Доказательство от противного примеры 7 класс – Доказательство от противного

Метод доказательства "от противного" при изучении темы "Параллельные прямые"

Одной из важнейших задач, которую ставит перед собой учитель математики, начиная курс геометрии – научить ребят доказывать теоремы. Задача сколь важная, столь и сложная. Без кропотливой работы на каждой уроке, без использования наглядных средств, памяток, выполнения разнообразных упражнений эту задачу не решить.

Одним из наиболее сложных методов доказательства является метод «от противного».

Этот метод доказательства основан на логическом приеме апагогии (греч. лат. deductio), когда несостоятельность какого-нибудь мнения доказывается таким образом, что или в нём самом, или же в необходимо из него вытекающих следствиях мы открываем противоречие.

Важно также вспомнить, что выполняется закон исключенного третьего. Суть его легко объяснить на простейших бытовых примерах: третье не существует, т. е., что кроме мнения, справедливость которого нужно доказать, и второго, ему противоположного, которое служит исходным пунктом доказательства, никакой третий факт не допускается.

Еще одной сложностью при работе над доказательством является то, что ученику приходится опираться только на логические выводы – чертеж ему помочь не может. Для школьников, привыкших работать со схемами, где все наглядно и понятно, и зачастую полностью опираться на чертеж при доказательстве, такая работа очень трудна.

Хотя с методом доказательство «от противного» ученики знакомятся довольно рано (при доказательстве теоремы о двух прямых, перпендикулярных третьей), редко кто из ребят схватывает суть доказательства. Наиболее эффективно, по нашему мнению начать работу над этим методом при рассмотрении темы «Параллельные прямые».

Ход урока

Подготовительный этап.

На этом этапе важно научить школьников строить отрицания утверждений.

Пример 1. Постройте отрицание следующих утверждений:

  1. Прямая а параллельная прямой b.
  2. Прямая a пересекает прямую b.
  3. Прямая а пересекает прямую b и прямую c.
  4. Прямая а параллельна прямой b и прямой c.
  5. Прямая а пересекает прямую а или прямую b или прямую с (вариант : Прямая а пересекает одну из прямых b или с).
  6. Прямая а параллельна прямой b или прямой с (вариант : Прямая а параллельна одной из прямых b или с).

Этап знакомства с методом доказательства «от противного».

На уроке по теме «Аксиома параллельных прямых» учащиеся знакомятся с аксиомой параллельных прямых и доказательством следствий из нее.

Перед проведением доказательства полезно раздать учащимся следующие схемы:

Формулировка:                
Дано:  
Доказательство:  
1) Выясняем, что нужно доказать:  
2) Предполагаем противоположное:  
3) Рассуждаем:  
4) Приходим к противоречию:  
5) Отрицаем предположение как неверное:
 
6) По закону исключенного третьего:  

Далее учащиеся получают доказательства следствий, разделенное на этапы – каждый этап на отдельной карточке. Задача учащихся – собрать доказательство в логическую последовательность, используя схему.

Вот как это выглядит:

Формулировка: Следствие 1. Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую прямую.
Дано: a ║ b
c ∩ a = M
Доказать: c ∩ b
Доказательство:
1) Выясняем, что нужно доказать: Прямая с пересекает прямую b
2) Предполагаем противоположное:
Прямая с не пересекает прямую b
3) Рассуждаем: Прямая с параллельна прямой b.Прямая а и прямая b параллельны по условию.Через точку M проходят две прямые а и с, параллельные прямой b.
4) Приходим к противоречию: По аксиоме параллельных прямых через точку М может проходить только одна прямая, параллельная прямой b.
5) Отрицаем предположение как неверное: Предположение, что с не пересекает b – неверно.
6) По закону исключенного третьего: Значит с пересекает b.

Формулировка: Следствие 2. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны друг другу.
Дано:
a ║ с
b ║ с
Доказать: a ║ b
Доказательство:  
1) Выясняем, что нужно доказать: Прямая a параллельная прямой b.
2) Предполагаем противоположное: Прямая a не параллельная прямой b.
3) Рассуждаем: Прямая а пересекает прямую b точке M.Прямая а и прямая с параллельны по условию.Прямая b и прямая с параллельны по условию.Через точку M проходят две прямые a и b, параллельные прямой с.
4) Приходим к противоречию: По аксиоме параллельных прямых через точку М может проходить только одна прямая, параллельная прямой с.
5) Отрицаем предположение как неверное:
Предположение, что а не параллельная прямой b – неверно.
6) По закону исключенного третьего: Значит а параллельна b.

Замечания:

  1. Этап рассуждений является самым трудным. Первоначально его можно включить в карточку целиком, а впоследствии усложнить задачу, разрезав на отдельные этапы.
  2. При доказательству нужно стараться поменьше использовать условных обозначений, по крайней мере, на этапе знакомства с методом.
  3. Старайтесь не использовать чертеж – он учащихся, как правило, только запутывает.

Удобство и эффективность работы с такими карточками несомненна: они пригодны и для повторения, и для контроля, и для самоконтроля при работе над доказательством.

В качестве упражнений можно предложить учащимся доказать методом «от противного» следующие факты:

  1. Если прямая параллельна одной из сторон угла, то она пересекает другую сторону (прямую, содержащую другую сторону).
  2. Если прямая пересекает одну из сторон треугольника, то она обязательно пересекает одну из оставшихся сторон (вариант: если прямая параллельная одной из сторон треугольника, то она пересекает прямые, содержащие две другие стороны треугольника).

Этап закрепления.

После изучения темы «Свойства углов, образованных при пересечении параллельных прямых секущей», можно предложить учащимся выполнить следующие задания.

Методом доказательства «от противного» докажите:

  1. Если прямые параллельны, то внутренние односторонние углы, образованные при пересечении этих прямых секущей, не могут быть оба тупыми (вариант: Если прямые параллельны, то все углы, образованные при пересечении этих прямых секущей, не могут быть тупыми).
  2. Если прямые параллельны, то внутренние односторонние углы, образованные при пересечении этих прямых секущей, не могут быть оба острыми (вариант: Если прямые параллельны, то все углы, образованные при пересечении этих прямых секущей, не могут быть острыми).

После изучения темы «Сумма углов треугольника», можно предложить учащимся выполнить следующие задания.

Методом доказательства «от противного» докажите:

  1. В треугольнике не может быть два тупых угла.
  2. В треугольнике не может быть два прямых угла.
  3. В равнобедренном треугольнике угол при основании не может быть тупым.

Включая задания на доказательство методом «от противного» в различные темы школьного курса геометрии, учитель способствует развитию логической мышления школьников и математической культуры своих учеников.

urok.1sept.ru

Доказательство от противного — ТолВИКИ

Урок можно начать с рассказа учителя.

Ващенко Н.М., на урокеВ Древней Греции всех ораторов учили геометрии. На дверях школы было написано: «Не знающий геометрии, да не войдет сюда». Почему? Да потому, что геометрия учит доказывать. А речь человека убедительна только тогда, когда он доказывает свои выводы. В своих рассуждениях люди часто пользуются способом доказательства, который называется "от противного".

Приведем примеры таких доказательств.

Пример 1. Разведчики получили задание: выяснить, находится ли в данном селе танковая колонна противника. Командир разведки докладывает: если бы в селе была танковая колонна, го тогда бы были следы гусениц, а их мы не обнаружили.

Схема рассуждений. Требуется доказать: нет колонны. Предположим, есть колонна. Тогда должны быть следы. Противоречие — следов нет. Вывод: предположение неверно, значит, танковой колонны нет.

Пример 2. Врач после осмотра больного ребенка говорит:

«У ребенка нет кори. Если бы у него была корь, то тогда была бы сыпь на теле, но сыпи нет».

Рассуждения врача тоже выполнялись по указанной выше схеме.

Задается вопрос: «В чем же сущность способа доказательства от противного?»— и вывешивается таблица (табл. 5).

Способом от противного можно решить уже известные до этого задачи.

1. Дано: а||b, прямые с и а пересекаются. Докажите: прямые с и b пересекаются.

Доказательство.

1) Предположим, что b||с.

2) Тогда получается, что через точку О (точка пересечения прямых а и с) проходят две различные прямые а и b, которые параллельны прямой b.

3) Это противоречит аксиоме параллельных прямых.

Вывод: значит, наше предположение неверно, а верно то, что и требовалось доказать, т. е. что прямые бис пересекаются.


2. Дано: A, В, С — точки прямой а, АВ = 5 см, АС = 2 см, ВС = 7 см. Докажите: точка С не лежит между точками А и В.

Доказательство.

1) Предположим, что точка С лежит между точками А и В.

2) Тогда по аксиоме измерения отрезков АВ = АС + СВА

3) Это противоречит условию: АВ = АС + СВ, так как АВ = 5 см, АС+ С5 = 9 см.


Вывод: точка С не лежит между точками А и В.


3. Дано: АВ — полупрямая, С АВ, АС < АВ. Докажите: точка В не лежит между точками А и С.

Доказательство.

1) Предположим, что точка В лежит между точками А и С.

2) Тогда по аксиоме измерения отрезков АВ + ВС = АС, т. е. AB<AC.

3) Это противоречит условию задачи: АС<АВ.

Вывод: точка В не лежит между точками А и С.

Решение задач оформляется в тетрадях. Для усвоения учащимися сущности способа доказательства от противного, а также с целью экономии времени при решении задач можно использовать карточки-подсказки, которые сделаны из плотной бумаги и вставлены в полиэтиленовые мешочки. Ученик должен на полиэтиленовой пленке заполнить пропущенные места. Записи на пленке легко стираются, и поэтому карточки можно использовать неоднократно.

Карточка имеет вид:

Предположим противоположное тому, что требуется доказать, т.е.

Из предположения следует, что (на основании ……

Получаем противоречие с.

Значит, наше предположение неверно, а верно то, что требовалось доказать, т.е.

Задание на дом:

п. «Доказательство от противного» § 2 до слов: «Поясним это...».

1. Докажите, что если MN = 8 м, МК = 5 м, NK— 10 м, то точки М, N и К не лежат на одной прямой.

2. Докажите, что если <(ab) = 100°, <(be) — 120°, то луч с не проходит между сторонами угла (ab).

3. Докажите теорему 1.1 способом от противного.

wiki.tgl.net.ru

План-конспект урока по геометрии (7 класс) на тему: Урок геометрии по теме "Метод от противного"

  1. Подготовка к введению нового материала

1)Вводное слово учителя.

 «Здравствуй, ребята! Садитесь. Сегодня на уроке мы познакомимся с методом доказательства от противного и научимся применять его при решении задач.

 В Древней Греции всех ораторов учили геометрии. На дверях школы написано6 «Не знающий геометрии, да не войдет сюда». Это объясняется тем, что геометрия учит рассуждать и доказывать. Речь человека убедительна, когда он доказывает свои выводы. Считается, что первыми стали применять доказательство древние греки (6 в до н.э.). Фалес из Милет первым начал «игру» в «Докажи», которая продолжается уже 2,5 тысячелетия и конца которой не видно. Например, египтяне, передавая знания ученику, говорили: «Делай, как делается.» А Фалес поставил вопрос «Почему это так?» и стал не только наблюдать различные свойства геометрических фигур, но и выводить одни свойства из других.

Сейчас вы посмотрите сценку из жизни ребят нашего класса и подумайте каким методом рассуждения пользовалась Катя?»

2) Сценка «Как Сережа теорему доказывал»

Ведущий: Как-то раз мама и Сережина сестра Катя ушли в гости. Сережа, чтобы не скучать достал с верхней полки увлекательные истории о Шерлоке Холмсе. Доставая книгу, Сережа нечаянно смахнул вазочку, которая разбилась, настроение было омрачено, но он решив не расстраиваться, смел черепки и устроился с книгой. Едва открыв книгу, Сережа с головой погрузился в мир загадочных преступлений. К действительности его вернул возмущенный голос Кати.

Катя: Мама, посмотри, Сережа вазочку разбил, которую я тебе подарила.

Сережа: А ты видела? Докажи, что это я сделал!

Катя: Что же тут доказывать? Дома были только ты и Дружок. Допустим, что не ты разбил, тогда значит, разбил Дружок. Но не станешь же ты утверждать, что Дружок смог добраться до верхней полки? Он же собака, а не кошка. Значит, вазочку разбил ты, больше некому.

Сережа: Да, с тобой не поспоришь, логика как у Шерлока Холмса: вазочку действительно разбил я. Пойду к Мише, спрошу, что задано по геометрии.(идет к Мише) Миша, что нам задано по геометрии?

Миша: Теорема «Две прямые либо не пересекаются, либо пресекаются в одной точке». Я уже выучил!

Ведущий: Чтение учебника геометрии, которую мальчики начали изучать, казалось Сереже делом трудным и скучным, он подумал и попросил Мишу.

Сережа: Расскажи, пожалуйста, ее доказательство.

Миша: Пожалуйста! Допустим, что утверждение теоремы неверно, тогда…

Сережа: Постой, постой, дальше я сам. Пусть прямые пересекаются в двух точках. Но тогда через эти бы точки проходили бы две прямые, но мы уже знаем, что через две точки проходит только одна прямая. Значит, наше предположение неверно.

Следовательно, прямые либо не пересекаются, либо пересекаются в одной точке.

Миша: Молодец! Где это ты так «натаскался»?

Сережа: Именно «натаскался». Только что Катя таким же способом доказала, что вазочку разбил я, а не собака.

Миша: Причем тут вазочка и собака?

Учитель: «Вы услышали каким методом рассуждения пользовалась Катя?(ответ учащихся) Ребята, вы, молодцы! Вы путем правильного рассуждения пришли к этому выводу. В своих рассуждениях Катя воспользовалась способом доказательства, который в математике называется доказательством от противного или от противоположного.

Суть этого метода: рассуждение проводится от предположения, противоположное тому, которое требуется доказать.

А сейчас мы попытаемся проверить наши выводы. Ваша задача подобрать противоположное услышанному.»

3) Игра

Толстый -….                Горячий-….

Голодный-….             Медленный-….

Учитель: Как называют эти слова в русском языке? Продолжим.  

Принадлежит-…         Лежит между-….

Пересекаются-….       Разделяет-…..

«Итак, ребята, я убедилась, что вы правильно понимаете значение противоположности. А теперь перейдем к решению задач по методу доказательства от противного. Вновь обратимся к сценке. Ребята, я буду задавать вам вопросы, а вы постарайтесь ответить коротко, одной фразой.»

  1. Объяснение нового материала.

«Что требовалось доказать Кате?»

«Что должны предположить?»

«А теперь рассуждаем!»

«Какое же противоречие возникает?»

«Какой вывод можно сделать?»

«Ребята, а ведь мы с вами самостоятельно составили алгоритм решения задач методом доказательства от противного. Вот он!

ДОКАЗАТЬ

ПРЕДПОЛОЖЕНИЕ

РАССУЖДЕНИЕ

ПРОТИВОРЕЧИЕ

ВЫВОД

(в виде таблице на доске)

«Из скольких этапов он состоит?

Ребята, все это мы делаем для того, чтобы мы смогли решать геометрические задачи этим методом. Решим вместе устно одну геометрическую задачу по алгоритму»

Задача. Сумма углов 1 и 2 равна 156°. Доказать, что углы 1 и 2 не смежные.

«Применим алгоритм решения задачи.

Предположение: углы 1 и 2 смежные

Рассуждение: сумма углов 1 и 2 равна 180°

Противоречие: по условию сумма

                             углов 1 и 2 равна 156°

Вывод: предположение неверно,

               углы 1 и 2 не смежные

  1. Закрепление изучаемого материала.

«А сейчас вы будите работать в парах, решать геометрические задачи по алгоритму на одном листе»

1 группа. Сумма двух углов 160°. Докажите,

                  что эти углы не могут быть

                 смежными.

2 группа. Разность двух углов 10°.

                 Докажите, что эти углы не могут

                 быть вертикальными

3 группа. Докажите, что если прямая

                  пересекает одну из параллельных                  

                  прямых, то она пересекает и                

                  другую.

«Поменяйтесь работами и проверьте работы друг друга в группах. Попытайтесь их оценить!»

«Чему вы научились? (ответ учащихся). Вот одна ученица поэтому поводу написала стихотворение, где она выразила свое понимание и отношение к этой теме:

Чтобы в речи убедительным

И логичным быть,

Вам метод от противного

Надо уяснить.

Следует подумать и загадать

Противоположное тому,

Что надо доказать.

И если мы, порассуждав,

Найдем противоречие

То и доказывать

Будет уже нечего.

  1. Итог урока
  1. Что нового вы сегодня узнали на уроке?
  2. Что показалось вам особенно интересным?
  3. Чем бы вы хотели заняться на следующем уроке?
  1. Задание на дом.

1 группа. Разность двух углов 20°.

                 Докажите, что эти углы не могут  

                 быть вертикальными.

2 группа. Докажите, что если угол между

                  прямыми a и b равен 100°, угол

                  между прямыми b и c равен 120°,

                  то луч с не проходит между

                 сторонами угла между прямыми

                 a и b.

3 группа. Составить жизненную ситуацию,

                  которую можно было бы решить,

                  применив этот метод, а может

                  кто-то сочинит стихотворение на                    

                  эту тему.

Всем. Выучить алгоритм.

Сосредоточенно слушаю все

Учащиеся отвечают, что это метод доказательства от противного

Учащиеся отвечают: «Антонимы»

                    Учащиеся отвечают на вопросы

Сережа разбил вазу

Не Сережа разбил вазу

Вазу разбил Дружок

 (развитие у уч-ся составление структуры)

Дружок не может залезть на верхнюю полку

Предположение неверно, вазу разбил Сережа

(у уч-ся развито понятийно-логическое мышление)

Показать другим образец размышления

Учащиеся отвечают: из пяти

Учащиеся принимают участие в решении задачи

Учащиеся работаю в парах, разного уровня усвоения

Решают с помощью учителя, но без комментария вслух

Решают самостоятельно, с комментарием вслух (развитие самостоятельности мышления, закрепление логическо-понятийного мышления)

Решают самостоятельно, с комментарием вслух (закрепление логическо-понятийного мышления, самостоятельности, активности и волевого самоконтроля)

Учащиеся работают в группах, оценивают друг друга

Отвечают: «Решению задач методом доказательства от противного»

Учащиеся отвечают на вопросы и записывают домашнее задание

nsportal.ru

прямое, обратное, от противного. Метод математической индукции.

Занятие рассчитано на 2академ. часа.

Цель: изучить различные методы доказательств (прямое рассуждение, метод «от противного» и обратное рассуждение), иллюстрирующие методологию рассуждений. Рассмотреть метод математической индукции.

Теоретический материал Методы доказательств

При доказательстве теорем применяется логическая аргументация. Доказательства в информатике  неотъемлемая часть проверки корректности алгоритмов. Необходимость доказательства возникает, когда нам нужно установить истинность высказывания вида (АВ). Существует несколько стандартных типов доказательств, включающих следующие:

  1. Прямое рассуждение (доказательство).

Предполагаем, что высказывание А истинно и показываем справедливость В. Такой способ доказательства исключает ситуацию, когда A истинно, a B  ложно, поскольку именно в этом и только в этом случае импликация (АВ) принимает ложное значение (см. табл).

Таким образом, прямое доказательство идет от рассмотрения аргументов к доказательству тезиса, т. е. истинность тезиса непосредственно обосновывается аргументами. Схема этого доказательства такая: из данных аргументов (а, b, с, ...) необходимо следует доказываемый тезис q.

По этому типу проводятся доказательства в судебной практике, в науке, в полемике, в сочинениях школьников, при изложении материала учителем и т. д.

Примеры:

1. Учитель на уроке при прямом доказательстве тезиса “Народ  творец истории”, показывает; во-первых, что народ является соз­дателем материальных благ, во-вторых, обосновывает огромную роль народных масс в политике, разъясняет, как в современную эпоху народ ведет активную борьбу за мир и демократию, в-треть­их, раскрывает его большую роль в создании духовной культуры.

2. На уроках химии прямое доказательство о горючести сахара может быть представлено в форме категорического силлогизма: Все углеводы - горючи. Сахар - углевод. Сахар горюч.

В современном журнале мод “Бурда” тезис “Зависть - ко­рень всех зол” обосновывается с помощью прямого доказатель­ства следующими аргументами: “Зависть не только отравляет людям повседневную жизнь, но может привести и к более серь­езным последствиям, поэтому наряду с ревностью, злобой и ненавистью, несомненно, относится к самым плохим чертам характера. Подкравшись незаметно, зависть ранит больно и глубоко. Че­ловек завидует благополучию других, мучается от сознания того, что кому-то больше повезло”'.

2. Обратное рассуждение (доказательство). Предполагаем, что высказывание В ложно и показываем ошибочность А. То есть, фактически, прямым способом проверяем истинность импликации ((не В)(не А)), что согласно таблицы, логически эквивалентно истинности исходного утверждения (АВ).

3. Метод «от противного».

Этот метод часто используется в математике. Пусть а - тезис или теорема, которую надо доказать. Предполагаем от противного, что а ложно, т. е. истинно не-а (или ). Из допущениявыводим следствия, которые противоречат действительности или ранее доказанным теоремам. Имеем, при этом- ложно, значит, истинно его отрицание, т.е. , которое по закону двузначной классической логики (а) дает а. Значит, истинно а, что и требовалось доказать.

Примеров доказательства “от противного” очень много в школьном курсе математики. Так, пример, доказывается теорема о том, что из точки, лежащей вне прямой, на эту прямую можно опустить лишь один перпендикуляр. Методом “от противного” доказывается и следующая теорема: “Если две прямые перпендикулярны к одной и той же плоскости, то они параллельны”. Доказательство этой теоремы пpямо начинается словами: “Предположим противное, т. е. что прямые АВ и CD не параллельны”.

studfile.net

Презентация к уроку "Метод доказательства от противного. Признаки параллельности прямых.

Метод доказательства от противного  Признак параллельности прямых   Урок изучения нового материала

Метод доказательства от противного Признак параллельности прямых

Урок изучения нового материала

Девиз урока:  «Всё вокруг - геометрия»  Ле Корбюзье

Девиз урока: «Всё вокруг - геометрия» Ле Корбюзье

Девиз урока:  «Всё вокруг - геометрия»  Ле Корбюзье Параллельные прямые  Примеры из окружающего нас мира

Параллельные прямые Примеры из окружающего нас мира

Являются ли параллельными прямые? Как это проверить?

Являются ли параллельными прямые? Как это проверить?

Способ доказательства от противного.   1.  Делается предположение, противное тому, что требуется доказать. 2.  Выясняется, что следует из сделанного предположения на основании известных теорем, аксиом, определений и условия задачи. 3.  Устанавливается противоречие между тем, что утверждается в одном предложении, и его отрицании в другом. 4.  Делается вывод: предположение неверно, а верно то, что требовалось доказать.

Способ доказательства от противного.

  • 1. Делается предположение, противное тому, что требуется доказать.
  • 2. Выясняется, что следует из сделанного предположения на основании известных теорем, аксиом, определений и условия задачи.
  • 3. Устанавливается противоречие между тем, что утверждается в одном предложении, и его отрицании в другом.
  • 4. Делается вывод: предположение неверно, а верно то, что требовалось доказать.
Признаки параллельности двух прямых Две прямые параллельны , если они с секущей образуют равные накрест лежащие углы.  a   1    b 2   c

Признаки параллельности двух прямых

  • Две прямые параллельны , если они с секущей образуют равные накрест лежащие углы.

a

1

b 2

c

Две прямые параллельны, если они с секущей образуют равные соответственные углы. Две прямые параллельны, если они с секущей образуют внутренние односторонние углы, сумма которых равна 180˚ Две прямые, перпендикулярные к третьей прямой, параллельны
  • Две прямые параллельны, если они с секущей образуют равные соответственные углы.
  • Две прямые параллельны, если они с секущей образуют внутренние односторонние углы, сумма которых равна 180˚
  • Две прямые, перпендикулярные к третьей прямой, параллельны
АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НА ПРИЗНАКИ ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ ПРЯМЫХ Найти ситуацию «две прямые пересечены секущей»  Найти накрест лежащие,  соответственные, односторонние углы Применить признак параллельности  прямых

АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НА ПРИЗНАКИ ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ ПРЯМЫХ

  • Найти ситуацию «две прямые пересечены секущей»
  • Найти накрест лежащие,

соответственные, односторонние углы

  • Применить признак параллельности

прямых

Задача Параллельны ли прямые а и в ? к Решение: 1. Так как угол 3 и угол 2 – смежные, то их сумма равна 180˚. (свойство смежных углов. Значит, угол 2 равен 180˚- ˚141˚ = 39 ˚. 2. Так как угол 1 равен углу 2 (а они внутренние накрест лежащие), значит а║в – по признаку параллельности прямых. Ответ: параллельны. а 1 39˚ в 2  3 141˚

Задача

Параллельны ли прямые а и в ?

к

Решение:

1. Так как угол 3 и угол 2 – смежные, то их сумма равна 180˚. (свойство смежных углов. Значит, угол 2 равен

180˚- ˚141˚ = 39 ˚.

2. Так как угол 1 равен углу 2 (а они внутренние накрест лежащие), значит а║в – по признаку параллельности прямых.

Ответ: параллельны.

а

1

39˚

в

2

3 141˚

Являются ли прямые а и в параллельными? № 1 № 2 а а а а а 55 0 55 0 55 0 55 0 95 0 в 55 0 55 0 55 0 55 0 95 0 в в в в с с

Являются ли прямые а и в параллельными?

1

2

а

а

а

а

а

55 0

55 0

55 0

55 0

95 0

в

55 0

55 0

55 0

55 0

95 0

в

в

в

в

с

с

Являются ли прямые а и в параллельными? № 3 № 4 а 105 0 50 0 65 0 в  1 100 0 а с в с

Являются ли прямые а и в параллельными?

3

4

а

105 0

50 0

65 0

в

1

100 0

а

с

в

с

Являются ли прямые а и в параллельными? № 5 № 6 с 135 о 1 в 2 45 0 с в а а

Являются ли прямые а и в параллельными?

5

6

с

135 о

1

в

2

45 0

с

в

а

а

Задача 7 B C D A Укажите параллельные прямые

Задача 7

B

C

D

A

Укажите параллельные

прямые

Задача 8 а 1 3 4 b 2 c Доказать: a

Задача 8

а

1

3

4

b

2

c

Доказать: a || b

Являются ли параллельными прямые? Как это проверить?

Являются ли параллельными прямые? Как это проверить?

Домашнее задание Рассмотреть ситуацию из обыденной жизни, где используется метод доказательства от противного (по желанию) §6. стр.47,теорема №3, следствие из теоремы стр.49 – выучить, теорема 4, 5 – прочитать. № 173 (а,б), № 174 (а,б).

Домашнее задание

  • Рассмотреть ситуацию из обыденной жизни, где используется метод доказательства от противного (по желанию)
  • §6. стр.47,теорема №3, следствие из теоремы стр.49 – выучить, теорема 4, 5 – прочитать.
  • № 173 (а,б), № 174 (а,б).
Дополнительное задание Из точек А и В, лежащих по одну сторону от прямой, проведены перпендикуляры АС и ВD к этой прямой,  0. Найдите

Дополнительное задание

Из точек А и В, лежащих по одну сторону от прямой, проведены перпендикуляры АС и ВD к этой прямой, 0. Найдите

«Знатоки теории» Сформулируйте аксиому измерения отрезков 1 5 Сформулируйте аксиому измерения углов 4 3 Сформулируйте определение перпендикулярных прямых. 2 Какие утверждения называются аксиомами? Приведите примеры аксиом. Как называются прямые, имеющие одну общую точку? Сколько прямых можно провести через две точки? Сформулируйте свойство смежных углов Что такое теорема? Какие две прямые называются параллельными? 8 Сформулируйте I признак параллельности двух прямых 9 7 10 6

«Знатоки теории»

Сформулируйте аксиому измерения отрезков

1

5

Сформулируйте

аксиому измерения углов

4

3

Сформулируйте определение перпендикулярных прямых.

2

Какие утверждения называются аксиомами? Приведите примеры аксиом.

Как называются

прямые, имеющие одну общую точку?

Сколько прямых можно провести через две точки?

Сформулируйте

свойство смежных углов

Что такое теорема?

Какие две прямые называются параллельными?

8

Сформулируйте I признак параллельности двух прямых

9

7

10

6

Способ построения параллельных прямых с помощью   рейсшины .  Этим способом пользуются в чертежной практике.

Способ построения параллельных прямых с помощью

рейсшины .

Этим способом пользуются в чертежной практике.

Практические способы построения параллельных прямых c b b II c А

Практические способы построения параллельных прямых

c

b

b II c

А

Тестирование № задания 1 № ответа 2 3 4 5 6

Тестирование

№ задания

1

№ ответа

2

3

4

5

6

1. На рисунке секущей является прямая: n k m m или n  к n m

1. На рисунке секущей является прямая:

к

n

m

2. Для угла 1 односторонним будет угол:  2  5 6 7 2 1 3 5 4 6 8 7

2. Для угла 1 односторонним будет угол:

2

1

3

5

4

6

8

7

3. На рисунке углы 1 и 2 являются:  Односторонними Накрест лежащими Соответственными смежными 1 2

3. На рисунке углы 1 и 2 являются:

  • Односторонними
  • Накрест лежащими
  • Соответственными
  • смежными

1

2

4. На рисунке  0  Прямые а и в будут параллельными, если   1) 47 0 47 0 или 133 0 133 0 43 0  1 2 в а

4. На рисунке 0

Прямые а и в будут параллельными, если

1) 47 0

  • 47 0 или 133 0
  • 133 0
  • 43 0

1

2

в

а

5. Прямые будут параллельными на рисунке: 90 0 110 0  108 0  90 0 1) 2)  120 0 122 0 68 0  130 0 3) 4)

5. Прямые будут параллельными на рисунке:

90 0

110 0

108 0

90 0

1)

2)

120 0

122 0

68 0

130 0

3)

4)

6 . На рисунке прямые а и в параллельны. Какие из утверждений верны?  1 2 а 3 4   ˚     5 6 в 8 7 с

6 . На рисунке прямые а и в параллельны.

Какие из утверждений верны?

1

2

а

3

4

5

6

в

8

7

с

Проверим себя № задания № ответа 1 2 2 3 2 4 3 3 5 2 6 1,3

Проверим себя

№ задания

№ ответа

1

2

2

3

2

4

3

3

5

2

6

1,3

«Параллельные прямые» a b  A

«Параллельные прямые»

a

b

A

Всем спасибо!

Всем спасибо!

 Найдите пары внутренних накрест лежащих углов  Внутренние односторонние углы Вертикальные углы 4 и 5 2 и 4 c Смежные углы ВЕРНО! 4 и 6 2 и 3 а  Внутренние односторонние углы 2 1 Вертикальные углы 3 4 3 и 6 5 и 7 6 5 b Соответственные углы 8 7 1 и 8 2 и 6 ВЕРНО! 3 и 5 1 и 6 Тренировочные задания.

Найдите пары внутренних накрест лежащих углов

Внутренние

односторонние углы

Вертикальные углы

4 и 5

2 и 4

c

Смежные углы

ВЕРНО!

4 и 6

2 и 3

а

Внутренние

односторонние углы

2

1

Вертикальные углы

3

4

3 и 6

5 и 7

6

5

b

Соответственные углы

8

7

1 и 8

2 и 6

ВЕРНО!

3 и 5

1 и 6

Тренировочные задания.

 Найдите пары внутренних накрест лежащих углов  Внутренние односторонние углы Вертикальные углы 4 и 5 2 и 4 c Смежные углы ВЕРНО! 4 и 6 2 и 3 а  Внутренние односторонние углы 2 1 Вертикальные углы 3 4 3 и 6 5 и 7 6 5 b Соответственные углы 8 7 1 и 8 2 и 6 ВЕРНО! 3 и 5 1 и 6 Тренировочные задания.  Найдите пары внутренних накрест лежащих углов  Внутренние односторонние углы Вертикальные углы 4 и 5 2 и 4 c Смежные углы ВЕРНО! 4 и 6 2 и 3 а  Внутренние односторонние углы 2 1 Вертикальные углы 3 4 3 и 6 5 и 7 6 5 b Соответственные углы 8 7 1 и 8 2 и 6 ВЕРНО! 3 и 5 1 и 6 Тренировочные задания.

multiurok.ru

Презентация к уроку "Метод доказательства от противного. Признаки параллельности прямых.

Метод доказательства от противного  Признак параллельности прямых   Урок изучения нового материала

Метод доказательства от противного Признак параллельности прямых

Урок изучения нового материала

Девиз урока:  «Всё вокруг - геометрия»  Ле Корбюзье

Девиз урока: «Всё вокруг - геометрия» Ле Корбюзье

Девиз урока:  «Всё вокруг - геометрия»  Ле Корбюзье Параллельные прямые  Примеры из окружающего нас мира

Параллельные прямые Примеры из окружающего нас мира

Являются ли параллельными прямые? Как это проверить?

Являются ли параллельными прямые? Как это проверить?

Способ доказательства от противного.   1.  Делается предположение, противное тому, что требуется доказать. 2.  Выясняется, что следует из сделанного предположения на основании известных теорем, аксиом, определений и условия задачи. 3.  Устанавливается противоречие между тем, что утверждается в одном предложении, и его отрицании в другом. 4.  Делается вывод: предположение неверно, а верно то, что требовалось доказать.

Способ доказательства от противного.

  • 1. Делается предположение, противное тому, что требуется доказать.
  • 2. Выясняется, что следует из сделанного предположения на основании известных теорем, аксиом, определений и условия задачи.
  • 3. Устанавливается противоречие между тем, что утверждается в одном предложении, и его отрицании в другом.
  • 4. Делается вывод: предположение неверно, а верно то, что требовалось доказать.
Признаки параллельности двух прямых Две прямые параллельны , если они с секущей образуют равные накрест лежащие углы.  a   1    b 2   c

Признаки параллельности двух прямых

  • Две прямые параллельны , если они с секущей образуют равные накрест лежащие углы.

a

1

b 2

c

Две прямые параллельны, если они с секущей образуют равные соответственные углы. Две прямые параллельны, если они с секущей образуют внутренние односторонние углы, сумма которых равна 180˚ Две прямые, перпендикулярные к третьей прямой, параллельны
  • Две прямые параллельны, если они с секущей образуют равные соответственные углы.
  • Две прямые параллельны, если они с секущей образуют внутренние односторонние углы, сумма которых равна 180˚
  • Две прямые, перпендикулярные к третьей прямой, параллельны
АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НА ПРИЗНАКИ ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ ПРЯМЫХ Найти ситуацию «две прямые пересечены секущей»  Найти накрест лежащие,  соответственные, односторонние углы Применить признак параллельности  прямых

АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НА ПРИЗНАКИ ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ ПРЯМЫХ

  • Найти ситуацию «две прямые пересечены секущей»
  • Найти накрест лежащие,

соответственные, односторонние углы

  • Применить признак параллельности

прямых

Задача Параллельны ли прямые а и в ? к Решение: 1. Так как угол 3 и угол 2 – смежные, то их сумма равна 180˚. (свойство смежных углов. Значит, угол 2 равен 180˚- ˚141˚ = 39 ˚. 2. Так как угол 1 равен углу 2 (а они внутренние накрест лежащие), значит а║в – по признаку параллельности прямых. Ответ: параллельны. а 1 39˚ в 2  3 141˚

Задача

Параллельны ли прямые а и в ?

к

Решение:

1. Так как угол 3 и угол 2 – смежные, то их сумма равна 180˚. (свойство смежных углов. Значит, угол 2 равен

180˚- ˚141˚ = 39 ˚.

2. Так как угол 1 равен углу 2 (а они внутренние накрест лежащие), значит а║в – по признаку параллельности прямых.

Ответ: параллельны.

а

1

39˚

в

2

3 141˚

Являются ли прямые а и в параллельными? № 1 № 2 а а а а а 55 0 55 0 55 0 55 0 95 0 в 55 0 55 0 55 0 55 0 95 0 в в в в с с

Являются ли прямые а и в параллельными?

1

2

а

а

а

а

а

55 0

55 0

55 0

55 0

95 0

в

55 0

55 0

55 0

55 0

95 0

в

в

в

в

с

с

Являются ли прямые а и в параллельными? № 3 № 4 а 105 0 50 0 65 0 в  1 100 0 а с в с

Являются ли прямые а и в параллельными?

3

4

а

105 0

50 0

65 0

в

1

100 0

а

с

в

с

Являются ли прямые а и в параллельными? № 5 № 6 с 135 о 1 в 2 45 0 с в а а

Являются ли прямые а и в параллельными?

5

6

с

135 о

1

в

2

45 0

с

в

а

а

Задача 7 B C D A Укажите параллельные прямые

Задача 7

B

C

D

A

Укажите параллельные

прямые

Задача 8 а 1 3 4 b 2 c Доказать: a

Задача 8

а

1

3

4

b

2

c

Доказать: a || b

Являются ли параллельными прямые? Как это проверить?

Являются ли параллельными прямые? Как это проверить?

Домашнее задание Рассмотреть ситуацию из обыденной жизни, где используется метод доказательства от противного (по желанию) §6. стр.47,теорема №3, следствие из теоремы стр.49 – выучить, теорема 4, 5 – прочитать. № 173 (а,б), № 174 (а,б).

Домашнее задание

  • Рассмотреть ситуацию из обыденной жизни, где используется метод доказательства от противного (по желанию)
  • §6. стр.47,теорема №3, следствие из теоремы стр.49 – выучить, теорема 4, 5 – прочитать.
  • № 173 (а,б), № 174 (а,б).
Дополнительное задание Из точек А и В, лежащих по одну сторону от прямой, проведены перпендикуляры АС и ВD к этой прямой,  0. Найдите

Дополнительное задание

Из точек А и В, лежащих по одну сторону от прямой, проведены перпендикуляры АС и ВD к этой прямой, 0. Найдите

«Знатоки теории» Сформулируйте аксиому измерения отрезков 1 5 Сформулируйте аксиому измерения углов 4 3 Сформулируйте определение перпендикулярных прямых. 2 Какие утверждения называются аксиомами? Приведите примеры аксиом. Как называются прямые, имеющие одну общую точку? Сколько прямых можно провести через две точки? Сформулируйте свойство смежных углов Что такое теорема? Какие две прямые называются параллельными? 8 Сформулируйте I признак параллельности двух прямых 9 7 10 6

«Знатоки теории»

Сформулируйте аксиому измерения отрезков

1

5

Сформулируйте

аксиому измерения углов

4

3

Сформулируйте определение перпендикулярных прямых.

2

Какие утверждения называются аксиомами? Приведите примеры аксиом.

Как называются

прямые, имеющие одну общую точку?

Сколько прямых можно провести через две точки?

Сформулируйте

свойство смежных углов

Что такое теорема?

Какие две прямые называются параллельными?

8

Сформулируйте I признак параллельности двух прямых

9

7

10

6

Способ построения параллельных прямых с помощью   рейсшины .  Этим способом пользуются в чертежной практике.

Способ построения параллельных прямых с помощью

рейсшины .

Этим способом пользуются в чертежной практике.

Практические способы построения параллельных прямых c b b II c А

Практические способы построения параллельных прямых

c

b

b II c

А

Тестирование № задания 1 № ответа 2 3 4 5 6

Тестирование

№ задания

1

№ ответа

2

3

4

5

6

1. На рисунке секущей является прямая: n k m m или n  к n m

1. На рисунке секущей является прямая:

к

n

m

2. Для угла 1 односторонним будет угол:  2  5 6 7 2 1 3 5 4 6 8 7

2. Для угла 1 односторонним будет угол:

2

1

3

5

4

6

8

7

3. На рисунке углы 1 и 2 являются:  Односторонними Накрест лежащими Соответственными смежными 1 2

3. На рисунке углы 1 и 2 являются:

  • Односторонними
  • Накрест лежащими
  • Соответственными
  • смежными

1

2

4. На рисунке  0  Прямые а и в будут параллельными, если   1) 47 0 47 0 или 133 0 133 0 43 0  1 2 в а

4. На рисунке 0

Прямые а и в будут параллельными, если

1) 47 0

  • 47 0 или 133 0
  • 133 0
  • 43 0

1

2

в

а

5. Прямые будут параллельными на рисунке: 90 0 110 0  108 0  90 0 1) 2)  120 0 122 0 68 0  130 0 3) 4)

5. Прямые будут параллельными на рисунке:

90 0

110 0

108 0

90 0

1)

2)

120 0

122 0

68 0

130 0

3)

4)

6 . На рисунке прямые а и в параллельны. Какие из утверждений верны?  1 2 а 3 4   ˚     5 6 в 8 7 с

6 . На рисунке прямые а и в параллельны.

Какие из утверждений верны?

1

2

а

3

4

5

6

в

8

7

с

Проверим себя № задания № ответа 1 2 2 3 2 4 3 3 5 2 6 1,3

Проверим себя

№ задания

№ ответа

1

2

2

3

2

4

3

3

5

2

6

1,3

«Параллельные прямые» a b  A

«Параллельные прямые»

a

b

A

Всем спасибо!

Всем спасибо!

 Найдите пары внутренних накрест лежащих углов  Внутренние односторонние углы Вертикальные углы 4 и 5 2 и 4 c Смежные углы ВЕРНО! 4 и 6 2 и 3 а  Внутренние односторонние углы 2 1 Вертикальные углы 3 4 3 и 6 5 и 7 6 5 b Соответственные углы 8 7 1 и 8 2 и 6 ВЕРНО! 3 и 5 1 и 6 Тренировочные задания.

Найдите пары внутренних накрест лежащих углов

Внутренние

односторонние углы

Вертикальные углы

4 и 5

2 и 4

c

Смежные углы

ВЕРНО!

4 и 6

2 и 3

а

Внутренние

односторонние углы

2

1

Вертикальные углы

3

4

3 и 6

5 и 7

6

5

b

Соответственные углы

8

7

1 и 8

2 и 6

ВЕРНО!

3 и 5

1 и 6

Тренировочные задания.

 Найдите пары внутренних накрест лежащих углов  Внутренние односторонние углы Вертикальные углы 4 и 5 2 и 4 c Смежные углы ВЕРНО! 4 и 6 2 и 3 а  Внутренние односторонние углы 2 1 Вертикальные углы 3 4 3 и 6 5 и 7 6 5 b Соответственные углы 8 7 1 и 8 2 и 6 ВЕРНО! 3 и 5 1 и 6 Тренировочные задания.  Найдите пары внутренних накрест лежащих углов  Внутренние односторонние углы Вертикальные углы 4 и 5 2 и 4 c Смежные углы ВЕРНО! 4 и 6 2 и 3 а  Внутренние односторонние углы 2 1 Вертикальные углы 3 4 3 и 6 5 и 7 6 5 b Соответственные углы 8 7 1 и 8 2 и 6 ВЕРНО! 3 и 5 1 и 6 Тренировочные задания.

multiurok.ru

Доказательство от противного - что представляет собой, когда используется

В толковом словаре математических терминов дано определение доказательству от противного теоремы, противоположной обратной теореме. «Доказательство от противного – метод доказательства теоремы (предложения), состоящий в том, что доказывают не саму теорему, а ей равносильную (эквивалентную), противоположную обратной (обратную противоположной) теорему. Доказательство от противного используют всякий раз, когда прямую теорему доказать трудно, а противоположную обратной легче. При доказательстве от противного заключение теоремы заменяется её отрицанием, и путём рассуждения приходят к отрицанию условия, т.е. к противоречию, к противному (противоположному тому, что дано; это приведение к абсурду и доказывает теорему».

Доказательство от противного очень часто применяется в математике. Доказательство от противного основано на законе исключённого третьего, заключающегося в том, что из двух высказываний (утверждений) А и А (отрицание А) одно из них истинно, а другое ложно». /Толковый словарь математических терминов: Пособие для учителей/О. В. Мантуров [и др.]; под ред. В. А. Диткина.- М.: Просвещение, 1965.- 539 с.: ил.-C.112/.

Не лучше было бы открыто заявить о том, что метод доказательства от противного не является математическим методом, хотя и используется в математике, что он является логическим методом и принадлежит логике. Допустимо ли утверждать, что доказательство от противного «используют всякий раз, когда прямую теорему доказать трудно», когда на самом деле его используют тогда, и только тогда, когда ему нет замены.

Заслуживает особого внимания и характеристика отношения друг к другу прямой и обратной ей теорем. «Обратная теорема для данной теоремы (или к данной теореме) — теорема, в которой условием является заключение, а заключением – условие данной теоремы. Данная теорема по отношению к обратной теореме называется прямой теоремой (исходной). В то же время обратная теорема к обратной теореме будет данной теоремой; поэтому прямая и обратная теоремы называются взаимно обратными. Если прямая (данная) теорема верна, то обратная теорема не всегда верна. Например, если четырёхугольник – ромб, то его диагонали взаимно перпендикулярны (прямая теорема). Если в четырёхугольнике диагонали взаимно перпендикулярны, то четырёхугольник есть ромб – это неверно, т. е. обратная теорема неверна». /Толковый словарь математических терминов: Пособие для учителей/О. В. Мантуров [и др.]; под ред. В. А. Диткина.- М.: Просвещение, 1965.- 539 с.: ил.-C.261 /.

Данная характеристика отношения прямой и обратной теорем не учитывает того, что условие прямой теоремы принимается как данное, без доказательства, так что его правильность не имеет гарантии. Условие обратной теоремы не принимается как данное, так как оно является заключением доказанной прямой теоремы. Его правильность засвидетельствована доказательством прямой теоремы. Это существенное логическое различие условий прямой и обратной теорем оказывается решающим в вопросе какие теоремы можно и какие нельзя доказать логическим методом от противного.

Допустим, что на примете имеется прямая теорема, которую доказать обычным математическим методом можно, но трудно. Сформулируем её в общем виде в краткой форме так: из А следует Е. Символ А имеет значение данного условия теоремы, принятого без доказательства. Символ Е имеет значение заключения теоремы, которое требуется доказать.

Доказывать прямую теорему будем от противного, логическим методом. Логическим методом доказывается теорема, которая имеет не математическое условие, а логическое условие. Его можно получить, если математическое условие теоремы из А следует Е, дополнить прямо противоположным условием из А не следует Е.

В результате получилось логическое противоречивое условие новой теоремы, заключающее в себе две части: из А следует Е и из А не следует Е. Полученное условие новой теоремы соответствует логическому закону исключённого третьего и соответствует доказательству теоремы методом от противного.

Согласно закону, одна часть противоречивого условия является ложной, другая его часть является истинной, а третье – исключено. Доказательство от противного имеет совей задачей и целью установить, именно какая часть из двух частей условия теоремы является ложной. Как только будет определена ложная часть условия, так будет установлено, что другая часть является истинной частью, а третье — исключено.

Согласно толковому словарю математических терминов, «доказательство есть рассуждение, в ходе которого устанавливается истинность или ложность какого-либо утверждения (суждения, высказывания, теоремы)». Доказательство от противного есть рассуждение, в ходе которого устанавливается ложность (абсурдность) заключения, вытекающего из ложного условия доказываемой теоремы.

Дано: из А следует Е и из А не следует Е.

Доказать: из А следует Е.

Доказательство: Логическое условие теоремы заключает в себе противоречие, которое требует своего разрешения. Противоречие условия должно найти своё разрешение в доказательстве и его результате. Результат оказывается ложным при безупречном и безошибочном рассуждении. Причиной ложного заключения при логически правильном рассуждении может быть только противоречивое условие: из А следует Е и из А не следует Е.

Нет и тени сомнения в том, что одна часть условия является ложной, а другая в этом случае является истинной. Обе части условия имеют одинаковое происхождение, приняты как данные, предположенные, одинаково возможные, одинаково допустимые и т. д. В ходе логического рассуждения не обнаружено ни одного логического признака, который отличал бы одну часть условия от другой. Поэтому в одной и той же мере может быть из А следует Е и может быть из А не следует Е. Утверждение из А следует Е может быть ложным, тогда утверждение из А не следует Е будет истинным. Утверждение из А не следует Е может быть ложным, тогда утверждение из А следует Е будет истинным.

Следовательно, прямую теорему методом от противного доказать невозможно.

Теперь эту же прямую теорему докажем обычным математическим методом.

Дано: А .

Доказать: из А следует Е.

Доказательство.

1. Из А следует Б (по ранее доказанной теореме).

2. Из Б следует В ( по ранее доказанной теореме)).

3. Из В следует Г ( по ранее доказанной теореме).

4. Из Г следует Д (по ранее доказанной теореме).

5. Из Д следует Е ( по ранее доказанной теореме).

На основании закона транзитивности, из А следует Е. Прямая теорема доказана обычным методом.

Пусть доказанная прямая теорема имеет правильную обратную теорему: из Е следует А.

Докажем её обычным математическим методом. Доказательство обратной теоремы можно выразить в символической форме в виде алгоритма математических операций.

Дано: Е

Доказать: из Е следует А.

Доказательство.

!. Из Е следует Д ( по ранее доказанной обратной теореме).

1. Из Д следует Г ( по ранее доказанной обратной теореме).

2. Из Г следует В (по ранее доказанной обратной теореме).

3. Из В не следует Б (обратная теорема неверна). Поэтому и из Б не следует А.

В данной ситуации продолжать математическое доказательство обратной теоремы не имеет смысла. Причина возникновения ситуации – логическая. Неверную обратную теорему ничем заменить невозможно. Следовательно, данную обратную теорему доказать обычным математическим методом невозможно. Вся надежда – на доказательство данной обратной теоремы методом от противного.

Чтобы её доказать методом от противного, требуется заменить её математическое условие логическим противоречивым условием, заключающим в себе по смыслу две части – ложную и истинную.

Обратная теорема утверждает: из Е не следует А. Её условие Е, из которое следует заключение А, является результатом доказательства прямой теоремы обычным математическим методом. Это условие необходимо сохранить и дополнить утверждением из Е следует А. В результате дополнения получается противоречивое условие новой обратной теоремы: из Е следует А и из Е не следует А. Исходя из этого логически противоречивого условия, обратную теорему можно доказать посредством правильного логического рассуждения только, и только, логическим методом от противного. В доказательстве от противного любые математические действия и операции подчинены логическим и поэтому в счёт не идут.

В первой части противоречивого утверждения из Е следует А условие Е было доказано доказательством прямой теоремы. Во второй его части из Е не следует А условие Е было предположено и принято без доказательства. Какое-то из них одно является ложным, а другое – истинным. Требуется доказать, какое из них является ложным.

Доказываем посредством правильного логического рассуждения и обнаруживаем, что его результатом является ложное, абсурдное заключение. Причиной ложного логического заключения является противоречивое логическое условие теоремы, заключающее в себе две части – ложную и истинную. Ложной частью может быть только утверждение из Е не следует А, в котором Е было принято без доказательства. Именно этим оно отличается от Е утверждения из Е следует А, которое доказано доказательством прямой теоремы.

Следовательно, истинным является утверждение: из Е следует А, что и требовалось доказать.

Вывод: логическим методом от противного доказывается только та обратная теорема, которая имеет доказанную математическим методом прямую теорему и которую математическим методом доказать невозможно.

Полученный вывод приобретает исключительное по важности значение в отношении к методу доказательства от противного великой теоремы Ферма. Подавляющее большинство попыток её доказать имеет в своей основе не обычный математический метод, а логический метод доказательства от противного. Доказательство большой теоремы Ферма Уайлса не является исключением.

Дмитрий Абраров в статье «Теорема Ферма: феномен доказательств Уайлса» опубликовал комментарий к доказательству большой теоремы Ферма Уайлсом. По Абрарову, Уайлс доказывает большую теорему Ферма с помощью замечательной находки немецкого математика Герхарда Фрея (р. 1944), связавшего потенциальное решение уравнения Ферма xn + yn = zn, где n > 2, с другим, совершенно непохожим на него, уравнением. Это новое уравнение задаётся специальной кривой (названной эллиптической кривой Фрея). Кривая Фрея задаётся уравнением совсем несложного вида:
y2 + x (x — an) (y + bn) = 0.

«А именно Фрей сопоставил всякому решению (a, b, c) уравнение Ферма, то есть числам, удовлетворяющим соотношению an + bn = cn, указанную выше кривую. В этом случае отсюда следовала бы великая теорема Ферма».( Цитата по: Абраров Д. «Теорема Ферма: феномен доказательств Уайлса»)

Другими словами, Герхард Фрей предположил, что уравнение большой теоремы Ферма xn + yn = zn, где n > 2, имеет решения в целых положительных числах. Этими же решения являются, по предположению Фрея, решениями его уравнения
y2 + x (x — an) (y + bn) = 0, которое задаётся его эллиптической кривой.

Эндрю Уайлс принял эту замечательную находку Фрея и с её помощью посредством математического метода доказал, что этой находки, то есть эллиптической кривой Фрея, не существует. Поэтому не существует уравнения и его решений, которые задаются несуществующей эллиптической кривой, Поэтому Уайлсу следовало бы принять вывод о том, что не существует уравнения большой теоремы Ферма и самой теоремы Ферма. Однако им принимается более скромное заключение том, что уравнение большой теоремы Ферма не имеет решений в целых положительных числах.

Неопровержимым фактом может являться то, что Уайлсом принято предположение, прямо противоположное по смыслу тому, что утверждается большой теоремой Ферма. Оно обязывает Уайлса доказывать большую теорему Ферма методом от противного. Последуем и мы его примеру и посмотрим, что из этого примера получается.

В большой теореме Ферма утверждается, что уравнение , xn + yn = zn, где n > 2, не имеет решений в целых положительных числах.

Согласно логическому методу доказательства от противного, это утверждение сохраняется, принимается как данное без доказательства, и затем дополняется противоположным по смыслу утверждением: уравнение xn + yn = zn, где n > 2, имеет решения в целых положительных числах.

Предположенное утверждение так же принимается как данное, без доказательства. Оба утверждения, рассматриваемые с точки зрения основных законов логики, являются одинаково допустимыми, равноправными и одинаково возможными. Посредством правильного рассуждения требуется установить, именно какое из них является ложным, чтобы затем установить, что другое утверждение является истинным.

Правильное рассуждение завершается ложным, абсурдным заключением, логической причиной которого может быть только противоречивое условие доказываемой теоремы, заключающее в себе две части прямо противоположного смысла. Они и явились логической причиной абсурдного заключения, результата доказательства от противного.

Однако в ходе логически правильного рассуждения не было обнаружено ни одного признака, по которому можно было бы установить, какое именно утверждение является ложным. Им может быть утверждение: уравнение xn + yn = zn, где n > 2, имеет решений в целых положительных числах. На этом же основании им может быть утверждение: уравнение xn + yn = zn, где n > 2, не имеет решений в целых положительных числах.

В итоге рассуждения вывод может быть только один: большую теорему Ферма методом от противного доказать невозможно.

Было бы совсем другое дело, если бы большая теорема Ферма была обратной теоремой, которая имеет прямую теорему, доказанную обычным математическим методом. В этом случае её можно было доказать от противного. А так как она является прямой теоремой, то её доказательство должно иметь в своей основе не логический метод доказательства от противного, а обычный математический метод.

По словам Д. Абрарова, самый известный из современных российских математиков академик В. И. Арнольд на доказательство Уайлса отреагировал «активно скептически». Академик заявил: «это не настоящая математика – настоящая математика геометрична и сильна связями с физикой».( Цитата по: Абраров Д. «Теорема Ферма: феномен доказательств Уайлса»). Заявление академика выражает самую сущность нематематического доказательства Уайлса большой теоремы Ферма.

Методом от противного невозможно доказать ни того, что уравнение большой теоремы Ферма не имеет решений, ни того, что оно имеет решения. Ошибка Уайлса не математическая, а логическая — использование доказательства от противного там, где его использование не имеет смысла и большой теоремы Ферма не доказывает.

Не доказывается большая теорема Ферма и с помощью обычного математического метода, если в ней дано: уравнение xn + yn = zn, где n > 2, не имеет решений в целых положительных числах, и если в ней требуется доказать: уравнение xn + yn = zn, где n > 2, не имеет решений в целых положительных числах. В такой форме имеется не теорема, а тавтология, лишённая смысла.

mirgorodsky.ru

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *