Калькулятор квадратных уравнений с решением онлайн

Что такое квадратное уравнение и как его решать

Уравнение вида ax² + bx + c = 0 называется квадратным.
Решить квадратное уравнение означает найти его корни, а миненно x₁ и x₂, либо установить, что корней нет.
Числа a, b, c — называются коэфициентами квадратного уравнения, где a ≠ 0.
Каждый коэфициент квадратного уравнения имеет название:
a — старший коэфициент
b — средний коэфициент
c — свободный член
Если коэфициент b или c или оба этих коэфициента равны нулю, то такое уравнение называется неполным.
Дискриминант квадратного уравнения D выражается следующей формулой D = b² — 4ac.
Прежде всего при решении квадратного уравнения необходимо найти его дискрименант.

Если D > 0, то уравнение имеет два действительных корня, которые можно найти по формуле:

Если D = 0, то корни квадратного уравнения равны, по сути уравнение имеет один корень

, например 9x²=0. При D = 0 необходимо воспользоваться формулой:

Если D , например, 5x² + 6x + 7 = 0, 20x² + 2x + 3 = 0. При D

Примеры решения квадратных уравнений

Пример 1

7x² + 14x — 3 = 0

Найдем дискриминант D квадратного уравнения 7x² + 14x — 3 = 0.
В данном уравнении a = 7; b = 14; c = -3, тогда
D = b² — 4ac = 14² — 4 · 7 · (-3) = 280

Дискриминант уравнения больше нуля, следовательно, уравнение имеет два корня.
При D > 0 корни x₁ и x₂ квадратного уравнения ax² + bx + c = 0 находятся по формуле

Подставим значения дискриминанта D, b и a в уравнения и найдем x₁ и x₂

ОТВЕТ

---

Пример 2

35x² — 47x = 0

Найдем дискриминант D квадратного уравнения 35x² — 47x = 0.
В данном уравнении a = 35; b = -47; c = 0, тогда
D = b² — 4ac = (-47)² — 4 · 35 · 0 = 2209

Дискриминант уравнения больше нуля, следовательно, уравнение имеет два корня.
При D > 0 корни x₁ и x₂ квадратного уравнения ax² + bx + c = 0 находятся по формуле

Подставим значения дискриминанта D, b и a в уравнения и найдем x₁ и x₂

ОТВЕТ

---

Пример 3

35x² + x + 9 = 0

Найдем дискриминант D квадратного уравнения 35x² + x + 9 = 0.
В данном уравнении a = 35; b = 1; c = 9, тогда
D = b² — 4ac = 1² — 4 · 35 · 9 = -1259

Дискриминант меньше нуля, следовательно, уравнение не имеет действительных корней. Корнями уравнения могут быть только комплексные числа.
При D < 0 корни x₁ и x₂ квадратного уравнения ax² + bx + c = 0 находятся по формуле

Подставим значения дискриминанта D, b и a в уравнения и найдем x

1 и x₂

ОТВЕТ

-17.5 + (620.941824972356)i

-17.5 — (620.941824972356)i

---

Пример 4

x² + x — 6 = 0

Найдем дискриминант D квадратного уравнения x² + x — 6 = 0.
В данном уравнении a = 1; b = 1; c = -6, тогда
D = b² — 4ac = 1² — 4 · 1 · (-6) = 25

Дискриминант уравнения больше нуля, следовательно, уравнение имеет два корня.
При D > 0 корни x₁ и x₂ квадратного уравнения ax² + bx + c = 0 находятся по формуле

Подставим значения дискриминанта D, b и a в уравнения и найдем x₁ и x₂

ОТВЕТ

matematika-club.ru

Дискриминант квадратного уравнения

Дискриминант уравнения дает представление о количестве корней и характера корней уравнения.

Термин образован от лат. discrimino — «разбираю», «различаю»

Дискриминант равен нулю тогда и только тогда, когда многочлен имеет кратные корни.

Дискриминант является симметрическим многочленом относительно корней многочлена и поэтому является многочленом от его коэффициентов; более того, коэффициенты этого многочлена целые независимо от расширения, в котором берутся корни

Онлайн калькулятор для расчета дискриминанта квадратного уравнения. С помощью данного инструмента Вы быстро вычислите дискриминант квадратного уравнения онлайн.

Формула Дискриминанта:

Δ = b² − 4 × a × c

где,

• Δ = Значение Дискриминанта
• a = Коэффициент x²
• b = Коэффициент x
• c = Константа

Пример вычисления Дискриминанта

Найдите значение дискриминанта данного квадратного уравнения 10x² + 21x — 10 = 0

Получаем,

• Коэффициент x² (a) = 10
• Коэффициент x (b) = 21
• Константа = -10

Решение,
Дискриминант (Δ)

• Δ= b² − 4 X a X c
• Δ = 21² − 4 X 10 X (-10)
• Δ = 441 + 400
• Δ = 841

В вашем браузере отключен Javascript.
Чтобы произвести расчеты, необходимо разрешить элементы ActiveX!

Не можешь написать работу сам?

Доверь её нашим специалистам

от 100 р.стоимость заказа

2 часа

мин. срок

Узнать стоимость

calcsbox.com

Решение квадратных уравнений онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора можно найти решение (корни) квадратного уравнения. Дается подробное решение с пояснениями. Для нахождения решений квадратного уравнения введите коэффициенты уравнения и нажмите на кнопку «Решить». Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.

Очистить все ячейки?

Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.

 

Корни квадратного уравнения − теория примеры и решения

Квадратным уравнением называется уравнение следующего вида:

где x−переменная, а a, b, c некоторые числа (a≠0). Числа a, b, c называются коэффициентами квадратного уравнения. Коэффицинт c называется свободным членом.

Если a=1, то квадратное уравнение называется приведенным. Заметим, что любое квадратное уравнение можно привести к приведенному виду, разделив обе части уравнения на a. Действительно:

Если в квадратном уравнении (1) один из коэффициентов b, c равен нулю или оба коэффициента b, c равны нулю, то квадратное уравнение называется неполным.

Рассмотрим разные виды неполных квадратных уравнений.

1. При b=0 имеем:

Для решения этого уравнения свободный член перенесем в правую часть уравнения:

Решая последнее уравнение относительно x получим корни квадратного уравнения (3):

Если , то квадратное уравнение не имеет действительных корней.

2. При c=0 имеем:

Разложим левую часть последнего уравнения на множители:

Из (4) следует x=0 или ax+b=0. Следовательно имеем следующие решения:

3. При b=0, c=0 имеем:

и, следовательно

Рассмотрим, далее, алгоритм решения квадратных уравнений общего вида (1). Разделим обе части уравнения на a:

Сделаем эквивалентные преобразования уравнения (5):

Легко догадаться, что первые три слагаемые уравнения (6) образуют квадрат следующей суммы:

Тогда

Обозначим

D− называется дискриминантом квадратного уравнения (1). Так как a≠0, то 4a²>0. Знак правой части уравнения (7) определяется знаком дискриминанта

D.

Учитывая (8) запишем (7) в следующем виде:

При решении последнего уравнения возможны следующие варианты:

1. При D>0, имеем

Таким образом, при D>0, квадратное уравнение (1) имеет две корни:

2.При D=0, имеем

То есть, при D=0 квадратное уравнение (1) имеет единственный корень:

3. При D<0, правая часть уравнения (9) отрицательна, а так как квадрат числа не может быть отрицательным числом, то квадратное уравнение (1) не имеет корней.

Пример 1. Решить квадратное уравнение

.

(10)

Решение. Запишем коэффициенты квадратного уравнения (10):

Вычислим дискриминант квадратного уравнения:

.

Дискриминант положительное число. Следовательно квадратное уравнение (10) имеет два решения.

Найдем решение квадратного уравнения используя следующую формулу:

.

(11)

Подставляя значения коэффициентов a, b, c, D в (11), получим:

,

.

Ответ:

Пример 2. Решить следующее квадратное уравнение:

.

(12)

Решение. Запишем коэффициенты квадратного уравнения (12):

Вычислим дискриминант квадратного уравнения:

.

Дискриминант равен нулю. Следовательно квадратное уравнение (12) имеет единственное решение. Найдем решение квадратного уравнения используя следующую формулу:

.

(13)

Подставляя значения коэффициентов a, b, c, D в (13), получим:

,

Ответ:

.

Пример 3. Решить следующее квадратное уравнение:

.

(14)

Решение. Запишем коэффициенты квадратного уравнения (14):

Вычислим дискриминант квадратного уравнения:

.

Дискриминант отрицательное число. Следовательно квадратное уравнение (14) не имеет действительных корней.

Ответ: Квадратное уравнение не имеет действительных корней.

matworld.ru

Решить квадратное уравнение онлайн

Для решения квадратного уравнения онлайн введите коэффициенты квадратного уравнения.

Вводить можно числа: десятичные и обыкновенные дроби, и переменные. Например: 2 или 1/3 или 1.2 или -1/4 или 7a (содержит параметр) и т.д.

x² + x + = 0

Решить уравнение

Данный калькулятор по решению квадратных уравнений онлайн взят с сайта Mathforyou.net. Все права на его использование принадлежат владельцу!

Воспользуйтесь также:
Инженерный калькулятор (он позволяет решать в том числе и квадратные уравнения)

Решение квадратного уравнения онлайн

Квадратные уравнения

Квадратное уравнение — это уравнение вида: ax^2 + bx + с = 0, где a не равно 0.

Решить квадратное уравнение означает найти все значения x_i, при которых будет выполняться равенство ax_{i}^2 + bx_{i} + с = 0.

Для решения квадратного уравнения необходимо посчитать дискриминант многочлена

D = b^2 — 4ac

Если D > 0, то уравнение имеет два различных вещественных корня.
Если D = 0, то уравнение имеет один корень (x₁ = x₂).
Если D решения квадратного уравнения) находятся по формуле:

D = \frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}

Если в вашем квадратном уравнении есть знаки вычитания, то перед соответствующими коэффициентами в онлайн калькуляторе нужно поставить знак минус («-«), если отсутствует один из членов уравнения, то рядом с отсутствующим слагаемым поставьте коэффициент ноль («0»). Также вы можете получить ответ, зависящий от параметра (неизвестной). То есть коэффициенты в уравнении могут содержать переменные, которые обозначаются латинскими буквами

matematikam.ru