Дробные уравнения с несколькими дробями — Дробные уравнения einfach erklärt

Решение дробного уравнения с несколькими дробями, аналогично решению дробных уравнений с одной дробью. Однако, перед этим дроби должны быть приведены к общему главному знаменателю.

!

Запомните

Чтобы привести дроби к общему знаменателю, умножьте числитель и знаменатель одной дроби на знаменатели других дробей.

i

Подсказка

Если на каждой стороне уравнения есть только одна дробь, то имеет смысл умножить все уравнение на два знаменателя дроби. Это разбивает условия дроби.

Например

Решите следующее уравнение: $\frac{5x}{3x+15}=\frac{5}{6}$

1. Определите область функции

   $3x+15=0\quad|-15$
   $3x=-15\quad|:3$
   $x=-5$

   $\mathbb{D}=\mathbb{R}\backslash\{-5\}$

2. Измените уравнение на $x$

   Способ 1

   Приведите обе дроби к общему знаменателю.

   $\frac{5x}{3x+15}=\frac{5}{6}\quad|-\frac{5}{6}$

   $\frac{5x}{\color{blue}{3x+15}}-\frac{5}{\color{green}{6}}=0$
   $\frac{5x}{\color{blue}{3x+15}}\cdot\frac{\color{green}{6}}{\color{green}{6}}-\frac{5}{\color{green}{6}}\cdot\frac{\color{blue}{3x+15}}{\color{blue}{3x+15}}=0$
   

   $\frac{30x}{6(3x+15)}-\frac{5\cdot(3x+15)}{6(3x+15)}=0$

   $\frac{30x-5\cdot(3x+15)}{6(3x+15)}=0\quad|\cdot6(3x+15)$

   $\frac{30x-5\cdot(3x+15)}{6(3x+15)}\cdot6(3x+15)=0\cdot6(3x+15)$

   $30x-5\cdot(3x+15)=0$
   $30x-15x-75=0$
   $15x-75=0\quad|+75$
   $15x=75\quad|:15$

   $x=5$

   
   

   Способ 2 (Смотрите подсказку)

   Для того чтобы решить условия дроби, уравнение умножается на знаменатели дробей.

   $\frac{5x}{3x+15}=\frac{5}{6}\quad|\cdot6\cdot(3x+15)$

   $6\cdot5x=5\cdot(3x+15)$
   $30x=15x+75=0\quad|-15x$
   $15x=75\quad|:15$

   $x=5$

3. Проверьте результат

   Проверьте, включен ли результат в область

   $x=5$ включен в область $\mathbb{D}=\mathbb{R}\backslash\{-5\}$: решение является допустимым.

Линейные уравнения с дробями | Алгебра

Линейные уравнения с дробями не содержат переменной в знаменателе. Чтобы решить линейное уравнение с дробями, удобно избавиться от знаменателей.

Для этого нужно найти наименьший общий знаменатель всех входящих в уравнение дробей и обе части уравнения умножить на это число.

   

Наименьший общий знаменатель данных дробей равен 6. Дополнительный множитель к первой дроби равен 2, ко второй — 3, к 5 — 6. Умножаем обе части уравнения на наименьший общий знаменатель:

   

В результате наименьший общий знаменатель и знаменатель каждой дроби сокращаются, и получаем линейное уравнение, не содержащее дробей.

   

Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:

   

   

   

Обе части уравнения делим на число, стоящее перед иксом:

   

   

Из полученной неправильной дроби выделяем целую часть

   

Ответ: -4 6/7.

   

Наименьший общий знаменатель данных дробей равен 20. Найдем дополнительный множитель к каждой дроби и умножим обе части уравнения на 20:

   

Можно, конечно, сразу же умножить дополнительный множитель на числитель каждой дроби. Но, к сожалению, наибольшее количество ошибок при решении линейных уравнений с дробями допускается именно на этом шаге. Скобки — друзья ученика :). Поэтому лучше воспользоваться их помощью:

   

Особенно полезны скобки в случае, когда перед дробью стоит знак «минус».

   

После раскрытия скобок можно сразу же перенести неизвестные в одну сторону уравнения, известные — в другую (не забыв при переносе изменить их знаки), а можно сначала упростить каждую часть, приведя подобные слагаемые, а потом уже переносить.

   

   

   

   

Ответ: -34.

   

Здесь наименьший общий знаменатель дробей равен 12. Находим дополнительный множитель к каждой дроби и умножаем обе части уравнения на 12:

   

   

Раскрываем скобки и упрощаем

   

   

   

Обе части уравнения делим на число, стоящее перед иксом:

   

   

Ответ: -5.

   

Уравнения такого вида можно решить, использовать основное свойство пропорции (в верной пропорции произведение крайних членов равно произведению средних членов):

   

   

   

   

при делении двух отрицательных чисел получается положительное число, поэтому минусы можно сразу же не писать.

   

Если это возможно, лучше ответ записать в виде десятичной дроби:

   

Ответ: 0,1875.

Уравнения с дробями | Математика

Линейные уравнения с дробями в 6 классе можно решать по обычной схеме: неизвестные — в одну сторону, известные — в другую, изменив при этом их знак.

Другой путь — предварительно упростить уравнение, превратив его из линейного уравнения с дробями в линейное уравнение с целыми числами. 

Сначала на примере одного линейного уравнения с дробями рассмотрим оба способа решения.

   

1 способ: Это — линейное уравнение. Неизвестные — в одну сторону, известные — в другую, изменив при этом их знаки:

   

Приводим к общему знаменателю дроби в каждой части уравнения:

   

   

   

Это — простейшее линейное уравнение. Обе части уравнения делим на число, стоящее перед иксом:

   

При делении чисел с разными знаками получаем отрицательное число. По правилу деления дробей:

   

После сокращения имеем:

   

(В данном случае ответ можно записать и в виде десятичной дроби: х=-0,8).

2 способ:

   

Обе части уравнения умножим почленно на наименьший общий знаменатель всех входящих в него дробей, в данном случае он равен 24:

   

При умножении на знаменатель дроби сокращаются, в знаменателе остается единица, которую не пишем. От  линейного уравнения с дробями перешли к линейному уравнению с целыми числами:

   

Неизвестные — в одну сторону, известные — в другую с противоположными знаками:

   

   

Обе части уравнения делим на число, стоящее перед иксом:

   

Ответ: -4/5.

Как видите, второй способ существенно упрощает решение линейного уравнения с дробями.

 

   

Обе части уравнения умножаем почленно на наименьший общий знаменатель всех входящих в него дробей. Здесь он равен 60:

   

   

Вместо линейного уравнения с дробями получили линейное уравнение с целыми числами. Неизвестные переносим в одну сторону, известные — в другую, изменив при этом их знаки:

   

   

Обе части уравнения делим на число, стоящее перед иксом:

   

Сокращаем дробь на 3:

   

Ответ: 5/11.

   

Обе части уравнения умножаем почленно на наименьший общий знаменатель всех входящих в него дробей:

   

В результате линейное уравнение с дробями заменили на линейное уравнение с целыми числами:

   

Неизвестные — в одну сторону, известные — в другую, изменив при этом их знаки:

   

   

Обе части уравнения делим на число, стоящее перед иксом:

   

   

Ответ: 2,9.

В следующий раз рассмотрим линейные уравнения с смешанными дробями.

Дробные рациональные уравнения 8 класс онлайн-подготовка на Ростелеком Лицей

Дробно-рациональные уравнения (дробные рациональные уравнения или просто дробные уравнения)

— это уравнения c одной переменной вида
fx=g(x),

где f(x) и g(x) — рациональные выражения, хотя бы одно из которых содержит алгебраическую дробь с переменной в знаменателе.

В общем виде дробно-рациональные уравнения решают по следующей схеме:

В частных случаях дробно-рациональные уравнения могут быть решены с помощью замены переменной либо разложением на множители.

Начнем с рассмотрения примеров общего случая.

4x-2-3x+4=1

Переносим все слагаемые в левую часть уравнения и приводим дроби к наименьшему общему знаменателю:

4\(x+4)x-2-3\(x-2)x+4-1\(x-2)(x+4)=0

4x+4-3x-2-(x-2)(x+4)(x-2)(x+4)=0

4x+16-3x+6-(x2+4x-2x-8)(x-2)(x+4)=0

x+22-x2-4x+2x+8(x-2)(x+4)=0

Пришли к уравнению типа «дробь равна нулю».

Дробь равна нулю, если числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля, поэтому это уравнение равносильно системе:

-x2-x+30(x-2)(x+4)=0 ⇔ -x2-x+30=0(x-2)(x+4)≠0

Находим значения переменной, при которых знаменатель обращается в нуль, и исключаем их из области допустимых значений:

(x-2)(x+4)≠0

x-2≠0; x+4≠0

x≠2; x≠-4

Теперь находим значения переменных, при которых числитель обращается в нуль:

-x2-x+30=0 |∙(-1)

x2+x-30=0

Это — квадратное уравнение. Его корни x1=5; x2=-6.

Оба корня удовлетворяют условиям x≠2; x≠-4.

Ответ: 5; -6.

x+2×2-2x-xx-2=3x

Замечаем, что знаменатель первой дроби раскладывается на удобные множители: x2-2x=x(x-2).

Переносим все слагаемые в одну сторону и приводим дроби к наименьшему общему знаменателю:

x+2\1x(x-2)-x\xx-2-3\(x-2)x=0

x+2-x2-3(x-2)x(x-2)=0

x+2-x2-3x+6x(x-2)=0

-x2-2x+8x(x-2)=0 ⇔ -x2-2x+8=0x(x-2)≠0

x(x-2)≠0

x≠0; x≠2 — при этих значениях переменной знаменатель обращается в нуль, поэтому их исключаем из ОДЗ.

-x2-2x+8=0 |∙(-1)

Из двух корней квадратного уравнения

x2+2x-8=0

x1=-4; x2=2 — второй не входит в ОДЗ. Поэтому в ответ включаем лишь первый корень.

Ответ: -4.

x2-x-6x-3=x+2

Переносим все слагаемые в одну сторону и приводим дроби к НОЗ:

x2-x-6\1x-3-x\(x-3)-2\(x-3)=0

x2-x-6-xx-3-2(x-3)x-3=0

x2-x-6-x2+3x-2x-6x-3=0

0xx-3=0 ⇔ 0x=0x-3≠0

Значение переменной, при котором знаменатель обращается в нуль, исключаем из ОДЗ: x≠3.

Уравнение 0x=0 — частный случай линейного уравнения. Оно имеет бесконечное множество решений: какое бы число мы не подставили вместо x, получим верное числовое равенство. Единственное значение x, которое не входит в множество решений данного уравнения — 3.

Ответ: x — любое число, кроме 3.

5x-2-3x+2=20×2-4

Замечаем в знаменателе третьей дроби формулу сокращённого умножения и пользуемся ей для разложения на множители. Переносим все слагаемые в левую часть и приводим дроби к наименьшему общему знаменателю:

5\(x+2)x-2-3\(x-2)x+2-20\1x-2x+2=0

5x+2-3x-2-20(x-2)(x+2)=0

5x+10-3x+6-20(x-2)(x+2)=0

2x-4(x-2)(x+2)=0 ⇔ 2x-4=0(x-2)(x+2)≠0

(x-2)(x+2)≠0

x≠2; x≠-2 — при этих значениях переменной дробь не имеет смысла, поскольку знаменатель обращается в нуль.

2x-4=0

x=2

Так как 2 не входит в ОДЗ, данное уравнение не имеет корней.

Ответ: корней нет.

Как решать уравнения с дробями. Показательное решение уравнений с дробями.

Решение уравнений с дробями рассмотрим на примерах. Примеры простые и показательные. С их помощью вы наиболее понятным образом сможете усвоить, как решать уравнения с дробями.
Например, требуется решить простое уравнение x/b + c = d.

Уравнения такого типа называется линейным, т.к. в знаменателе находятся только числа.

Решение выполняется путем умножения обоих частей уравнения на b, тогда уравнение принимает вид x = b*(d – c), т.е. знаменатель дроби в левой части сокращается.

Например, как решить дробное уравнение:
x/5+4=9
Умножаем обе части на 5. Получаем:
х+20=45
x=45-20=25

Другой пример, когда неизвестное находится в знаменателе:

b/x + c = d

Уравнения такого типа называются дробно-рациональными или просто дробными.

Решать дробное уравнение бы будем путем избавления от дробей, после чего это уравнение, чаще всего, превращается в линейное или квадратное, которое решается обычным способом. Следует только учесть следующие моменты:

• значение переменной, обращающее в 0 знаменатель, корнем быть не может;
• нельзя делить или умножать уравнение на выражение =0.

Здесь вступает в силу такое понятие, как область допустимых значений (ОДЗ) – это такие значения корней уравнения, при которых уравнение имеет смысл.

Таким образом решая уравнение, необходимо найти корни, после чего проверить их на соответствие ОДЗ. Те корни, которые не соответствуют нашей ОДЗ, из ответа исключаются.

Например, требуется решить дробное уравнение:

1/x + 2 = 5

Исходя из вышеуказанного правила х не может быть = 0, т.е. ОДЗ в данном случае: х – любое значение, отличное от нуля.

Избавляемся от знаменателя путем умножения всех членов уравнения на х

1 + 2x = 5х

И решаем обычное уравнение

5x – 2х = 1
3x = 1
х = 1/3

Ответ: х = 1/3

Решим уравнение посложнее:

Здесь также присутствует ОДЗ: х -2.

Решая это уравнение, мы не станем переносить все в одну сторону и приводить дроби к общему знаменателю. Мы сразу умножим обе части уравнения на выражение, которое сократит сразу все знаменатели.

Для сокращения знаменателей требуется левую часть умножить на х+2, а правую — на 2. Значит, обе части уравнения надо умножать на 2(х+2):

Это самое обычное умножение дробей, которое мы уже рассмотрели выше

Запишем это же уравнение, но несколько по-другому

Левая часть сокращается на (х+2), а правая на 2. После сокращения получаем обычное линейное уравнение:

4 = х + 2

х = 4 – 2 = 2, что соответствует нашей ОДЗ

Ответ: х = 2.

Для закрепления материала рекомендуем еще посмотреть видео.

Решение уравнений с дробями не так сложно, как может показаться. В этой статье мы на примерах это показали. Если у вас возникли какие то трудности с тем, как решать уравнения с дробями, то отписывайтесь в комментариях.

---

Если материал был полезен, вы можете отправить донат или поделиться данным материалом в социальных сетях:

---

Урок_3_Решение дробно-рациональных уравнений_План урока

Изучение нового материала

Повторить, что рациональные выражения делятся на целые и дробные. На слайде презентации рассмотреть примеры двух видов уравнений, попросить учащихся дать понятие дробного рационального уравнения.

Затем дается определение:

Если одна часть уравнения — целое выражение, а другая — дробно-рациональное или обе части — дробно-рациональные выражения, то уравнение называют дробно-рациональным уравнением.

Сначала учащиеся решают уравнение. Затем учитель ставит вопрос, как можно решить дробное рациональное уравнение. В процесс обсуждения вырабатываетсяалгоритм решения дробно — рациональных уравнений:

1) найти область допустимых значений переменной;

2) найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение;

3) умножить обу части уравнения на общий знаменатель;

4) решить получившееся целое уравнение;

5) исключить из корней те, которые не входят в ОДЗ, т.е. обращают в нуль общий знаменатель. Эти корни называют посторонними.

Пример

Решите уравнение: .

1.   Найдем ОДЗ:х – 1 ≠ 0,т. е.

2.      ;

3.      3+2(x−1)=4−x

4.  

5.    не принадлежит ОДЗ.

Ответ: корней нет.

 

Физминутка

 

Закрепление нового материала

Учащиеся в парах решают уравнения. Они помогают друг другу, учитель также оказывает поддержку. Можно организовать решение с комментированием у доски.

№1.   

№2. 

№3. 

№4.  

 

Предложить учащимся выполнить задания на решение уравнений. Решив уравнение, учащиеся вместо указанных корней вносят в текст, предложенный ниже, названия соответствующих областей:

Наибольшей по площади является () … область.

Наименьшей по площади является () … область.

Наибольшей по численности населения является … область.

Наименьшей по численности населения является () … область.

Самая высокая точка Казахстана пик Хан–Тенгри находится в () … области Самая низкая температура (–57º С)в Казахстане была зарегистрирована в.

Самая низкая температура (–57º С)в Казахстане была зарегистрирована в (х = 3) … области».

Уравнение	Название области
	Атырауская
	Северо-Казахстанская
	Акмолинская
	Южно–Казахстанская
	Алматинская
	Карагандинская

Уроки по теме &quot решение дробных рациональных уравнений&quot цели урока

Уроки по теме «Решение дробных рациональных уравнений».

Цели урока:

Обучающая:

• формирование понятия дробных рационального уравнения;

• рассмотреть различные способы решения дробных рациональных уравнений;

• рассмотреть алгоритм решения дробных рациональных уравнений, включающий условие равенства дроби нулю;

• обучить решению дробных рациональных уравнений по алгоритму;

Развивающая:

• развитие умения правильно оперировать полученными знаниями, логически мыслить;

• развитие интеллектуальных умений и мыслительных операций — анализ, синтез, сравнение и обобщение;

• развитие инициативы, умения принимать решения, не останавливаться на достигнутом;

Воспитывающая:

• воспитание познавательного интереса к предмету;

• воспитание самостоятельности при решении учебных задач;

• воспитание воли и упорства для достижения конечных результатов.

1. Организационный момент.

2. Мотивация урока.

Не всегда уравненья

Разрешают сомненья

Но итогом сомненья

Может быть озаренье.

3. Актуализация знаний. Фронтальный опрос, устная работа с классом.

А сейчас мы повторим основной теоретический материл, который понадобиться нам для изучения новой темы. Ответьте, пожалуйста, на следующие вопросы:

Что такое уравнение? (Равенство с переменной или переменными.)

Какие уравнения вам знакомы? (Линейное.)

Способ решения линейных уравнений. (Все с неизвестным перенести в левую часть уравнения, все числа — в правую. Привести подобные слагаемые. Найти неизвестный множитель).

Что такое пропорция? (Равенство двух отношений.)

Основное свойство пропорции. (Если пропорция верна, то произведение ее крайних членов равно произведению средних членов. )

Что называется ОДЗ выражения? (Областью допустимых значений (для краткости ОДЗ) уравнения называется множество всех значений неизвестного х, при которых математические выражения, входящие в обе части уравнения, имеют смысл, (т.е. все те значения х, при которых можно выполнить действия, указанные в этих выражениях).

Какие свойства используются при решении уравнений? (1. Если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение, равносильное данному. 2. Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному.)

Когда дробь равна нулю? (Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.)

Свойство пропорции.

4. Изучение нового материала.

На доске написаны уравнения посмотрите на них внимательно. Все ли из этих уравнений вы сможете решить? Какие нет и почему?

Уравнение, левые и правые части которого есть рациональные выражения относительно х, называют рациональным уравнением с неизвестным х.

Корнем уравнения (или решением) с неизвестным х называют число, при подстановке которого в уравнение вместо х получается верное числовое равенство.

Решить уравнение — значит найти все его корни или показать, что их нет.

При решении рациональных уравнений приходится умножать и делить обе части уравнения на не равное нулю число, переносить члены уравнения из одной части в другую, применять правила сложения и вычитания алгебраических дробей.

В результате будет получаться уравнение, равносильное исходному, т. е. уравнение, имеющее такие же корни, и только их.

Уравнения 1-го типа:

, где А(х), В(х) — многочлены относительно х.

Метод решения:

Напомнить еще раз правило равенства дроби 0.

Тогда А(х)=0 и В(х) ≠ 0.

Решить № 207(1-3).

Уравнения 2-го типа:

, где А(х), В(х), С(х), D(х) — многочлены относительно х.

Метод решения:

• Используют правило вычитания дробей

• Решают уравнение А(х) D(х)-В(х) С(х)=0.

• Отбирают корни, которые не обращают знаменатель В(х)·D(х) в нуль.

Либо по свойству пропорции.

• Решают уравнение А(х) D(х)=В(х) С(х)

• Отбирают корни, которые не обращают знаменатель В(х)·D(х) в нуль.

Решить № 207(4, 10, 12).

Давайте попробуем сформулировать алгоритм решения дробных рациональных уравнений данным способом. Дети сами формулируют алгоритм.

Алгоритм решения дробных рациональных уравнений:

Перенести все в левую часть.

Привести дроби к общему знаменателю.

Составить систему: дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

Решить уравнение.

Проверить неравенство, чтобы исключить посторонние корни.

Записать ответ.

Обсуждение: как оформить решение, если используется основное свойство пропорции и умножение обеих частей уравнения на общий знаменатель. (Дополнить решение: исключить из его корней те, которые обращают в нуль общий знаменатель).

5. Упражнение «Чудо-нос».

После слов «задержу дыхание» учащиеся делают вдох и задерживают дыхание. Учитель читает стихотворный текст, ребята только выполняют задание.

Выполним задание,

Задержим дыхание.

Раз, два, три, четыре –

Снова дышим:

Глубже, шире…

глубоко вдохнули.

спину потянули,

руки вверх подняли

радугу нарисовали

повернулись на восток,

продолжаем наш урок.

6. Закрепление нового материала.

Решить № 207(6, 8, 9, 13)

7. Самостоятельная работа.

Решить № 208(4).

8. Рефлексия.

На листочках с самостоятельной работой поставьте:

1 – если на уроке вам было интересно и понятно;

2 – интересно, но не понятно;

3 – не интересно, но понятно;

4 – не интересно, не понятно.

9. Подведение итогов урока.

Итак, сегодня на уроке мы с вами познакомились с дробными рациональными уравнениями, научились решать эти уравнения различными способами, проверили свои знания с помощью обучающей самостоятельной работы. Результаты самостоятельной работы вы узнаете на следующем уроке, дома у вас будет возможность закрепить полученные знания.

Д/з. Выучить п.7, решить № 208(1-4).

Какой метод решения дробных рациональных уравнений, по Вашему мнению, является более легким, доступным, рациональным? Не зависимо от метода решения дробных рациональных уравнений, о чем необходимо не забывать? В чем «коварство» дробных рациональных уравнений?

Всем спасибо, урок окончен.

Уроки по теме «Решение дробных рациональных уравнений».

Цели урока:

Обучающая:

Развивающая:

• развитие умения правильно оперировать полученными знаниями, логически мыслить;

• развитие интеллектуальных умений и мыслительных операций — анализ, синтез, сравнение и обобщение;

• развитие инициативы, умения принимать решения, не останавливаться на достигнутом;

Воспитывающая:

• воспитание познавательного интереса к предмету;

• воспитание самостоятельности при решении учебных задач;

• воспитание воли и упорства для достижения конечных результатов.

1. Организационный момент.

«Уравнение представляет собой наиболее

серьёзную и важную вещь в математике».

Лодж О.

2. Мотивация урока.

Не всегда уравненья

Разрешают сомненья

Но итогом сомненья

Может быть озаренье.

3. Актуализация знаний. Проверка д/з.

Ответьте, пожалуйста, на следующие вопросы:

Что такое уравнение?

Что значит решить уравнения?

Определение равносильных уравнений.

Какие уравнения называются дробными рациональными?

Алгоритм решения дробных рациональных уравнений.

Основное свойство пропорции.

Когда дробь равна 0?

4. Решение алгебраических уравнений.

Решить № 207(4, 5, 10, 11, 12), 212(1, 2).

5. Исторический материал об Омаре Хайяме.

Омар Хайям – математик и поэт

Одни их крупнейших средневековых алгебраистов был персидский и таджикский ученый и поэт Омар Хайям (1048-1131). Он родился в семье ремесленника в городе Нишапуре (ныне Северный Иран), к югу от Ашхабада, жил и работал в Самарканде, Исфахане и других городах Средней Азии и Ирана. Когда он был еще молодым, большая часть Среднего Востока была захвачена сельджуками. Положение честных ученых, которых преследовали властители, было крайне тяжелым.

В молодости Омар Хайям увлекался астрономией и математикой, позже в нем пробудился интерес к географии, философии и поэзии. Всему миру известны его знаменитые стихи – рубаи (не склоняемое существительное). Вот одно из них.

Я для знаний воздвиг сокровенный чертог,

Мало тайн, что мой разум постигнуть не смог.

Только знаю одно: ничего я не знаю!

Вот моих размышлений последний итог.

Первое его математическое сочинение – “Трудности арифметики” — до нас не дошло. Благодаря материальной помощи, оказанной ему одним самаркандским меценатом, Хайям смог продолжить свои научные исследования и написать важнейший труд – “О доказательстве задач алгебры и алмукабалы”. Эта книга содержала почти всю совокупность алгебраических знаний того времени. В ней дается классификация уравнений и излагается решение уравнений первой, второй и третьей степени. Во введении автор утверждает, что алгебра – это наука об определении неизвестных величин, состоящих в некоторых отношениях с величинами известными. Определение неизвестных осуществляется с помощью составления и решения уравнений. Это первое дошедшее до нас определение алгебры как науки.

6. Самостоятельная работа.

Решить № 207(13).

7. Рефлексия. Итоги урока. Д/з.

Составьте, пожалуйста «Сенкан»-один из жанров поэзии

1 строчка – рациональное уравнение;

2 строчка – 2 прилагательных;

3 строчка – 3 глагола;

4 строчка –предложение, выражающее личное отношение.

А, вот мой сенкан:

1 строчка – рациональное уравнение;

2 строчка – гармоничное, многоголосное;

3 строчка – завораживают, удивляют, вдохновляет;

4 строчка –они открыли для меня гармонию математики.

Д/з. Решить № 208(5-7), 213(1, 4).

Тема урока: Решение задач с помощью дробных рациональных уравнений.

Цели урока:

Обучающая:

закрепление понятия дробного рационального уравнения;

составление математической модели задачи, перевод условия задачи с обычного языка на математический;

проверка уровня усвоения темы путем проведения проверочной работы.

Развивающая:

развитие умения правильно оперировать полученными знаниями, логически мыслить;

развитие интеллектуальных умений;

развитие умения принимать решения.

Воспитательная:

воспитание познавательного интереса к предмету;

воспитание самостоятельности при решении учебных задач;

воспитание воли и упорства для достижения конечных результатов.

Ход урока

1. Организационный момент.

Здравствуйте, ребята.

Среди наук из всех главнейших
Важнейшая всего одна.
Учите алгебру, она глава наукам,
Для жизни очень всем нужна,

Когда достигнешь ты наук высоты,
Познаешь цену знаниям своим,
Поймешь, что алгебры красоты,
Для жизни будут кладом не плохим.

2. Мотивация урока.

Ещё начиная с начальной школы вы учились решать задачи. Для этого с каждым годом вы обучались всё новым и новым методам и способам решения. Сегодня мы познакомимся с задачами, решение которых сводится к дробным рациональным уравнениям.

3. Актуализация знаний. Фронтальный опрос, устная работа с классом.

Ответьте, пожалуйста, на следующие вопросы:

Какие уравнения называются дробными рациональными?

Алгоритм решения дробных рациональных уравнений.

4. Объяснение нового материала.

Прежде чем приступать к решению задачи необходимо несколько раз внимательно прочитать условие задачи, понять какую величину обозначить за неизвестную.

Ввести алгоритм решения задач на движение в одном направлении, если известны расстояние, соотношение между скоростями и время отставания (задержки в пути).

Алгоритм

Пусть объекты движутся в одном направлении и при этом известны:

1. Расстояние S

2. Соотношение между скоростями V₁ и V₂.

3. Время отставания или задержки в пути t

Тогда решение таких задач находится с помощью уравнения:

При составлении уравнения удобно пользоваться следующей таблицей:

Расстояние S	Скорость V1	Скорость V2	Время

После решения задачи необходимо ещё раз объяснить ход решения и поинтересоваться у учащихся, понятно ли им данное решение. Так же необходимо заметить, что в некоторых случаях целесообразно создавать геометрические модели для лучшего восприятия условия задачи. Чаще всего такие модели составляются к задачам на движение.

4. Первичное осмысление нового материала.

Решить № 209, 214, 215.

5. Релаксация: “Поза покоя”

Сесть ближе к краю стула, опереться на спинку, руки свободно положит на колени, ноги слегка расставить. Формула общего покоя произносится медленно, тихим голосом, с длительными паузами.

Все умеют танцевать,

Прыгать, бегать, рисовать,

Но пока не все умеют

Расслабляться, отдыхать.

Есть у нас игра такая –

Очень лёгкая, простая,

Замедляется движенье,

Исчезает напряжение…

И становится понятно –

Расслабление приятно!

6. Самостоятельная работа.

Решить № 213(3).

7. Постановка домашнего задания.

Прочитать п.7 из учебника, разобрать примеры.

Решить № 210, 216, 213(6).

8. Подведение итогов урока.

Итак, сегодня на уроке мы с вами познакомились с задачами, решение которых предполагает составление и решение дробных рациональных уравнений, научились решать эти задачи при помощи составления математической модели, проверили свои знания с помощью самостоятельной работы. Всем спасибо, урок окончен.

Уроки по теме «Степень с натуральным и целым показателем»

Цели урока:

• Образовательные: Познакомить учащихся с понятием степени с целым показателем и её свойствами. Научить применять изученные понятия и свойства при вычислениях и преобразованиях.

• Развивающие: Развивать умения применять теоретические знания на практике. Развивать познавательную активность, мышление, внимание и память, умение слушать товарища, математическую речь.

• Воспитательные: воспитание интереса к математике, активности, аккуратности, дисциплинированности, умение общаться.

Ход урока.

1. Организационный этап.

Учитель. Добрый день, дорогие ребята!

Тем, кто учит математике,

Тем, кто учит математику,

Тем, кто знает и любит математику,

И тем, кто ещё не знает, что он любит математику,

Работать сегодня на уроке.

2. Мотивация урока.

Ребята, а какие ассоциации у вас вызывает слово «урок»? Давайте разложим его по буквам.

У – успех,

Р – радость,

О – одаренность,

К – коллектив.

Надеюсь, что сегодня на уроке нас ждет и успех, и радость. И мы, работая в коллективе, покажем свою одарённость.

Будьте внимательны в течение урока. Думайте, спрашивайте, предлагайте – так как дорогой к истине мы будем идти вместе.

3. Актуализация изучения темы.

Выдающийся французский философ, ученый Блез Паскаль утверждал: «Величие человека в его способности мыслить». Сегодня мы попытаемся почувствовать себя великими людьми, открывая знания для себя. А начать наш урок я хотела бы с выяснения вопроса: встречался кто-нибудь из вас в повседневной жизни со словом «степень»? Давайте приведем примеры словосочетаний из жизни, в которых оно используется, и попытаемся с их помощью разобраться, что же в жизни означает слово «степень».

точности

Степень усвоения

качества

знаний

• Каким же близким по смыслу словом можно заменить слово “степень”?

• А где мы можем уточнить его значение?

(в толковом словаре)

— Степень – это мера, сравнительная величина; уровень чего-нибудь.

— Слово “степень” находит широкое применение и в математике.

Пригадаємо відоме українське прислів’я : «Знання збираються по краплині, як вода в долині.» И соберём по капельке всё, что учили по теме: «Степень» в младших класах.

1. Дайте определение степени с натуральным показателем. (Степенью числа а с натуральным показателем п, большим 1, называется произведение п множителей, каждый из которых равен а.)

2. Как называется число, которое возводим в степень? (Число, которое возводим в степень, называют основанием)

3. Как называется число, в которое возводим степень? (Число, в которое возводим степень, называют показателем)

4. Какое число получаем при возведении в степень положительного числа? (При возведении в степень положительного числа получаем положительное число)

5. Какое число получаем при возведении отрицательного числа с четным показателем? (При возведении отрицательного числа с четным показателем получаем положительное число)

6. Какое число получаем при возведении отрицательного числа с нечетным показателем? (При возведении отрицательного числа с нечетным показателем получаем отрицательное число)

Также устно, с полным объяснением, вычислить:

Решить № 226, 227, 228.

4. Изучение нового материала.

Взгляните на число.

.

Как вы думаете, это поло­жительное или отрицательное число?

«Не верь глазам своим» — сказал бы Козьма Прутков тому, кто считает это число отрицательным. И сейчас мы разберемся, что вообще означает такая запись.

Историческая справка. Отрицательные показатели степени ввел еще в 15 веке математик Шюке. Англича­нин Джон Валлис впервые рассмотрел вопрос о целесо­образности употребления отрицательных показателей. Исаак Ньютон стал применять их систематически. В од­ном из писем в 1676 г. Ньютон указал: «Как алгебраисты вместо АА, ААА и т.д. пишут А², А³ и т.д., так я … вместо 1/а, 1/а², 1/а³ пишу а^-1, а^-2, а^-3и т.д.»

Упражнение 1. Найдите закономерность и продолжите ряд чисел …1000, 100, 10,…

(1, 1/10, 1/100, 1/1000…).

Упражнение 2. Представьте каждое из этих чисел в виде сте­пени числа 10:

…1000,100,10, 1, 1/10, 1/100,1/1000…

(… 10³, 10², 10¹, 10°, 1/10¹, 1/10², 1/10³…)

Упражнение 3. Подпишите под этими числами показатели сте­пеней:

3, 2, 1, 0,….

Продолжив этот ряд, мы получим числа -1, -2, -3 и т.д.

Сравним показатели соседних степеней. Показатель каждой степени на 1 меньше следующего. Распространим этот закон на числа справа от 10°. Получим: 1/10¹ = 10^-1, 1/10² = 10^-2…

Получается такая строка:

10^-3, 10^-2, 10^-1, 10°, 10¹, 10², 10³…

Вопрос. Можем ли мы взять степень с другим основани­ем? С любым?

Ответ. Кроме 0.

Вывод. Итак, мы можем это соглашение распространить на любое число а, отличное от нуля. Запишите в тетради формулу:




Работа с учебником

Работа с определениями п.8 (с.62, 63).Эта работа полезна тем, что учит учащихся выделять основное в тексте.

Следующее упражнение целесообразно для формирования алгоритма вычисления значения выражений, содержащих степень с отрицательным целым показателем.

Упражнение 4. Вычисли значение выражения:

Учащимся предлагается проанализировать последовательность предложенных шагов, установить верную последовательность и обобщить алгоритм вычисления значений такого типа выражений (содержащих степень с отрицательным показателем).

1) Выполнить возведение в степень;

2) Выполнить действия с дробями;

3) Заменить степени с отрицательными показателями на степени с натуральными показателями.

Верная последовательность выполнения шагов:

1. Заменить степени с отрицательными показателями на степени с натуральными показателями;

2. Выполнить возведение в степень;

3) Выполнить действия с дробями.

Вопрос. Имеет ли смысл выражение 0^-5?

Ответ. Нет, т.к. основание степени с отрицательным показателем должно быть отлично от нуля.

Вывод. 0ⁿ имеет смысл только при положительных зна­чениях n.

5. Физкультминутка

Учащимся даётся установка: «Расслабьтесь. Выпрямите спины и внимательно следите за движением шарика на экране, повторяя его движение не только глазами, но и головой.» Это упражнение позволит снять напряжение спины и зрения.

6. Закрепление нового материала.

Решить № 231, 232, 234, 236, 237, 240.

7. Самостоятельная работа.

Решить № 238.

8. Рефлексия.

Интерактивное упражнение «Незаконченное предложение»

Учитель формулирует незаконченное предложение, а учащимся предлагается продолжить по итогам своей деятельности во время урока:

«Сегодня на уроке я узнал …»

« Наиболее трудным для меня было…»

«Больше всего мне понравилось…»

«Завтра я буду более успешным, потому что…»

Ответы учащихся позволят учителю иметь представление о характере трудностей, которые испытывают учащиеся во время изучения рассматриваемой темы, а также будут формировать состояние успеха у учащегося.

9. Итоги урока. Д/з.

Интегрированное домашнее задание

• Обязательный уровень: прочитать п.8. с. 62, 63, устно ответить на вопросы 1 – 2 стр.65; решить №№ 233, 235;

• Повышенный уровень: решить №№233, 235, 239, 241;

• Творческий уровень: составьте математическую шифровку, используя степень с целым отрицательным показателем.

Известный математик К. Вейерштрасс сказал: «Нельзя быть математиком, не будучи поэтом в душе».

Если минус нам не нравится,

С этим горем можно справиться:

Знак меняем в показателе,

Степень пишем в знаменателе,

Сверху ставим единичку.

Получается? Отлично!

Коль числитель единица,

Степень в знаменателе,

Пишем мы ее как степень

С целым показателем:

Дробную черту стираем,

Единицу убираем

И еще, конечно, минус

В показатель добавляем

Урок по теме «Свойства степени с целым показателем»

Цели урока:

-способствовать выработке навыков и умений в преобразовании

и упрощении выражений, содержащих степени с целым показателем;

-формировать коммуникативные навыки и волевые качества личности

в ходе выполнения самостоятельной работы,

— развивать логическое мышление учащихся.

Ход урока

1. Организационный этап

Чтобы легче всем жилось,
Чтоб решалось, чтоб моглось.
Улыбнись, удача всем,
Чтобы не было проблем.
Улыбнулись, ребята, друг другу, создали хорошее настроение и начали работу.

2. Мотивация урока.

Однажды Сократ, окружённый учениками, поднимался к храму. Навстречу им спускалась известная афинская гетера. “Вот ты гордишься своими учениками, Сократ, — улыбнулась она ему, — но стоит мне только легонько поманить их, как они покинут тебя и пойдут вслед за мной”. Мудрец же ответил так: “Да, но ты зовёшь их вниз, в тёплую весёлую долину, а я веду их вверх, к неприступным, чистым вершинам”.

Вот и мы с вами сегодня должны подняться на одну ступеньку вверх, “преодолевая” задачи, которые будут рассмотрены на сегодняшнем уроке, тема которого «Свойства степени с целым показателем».

А эпиграфом к уроку будут слова:

«Пусть кто-нибудь попробует вычеркнуть из математики

степени, и он увидит, что без них далеко не уедешь»

М. В. Ломоносов

3. Проверка д/з. Актуализация опорных знаний.

Повторение свойства степеней:

1) Сформулируйте правило умножения степеней с одинаковыми показателями

2) Сформулируйте правило деления степеней с одинаковыми показателями

3) Сформулируйте правило возведения степени в степень

4) Сформулируйте правило возведения в степень произведения

5) Сформулируйте правило возведения в степень дроби

Устное вычисление:

а⁴ а¹⁵= а¹²а⁴=

^{а12:а4= а18:а9=}

(а²)⁵= (а⁴)⁸=

(а²в³)⁶= (а⁶в⁴)³= а⁰=

Выполняя задания, ученик допустил ошибки. Какие свойства, правила не знает ученик?

1. 3^{5 .} 3⁸=3⁴⁰

2. 8¹=1

3. 2⁴ + 2²=2⁶

4. (2а)⁵=2а⁵

5. (х²)³=х⁸

6. 3⁵*3⁸=3⁴⁰; 5²* 5³=10⁵; 2⁴+2²=2⁶; 3¹⁰:3²=5⁵

7. (2а)⁵=2а⁵; (х²)³ = х⁸; (а)³*(а²)⁴ = а^14.

4. Изучение нового материала.

Историческая пауза.

Первыми в списке арифметических действий идут сложение, вычитание, умножение и деле­ние. Представление о возведении в степень как о самостоятельной операции у математиков сложилось не сразу, хотя задачи на вычисле­ние степеней встречаются в самых древних математических текстах Древнего Египта и Междуречья.

Своеобразно описывает первые натураль­ные степени чисел Диофант Александрийский в своей знаменитой «Арифметике»:

«Все числа… состоят из неко­торого количества единиц; ясно, что они про­должаются, увеличиваясь до бесконечности. …среди них находятся: квадраты, получающиеся от умножения не­которого числа самого на себя; это же число называется стороной квадрата, затем кубы, получающиеся от умножения квадратов на их сторону, далее квадрато — квадраты — от умножения квадратов самих на себя, далее квадрато — кубы, получающиеся от умно­жения квадрата на куб его стороны, далее кубо — кубы — от умножения кубов самих на себя».

Свойства степени с целым показателем такие же, что и степени с натуральным.

Работа с учебником п. 9.













Вычисли:

а) ( в ⁶ ) ³

б) ( с ⁴ ) ⁵ * ( с^-3)⁴ : (с^-2 )³

в) х ⁵ (х ^-4 )^-1 : х ⁶ х

г) — 3с⁷в * 2с^-8 в

д) 2^-5 8² : 16 ^-1

5. Закрепление нового материала.

Решить:

Решить № 278, 280.

6. Физкультминутка

А теперь, ребята, встали,

Быстро руки вверх подняли,

В стороны, вперёд, назад,

Повернулись вправо, влево,

Тихо сели, вновь за дело

7. Самостоятельная работа

Вариант 1

1. Найдите значение выражения:

2. Преобразуйте в дробь:

3. Упростите выражение:

4. Замените выражением так, чтобы получилось верное равенство:

0.0081 =( )

Вариант 2.

1. Найдите значение выражения:

2. Преобразуйте в дробь:

3. Упростите выражение:

4. Замените выражением так, чтобы получилось верное равенство: ( )

8. Подведение итогов урока

Какие выводы в теоретическом плане вы можете сделать по уроку?

Выучить п. 9, вопросы с.74, решить № 279, 281.

9. Рефлексия

Поговорки – зеркало настроения

1. Смелость города берет

2. Если я хочу осушить болото, то мне не стоит спрашивать лягушек о их согласии на это;

3. Старая песня на новый лад;

4. Тому, кто хочет вверх, не следует забывать о теплых вещах для спуска вниз;

5. Через тернии к звездам;

6. Человек предполагает, а бог располагает;

7. Перепрыгивающему пропасть не следует делать два шага

8. Ах, как я устал от этой суеты:

9. Без труда не вытащишь рыбку из пруда.

Тема: Стандартный вид числа

Цели урока:

• Обучающие: Сформировать умения выполнять арифметические действия с числами, записанные в стандартном виде, и преобразовывать рациональные выражения, записанные с помощью степени с целым показателем.

• Развивающие: развитие логического и математического мышления, развитие творческой деятельности.

• Воспитательные: развитие личностных качеств.

Ход урока.

1. Организационный момент.

Ну-ка проверь, дружок,

Ты готов начать урок?

Все ль на месте,

Все ль в порядке-

Ручка, книжка и тетрадка?

Все ли правильно сидят?

Все ль внимательно глядят?

Тут затеи и задачи,

Игры, шутки – все для вас!

Пожелаю всем удачи.

За работу, в добрый час!

2. Мотивация урока.

Сегодняшний урок мне хочется начать с цитаты Константина Эдуардовича Циолковского — основоположника космонавтики. «Сначала я делал открытия известные всем, затем известные не многим, а потом никому не известные». Вот и мы сегодня решим несколько известных вам задач, а затем, я думаю, вы сами научитесь составлять свои задачи. Но в начале проверим знания по теме степень с целым показателем.

3. Актуализация изучения темы. Проверка д/з.

1. Дайте определение степени с натуральным показателем.

2. Дайте определение степени с целым отрицательным показателем.

3. Чему равна нулевая степень любого отличного от нуля числа?

4. Как называется число, которое возводим в степень?

5. Как называется число, в которое возводим степень?

6. Какое число получаем при возведении в степень положительного числа?

7. Какое число получаем при возведении отрицательного числа с четным показателем?

8. Какое число получаем при возведении отрицательного числа с нечетным показателем?

Проверьте, верно, ли выполнено действие. Если неверно, исправьте ошибку.

Вычислите: а) 3,2 * 10; б) 0,032 * 100;

в) 0,032*1000; г) 32,3 : 10; д) 32,3 : 100;

е) 32,3 : 1000.

Решить № 242.

4. Изучение нового материала.

Старт от английского слова (standard).

Стандарт, это образец эталон, с которого сопоставляется, т. е. когда говорят о стандарте людям легче представить, о чем идет речь.

Тема нашего урока: Стандартный вид числа. В окружающем нас мире мы сталкиваемся с очень большими и с очень маленькими числами. Где вы встречались с такими числами? Если числа очень большие или маленькие удобно ли записывать числа в таком виде? Почему? (занимает много места, времени для записи, сложно запомнить)

Как вы считаете, какой выход нашли из этой ситуации. Записать с помощью степени.

598 000 000 000 000 000

Попробуйте записать это число короче.

598∙10¹⁵, 59,8∙10¹⁶, 5,98∙10¹⁷, 0,598∙10¹⁸

Все результаты верны. Подумайте, посоветуйтесь и выскажите свое мнение, какая же запись может быть стандартной.

5,98∙10¹⁷ –почему?

Мы представили число в виде двух множителей. Первый множитель число принадлежащее промежутку от 1 до 10 «положительный». Второй множитель число 10 в любой степени тоже положительно, а при умножении двух положительных чисел получается только положительное число.

-Итак, стандартным видом числа А называется запись вида а∙10ⁿ ,где 1≤ а<10.

n- порядок числа, n-целое.

Работа с учебником (с.64, п.8).

Рассмотрим некоторые примеры:

25 000 = 2,5 * 10⁴ ;

1230 = 1,23 * 10³;

0,0036 = 3,6 * 10^-3;

24 = 2,4 * 10;

0,5 = 5 * 10^-1;

0,00038 = 3,8 * 10^{— 4};

560 000 000 = 5,6 * 10⁸;

967 000 000 000 000 = 9,67 * 10 ¹⁴;

0, 000 000 000 000 000 028 = 2,8 * 10 ^{– 17}.

Решить устно №244.

4. Закрепление нового материала.

1) Запишите в стандартном виде.

1204 тыс.км²=1204000 км²=1,204∙10⁶км²

2)0,0002007=2,007∙10^-4

3)506 тыс.км²=506000 км²=5,06∙10⁵км²

4)0,003008=3,008∙10^-3

2) Назовите порядок числа, представленного в стандартном виде:

а)1,2 * 10 ⁹ –порядок = 9;

б) 3,6 * 10 ³ – порядок = 3;

в) 2,7 * 10^-3 – порядок = -3;

г) 6,3 * 10^-1 – порядок = -1;

д) 4,42 * 10 ⁵ — порядок = 5;

е) 9,28 * 10^{— 4} – порядок = -4.

3) Запишите в стандартном виде число:

а) 52 000 000 = 5,2 * 10 ⁷;

б) 2 180 000 = 2,18 * 10 ⁶;

в) 675 000 000 = 6,75 * 10 ⁸;

г) 40,44 = 4,044 * 10;

д) 0,00281 = 2,81 * 10 ^{– 3};

е) 0,0000035 = 3,5 * 10^{— 6}.

4) Запишите в стандартном виде число:

а) 45 *10 ³= 4,5 * 10 ⁴;

б) 117 * 10 ⁵ = 1,17 * 10 ⁷;

в) 0,74 * 10 ⁶= 7,4 * 10 ⁵;

г) 0,06 * 10 ⁵ = 6 * 10 ³.

5) Масса Земли равна 6 000 000 000 000 000 000 000 т, а масса атома водорода

0, 000 000 000 000 000 000 0017 г. Запишите в стандартном виде массу Земли и массу атома водорода.

Решение:

Масса Земли – 6 * 10 ²¹ тонн, масса атома водорода – 1,7 9 10 ^{– 21} граммов.

5. Физ. минутка

-Разминаем руки плечи (круговые движения плечами)

-Чтоб сидеть нам было легче,

-Чтоб писать, считать, читать(руки пред грудью)

-И совсем не уставать.

-Голова устала тоже, так давайте ей поможем.

-Вправо, влево, раз и два (круговые движения головой)

-Думай, думай голова

—Хоть зарядка коротка отдохнули мы слегка. (садимся)

6. Самостоятельная работа.

Напишем графический диктант. На каждый вопрос вы даёте ответ: да + нет -.

1. Число 3∙10⁵ записано в стандартном виде?

2. Число 0,81∙10⁶ записано в стандартном виде?

3. Число 7,45∙10^-5 записано в стандартном виде?

4. Число 50 записано в стандартном виде?

5. Верно ли высказывание: чем больше порядок, тем больше само число?

6. Если порядок числа отрицательный, то и само число отрицательно?

7. Стандартным видом числа А называется запись вида а∙10ⁿ ,где 1≤ а<10.

8. В стандартном виде можно записать любое число?

9. Различные величины и единицы измерения могут быть отрицательными?

10. Если n>0 то А>10

6. Итоги урока. Д/З.

Ребята! Вот и подошёл к концу наш урок. Я прошу вас вспомнить:

• О чём мы сегодня вели речь на уроке?

• Какую запись числа называют его стандартным видом?

• Что такое порядок числа?

• Каким бывает порядок числа? Что можно сказать о числе с отрицательным порядком? С положительным?

(Обучающиеся дают ответы с мест, активно участвуя в подведении итогов урока.)

п 8. с. 64, решить № 245, 246, 247, 249.

Придумайте задачу из различных областей знаний, где фигурируют числа записанные в стандартном виде. Выполнить на формате бумаги А₄

Спасибо за урок.

Урок алгебры по теме:

«График обратной пропорциональности»

Цели урока:

• научить учащихся выделять среди функций обратную пропорциональность, строить график и применять при решении упражнений;

• прививать аккуратность при построении графиков функций;

• развивать мышление и самостоятельность на уроке.

Ход урока.

I. Организационный момент.

Эмоциональный настрой.

2. Постановка цели и мотивация.

Начать наш урок хочу пословицей. Прочитайте её. Как вы понимаете смысл пословицы?

МАТЕМАТИКЕ УЧИТЬСЯ – ВСЕГДА ПРИГОДИТЬСЯ.

2) Ребята, а зачем заниматься математикой?

Не зря говорят: МАТЕМАТИКА – КОРОЛЕВА НАУК!

БЕЗ НЕЁ НЕ ЛЕТЯТ КОРАБЛИ,

БЕЗ НЕЁ НЕ ПОДЕЛИШЬ НИ АКРА ЗЕМЛИ,

ДАЖЕ ХЛЕБА НЕ КУПИШЬ, РУБЛЯ НЕ СОЧТЁШЬ,

ЧТО ПОЧЁМ, НЕ УЗНАЕШЬ, А УЗНАВ, НЕ ПОЙМЁШЬ!

Над какой темой мы работали на предыдущем уроке?

3. Актуализация опорных знаний. Проверка д/з.

Математика – это наука, которая всегда сопровождала человечество. Она призвана развивать логическое мышление, внимание, тренировать мозг. Недаром ее называют «гимнастикой ума». Так давайте выполним небольшую математическую разминку.

1. Зависимость между переменными, при которой каждому значению независимой переменной соответствует значение зависимой переменной (функция).

2. Независимая переменная или … (аргумент).

3. Множество точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты – значениями функции (график)

4. Функция, заданная формулой y=kx+b. (линейная)

5. Как называется число k в формуле y=kx+b? (угловой коэффициент)

6. Что является графиком линейной функции? (прямая)

7. Если k≠0, то график функции y=kx+b пересекает эту ось, а если k=0, то параллелен ей. Какой буквой обозначается эта ось? (икс)

8. Слово в названии функции y=kx (пропорциональность)

9. Буква латинского алфавита, которой часто обозначают функцию (игрек)

10. Один из способов задания функции (формула)

Найдите область определения функций:

y=x²+8; y=; y=; y=; y=

4. Изучение нового материала.

Как заметил Г.Галилей, книга природы написана на математическом языке и её буквы — математические знаки и геометрические фигуры — невозможно понять её слова. И именно функция является тем средством математического языка, которое позволяет описывать процессы движения, изменения, присущие природе.

Впервые функция вошла в математику под именем «переменная величина» в знаменитом труде французского математика и философа Р. Декарта «Геометрия» (1637г.). С развитием науки понятие функции уточнялось и обобщалось. Основные понятия: независимая величина – аргумент, зависимая величина – функция, однозначность соответствия и др.

Как известно, всякая функция описывает какие-то процессы, происходящие в окружающем нас мире. Рассмотрим, например, прямоугольник со сторонами x, y и S=8 см. Мы знаем, что x*y=8. Посмотрим, что будет происходить с другой стороной, если будем изменять одну из сторон прямоугольника, например x. Как выразить длину второй стороны? (длина второй стороны выражается формулой y=).

Если X увеличим в 2 раза, то Y уменьшится в 2 раза; если X увеличить в 4, 5 раз, то Y уменьшится в 4, 5 раз и наоборот.

Поэтому функцию y= называют обратной пропорциональностью. В общем виде функция записывается y=, где k- константа, k≠0.

С такими функциями вы уже встречались на уроке физики. Закон Ома гласит, при постоянном напряжении сила тока обратно пропорциональна сопротивлению проводника и записывается I=; или при неизменном расстоянии скорость обратно пропорциональна времени .

Как же получить графики функций y= и y=? (соединить плавной линией точки, построенные на координатной плоскости).

Как провести график функции, если ее область определения x≠0 ?

Одних точек недостаточно для построения графика функции, поэтому выясним свойства этих функций и тогда уже построим график.

Что означает x≠0? (это означает, что график функции не пересекает ось OY).

Может ли функция y= принимать значение 0? (нет, так как график функции не пересекает ось OX).

Выясним, как изменяется Y, если X стремится к + ∞, X стремится к — ∞ и X стремится к 0, оставаясь положительным и отрицательным числом.

Решить устно № 312, 313, 315, 319.

5. Закрепление нового материала.

Решить № 320, 322, 324.

6. Физкультминутка.

Дышим носом глубоко

Дышим носом глубоко-

Поднимаемся легко.

(Приседания.)

Наклоняемся вперёд.

Прогибаемся назад.

Как деревья ветер гнёт.

Так качаемся мы в лад-

(Наклоны взад-вперёд. )

Головой теперь покрутим-

Так мы лучше думать будем.

Поворот и поворот,

А потом наоборот.

(Вращения головой в стороны.)

Встанем, дети, на носочки —

(Потягивания — руки вверх.)

На зарядке ставим точку.

7. Самостоятельная работа.

Самостоятельная дифференцированная работа.

1 группа. Построить график функции y= используя таблицу

2 группа. Построить график функции y=предварительно заполнив таблицу

3 группа. Построить график функции

8. Итоги урока. Д/з.

Закончи предложение:

Что узнали, изучив тему…

Чему научились, изучив тему…

Какие испытали трудности…

Выучить п. 10. решить № 321, 325 – 8 баллов, 323 -11 баллов.

Творческое задание: сообщение «Из истории функции».

Узнайте, как решать дробные уравнения

В этом видео мы собираемся решить дробные уравнения, например, используя наименьший общий знаменатель. После того, как вы закончите этот урок, просмотрите все наши уроки Алгебры 1 и попрактикуйтесь.

Например: , найдите значение x

Сначала найдите наименьший общий знаменатель, который равен 6x . Умножьте каждый числитель на 6x


x и 6 сокращаются со знаменателем, оставляя нам



Теперь давайте решим его, как любые другие уравнения.Вычтем 24 с обеих сторон.


Изолируйте x и у нас будет


Примеры дробных уравнений

Пример 1

Сначала найдите наименьший общий знаменатель, которым является. Умножьте каждый числитель на

, и сократимся со знаменателем, в результате чего получится

.


Вычесть с обеих сторон


Разделите с обеих сторон, чтобы изолировать

Теперь у нас есть


Пример 2

Сначала найдите наименьший общий знаменатель, которым является.Умножьте каждый числитель на

Сокращаемся со знаменателем и получаем


Вычесть с обеих сторон


Разделите с обеих сторон, чтобы изолировать

Теперь у нас есть


Стенограмма видеоурока

В этом уроке мы рассмотрим дробные уравнения.

Это просто уравнение с дробями. Но это алгебра.

Итак, это будет немного сложно.

Например:

Вернемся на секунду к обычным дробям.Просто небольшое примечание.

Если мы собираемся добавить

нам нужен общий знаменатель.

Мы не можем просто добавить это так, как есть.

Общий знаменатель для них.

Чтобы изменить знаменатель на, мы должны умножить числитель и знаменатель на одно и то же число.

В первой дроби мы должны умножить на, а вторую дробь нужно умножить на.

Мы собираемся использовать ту же концепцию при решении дробных уравнений.

Во-первых, мы должны найти наименьшее общее кратное знаменателей.

Итак, наш наименьший общий знаменатель (ЖКД).

Но вместо того, чтобы получить наименьший общий знаменатель и по-прежнему иметь дроби, мы просто умножим все на наименьший общий знаменатель.

Если мы умножим все на, все будет аннулировано.

И это больше не будет дробным уравнением. Это будут регулярные уравнения.

Теперь мы можем отменить знаменатели.

Теперь мы можем решить это как обычное уравнение.

Мы хотим изолировать, используя обратные операции.

Наш ответ:

Итак, для дробных уравнений мы должны найти наименьший общий знаменатель.

Но мы не собираемся манипулировать ими, чтобы иметь общий знаменатель.

Вместо этого мы собираемся умножить каждый член на наименьший общий знаменатель, чтобы знаменатель каждого члена сократился.

Затем мы получаем новое уравнение, которое мы можем найти.

4.9: Решение уравнений с дробями

Отмена вычитания

Мы все еще можем добавить одинаковую сумму к обеим частям уравнения, не меняя решение.

Пример 1

Решите относительно x : \ (x — \ frac {5} {6} = \ frac {1} {3} \).

Решение

Чтобы «отменить» вычитание 5/6, прибавьте 5/6 к обеим частям уравнения и упростите.

\ [\ begin {align} x — \ frac {5} {6} = \ frac {1} {3} ~ & \ textcolor {red} {\ text {Исходное уравнение.}} \\ x — \ frac {5} {6} + \ frac {5} {6} = \ frac {1} {3} + \ frac {5} {6} ~ & \ textcolor {red} {\ текст {Add} \ frac {5} {6} \ text {в обе стороны.}} \\ x = \ frac {1 \ cdot 2} {3 \ cdot 2} + \ frac {5} {6} ~ & \ textcolor {red} {\ text {Эквивалентные дроби, LCD = 6. }} \\ x = \ frac {2} {6} + \ frac {5} {6} ~ & \ textcolor {red} {\ text { Упростить.}} \\ x = \ frac {7} {6} ~ & \ textcolor {red} {\ text {Add.}} \ End {align} \ nonumber \]

Вполне допустимо оставлять свой ответ в виде неправильной дроби. Если вы хотите или если вас попросят сделать это, вы можете изменить свой ответ на смешанную дробь (7, разделенное на 6, будет равно 1, а остаток — 1).То есть \ (x = 1 \ frac {1} {6} \).

Проверка решения

Замените 7/6 на x в исходном уравнении и упростите.

\ [\ begin {align} x — \ frac {5} {6} = \ frac {1} {3} ~ & \ textcolor {red} {\ text {Исходное уравнение.}} \\ \ frac {7} {6} — \ frac {5} {6} = \ frac {1} {3} ~ & \ textcolor {red} {\ text {Заменить 7/6 на} x.} \\ \ frac {2} {6 } = \ frac {1} {3} ~ & \ textcolor {red} {\ text {Subtract.}} \\ \ frac {1} {3} = \ frac {1} {3} ~ & \ textcolor {красный } {\ text {Уменьшить.}} \ конец {выровнено} \ nonumber \]

Поскольку последнее утверждение верно, мы заключаем, что 7/6 является решением уравнения x — 5/6 = 1/3.

Отмена добавления

Вы по-прежнему можете вычесть одинаковую сумму из обеих частей уравнения, не меняя решение.

Пример 2

Решите относительно x : \ (x + \ frac {2} {3} = — \ frac {3} {5} \).

Решение

Чтобы «отменить» сложение 2/3, вычтите 2/3 из обеих частей уравнения и упростите.

\ [\ begin {align} x + \ frac {2} {3} = — \ frac {3} {5} ~ & \ textcolor {red} {\ text {Исходное уравнение.}} \\ x + \ frac {2} {3} — \ frac {2} {3} = — \ frac {3} {5} — \ frac {2} {3} ~ & \ textcolor {red} {\ text {Subtract} \ frac { 2} {3} \ text {с обеих сторон.}} \\ x = — \ frac {3 \ cdot 3} {5 \ cdot 3} — \ frac {2 \ cdot 5} {3 \ cdot 5} ~ & \ textcolor {red} {\ text {Эквивалентные дроби, LCD = 15.}} \\ x = — \ frac {9} {15} — \ frac {10} {15} ~ & \ textcolor {red} {\ text {Упростить.}} \\ x = — \ frac {19} {15} ~ & \ textcolor {red} {\ text {Вычесть.}} \ конец {выровнено} \ nonumber \]

Читателям предлагается проверить это решение в исходном уравнении.

Упражнение

Решите относительно x : \ (x + \ frac {3} {4} = — \ frac {1} {2} \)

Ответ

−5/4

Отмена умножения

Мы «отменяем» умножение делением. Например, чтобы решить уравнение 2 x = 6, мы разделим обе части уравнения на 2.Аналогичным образом мы могли бы разделить обе части уравнения

\ [\ frac {3} {5} x = \ frac {4} {10} \ nonumber \]

на 3/5. Однако более эффективно использовать обратные. Для удобства мы напоминаем читателям о мультипликативном обратном свойстве .

Мультипликативное обратное свойство

Пусть a / b — любая дробь. Число b / a называется мультипликативным обратным или обратным числом a / b .Произведение обратных величин 1.

\ [\ frac {a} {b} \ cdot \ frac {b} {a} = 1. \ nonumber \]

Давайте применим наши знания о взаимных вычислениях.

Пример 3

Решите относительно x : \ (\ frac {3} {5} x = \ frac {4} {10} \).

Решение

Чтобы «отменить» умножение на 3/5, умножьте обе части на обратное 5/3 и упростите.

\ [\ begin {align} \ frac {3} {5} x = \ frac {4} {10} ~ & \ textcolor {red} {\ text {Исходное уравнение.}} \\ \ frac {5} {3} \ left (\ frac {3} {5} x \ right) = \ frac {5} {3} \ left (\ frac {4} {10} \ right) & ~ \ textcolor {red} {\ text {Умножьте обе стороны на 5/3.}} \\ \ left (\ frac {5} {3} \ cdot \ frac {3} {5} \ right) x = \ frac {20} {30} ~ & \ textcolor {red} {\ begin {array} {l} \ text {Слева используйте ассоциативное свойство для перегруппировки.} \\ \ text {Справа — умножение.} \ end {array}} \\ 1x = \ frac {2} {3} ~ & \ textcolor {red} {\ begin {array} {l} \ text {Слева} \ frac {5} {3} \ cdot \ frac {3} {5} = 1. \\ \ text {Справа уменьшите:} \ frac {20} {30} = \ frac {2} {3}.\ end {array}} \\ x = \ frac {2} {3} ~ & \ textcolor {red} {\ text {Слева} 1x = x. } \ end {align} \ nonumber \]

Проверка решения

Замените 2/3 на x в исходном уравнении и упростите.

\ [\ begin {align} \ frac {3} {5} x = \ frac {4} {10} ~ & \ textcolor {red} {\ text {Исходное уравнение.}} \\ \ frac {3} { 5} \ left (\ frac {2} {3} \ right) = \ frac {4} {10} ~ & \ textcolor {red} {\ text {Замените 2/3 на} x.} \\ \ frac { 6} {15} = \ frac {4} {10} ~ & \ textcolor {red} {\ text {Умножение числителей; умножьте знаменатели.}} \\ \ frac {2} {5} = \ frac {2} {5} ~ & \ textcolor {red} {\ text {Уменьшить обе стороны до наименьших значений.}} \ end {align} \ nonumber \]

Поскольку это последнее утверждение верно, мы заключаем, что 2/3 является решением уравнения (3/5) x = 4/10.

Упражнение

Решите относительно y : \ (\ frac {2} {3} y = \ frac {4} {5} \)

Ответ

6/5

Пример 4

Решите относительно x : \ (- \ frac {8} {9} x = \ frac {5} {18} \).

Решение

Чтобы «отменить» умножение на −8/9, умножьте обе части на обратное −9/8 и упростите.

\ [\ begin {align} — \ frac {8} {9} x = \ frac {5} {18} ~ & \ textcolor {red} {\ text {Исходное уравнение.}} \\ — \ frac {9 } {8} \ left (- \ frac {8} {9} x \ right) = — \ frac {9} {8} \ left (\ frac {5} {18} \ right) ~ & \ textcolor {красный } {\ text {Умножьте обе стороны на} -9/8.} \\ \ left [- \ frac {9} {8} \ cdot \ left (- \ frac {8} {9} \ right) \ right] x = — \ frac {3 \ cdot 3} {2 \ cdot 2 \ cdot 2} \ cdot \ frac {5} {2 \ cdot 3 \ cdot 3} ~ & \ textcolor {red} {\ begin {array} { l} \ text {Слева используйте свойство ассоциативности для перегруппировки.} \\ \ text {Справа, простой множитель.} \ end {array}} 1x = \ frac {\ cancel {3} \ cdot \ cancel {3}} {2 \ cdot 2 \ cdot 2} \ cdot \ frac {5} {2 \ cdot \ cancel {3} \ cdot \ cancel {3}} ~ & \ textcolor {red} {\ begin {array} {l} \ text {Слева} — \ frac {9 } {8} \ cdot \ left (- \ frac {8} {9} \ right) = 1. \\ \ text {Справа отмените общие множители.} \ End {array}} \\ x = — \ frac {5} {16} ~ & \ textcolor {red} {\ text {Слева} 1x = x. \ text {Умножение справа.}} \ end {Выровнено} \ nonumber \]

Читателям предлагается проверить это решение в исходном уравнении.

Упражнение

Решить относительно z: \ (- \ frac {2} {7} z = \ frac {4} {21} \)

Ответ

−2/3

Удаление дробей из уравнения

Хотя техника, продемонстрированная в предыдущих примерах, является надежной математической техникой, работа с дробями в уравнении не всегда является наиболее эффективным использованием вашего времени.

Удаление дробей из уравнения

Чтобы удалить все дроби из уравнения, умножьте обе части уравнения на наименьший общий знаменатель дробей, встречающихся в уравнении.

Давайте воплотим эту идею в жизнь.

Пример 5

В примере 1 нас попросили решить следующее уравнение для x :

\ [x — \ frac {5} {6} = \ frac {1} {3}. \ Nonumber \]

Найдите минутку, чтобы рассмотреть технику решения в примере 1. Теперь мы решим это уравнение, сначала удалив все дроби из уравнения.

Решение

Умножьте обе части уравнения на наименьший общий знаменатель дробей, фигурирующих в уравнении.

\ [\ begin {align} x — \ frac {5} {6} = \ frac {1} {3} ~ & \ textcolor {red} {\ text {Исходное уравнение.}} \\ 6 \ left (x — \ frac {5} {6} \ right) = 6 \ left (\ frac {1} {3} \ right) ~ & \ textcolor {red} {\ text {Умножаем обе стороны на 6.}} \\ 6x — 6 \ left (\ frac {5} {6} \ right) = 6 \ left (\ frac {1} {3} \ right) ~ & \ textcolor {red} {\ text {Распределить 6.}} \ \ 6x-5 = 2 ~ & \ textcolor {red} {\ text {Сначала умножьте с каждой стороны.}} \\ ~ & \ textcolor {red} {6 \ left (\ frac {5} {6} \ right ) = 5 \ text {и} 6 \ left (\ frac {1} {3} \ right) = 2.} \ конец {выровнено} \ nonumber \]

Обратите внимание, что уравнение теперь полностью очищено от дробей, что значительно упрощает его решение.

\ [\ begin {align} 6x — 5 + 5 = 2 + 5 ~ & \ textcolor {red} {\ text {Добавьте 5 к обеим сторонам.}} \\ 6x = 7 ~ & \ textcolor {red} {\ text {Упростите обе стороны.}} \\ \ frac {6x} {6} = \ frac {7} {6} ~ & \ textcolor {red} {\ text {Разделите обе стороны на 6.}} \\ x = \ frac {7} {6} ~ & \ textcolor {red} {\ text {Упростить.}} \ end {align} \ nonumber \]

Обратите внимание, что это то же самое решение, что и в Примере 1.

Упражнение

Решить относительно t : \ (t — \ frac {2} {7} = — \ frac {1} {4} \)

Ответ

1/28

Пример 6

В примере 4 нас попросили решить следующее уравнение для x .

\ [- \ frac {8} {9} x = \ frac {5} {18} \ nonumber \]

Найдите минутку, чтобы просмотреть решение в примере 4. Теперь мы решим это уравнение, сначала удалив все дроби из уравнения.

Решение

Умножьте обе части уравнения на наименьший общий знаменатель дробей, фигурирующих в уравнении.

\ [\ begin {align} — \ frac {8} {9} x = \ frac {5} {18} ~ & \ textcolor {red} {\ text {Исходное уравнение.}} \\ 18 \ left (- \ frac {8} {9} x \ right) = 18 \ left (\ frac {5} {18} \ right) ~ & \ textcolor {red} {\ text {Умножаем обе стороны на 18.}} \\ — 16x = 5 ~ & \ textcolor {red} {\ text {С каждой стороны, отменить и умножить.}} \\ ~ & \ textcolor {red} {18 \ left (- \ frac {8} {9} \ right) = -16 \ text {и} 18 \ left (\ frac {5} {18} \ right) = 5.} \ конец {выровнено} \ nonumber \]

Обратите внимание, что уравнение теперь полностью избавлено от дробей. Продолжая,

\ [\ begin {align} \ frac {-16x} {- 16} = \ frac {5} {- 16} ~ & \ textcolor {red} {\ text {Разделите обе стороны на} -16.} \\ x = — \ frac {5} {16} ~ & \ textcolor {red} {\ text {Упростить.}} \ end {align} \ nonumber \]

Обратите внимание, что это то же самое решение, что и в примере 4.

Упражнение

Решить относительно u :

\ [- \ frac {7} {9} u = \ frac {14} {27} \ nonumber \]

Ответ

−2/3

Пример 7

Решите относительно x : \ (\ frac {2} {3} x + \ frac {3} {4} = \ frac {1} {2} \).

Решение

Умножьте обе части уравнения на наименьший общий знаменатель дробей, фигурирующих в уравнении.

\ [\ begin {align} \ frac {2} {3} x + \ frac {3} {4} = \ frac {1} {2} ~ & \ textcolor {red} {\ text {Исходное уравнение.} } \\ 12 \ left (\ frac {2} {3} x + \ frac {3} {4} = \ right) = 12 \ left (\ frac {1} {2} \ right) ~ & \ textcolor { red} {\ text {Умножьте обе стороны на 12.}} \\ 12 \ left (\ frac {2} {3} x \ right) + 12 \ left (\ frac {3} {4} \ right) = 12 \ left (\ frac {1} {2} \ right) ~ & \ textcolor {red} {\ text {Слева распределите 12 штук.}} \\ 8x + 9 = 6 ~ & \ textcolor {red} {\ text {Умножение:} 12 \ left (\ frac {2} {3} x \ right) = 8x, ~ 12 \ left (\ frac { 3} {4} \ right) = 9,} \\ ~ & \ textcolor {red} {\ text {и} 12 \ left (\ frac {1} {2} \ right) = 6.} \ end {выровнено } \ nonumber \]

Обратите внимание, что уравнение теперь полностью избавлено от дробей. Нам нужно изолировать члены, содержащие x , на одной стороне уравнения.

\ [\ begin {align} 8x + 9 — 9 = 6 — 9 ~ & \ textcolor {red} {\ text {Вычтите 9 с обеих сторон.}} \\ 8x = — 3 ~ & \ textcolor {red} {\ text {Упростите обе стороны.}} \\ \ frac {8x} {8} = \ frac {-3} {8} ~ & \ textcolor { red} {\ text {Разделите обе стороны на 8.}} \\ x = — \ frac {3} {8} ~ & \ textcolor {red} {\ text {Упростите обе стороны.}} \ end {align} \ nonumber \]

Читателям предлагается проверить это решение в исходном уравнении.

Упражнение

Решить относительно r : \ (\ frac {3} {4} r + \ frac {2} {3} = \ frac {1} {2} \)

Ответ

−2/9

Пример 8

Решите относительно x : \ (\ frac {2} {3} — \ frac {3x} {4} = \ frac {x} {2} — \ frac {1} {8}.\)

Решение

Умножьте обе части уравнения на наименьший общий знаменатель дробей в уравнении.

\ [\ begin {align} \ frac {2} {3} — \ frac {3x} {4} = \ frac {x} {2} — \ frac {1} {8} ~ & \ textcolor {красный} {\ text {Исходное уравнение. }} \\ 24 \ left (\ frac {2} {3} — \ frac {3x} {4} \ right) = 24 \ left (\ frac {x} {2} — \ frac {1} {8} \ right) ~ & \ textcolor {red} {\ text {Умножьте обе стороны на 24.}} \\ 24 \ left (\ frac {2} {3} \ right) — 24 \ left (\ frac {3x} {4} \ right) = 24 \ left (\ frac {x} {2} \ right) — 24 \ left (\ frac {1} {8} \ right) ~ & \ textcolor {красный } {\ text {С обеих сторон распределите по 24 штуки.}} \\ 16 — 18x = 12x — 3 ~ & \ textcolor {red} {\ text {Left:} 24 \ left (\ frac {2} {3} \ right) = 16, ~ 24 \ left (\ frac {3x} {4} \ right) = 18x.} \\ ~ & \ textcolor {red} {\ text {Right:} 24 \ left (\ frac {x} {2} \ right) = 12x, ~ 24 \ слева (\ frac {1} {8} \ right) = 3.} \ end {align} \ nonumber \]

Обратите внимание, что уравнение теперь полностью избавлено от дробей. Нам нужно изолировать члены, содержащие x, на одной стороне уравнения.

\ [\ begin {align} 16 — 18x — 12x = 12x — 3 — 12x ~ & \ textcolor {red} {\ text {Subtract} 12x \ text {с обеих сторон.}} \\ 16 — 30x = -3 ~ & \ textcolor {красный} {\ begin {выровненный} \ text {Left:} -18x — 12x = -30x. \\ \ text {Right:} 12x — 12x = 0. \ end {align}} \\ 16 — 30x — 16 = -3 — 16 ~ & \ textcolor {red} {\ text {Вычтите 16 с обеих сторон.} } \\ -30x = -19 ~ & \ textcolor {красный} {\ begin {align} \ text {Left:} 16-16 = 0. \\ \ text {Справа:} -3 — 16 = -19. \ end {align}} \\ \ frac {-30x} {- 30} = \ frac {-19} {- 30} ~ & \ textcolor {red} {\ text {Разделите обе стороны на} -30.} \ \ x = \ frac {19} {30} ~ & \ textcolor {red} {\ text {Упростите обе стороны.}} \ конец {выровнено} \ nonumber \]

Читателям предлагается проверить это решение в исходном уравнении.

Упражнение

Решите для s : \ (\ frac {3} {2} — \ frac {2s} {5} = \ frac {s} {3} — \ frac {1} {5} \).

Ответ

Добавьте сюда текст. Не удаляйте сначала этот текст.

Приложения

Давайте посмотрим на некоторые приложения, в которых используются уравнения, содержащие дроби.Для удобства мы повторяем требования для решения проблем Word .

Требования к решению проблем Word

1. Настройка словаря переменных . Вы должны сообщить своим читателям, что представляет собой каждая переменная в вашей проблеме. Это можно сделать несколькими способами:
   1. Такие утверждения, как «Пусть P представляет периметр прямоугольника».
   2. Пометка неизвестных значений переменными в таблице.
   3. Обозначение неизвестных величин на эскизе или диаграмме.
2. Установите уравнение . Каждое решение проблемы со словом должно включать тщательно составленное уравнение, которое точно описывает ограничения в постановке задачи.
3. Решите уравнение . Вы всегда должны решать уравнение, заданное на предыдущем шаге.
4. Ответьте на вопрос . Этот шаг легко упустить из виду. Например, в задаче может задаваться вопрос о возрасте Джейн, но решение вашего уравнения дает возраст сестры Джейн, Лиз. Убедитесь, что вы ответили на исходный вопрос, заданный в задаче. Ваше решение должно быть записано в предложении с соответствующими единицами. 5. Оглянитесь назад. Важно отметить, что этот шаг не означает, что вы должны просто проверить свое решение в своем уравнении. В конце концов, возможно, что ваше уравнение неверно моделирует ситуацию проблемы, поэтому у вас может быть действительное решение неправильного уравнения. Важный вопрос: «Имеет ли ваш ответ смысл на основе слов в исходной постановке задачи.”

Пример 9

В третьей четверти баскетбольного матча дикторы сообщили толпе, что на игру пришло 12 250 человек. Если это две трети вместимости, найдите полную вместимость баскетбольной арены.

Решение

Мы соблюдаем требования для решения проблем Word .

1. Настройка словаря переменных . Пусть F представляет полную пассажировместимость. Примечание: гораздо лучше использовать переменную, которая «звучит как» величина, которую она представляет. В этом случае использование F для представления полной вместимости пассажиров более наглядно, чем использование x для представления полной вместимости сидячих мест.

2. Установите уравнение . Две трети от полной вместимости — 12 250 человек.

\ [\ begin {align} \ colorbox {cyan} {Две трети} & \ text {of} & \ colorbox {cyan} {Полная вместимость} & \ text {is} & 12,250 \\ \ frac {2} {3} & \ cdot & F & = & 12,250 \ end {align} \ nonumber \]

Следовательно, уравнение

\ [\ frac {2} {3} F = 12250.\ nonumber \]

3. Решите уравнение . Умножьте обе части на 3, чтобы получить четкие дроби, затем решите.

\ [\ begin {align} \ frac {2} {3} F = 12250 ~ & \ textcolor {red} {\ text {Исходное уравнение.}} \\ 3 \ left (\ frac {2} {3} F \ right) = 3 (12250) ~ & \ textcolor {red} {\ text {Умножьте обе стороны на 3.}} \\ 2F = 36750 ~ & \ textcolor {red} {\ text {Упростите обе стороны.}} \ \ \ frac {2F} {2} = \ frac {36750} {2} ~ & \ textcolor {red} {\ text {Разделите обе стороны на 2. }} \\ F = 18375 ~ & \ textcolor {red} { \ text {Упростите обе стороны.}} \ конец {выровнено} \ nonumber \]

4. Ответить на вопрос . Полная вместимость — 18 375 человек.

5. Оглянуться назад . В словах проблемы указано, что 2/3 пассажировместимости составляет 12 250 человек. Давайте возьмем две трети нашего ответа и посмотрим, что мы получим.

\ [\ begin {align} \ frac {2} {3} \ cdot 18375 & = \ frac {2} {3} \ cdot \ frac {18375} {1} \\ & = \ frac {2} {3 } \ cdot \ frac {3 \ cdot 6125} {1} \\ & = \ frac {2} {\ cancel {3}} \ cdot \ frac {\ cancel {3} \ cdot 6125} {1} \\ & = 12250 \ конец {выровнено} \ nonumber \]

Это правильная посещаемость, поэтому наше решение правильное.

Упражнение

Посещаемость игры «Селтикс» составила 9 510 человек. Если это 3/4 вместимости, какова вместимость арены «Селтикс»?

Ответ

12 680

Пример 10

Площадь треугольника составляет 20 квадратных дюймов. Если длина основания составляет \ (2 \ frac {1} {2} \) дюймов, найдите высоту (высоту) треугольника.

Решение

Мы соблюдаем требования для решения проблем Word .

1. Настройка словаря переменных . Наш словарь переменных будет иметь форму хорошо размеченной диаграммы.

2. Установите уравнение . Площадь A треугольника с основанием b и высотой h составляет

.

\ [A = \ frac {1} {2} bh. \ Nonumber \]

Заменить A = 20 и b = \ (2 \ frac {1} {2} \).

\ [20 = \ frac {1} {2} \ left (2 \ frac {1} {2} \ right) h. \ Nonumber \]

3. Решите уравнение . Измените смешанную дробь на неправильную дробь, а затем упростите.

\ [\ begin {align} 20 = \ frac {1} {2} \ left (2 \ frac {1} {2} \ right) h ~ & \ textcolor {red} {\ text {Исходное уравнение.}} \\ 20 = \ frac {1} {2} \ left (\ frac {5} {2} \ right) h ~ & \ textcolor {red} {\ text {Смешано с неправильным:} 2 \ frac {1} { 2} = \ frac {5} {2}. } \\ 20 = \ left (\ frac {1} {2} \ cdot \ frac {5} {2} \ right) h ~ & \ textcolor {red} { \ text {Ассоциативное свойство.}} \\ 20 = \ frac {5} {4} h ~ & \ textcolor {red} {\ text {Умножение:} \ frac {1} {2} \ cdot \ frac {5} {2} = \ frac {5} {4}.} \ конец {выровнено} \ nonumber \]

Теперь умножьте обе части на 4/5 и решите.

\ [\ begin {align} \ frac {4} {5} (20) = \ frac {4} {5} \ left (\ frac {5} {4} h \ right) ~ & \ textcolor {красный} {\ text {Умножьте обе стороны на 4/5.}} \\ 16 = h ~ & \ textcolor {red} {\ text {Simplify:} \ frac {4} {5} (20) = 16} \\ ~ & \ textcolor {красный} {\ text {и} \ frac {4} {5} \ cdot \ frac {5} {4} = 1.} \ end {align} \ nonumber \]

4. Ответить на вопрос . Высота треугольника 16 дюймов.

5. Оглянуться назад . Если высота составляет 16 дюймов, а основание — \ (2 \ frac {1} {2} \) дюймов, то площадь равна

.

\ [\ begin {align} A & = \ frac {1} {2} \ left (2 \ frac {1} {2} \ right) (16) \\ & = \ frac {1} {2} \ cdot \ frac {5} {2} \ cdot \ frac {16} {1} \\ & = \ frac {5 \ cdot 16} {2 \ cdot 2} \\ & = \ frac {(5) \ cdot ( 2 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 2)} {(2) \ cdot (2)} \\ & = \ frac {5 \ cdot \ cancel {2} \ cdot \ cancel {2} \ cdot 2 \ cot 2 } {\ cancel {2} \ cdot \ cancel {2}} & = 20 \ end {align} \ nonumber \]

Это правильная площадь (20 квадратных дюймов), поэтому наше решение правильное.

Упражнение

Площадь треугольника составляет 161 квадратный фут. Если основание треугольника составляет \ (40 \ frac {1} {4} \) футов, найдите высоту треугольника.

Ответ

8 футов

Упражнения

1. Является ли 1/4 решением уравнения \ (x + \ frac {5} {8} = \ frac {5} {8} \)?

2. Является ли 1/4 решением уравнения \ (x + \ frac {1} {3} = \ frac {5} {12} \)?

3. Является ли −8/15 решением уравнения \ (\ frac {1} {4} x = — \ frac {1} {15} \)?

4.Является ли −18/7 решением уравнения \ (- \ frac {3} {8} x = \ frac {25} {28} \)?

5. Является ли 1/2 решением уравнения \ (x + \ frac {4} {9} = \ frac {17} {18} \)?

6. Является ли 1/3 решением уравнения \ (x + \ frac {3} {4} = \ frac {13} {12} \)?

7. Является ли 3/8 решением уравнения \ (x — \ frac {5} {9} = — \ frac {13} {72} \)?

8. Является ли 1/2 решением уравнения \ (x — \ frac {3} {5} = — \ frac {1} {10} \)?

9. Является ли 2/7 решением уравнения \ (x — \ frac {4} {9} = — \ frac {8} {63} \)?

10.Является ли 1/9 решением уравнения \ (x — \ frac {4} {7} = — \ frac {31} {63} \)?

11. Является ли 8/5 решением уравнения \ (\ frac {11} {14} x = \ frac {44} {35} \)?

12. Является ли 16/9 решением уравнения \ (\ frac {13} {18} x = \ frac {104} {81} \)?

---

В упражнениях 13-24 решите уравнение и упростите свой ответ.

13. \ (2x — 3 = 6x + 7 \)

14. \ (9x — 8 = −9x — 3 \)

15. \ (- 7x + 4 = 3x \)

16. \ (6x + 9 = −6x \)

17.\ (- 2x = 9x — 4 \)

18. \ (- 6x = −9x + 8 \)

19. \ (- 8x = 7x — 7 \)

20. \ (- 6x = 5x + 4 \)

21. \ (- 7x + 8 = 2x \)

22. \ (- х — 7 = 3х \)

23. \ (- 9x + 4 = 4x — 6 \)

24. \ (- 2x + 4 = x — 7 \)

---

В упражнениях 25–48 решите уравнение и упростите свой ответ.

25. \ (x + \ frac {3} {2 = \ frac {1} {2} \)

26. \ (x — \ frac {3} {4} = \ frac {1} {4} \)

27. \ (- \ frac {9} {5} x = \ frac {1} {2} \)

28.\ (\ frac {7} {3} x = — \ frac {7} {2} \)

29. \ (\ frac {3} {8} x = \ frac {8} {7} \)

30. \ (- \ frac {1} {9} x = — \ frac {3} {5} \)

31. \ (\ frac {2} {5} x = — \ frac {1} {6} \)

32. \ (\ frac {1} {6} x = \ frac {2} {9} \)

33. \ (- \ frac {3} {2} x = \ frac {8} {7} \)

34. \ (- \ frac {3} {2} x = — \ frac {7} {5} \)

35. \ (x + \ frac {3} {4} = \ frac {5} {9} \)

36. \ (x — \ frac {1} {9} = — \ frac {3} {2} \)

37. \ (x — \ frac {4} {7} = \ frac {7} {8} \)

38.\ (x + \ frac {4} {9} = — \ frac {3} {4} \)

39. \ (x + \ frac {8} {9} = \ frac {2} {3} \)

40. \ (x — \ frac {5} {6} = \ frac {1} {4} \)

41. \ (x + \ frac {5} {2} = — \ frac {9} {8} \)

42. \ (x + \ frac {1} {2} = \ frac {5} {3} \)

43. \ (- \ frac {8} {5} x = \ frac {7} {9} \)

44. \ (- \ frac {3} {2} x = — \ frac {5} {9} \)

45. \ (x — \ frac {1} {4} = — \ frac {1} {8} \)

46. \ (x — \ frac {9} {2} = — \ frac {7} {2} \)

47. \ (- \ frac {1} {4} x = \ frac {1} {2} \)

48.\ (- \ frac {8} {9} x = — \ frac {8} {3} \)

---

В упражнениях 49–72 решите уравнение и упростите свой ответ.

49. \ (- \ frac {7} {3} x — \ frac {2} {3} = \ frac {3} {4} x + \ frac {2} {3} \)

50. \ (\ frac {1} {2} x — \ frac {1} {2} = \ frac {3} {2} x + \ frac {3} {4} \)

51. \ (- \ frac {7} {2} x — \ frac {5} {4} = \ frac {4} {5} \)

52. \ (- \ frac {7} {6} x + \ frac {5} {6} = — \ frac {8} {9} \)

53. \ (- \ frac {9} {7} x + \ frac {9} {2} = — \ frac {5} {2} \)

54.\ (\ frac {5} {9} x — \ frac {7} {2} = \ frac {1} {4} \)

55. \ (\ frac {1} {4} x — \ frac {4} {3} = — \ frac {2} {3} \)

56. \ (\ frac {8} {7} x + \ frac {3} {7} = \ frac {5} {3} \)

57. \ (\ frac {5} {3} x + \ frac {3} {2} = — \ frac {1} {4} \)

58. \ (\ frac {1} {2} x — \ frac {8} {3} = — \ frac {2} {5} \)

59. \ (- \ frac {1} {3} x + \ frac {4} {5} = — \ frac {9} {5} x — \ frac {5} {6} \)

60. \ (- \ frac {2} {9} x — \ frac {3} {5} = \ frac {4} {5} x — \ frac {3} {2} \)

61. \ (- \ frac {4} {9} x — \ frac {8} {9} = \ frac {1} {2} x — \ frac {1} {2} \)

62.\ (- \ frac {5} {4} x — \ frac {5} {3} = \ frac {8} {7} x + \ frac {7} {3} \)

63. \ (\ frac {1} {2} x — \ frac {1} {8} = — \ frac {1} {8} x + \ frac {5} {7} \)

64. \ (- \ frac {3} {2} x + \ frac {8} {3} = \ frac {7} {9} x — \ frac {1} {2} \)

65. \ (- \ frac {3} {7} x — \ frac {1} {3} = — \ frac {1} {9} \)

66. \ (\ frac {2} {3} x + \ frac {2} {9} = — \ frac {9} {5} \)

67. \ (- \ frac {3} {4} x + \ frac {2} {7} = \ frac {8} {7} x — \ frac {1} {3} \)

68. \ (\ frac {1} {2} x + \ frac {1} {3} = — \ frac {5} {2} x — \ frac {1} {4} \)

69.\ (- \ frac {3} {4} x — \ frac {2} {3} = — \ frac {2} {3} x — \ frac {1} {2} \)

70. \ (\ frac {1} {3} x — \ frac {5} {7} = \ frac {3} {2} x + \ frac {4} {3} \)

71. \ (- \ frac {5} {2} x + \ frac {9} {5} = \ frac {5} {8} \)

72. \ (\ frac {9} {4} x + \ frac {4} {3} = — \ frac {1} {6} \)

---

73. На местном футбольном матче дикторы сообщили толпе, что на игру пришло 4 302 человека. Если это 2/9 вместимости, найдите полную вместимость футбольного стадиона.

74.На местном баскетбольном матче дикторы сообщили толпе, что на игру пришло 5 394 человека. Если это 2/7 вместимости, найдите полную вместимость баскетбольного стадиона.

75. Площадь треугольника составляет 51 квадратный дюйм. Если длина основания составляет \ (8 \ frac {1} {2} \) дюймов, найдите высоту (высоту) треугольника.

76. Площадь треугольника составляет 20 квадратных дюймов. Если длина основания составляет \ (2 \ frac {1} {2} \) дюймов, найдите высоту (высоту) треугольника.

77. Площадь треугольника составляет 18 квадратных дюймов. Если длина основания составляет \ (4 \ frac {1} {2} \) дюймов, найдите высоту (высоту) треугольника.

78. Площадь треугольника составляет 44 квадратных дюйма. Если длина основания составляет \ (5 \ frac {1} {2} \) дюймов, найдите высоту (высоту) треугольника.

79. На местном хоккейном матче дикторы сообщили толпе, что на игру пришло 4 536 человек. Если это 2/11 вместимости, найдите полную вместимость хоккейного стадиона.

80. На местном футбольном матче дикторы сообщили толпе, что на игру пришло 6970 человек. Если это 2/7 вместимости, найдите полную вместимость футбольного стадиона.

---

81. Пираты . Около одной трети пиратских нападений в мире в 2008 году произошло у побережья Сомали. Если было 111 пиратских нападений у побережья Сомали, оцените количество пиратских нападений во всем мире в 2008 году.

82. Ядерный арсенал . U.С. и Россия договорились сократить ядерные арсеналы ядерного оружия большой дальности примерно на треть, до 1 550. Сколько сейчас ядерного оружия большой дальности? Associated Press-Times-Standard 04/04/10 Ядерный центр обеспокоен сокращением ракет.

83. Хранилище семян . Глобальное хранилище семян на Свальбарде собрало полмиллиона образцов семян и теперь хранит не менее одной трети семян сельскохозяйственных культур в мире. Оцените общее количество семян сельскохозяйственных культур в мире. Associated Press-Times-Standard 15.03.10 Норвегия в хранилище семян судного дня достигла отметки в полмиллиона.

84. Товарный поезд . Поезд Union Pacific длиной в три с половиной мили примерно в 2,12 раза больше длины обычного грузового поезда. Какова длина типичного грузового поезда? Associated Press-Times-Standard 13.01.10 Необычно длинный поезд вызывает опасения по поводу безопасности.

---

5.2 Дробные уравнения и приложения — Промежуточная алгебра

Цели обучения

• Методы решения дробных уравнений
  • Решите дробные уравнения, очистив знаменатели
  • Определить посторонние решения в дробном уравнении
• Пропорции
  • Определите и запишите пропорцию
  • Решение задач пропорциональности с использованием масштабных чертежей
• Вариант
  • Определите прямое изменение и решите проблемы, связанные с прямым изменением
  • Определите обратную вариацию и решите задачи, связанные с обратной вариацией
  • Определение вариации сочленения и решение проблем, связанных с вариацией сочленения
• Другие приложения
  • Решить дробную формулу для указанной переменной
  • Решить рабочие проблемы
  • Решение проблем со смесью

Когда мы говорим о дробных уравнениях в алгебре, мы чаще всего имеем в виду уравнения, содержащие отношение двух многочленов. Дробные уравнения могут быть решены почти так же, как традиционные уравнения с дробными коэффициентами: путем умножения всего уравнения на все, что необходимо для исключения всех знаменателей, а затем решения полученного уравнения без дробных чисел. В следующем примере показано напоминание о процессе решения, когда знаменатели числовые.

Решите \ (\ frac {1} {2} x-3 = 2- \ frac {3} {4} x \), сначала очистив дроби в уравнении.

Умножьте все уравнение на 4, общий знаменатель дробных коэффициентов.

\ (4 \ left (\ frac {1} {2} x-3 = 2- \ frac {3} {4} x \ right) \)

Теперь распределите, чтобы исключить дроби.

\ (4 \ left (\ frac {1} {2} x \ right) -4 \ cdot3 = 4 \ cdot2-4 \ cdot \ left (\ frac {3} {4} x \ right) \\ 2x-12 = 8-3x \)

Теперь прибавьте \ (3x + 12 \) к обеим сторонам.

\ (2x-12 + 3x + 12 = 8-3x + 12 + 12 \\\\ 5x = 20 \)

Наконец, разделите обе части на коэффициент при \ (x \) — члене.

\ (х = 4 \)

Мы могли бы найти общий знаменатель и работать с дробями на протяжении всего процесса решения, но это часто приводит к большему количеству ошибок. Как правило, лучше умножить все уравнение на все, что необходимо, чтобы полностью исключить знаменатели.

Мы можем применить ту же идею к решению дробных уравнений, у которых есть многочлены в знаменателе дробей (а иногда и в числителе). Это означает, что очистка знаменателя может иногда означать умножение всего уравнения на полином. Это также означает, что нам нужно будет проверить, что мы не делим на ноль. В следующем примере мы очистим знаменатели дробного уравнения с биномом в знаменателе одного члена.Мы будем использовать общий знаменатель, чтобы исключить знаменатели из обеих дробей. Обратите внимание, что ЖК-дисплей является продуктом обоих знаменателей, потому что у них нет общих факторов.

Пример

Решите уравнение \ (\ displaystyle \ frac {8} {x + 1} = \ frac {4} {3} \).

Показать решение

Очистите знаменатели, умножив каждую сторону на общий знаменатель. Общий знаменатель равен \ (3 \ cdot \ left (x + 1 \ right) \), поскольку \ (3 \) и \ (x + 1 \) не имеют общих делителей.

\ (\ begin {array} {c} \ displaystyle 3 \ left (x + 1 \ right) \ left (\ frac {8} {x + 1} \ right) = 3 \ left (x + 1 \ right) \ left (\ frac {4} {3} \ right) \ end {array} \)

Упростите общие множители.

\ (\ require {cancel} \ begin {align *} 3 \ cancel {\ left (x + 1 \ right)} \ left (\ frac {8} {\ cancel {x + 1}} \ right) & = \ cancel {3} \ left (x + 1 \ right) \ left (\ frac {4} {\ cancel {3}} \ right) \\ 3 \ cdot8 & = (x + 1) \ cdot4 \\ 24 & = 4x +4 \ end {align *} \)

Теперь вычтите 4 из обеих частей, а затем разделите на коэффициент при \ (x \) — члене, чтобы решить уравнение.

\ (\ begin {align *} 24 & = 4x + 4 \\ 20 & = 4x \\ 5 & = x \ end {align *} \)

Проверьте решение в исходном уравнении.

\ (\ begin {array} {r} \ displaystyle \, \, \, \, \, \ frac {8} {\ left (x + 1 \ right)} = \ frac {4} {3} \\ \\ \ displaystyle \ frac {8} {\ left (5 + 1 \ right)} = \ frac {4} {3} \\\\\ displaystyle \ frac {8} {6} = \ frac {4} { 3} \ end {array} \)

Ответ

\ (х = 1 \)

В следующем видео мы представляем два способа решения дробных уравнений с целыми и переменными знаменателями.

Исключенные значения и посторонние решения

Есть дополнительный шаг в процессе решения уравнений, у которых есть переменная в знаменателе. Поскольку деление на 0 не определено, необходимо исключить значения переменной, в результате знаменатель которых будет равен 0. Эти значения называются исключенными значениями . Процесс решения дробных уравнений разбивается на три основных этапа: используйте знаменатель, чтобы найти, какие значения запрещены (потому что они требуют деления на ноль), затем удалите знаменатель с помощью умножения, затем используйте результат без дробной части, чтобы найти, какие значения переменных решить уравнение.Давайте посмотрим на пример.

Пример

Решите уравнение \ (\ displaystyle \ frac {2x-5} {x-5} = \ frac {15} {x-5} \).

Показать решение

Сначала найдите и исключите любые значения для \ (x \), которые сделали бы знаменатель 0.

\ (\ Displaystyle \ frac {2x-5} {x-5} = \ frac {15} {x-5} \)

Мы можем добиться этого, создав «неуравнение», которое устанавливает знаменатель не равным нулю.

\ (х-5 \ ne 0 \\\)

Добавление \ (5 \) к обеим сторонам уравнения un дает нам \ (x \ ne 5 \).

Мы можем исключить знаменатели, умножив все уравнение на \ (x-5 \). Пока \ (x \ ne 5 \), это допустимый шаг. Затем мы можем уменьшить дроби, чтобы исключить знаменатели.

\ (\ begin {align *} \ require {cancel} \ cancel {(x-5)} \ cdot \ frac {2x-5} {\ cancel {(x-5)}} & = \ frac {15} {\ cancel {(x-5)}} \ cdot \ cancel {(x-5)} \\ 2x-5 & = 15 \ end {align *} \)

Теперь мы можем решить уравнение без дробей, чтобы найти, какие значения \ (x \) решают уравнение.

\ (\ begin {array} {r} 2x-5 = 15 \\ 2x = 20 \ x = 10 \ end {array} \)

Проверьте решение в исходном уравнении.

\ (\ begin {array} {r} \ displaystyle \ frac {2x-5} {x-5} = \ frac {15} {x-5} \, \, \\\\\ displaystyle \ frac {2 (10) -5} {10-5} = \ frac {15} {10-5} \\\\\ displaystyle \ frac {20-5} {10-5} = \ frac {15} {10-5 } \\\\\ displaystyle \ frac {15} {5} = \ frac {15} {5} \, \, \, \, \, \, \, \, \, \ end {array} \)

Ответ

\ (х = 10 \)

В следующем видео мы представляем пример решения дробного уравнения с переменными в знаменателе. 2 \ end {align *} \)

Теперь мы можем решить уравнение без дробей, чтобы найти, какие значения \ (m \) решают уравнение.{2}}} {- 4 + 4} \\\\\ displaystyle \ frac {16} {0} = \ frac {16} {0} \ end {array} \)

Так как \ (m = -4 \) приводит к делению на 0, это лишнее решение.

Ответ

\ (т = 4 \)

Матрешка, или матрешки.

Пропорции

Пропорция — это утверждение, что два соотношения равны друг другу. Есть много вещей, которые можно представить с помощью соотношений, и вы, вероятно, регулярно пользуетесь пропорциональными рассуждениями и не осознаёте этого. Например, предположим, что вы вызвались предоставить напитки для общественного мероприятия.Вас просят принести достаточно напитков на 35-40 человек. В магазине вы видите, что напитки продаются в упаковках по 12. Вы умножаете 12 на 3 и получаете 36 — этого может быть недостаточно, если появятся 40 человек, поэтому вы решаете купить 4 упаковки напитков на всякий случай.

Этот процесс также может быть выражен в виде пропорционального уравнения и решен с использованием математических принципов. Во-первых, мы можем выразить количество напитков в упаковке как соотношение:

\ (\ displaystyle \ frac {12 \ text {напитки}} {1 \ text {package}} \)

Затем мы выражаем количество напитков, которые нам понадобятся, как отношение к неизвестному количеству необходимых нам упаковок.Мы будем использовать максимум, чтобы хватило: 40 человек понадобится 40 напитков.

\ (\ Displaystyle \ гидроразрыва {40 \ текст {напитки}} {х \ текст {пакеты}} \)

Мы можем узнать, сколько пакетов нужно приобрести, установив выражения, равные друг другу:

\ (\ displaystyle \ frac {12 \ text {drink}} {1 \ text {package}} = \ frac {40 \ text {drink}} {x \ text {packages}} \)

Чтобы найти x, мы можем использовать методы решения линейных уравнений, или мы можем использовать перекрестное умножение в качестве ярлыка.

\ (\ begin {align *} \ displaystyle \ frac {12 \ text {напитки}} {1 \ text {package}} & = \ frac {40 \ text {people}} {x \ text {packages}} \ \\ text {} \\ x \ text {пакеты} \ cdot \ frac {12 \ text {напитки}} {1 \ text {package}} & = \ frac {40 \ text {напитки}} {x \ text { пакеты}} \ cdot {x \ text {пакеты}} \\\ text {} \\ x \ cdot12 \ text {напитки} & = 40 \ text {напитки} \\\ text {} \\ x & = \ frac { 40 \ текст {напитки}} {12 \ текст {напитки}} \ Approx3. 33 \ end {align *} \)

Мы можем округлить до 4, так как нет смысла покупать часть упаковки напитков. Конечно, вы не записываете свое мышление таким образом, когда находитесь в продуктовом магазине, но это помогает вам применить концепции к менее очевидным проблемам. В следующем примере мы покажем, как использовать пропорцию, чтобы найти количество людей на планете, у которых нет легкого доступа к чистой воде

Пример

По состоянию на июль 2018 года население мира оценивалось в 7 человек.6 миллиардов. По данным water.org, каждый третий человек на планете не имеет доступа к чистой воде. Найдите количество людей на планете, у которых нет легкого доступа к чистой воде.

Показать решение

Мы можем использовать пропорцию, чтобы найти неизвестное количество людей на планете, которые живут без легкого доступа к чистой воде, поскольку нам известно, что каждый третий не имеет доступа, а нам дано население планеты.

Мы знаем, что 1 из каждых 3 человек не имеет доступа, и можем записать это в виде отношения (дроби). Мы используем \ (x \), чтобы обозначить количество людей, не имеющих доступа к чистой воде, и мы используем 7,6 миллиарда для количества людей на планете. Мы также можем записать это в виде отношения. Мы приравниваем эти два соотношения, поскольку они представляют одну и ту же дробную часть населения.

\ (\ displaystyle \ frac {1 \ text {человек без доступа}} {3 \ text {total people}} = \ frac {x \ text {люди без доступа}} {7.6 \ text {всего миллиард человек}} \ )

Умножаем, чтобы исключить знаменатели

\ (\ begin {align *} \ displaystyle \ frac {1 \ text {человек без доступа}} {3 \ text {total people}} & = \ frac {x \ text {люди без доступа}} {7.6 \ text {всего миллиард человек}} \\ \ text {} \\\ displaystyle 7.6 \ text {Всего миллиард человек} \ cdot \ frac {1 \ text {человек без доступа}} {3 \ text {total people}} & = \ frac {x \ text {люди без доступа}} {7.6 \ text {всего миллиард человек}} \ cdot 7.6 \ text {миллиард всего человек} \\\ text {} \\\ frac {7. 6 \ text {миллиард }} {3} & = x \\\ text {} \\ x \ приблизительно2,53 \ text {миллиард} \ end {align *} \)

Ответ

2,53 миллиарда человек не имеют доступа к чистой воде.

В следующем примере мы будем использовать длину не бедренной кости человека, чтобы оценить его рост.Этот процесс используется в судебной медицине и антропологии, и многие научные исследования показали, что это очень хорошая оценка.

Пример

Было доказано, что рост человека пропорционален длине бедра. Учитывая, что человек ростом 71 дюйм имеет длину бедра 17,75 дюйма, каков рост человека с длиной бедра 16 дюймов?

Показать решение

Высота и длина бедра пропорциональны для всех, поэтому мы можем определить соотношение с заданной высотой и длиной бедра.Затем мы можем использовать это, чтобы написать пропорцию, чтобы найти неизвестную высоту.

Пусть \ (x \) будет неизвестной высотой. Определите соотношение длины и высоты бедра для обоих людей, используя данные измерения.

Человек 1: \ (\ displaystyle \ frac {\ text {длина бедра}} {\ text {height}} = \ frac {17,75 \ text {дюймы}} {71 \ text {дюймы}} \)

Человек 2: \ (\ displaystyle \ frac {\ text {длина бедра}} {\ text {height}} = \ frac {16 \ text {дюймы}} {x \ text {дюймы}} \)

Приравняйте соотношения, так как мы предполагаем, что рост и длина бедра пропорциональны для всех.

\ (\ displaystyle \ frac {17,75 \ text {дюймы}} {71 \ text {дюймы}} = \ frac {16 \ text {дюймы}} {x \ text {дюймы}} \)

Решите, используя общий знаменатель, чтобы очистить дроби. Общий знаменатель \ (71x \)

.

\ (\ begin {array} {c} \ displaystyle \ frac {17.75} {71} = \ frac {16} {x} \\\\\ displaystyle71x \ cdot \ frac {17.75} {71} = \ frac { 16} {x} \ cdot {71x} \\\\\ displaystyle17.75 \ cdot {x} = 16 \ cdot {71} \\\\ x = \ frac {16} {17.75} \ cdot {71} = 64 \ end {array} \)

Неизвестный рост человека 2 — 64 дюйма.В общем, мы можем уменьшить дробь \ (\ frac {17.75} {71} = 0. 25 = \ frac {1} {4} \), чтобы найти общее правило для всех. Это означает, что рост человека в 4 раза превышает длину его бедра.

Другой способ описать отношение длины бедра к высоте, которое мы нашли в последнем примере, — это сказать, что существует соотношение между длиной и высотой бедра 1: 4, или от 1 до 4.

Соотношения также используются в масштабных чертежах. Масштабные чертежи — это увеличенные или уменьшенные чертежи объектов, зданий, дорог и карт.Карты меньше того, что они представляют, а рисунок дендритных клеток в вашем мозгу, скорее всего, больше, чем то, что он представляет. Масштаб чертежа — это соотношение, которое представляет собой сравнение длины фактического объекта и его изображения на чертеже. На изображении ниже показана карта Соединенных Штатов в масштабе 1 дюйм, представляющая 557 миль. Мы могли бы записать масштабный коэффициент в виде дроби \ (\ frac {1} {557} \) или, как мы это делали с соотношением высоты бедра, 1: 557.

Карта с масштабным коэффициентом

В следующем примере мы будем использовать масштабный коэффициент, указанный на изображении выше, чтобы найти расстояние между Сиэтлом, Вашингтоном, и Сан-Хосе, Калифорния.

Пример

Масштабный коэффициент на карте США составляет 1: 557, а измеренное расстояние от Сиэтла, штат Вашингтон, до Сан-Хосе, штат Калифорния, составляет 1,5 дюйма на карте. Определите пропорцию, чтобы найти фактическое расстояние между двумя городами.

Показать решение

Нам нужно определить пропорцию, чтобы найти неизвестное расстояние между Сиэтлом и Сан-Хосе.

Коэффициент масштабирования составляет 1: 557, и мы будем называть неизвестное расстояние \ (x \). Отношение дюймов к милям равно \ (\ frac {1} {557} \).

Мы знаем дюймы между двумя городами, но не знаем миль, поэтому соотношение, описывающее расстояние между ними, равно \ (\ frac {1.5} {x} \).

Пропорция, которая поможет нам решить эту проблему, равна \ (\ displaystyle \ frac {1 \ text {inch}} {557 \ text {miles}} = \ frac {1,5 \ text {дюймы}} {x \ text {мили) }} \).

Решите, используя общий знаменатель \ (557x \ text {miles} \), чтобы очистить дроби.

\ (\ begin {align *} \ displaystyle \ frac {1 \ text {inch}} {557 \ text {miles}} & = \ frac {1.5 \ text {дюймы}} {x \ text {miles}} \\\ text {} \\ 557x \ text {miles} \ cdot \ frac {1 \ text {inch}} {557 \ text {miles}} & = \ frac {1,5 \ text {дюймы}} {x \ text {miles}} \ cdot {557x \ text {miles}} \\\ text {} \\ x & = 1,5 \ cdot {557} = 835,5 \ end { выровнять*}\)

Мы использовали масштабный коэффициент 1: 557, чтобы найти неизвестное расстояние между Сиэтлом и Сан-Хосе. Мы также проверили наш ответ о 835,5 миль с помощью карт Google и обнаружили, что расстояние составляет 839,9 миль, так что у нас все хорошо!

В следующем примере используется другая карта.На этот раз мы найдем масштабный коэффициент для карты с учетом протяженности между двумя городами на карте и их фактического расстояния друг от друга.

Пример

Два города на карте находятся на расстоянии 2,5 дюйма друг от друга. Их фактическое расстояние друг от друга составляет 325 миль. Напишите пропорцию и решите коэффициент масштабирования для одного дюйма карты.

Показать решение

Мы знаем, что каждые 2,5 дюйма на карте представляют 325 фактических миль. Ищем масштабный коэффициент для одного дюйма карты.

Нам нужно соотношение \ (\ frac {1} {x} \), где x — это фактическое расстояние, представленное на карте в один дюйм. Мы знаем, что на каждые 2,5 дюйма приходится 325 фактических миль, поэтому мы можем определить это соотношение как \ (\ frac {2.5} {325} \)

.

Мы можем использовать пропорцию, чтобы приравнять два отношения и найти неизвестное расстояние.

\ (\ begin {array} {ccc} \ displaystyle \ frac {1 \ text {inch}} {x \ text {miles}} = \ frac {2,5 \ text {дюймы}} {325 \ text {miles}} \\\ text {} \\ 325x \ text {miles} \ cdot \ displaystyle \ frac {1 \ text {inch}} {x \ text {miles}} = \ frac {2.5 \ text {дюймы}} {325 \ text {miles}} \ cdot {325x \ text {miles}} \\\ text {} \ 325 = 2,5x \ x = 130 \ end {array} \)

Коэффициент масштабирования для одного дюйма на карте составляет 1: 130, или на каждый дюйм карты приходится 130 фактических миль.

В следующем видео мы представляем пример использования пропорций для получения правильного количества лекарства для пациента, а также для нахождения желаемой смеси кофе.

Вариант

Так много машин, так много шин.

Прямое изменение

Уравнения вариации являются примерами пропорций и используются для описания взаимосвязи между переменными.Например, представьте себе стоянку, заполненную машинами. Общее количество шин на стоянке зависит от общего количества автомобилей: у каждой машины четыре шины. Алгебраически вы можете представить эту взаимосвязь уравнением.

\ (\ text {количество шин} = 4 \ cdot \ text {количество автомобилей} \)

Число 4 показывает скорость, с которой связаны автомобили и шины. Вы называете коэффициент постоянной пропорциональности или постоянной вариации . Это константа, потому что это число не меняется.Поскольку количество автомобилей и количество шин связаны константой, изменения количества автомобилей вызывают пропорциональное и устойчивое изменение количества шин. Это пример прямого изменения , где количество шин напрямую зависит от количества автомобилей. Больше машин означает, что шин будет больше.

Вы можете использовать уравнение автомобиля и шины как основу для написания общего алгебраического уравнения, которое будет работать для всех примеров прямого изменения. В этом примере количество шин — это выходные данные, 4 — константа, а количество автомобилей — входные данные.Давайте введем эти общие термины в уравнение. Вы получите \ (y = k \ cdot x \). Это формула для всех уравнений прямой вариации.

\ (\ begin {align *} \ text {количество шин} & = 4 \ cdot \ text {количество автомобилей} \\\ text {} \\\ text {output} & = \ text {constant} \ cdot \ text {input} \ end {align *} \)

Пример

Решите для \ (k \), постоянной вариации, в задаче прямого изменения, где \ (y = 300 \) и \ (x = 10 \).

Показать решение

Напишите формулу прямой вариационной зависимости.

\ (у = к \ cdot x \)

Подставьте известные значения в уравнение.

\ (300 = k \ влево (10 \ вправо) \)

Решите относительно \ (k \), разделив обе части уравнения на 10.

\ (\ begin {array} {l} \ displaystyle \ frac {300} {10} = \ frac {10k} {10} \\\\\, \, \, \, 30 = k \ end {array} \)

Ответ

Константа изменения \ (k \) равна 30.

В следующем видео мы представляем пример решения уравнения прямой вариации.

Обратная вариация

Другой вид вариации называется обратным вариантом .В этих уравнениях выходной сигнал равен постоянной, деленной на входную переменную, которая изменяется. В символической форме это уравнение \ (y = k \ cdot \ frac {1} {x} \) или \ (y = \ frac {k} {x} \).

Одним из примеров обратного изменения является скорость, необходимая для перемещения между двумя городами за заданный промежуток времени.

Допустим, вам нужно ехать из Бостона в Чикаго, а это примерно 1000 миль. Чем больше у вас времени, тем медленнее вы сможете двигаться. Если вы хотите добраться туда за 20 часов, вам нужно ехать со средней скоростью 50 миль в час, потому что \ (\ frac {1,000 \ text {miles}} {20 \ text {hours}} = 50 \ text {miles в час}\).Но если вы можете добраться туда за 40 часов, вам нужно будет в среднем всего 25 миль в час, поскольку \ (\ frac {1000 \ text {miles}} {40 \ text {hours}} = 25 \ text {миль в час. } \).

Уравнение для определения скорости путешествия из имеющегося у вас времени: \ (speed = \ frac {miles} {hours} \). В случае поездки из Бостона в Чикаго вы можете написать \ (s = \ frac {1,000} {t} \). Обратите внимание, что это та же форма, что и формула обратной функции вариации, \ (y = \ frac {k} {x} \).

Пример

Решите для \ (k \), постоянной вариации, в обратной вариационной задаче, где \ (x = 5 \) и \ (y = 25 \).

Показать решение

Напишите формулу обратной зависимости вариации.

\ (\ Displaystyle у = \ гидроразрыва {k} {x} \)

Подставьте известные значения в уравнение.

\ (\ Displaystyle 25 = \ гидроразрыва {k} {5} \)

Решите относительно \ (k \), умножив обе части уравнения на 5.

\ (\ begin {array} {c} \ displaystyle 5 \ cdot 25 = \ frac {k} {5} \ cdot 5 \\\\\ displaystyle 125 = \ frac {5k} {5} \\\\ 125 = k \, \, \, \ end {array} \)

Ответ

Константа изменения \ (k \) равна 125.

В следующем примере мы найдем температуру воды в океане на глубине 500 метров. Температура воды обратно пропорциональна глубине океана.

Температура воды в океане обратно пропорциональна глубине.

Пример

Температура воды в океане изменяется обратно пропорционально глубине воды. Чем глубже ныряет человек, тем холоднее становится вода. На глубине 1000 метров температура воды 5 градусов по Цельсию.Какая температура воды на глубине 500 метров?

Показать решение

Вам говорят, что это обратная зависимость, и что температура воды изменяется обратно пропорционально глубине воды.

\ (\ displaystyle temp = \ frac {k} {depth} \)

Подставьте известные значения в уравнение.

\ (\ Displaystyle 5 = \ гидроразрыва {k} {1,000} \)

Решите относительно \ (k \).

\ (\ begin {array} {l} \ displaystyle 1,000 \ cdot5 = \ frac {k} {1,000} \ cdot 1,000 \\\\\, \, \, \, \, \, \, \, \ displaystyle 5,000 = \ frac {1,000k} {1,000} \\\\\, \, \, \, \, \, \, \, 5,000 = k \ end {array} \)

Теперь, когда известна постоянная вариации, используйте \ (k \) для решения задачи: найдите температуру воды на 500 метрах.

\ (\ begin {array} {l} \ displaystyle temp = \ frac {k} {depth} \\\\\ displaystyle temp = \ frac {5,000} {500} \\\\ temp = 10 \ end {array } \)

Ответ

На высоте 500 метров температура воды 10 градусов Цельсия.

В следующем видео мы представляем пример обратной вариации.

Вариант шарнира

Третий тип вариации называется вариацией шарнира . Совместное изменение такое же, как прямое изменение, за исключением двух или более величин. {2}} h \) — еще один пример совместной вариации.{2} \) когда основание составляет 10 дюймов, а высота — 6 дюймов, найдите постоянную вариации и площадь треугольника, основание которого составляет 15 дюймов, а высота — 20 дюймов.

Показать решение

Вам говорят, что это отношение вариаций суставов, и что площадь треугольника изменяется вместе с длиной основания и высотой.

\ (Площадь = k (основание) (высота) \)

Подставьте известные значения в уравнение и решите относительно \ (k \).

\ (30 = к \ влево (10 \ вправо) \ влево (6 \ вправо) \\ 30 = 60к \\\\\ displaystyle \ frac {30} {60} = \ frac {60k} {60} \\ \\\ displaystyle \ frac {1} {2} = k \)

Теперь, когда известно \ (k \), решите площадь треугольника, основание которого 15 дюймов, а высота 20 дюймов.

\ (\ begin {array} {l} Площадь = k (основание) (высота) \\\\ Площадь = \ left (\ frac {1} {2} \ right) (15) (20) \\\\ \ displaystyle Area = \ frac {300} {2} \\\\ Area = 150 \, \, \ text {квадратные дюймы} \ end {array} \)

Ответ

Константа изменения, \ (k \), равна \ (\ frac {1} {2} \), а площадь треугольника составляет 150 квадратных дюймов.

Нахождение \ (k \) равным \ (\ frac {1} {2} \) не должно вызывать удивления. Вы знаете, что площадь треугольника равна половине базовой, умноженной на высоту, \ (A = \ frac {1} {2} bh \). \ (\ Frac {1} {2} \) в этой формуле точно такой же \ (\ frac {1} {2} \), который вы вычислили в этом примере!

В следующем видео мы показываем пример нахождения постоянной вариации для совместно изменяющегося отношения.

Прямая, совместная и обратная вариация

\ (k \) — постоянная вариации. Во всех случаях \ (k \ neq0 \).

• Прямое изменение: \ (y = k \ cdot x \)
• Обратная вариация: \ (y = \ frac {k} {x} \)
• Вариант шарнира: \ (y = k \ cdot xz \)

Решение переменной

Дробные уравнения могут быть полезными инструментами для представления реальных ситуаций и поиска ответов на реальные проблемы. Уравнения, представляющие прямую, обратную и совместную вариацию, являются примерами дробных уравнений, которые могут моделировать многие реальные ситуации. При решении задач с использованием дробных уравнений часто бывает полезно сначала изменить уравнение, чтобы выделить указанную переменную. Следующие два примера показывают, как изолировать различные переменные в дробных уравнениях, которые используются для решения задач в физике и геометрии.

Пример

Формула для определения плотности объекта: \ (D = \ frac {m} {v} \), где \ (D \) — плотность, \ (m \) — масса объекта и \ ( v \) — объем объекта. Измените формулу, чтобы найти массу (\ (m \)), а затем снова объем (\ (v \)).

Показать решение

Начните с формулы плотности.

\ (D = \ frac {m} {v} \)

Умножьте обе части уравнения на \ (v \), чтобы выделить \ (m \).

\ (v \ cdot D = \ frac {m} {v} \ cdot v \)

Упростите и перепишите уравнение, решив для \ (m \).

\ (\ begin {array} {l} v \ cdot D = m \ cdot \ frac {v} {v} \\ v \ cdot D = m \ cdot 1 \\ v \ cdot D = m \ end {array} \)

Чтобы решить уравнение \ (D = \ frac {m} {v} \) в терминах \ (v \), вам нужно будет проделать те же шаги до этой точки, а затем разделить обе стороны на \ (D \) . {2}}} \)

В следующем видео мы даем еще один пример решения переменной в формуле или, как их еще называют, буквального уравнения.

Работа

Дробные уравнения могут использоваться для решения множества задач, связанных с темпами, временем и работой. Использование дробных выражений и уравнений может помочь вам ответить на вопросы о том, как объединить рабочих или машины для выполнения работы по расписанию.

«Рабочая задача» — это пример реальной жизненной ситуации, которую можно смоделировать и решить с помощью дробного уравнения.Рабочие задачи часто просят вас подсчитать, сколько времени потребуется разным людям, работающим с разной скоростью, чтобы выполнить задачу. Алгебраические модели таких ситуаций часто включают дробные уравнения, полученные из формулы работы, \ (W = r \ cdot t \). (Обратите внимание, что формула работы очень похожа на соотношение между расстоянием, скоростью и временем, или \ (d = r \ cdot t \). ) Объем выполненной работы \ (\ left (W \ right) \) равен произведение скорости работы (\ (r \)) на время, затраченное на работу (\ (t \)). Формула работы имеет 3 варианта.

\ (\ begin {array} {l} W = r \ cdot t \\\\\, \, \, \, \, \ displaystyle t = \ frac {W} {r} \\\\\, \ , \, \, \, \ displaystyle r = \ frac {W} {t} \ end {array} \)

Некоторые рабочие проблемы заключаются в том, что несколько машин или людей работают вместе над проектом в течение одного и того же времени, но с разной скоростью. В этом случае вы можете сложить их индивидуальную производительность, чтобы получить общую производительность. Давайте посмотрим на пример.

Пример

Myra за 2 часа посадит 50 цветочных луковиц. Фрэнсису требуется 3 часа, чтобы посадить 45 цветочных луковиц.Сколько времени нужно, работая вместе, чтобы посадить 150 луковиц?

Показать решение

Подумайте, сколько луковиц каждый человек может посадить за час. Это их скорость посадки.

Myra: \ (\ displaystyle \ frac {50 \, \, \ text {bulbs}} {2 \, \, \ text {hours}} \) или \ (\ displaystyle \ frac {25 \, \, \ текст {лампочки}} {1 \, \, \ text {час}} \)

Фрэнсис: \ (\ displaystyle \ frac {45 \, \, \ text {bulbs}} {3 \, \, \ text {hours}} \) или \ (\ displaystyle \ frac {15 \, \, \ текст {лампочки}} {1 \, \, \ text {час}} \)

Скомбинируйте их почасовые ставки, чтобы определить ставку, в которой они работают вместе.

Майра и Фрэнсис вместе:

\ (\ displaystyle \ frac {25 \, \, \ text {bulbs}} {1 \, \, \ text {hour}} + \ frac {15 \, \, \ text {bulbs}} {1 \, \ , \ text {hour}} = \ frac {40 \, \, \ text {bulbs}} {1 \, \, \ text {hour}} \)

Используйте вариант формулы работы, которая решена для \ (t \), чтобы найти время, необходимое для посадки 150 луковиц со скоростью 40 луковиц в час.

\ (\ begin {array} {c} \ displaystyle t = \ frac {W} {r} = \ frac {150 \ text {bulbs}} {40 \ text {лампочек в час}} = 3,75 \ text {часы} \ конец {массив} \)

Ответ

Майре и Фрэнсису потребуется 3 часа 45 минут, чтобы вместе посадить 150 луковиц.

Некоторые проблемы в работе идут в другую сторону. Вы можете рассчитать, сколько времени потребуется одному человеку, чтобы выполнить работу в одиночку, если вы знаете, сколько времени требуется людям, работающим вместе, чтобы завершить работу.

Пример

Арджун и Матео планируют вместе красить дом. Арджун думает, что если бы он работал один, ему потребовалось бы в 3 раза больше времени, чем Матео, чтобы покрасить весь дом. Работая вместе, они могут выполнить работу за 24 часа. Сколько времени потребуется каждому из них, работая в одиночку, чтобы выполнить задание?

Показать решение

Выберите переменные \ (A \) и \ (M \), чтобы представить неизвестное количество времени, необходимое Арджуну или Матео, чтобы покрасить дом самостоятельно.Поскольку Арджуну требуется в 3 раза больше времени, чем Матео, чтобы покрасить дом, мы можем сказать, что \ (A = 3 \ cdot M \).

Работа малярная 1 дом. Напишите выражение, представляющее рейтинг каждого человека, используя формулу \ (\ displaystyle r = \ frac {W} {t} \) _.

Оценка Матео: \ (\ displaystyle \ frac {1} {M} \)

Оценка Арджуна: \ (\ displaystyle \ frac {1} {A} = \ frac {1} {3M} \)

Их комбинированная ставка — это сумма их индивидуальных ставок.

Комбинированный коэффициент

: \ (\ displaystyle \ frac {1} {M} + \ frac {1} {3M} = \ frac {3} {3M} + \ frac {1} {3M} = \ frac {4} { 3M} \)

Проблема гласит, что им требуется 24 часа, чтобы покрасить дом при совместной работе, поэтому, если вы умножите их совокупную почасовую ставку \ (\ left (\ frac {4} {3M} \ right) \) на 24, вы получите 1 — количество домов, которое они могут покрасить за 24 часа.

\ (\ begin {array} {l} \ displaystyle 1 = \ left (\ frac {4} {3M} \ right) 24 \\\\\ displaystyle 1 = \ frac {4 \ cdot 24} {3M} \\ \\\ displaystyle 1 = \ frac {32} {M} \ end {array} \)

Теперь решите уравнение для \ (M \), количества часов, которое потребуется Матео, чтобы закончить работу в одиночку.

\ (\ begin {array} {l} \, \, \, \ displaystyle 1 = \ frac {32} {M} \\\\\, \, \, \ displaystyle M \ cdot 1 = \ frac {32} {M} \ cdot M \\\\\, \, \, M = 32 \ end {array} \)

Поскольку \ (M = 32 \), Матео самостоятельно покрасит дом за 32 часа. Время Арджуна составляет \ (3M \), так что ему потребуется 96 часов, чтобы проделать такой же объем работы.

Ответ

У Матео 32 часа, чтобы покрасить дом самому, и 96 часов, чтобы Арджун сам покрасил дом.

Анализ решения

Ранее мы нашли три формы уравнения работы: одну, решенную для скорости, одну, решенную для времени, и одну, решенную для работы. Последний пример указывает на другое уравнение, которое описывает работу, выполняемую двумя людьми:

\ (\ Displaystyle \ frac {t} {A} + \ frac {t} {B} = 1 \),

где \ (t \) — время, чтобы выполнить работу вместе, \ (A \) — время, которое требуется человеку A, чтобы выполнить работу, и \ (B \) — время, которое требуется человеку B, чтобы выполнить работу. .1 относится к общему количеству проделанной работы: в этом случае работа заключалась в покраске 1 дома, время совместной работы составляло 24 часа, а время для двух человек, работающих индивидуально, составляло 32 часа 96 часов. Подстановка этих значений в уравнение дает нам

\ (\ Displaystyle \ frac {24} {32} + \ frac {24} {96} = 1 \)

Упрощение дробей дает

\ (\ Displaystyle \ frac {3} {4} + \ frac {1} {4} = 1 \)

Другими словами, человек A выполняет три четверти работы, а человек B выполняет одну четверть работы.Вместе они выполняют всю работу, и человек A делает в три раза больше, чем человек B.

В следующем видео мы показываем еще один пример определения скорости работы одного человека по совокупной скорости работы.

Основная идея здесь — выяснить индивидуальную норму работы каждого рабочего. Затем, как только эти ставки определены, сложите их, умножьте на время \ (t \), установите его равным объему проделанной работы и решите дробное уравнение.

В следующем видео мы представляем еще один пример того, как два человека рисуют с разной скоростью.

Смешивание

Смеси состоят из различных веществ, которые могут включать химические вещества, пищу, воду или газы. Существует множество различных ситуаций, когда смеси могут встречаться как в природе, так и как средство для производства желаемого продукта или результата. Например, при разливе химических веществ, производстве и даже в биохимических реакциях используются смеси. Что может сделать смеси интересными с математической точки зрения, так это когда компоненты смеси добавляются с разными скоростями и концентрациями.В нашем следующем примере мы определим уравнение, которое моделирует концентрацию — или отношение сахара к воде — в большом смесительном баке с течением времени. Вас спрашивают, больше ли конечная концентрация сахара, чем концентрация в начале.

Пример

Большой бак для смешивания в настоящее время содержит 100 галлонов воды, в которые было смешано 5 фунтов сахара. Откроется кран, и в бак будет наливаться 10 галлонов воды в минуту, в то же время сахар заливается в бак со скоростью 1 фунт в минуту.

Найдите формулу концентрации (фунтов на галлон) сахара в резервуаре как функции времени (минут).

Какая будет концентрация через 12 минут? Это большая концентрация, чем в начале?

Показать ответ

Пусть \ (t \) будет количеством минут с момента открытия крана. Поскольку вода увеличивается со скоростью 10 галлонов в минуту, а сахар увеличивается со скоростью 1 фунт в минуту, это постоянные скорости изменения. Это говорит нам о том, что количество воды в резервуаре является линейным уравнением, как и количество сахара в резервуаре.Мы можем написать уравнение независимо для каждого:

\ (\ begin {cases} \ text {sugar:} S \ left (t \ right) = 5 + 1 \ cdot t \ text {в фунтах} \\ \ text {water:} W \ left (t \ right ) = 100 + 10 \ cdot t \ text {в галлонах} \ end {case} \\\)

Концентрация, \ (C (t) \), будет отношением фунтов сахара к галлонам воды как функция времени.

\ (С \ влево (т \ вправо) = \ Displaystyle \ гидроразрыва {S (т)} {W (т)} = \ гидроразрыва {5 + t} {100 + 10t} \\\)

Концентрация через 12 минут определяется путем оценки \ (C \ left (t \ right) \\\) в \ (t = \ text {} 12 \\\).

\ (С \ влево (12 \ вправо) = \ Displaystyle \ frac {5 + 12} {100 + 10 \ влево (12 \ вправо)} = \ Displaystyle \ frac {17} {220} \\\)

Это означает, что концентрация составляет 17 фунтов сахара на 220 галлонов воды, или примерно 0,08 фунта на галлон.

В начале концентрация

\ (С \ влево (0 \ вправо) = \ Displaystyle \ frac {5 + 0} {100 + 10 \ left (0 \ right)} = \ Displaystyle \ frac {5} {100} \\\)

Это означает, что начальная концентрация составляла 5 фунтов сахара на 100 галлонов воды, или около 0.05 фунтов на галлон, и через 12 минут концентрация будет выше, чем в начале.

В следующем видео мы покажем еще один пример того, как использовать дробные функции для моделирования микширования.

Сводка

Вы можете решить дробные уравнения, умножив все уравнение на общий знаменатель, чтобы исключить дроби. Затем вы можете решить полученное уравнение, используя ранее разработанные методы. Важным шагом в решении дробных уравнений является отказ от любых посторонних решений из окончательного ответа.Посторонние решения — это решения, которые не удовлетворяют исходной форме уравнения, потому что они приводят к неверным утверждениям или являются исключенными значениями, которые делают знаменатель равным 0 в какой-то момент в процессе решения.

Уравнения с дробными частицами можно использовать для решения множества задач, связанных с расходами, временем и работой. Прямые, обратные уравнения и уравнения совместной вариации являются примерами дробных уравнений. В прямом изменении переменные имеют прямую взаимосвязь: по мере увеличения одной величины другая величина также будет увеличиваться.В обратной вариации переменные имеют обратную зависимость: когда одна переменная увеличивается, другая уменьшается, и наоборот. Совместная вариация такая же, как прямая вариация, за исключением двух или более переменных.

---

11.4 — Дробные уравнения

11.4 — Дробные уравнения

11.4 — Дробные уравнения

Перед чтением этого раздела вы можете изучить следующие темы:
Дробное уравнение — это уравнение, содержащее дробные члены.В разделе 4.2 мы видели как решить линейное уравнение , которое содержит дроби. Шаги для решения любого дробного уравнения точно такие же:
• Посмотрите на знаменатели всех членов дроби и найдите их наименьшее общее кратное (НОК) (это также называется наименьшим общим знаменателем (ЖКД) дробей).
• Умножьте обе части уравнения на НОК.
• Распределите НОК по обеим сторонам уравнения.
• Уравнение больше не содержит дробных членов, и вы можете продолжить его решение. с помощью основных процедур решения уравнений.
• Проверьте решение. Это особенно важно для дробных уравнений. Там возможны две проблемы:
  • Если знаменатель любого члена дроби содержит x , то НОК будет также содержат x , и умножение обеих частей уравнения на НОК даст увеличьте степень x в уравнении.Это часто приводит к посторонним решениям.
  • При подстановке решений обратно в исходное уравнение для их проверки, любое решение, которое приводит к нулевому знаменателю любого члена дроби, должно быть отброшено потому что деление на ноль запрещено в математике.



---


Пример 1: Решите это дробное уравнение для x :
Решение: Знаменатели дробей равны 3, 2 и 6.НОК этих чисел равняется 6. Умножьте обе части уравнения на 6. (Не забудьте заключить обе части уравнения в скобки.)
Распределите по обеим сторонам уравнения:

4 x — 3 = 6 x + 7.

Теперь дроби очищены, так что это больше не дробное уравнение. Завершите решение уравнения, собрав линейные члены в левой части и постоянные члены в правой части.Это дает:

−2 x = 10.

Разделим обе части на −2. Это дает решение:

х = −5.

Проверьте это, подставив обратно в исходное уравнение. Это дает -23 / 6 = -23 / 6, поэтому решение подтверждается.

---


Пример 2: Решите дробное уравнение для x :
Решение: У дробей знаменатели x ² + x — 2, x + 2 и x — 1.Может показаться, что LCM — это всего лишь продукт всех трех, но поскольку x ² + x — 2 можно разложить на множители как ( x + 2) ( x — 1), LCM фактически равен ( x + 2) ( x — 1). Умножьте на него обе части уравнения. (Не забудьте заключить обе части уравнения в скобки.)
Распределите по обеим сторонам уравнения:

9 = 3 ( x — 1) + 7 ( x + 2).

Теперь дроби очищены, так что это больше не дробное уравнение; это линейное уравнение. Решите его обычными методами. Распределите еще раз справа:

9 = 10 x + 11.

Соберите постоянные члены в левой части:

−2 = 10 x .

Разделите обе части на 10. Это дает решение:

x = −1/5.

Проверьте это, подставив обратно в исходное уравнение.Это дает -25 / 6 = -25 / 6, так что решение подтверждается.

---


Пример 3: Цель этого примера — проиллюстрировать решение, которое должно будет отклонено, потому что это приводит к делению на ноль . Уравнение идентично уравнению один в предыдущем примере, за исключением того, что он отличается знаком одного члена. Решите это дробное уравнение для x :
Решение: Сравните каждый шаг здесь с соответствующим шагом в примере выше.Умножьте обе части уравнения на НОК, который снова равен ( x + 2) ( x — 1):
Распределите по обеим сторонам уравнения:

9 = −3 ( x -1) + 7 ( x + 2).

Распределите еще раз справа:

9 = 4 x + 17.

На этот раз решение x = −2. Если мы попытаемся подставить его обратно в исходное уравнение, мы получим деления на ноль в двух дробях.Следовательно, мы должны отказаться от этого решения. и заявить, что уравнение не имеет решения .

---




---


Если вы нашли эту страницу в поиске в Интернете, вы не увидите
Оглавление в рамке слева.
Щелкните здесь, чтобы отобразить его.

Решайте уравнения с дробями — предалгебра

Цели обучения

К концу этого раздела вы сможете:

• Определите, является ли дробь решением уравнения
• Решите уравнения с дробями, используя свойства равенства, сложения, вычитания и деления
• Решите уравнения, используя свойство равенства умножения
• Переведите предложения в уравнения и решите

Прежде чем начать, пройдите тест на готовность. Если вы пропустили проблему, вернитесь в указанный раздел и просмотрите материал.

1. Оценить
   Если вы пропустили эту проблему, просмотрите (рисунок).
2. Решите:
   Если вы пропустили эту проблему, просмотрите (рисунок).
3. Решите:
   Если вы пропустили эту проблему, просмотрите (рисунок).

Решайте уравнения с дробями, используя свойства равенства, сложения, вычитания и деления

в решении уравнений с вычитанием и сложением свойств равенства и решении уравнений с использованием целых чисел; Свойство деления равенства, мы решали уравнения, используя свойства равенства сложения, вычитания и деления.Мы будем использовать эти же свойства для решения уравнений с дробями.

Свойства равенства сложения, вычитания и деления

Для любых номеров

	Дополнительное свойство равенства
	Свойство равенства вычитания
	Раздел Собственность равенства

Другими словами, когда вы добавляете или вычитаете одну и ту же величину из обеих частей уравнения или делите обе стороны на одинаковую величину, вы все равно получаете равенство.

Решить:

Решение

Поскольку это верное утверждение, мы знаем, что нашли решение этого уравнения.

Решить:

Решить:

Мы использовали свойство равенства вычитания (рисунок). Теперь мы воспользуемся дополнительным свойством равенства.

Решить:

Решение

Поскольку делает уравнение истинным, мы знаем, что это решение уравнения.

Решить:

Решить:

В следующем примере может показаться, что в нем нет дроби, но давайте посмотрим, что произойдет, когда мы его решим.

Решить:

Решение

Решением уравнения была дробь. Оставляем ее как неправильную дробь.

Решить:

Решить:

Ключевые понятия

• Определите, является ли число решением уравнения.
  1. Подставьте номер переменной в уравнение.
  2. Упростите выражения в обеих частях уравнения.
  3. Определите, истинно ли полученное уравнение. Если это правда, число — это решение. Если это не так, число не решение.
• Свойства равенства для сложения, вычитания и деления
• Свойство равенства умножения
  • Для любых чисел и, затем.
  • Если вы умножите обе части уравнения на одинаковую величину, вы все равно получите равенство.

Упражнения по разделам

Письменные упражнения

(рисунок) описывает три метода решения уравнения. Какой метод вы предпочитаете? Почему?

Ричард думает, что решение уравнения состоит в том, чтобы объяснить, почему Ричард ошибается.

Самопроверка

ⓐ После выполнения упражнений используйте этот контрольный список, чтобы оценить свое мастерство в достижении целей этого раздела.

ⓑ В целом, посмотрев контрольный список, думаете ли вы, что хорошо подготовлены к следующей главе? Почему или почему нет?

Упражнения для повторения главы

Визуализируйте дроби

В следующих упражнениях назовите долю каждой затененной фигуры.

В следующих упражнениях назовите неправильные дроби. Затем запишите каждую неправильную дробь как смешанное число.

В следующих упражнениях преобразуйте неправильную дробь в смешанное число.

В следующих упражнениях преобразуйте смешанное число в неправильную дробь.

Найдите три дроби, эквивалентные «Покажи свою работу», используя числа или алгебру.

Найдите три дроби, эквивалентные «Покажи свою работу», используя числа или алгебру.

В следующих упражнениях найдите числа в числовой строке.

В следующих упражнениях закажите каждую пару чисел, используя или

Умножение и деление дробей

Упростите следующие упражнения.

В следующих упражнениях умножьте.

В следующих упражнениях найдите обратное.

Заполните таблицу.

	напротив	Абсолютное значение	Взаимный

В следующих упражнениях разделите.

Умножение и деление смешанных чисел и комплексных дробей

В следующих упражнениях выполните указанную операцию.

В следующих упражнениях переведите английскую фразу в алгебраическое выражение.

частное от

частное и разница и

В следующих упражнениях упростите сложную дробь

Упростите следующие упражнения.

Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями

В следующих упражнениях найдите наименьший общий знаменатель.

В следующих упражнениях измените дроби на эквивалентные дроби с помощью данного ЖК-дисплея.

В следующих упражнениях выполните указанные операции и упростите.

Оцените в следующих упражнениях.

1. ⓐ
2. ⓑ

когда

Решите уравнения с дробями

В следующих упражнениях определите, является ли каждое число решением данного уравнения.

В следующих упражнениях решите уравнение.

В следующих упражнениях переведите и решите.

Сумма двух третей и

Разница в одну десятую составляет

Глава Практический тест

Преобразует неправильную дробь в смешанное число.

Преобразует смешанное число в неправильную дробь.

Найдите числа в числовой строке.

Упростите следующие упражнения.

Оценить.

В следующих упражнениях решите уравнение.

Перевести и решить: Частное от и является Решением для

Приближенные методы решения дробных уравнений

Дробное или нецелочисленное исчисление имеет дело с производными и интегралами произвольного действительного или комплексного порядка [8]. Эта тема возникла в результате хорошо известной научной дискуссии между Л’Опиталем и Лейбницем в 1995 году, а затем была исследована и расширена многими известными математиками, такими как Эйлер, Лаплас, Абель, Лиувилль и Риман [8].Тема привлекла внимание многих ученых не только математиков, но также физиков и инженеров. Так что в последние годы это стало актуальной проблемой. Однако дробное исчисление расширяет понятие производной для тех случаев, когда порядок производной не является целым. Несмотря на то, что идея дробных производных и интегралов может рассматриваться как обобщение соответствующих стандартных, это все же довольно странная тема, которую очень трудно объяснить. Потому что, в отличие от обычно используемых дифференциальных операторов, это не связано с каким-то важным геометрическим смыслом, например, с тенденцией функций или их выпуклостью.Так что иногда об этом математическом инструменте можно судить далеко от реальности. Но на самом деле многие физические явления имеют внутреннее описание дробного порядка, и поэтому для их объяснения необходимо исчисление дробного порядка. Стоит отметить, что существует только два основных определения дробной производной; первый был предложен Риманом и Лиувиллем и представляет собой производную свертки заданной функции и степенного ядра, второй был предложен Капуто и представляет собой свертку локальной производной заданной функции со степенной функцией.Постоянные дебаты заставляют исследователей в этой области различать, какая версия математически хорошо определена, это противоречие побудило многих исследователей провести теоретические и прикладные исследования, чтобы четко установить это определение, которое сформулировано математически. Некоторые прикладные математики предположили, что Капуто подходит для решения реальных задач из-за того, что он допускает обычные начальные условия при игре с интегральным преобразованием, например преобразованием Лапласа. С другой стороны, определение Римана-Лиувилля удовлетворяет всем математическим принципам в рамках дробного исчисления, что более важно при использовании преобразования Лапласа, мы получаем начальное условие с дробной экспонентой, что действительно реалистично с практической и математической точки зрения, потому что мы находимся в область применения дробного исчисления, поэтому исследователи должны согласиться с тем, что определение Римана-Лиувилля является более подходящим. Хотя эти производные являются мощными математическими инструментами для моделирования проблем реального мира, важно отметить, что они не могут объяснить те проблемы реального мира, которые связаны с непрерывным распределением вероятностей. Следовательно, из-за того, что степенной закон не может быть использован для моделирования всех физических проблем, специалисты предложили множество альтернативных концепций дифференцирования, использующих экспоненциальное затухание в качестве ядра вместо степенного закона. Однако из-за свойства памяти дробных производных теория и приложения дробного исчисления стали чрезвычайно полезными и важными для моделирования биологических процессов, прикладной математики, физики и техники [4], [5], [7].Ориентация исследований при моделировании проблем реального мира смещается в сторону использования производной дробного порядка. В связи с этим в последние десятилетия использование производных дробного порядка стало широко привлекательным в нескольких областях науки и техники для описания различного рода проблем. Причина этого в том, что многие физические системы реального мира демонстрируют динамику дробного порядка, и их поведение определяется дробными системами со следующей общей формой: Dtαx (t) = f (t, x (t)), n − 1 <α ≤n.Историю развития дробных дифференциальных операторов можно найти в [1]. Эффект памяти этих производных и их нелокальность - одна из основных причин их использования в различных приложениях. В течение последних десятилетий FDE играют все более важную роль во многих областях, таких как физика, биология, механика, химия и т. Д. [48]. Совсем недавно приложения FDE были распространены на квантовую механику, так что появилась дробная квантовая механика [51], [52].Как известно, получить аналитические решения таких проблем обычно сложно. Поэтому приближенные методы нахождения приближенных решений этих уравнений очень необходимы и полезны. Фактически, методы конечных разностей, методы конечных элементов, спектральные методы и т. Д. Были представлены для решения различных дробных уравнений. Обзорная статья [2] содержит обновленную библиографию по методам конечных разностей для решения FDE до 2012 года. В настоящее время эта область исследований все еще развивается для своих многочисленных приложений в таких различных областях, как вязкоупругость, поток жидкости и гидрология.Разработка эффективных численных методов для аппроксимации решений FDE является важной проблемой в последние десятилетия. Поэтому такие стратегии, как дробный метод конечных объемов [54], метод вейвлетов Хаара [55], метод разложения Адомиана [56], радиальные базисные функции [57], методы операционных матриц [58], спектральные методы Фурье [49], [ 50] и другие подходы [53], [59], [60], [61], [62], [63] были предложены. В последние десятилетия спектральные методы быстро выросли.Основное преимущество спектральных методов заключается в их способности давать высокоточные результаты. Существует четыре популярных метода спектральных методов; это тау-методы, коллокационные методы, методы Галеркина и спектральных элементов. Выбор подходящего используемого спектрального метода, предлагаемого для решения таких дифференциальных уравнений, безусловно, зависит от типа дифференциального уравнения, а также от типа начальных или граничных условий, управляющих им [64], [65], [66]. В последние десятилетия спектральные подходы тау и коллокации использовались для решения различных типов ФДУ [67], [68], [69].Вейвлет-анализ начал играть серьезную роль в широком спектре приложений, включая обработку сигналов, сжатие данных и изображений, решение уравнений в частных производных, интегро-дифференциальное уравнение, моделирование многомасштабных явлений, статистику и т. Д. Вейвлет-анализ также далек от цели. -достижение обобщения или ортогональных базисов функций, особый новый вклад которых — систематический способ представления функций на неограниченных областях линейными комбинациями ортогональных базисных функций, которые имеют компактный носитель и перекрываются.Это виды основных функций, которые потенциально могут быть реализованы физическими устройствами. Теория вейвлетов оказала большую помощь локальным и дала феномен накопления малых волн. В последние годы классические базисные полиномы, такие как полиномы Лежандра, Лагерра и Чебышева, широко используются для решения многих задач динамических систем. Поскольку решения дробно-дифференциальных уравнений могут содержать некоторые дробные степенные члены, классические полиномы не являются разумным предложением для решения этих проблем.Следовательно, в последние годы многочисленные численные эксперименты с использованием вейвлетов и вейвлет-операционных матриц дробного интегрирования и производной обсуждаются для дробных внутридифференциальных уравнений, дробно-дифференциальных уравнений и дробных дифференциальных уравнений в частных производных для исключения интегральных и дифференциальных операций и сведения проблемы к решению. система алгебраических уравнений [30], [55], [84], [87], [90], [117].

Уравнения в частных производных, включающие производные с нецелыми порядками, оказались адекватными моделями для различных физических явлений в таких областях, как законы затухания, процессы диффузии и т. Д.Другие приложения включают электромагнетизм, электрохимию, артериологию, теорию сверхмедленных процессов и финансы. Кроме того, в последние годы полезность FPDE в общем виде ∂αu∂xα + ∂βu∂xβ = f (t, x) привлекла большое внимание в математическом моделировании. Однако было предложено небольшое количество алгоритмов численного решения FPDE. Эти методы включают метод конечных разностей [70], [71], [72], [73], [74], метод гомотопического анализа [75], метод обобщенного дифференциального преобразования [76], метод гомотопических возмущений [77], [78 ], Метод аппроксимации Якобитау [80], метод вариационных итераций [81], метод ортогональных многочленов [82], [83] и спектральный метод [84], [85], [86].Вейвлет-метод применялся для решения FPDE в [87]. Последние публикации почти сосредоточены на кинетических уравнениях диффузии (субдиффузии и супердиффузии), диффузии-адвекции и типа Фоккера-Планка [26], [27], [28], [29], [30], [31], [ 32], [33], [34], [35], [36], [37], [38] и т. Д. С частными дробными производными, которые асимптотически выводятся из базовых моделей случайных блужданий, обобщенного основного уравнения и уравнений Ланжевена [ 3]. Небольшое количество алгоритмов численного решения FPDE было предложено в [9], [10], [11], [12], [13], [14], [15], [16], [17] , [18], [19], [20].Многие из новых достижений в этой области достигнуты за счет адаптации методов классического исчисления, которые могут быть применены также к дробным уравнениям [11], [21], [22], [23], [24], [25], [ 445].

Интегральные уравнения — это класс операторных уравнений, в которых неизвестные функции появляются под знаком интеграла следующим образом: Dtαx (t) = f (t) + ∫0tK (t, s) x (s) ds, n − 1 < α≤n. Теория и применение интегральных уравнений являются важными предметами прикладной математики. Кроме того, существует тесная связь между дифференциальными и интегральными уравнениями, и некоторые проблемы могут быть сформулированы любым способом, который используется при моделировании многих физических и химических процессов.В последние годы аналитические результаты о существовании и единственности решений ФИДЕ исследовались многими авторами [88], [89]. К сожалению, для большинства этих дробных задач никто не может найти аналитических решений. Поэтому созданию, совершенствованию и развитию численных методов решения этих задач в последние годы уделяется большое внимание [90], [91], [92], [93], [94]. Также были предложены полиномиальные сплайн-функции [95], [96], метод разложения Адомиана [97] и спектральные методы [98] для решения FIDE.Последние работы по численному решению линейных и нелинейных дробных интегро-дифференциальных уравнений Вольтерра включают метод разложения Адомиана, метод всплесков Лежандра и Чебышева, метод дробного дифференциального преобразования, метод гомотопического анализа и т. Д.

В математическом описании физического процесса один обычно предполагает, что поведение рассматриваемого процесса зависит только от текущего состояния, предположение, которое проверяется для большого класса динамических систем.Однако бывают ситуации, когда это предположение не выполняется, и использование классической модели в системном анализе и их проектировании может привести к снижению производительности. В таких случаях лучше учитывать, что поведение системы включает также информацию о предыдущем состоянии. Эти системы называются системами с временной задержкой. В математике дифференциальное уравнение дробного порядка с запаздыванием представляет собой тип дифференциального уравнения, в котором дробная производная неизвестной функции в определенный момент времени задается в терминах значений функции в предыдущие моменты времени, Dtαx (t) = f ( t, x (t), x (t − δ)), t∈ [0, T], 0 <α≤1x (t) = ϕ (t), t∈ (−δ, 0].DFDE появляются при моделировании различных задач в области техники и науки, таких как биология, экономика, управление и электродинамика [132], [133], [134], [135]. Относительно существования решений ДФДУ можно обратиться к [111], [112], [113], [114]. Но из-за вычислительной сложности производных с дробным запаздыванием точное аналитическое решение DFDE редко доступно, и поэтому возникает необходимость найти численное приближение для решений этих уравнений. Саадатманди и Дехган использовали концепцию операционной матрицы Лежандра для представления численных решений DFDE в [115]. Моргадо [116] применил функции Миттаг-Леффлера для аппроксимации решений DFDE. Вейвлет-методы Чебышева и Эрмита для вычисления приближения к решению DFDE использовались в [117], [423] соответственно. Дехан и Салехи [118] использовали методы вариационной итерации и разложения Адомиана для получения приближенных решений логистического уравнения с запаздыванием. Деббуш и Торрес в [119] сосредоточились на разработке эффективного приближенного решения квазилинейного управляющего включения с дробной задержкой.Конечно-разностная схема применяется для решения DFDE в [120]. Ван [121] аппроксимировал DFDE, объединив общий метод Адамса-Башфорта-Моултона с методом линейной интерполяции. В другой статье Wang et al. [122] представил численный метод для нелинейных дифференциальных уравнений функционального порядка с постоянным запаздыванием, изменяющимся во времени, основанный на определении Грюнвальда-Летникова. Недавно Pandey et al. [123] применили операционную матрицу Бернштейна для дробной производной для решения двух важных физических задач DFDE. Мохаммади в [124] использовал вейвлет Челышкова-Вейвлета для решения систем DFDE, Могаддам и Мостагим [120] использовали конечную разность для решения этой задачи и результаты конечной временной устойчивости благодаря матрице типа запаздывающего типа Миттаг-Леффлера, представленной в [125]. В [127] DFDE преобразованы в приближенные сдвинутые полиномы Якоби. Приближенные решения класса DFDE представлены с использованием полуаналитического подхода в гильбертовом функциональном пространстве в [128]. Существование и единственность решений для класса нелинейных ФДУ с запаздыванием обсуждались в [130].В [131] автор предложил вычислительный метод решения этой задачи. Новый численный подход, основанный на рассмотрении подходящих базисных полиномов, был предложен для решения класса нелинейных DFPDE в [129]. В этой статье авторы рассматривают многочлены Мунца-Лежандра (MLP), которые представляют собой семейство обобщенных ортогональных многочленов и сводят проблему запаздывания к задаче без запаздывания, используя свойства приближения Падье и двустороннего метода Лапласа. трансформации. Для реализации этой численной схемы они используют операционную матрицу и метод коллокации, основанный на смещенных точках Лежандра-Гаусса-Лобатто.

Поскольку порядок дробных производных и интегралов может принимать любое произвольное значение, другое расширение считает, что порядок не является постоянным. Это обеспечивает расширение классического дробного исчисления, а именно дробное исчисление переменного порядка. Фактически, этот предмет является обобщением дробного исчисления, где порядок дробных производных — это известные функции, которые зависят от времени и используются, когда свойства памяти меняются во времени и в пространстве. Последние десятилетия стали свидетелями быстрорастущих исследований по разработке приложений дробного исчисления переменного порядка в различных областях науки и техники.Недавно несколько исследователей, таких как [39], [40], [41], [42], [43], [360], исследовали и показали, что многие сложные физические модели могут быть описаны с помощью дробных производных переменного порядка с большим успехом. . Более конкретно, формулировки переменного порядка, используемые для описания механики колеблющейся массы, подверженной воздействию демпфера переменной вязкоупругости и линейной пружины, для интерполяции поведения систем с несколькими дробными членами, для разработки модели статистической механики, для получения переменного порядка дробного шума и разработки новых алгоритмов управления [44], [45], [46], [47], [48].Следует отметить, что аналитическая обработка уравнений, описываемых дробными производными переменного порядка, чрезвычайно трудна и даже в большинстве случаев невозможна из-за их высокой сложности. Таким образом, представление эффективных численных / приближенных методов для поиска их численных решений имеет большое значение на практике. Это, естественно, приводит к быстрому развитию численных методов для дробных уравнений переменного порядка. С этой точки зрения численные алгоритмы были предложены для решения дробных обыкновенных и частных производных уравнений переменного порядка, например, исследования, разработанные Самко [137], Ороско и Коимбра [46], Zhang et al. [138], Могхаддам и Мачадо [140], [141], Могхаддам и др. [136], Bhrawy and Zaky [143], [144], Zhuang et al. [145], Lin et al. [146], Sun et al. [147], Шен и др. [148] и Yaghoobi et al. [152]. Дифференциальное уравнение с дробной задержкой с переменным порядком является обобщением дифференциального уравнения с фиксированной запаздыванием на произвольный функциональный порядок. По сравнению с DFDE, DFDE с переменным порядком или DFPDE не получили особого внимания. Недавно Moghaddam et al. [152], [155] предложили эффективную схему и расширили ее для решения класса дробных уравнений переменного порядка с запаздыванием.Более того, дробные функциональные интегральные уравнения переменного порядка, которые являются подкатегорией дробных интегральных уравнений переменного порядка и могут описывать динамические системы с памятью лучше, чем обычные дробные интегральные уравнения фиксированного порядка и дробные интегральные уравнения переменного порядка, привлекли большое внимание ученых [156] .

Остальная часть настоящей статьи организована следующим образом: мы начинаем раздел 2 с нескольких предложенных определений производных дробного порядка, в том числе: Римана-Лиувилля, Грюнвальда-Летникова, представления Лиувилля-Капуто, оператора Капуто-Фабрицио и Атанганы. и версия дробной производной Балеану и Гомеса с областями применения, включающими физику, инженерию, биологию, квантовую механику, обработку сигналов, идентификацию систем, теорию управления и другие области.За этим последуют некоторые методы, которые будут представлены для аппроксимации дробных производных Римана-Лиувилля, Капуто и других типов дробных производных в разделе 3. Многие эффективные методы поиска приближенных решений рассматриваются в разделе 4 для изучения решений линейных / нелинейных дробных уравнений. содержит FDE, FPDE и FIDE, например, метод коллокации, метод инвариантных подпространств, метод оптимальной гомотопической асимптотики, метод преобразования гомотопического анализа, методы декомпозиции Адомиана, метод преобразования Лапласа гомотопического анализа, вейвлеты и бессеточные методы.Случай дробных уравнений с запаздыванием по времени будет рассмотрен в разделе 5. Надежные, точные и эффективные схемы решения дробных уравнений переменного порядка описаны в разделе 6. После этого будет выполнено численное приближение для FDE, FPDE и FIDE переменного порядка с помощью или не задержка дробных производных типа Лиувилля-Капуто, Римана-Лиувилля, Хадмара, Капуто-Фабрицио, Грюнвальда-Летинкова, Атангана-Балеану-Капуто и Атангана-Гомеса. Наконец, в последний раздел включены выводы и замечания.

Решение рациональных уравнений: Введение | Purplemath

Purplemath

Хотя добавление и вычитание рациональных выражений может быть настоящей головной болью, решение рациональных уравнений, как правило, проще, даже если рациональные выражения добавлены в эти уравнения. (Обратите внимание, что я не говорю, что решение рациональных уравнений «просто»; я просто говорю, что это просто или .) Это потому, что, как только вы перейдете от рационального выражения (то есть чего-то без знака «равно» в нем) к рациональному уравнению (то есть чему-то со знаком «равно» посередине), вы получите совершенно другой набор инструментов для работы. В частности, если у вас есть знак «равно» в середине, у вас есть две стороны, что означает, что вы можете умножать обе эти части уравнения, и это позволяет вам избавиться от знаменателей.

MathHelp.com

• Решите следующее уравнение:

Это уравнение настолько простое, что я могу решить его, просто взглянув на него! Как?

У меня две дроби.У этих дробей один и тот же знаменатель. Эти дроби будут равны, если их числители также совпадают, и только тогда. Итак, я могу приравнять числители и получить ответ. Поскольку числители такие простые, я сразу прихожу к своему ответу:

---

• Решите следующее уравнение:

( x — 3) / 7 = (4 x + 12) / 7

В этом уравнении по обе стороны от знака «равно» стоят дроби.У двух дробей одинаковый знаменатель. Две дроби будут равны, если их числители равны, поэтому я могу «приравнять» числители (то есть я могу сделать их равными) и решить полученное уравнение:

x — 3 = 4 x + 12

–3 — 12 = 4 x — x

–15 = 3 x

–5 = x

---

• Решите следующее уравнение:

В этом уравнении есть две равные друг другу дроби (которые можно рассматривать как пропорцию). Я могу решить эту проблему тремя способами. Я покажу каждую, и вы сможете выбрать то, что вам больше нравится.

Метод 1: преобразование к общему знаменателю:

Я могу преобразовать в общий знаменатель 15:

Теперь, когда у меня есть «(одна дробь) равна (другая дробь)», я могу приравнять числители:

Метод 2: Умножение на общий знаменатель:

Наименьший общий знаменатель равен 15.Вместо того, чтобы преобразовывать дроби в этот знаменатель (что-то, что было бы , требовало , если бы я складывал или вычитал эти рациональные дроби), я могу вместо этого умножить (то есть умножить обе части уравнения) на 15. Это дает мне:

x — 1 = 2 (3)

x — 1 = 6

x = 7

Метод 3: Перекрестное умножение:

Термин «кросс-умножение» не является техническим, и некоторые инструкторы его абсолютно ненавидят. Но это термин, который вы услышите, и он обозначает метод, который может оказаться полезным.

Так как это уравнение, я могу умножить на все, что захочу. В частности, чтобы избавиться от знаменателей, я могу умножить их на эти знаменатели. В этом случае я бы умножил 15 из знаменателя левой части на 2 в числителе правой части; и я бы умножил 5 из знаменателя правой части на x — 1 в числителе левой части.Другими словами, я бы сделал это:

Этот процесс «пересечения» знака «равно» с каждым знаменателем и умножения каждого на противоположный числитель — это то, что подразумевается под «перекрестным умножением». Это сокращение от «умножения на общие знаменатели, когда есть только две дроби, равные самим себе, а затем упрощение того, что осталось», и может быть хорошим сокращением.

Перекрестное умножение дает мне следующее новое (и линейное) уравнение:

5 ( x — 1) = 15 (2)

5 x — 5 = 30

5 x = 35

x = 7

Итак, по каждому из методов мой ответ:

---

Примечание. Перекрестное умножение (то есть метод 3 выше) работает только , если уравнение имеет ровно одну дробь с одной стороны от знака «равно», равное ровно одной дроби с другой стороны от знака «равно». .Если в любой из сторон уравнения добавлены (или вычтены) дроби, мы должны , , использовать метод 1 или метод 2.

---

• Решите следующее уравнение:

В этом уравнении в левой части были вычтены дроби, поэтому я не могу выполнить перекрестное умножение. Кроме того, в знаменателе появилась новая складка переменных.Это означает, что мне нужно отслеживать значения x , которые вызовут деление на ноль. Эти ценности не могут быть частью моего окончательного ответа. В этом случае знаменатели говорят мне, что мой ответ будет иметь следующее ограничение:

Метод 1. Чтобы решить это уравнение, я могу преобразовать все в общий знаменатель 5 x ( x + 2), а затем сравнить числители:

Здесь знаменатели те же.Так действительно ли они имеют значение? Не совсем — кроме как сказать, какими значениями x быть не может из-за проблем с делением на ноль. На этом этапе две стороны уравнения будут равны, пока числители равны. То есть все, что мне действительно нужно сейчас сделать, это решить числители:

15 x — (5 x + 10) = x + 2

10 x — 10 = x + 2

9 x = 12

x = ¹² / ₉ = ⁴ / ₃

Поскольку x = ⁴ / ₃ не вызовет каких-либо проблем с делением на ноль в дробях в исходном уравнении, то это решение действительно.

Метод 2: Другой метод — найти общий знаменатель, но вместо того, чтобы преобразовывать все в этот знаменатель, я воспользуюсь тем фактом, что здесь у меня есть уравнение. То есть я умножу обе части на общий знаменатель. Это избавит от знаменателей. Я использовал цвета ниже, чтобы выделить части, которые отменяются:

В любом случае мой ответ один и тот же:

---

Я считаю, что метод 2 быстрее и проще, но это только мои личные предпочтения.По моему опыту в классе, студенты обычно довольно равномерно разделяют свои предпочтения в отношении методов 1 и 2. Вам следует использовать тот метод, который лучше всего подходит для вас.

---

URL: https://www.purplemath.com/modules/solvrtnl.htm

.