 33 тоже делится на 3.

Признаки делимости суммы и разности чисел

1. Если каждое слагаемое делится на некоторое число, то и вся сумма делится на это число, т. е., если a делится на b и c делится на b, то (a+c) делится на b.
2. Если одно слагаемое делится на некоторое число, а другое слагаемое не делится на это число, то и вся сумма не делится на это число, т. е., если a делится на b, а c не делится на b, то (a + c) не делится на b.
3. Если одно слагаемое делится на некоторое число и сумма делится на это же число, то другое слагаемое тоже делится на это число, т. е., если a делится на b и (a + c) делится на b, то c делится на b.
4. Если одно число делится на некоторое другое число, которое делится на третье число, то первое число делится на третье число, т. е., если a делится на c и c делится на b, то a делится на b.
5. Если и уменьшаемое, и вычитаемое делятся на некоторое число, то и разность делится на это число.

Примеры

Пример #1. Можно ли утвержадать, что число 6 — делитель числа 55?

Решение:

По определению делителем натурального числа a называют натуральное число, на которое число a делится без остатка.

Значит, чтобы число 6 было делителем числа 55, нужно, чтобы число 55 делилось на число 6 без остатка.

В данно случае деление получается с остатком, т. к. число 55 не делится нацело на число 6, т.е. число 6 не является делителем числа 55.

Ответ: нет.

---

Пример #2. Назови все двузначные числа, кратные числу 48.
Решение:
По определению кратным натуральному числу a называют натуральное число, которое делится без остатка на число a.

Значит, чтобы двузначное число было бы кратным числу 48, оно должно делиться на число 48 без остатка.

Таких двузначных чисел, делящихся на число 48 без остатка, два: 48; 96.

Ответ: 48;96.

---

Пример #3. Не выполняя вычислений, определи, какому числу из предложенных в ответе (3, 2 или 7) кратно данное произведение 29 ⋅ 27.
Решение:
Известно, что кратным натуральному числу a называют натуральное число, которое делится без остатка на число a.

Также знаем, что если хотя бы один из множителей делится на некоторое число, то и произведение делится на это число.

В данном произведении 29 ⋅ 27 множитель 27 делится без остатка на число 3, значит, и произведение 29 ⋅ 27 делится без остатка на число 3, т.е. кратно числу 3.

Ответ: 3.

---

Пример #4. В каждой коробке лежат 8 чайных ложек. Возможно ли, взять определённое количество коробок, чтобы в них лежало ровно 13 ложки(-ек)?
Решение:
Анализируя условие задачи, можно сделать вывод, что утвердительный ответ возможен, если число ложек, которое мы хотим взять, кратно числу ложек, находящихся в каждой коробке.

Это следует из определения: кратным натуральному числу a называют натуральное число, которое делится без остатка на число a. Значит, нельзя, не вскрывая коробок, взять 13 шт. ложек, т. к. число 13 не делится на число 8 без остатка, т. е. 13 : 8 ≠ целому числу.

Ответ: нет.

---

Пример #5. Сократи дробь:

   

Решение:

Для сокращения дроби заметим, что один из множителей в числителе дроби и один из множителей в знаменателе дроби делится на число 5, значит, и произведения в числителе и знаменателе делятся на число 5.

Поэтому, если сократим эти множители на 5, останется дробь с такими множителями в числителе и знаменателе.

Ответ:

   

---

Пример #6. В одном букете было 16 роз, а в другом — 49. Можно ли эти розы поставить в 6 ваз так, чтобы в каждой вазе цветов было поровну?

Решение:
1. Определим общее количество роз в двух букетах вместе: 16 + 49 = 65 шт.

2. Можно ли эти розы поставить в 6 ваз так, чтобы в каждой вазе цветов было поровну? Для ответа на этот вопрос нужно проверить делимость полученной суммы на число 6.

Получим, что розы поставить в 6 ваз так, чтобы в каждой вазе цветов было поровну нельзя, потому что числа не делятся нацело, т. к. 65 : 6 ≠ целому числу.

Ответ: разделить поровну нельзя, потому что числа не делятся нацело.

---

Пример #7. Укажи натуральное значение x, чтобы сумма 42 + x не делилась на 7. Выбери из следующих вариантов: 5, 21, 7.

Решение:
Для того, чтобы сумма 42 + x не делилась на 7, выбираем значение x = 5, т.к. известно, что если каждое слагаемое делится на некоторое число, то и сумма делится на это число.

Имеем, что число 42 делится на 7, значит, число x не должно делиться на 7, чтобы сумма не делилась на 7.

Значение x = 5 не делится на 7.

Ответ: 5.

---

Пример #8. Известно, что c и d — натуральные числа и 5c + d = 42. Каким может быть число c?

Решение:
Известно, что c и d — натуральные числа и 5c + d = 42. Выражение 5c = 42 − d должно быть кратно числу 5.

Поэтому число c может быть равно 1;2;3;4;5;6;7;8, тогда 5c = 5; 10; 15; 20; 25; 30; 35; 40, а d = 37; 32; 27; 22; 17; 12; 7; 2, т. е. сумма будет равна 5c + d = 42.
Ответ: 1;2;3;4;5;6;7;8.

---

Пример #9. Определи натуральные значения, которые может принимать выражение

   

если 0 < x < 40, x — натуральное число.

Решение:
Для того, чтобы выражение приняло натуральные значения, необходимо вместо переменной x подставить числа, кратные числу 8, принадлежащие промежутку 0 < x < 40. Это будут числа 8; 16; 24; 32.

Разделив эти числа на число 8 и умножив полученные частные на 3, имеем в результате 3;6;9;12.

Ответ: 3;6;9;12.

---

Пример #10. Выполни деление: (39b + 24) : 3.

Решение:
Известно, что если каждое слагаемое делится на некоторое число, то и вся сумма делится на это число.

Выполняя действие деления суммы на число 3, необходимо разделить на 3 как первое слагаемое, так и второе слагаемое.

Получим: (39b + 24) : 3 = 39b : 3 + 24 : 3 = 13b + 8.
Ответ: 13b + 8.

---

Пример #11. Выполни деление: 6xy : 3x.

Решение:
Выполняя деление (6xy):(3x), разделим сначала числовые множители, затем одинаковые буквенные множители, полученные результаты перемножим.

Получим: 6xy : 3x = 6:3 ⋅ (x:x) ⋅ y = 2 ⋅ 1 ⋅ y = 2y.

В результате деления получаем ответ: 2y.
Ответ: 2y.

Признаки делимости. Делимость суммы, разности, произведения

Понятие отношения делимости

Определение. Число а делится на число в тогда и только тогда, когда существует такое число q, что а = в × q. а в ( q N₀) [а = вq].

Обозначают: а в. Читают: «число а кратно числу в», «число в – делитель числа а», «а кратно в».

Равенство а=вq называют формулой кратности числа а числу в.

Число а, кратное 2, называют четным. Общий вид четного числа: а = 2n, n N₀.

Число, кратное 3 имеет формулу: а = 3n, n N₀.

Определение. Отношение делимости на множестве N₀ N содержит те и только те пары чисел (а, в), у которых первая координата кратна второй. Обозначают: « ».

« » = {(а, в)| (а, в) N₀ N а в}.

Если отношение делимости обозначить , то N₀ N ={(а, в)| (а, в) N₀ N а=вq}.

Теорема. Делитель в данного числа а не превышает этого числа, то есть, если а в в а.

Доказательство. Так как а в, то ( q N₀) [а = вq] а – в=вq-в=в(q – 1), так как q N q 1.

Тогда в (q – 1) 0 в а. Из определения отношения делимости и равенства а = 1 × а, следует, что 1 является делителем для любого натурального числа.

Следствие. Множество делителей данного числа конечно.

Например, делители числа 18 является конечное множество: {1, 2, 3, 6, 9, 18}.

Свойства отношения делимости

1. Отношение делимости рефлексивно, то есть любое натуральное число делится само на себя: ( а N) [(а,а) ], то есть а : а = 1.

Доказательство. ( а N)[а = а × 1] по определению отношения делимости а : а.

2. Отношение делимости антисимметрично, то есть для различных чисел а и в из того, что а в, следует, что в не кратно а. ( а, в N₀ N)[а в а в ].

Доказательство. Допустим, что в а, тогда в а. Но по условию а в, так как а в.

Неравенства в а а в истины только в том случае, если а = в. пришли к противоречию с условием. Следовательно, допущение, что в а Л. Таким образом, отношение делимости антисимметрично.

3. Отношение делимости транзитивно. ( а,в,с N₀ N)[а в в с а с].

Доказательство. Если а в ( q N)[а = вq] (1) Из того, что в с ( t N)[в = сt] (2)

Подставим в = сt в равенство (1), получим: а = (сt)q = c(tq), t,q N tq N tq = р а = ср, р N. А это значит, что а с.

Признаки делимости. Делимость суммы, разности, произведения

Определение. Признаком делимости называется предложение, в котором доказывается как можно предсказать делимость одного числа на другое, не выполняя деления этих чисел.

Теорема (признак делимости суммы). Если числа а и в делится на число n, то их сумма делится на это число, ( а,в,n N₀ N)[а n в n (а + в) n].

Доказательство. Из того что а n в n (по определению отношения делимости)

а=nq₁ (1), q₁ N. в=nq₂ (2), q₂ N. Преобразуем сумму (а + в) к виду:

а + в = nq₁ + nq₂ = n (q₁ + q₂) = nq,q = q₁ + q₂. а + в = nq.

Следовательно, по определению отношения делимости, что (а + в) n.

Теорема (признак делимости разности). Если числа а и в делятся на число n и а в, то их разность а – в делится на число n, то есть

( а,в,n N₀ N)[а n в n а в (а – в) n].

Теорема (признак делимости произведения). Если один из множителей произведения делится на число n, то и все произведение делится на число n.

( а,в,n N₀ N)[а n (ав) n].

Доказательство. Из того, что а n а = nq (1). Умножим обе части равенства (1) на в N, получим: ав = nqв (по ассоциативности умножения) ав = n(qв) = nt, где t = qв ав = nt. А это значит, что ав n (по определению отношения делимости). Таким образом, для делимости произведения на число достаточно чтобы на данное число делился хотя бы один из множителей этого произведения.

Теорема. Если в произведении ав множитель а делится на натуральное число m, а множитель в делится на натуральное число n, то ав делится на mn.

( а,в,m,n N)[а m в n ав mn].

Доказательство. Из того, что а m а = mq₁, q₁ N; в n в = nq₂, q₂ N

ав = mq₁ × nq₂, = mn(q₁ × q₂) = mnq, q₁ × q₂ = q N. ав = mnq ав mn.

Теорема (признак делимости на 2). Для того, чтобы число х делилось на 2 необходимо и достаточно, чтобы его десятичная запись оканчивалась одной из цифр: 0, 2, 4, 6, 8.

Доказательство. Пусть число х записано в десятичной системе счисления, то есть:

х = а_n10ⁿ + a_n–110^n–1 + …+a₁10 + a₀, где а_n, a_n–1, …, а₁ – цифры, принимающие значения 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и а_n 0, а₀ – принимает значения 0, 2, 4, 6, 8.

Докажем, что число х 2. Так как 10 2, то любая степень числа 10 2. Десятичную запись числа х представим в виде: х = (а_n10ⁿ + a_n–110^n–1 + …+a₁10) + a₀

I слагаемое II слагаемое

В этой сумме первое слагаемое по признаку делимости суммы делится на 2. Второе слагаемое а₀ 2 (по условию). Следовательно, по признаку делимости суммы на число х делится на 2.

Обратно, если число х делится на 2, то его десятичная запись оканчивается цифрой 0, 2, 4, 6, 8.

Запишем число х = а_n10ⁿ + a_n–110^n–1 + …+a₁10 + a₀ в виде: а₀ = х – (а_n10ⁿ + a_n–110^n–1 + …+a₁10).

В этой разности число х 2 (по условию), вычитаемое (а_n10ⁿ + a_n–110^n–1 + …+a₁10) 2 (по признаку делимости суммы). Следовательно, по теореме о делимости разности а₀ 2. Чтобы однозначное число а₀ делилось на 2, оно должно принимать значения 0, 2, 4, 6, 8.

Признак делимости на 2. На 2 делятся те и только те числа, в разряде единиц которых содержится число, делящееся на 2 или на 2 делятся те и только те числа, десятичная запись которых оканчивается одной из цифр 0, 2, 4, 6, 8.

Теорема (признак делимости на 5). Для того, чтобы число х делилось на 5, необходимо и достаточно, чтобы его десятичная запись оканчивалась цифрой 0 или 5.

Лемма. ( n N) [n > 1 10ⁿ 4].

Доказательство. Так как 100 = 4 × 25, то по признаку делимости произведения

100 4. Тогда ( n N n > 1)[10ⁿ = 10² × 10^n–2] 10ⁿ = 100 × 10^n–2 и по признаку делимости произведения 10ⁿ 4.

Теорема (признак делимости на 4). Натуральное число х делится на 4 тогда и только тогда, когда две последние цифры его десятичной записи образуют двузначное число, делящееся на 4.

Пусть х = а_n10ⁿ + a_n–110^n–1 + …+a₁10 + a₀ и пусть десятичная запись двух последних цифр a₁10 + a₀ выражает число , которое делится на 4.

Доказательство. Представим число х в виде суммы двух слагаемых:

х = (а_n10ⁿ + a_n–110^n–1 + …+a₂10²) + (а₁10 + а₀),

I слагаемое II слагаемое

где первое слагаемое, по доказанной выше Лемме, делится на 4, второе слагаемое делится на 4 по условию. Следовательно, согласно признака делимости суммы на число, число х делится на 4.

Обратно, если число х 4, то – двузначное число, образованное последними цифрами его десятичной записи, делится на 4.

По условию х 4. Докажем, что (а₁10 + а₀) 4.

Доказательство. Десятичная запись числа х имеет вид:

х = а_n10ⁿ + a_n–110^n–1 + …+а₂ 10² + a₁10 + a₀, представим число х в виде суммы двух слагаемых:

х = (а_n10ⁿ + a_n–110^n–1 + …+a₂10²) + (а₁10 + а₀) и запишем равенство в виде:

х – (а_n10ⁿ + a_n–110^n–1 + …+a₂10²) = а₁10 + а₀, где х 4 (а_n10ⁿ + a_n–110^n–1 + …+a₂10²) 4 (по лемме).

Следовательно, по признаку делимости разности а₁10 + а₀ 4. выражение а₁10 + а₀ = – есть запись двузначного числа, образованного последними цифрами записи числа х.

Признак делимости на 4. На 4 делятся те и только те числа, две последние цифры десятичной записи которых образуют число, делящееся на 4.

Теорема. Для того чтобы число х делилось на 25 необходимо и достаточно, чтобы на 25 делилось двузначное число, образованное последними двумя цифрами десятичной записи числа х.

Доказывается аналогично.

Признак делимости на 25. На 25 делятся те и только те числа, у которых две последние цифры в записи числа 00, 25, 50, 75.

Лемма. ( n N) [(10ⁿ – 1) 9].

Докажем методом математической индукции.

1. Проверим справедливость утверждения для n = 1,

имеем: 10¹ – 1 = 9 9 9. А(1) И.

2. Допустим, что утверждение справедливо для n = k,

имеем: 10^{k– 1 9 А(k) И – индукционное допущение.}

1. Докажем справедливость утверждения для n = k + 1, имеем:

2. 10^{k+ 1} – 1 = 10^k × 10 – 1 = 10^k (9 + 1) – 1 = 10^k × 9 + 10^k × 1 – 1 = 10^k × 9 + 10^k – 1, где первое слагаемое 10^k × 9 9 (по признаку делимости произведения), второе слагаемое 10^k – 1 9 (по допущению индукции). Следовательно, по признаку делимости суммы вся сумма делится на 9.

Таким образом, А (1) И А(k) И А(k + 1) И.

Следовательно, лемма доказана, то есть (10ⁿ – 1) 9.

Теорема (признак делимости на 9). Для того чтобы число х делилось на 9, необходимо и достаточно, чтобы сумма цифр его десятичной записи делалась на 9.

Пусть х = а_n10ⁿ + a_n–110^n–1 + …+a₁10 + a₀ (1), где где а_n, a_n–1, …, а₁, а₀ – цифры, принимающие значения 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и а_n 0 и (а_n + a_n–1 + … + а₁ + а₀) 9.

Докажем, что число х 9. Доказательство. Преобразуем сумму (1), прибавив и вычтя из нее выражение а_n + a_n–1 + … + а₁ + а₀, получим:

х = а_n10ⁿ + a_n–110^n–1 + …+a₁10 + a₀ + а_n – a_n + a_{n – 1} – a_{n – 1} + …+ a₁ – a₁ + a₀ – a₀ =

= (а_n10ⁿ – a_n) + (a_n–110^n–1 – a_{n – 1}) + … + (a₁10 – a₁) + (a₀ – a₀) =

=а_n (10ⁿ – 1) + a_n–1 (10^n–1 – 1) + … + a₁ (10 –1) + (а_n + a_n–1 + … + а₁ + а₀).

В полученной сумме каждое слагаемое делится на 9 (по признаку делимости произведения):

а_n (10ⁿ – 1) 9, так как (10^{n– 1) 9; a_n–1 (10n–1 – 1) 9, так как (10 – 1) 9; а_n + a_n–1 + … + а₁ + а₀ 9 (по условию). Следовательно, х 9.}

Обратно, если х 9, то сумма цифр десятичной записи числа х делится на 9.

Равенство х = а_n10ⁿ + a_n–110^n–1 + …+a₁10 + a₀ запишем в виде: а

а_n + a_n–1 + … + а₁ + а₀ = х – (а_n (10ⁿ – 1) + a_n–1 (10^n–1 – 1) + … + a₁ (10 –1)).

Так как х 9 (по условию) и вычитаемое (а_n (10ⁿ – 1) + a_n–1 (10^n–1 – 1) + … + a₁ (10 –1)) 9 (по признаку делимости суммы), то по теореме о делимости разности (а_n + a_n–1 + … + а₁ + а₀) 9, то есть сумма цифр десятичной записи числа х делится на 9.

Лемма. ( n N) [(10ⁿ – 1) 3].

Доказательство проведем методом математической индукции по n.

1. Проверим справедливость утверждения для n = 1,

имеем: 10¹ – 1 = 9 9 3. А(1) И.

2. Допустим, что утверждение справедливо для n = k,

имеем: 10^{k– 1 3 А(k) И – индукционное допущение.}

3. Докажем справедливость утверждения для n = k + 1, имеем: 10^{k+ 1} – 1 = 10^k × 10 – 1 = 10^k (9 + 1) – 1 = 10^k × 9 + 10^k × 1 – 1 = 10^k × 9 + 10^k – 1, где первое слагаемое 10^k × 9 3 (по признаку делимости произведения), второе слагаемое 10^k – 1 3 (по допущению индукции). Следовательно, по признаку делимости суммы вся сумма делится на 3.

Таким образом, А (1) И А(k) И А(k + 1) И. Следовательно, (10ⁿ – 1) 3

Признак делимости на 3. На 3 делятся те и только те числа, сумма цифр которых делится на 3.

Читайте также:

Рекомендуемые страницы:

Поиск по сайту

Делимость суммы и произведения

Цели урока:

выработка навыка решения заданий на применение свойств делимости суммы и произведения;

включение каждого учащегося в осознанную учебную деятельность;

Развивать творческие способности, математическую культуру, умение выявлять закономерности, обобщать.

Оборудование: доска, таблица, учебная литература, компьютер, проектор, экран.

Ход урока

1. Организационный момент

2. Актуализация опорных знаний

Математический диктант

1 вариант	2 вариант
1. Какие из высказываний верные: а) если число а делится на 6, то оно делится на 12*; б) если число а не делится на 6, то оно не делится на 12	1. Какие из высказываний верные: а) если число а делится на 12, то оно делится на 6; б) если число а не делится на 12, то оно не делится на 6
2. Пусть F – множество чисел, кратных 33. Принадлежит ли множеству F: а) любое число, кратное 90	2. Пусть F – множество чисел, кратных 33. Принадлежит ли множеству F: а) любое число, кратное 11
3. Найдите пересечения: а) множества четных чисел и множества чисел, кратных 4	3. Найдите пересечения: а) множества чисел, кратных 3, и множества чисел, кратных 7

3. Усвоение новых знаний

Учащиеся делятся на 4 группы. Каждая группа изучает одно из свойств, доказательство этого свойства.

Рассмотрим некоторые свойства делимости суммы и произведения.

1. Если в сумме целых чисел каждое слагаемое делится на некоторое число, то и сумма делится на это число.

Доказательство проведем для трех слагаемых. Если числа a, b, и c делятся на p, то a=pk, b=pm, c=pn, где k,m и n – целые числа. Тогда

a+b+c=pk+pm+pn=p(k+m+n),

и так как k +m+n – целое число, то a+b+c делится на p.

В случае произвольного числа слагаемых прием доказательства остается тем же. Очевидно, что обратное утверждение неверно.

2. Если два целых числа делятся на некоторое число, то их разность делится на это число.

Это свойство следует из предыдущего, так как разность a-b всегда можно представить в виде суммы a+(-b) .

3. Если в сумме целых чисел все слагаемые, кроме одного делятся на некоторое число, то сумма не делится на это число.

Пусть числа a и b делятся на p, а число c не делится на p. Докажем, что сумма a+b+c не делится p. Предположим противное: пусть a+b+c делится на p. Тогда в разности (a+b+c)-(a+b) уменьшаемое делится на p по предположению, а вычитаемое делится на p по свойству 1, и поэтому по свойству 2 разность делится на p. Однако эта разность равна c и на p по условию не делится. Мы пришли к противоречию. Следовательно, сделанное нами предположение неверно и сумма a+b+c делится на р, что и требовалось доказать.

Заметим, что так как разность a-b можно рассматривать как сумму a+(-b), то доказанные свойства суммы относятся к любой алгебраической сумме чисел.

4. Если в произведении целых чисел один из множителей делится на некоторое число, то произведение делится на это число.

Если а делится на с, то a=ck, где k –целое число. Тогда ab=(ck)b т.е ab=c(kb), причем kb – целое число, так как произведение целых чисел является целым числом. Значит ab делится на с.

При решении задач на делимость часто бывают полезными свойства, связанные с последовательным расположением целых чисел. Например:

Одно из п последовательных целых чисел делится на п;

Одно из двух последовательных четных чисел делится на 4;

Произведение трех последовательных целых чисел делится на 6;

Произведение двух последовательных четных чисел делится на 8.

Решение задач с применением свойств делимости суммы и произведения.

Пример 1

Докажите, что сумма 333⁵⁵⁵+ 555³³³ делится на 37.

Решение:

333⁵⁵⁵ + 555³³³= (3*111)⁵⁵⁵ +(5*111)³³³ = 111*(3⁵⁵⁵*111⁵⁵⁴ + 5³³³*111³³²). Так как 111 делится на 37, то данное выражение делится на 37.

Пример 2

Выясним, принадлежит ли графику уравнения 15х + 25 y= 114 хотя бы одна точка, координатами которой являются целые числа.

Решение:

Допустим, что график проходит через точку М (а; в), где а и в целые числа. Тогда верным является равенство 15а + 25в =114. В левой части этого равенства записана сумма, которая делится на 5, так как каждое слагаемое 15а и 25в делятся на 5. ТО число 114 на 5 не делится. Полученное противоречие показывает, что предположение неверно и на графике уравнения 15х + 25y = 114 нет ни одной точки с целочисленными координатами.

Пример 3

Выясним, может ли целое число а, не равное нулю и не являющееся делителем 240, быть корнем уравнения 17х³ –10х² -6х + 240 =0.

Решение:

Допустим, что а – целый корень уравнения. Тогда верно равенство

17а³ – 10а² – 6а + 240 =0.

Левая часть представляет собой сумму, в которой каждое слагаемое, кроме одного, делится на а, и поэтому эта сумма не делится на а. Правая часть этого равенства делится на а, так как 0 делится на любое число, отличное от нуля. Полученное противоречие показывает, что предположение неверно и число а не может быть корнем данного уравнения.

Пример 4

Докажем, что если n — простое число, большее чем 3, то разность n² — 1 делится на 24.

Решение:

Имеем n² — 1 =(n-1)(n+1) . Из трех последовательных чисел n-1, n , n+1 хотя бы одно делится на 3. Однако число n на 3 не делится, значит, на 3 делится одно из чисел n-1 и n+1и, следовательно, их произведение (n-1)(n+1). Из условия ясно, что число n нечетное. Значит, n-1 и n+1 – два последовательных четных числа. Одно из таких чисел делится на 2, а другое — на 4, и поэтому их произведение делится на 8.

Итак, разность n² -1, где n – простое число и n>3, делится на 3 и на 8. А так как 3 и 8 взаимно простые, то эта разность делится на 24.

Решение №108, 110, 111(а),116(а), 119, 123.

4. Подведение итогов

5. Домашнее задание

111(б), 116(б), 120,124.

Делимость произведения, суммы и разности чисел (6 класс)

Рассмотрим произведение чисел 24⋅73=1752.

Один из множителей в этом произведении делится на 3, т.е. 24:3.

Можно убедиться, что и всё произведение делится на 3, т.е. 1752:3=584.

В произведении 25⋅58=1450 множитель 25 делится на 5.

Также можно сделать вывод, что всё произведение делится на 5, т.е. 1450:5=290.

Итак, признак делимости произведения:

если хотя бы один из множителей делится на некоторое число, то и произведение делится на это число.

Значит, если a делится на некоторое число с, то и ab также делится на это число с.

Пример:

Рассмотрим сумму чисел 12 и 21, т.е. (12+21).

В этой сумме каждое из слагаемых делится на 3. Проверяя делимость суммы на 3, получим, что сумма 33 тоже делится на 3.

Итак, признаки делимости суммы и разности чисел:

Свойство 1.

Если каждое слагаемое делится на некоторое число, то и вся сумма делится на это число, т.е.,

если a делится на b, и c делится на b, то (a+c) делится на b.

Свойство 2.

Если одно слагаемое делится на некоторое число, а другое слагаемое не делится на это число, то и вся сумма не делится на это число, т.е.,

если a делится на b, а c не делится на b, то (a+c) не делится на b.

Пример:

12 делится на 3, а 22 не делится на 3, то (12+22) не делится на 3.

Свойство 3.

Если одно слагаемое делится на некоторое число и сумма делится на это же число, то другое слагаемое тоже делится на это число, т.е.,

если a делится на b, и (a+c) делится на b, то c делится на b.

Пример:

12 делится на 3 и (12+21) делится на 3, то 21 делится на 3.

Свойство 4.

Если одно число делится на некоторое другое число, которое делится на третье число, то первое число делится на третье число, т.е.,

если a делится на c, и c делится на b, то a делится на b.

Пример:

48 делится на 12, и 12 делится на 3, то 48 делится на 3.

Свойство 5.

Если и уменьшаемое, и вычитаемое делятся на некоторое число, то и разность делится на это число.

Пример:

Разность (35−20) делится на 5, т.к. 35 делится на 5, и 20 делится на 5.

Свойства деления. Деление произведения, суммы и разности на число

Деление произведения на число

Произведение можно разделить на число двумя способами:

1)Чтобы разделить произведение на какое-нибудь число, можно сначала вычислить значение произведения (выполнить умножение) и полученный результат разделить.

Например, чтобы найти значение выражения:

(12 · 5) : 3

можно сначала умножить 12 на 5:

12 · 5 = 60

и полученное произведение разделить на 3:

60 : 3 = 20, значит (12 · 5) : 3 = 60 : 3 = 20

Если один из сомножителей делится на число, на которое надо разделить произведение, то можно воспользоваться вторым способом нахождения частного от деления произведения на число.

2)Чтобы разделить произведение на какое-нибудь число, можно разделить на это число один любой сомножитель, оставив другие без изменений.

Например, чтобы найти значение выражения:

(8 · 20) : 4

можно сначала разделить любой из сомножителей (8 или 20) на 4:

8 : 4 = 2

и полученное частное умножить на другой сомножитель:

2 · 20 = 40, значит (8 · 20) : 4 = (8 : 4) · 20 = 2 · 20 = 40

данное выражение можно решить ещё так:

(8 · 20) : 4 = 8 · (20 : 4) = 8 · 5 = 40

Деление числа на произведение

Число можно разделить на произведение двумя способами:

1) Чтобы разделить какое-нибудь число на произведение, можно сначала вычислить значение произведения (выполнить умножение), а затем разделить число на полученный результат.

Например, чтобы найти значение выражения:

60 : (3 · 2)

можно сначала умножить 3 на 2:

3 · 2 = 6

и разделить 60 на полученный результат:

60 : 6 = 10, значит 60 : (3 · 2) = 60 : 6 = 10

Если число, которое нужно разделить на произведение, делится на каждый сомножитель, из которого состоит данное произведение, то можно воспользоваться вторым способом нахождения частного от деления числа на произведение.

2) Чтобы разделить какое-нибудь число на произведение, можно разделить это число на первый сомножитель, полученное частное разделить на второй сомножитель, это частное на третий и т. д.

Например, чтобы найти значение выражения:

120 : (5 · 3)

можно сначала разделить 120 на 5:

120 : 5 = 24

а теперь, полученное частное 24 разделить на 3

24 : 3 = 8, значит 120 : (5 · 3) = (120 : 5) : 3 = 24 : 3 = 8

Так как от перестановки множителей произведение не изменится, то множители можно поменять местами:

120 : (3 · 5)

и разделить 120 сначало на 3, а затем полученный результат разделить на 5:

120 : (3 · 5) = (120 : 3) : 5 = 40 : 5 = 8

получается, что не важно на какой множитель сначала делить число, результат будет одинаковым:

120 : (5 · 3) = (120 : 5) : 3 = 24 : 3 = 8

тоже самое, что и

120 : (5 · 3) = (120 : 3) : 5 = 40 : 5 = 8

Из данного примера можно сделать вывод, что значение частного не изменится от порядка выполнения действий.

Деление суммы на число

Сумму можно разделить на число двумя способами:

1) Чтобы разделить сумму на какое-нибудь число, можно сначала вычислить значение суммы (выполнить сложение) и полученный результат разделить.

Например, чтобы найти значение выражения:

(15 + 12) : 3

можно сначала сложить числа 15 и 12:

15 + 12 = 27

и полученную сумму разделить на 3:

27 : 3 = 9, значит (15 + 12) : 3 = 27 : 3 = 9

Если все слагаемые в записи суммы делятся на число, на которое надо разделить сумму, то можно воспользоваться вторым способом нахождения частного от деления суммы на число.

2) Чтобы разделить сумму на какое-нибудь число, можно разделить на это число каждое слагаемое отдельно и полученные частные сложить.

Например, чтобы найти значение выражения:

(42 + 28 + 70) : 7

можно каждое слагаемое разделить на число 7:

42 : 7 = 6, 28 : 7 = 4 и 70 : 7 = 10

и полученные частные (6, 4 и 10) сложить:

6 + 4 + 10 = 20, значит

(42 + 28 + 70) : 7 = 42 : 7 + 28 : 7 + 70 : 7 = 6 + 4 + 10 = 20

Деление разности на число

Разность можно разделить на число двумя способами:

1) Чтобы разделить разность на какое-нибудь число, можно сначала вычислить значение разности (выполнить вычитание) и полученный результат разделить.

Например, чтобы найти значение выражения:

(24 — 8) : 2

можно сначала вычесть из 24 число 8:

24 — 8 = 16

и полученную разность разделить на 2:

16 : 2 = 8, значит (24 — 8) : 2 = 16 : 2 = 8

Если и уменьшаемое и вычитаемое в записи разности делятся на число, на которое надо разделить разность, то можно воспользоваться вторым способом нахождения частного от деления разности на число.

2) Чтобы разделить разность на какое-нибудь число, можно разделить на это число отдельно уменьшаемое и вычитаемое, а потом из первого частного вычесть второе.

Например, чтобы найти значение выражения:

(42 — 28) : 7

можно отдельно уменьшаемое и вычитаемое разделить на число 7:

42 : 7 = 6, 28 : 7 = 4

и найти разность полученных частных:

6 — 4 = 2, значит (42 — 28) : 7 = 42 : 7 — 28 : 7 = 6 — 4 = 2

Общие формулы свойств деления

Все свойства деления можно представить в виде формул:

Распределительные свойства
(a + b) : c = a : c + b : c
(a — b) : c = a : c — b : c
(a · b) : c = (a : c) &middot b = (b : c) &middot a
a : (b &middot c) = (a : b) : c = (a : c) : b
Действия с единицей и нулём
a : 1 = a
a : a = 1
0 : a = 0 (a ≠ 0)
На нуль делить нельзя

Конспект к уроку математики в 5 классе на тему «Делимость суммы и произведения . Контрпример».

13.12(14.12) 

УРОК 69. Делимость суммы и произведения. Контрпример.

 Цель: закрепить теоретические сведения о делимости натуральных чисел;

Ход урока

1. Организационный момент.

Реши анаграмму и подумай над темой и целью урока

 II. Математическая разминка. 1) Делится ли произведение 8 ∙ 26 на 8, 4, 13, 16, 20?

2) Докажите, что произведение 12 ∙ 42 делится на 9.

3) Укажите несколько чисел, которые можно подставить вместо буквы b, чтобы произведение 14 ∙ b делилось на 6.

4) Делится ли сумма 50000 + 8000 + 700 + 20 на 10?

5) Подберите такие 3 числа, чтобы при подстановке каждого из них вместо буквы а сумма а + 72 была кратна 9.

6) Назовите 5 делителей разности 41 ∙ 7 – 17 ∙ 7.

!!! Проверка Д/З

4 Понятие контрпримера.

К контрпримерам прибегают не только в математике, но и в жизни. Вот пример вполне реальной ситуации.

Магомед получил за контрольную работу по математике двойку и сказал маме: «Эту контрольную написали плохо все». На это мама возразила: «Как мне известно, твой друг Али получил за эту контрольную работу пятерку».

 IV. Закрепление нового материала.

1)Приведите контрпример для утверждения

Опровергните утверждение:

а) Любой четырехугольник имеет прямой угол;

б)Число диагоналей выпуклого пятиугольника равно трем;

Работа с текстом: Опровергните утверждение:

Если при округлении числа получилось число с тремя нулями на конце, то округление выполнили до разряда тысяч.

Опровержение

Округлим число 7996 до разряда десятков: 7996 ≈ 8000.

2)Докажите, что значение данного выражения есть число составное:

а) 51² + 17;

б) 11 + 22² + 33³;

3) Не выполняя деления, докажите, что:

А)Число 358 не делится на 17;

Например выдвинуто утверждение «Все медведи являются бурыми». Для его опровержения мы формулируем противоречащее ему положение: «Некоторые медведи не являются бурыми». Затем находим в Арктике белого медведя и тем самым доказываем это положение, опровергая первоначальное утверждение.
Приведите свои подобные ситуации..

V. Итог урока.

Сформулируйте свойство: а) делимости произведения; б) делимости суммы; в) делимости разности.

 VI. Домашнее задание У: п 6.3;№№467,474,475



Делимость натуральных чисел — методическая рекомендация. Математика, 6 класс.

1.	Верно ли, что одно число будет делителем другого числа?	1 вид — рецептивный	лёгкое	1 Б.	Определяется, будет ли верным утверждение о том, что одно число будет делителем другого числа.
2.	Запиши все двузначные числа, кратные данному числу	1 вид — рецептивный	лёгкое	1 Б.	Предлагается записать все двузначные числа, кратные данному числу.
3.	Определи число, которому кратно произведение	1 вид — рецептивный	лёгкое	1 Б.	Предлагается определить число, которому кратно произведение.
4.	Возможно ли взять столько ложек?	2 вид — интерпретация	среднее	2 Б.	Предлагается узнать, возможно ли взять указанное количество ложек.
5.	Сократи дробь	2 вид — интерпретация	среднее	2 Б.	Требуется сократить дробь.
6.	Делимость суммы на число	2 вид — интерпретация	среднее	2 Б.	Предлагается текстовая задача, в ходе решения которой определяется возможность деления суммы на конкретное число.
7.	Выбери число, чтобы сумма или разность делились на какое-то число	2 вид — интерпретация	среднее	2 Б.	Предлагается выбрать число, которое нужно подставить вместо буквы, чтобы сумма или разность делились на какое-то конкретное число.
8.	Определи указанное число	3 вид — анализ	сложное	3 Б.	Требуется найти натуральное число, которое можно подставить вместо буквы, и преобразовать данное равенство в верное числовое равенство.
9.	Определи значение дроби	3 вид — анализ	сложное	3 Б.	Требуется определить натуральные значения дроби, подставляя вместо буквы определённые числа из данного интервала.
10.	Деление суммы чисел на данное число	3 вид — анализ	сложное	3 Б.	Предлагается выполнить действие деления суммы чисел на данное число (одно из слагаемых содержит и числовой, и буквенный множитель).
11.	Делимость произведения на выражение с переменной	3 вид — анализ	сложное	3 Б.	Предлагается выполнить действие деления произведения на выражение с переменной.