Движение по окружности. Примеры решения задач по физике. 9-10 класс

Движение по окружности. Примеры решения задач по физике. 9-10 класс

Подробности

Просмотров: 1700

Задачи по физике — это просто!

Вспомним

Формулы центростремительного ускорения и центростремительной силы:

Формулы скорости движения тела по окружности и частоты вращения:

Единица измерения частоты вращения — 1/с или оборот/с.

А теперь к задачам!

Элементарные задачи из курса школьной физики на движение по окружности с постоянной по модулю скоростью.

Задача 1

C какой скоростью велосипедист проходит закругление с радиусом 25 метров, если центростремительная скорость его движения равна 4 м/с?

Задача 2

Колесо радиусом 40 см делает один оборот за 0,4 секунды. Найти скорость точек на ободе колеса.

Задача 3

Колесо велосипедиста имеет радиус 40 см.

С какой скоростью едет велосипедист, если колесо делает 4 оборота в секунду? Чему равен период вращения колеса?

Задача 4

С какой скоростью велосипедист должен проходить середину выпуклого моста радиусом 22,5 метра, чтобы его центростремительное ускорение было бы равно ускорению свободного падения?

Задача 5

Чему равно центростремительное ускорение тела, движущегося по окружности радиусом 50 см при частоте вращения 5 оборотов в секунду?

Задача 6

Скорость точек экватора Солнца при его вращении вокруг своей оси равно 2 км/с. Найти период вращения Солнца вокруг своей оси и центростремительное ускорение точек его экватора.

Задача 7

Какова скорость движения автомобиля, если его колесо радиусом 30 см делает 500 оборотов в минуту?

Задача 8

Чему равна центростремительная сила и центростремительное ускорение, действующие на пращу массой 800 г, вращающуюся на веревке длиной 60 сантиметров равномерно со скоростью 2 м/с?

Задача 9

Период обращения космического корабля вокруг Земли равен 90 минутам. Высота подъема корабля над поверхностью Земли составляет 300 км, радиус Земли равен 6400 км. Определить скорость корабля.

Решения задач по теме: «Движение тела по окружности»

Урок №________ Дата_________ Класс_9______ Учитель Физики Османова Л.М.

Тема урока: Решения задач по теме: «Движение тела по окружности»

Цели урока: закрепить представление о криволинейном движении, основных характеристик частоты, периода, центростремительного ускорения и центростремительной силы.

Задачи урока :

Образовательные:

Повторить виды механического движения. Закрепить понятия: движение по окружности, центростремительное ускорение, период, частота.

Развивающие:

Развивать умения применять теоретические знания для решения конкретных задач, развивать культуру логического мышления, развивать интерес к предмету; познавательную деятельность при постановке и проведении эксперимента.

Воспитательные:

Формировать мировоззрение в процессе изучения физики и аргументировать свои выводы, воспитывать самостоятельность, аккуратность.

Воспитание коммуникативной и информационной культуры учащихся.

Оборудование: компьютер, проектор, экран, презентация к уроку « Решение задач на тему «Движение тела по окружности», распечатка карточек с заданиями. .

Форма работы: фронтальная, индивидуальная, групповая.

Тип урока: повторение и обобщение знаний, умений решать задачи по теме.

Вид урока: комбинированный с элементами исследования

Ход урока

1. Организационный момент.

Мотивация к учебной деятельности

Учитель.

«Незнающие пусть научатся, знающие – вспомнят еще раз

II. Актуализация опорных знаний.

Физический диктант:

1. Изменение положения тела в пространстве с течением времени. (Движение)

2. Физическая векторная величина, измеряемая в метрах. (Перемещение)

3. Физическая векторная величина, характеризующая быстроту движения. (Скорость)

4. Основная единица измерения длины в физике. (Метр)

5. Физическая величина, единицами измерения которой служат год, сутки, час.

   (Время)

6. Длина траектории. (Путь)

7. Единицы измерения ускорения (м/с²)

(Проведение диктанта с последующей проверкой, самооценка работ учениками) Работа в паре.
Тема урока : Решения задач по теме: «Движение тела по окружности»

Учитель. Что характеризует движение тела по окружности

Опрос детей устно

Решение у доски задачи с подробным объяснением

1. Колесо делает 120 оборотов за 2 минуты. Какова частота вращения колеса и период вращения?

2. Точильный круг радиусом 10 см делает один оборот за 0,2 с. Найдите скорость точек, наиболее удаленных от оси вращения.

3. Автомобиль движется по закруглению дороги радиусом 100 м. Чему равно центростремительное ускорение автомобиля, если он движется со скоростью 54 км/ч?

4. Какова скорость движения автомобиля, если его колеса радиусом 30 см делают 600 оборотов в минуту?

5. Период обращения первого космического корабля — спутника Земли «Восток» равнялось 90 минут. Средняя высота спутника над Землей была равна 320 км. Радиус Земли 6400 км. Вычислить скорость корабля.

физкультминутка

Домашнее задание

2. Подведение итогов урока. Выставление оценок.

Рефлексия.

Вариант №1

З адача 1 C какой скоростью велосипедист проходит закругление с радиусом 25 метров, если центростремительная скорость его движения равна 4 м/с?

Задача 2 Колесо радиусом 40 см делает один оборот за 0,4 секунды. Найти скорость точек на ободе колеса.

Задача 3 Колесо велосипедиста имеет радиус 40 см. С какой скоростью едет велосипедист, если колесо делает 4 оборота в секунду? Чему равен период вращения колеса?

Задача 4 С какой скоростью велосипедист должен проходить середину выпуклого моста радиусом 22,5 метра, чтобы его центростремительное ускорение было бы равно ускорению свободного падения?

Задача 5 Чему равно центростремительное ускорение тела, движущегося по окружности радиус ом 50 см при частоте вращения 5 оборотов в секунду?

Вариант 2

задача1. Колесо радиусом 80 см делает один оборот за 0,8 секунды. Найти скорость точек на ободе колеса.

Задача 2 Скорость точек экватора Солнца при его вращении вокруг своей оси равно 2 км/с. Найти период вращения Солнца вокруг своей оси и центростремительное ускорение точек его экватора.

Задача 3 Какова скорость движения автомобиля, если его колесо радиусом 30 см делает 500 оборотов в минуту?

Задача 4 Чему равна центростремительная сила и центростремительное ускорение, действующие на пращу массой 800 г, вращающуюся на веревке длиной 60 сантиметров равномерно со скоростью 2 м/с?

Задача 5 Период обращения космического корабля вокруг Земли равен 90 минутам. Высота подъема корабля над поверхностью Земли составляет 300 км, радиус Земли равен 6400 км. Определить скорость корабля.

9кл.Самостоятельная работа по теме : «Движение тела по окружности»

Вариант№1

Задача 1 C какой скоростью велосипедист проходит закругление с радиусом 25 метров, если центростремительная скорость его движения равна 4 м/с?

Задача 2 Колесо радиусом 40 см делает один оборот за 0,4 секунды. Найти скорость точек на ободе колеса.

Задача 3 Колесо велосипедиста имеет радиус 40 см. С какой скоростью едет велосипедист, если колесо делает 4 оборота в секунду? Чему равен период вращения колеса?

Задача 4 С какой скоростью велосипедист должен проходить середину выпуклого моста радиусом 22,5 метра, чтобы его центростремительное ускорение было бы равно ускорению свободного падения?

Задача 5 Чему равно центростремительное ускорение тела, движущегося по окружности радиусом 50 см при частоте вращения 5 оборотов в секунду?

9 кл. Самостоятельная работа по теме : «Движение тела по окружности»

Вариант№2

задача1. Колесо радиусом 80 см делает один оборот за 0,8 секунды. Найти скорость точек на ободе колеса.

Задача 2 Скорость точек экватора Солнца при его вращении вокруг своей оси равно 2 км/с. Найти период вращения Солнца вокруг своей оси и центростремительное ускорение точек его экватора.

Задача 3 Какова скорость движения автомобиля, если его колесо радиусом 30 см делает 500 оборотов в минуту?

Задача 4 Чему равна центростремительная сила и центростремительное ускорение, действующие на пращу массой 800 г, вращающуюся на веревке длиной 60 сантиметров равномерно со скоростью 2 м/с?

Задача 5 Период обращения космического корабля вокруг Земли равен 90 минутам. Высота подъема корабля над поверхностью Земли составляет 300 км, радиус Земли равен 6400 км. Определить скорость корабля.

теория, как решать, примеры на равноускоренное

Человек регулярно сталкивается с разными видами движения. Перемещение тела по окружности позволяет понять многие физические процессы. На основе закономерностей такого явления работают разнообразные механизмы. Рассчитать характеристики движения по окружности достаточно просто, если знать и уметь применять несколько основных формул.

Движение тела по окружности — какими законами описывается

Движением по окружности в теории называют вращение какой-либо материальной точки или тела относительно оси, неподвижной в выбранной системе отсчета и не проходящей через центр тела.

Тело может двигаться по окружности двумя способами:

• равномерно;
• неравномерно.

Равномерное движение тела характеризуется постоянной угловой скоростью. {2}R\)

В представленных уравнениях используются такие параметры, как:

• Т — период вращения;
• t — время;
• ω — угловая скорость;
• R — радиус;
• a_t — тангенциальное ускорение;
• a_n — центростремительное или полное ускорение.

При отсутствии специальных оговорок, в процессе решения задач движение тела по окружности принимают за равномерное. Для расчета пройденного пути используют формулу:

\(S=\frac{v}{t}\)

где:

• S является расстоянием, которое преодолело тело;
• v представляет собой скорость движения тела;
• t определяет время движения.

Таким образом, справедливы выражения:

\(v=\frac{S}{t}\)

\(t =\frac{v}{S}\)

Величины, которые применяют для решения задач, характеризуются положительными значениями:

S > 0, v > 0, t > 0

При решении задач принято все величины переводить в единицы измерения, согласно системе СИ.

Секретом заданий на движение тела по окружности является то, что обгоняющий будет преодолевать на 1 круг больше при первом обгоне. Данное расстояние считается на n кругов больше, если первый объект обогнал другого в n-ый раз.

Источник: phototass3.cdnvideo.ru

Задачи на движение по окружности от простых до сложных

Задачи на движение тела по окружности отличаются по степени сложности. Можно рассмотреть примеры простых заданий.

Задача 1

Длина круговой трассы составляет 8 километров. Из ее точки в один момент времени в одинаковом направлении выехали два автомобиля. Первый автомобиль развил скорость 114 км/ч и, спустя 20 минут после начала движения, обогнал второй автомобиль на один круг. Требуется определить скорость, с которой двигался второй автомобиль. Ответ необходимо представить в км/ч.

Решение

Известно, что старт произошел одновременно для обоих автомобилей. Через 20 минут после начала движения первое транспортное средство опережало второе на один круг. Таким образом, в течение 20 минут или 1/3 часа первый автомобиль преодолел на 1 круг больше, то есть на 8 км больше. За час первый автомобиль проехал на 8*3=24 км больше, чем второй. Скорость второго транспортного средства на 24 км/ч меньше по сравнению с первым, и равна 114-24=90 км/ч.

Ответ: второй автомобиль двигался со скоростью 90 км/ч.

Задача 2

Из пункта А круговой трассы выехал велосипедист, а спустя полчаса стартовал мотоциклист. Через 10 минут после начала пути водитель мотоцикла догнал велосипедиста в первый раз. Спустя еще 30 минут мотоциклист догнал велосипедиста повторно. Требуется определить, какова скорость мотоциклиста, в том случае, когда длина трассы составляет 30 км. Ответ необходимо представить в км/ч.

Решение

В первую очередь требуется перевести минуты в часы. Скорости мотоциклиста и велосипедиста можно обозначить х и у. В первый раз водитель мотоцикла обогнал велосипедиста, спустя 10 минут или 1/6 часа после начала движения. До этого момента велосипедист находился в движении 40 минут или 2/3 часа.

Можно упростить запись условий задачи:

велосипедист: v = х, t = 2/3, S = 2/3*х;

мотоциклист: v = у, t = 1/6, S = 1/6*у.

Велосипедист и мотоциклист преодолели одинаковый путь:

\(\frac{1}{6}y=\frac{2}{3}x\)

Спустя 30 минут или 1/2 часа после первого обгона мотоциклист выполнил второй обгон велосипедиста.

Таким образом:

велосипедист: v = х, t = 1/2, S = 1/2*х;

мотоциклист: v = у, t = 1/2, S = 1/2*у.

Требуется определить расстояния, которые преодолели гонщики. Мотоциклист обогнал велосипедиста, то есть проехал больше на один круг. Это является ключевым моментом в данной задаче. Один круг составляет 30 километров. Второе уравнение будет иметь вид:

\(\frac{1}{2}y-\frac{1}{2}x=30\)

Далее необходимо решить полученную систему:

у = 4х

у – х = 60

Таким образом, х = 20, у = 80.

Ответ: скорость мотоциклиста равна 80 км/ч.

Бывают задания на движение тела по окружности с повышенной степенью сложности. Как правило, подобные примеры при невозможности проведения экспериментов требуют сложных вычислений.

Задача 3

На часах со стрелками время 8 часов 00 минут. Требуется определить, через сколько минут минутная стрелка в четвертый раз догонит часовую стрелку.

Решение

Спустя один час минутная стрелка преодолевает один круг, а часовая проходит лишь 1/12 циферблата. Допустим, что скорости равны 1 круг в час и 1/12 круга в час соответственно. Начало движения приходится на 8.00. Необходимо определить время, в течение которого минутной стрелке в первый раз удастся догнать часовую.

Минутная стрелка преодолеет на 2/3 круга больше. Исходя из этого, можно записать уравнение:

\(1*t-\frac{1}{12}t=\frac{2}{3}\)

Таким образом, спустя 8/11 часа стрелки совпадут. Предположим, что через время z стрелки совпадут повторно. Минутная стрелка преодолеет расстояние 1*z, а часовая 1/12*z. При этом минутной стрелкой будет пройдено на один круг больше. Можно записать уравнение:

\(1*z-\frac{1}{12}z=1\)

Решение данного уравнения будет таким:

\(z=\frac{12}{11}\)

Таким образом, через 12/11 часа стрелки совпадут повторно. Спустя еще 12/11 часа они встретятся вновь и так далее. Поэтому при старте в 8.00 в четвертый раз минутная стрелка догонит часовую через:

\(\frac{8}{11}+3\frac{12}{11}\) часа

Ответ: минутная и часовая стрелки совпадут в четвертый раз через \(\frac{8}{11}+3\frac{12}{11}\)часа.

Нередко при решении задач на движение по окружности требуется рассчитать среднюю скорость тела. Важно, что данная величина не совпадает со средним арифметическим скоростей. Средняя скорость определяется с помощью формулы:

\(v=\frac{S_{0}}{t_{0}}\)

где v является средней скоростью;

S₀ представляет собой общий путь;

t₀ определяет общее время.

При наличии двух участков пути средняя скорость рассчитывается по формуле:

\(v=\frac{S_{1}+S_{2}}{t_{1}+t_{2}}\)

Наиболее сложными задачами считаются примеры с пятизначными дискриминантами. Рассмотрим алгоритм действий в таком случае.

Источник: kramar-motorsport.ru

Задача 4

Пара гонщиков участвует в соревновании. Путь, который требуется преодолеть, равен 60 кругам кольцевой трассы в 3 км. После одновременного старта первый гонщик пересек финиш раньше, чем второй на 10 минут. Требуется рассчитать среднюю скорость второго гонщика. Известно, что впервые первый участник обогнал второго на круг, спустя 15 минут после начала движения. Ответ требуется записать в км/ч.

Решение

Первый участник гонки, находясь в движении 15 минут, догнал второго гонщика на первом круге. Таким образом, в течение 15 минут он преодолел на 1 круг или на 3 км больше, чем второй. За час первый гонщик проехал 3*4=12 километров больше. При этом скорость его движения на 12 км/ч превышает скорость второго гонщика. 10 минут соответствует ¼ часа. Можно записать уравнение:

\(\frac{180}{x}-\frac{180}{x+12}=\frac{1}{6}\)

Далее необходимо преобразовать выражение к квадратному уравнению:

\(x^{2}+12x-12960=0\)

Таким образом, получен пятизначный дискриминант. Есть более простой вариант решения задачи. Можно записать уравнение:

\(\frac{180}{x}-\frac{180}{x+12}=\frac{1}{6}\)

В нем 180 можно поделить на 12. Заменим х=12z:

\(\frac{180}{12z}-\frac{180}{12z+12}=\frac{1}{6}\)

\(\frac{15}{z}-\frac{15}{z+1}=\frac{1}{6}\)

\(\frac{90}{z}-\frac{90}{z+1}=1\)

Данное равенство можно преобразить в квадратное уравнение. Целый положительный корень такого выражения z=9. Тогда получим:

\(х=12z=108\)

Ответ: средняя скорость второго гонщика равна 108 км/ч.

Нахождение линейной скорости при движении по окружности

Любая точка, находящаяся на окружности, перемещается с некоторой скоростью. Данная величина называется линейной скоростью. Вектор линейной скорости всегда совпадает по направлению с касательной к окружности. К примеру, стружка из точильного станка движется, повторяя направление мгновенной скорости.

Источник: msk.edu.ua

Можно рассмотреть какую-то точку на окружности, совершившую один оборот. При этом было затрачено время равное периоду Т. Расстояние или путь, пройденный точкой, представляет собой длину рассматриваемой окружности.

Источник: msk.edu.ua Источник: msk.edu.ua

Задачи на тему равномерное движение по окружности

Задача 1

Радиус выпуклого моста равен 90 м. Требуется определить скорость, с которой автомобиль должен пройти его середину, чтобы пассажир на мгновение ощутил невесомость.

Решение

Согласно условиям задачи:

R = 90 м

N = 0

Сила реакции опоры обладает нулевым значением, так как пассажир в состоянии невесомости не оказывает давление на сиденье автомобиля.

Источник: static-interneturok.cdnvideo.ru

Решение задачи необходимо представить в системе отсчета, которая связана с Землей. Человек совершает движение вместе с автомобилем. Ускорение при этом направлено вниз. На пассажира действует сила притяжения Земли, которая будет центростремительной:

\(mg=m\frac{v^{2}}{R}\)

Таким образом:

\(v=\sqrt{\frac{Rmg}{m}}=\sqrt{Rg}=\sqrt{90*10}=30\) м/с

Ответ: скорость автомобиля составляет 30 м/с. {2}=gl*\sin \alpha *\tan \alpha \)

\(v=\sqrt{gl*\sin \alpha *\tan \alpha }=\sqrt{10*0.6*\frac{\sqrt{3}}{2}*\sqrt{3}}=3\) м/с

Ответ: скорость шарика составляет 3 м/с.

Задача 4

Необходимо определить максимальную скорость мотоцикла по горизонтальной плоскости, который описывает при этом дугу окружности с радиусом 100 м. Коэффициент трения резины о плоскость составляет 0,4.

Источник: static-interneturok.cdnvideo.ru

Решение

Во время поворота мотоцикл наклоняется к центру поворота. На транспортное средство оказывают действие:

• сила тяжести \(m\vec{g}\);
• сила реакции опоры \(\vec{N}\);
• сила трения \(\vec{F_{tr}}\);
• сила тяги \(\vec{F_{t}}\);
• сила сопротивления \(\vec{F_{c}}\).

Данные силы в сумме составляют:

\(m\vec{g}+\vec{N}+\vec{F_{tr}}+\vec{F_{t}}+\vec{F_{c}}= m\vec{a}\)

Согласно выражениям:

\(m\vec{g}+\vec{N}=0\)

\(\vec{F_{t}}+\vec{F_{c}}=0\)

Получим:

\(\vec{F_{tr}}= m\vec{a}\)

Сила трения составляет:

\(F_{tr}= \mu mg\)

Таким образом:

\(\mu mg=ma= m\frac{v^{2}}{R}\)

\(v=\sqrt{\frac{\mu mgR}{m}}=\sqrt{\mu gR}=\sqrt{0. 4*10*100}=20\) м/с

Ответ: максимальная скорость равна 20 м/с.

Источник: avatars.mds.yandex.net

Задачи разной сложности по теме движения тела по кружности часто встречаются не только в школьной программе, но и во время обучения в вузе. Знание основных закономерностей позволит быстро найти решение примера любой сложности. Если в процессе расчетов возникают трудности, всегда можно обратиться за помощью к сервису Феникс.Хелп.

Решение задач. Движение тела по окружности

Цель: научить решать задачи на движение тела по окружности.

Ход урока

I. Повторение. Беседа

1. Точка движется равномерно по окружности. Постоянна ли ее скорость?

2. Есть ли ускорения у точки, которая движется по окружности?

3. Куда направлено ускорение?

4. Что такое период? Частота?

5. Как связаны между собой ускорение, скорость и радиус при равномерном движении тела по окружности.

6. Что называется осью вращения твердого тела?

7. Что такое угловая скорость?

8. Как связаны между собой угловая и линейная скорости? Угловая скорость и центростремительное ускорение?

II. Решение задач

I группа

1. Скорость точек рабочей поверхности наждачного круга диаметром 300 мм не должна превышать 35 м/с. Допустима ли посадка круга на вал электродвигателя, совершающего 1400 об/мин, 2800 об/мин? (Да, нет.)

2. Частота вращения воздушного винта самолета 1500 об/мин. Сколько оборотов делает винт на пути 90 км при скорости полета 180 км/ч? (45 000)

3. Период вращения платформы карусельного станка 4 с. Найти скорость крайних точек платформы, удаленных от оси вращения на 2 м. (3,14 м/с)

4. Скорость точек экватора Солнца при его вращении вокруг своей оси 2 км/с. Найти период вращения Солнца вокруг своей оси и центростремительное ускорение точек экватора. (253 сут., 5,7 мм/с?)

II группа

1. Минутная стрелка в 1,5 раза длиннее часовой. Определите, во сколько раз скорость конца часовой стрелки меньше скорости конца минутной стрелки. (В 18 раз)

2. Определите центростремительное ускорение точек колеса автомобиля, соприкасающихся с дорогой, если автомобиль движется со скоростью 36 км/ч и при этом частота вращения колеса равна 4е^-1. (251,2 м/с?)

3. Две материальные точки движутся по окружности радиусами R₁ и R₂ причем R₁ = 2R₂. Сравните их центростремительные ускорения, если равны их периоды обращения. (2:1)

4. Минутная стрелка часов в 2 раза длиннее секундной. Найдите отношение скоростей концов стрелок. (1:30)

III группа

1. Чему равен радиус вращающегося колеса, если известно, что скорость точки, лежащей на ободе, в 2,5 раза больше скорости точки, лежащей на расстоянии 5 см ближе к оси колеса? (8,5 см)

2. Найдите линейную скорость и центростремительное ускорение точек на широте 60°. Радиус Земли равен 6400 км. (233 м/с, 1,7410^-2 м/с?)

3. Небольшое тело движется по окружности радиуса R со скоростью, которая линейно увеличивается со временем по закону v = kt. Найдите зависимость полного ускорения тела от времени.

4. Какое расстояние пройдет велосипедист при 60 оборотах педалей, если диаметр колеса 70 см, ведущая зубчатка имеет 48 зубцов, а ведомая -18 зубцов? (352 м)

Домашнее задание

П. 20,21, задачи на стр. 51.

Задачи по теме «Равномерное движение по окружности»

1. Карусели делают 15 об/мин. Определите период и частоту их враще­ния.

2. Материальная точка за 2 с прошла треть окружности. Определите период и частоту её вращения.

3. Определите линейную скорость колеса, диаметр которого 40 см, а период вращения 2 с.

4. Известно, что Земля вращается вокруг своей оси. Определите линей­ную скорость точки экватора, если радиус Земли 6400 км.

5. Определите линейную скорость Луны, обусловленную её обращени­ем вокруг Земли. Период вращения Луны 27,3 суток. Расстояние Земля – Луна 3,84 ∙ 10⁵ км.

6. Период обращения Земли вокруг Солнца равен 1 году (365,25 суток), радиус орбиты Земли 150 млн. км. Определите скорость движения Земли вокруг Солнца.

7. Линейная скорость конца минутной стрелки Кремлёвских курантов равна 6 мм/с. Определите длину минутной стрелки.

8. Скорость точек рабочей поверхности шлифовального круга не должна превышать

100 м/с. Определите частоту вращения круга, ес­ли его диаметр 40 см.

9. Автомобиль движется со скоростью 36 км/ч. Определите скорость верхней и нижней точки колеса относительно поверхности земли.

10. Минутная стрелка часов на 50% длиннее секундной. Во сколько раз линейная скорость конца секундной стрелки больше минутной?

11. Точка равномерно движется по окружности, совершая один оборот за 1,57 с. Определите угловую скорость точки.

12. Точка равномерно движется по окружности, имея частоту вращения 2 Гц. Определите угловую скорость точки.

13. Точка равномерно движется по окружности радиусом 1,5 м с угло­вой скоростью 3 рад/с. Определите линейную скорость точки.

14. Найдите угловую скорость барабана лебёдки диаметром 16 см при подъёме груза со скоростью 0,4 м/с.

15. Каково центростремительное ускорение поезда, движущегося по закруглению радиусом 500 м со скоростью 90 км/ч?

16. С какой скоростью автомобиль должен проходить середину выпуклого моста радиусом 40 м, чтобы центростремительное ускорение равнялось ускорению свободного падения?

17. Колесо автомобиля, радиус которого 40 см, имеет угловую скорость 3 рад/с. Определите его центростремительное ускорение.

18. Определите ускорение конца секундной стрелки часов, если длина стрелки равна 2 см.

19. Определите центростремительное ускорение колеса, диаметр которого 60 см, а частота вращения 0,5 Гц.

20. Как изменится центростремительное ускорение точек обода колеса, если линейная скорость уменьшится в 3 раза?

21. Как изменится центростремительное ускорение точек обода колеса, если радиус колеса уменьшится в 4 раза?

22. Как изменится центростремительное ускорение точек обода колеса, если радиус колеса увеличится в 5 раз?

23. Во сколько раз увеличится центростремительное ускорение точек обода колеса, если период обращения колеса уменьшится в 2 раза?

24. Во сколько раз возрастет линейная скорость вращающегося колеса, если центростремительное ускорение увеличится в 4 раза?

25. Во сколько раз и как изменится угловая скорость тела, если центростремительное ускорение уменьшится в 9 раз?

26. Что происходит с периодом вращения, если центростремительное ускорение тела увеличивается в 4 раза?

27. Что происходит с частотой вращения, если центростремительное ускорение уменьшилось в 9 раз?

28. Период вращения первого колеса в 4 раза больше периода вращения второго, а его радиус в 2,5 раза больше радиуса второго колеса. Во сколько раз центростремительное ускорение точек обода второго колеса больше первого?

11. Задача про движение материальной точки по окружности

Теперь воспользуемся полученными выше знаниями для решения красивой классической задачи про движение материальной точки по окружности.

Материальная точка двигается равномерно по окружности. В первом приближении похоже на движение Земли вокруг Солнца или Луны вокруг Земли.

Тогда мы можем записать уравнения движения в прямоугольной инерциальной системе координат XYZ. Причем, пусть движение происходит в плоскости XY, тогда координата Z(t) всегда равна 0: 

где φ(t) функция зависимости угла между радиус вектором точки, проведенным из начала координат, и осью X от времени. При равномерном движении этот угол изменяется с постоянной угловой скоростью ω  [радиан/с].

Найдем функции скорости и ускорения для данной материальной точки.

           Находим первые, а затем и вторые производные по времени. Первые производные по времени от функций координат будут являться функциями зависимости компонентов скоростей по соответствующим координатам материальной точки от времени.

      С помощью таблиц производных тригонометрических функций (или с помощью онлайн системы вычисления производных в интернете) находим что производные синуса и косинуса равны

Из формул (23), (28), (29) получаем дифференцированием по t:

               Соответственно, модуль вектора скорости V(t) равен корню квадратному из суммы квадратов компонент. Надеюсь, все помнят, как находить длину гипотенузы прямоугольного треугольника из длин катетов!

               Скорость, действительно, постоянна по модулю!

            А ускорение?

            Дифференцируем функции скоростей по времени t, получаем функции компонентов ускорений по соответствующим осям координат:

            Следовательно, модуль вектора ускорения аналогично предыдущему равен:

               Из формул (45), (46) и (47) видно, что ускорение всегда направлено к центру. Догадайтесь почему? И оно, ускорение, тоже постоянно по модулю. А так как масса тела у нас постоянна, то значит, и сила притяжения к центру при таком движении так же должна быть постоянна по модулю.

На этом можно было бы остановиться. Мы вывели уравнения для скорости и ускорения, которые описывают равномерное движение материальной точки по окружности. К тому же определили, что скорость и ускорение по модулю являются постоянными. И зависят от радиуса окружности R, и некой постоянной 𝛚.

            Но что такое эта самая постоянная 𝛚?    Это угловая скорость.

            Это скорость обращения в радианах?! Знаете, что такое радиан? Что такое радиан, можно посмотреть в интернете. Это угол, измеренный в радиусах, отложенных по окружности.

В 180 градусах умещается π радианов = 3,14…… радианов. Радиан – безразмерная величина, типа доли. Просто столько-то радианов. Если умножим на величину радиуса окружности в метрах, получим длину дуги нашей окружности (величиной в столько-то радианов) в метрах.

            Размерность нашего 𝛚 – [1/с].  Правильно! В формуле (46) размерность у ускорения – [м/с²].

У чего еще есть размерность [1/с]? У частоты вращения γ – столько-то оборотов в секунду. Легко заметить, что если частота равна одному обороту в секунду γ = 1, то так как в полной окружности 2π радиан, следовательно

                Подставляем в (49), получаем:

               Мы продолжим рассмотрение кругового движения в последующих главах. Пока же ограничимся еще одной формулой. Вы, надеюсь, знаете, что период T обращения есть величина обратная частоте  T = 1 / γ [в секундах]

Так? Тогда из (51) следует

Мы «убрали» зависимость от времени у модуля ускорения, поскольку оно по модулю не зависит от времени.

Заметим так же, что формулы (50) — (53) скалярные, а не векторные.

            Предлагаю вам самостоятельно вывести формулу зависимости модуля ускорения a от модуля линейной скорости V и радиуса R.

            Заметьте, мы вывели формулы аналитически. Просто из заданных уравнений движения (X(t),Y(t), Z(t)). Мы задали зависимость координат от времени и простым дифференцированием нашли зависимости от времени скоростей и ускорений. Точнее, установили их независимость от времени. Мы с вами аналитически вывели, что для равномерного движения по окружности телу (материальной точке) нужно придать ускорение, постоянное по величине и направленное к центру окружности, вдоль которой движется тело. Но самое главное, мы вывели уравнения зависимости периода обращения такого тела (материальной точки), ускорения и радиуса орбиты. И оказалось, что действительно период обращения космического корабля вокруг Земли, например, зависит только от радиуса орбиты и ускорения, придаваемого кораблю Землей.

            Теперь решим красивую задачу.

            Задача: «Нам нужно запустить на орбиту спутник-шпион, который будет следить за конкретным неподвижным объектом на поверхности Земли, например, за военной базой. Вопрос, каковы параметры орбиты такого спутника?»

            Решение: Используем уравнение (53). Для того, чтобы спутник мог круглосуточно наблюдать на поверхности Земли за военной базой, он должен все время находиться в пределах видимости объекта. Если мы запустим спутник, период обращения которого вокруг Земли будет равен периоду обращения самой Земли вокруг своей оси, а орбита будет лежать в плоскости экватора, то такой спутник будет все время висеть над одной точкой. С Земли он будет казаться неподвижно висящим над экватором.

            Какие параметры имеет такая орбита? Берем формулу (53). Смотрим, что у нас известно и неизвестно. Известен период обращения. Неизвестен радиус орбиты. А ускорение? Оно, как мы знаем, зависит от радиуса орбиты. На уровне поверхности Земли ускорение равно g ≅ 9,8 м/с². Если радиус орбиты больше радиуса Земли в два раза, то ускорение меньше в 4 раза. Надеюсь, все помнят формулу закона всемирного тяготения.

У поверхности земли ускорение свободного падения

На орбите ускорение свободного падения

            Тогда у нас получается

               Подставляем в уравнение (50), получаем

            Теперь выразим R_орбиты из формулы (56)

 

               Проверяем размерности получившейся формулы

               Правильная формула!

Теперь подставляем в нее известные численные значения. Период обращения – 24 часа = 24 * 60 * 60 сек. Радиус Земли приблизительно = 6 300 000 м. Ускорение у поверхности = 9,8 м/с². Подставляем. Посчитайте сами и проверьте результат!

Получаем около 42 000 км. Таким образом спутник будет висеть над одной точкой экватора приблизительно на высоте около 36 000 км. над поверхностью Земли. Это правильный результат! Так называемые «геостационарные» (стационарные относительно поверхности Земли) спутники имеют такие параметры орбиты.

Движение тела по окружности с постоянной по модулю скоростью. Центростремительное ускорение

«Существует некий аспект всеобщности,

который ощущаешь, когда размышляешь

над тем, каким образом вещами, которые

кажутся такими разными и ведут себя

совершенно по-разному, «за сценой»

управляет одна и та же организация,

одни и те же законы физики»

Ричард Фейнман

Данная тема будет посвящена изучению методов решения задач на движение тела по окружности с постоянной по модулю скоростью.

Задача 1. Материальная точка движется по окружности с постоянной по модулю скоростью 0,5 м/с. За 2 с вектор скорости изменяет свое направление на 30^о. Чему равно центростремительное ускорение точки?

ДАНО:	РЕШЕНИЕ: Центростремительное ускорение определяется, как: Угловая скорость вращения МТ: Радиус окружности: Тогда, центростремительное ускорение:

Ответ: 0,13 м/с².

Задача 2. Два тела движутся по окружности радиусом 25 м в одном направлении с постоянными по модулю скоростями. Центростремительное ускорение первого тела 9 м/с², второго — 4 м/с². Чему равен минимальный промежуток времени, через который тела оказываются в одной точке траектории?

ДАНО:

РЕШЕНИЕ: Искомый минимальный промежуток времени, через который тела оказываются в одной точке траектории — это время между двумя последовательными одновременными положениями тел в одной точке траектории. За время между двумя последовательными одновременными положениями тел в одной точке траектории, первое тело совершит на один полный оборот больше, чем второе Пути, пройденные телами: Так как центростремительное ускорение определяется по формуле То скорость движения тела Следовательно Тогда получаем Искомый промежуток времени тогда равен

Ответ: 31,4 с.

Задача 3. Диаметр велосипедного колеса составляет 66 см, число зубьев в ведущей звёздочке (в каретке) 44, в ведомой (на заднем колесе) — 14. Если велосипедист равномерно крутит педали с частотой 82 об/мин, то чему равен модуль скорости велосипеда?

ДАНО:	СИ	РЕШЕНО: Математический способ решения. Передаточное соотношение: Тогда заднее колесо за 1 с пройдет путь: Следовательно, скорость велосипеда: Физический способ решения. Так как звездочки жестко связаны цепью, то их скорости равны Линейные скорости точек на окружностях звездочек: Запишем выражения для скоростей через число зубцов: Тогда: Находим частоту вращения задней ведомой звездочки: Тогда скорость велосипеда:

Ответ: 8,92 м/с.

Задача 4. Самолет летит со скоростью 540 км/ч. При этом его пропеллер, диаметр которого составляет 300 см, вращается с частотой 2400 об/мин. Чему равна скорость конца пропеллера относительно неподвижного наблюдателя на Земле?

ДАНО:	СИ	РЕШЕНИЕ: Согласно закону сложения скоростей: Тогда, модуль скорости по теореме Пифагора: Линейная скорость конца пропеллера: Тогда

Ответ: 406 м/с.

Математика кругового движения

Есть три математические величины, которые будут для нас в первую очередь интересны, когда мы будем анализировать движение объектов по кругу. Эти три величины — скорость, ускорение и сила. Скорость объекта, движущегося по кругу, определяется следующим уравнением.

Ускорение объекта, движущегося по кругу, можно определить с помощью одного из двух следующих уравнений.

Уравнение справа (вверху) получено из уравнения слева путем подстановки выражения для скорости.

Чистая сила ( F _net ), действующая на объект, движущийся по кругу, направлена ​​внутрь. Хотя на объект может действовать более одной силы, их векторная сумма должна составлять результирующую силу. В общем, внутренняя сила больше, чем внешняя сила (если таковая имеется), так что внешняя сила компенсируется, и неуравновешенная сила направлена ​​в направлении центра круга. Чистая сила связана с ускорением объекта (как всегда) и, таким образом, определяется следующими тремя уравнениями:

Уравнения в середине (вверху) и справа (вверху) получены из уравнения слева путем подстановки выражений для ускорения.

Этот набор уравнений кругового движения можно использовать двумя способами:

Эти два способа показаны ниже.

Уравнения как руководство к мышлению

Уравнение выражает математическую связь между величинами, присутствующими в этом уравнении. Например, уравнение второго закона Ньютона определяет, как ускорение связано с чистой силой и массой объекта.

Взаимосвязь, выражаемая уравнением, заключается в том, что ускорение объекта прямо пропорционально действующей на него чистой силе. Другими словами, чем больше значение чистой силы, тем больше будет значение ускорения. По мере увеличения чистой силы ускорение увеличивается. Фактически, если бы чистая сила была увеличена в 2 раза, уравнение предсказало бы, что ускорение увеличится в 2 раза. Точно так же, если бы чистая сила была уменьшена в 2 раза, уравнение предсказало бы, что ускорение уменьшится в 2 раза.

Уравнение второго закона Ньютона также показывает связь между ускорением и массой. Согласно уравнению, ускорение объекта обратно пропорционально массе объекта. Другими словами, чем больше значение массы, тем меньше будет значение ускорения. По мере увеличения массы ускорение уменьшается. Фактически, если бы масса была увеличена в 2 раза, уравнение предсказало бы, что ускорение уменьшится в 2 раза. Точно так же, если бы масса была уменьшена в 2 раза, уравнение предсказало бы, что ускорение будет увеличиваются в 2 раза.

Как упоминалось ранее, уравнения позволяют делать прогнозы о влиянии изменения одной величины на вторую величину. Поскольку уравнение второго закона Ньютона показывает три величины, каждая из которых возведена в первую степень, предсказательная способность уравнения довольно проста. Прогностическая способность уравнения усложняется, когда одна из величин, включенных в уравнение, возводится в степень. Например, рассмотрим следующее уравнение, связывающее чистую силу ( F _net ) со скоростью ( v ) объекта, движущегося с равномерным круговым движением.

Это уравнение показывает, что чистая сила, необходимая для движения объекта по кругу, прямо пропорциональна квадрату скорости объекта. При постоянной массе и радиусе сеть F пропорциональна скорости ² .

Коэффициент, на который изменяется чистая сила, является квадратом коэффициента, на который изменяется скорость. Впоследствии, если скорость объекта удваивается, чистая сила, необходимая для кругового движения этого объекта, увеличивается в четыре раза.И если скорость объекта уменьшается вдвое (уменьшается в 2 раза), требуемая полезная сила уменьшается в 4 раза.

Уравнения как рецепт решения проблем

Математические уравнения, представленные выше для движения объектов по кругу, могут использоваться для решения задач кругового движения, в которых необходимо определить неизвестную величину. Процесс решения задачи кругового движения очень похож на любую другую задачу в классе физики. Процесс включает в себя внимательное прочтение проблемы, идентификацию известной и необходимой информации в переменной форме, выбор соответствующего уравнения (й), замену известных значений в уравнение и, наконец, алгебраическое манипулирование уравнением для определения отвечать. Рассмотрим применение этого процесса к следующим двум задачам кругового движения.

Пример задачи № 1 Автомобиль массой 900 кг, движущийся со скоростью 10 м / с, совершает разворот по окружности с радиусом 25.0 мин. Определите ускорение и чистую силу, действующую на автомобиль.

Решение этой проблемы начинается с выявления известной и запрашиваемой информации.

Известная информация: м = 900 кг v = 10,0 м / с R = 25,0 м

Запрошенная информация: а = ???? F net = ????

Для определения ускорения автомобиля используйте уравнение a = v ² / R. Решение следующее:

а = v ² / R

a = (10,0 м / с) ² / (25,0 м)

a = (100 м ² / с ² ) / (25,0 м)

a = 4 м / с ²

Чтобы определить чистую силу, действующую на автомобиль, используйте уравнение F _net = m • a. Решение следующее.

F _net = m • a

F _нетто = (900 кг) • (4 м / с ² )

F _нетто = 3600 N

Пример задачи № 2 Полузащитник весом 95 кг делает разворот на футбольном поле.Полузащитник заметает путь, который представляет собой часть круга радиусом 12 метров. Полузащитник совершает четверть оборота по кругу за 2,1 секунды. Определите скорость, ускорение и чистую силу, действующую на полузащитника.

Решение этой проблемы начинается с выявления известной и запрашиваемой информации.

Известная информация: м = 95.0 кг R = 12,0 м Пройдет 1/4 окружности за 2,1 с

Запрошенная информация: v = ???? а = ???? F net = ????

Чтобы определить скорость полузащитника, используйте уравнение v = d / t, где d равно одной четвертой окружности, а время равно 2.1 с. Решение следующее:

v = d / t

v = (0,25 • 2 • pi • R) / т

v = (0,25 • 2 • 3,14 • 12,0 м) / (2,1 с)

v = 8,97 м / с

Чтобы определить ускорение полузащитника, используйте уравнение a = v ² / R. Решение следующее:

а = v ² / R

a = (8,97 м / с) ² / (12,0 м)

а = (80. 5 м ² / с ² ) / (12,0 м)

a = 6,71 м / с ²

Чтобы определить чистую силу, действующую на полузащитника, используйте уравнение F _net = m • a. Решение следующее.

F _нетто = m * a

F _нетто = (95,0 кг) * (6,71 м / с ² )

F _нетто = 637 N

В Уроке 2 этого модуля принципы кругового движения и приведенные выше математические уравнения будут объединены для объяснения и анализа различных сценариев реального движения, включая аттракционы в парке развлечений и круговые движения в легкой атлетике.

Хотим предложить … Иногда просто прочитать об этом недостаточно. Вы должны с ним взаимодействовать! И это именно то, что вы делаете, когда используете одно из интерактивных материалов The Physics Classroom. Мы хотели бы предложить вам совместить чтение этой страницы с использованием нашего интерактивного средства Uniform Circular Motion Interactive. Вы можете найти его в разделе Physics Interactives на нашем сайте. Интерактивный модуль «Равномерное круговое движение» позволяет учащемуся интерактивно исследовать взаимосвязь между скоростью, ускорением и силой для объекта, движущегося по кругу.

Проверьте свое понимание

1. Анна Литикал практикует демонстрацию центростремительной силы дома. Она наполняет ведро водой, привязывает его к прочной веревке и крутит по кругу. Анна вращает ведро, когда оно наполовину заполнено водой, а когда оно на четверть. В каком случае, чтобы вращать ведро по кругу, требуется больше силы? Объясните, используя уравнение как «руководство к размышлениям».

2.Линкольн Континенталь и Юго делают поворот. Линкольн в четыре раза массивнее Юго. Если они совершают поворот с одинаковой скоростью, то как сравнить центростремительные силы, действующие на две машины? Объяснять.

3. Cajun Cliffhanger в Great America — это аттракцион, в котором пассажиры выстраиваются по периметру цилиндра и вращаются по кругу с высокой скоростью поворота. Когда цилиндр начинает очень быстро вращаться, пол убирается из-под ног гонщиков.Какое влияние удвоение скорости оказывает на центростремительную силу? Объяснять.

4. Определите центростремительную силу, действующую на ребенка весом 40 кг, который совершает 10 оборотов вокруг клиффхэнгера за 29,3 секунды. Радиус ствола — 2,90 метра.

Веб-сайт кабинета физики

Круговое движение и гравитация: набор задач

Задача 1:

Во время экскурсии по физике в парк развлечений Тайлер и Мария взяли наездника на Вирлигиге.Поездка на Whirligig состоит из длинных качелей, которые вращаются по кругу на относительно высоких скоростях. В рамках своей лаборатории Тайлер и Мария подсчитали, что всадники путешествуют по кругу радиусом 6,5 м и делают один поворот каждые 5,8 секунды. Определите скорость всадников на Whirligig.

Задача 2:

Самое высокое колесо обозрения в мире находится в Сингапуре. Колесо обозрения высотой 42 этажа и вместимостью до 780 пассажиров имеет диаметр 150 метров и совершает полный круг за 30 минут.Определите скорость гонщиков (в м / с и миль / час) на Singapore Flyer. ( GIVEN : 1,00 м / с = 2,24 миль / ч)

Задача 3:

Во время цикла отжима стиральной машины одежда прилипает к внешней стенке бочки, поскольку она вращается со скоростью до 1800 оборотов в минуту. Радиус ствола — 26 см.

а. Определите скорость одежды (в м / с), которая находится на стенке вращающегося барабана.
г. Определите ускорение одежды.

Задача 4:

Эльмира, штат Нью-Йорк, может похвастаться самой быстрой в мире каруселью. Карусель в парке Элдридж берет райдеров на скорость 18 миль / час (8,0 м / с). Радиус круга, по которому перемещаются внешние всадники, составляет примерно 7,4 м.

а. Определяет время для внешних гонщиков, чтобы сделать один полный круг.
г. Определите ускорение гонщиков.

Задача 5:

Производитель приводов CD-ROM утверждает, что проигрыватель может вращать диск с частотой до 1200 оборотов в минуту.

а. Если вращается с такой скоростью, какова скорость внешней строки данных на диске; этот ряд расположен в 5,6 см от центра диска?
г. Каково ускорение внешней строки данных?

Задача 6:

В витрине магазина игрушек в местном торговом центре самолет с батарейным питанием подвешен на веревке и летит по горизонтальному кругу. Самолет весом 631 грамм делает полный круг каждые 2,15 секунды. Радиус круга равен 0.950 м. Определите скорость, ускорение и результирующую силу, действующую на самолет.

Задача 7:

Доминик — звездный метатель диска в университетской команде по легкой атлетике Юга. В прошлогодних региональных соревнованиях Доминик развернул диск весом 1,6 кг по кругу радиусом 1,1 м, в конечном итоге достигнув скорости 52 м / с перед стартом. Определите чистую силу, действующую на диск в моменты перед запуском.

Задача 8:

Лэндон и Джоселин — партнеры по парному катанию.В минувшие выходные они усовершенствовали элемент смертельной спирали для включения в свои предстоящие соревнования. Во время этого маневра Лэндон держит Джоселин за руку и раскачивает ее по кругу, удерживая лезвия на льду, вытянутые почти в горизонтальном положении. Определите чистую силу, которая должна быть приложена к Джоселин (m = 51 кг), если ее центр масс вращается по кругу с радиусом 61 см каждые 1,9 секунды.

Задача 9:

Стремясь разогнать об / мин до своего класса, Mr.H проводит демонстрацию с ведром с водой, привязанным к веревке длиной 1,3 метра. Ведро и вода имеют массу 1,8 кг. Г-н H вращает ковш по вертикальному кругу так, чтобы его скорость составляла 3,9 м / с в верхней части петли и 6,4 м / с в нижней части петли.

а. Определите ускорение ковша в каждом месте.
г. Определите чистую силу, испытываемую ковшом в каждом месте.
г. Нарисуйте схему свободного тела ковша для каждого местоположения и определите силу натяжения струны для этих двух местоположений.

Задача 10:

Пилот весом 76 кг на авиасалоне выполняет петлю со своим самолетом. Внизу петли радиусом 52 м самолет движется со скоростью 48 м / с. Определите нормальную силу, действующую на пилота.

Задача 11:

Алексис едет на своей Toyota Camry и пытается свернуть на скоростную автомагистраль со скоростью 19,0 м / с. Радиус поворота горизонтальной кривой составляет 35,0 м. Ее машина имеет массу 1240 кг. Определите ускорение, чистую силу и минимальное значение коэффициента трения, которые необходимы для удержания автомобиля на дороге.

Задача 12:

Шейла (m = 62 кг) катается на американских горках «Демон». Радиус поворота верха петли — 12 м. Шейла перевернута вверх ногами наверху петли и испытывает нормальную силу, равную половине ее веса. Нарисуйте схему свободного тела и определите скорость Шейлы.

Задача 13:

В 2002 году профессиональный скейтбордист Боб Бернквист стал первым, кто успешно прошел полный поворот на 360 °. Определите минимальную скорость, которая потребуется в верхней части круговой петли, чтобы пройти через 1.Труба радиусом 8 м.

Задача 14:

Джастин едет на своем 1500-кг Camaro по горизонтальному повороту на ровной дороге со скоростью 23 м / с. Радиус поворота 65 м. Определите минимальное значение коэффициента трения, которое потребуется для удержания машины Джастина на повороте.

Задача 15:

Петлевая трасса построена для автомобиля массой 938 кг. Это полностью круглая петля — 14,2 м высотой в самой высокой точке. Водитель успешно завершает цикл со скоростью входа (внизу) 22.1 м / с.

а. Используя функцию энергосбережения, определите скорость автомобиля на вершине петли.
г. Определите ускорение автомобиля на вершине петли.
г. Определите нормальную силу, действующую на автомобиль в верхней части петли.

Задача 16:

Тайрон и Миа имеют массу 84 кг и 59 кг соответственно. Они сидят на расстоянии 1,0 м друг от друга в передней части урока физики мистера Х. В течение некоторого времени каждый из них ощущал своего рода электричество в своих растущих отношениях.И теперь, пройдя шесть единиц курса физики, они узнали, что их притягивает друг к другу гравитационное притяжение. Определите величину этой силы гравитационного притяжения.

Задача 17:

Определите силу гравитационного притяжения между Землей и Луной. Их массы составляют 5,98 x 10 ²⁴ кг и 7,26 x 10 ²² кг соответственно. Среднее расстояние, разделяющее Землю и Луну, составляет 3,84 x 10 ⁸ м. Определите силу гравитационного притяжения между Землей и Луной.

Задача 18:

Определите силу гравитационного притяжения между Землей и Солнцем. Их массы составляют 5,98 x 10 ²⁴ кг и 1,99 x 10 ³⁰ кг соответственно. Среднее расстояние между Землей и Солнцем составляет 1,50 x 10 ¹¹ м. Определите силу гравитационного притяжения между Землей и Солнцем.

Задача 19:

Определите ускорение Луны относительно Земли. (ДАННО: M _Земля = 5.98 x 10 ²⁴ кг и расстояние Земля-Луна = 3,84 x 10 ⁸ м)

Задача 20:

Определите ускорение Земли относительно Солнца. (ДАННО: M _солнце = 1,99 x 10 ³⁰ кг и расстояние Земля-Солнце = 1,50 x 10 ¹¹ м)

Задача 21:

Используйте закон всемирного тяготения Ньютона для определения ускорения 85-кг астронавта на Международной космической станции (МКС), когда МКС находится на высоте 350 км над поверхностью Земли. Радиус Земли — 6,37 х 10 ⁶ м. (ДАННЫЕ: M _Земля = 5,98 x 10 ²⁴ кг)

Задача 22:

Определите орбитальную скорость Международной космической станции, находящейся на высоте 350 км над поверхностью Земли. Радиус Земли — 6,37 х 10 ⁶ м. (ДАННЫЕ: M _Земля = 5,98 x 10 ²⁴ кг)

Задача 23:

Определите орбитальную скорость Земли, вращающейся вокруг Солнца.(ДАННО: M _солнце = 1,99 x 10 ³⁰ кг и расстояние Земля-Солнце = 1,50 x 10 ¹¹ м)

Задача 24:

Геркулес надеется вывести бейсбольный мяч на орбиту, бросив его горизонтально (по касательной к Земле) с вершины горы Ньютон на высоте 97 км над поверхностью Земли. С какой скоростью он должен бросить мяч, чтобы вывести его на орбиту? (ДАННЫЕ: M _Земля = 5,98 x 10 ²⁴ кг; R _Земля = 6,37 x 10 ⁶ м)

Задача 25:

Ученые определяют массы планет, наблюдая за влиянием гравитационного поля этих планет на близлежащие объекты — в основном на их луны. Измеряя период обращения и радиус обращения Луны вокруг планеты, законы движения Ньютона можно использовать для определения массы планеты. Фобос, спутник планеты Марс, был открыт в 1877 году. Его радиус обращения составляет 9380 км, а период обращения — 0,319 дня (2,77 x 10 ⁴ секунд). Определите массу Марса на основе этих данных.

Задача 26:

Геостационарные спутники — это спутники, которые вращаются вокруг Земли над экватором и совершают один полный оборот каждые 24 часа.Поскольку их орбитальный период синхронизирован с периодом вращения Земли, геостационарный спутник всегда можно найти в одном и том же положении на небе относительно наблюдателя на Земле. (ДАННЫЕ: M _Земля = 5,98 x 10 ²⁴ кг)

а. Определите радиус орбиты геостационарного спутника.
г. Определите орбитальную скорость геостационарного спутника.
г. Определите ускорение геостационарного спутника.

Задача 27:

В 2009 году космический корабль НАСА «Посланник» стал вторым космическим кораблем, вышедшим на орбиту планеты Меркурий. Космический корабль находился на высоте 125 миль над поверхностью Меркурия. Определите орбитальную скорость и период обращения Посланника. (ДАННЫЕ: R _{Меркурий} = 2,44 x 10 ⁶ м; M _{Меркурий} = 3,30 x 10 ²³ кг; 1 миля = 1609 м)

Вернуться к обзору

См. Аудиогид решения проблемы:

1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27

Задачи равномерного кругового движения с ответами

Ниже приведены подробные ответы на некоторые проблемы, связанные с равномерным круговым движением.Эти вопросы с круговыми движениями полезны для старшеклассников и колледжей.

Задачи кругового движения: кинематика

Задача (1): объект весом 5 кг движется по круговой траектории радиусом 18 см с постоянной скоростью 6 м / с. Найдите
(a) Величину и направление ускорения объекта.
(b) Чистая сила, действующая на объект, вызывающая это ускорение.

Решение : Когда объект движется по круговой траектории с постоянной скоростью, единственное ускорение, которое испытывает, — это центростремительное ускорение или радиальное ускорение.2} {r} \] Следовательно, \ [F_ {net} = 5 \ times 50 = 250 \ quad {\ rm N} \]

Примечание : В каждой точке на круговой траектории мгновенная скорость вращающегося объекта является касательной к траектории. Направление этой скорости меняется, но ее величина остается постоянной.

---

Задача (2): В карусели движется со скоростью 3 м / с, ребенок весом 25 кг сидит в 3 м от ее центра. Вычислить
(a) Центростремительное ускорение ребенка
(b) Чистая горизонтальная сила, действующая на ребенка
(c) Сравните указанную выше силу с весом ребенка

Решение : (a) Ребенок совершает круговое движение с центростремительным ускорением как $ a_c = v ^ 2 / r $, где $ v $ — постоянная скорость вращающегося объекта. 2}} \]
(b) Чистая сила находится с использованием второго закона Ньютона как $ F_ {net} = ma_c $, что дает \ [F_ {net} = 25 \ times 3 = 75 \ quad {\ rm N } \] Эта сила направлена ​​в том же направлении, что и ускорение, к центру круга.

(c) Вес — это масса, умноженная на ускорение свободного падения в этом месте ($ g $) или $ w = mg $. Соотношение между этими двумя силами равно \ [\ frac {F_ {net}} {w} = \ frac {75} {25 \ times 10} = 0,3 \]

---

Задача (3): Велосипедист движется по круговой траектории радиусом 50 м со скоростью 10 м / с.2}} \]
(b) Чистая сила, которая действует на объект, заставляя его двигаться по круговой траектории, называется центростремительной силой, величина которой определяется с помощью второго закона Ньютона, как показано ниже \ [F_ {net} = ma_c = 120 \ times 2 = 240 \ quad N \]

---

Задача (4): Реактивный самолет маневрирует по круговой траектории радиусом 5,5 км с постоянной скоростью 2160 км / ч. 2 / r $.2}} \] Это ускорение направлено к центру круга.

---

Проблема (6): Коленчатый вал радиусом 8 см вращается со скоростью 2400 об / мин (оборотов в минуту). Какова скорость точки на ее поверхности?

Решение : Целью этой задачи кругового движения является преобразование оборотов в минуту в единицы скорости в системе СИ (м / с), что выполняется, как показано ниже \ begin {align *} 1 \ frac {rev} {minute} & = \ frac {\ text {окружность круга}} {60 \, \ text {секунды}} \\\\ & = \ frac {2 \ pi r} {60} \\\\ & = \ frac {\ pi r} { 30} \ end {align *} Следовательно, чтобы преобразовать обороты в минуту в $ m / s $, мы можем использовать следующий коэффициент преобразования \ [\ rm {1 \, rpm} = \ frac {\ pi r} {30} \, {\ rm \ frac ms} \] В этой задаче круговое движение имеет радиус $ r = 0.08 \, {\ rm m} $ и угловой скоростью 2400 об / мин, поэтому получаем \ [2400 об / мин = 2400 \ times \ frac {\ pi (0,08)} {30} = 20,1 \, {\ rm \ frac ms}. 2} {r} $.

Задача этого вопроса о круговом движении — найти метод преобразования $ м / с $ в об / мин.

Сначала используйте это уравнение и решите для постоянной скорости $ v $, как показано ниже \ [v = \ sqrt {\ frac {rF_c} {m}} = \ sqrt {\ frac {2 \ times 100} {20}} = \ sqrt {10} \, {\ rm \ frac ms} \] Затем преобразуйте указанную выше линейную скорость в (м / с) в угловую скорость в оборотах в минуту (об / мин).

Простое соотношение между двумя скоростями: $ v = r \ omega $, где $ \ omega $ — угловая скорость, измеряемая в радианах в секунду.\ [\ omega = \ frac {v} {r} = \ frac {\ sqrt {10}} {2} \, {\ rm \ frac {rad} {s}} \] Затем преобразуйте $ rad / s $ в об / мин, как показано ниже \ [1 \ frac {rad} {s} = \ frac {\ frac {1} {2 \ pi} \, rev} {\ frac {1} {60} \, min} = \ frac { 30} {\ pi} \, rpm \] Следовательно, мы имеем \ [\ sqrt {10} \, {\ rm \ frac ms} = \ sqrt {10} \ left (\ frac {30} {\ pi} \ right) \, {\ rm rpm} = 30.2 \, {\ rm rpm} \] Следовательно, тележка совершает около 30 оборотов в минуту.

---

Задача (8): Радиально-внутренняя постоянная сила в 300 Н действует на шар весом 2 кг, когда он вращается по кругу радиусом 85 см.2 / r $. Следовательно, подставляя числовые значения и решая для неизвестного $ v $, мы имеем \ [v = \ sqrt {\ frac {rF_c} {m}} = \ sqrt {\ frac {0.85 \ times 300} {2}} = 11.3 \, {\ rm \ frac {m} {s}} \]

---

Задача (9): ребенок весом 35 кг делает поворот, который представляет собой часть круга радиусом 12 метров. Она покрывает четверть кругового пути за 1,6 секунды. Определите скорость, ускорение и чистую силу, приложенную к ребенку.

Решение : ребенок превращает четверть круга в 1.6 секунд.

Используя определение скорости, как пройденное расстояние, разделенное на прошедшее время, мы можем найти ее скорость.

Но здесь пройденное расстояние — это длина окружности четверти круга радиусом 12 метров, поэтому $ L = \ frac 14 (2 \ pi r) = \ frac {\ pi r} {2} $. 2 / r $, где $ r $ — радиус круговой траектории.

Подставляя все в это уравнение и решая для неизвестной скорости, мы получаем \ [v = \ sqrt {\ frac {rF_c} {m}} = \ sqrt {\ frac {0.85 \ times 1500} {2}} = 25.25 \ , {\ rm \ frac {m} {s}} \]

---

Следующие вопросы по круговым движениям полезны для экзамена по физике AP.

Задача (11): скорость американских горок массой 515 кг в нижней части петли радиусом 10 м составляет 20 м / с. Найдите чистую вертикальную силу, толкающую объект вверх в этой точке круговой траектории.

Решение: Обратите внимание, что из-за силы тяжести скорость объекта изменяется в каждой точке трека, поэтому объект не совершает равномерного кругового движения. Тем не менее, мы можем использовать формулу центростремительного ускорения, чтобы найти скорость в каждой точке окружности.

Внизу к объекту приложены две силы: сила тяжести, направленная вниз, $ mg $, и сила натяжения вверх. Равнодействующая этих сил совершает центростремительное ускорение к центру круга.2} {10} \\\\ & = 25750 \ quad {\ rm N} \ end {align *}

---

Задача (12): Автомобиль весом 2000 кг движется по кривой радиусом 200 м со скоростью 25 м / с. Вычислите
(a) Центростремительное ускорение автомобиля.
(b) Сила, вызывающая такое ускорение.
(c) Минимальный коэффициент статического трения между шинами и поверхностью дороги гарантирует безопасный поворот.

Решение : На приведенной ниже диаграмме свободного тела (вид сбоку) показаны все силы, действующие на автомобиль.2}} \]
(b) Сила в этом направлении находится с использованием второго закона движения Ньютона, как показано ниже \ [F_c = ma_c = 2000 \ times 3.125 = 6250 \ quad {\ rm N} \]
( c) Когда автомобиль поворачивает поворот, он испытывает центростремительное ускорение по направлению к центру поворота. Сила, вызывающая это ускорение для автомобиля на повороте, — это сила статического трения.

Если сила статического трения недостаточно велика, автомобиль вылетает из поворота и движется по почти прямой линии.2} {200 \ times 9,8} \\\\ & = 0,32 \ end {align *} Таким образом, автомобиль может безопасно проехать, если коэффициент статического трения больше этого значения.

Попрактикуйтесь в ответах на эти вопросы, чтобы понять силу трения:
Проблемы с коэффициентом трения

---

Задача (13): Автомобиль весом 1500 кг движется по плоской круговой колее радиусом 30 м. Коэффициент трения между шинами автомобиля и дорогой составляет 0,3. Найдите максимальную скорость, с которой автомобиль поворачивает трассу.

Решение : Статическое трение между шинами автомобиля и дорогой обеспечивает силу, необходимую для поворота автомобиля по круговой колее.

Максимальное значение формулы силы статического трения составляет $ f_ {s, max} = \ mu_s N $, где $ N $ — сила, действующая на автомобиль со стороны поверхности дороги, которая называется нормальной силой. Установив второй закон Ньютона в нулевом вертикальном направлении (потому что машина не летает!), Мы можем найти нормальную силу, как показано ниже \ [N-mg = 0 \ Rightarrow N = mg \] Затем примените второй закон движения Ньютона. снова в радиальном направлении.2} r \\\\ \ Rightarrow \ quad v & = \ sqrt {r \ mu_s g} \\\\ & = \ sqrt {30 \ times (0,3) \ times 9,8} \\\\ & = 9,4 \ quad { \ rm \ frac ms} \ end {align *}

---

Задача (14): Автомобиль должен повернуть кривую колеи радиусом 120 м со скоростью 85 км / ч. Насколько большим должен быть коэффициент статического трения между шиной автомобиля и дорогой для обеспечения безопасного движения?

Решение : Силы, действующие на автомобиль, — это сила тяжести, направленная вниз, $ mg $, нормальная сила $ N $, направленная вверх дорогой, и сила статического трения, создаваемая дорогой.2} {10 \ times 120} \\\\ & = 0,4 \ end {align *}

Выше мы преобразовали « км / ч » в « м / с », как показано ниже \ [85 \, {\ rm \ frac {km} {h}} = 85 \, \ rm {\ left (\ frac {1000 \, m} {3600 \, s} \ right)} = 23,6 \, {\ rm \ frac ms} \]

---

Задача (15): ведро весом 2 кг на конце троса перемещается в вертикальной плоскости радиусом 1,5 м. Натяжение каната в самой нижней точке пути составляет 30 Н. Вычислить
(a) Скорость ковша.
(b) С какой скоростью должно двигаться ведро в верхней части дорожки, чтобы веревка не провисла?

Решение : Сила тяжести, $ mg $, и натяжение троса действуют на ведро, движущееся круговыми движениями.2} r \\\\ \ Rightarrow v & = \ sqrt {\ frac {r (T + mg)} {m}} \ end {align *} Если мы установили $ T = 0 $ выше, веревка находится на на грани провисания. Следовательно, \ [v = \ sqrt {\ frac {r (T + mg)} {m}} = \ sqrt {\ frac {(1.5) (0 + 2 \ times 10)} {2}} = 3.8 \, {\ rm \ frac ms} \]

---

Задача (16): реактивный самолет движется по вертикальной круговой петле. Его скорость в самой нижней точке круга — 950 км / ч. Найдите минимальный радиус круговой траектории, чтобы действующее на нее (центростремительное) ускорение не превышало 5 g.2} {5g} \\\\ & = \ frac {(950 \, \ frac {km} {h}) \ left (\ frac {1000 \, m} {3600 \, s} \ right)} {5 (9. 8)} \\\\ & = 1421 \, {\ rm m} \ end {align *}
(b) Вес пилота составляет 75 кг. Каков его кажущийся вес внизу и вверху круга?

Кажущийся вес равен чистой силе, действующей на пилота в самолете. На пилота действуют две силы. Одна — это сила тяжести, направленная вниз, $ mg $, а другая — нормальная сила, направленная вверх в самой нижней точке круговой траектории. Эти две силы, действующие на пилота, показаны на диаграмме свободного тела ниже.6 \, {\ rm m / s} $ — длина окружности.

Напомним, что длина окружности радиуса $ r $ равна $ 2 \ pi r $, поэтому сначала мы должны определить, сколько чисел электрон вращается вокруг этого кругового трека. \ [L = N (2 \ pi r) \ Rightarrow N = \ frac {L} {2 \ pi} \] С другой стороны, период — это время, за которое электрон совершает один оборот за 1 секунду. Согласно этому определению, период объекта с $ N $ оборотами получается как \ [T = \ frac {1} {N} = \ frac {2 \ pi r} {L} \] Используя эту формулу, мы можем найти период этого электрона \ [T = \ frac {2 \ pi \ times (0. 2 / r $, нам нужна скорость в $ m / s $.2}} \]

---

Задача (22): автомобиль движется по криволинейной траектории, как показано на следующем рисунке. Когда автомобиль достигнет нижней части рельсового пути, найдите
(a) Нормальную силу, действующую на автомобиль
(b) Эффективный вес (кажущийся вес) автомобиля.

Решение : внизу пути на автомобиль действуют две силы. Сила тяжести, направленная вниз, $ mg $, и восходящая сила из-за контакта между автомобилем и поверхностью, известная как нормальная сила, $ N $.2 \ frac {r_1} {4r_1} \\\\ & = \ frac {9} {4} \ end {align *} Следовательно, сила в 2,25 раза превышает исходную силу. \ [F_2 = \ frac 94 F_1 \]

---

Задача (24): Камень прикреплен к концу веревки длиной $ L $ и вращается по вертикальному кругу. В верхней части дорожки натяжение веревки вдвое превышает вес камня.
(a) Определите чистую силу, действующую на камень, когда он достигнет наивысшей точки пути. 2} {r} $ и направлением к центру. круга.

Равномерное круговое движение — это пример, показывающий, что ускорение и скорость не всегда в одном и том же направлении.

В таких движениях $ \ vec {a} $ и $ \ vec {v} $ перпендикулярны.

Автор : Д-р Али Немати
Дата публикации: 31.07.2021

6.3 Центростремительная сила — Университетская физика, том 1

Цели обучения

К концу раздела вы сможете:

• Объясните уравнение центростремительного ускорения
• Примените второй закон Ньютона, чтобы получить уравнение для центростремительной силы
• Используйте концепции кругового движения для решения задач, связанных с законами движения Ньютона

В «Движении в двух и трех измерениях» мы рассмотрели основные концепции кругового движения.Объект, совершающий круговое движение, например один из гоночных автомобилей, показанных в начале этой главы, должен ускоряться, потому что он меняет направление своей скорости. Мы доказали, что это центрально направленное ускорение, называемое центростремительным ускорением , выражается формулой

, где v — скорость объекта, направленная по касательной к кривой в любой момент времени. Если мы знаем угловую скорость

, тогда мы можем использовать

Угловая скорость показывает скорость, с которой объект поворачивает по кривой, в рад / с.Это ускорение действует по радиусу криволинейной траектории и поэтому также называется радиальным ускорением.

Ускорение должно производиться силой. Любая сила или комбинация сил могут вызвать центростремительное или радиальное ускорение. Вот лишь несколько примеров: натяжение троса на тросовом шаре, сила притяжения Земли на Луне, трение между роликовыми коньками и полом катка, сила наклона проезжей части, действующая на автомобиль, и силы, действующие на трубу вращающейся центрифуги. . Любая чистая сила, вызывающая равномерное круговое движение, называется центростремительной силой . Направление центростремительной силы — к центру кривизны, то же самое, что и направление центростремительного ускорения. Согласно второму закону движения Ньютона, чистая сила равна массе, умноженной на ускорение:

Для равномерного кругового движения ускорением является центростремительное ускорение: _.

Таким образом, величина центростремительной силы

это

Подставляя выражения для центростремительного ускорения

получаем два выражения для центростремительной силы

по массе, скорости, угловой скорости и радиусу кривизны:

Вы можете использовать любое более удобное выражение для центростремительной силы.Центростремительная сила

всегда перпендикулярно траектории и указывает на центр кривизны, потому что

перпендикулярно скорости и указывает на центр кривизны. Обратите внимание, что если вы решите первое выражение для r , вы получите

Это означает, что для данной массы и скорости большая центростремительная сила вызывает небольшой радиус кривизны, то есть крутой изгиб, как на (Рисунок).

Рисунок 6.20 Сила трения обеспечивает центростремительную силу и численно равна ей. Центростремительная сила перпендикулярна скорости и вызывает равномерное круговое движение. Чем больше

, тем меньше радиус кривизны r и круче кривизна. Вторая кривая имеет то же v, но большее значение

.

дает меньшее r ‘.

Пример

Какой коэффициент трения нужен автомобилям на плоской кривой?

(a) Рассчитайте центростремительную силу, действующую на 900.Автомобиль весом 0 кг, который преодолевает поворот радиусом 500,0 м со скоростью 25,00 м / с. (b) Предполагая, что кривая без кренована, найдите минимальный статический коэффициент трения между шинами и дорогой, поскольку статическое трение является причиной, которая не дает автомобилю проскальзывать ((Рисунок)).

Рисунок 6.21 Этот автомобиль на ровной поверхности движется в сторону и поворачивает налево. Центростремительная сила, заставляющая автомобиль поворачивать по круговой траектории, возникает из-за трения между шинами и дорогой. Требуется минимальный коэффициент трения, иначе автомобиль будет двигаться по кривой с большим радиусом и съезжать с проезжей части.

Стратегия

1. Мы знаем, что

   Таким образом,

2. (рисунок) показывает силы, действующие на автомобиль на кривой без наклона (ровной поверхности). Трение направлено влево, предотвращая скольжение автомобиля, и поскольку это единственная горизонтальная сила, действующая на автомобиль, трение в данном случае является центростремительной силой. Мы знаем, что максимальное статическое трение (при котором шины катятся, но не скользят) составляет

   где

   — статический коэффициент трения, а N — нормальная сила.Нормальная сила равна массе автомобиля на ровной поверхности, поэтому

   Таким образом, центростремительная сила в данной ситуации равна

   .

   Теперь у нас есть связь между центростремительной силой и коэффициентом трения. Используя уравнение

   получаем

   Решаем это за

   , отмечая, что масса отменяется, и получаем

   Подстановка известных,

   (Поскольку коэффициенты трения являются приблизительными, ответ дается только двумя цифрами.)

Значение

Коэффициент трения, указанный на (Рисунок) (b), намного меньше, чем обычно наблюдается между шинами и дорогой. Автомобиль по-прежнему движется по кривой, если коэффициент больше 0,13, потому что трение покоя является реактивной силой, которая может принимать значение меньше, но не больше

.

Более высокий коэффициент также позволит автомобилю преодолевать поворот на более высокой скорости, но если коэффициент трения меньше, безопасная скорость будет менее 25 м / с.Обратите внимание, что масса отменяется, подразумевая, что в этом примере не имеет значения, насколько сильно загружена машина для прохождения поворота. Масса сокращается, потому что трение считается пропорциональным нормальной силе, которая, в свою очередь, пропорциональна массе. Если бы поверхность дороги была наклонной, нормальная сила была бы меньше, как обсуждается далее.

Проверьте свое понимание

Автомобиль, движущийся со скоростью 96,8 км / ч, движется по круговой кривой радиусом 182,9 м по ровной проселочной дороге. Какой должен быть минимальный коэффициент статического трения, чтобы автомобиль не скользил?

[показать-ответ q = ”694795 ″] Показать решение [/ раскрыть-ответ]
[скрытый-ответ a =” 694795 ″] 0.40 [/ hidden-answer]

Кривые с наклоном

Давайте теперь рассмотрим кривых с наклоном , где наклон дороги помогает вам преодолевать кривую ((рисунок)). Чем больше угол

, тем быстрее вы сможете пройти кривую. Например, гоночные трассы для велосипедов и автомобилей часто имеют крутые повороты. На «кривой с идеальным наклоном» угол

такова, что вы можете преодолевать поворот на определенной скорости без трения между шинами и дорогой.Получим выражение для

для кривой с идеальным наклоном и рассмотрим связанный с ней пример.

Рисунок 6.22 Автомобиль на этой кривой с наклоном удаляется и поворачивает налево.

Для perfect bank чистая внешняя сила равна горизонтальной центростремительной силе в отсутствие трения. Составляющие нормальной силы N в горизонтальном и вертикальном направлениях должны равняться центростремительной силе и массе автомобиля соответственно.В случаях, когда силы не параллельны, удобнее всего рассматривать компоненты вдоль перпендикулярных осей — в данном случае вертикального и горизонтального направлений.

(рисунок) показывает диаграмму свободного тела для автомобиля на кривой без трения с наклоном. Если угол

идеально подходит для скорости и радиуса, тогда чистая внешняя сила равна необходимой центростремительной силе. Единственные две внешние силы, действующие на автомобиль, — это его вес

кг.

и нормальная сила дороги

(Поверхность без трения может проявлять только силу, перпендикулярную поверхности, то есть нормальную силу. Эти две силы должны складываться, чтобы получить чистую внешнюю силу, горизонтальную по направлению к центру кривизны и имеющую величину

.

Поскольку это решающая сила и она горизонтальна, мы используем систему координат с вертикальной и горизонтальной осями. Только нормальная сила имеет горизонтальную составляющую, поэтому она должна равняться центростремительной силе, то есть

.

Поскольку автомобиль не выезжает за пределы дороги, чистая вертикальная сила должна быть равна нулю, что означает, что вертикальные составляющие двух внешних сил должны быть равны по величине и противоположны по направлению.Из (Рисунок) мы видим, что вертикальная составляющая нормальной силы равна

.

, а единственная другая вертикальная сила — это вес автомобиля. Они должны быть равными по величине; таким образом,

Теперь мы можем объединить эти два уравнения, чтобы исключить N и получить выражение для

, по желанию. Решение второго уравнения относительно

и подставив его в первое, получим

Взяв арктангенс, получаем

Это выражение можно понять, рассмотрев, как

зависит от v и r .Большой

получается для большого v и маленького r. То есть дороги должны иметь крутой уклон для высоких скоростей и крутых поворотов. Трение помогает, потому что оно позволяет вам двигаться по кривой с большей или меньшей скоростью, чем если бы по кривой не было трения. Обратите внимание, что

не зависит от массы автомобиля.

Пример

Какая идеальная скорость для выхода на крутой крутой поворот?

Кривые на некоторых испытательных треках и гоночных трассах, таких как Международная гоночная трасса Дейтона во Флориде, имеют очень крутой наклон.Этот крен с помощью трения шин и очень стабильной конфигурации автомобиля позволяет преодолевать повороты на очень высокой скорости. Чтобы проиллюстрировать это, рассчитайте скорость, с которой кривая радиусом 100,0 м переходит в угол

.

На

следует ездить, если на дороге нет трения.

Стратегия

Прежде всего отметим, что все члены в выражении для идеального угла кривой с наклоном, кроме скорости, известны; таким образом, нам нужно только переставить его так, чтобы скорость появлялась в левой части, а затем подставить известные величины.

Решение

Начиная с

получаем

Отметив, что

получаем

Значение

Это примерно 165 км / ч, что соответствует очень крутому и довольно крутому повороту. Трение шин позволяет автомобилю двигаться по кривой на значительно более высоких скоростях.

Самолеты также совершают развороты по крену. Подъемная сила, создаваемая силой воздуха, воздействующего на крыло, действует под прямым углом к ​​крылу.Когда самолет кренится, пилот получает большую подъемную силу, чем необходимо для горизонтального полета. Вертикальная составляющая подъемной силы уравновешивает вес самолета, а горизонтальная составляющая ускоряет самолет. Угол крена, показанный на (Рисунок), равен

.

. Мы анализируем силы так же, как и в случае поворота автомобиля по кривой.

Рис. 6.23 При повороте крена горизонтальная составляющая подъемной силы неуравновешивается и ускоряет самолет.Обычный компонент подъемной силы уравновешивает вес самолета. Угол крена определяется выражением

. Сравните векторную диаграмму с диаграммой, показанной на (Рисунок).

Силы инерции и неинерционные (ускоренные) рамки: сила Кориолиса

Что общего у взлета на реактивном самолете, поворота на машине, езды на карусели и кругового движения тропического циклона? Каждая из них проявляет силы инерции — силы, которые кажутся просто возникающими в результате движения, потому что система отсчета наблюдателя ускоряется или вращается.Большинство людей согласятся, что при взлете на реактивном самолете создается ощущение, будто вас толкают обратно в кресло, когда самолет ускоряется по взлетно-посадочной полосе. Однако физик сказал бы, что вы, , склонны оставаться неподвижными, в то время как сиденье толкает вас вперед. Еще более распространенный опыт происходит, когда вы делаете крутой поворот на своей машине, скажем, вправо ((рисунок)). Вы чувствуете, как будто вас отбрасывает (то есть форсированный ) влево относительно машины. Опять же, физик сказал бы, что вы, , движетесь по прямой (вспомните первый закон Ньютона), но автомобиль движется вправо, а не то, что вы испытываете силу слева.

Рис. 6.24 (a) Водитель автомобиля чувствует себя вынужденным влево по отношению к автомобилю при повороте направо. Это инерционная сила, возникающая в результате использования автомобиля в качестве системы отсчета. (б) В земной системе координат водитель движется по прямой, подчиняясь первому закону Ньютона, и машина движется вправо. Слева от водителя относительно Земли нет силы. Вместо этого справа на машине есть сила, заставляющая ее повернуть.

Мы можем согласовать эти точки зрения, исследуя используемые системы координат.Давайте сконцентрируемся на людях в машине. Пассажиры инстинктивно используют автомобиль в качестве ориентира, тогда как физик может использовать Землю. Физик мог бы сделать этот выбор, потому что Земля является почти инерциальной системой отсчета, в которой все силы имеют идентифицируемое физическое происхождение. В такой системе отсчета законы движения Ньютона принимают форму, данную в Законах Ньютона. Автомобиль представляет собой неинерциальную систему отсчета , потому что он ускоряется в сторону. Сила слева, воспринимаемая пассажирами автомобиля, представляет собой силу инерции , не имеющую физического происхождения (она возникает исключительно из-за инерции пассажира, а не из-за какой-либо физической причины, такой как напряжение, трение или гравитация).Автомобиль, как и водитель, действительно ускоряется вправо. Эта сила инерции называется силой инерции, потому что она не имеет физического происхождения, такого как гравитация.

Физик выберет ту систему отсчета, которая наиболее удобна для анализируемой ситуации. Для физика нетрудно включить силы инерции и второй закон Ньютона, как обычно, если это удобнее, например, на карусели или на вращающейся планете. Неинерционные (ускоренные) системы отсчета используются, когда это полезно.При обсуждении движения космонавта в космическом корабле, движущемся со скоростью, близкой к скорости света, необходимо учитывать различные системы отсчета, что вы поймете при изучении специальной теории относительности.

Давайте теперь мысленно прокатимся на карусели, а именно на быстро вращающейся игровой площадке ((Рисунок)). Вы берете карусель в качестве системы отсчета, потому что вы вращаетесь вместе. Вращаясь в этой неинерциальной системе отсчета, вы чувствуете инерционную силу, которая имеет тенденцию сбивать вас с толку; это часто называют центробежной силой (не путать с центростремительной силой).Центробежная сила — это широко используемый термин, но на самом деле его не существует. Вы должны держаться крепче, чтобы противодействовать своей инерции (которую люди часто называют центробежной силой). В системе отсчета Земли нет силы, пытающейся сбить вас с толку; мы подчеркиваем, что центробежная сила — это фикция. Вы должны держаться, чтобы заставить себя двигаться по кругу, потому что в противном случае вы бы пошли по прямой, прямо с карусели, в соответствии с первым законом Ньютона. Но сила, которую вы прикладываете, действует по направлению к центру круга.

Рис. 6.25 (a) Всадник на карусели чувствует себя так, как будто его сбивают с толку. Эту инерционную силу иногда ошибочно называют центробежной силой, пытаясь объяснить движение всадника во вращающейся системе отсчета. (б) В инерциальной системе отсчета и согласно законам Ньютона его уносит инерция (незатененный всадник имеет

и голов по прямой). Сила,

, необходим для создания кругового пути.

Этот инерционный эффект, уносящий вас от центра вращения, если нет центростремительной силы, вызывающей круговое движение, хорошо используется в центрифугах ((Рисунок)). Центрифуга вращает образец очень быстро, как упоминалось ранее в этой главе. Если смотреть из вращающейся системы координат, сила инерции выбрасывает частицы наружу, ускоряя их осаждение. Чем больше угловая скорость, тем больше центробежная сила. Но на самом деле происходит то, что инерция частиц переносит их по касательной к окружности, в то время как пробирка движется по круговой траектории под действием центростремительной силы.

Рис. 6.26. Центрифуги выполняют свою задачу по инерции. Частицы в жидком осадке оседают, потому что их инерция уносит их от центра вращения. Большая угловая скорость центрифуги ускоряет осаждение. В конечном итоге частицы соприкасаются со стенками пробирки, которые затем создают центростремительную силу, необходимую для их движения по кругу постоянного радиуса.

Давайте теперь рассмотрим, что происходит, если что-то движется во вращающейся системе отсчета.Например, что, если вы сдвинете мяч прямо от центра карусели, как показано на (Рисунок)? Мяч движется по прямой относительно Земли (при условии незначительного трения) и по изогнутой вправо траектории на поверхности карусели. Человек, стоящий рядом с каруселью, видит, как мяч движется прямо, а под ним вращается карусель. В системе отсчета карусели мы объясняем кажущуюся кривую справа с помощью силы инерции, называемой силой Кориолиса , которая заставляет мяч изгибаться вправо.Сила Кориолиса может быть использована любым человеком в этой системе отсчета, чтобы объяснить, почему объекты следуют изогнутыми путями, и позволяет нам применять законы Ньютона в неинерциальных системах отсчета.

Рис. 6.27. Посмотрев вниз на вращение карусели против часовой стрелки, мы видим, что шар, скользящий прямо к краю, следует по изогнутой вправо траектории. Человек перемещает мяч к точке B, начиная с точки A. Обе точки поворачиваются в затемненные положения (A ‘и B’), показанные в то время, когда мяч следует изогнутой траектории во вращающейся рамке и прямой траектории в системе координат Земли. .

До сих пор мы считали Землю инерциальной системой отсчета, почти не беспокоясь о эффектах, связанных с ее вращением. Однако такие эффекты и существуют — например, во вращении погодных систем. Большинство последствий вращения Земли качественно можно понять по аналогии с каруселью. Если смотреть сверху на Северный полюс, Земля вращается против часовой стрелки, как и карусель на (рисунок). Как и на карусели, любое движение в северном полушарии Земли испытывает силу Кориолиса вправо.Прямо противоположное происходит в Южном полушарии; там сила слева. Поскольку угловая скорость Земли мала, силой Кориолиса обычно можно пренебречь, но для крупномасштабных движений, таких как характер ветра, она оказывает существенное влияние.

Сила Кориолиса заставляет ураганы в северном полушарии вращаться против часовой стрелки, тогда как тропические циклоны в южном полушарии вращаются по часовой стрелке. (Термины ураган, тайфун и тропический шторм являются региональными названиями циклонов, которые представляют собой штормовые системы, характеризующиеся центрами низкого давления, сильными ветрами и проливными дождями. ) (Рисунок) помогает показать, как происходят эти вращения. Воздух течет в любую область низкого давления, а тропические циклоны имеют особенно низкое давление. Таким образом, ветер дует к центру тропического циклона или погодной системы низкого давления на поверхности. В Северном полушарии эти внутренние ветры отклоняются вправо, как показано на рисунке, создавая циркуляцию против часовой стрелки на поверхности для зон низкого давления любого типа. Низкое давление на поверхности связано с поднимающимся воздухом, который также вызывает охлаждение и образование облаков, что делает картины низкого давления вполне заметными из космоса.И наоборот, циркуляция ветра вокруг зон высокого давления в Южном полушарии происходит по часовой стрелке, но она менее заметна, потому что высокое давление связано с опусканием воздуха, обеспечивающим чистое небо.

Рис. 6.28 (a) Вращение этого урагана в Северном полушарии против часовой стрелки является основным следствием силы Кориолиса. (б) Без силы Кориолиса воздух поступал бы прямо в зону низкого давления, например, в тропических циклонах. (c) Сила Кориолиса отклоняет ветер вправо, производя вращение против часовой стрелки.(d) Ветер, выходящий из зоны высокого давления, также отклоняется вправо, вызывая вращение по часовой стрелке. (e) Противоположное направление вращения создается силой Кориолиса в Южном полушарии, что приводит к тропическим циклонам. (кредит А и кредит е: модификации работы НАСА)

Вращение тропических циклонов и траектория шара на карусели также могут быть объяснены инерцией и вращением находящейся под ним системы. Когда используются неинерциальные системы отсчета, должны быть изобретены силы инерции, такие как сила Кориолиса, чтобы объяснить искривленную траекторию.Физического источника этих сил инерции нет. В инерциальной системе отсчета инерция объясняет путь, и не обнаруживается силы без идентифицируемого источника. Любая точка зрения позволяет нам описывать природу, но взгляд в инерциальной системе отсчета является самым простым в том смысле, что все силы имеют истоки и объяснения.

Концептуальные вопросы

Если вы хотите уменьшить нагрузку (которая связана с центростремительной силой) на высокоскоростные шины, вы бы использовали шины большого или малого диаметра? Объяснять.

Определите центростремительную силу. Может ли сила любого типа (например, натяжение, сила тяжести, трение и т. Д.) Быть центростремительной силой? Может ли любое сочетание сил быть центростремительной силой?

[показывать-ответ q = ”fs-id1165039453744 ″] Показать решение [/ показывать-ответ]

[скрытый-ответ a = ”fs-id1165039453744 ″]

Центростремительная сила определяется как любая чистая сила, вызывающая равномерное круговое движение. Центростремительная сила — не новый вид силы. Обозначение «центростремительная» относится к любой силе , которая заставляет что-то вращаться по кругу.Эта сила может быть напряжением, гравитацией, трением, электрическим притяжением, нормальной силой или любой другой силой. Любая их комбинация может быть источником центростремительной силы, например, центростремительная сила в верхней части траектории троса, проходящего через вертикальный круг, является результатом как напряжения, так и силы тяжести.

[/ hidden-answer]

Если центростремительная сила направлена ​​к центру, почему вы чувствуете, что вас «отбрасывает» от центра, когда машина движется по кривой? Объяснять.

Водители гоночных автомобилей обычно срезают углы, как показано ниже (Путь 2). Объясните, как это позволяет снимать кривую с максимальной скоростью.

[показать-ответ q = ”329939 ″] Показать решение [/ раскрыть-ответ]
[скрытый-ответ a =” 329939 ″] Водитель, который срезает угол (на пути 2), имеет более плавную кривую с большей радиус. Это будет лучшая гоночная трасса. Если водитель слишком быстро завернет за угол, используя гоночную трассу, он все равно соскользнет с трассы; главное — поддерживать максимальное значение статического трения.Итак, водитель хочет максимально возможной скорости и максимального трения. Рассмотрим уравнение для центростремительной силы:

где v — скорость, а r — радиус кривизны. Таким образом, уменьшая кривизну (1 / r) пути, по которому движется автомобиль, мы уменьшаем силу, которую шины должны оказывать на дорогу, то есть теперь мы можем увеличить скорость v. вид водителя на Пути 1, мы можем рассуждать так: чем круче поворот, тем меньше радиус поворота; чем меньше диаметр поворота, тем больше требуется центростремительная сила.Если эта центростремительная сила не приложена, результатом будет занос. [/ Hidden-answer]

Во многих парках развлечений есть аттракционы с вертикальными петлями, как показано ниже. В целях безопасности автомобили прикреплены к рельсам таким образом, чтобы они не могли упасть. Если автомобиль преодолевает вершину с правильной скоростью, только сила тяжести будет обеспечивать центростремительную силу. Какая еще сила действует и в каком направлении, если:

(a) Автомобиль преодолевает вершину быстрее этой скорости?

(b) Автомобиль переваливает через вершину со скоростью ниже этой?

Что заставляет воду удаляться с одежды в центрифуге?

[показывать-ответ q = ”fs-id1165039477270 ″] Показать решение [/ показывать-ответ]

[скрытый-ответ a = ”fs-id1165039477270 ″]

Цилиндр сушилки создает центростремительную силу на одежде (включая капли воды), заставляя ее двигаться по круговой траектории. Когда капля воды попадает в одно из отверстий бочки, она перемещается по касательной к окружности.

[/ hidden-answer]

Когда фигурист образует круг, какая сила отвечает за его поворот? Используйте в своем ответе диаграмму свободного тела.

Предположим, что ребенок едет на карусели примерно на полпути между ее центром и краем. У нее есть коробка для завтрака, покоящаяся на вощеной бумаге, так что между ней и каруселью очень мало трения.По какому пути, показанному ниже, пойдет коробка с обедом, когда она отпустит? Ланч-бокс оставляет след в пыли на карусели. Эта тропа прямая, изогнута влево или вправо? Поясните свой ответ.

[показать-ответ q = ”60053 ″] Показать решение [/ раскрыть-ответ]
[скрытый-ответ a =” 60053 ″] Если нет трения, значит и центростремительной силы нет. Это означает, что коробка для завтрака будет двигаться по касательной к кругу и, таким образом, следует по пути B. След пыли будет прямым.Это результат первого закона движения Ньютона. [/ Hidden-answer]

Чувствуете ли вы, что вас бросает в любую сторону, когда вы проезжаете поворот, идеально подходящий для скорости вашего автомобиля? В каком направлении на вас действует автокресло?

Предположим, что масса движется по круговой траектории на столе без трения, как показано ниже. В земной системе отсчета нет центробежной силы, уводящей массу от центра вращения, но есть сила, растягивающая веревку, прикрепляющую массу к гвоздю.Используя концепции, связанные с центростремительной силой и третьим законом Ньютона, объясните, какая сила натягивает струну, указав ее физическое происхождение.

[показать-ответ q = ”965193 ″] Показать решение [/ раскрыть-ответ]
[скрытый-ответ a =” 965193 ″] Для поддержания кругового движения должна быть центростремительная сила; это обеспечивается гвоздем в центре. Третий закон Ньютона объясняет это явление. Сила воздействия — это сила струны, действующая на массу; сила реакции — это сила массы, действующая на струну. Эта сила реакции заставляет струну растягиваться. [/ Hidden-answer]

При смывании туалета или сливе из раковины вода (и другой материал) по пути вниз начинает вращаться вокруг слива. Предполагая, что начального вращения нет, а поток изначально направлен прямо к водостоку, объясните, что вызывает вращение и какое направление оно имеет в Северном полушарии. (Обратите внимание, что это небольшой эффект, и в большинстве туалетов вращение вызывается направленными водяными струями.) Будет ли направление вращения измениться на противоположное, если вода будет вытесняться в канализацию?

Автомобиль объезжает поворот и наталкивается на кусок льда с очень низким коэффициентом кинетической фиксации.Автомобиль съезжает с дороги. Опишите путь, по которому машина съезжает с дороги.

[показывать-ответ q = ”fs-id116503

62 ″] Показать решение [/ показывать-ответ]

[скрытый-ответ a = ”fs-id116503

62 ″]

Поскольку радиальное трение с шинами обеспечивает центростремительную силу, а трение почти равно нулю, когда автомобиль сталкивается со льдом, автомобиль подчиняется первому закону Ньютона и съезжает с дороги по прямой, касательной к кривой. Распространенное заблуждение состоит в том, что автомобиль будет двигаться по извилистой дороге в сторону от дороги.

[/ hidden-answer]

Во время одной поездки в парке развлечений всадники входят в большую вертикальную бочку и становятся у стены на ее горизонтальном полу. Бочка раскручивается, и пол падает. Всадники чувствуют себя так, как будто они прижаты к стене силой, похожей на силу гравитации. Это сила инерции, которую всадники воспринимают и используют для объяснения событий во вращающейся системе отсчета ствола. Объясните в инерциальной системе отсчета (Земля почти такая), что прижимает всадников к стене, и определите все силы, действующие на них.

Два друга разговаривают. Анна говорит, что спутник на орбите находится в свободном падении, потому что спутник продолжает падать на Землю. Том говорит, что спутник на орбите не находится в свободном падении, потому что ускорение свободного падения не равно

.

. С кем вы согласны и почему?

[показывать-ответ q = ”fs-id116503

36 ″] Показать решение [/ показывать-ответ]

[скрытый-ответ a = ”fs-id116503

36 ″]

Анна права. Спутник свободно падает на Землю под действием силы тяжести, хотя сила тяжести на высоте спутника слабее, а g — это не

.Свободное падение не зависит от стоимости г ; то есть вы можете испытать свободное падение на Марсе, если спрыгнете с Олимпа (самого высокого вулкана в Солнечной системе).
[/ hidden-answer]

Невращающаяся система отсчета, помещенная в центр Солнца, очень близка к инерциальной. Почему это не совсем инерциальная система отсчета?

Проблемы

(a) Ребенок весом 22,0 кг катается на детской карусели, вращающейся со скоростью 40,0 об / мин. Какая центростремительная сила действует, если он равен 1.25 м от центра? (b) Какая центростремительная сила действует, если карусель вращается со скоростью 3,00 об / мин и находится на расстоянии 8,00 м от ее центра? (c) Сравните каждую силу с его весом.

[показывать-ответ q = ”fs-id116503
11 ″] Показать решение [/ показывать-ответ]

[скрытый-ответ a = ”fs-id116503
11 ″]

а. 483 Н; б. 17,4 Н; c. 2,24, 0,0807

[/ hidden-answer]

Вычислите центростремительную силу на конце лопасти ветряной турбины радиусом 100 м, вращающейся на 0.5 об / с. Предположим, что масса 4 кг.

Каков идеальный угол крена для пологого поворота радиусом 1,20 км на шоссе с ограничением скорости 105 км / ч (около 65 миль / ч), если все едут на пределе?

[показывать-ответ q = ”fs-id11650301 ″] Показать решение [/ показывать-ответ]

[скрытый-ответ a = ”fs-id11650301 ″]

[/ hidden-answer]

Какова идеальная скорость для прохождения кривой радиусом 100,0 м с наклоном

?

угол?

(а) Каков радиус бобслейного поворота с креном

?

и взято на отметке 30.0 м / с при условии идеального наклона? (b) Рассчитайте центростремительное ускорение. (c) Вам кажется это ускорение большим?

[show-answer q = ”fs-id116503

09 ″] Показать решение [/ show-answer]

[скрытый-ответ a = ”fs-id116503

09 ″]

а. 24,6 м; б.

г. 3,73 раза г
[/ hidden-answer]

Часть езды на велосипеде включает в себя наклон под правильным углом при повороте, как показано ниже. Чтобы быть стабильным, сила, действующая на землю, должна быть на линии, проходящей через центр тяжести.Сила, действующая на колесо велосипеда, может быть разделена на две перпендикулярные составляющие: трение параллельно дороге (оно должно обеспечивать центростремительную силу) и вертикальную нормальную силу (которая должна равняться весу системы). (а) Покажите, что

(как показано на рисунке) относится к скорости v и радиусу кривизны r поворота таким же образом, как и для проезжей части с идеальным уклоном, то есть

(б) Вычислить

для модели 12.0-м / с разворот радиусом 30,0 м (как в гонке).

Если автомобиль движется по крутой кривой на скорости ниже идеальной, необходимо трение, чтобы не допустить скольжения внутрь поворота (проблема на обледенелых горных дорогах). (a) Рассчитайте идеальную скорость, чтобы взять кривую радиусом 100,0 м с наклоном

.

. (b) Какой минимальный коэффициент трения необходим для того, чтобы напуганный водитель проехал по той же кривой на скорости 20,0 км / ч?

[показывать-ответ q = ”fs-id1165038980331 ″] Показать решение [/ показывать-ответ]

[скрытый-ответ a = ”fs-id1165038980331 ″]

а.16,2 м / с; б. 0,234

[/ hidden-answer]

Современные американские горки имеют вертикальные петли, подобные показанной здесь. Радиус кривизны вверху меньше, чем по бокам, поэтому центростремительное ускорение вниз вверху будет больше, чем ускорение силы тяжести, удерживая пассажиров плотно прижатыми к своим сиденьям. (a) Какова скорость американских горок в верхней части петли, если радиус кривизны там 15,0 м, а ускорение машины вниз равно 1.50 г ? (б) На какой высоте над вершиной петли американские горки должны начинаться из состояния покоя, если трение пренебрежимо мало? (c) Если он действительно начинается на 5,00 м выше, чем ваш ответ на вопрос (b), сколько энергии он потерял на трение? Его масса

.

Ребенок массой 40,0 кг находится в машине с американскими горками, которая движется по петле радиусом 7,00 м. В точке А скорость автомобиля составляет 10,0 м / с, а в точке B — 10,5 м / с. Предположим, что ребенок не держится и не пристегнут ремнем безопасности.(а) Какое усилие автомобильного кресла действует на ребенка в точке А? (b) Какое усилие автомобильного кресла действует на ребенка в точке B? (c) Какая минимальная скорость требуется, чтобы удерживать ребенка на сиденье в точке A?

[показать-ответ q = ”484990 ″] Показать решение [/ раскрыть-ответ]
[скрытый-ответ a =” 484990 ″] a. 179 Н; б. 290 Н; c. 8,3 м / с [/ hidden-answer]

В простой модели Бора основного состояния атома водорода электрон движется по круговой орбите вокруг фиксированного протона.Радиус орбиты

и скорость электрона

Масса электрона

. Какая сила действует на электрон?

Железнодорожные пути следуют круговой кривой радиусом 500,0 м и имеют крен под углом

.

. Для поездов какой скорости предназначены эти пути?

[показывать-ответ q = ”fs-id116503

32 ″] Показать решение [/ показывать-ответ]

[скрытый-ответ a = ”fs-id116503

32 ″]

20.7 м / с

[/ hidden-answer]

Ускоритель элементарных частиц ЦЕРН имеет форму окружности 7,0 км. (а) Какое ускорение протонов

, которые вращаются вокруг ускорителя на

скорости света? (Скорость света

) (б) Какая сила действует на протоны?

Автомобиль объезжает кривую без кренов радиусом 65 м. Если коэффициент статического трения между дорогой и автомобилем равен 0.70, какова максимальная скорость, с которой автомобиль преодолевает поворот без пробуксовки?

[показывать-ответ q = ”fs-id11650352 ″] Показать решение [/ показывать-ответ]

[скрытый-ответ a = ”fs-id11650352 ″]

21 м / с

[/ hidden-answer]

Автодорога с наклоном предназначена для движения со скоростью 90,0 км / ч. Радиус поворота 310 м. Какой угол крена шоссе?

Глоссарий

кривая с наклоном

Поворот на дороге с уклоном, помогающим автомобилю преодолевать поворот

центростремительная сила

любая чистая сила, вызывающая равномерное круговое движение

Сила Кориолиса

Сила инерции, вызывающая кажущееся отклонение движущихся объектов при просмотре во вращающейся системе отсчета

идеальный банк

наклон кривой дороги, где угол наклона позволяет транспортному средству преодолевать поворот с определенной скоростью без помощи трения между шинами и дорогой; чистая внешняя сила на транспортном средстве равна горизонтальной центростремительной силе в отсутствие трения

инерционная сила

сила, не имеющая физического происхождения

неинерциальная система отсчета

ускоренная система отсчета

15 общих проблем кругового движения

физика. fisikastudycenter.com — Изучение кругового движения в 15 распространенных задачах. Будут обсуждены выражения количества кругового движения в различных единицах, угловая скорость, угловое положение, центростремительное ускорение, центростремительная сила и некоторые взаимосвязи шестерен.

Задача 1
Выразить в радианах:
a) 90 ^o
b) 270 ^o

Решение
360 ^o = 2π радиан

a) 90 ^o

b) 270 ^o

Задача 2
Экспресс в рад / с:
a) 120 об / мин
b) 60 об / мин

Ответ
1 об / мин = 1 оборот в минуту
1 оборот равен 2π радиан или
1 оборот равен 360 ^o
1 минута равна 60 секундам
a) 120 об / мин

b) 60 об / мин

Задача 3
Частица движется с угловой скоростью 50π рад / с. Найдите частоту движения частицы!

Ответ

Задача 4
Угловая скорость частицы при круговом движении составляет 12 рад / с. Найдите скорость частицы, если радиус = 2 м!

Ответ

Задача 5
Масса 1 кг вращается с угловой скоростью 120 об / мин. Если его радиус 2 метра, то найдите центростремительное ускорение этой частицы!

Ответ
Данные:
ω = 120 об / мин = 4π рад / с
r = 2 метра
м = 1 кг
a _sp =…?

a _sp = ^{V 2} / _r = ω ² r
a _sp = (4π) ² (2) = 32π ² м / с ²

Задача 6
Найдите центростремительную силу, действующую на тело массой 1 кг при круговом движении с радиусом 2 м и скоростью 3 м / с!

Ответ
Данные:
м = 1 кг
r = 2 метра
V = 3 м / с
F _sp = . …?

F _sp = m ( ^{V 2} / _r )
F _sp = (1) ( ^{3 2} / ₂ ) = 4,5 N

Проблема 7
Даны две звездочки велосипеда, как показано ниже!

Радиус первой и второй звездочки составляет 20 см и 10 см соответственно, а угловая скорость первой звездочки составляет 50 рад / с. Найдите угловую скорость второй звездочки!

Ответ
Данные:
r ₁ = 20 см
r ₂ = 10 см
ω ₁ = 50 рад / с
ω ₂ =…?

Две звездочки имеют одинаковую линейную скорость, если цепь не проскальзывает и не растягивается, поэтому:

Проблема 8
Две вращающиеся шестерни!

Скорость первой передачи 20 м / с при радиусе первой и второй передач 20 см и 10 см, найдите скорость второй передачи!

Ответ
Две шестерни в соотношении вверху имеют одинаковые угловые скорости:

Задача 9
Три шестерни конфигурируются, как показано ниже!

Радиус:
r ₁ = 20 см
r ₂ = 10 см
r ₃ = 5 см
Если угловая скорость первой передачи равна 100 рад / с, найдите угловую скорость третьей передачи!

Ответ

Задача 10
Частица при круговом движении имеет угловую скорость 4 рад / с. Определите угловое положение при t = 5 сек!

Ответ
Определение углового положения:
θ = ωt
θ = (4) (5) = 20 радиан.

Задача 11
Частица, совершающая круговое движение, первоначально находящаяся в состоянии покоя. Угловое ускорение частицы 2 рад / с ² . Найти:
а) угловую скорость при t = 5 с
б) угловое положение при t = 5 с

Ответ
Данные:
α = 2 рад / с ²
ω _o = 0
t = 5 секон
Равномерно ускоренное круговое движение
a) ω _t = ω _o + αt
ω _t = (0) + (2) (5) = 10 рад / с

б) θ = ω _o t + ¹ / ₂ αt ²
θ = (0) (5) + ¹ / ₂ (2) (5) ²

Задача 12
Автомобиль массой 2000 кг со скоростью 20 м / с движется по кругу с радиусом 100 м.

Найдите нормальную силу, действующую на автомобиль в пиковой точке (наивысшей)!

Ответ
Схема сил свободного тела в наивысшей точке:

Закон Ньютона:

Задача 13
Частица в круговом движении с радиусом 50 см, показанная ниже.

Если масса частицы составляет 200 грамм, а ускорение свободного падения составляет 10 м / с ² , найдите натяжение веревки, когда она находится в наивысшей точке!

Ответ

Закон Ньютона для вращающихся тел:

Показана диаграмма свободного тела

Итак:

Задача 14
Воспользуйтесь предыдущей задачей, найдите натяжение веревки, когда она находится в самой нижней точке!

Ответ :

Задача 15
Найдите угловую скорость второй передачи!

Ответ

Объекты, движущиеся по вертикальным кругам: проблемы анализа и практики — стенограмма видео и урока

Уравнения

Уравнения энергии для движения

Чтобы проанализировать движение по вертикальному кругу и составить некоторые уравнения, мы можем использовать комбинацию энергии и сил. Уравнение энергии движения, вероятно, является самым простым. Вверху у нас есть гравитационная потенциальная энергия и кинетическая энергия, а внизу — просто кинетическая энергия. Таким образом, половина mv-квадрата вверху плюс mgh вверху равна половине mv-квадрата внизу. Где v-top — скорость вверху в метрах в секунду, v-bottom — скорость внизу, также в метрах в секунду, m — масса объекта, движущегося по кругу, в килограммах, g — ускорение, вызванное гравитации, которая равна 9.8 на Земле, а h — высота круга, которую можно заменить на 2-кратный радиус круга, 2r.

Уравнения силы

Что касается сил, мы знаем, что сила в круге равна центростремительной силе, возведенной в квадрат mv над r. Итак, наверху у нас есть натяжение и гравитация, которые вносят вклад в эту силу, а это означает, что натяжение наверху (Т-образная вершина, измеренная в ньютонах) плюс mg (сила тяжести) равняется mv-квадрату над r.

Но внизу гравитация снижает центростремительную силу. Итак, здесь сила натяжения за вычетом mg будет равна mv-квадрату над r. Итак, теперь у нас есть уравнение для сил вверху и внизу. Если вы подставите одно уравнение в другое, вы обнаружите, что натяжение внизу равно натяжению вверху плюс 6 мг.

Уравнение комбинированной силы

Мы можем использовать эти уравнения в совокупности для описания движения по вертикальному кругу и решения проблем.

Практические задачи

Практическая задача 1: мяч на веревке вращается по вертикальному кругу. Если натяжение струны в верхней части круга составляет 15 ньютонов, а мяч весит 0,1 килограмма, каково натяжение струны в нижней части круга?

Прежде всего, мы должны записать то, что мы знаем. Натяжение вверху (Т-образный верх) составляет 15 ньютонов, а масса шара (м) составляет 0,1 килограмма, и мы хотим найти натяжение внизу (Т-образное основание). Чтобы решить эту проблему, мы можем использовать это уравнение натяжения:

Схема и уравнение, например

Подставьте числа и решите Т-образное основание, и мы получим 20.9 ньютонов. И это наш ответ.

Практическая задача 2: С сумкой для покупок обращаться проще. Если сумка для покупок весит 1 килограмм и она вращается по вертикальному кругу радиусом 0,1 метра, а сумка для покупок движется со скоростью 2,5 м / с в нижней части круга, как быстро она движется в верхней части круга? ?

Записывая то, что мы знаем, мы видим, что масса (m) равна 1 килограмму, а радиус (r) равен 0,1 метру. Мы также знаем, что скорость внизу (v-bottom) равна 2.5 м / с. Нас просят найти скорость вверху (v-top).

Здесь нам понадобится уравнение энергии. Мы знаем все в этом уравнении, кроме v-top. Итак, сделайте v-образный верх, подставьте числа и решите, и мы получим 1,53 м / с.

Резюме урока

Движение по вертикальному кругу сильно отличается от горизонтального. Это потому, что сила тяжести направлена ​​к центру круга вверху и от центра круга внизу. Это приводит к изменению скорости (самая медленная вверху, самая быстрая внизу) и означает, что натяжение также должно изменяться во время движения.

Вот несколько уравнений, которые мы вывели для описания этого движения:

Уравнения энергии

Уравнение энергии говорит, что половина mv-квадрата вверху (кинетическая энергия) плюс mg2r вверху (гравитационная потенциальная энергия) равна половине mv-квадрата внизу (кинетическая энергия на Нижний). Где v-top — скорость вверху, измеренная в метрах в секунду, v-bottom — скорость внизу, также измеряемая в метрах в секунду, m — масса объекта, движущегося по кругу, в килограммах, g — ускорение свободного падения, равное 9.8 на Земле, а r — радиус круга, измеряемый в метрах.

Уравнения силы

У нас также есть уравнения для описания сил вверху и внизу, и общее уравнение, которое говорит нам, как натяжение вверху соотносится с натяжением внизу: что натяжение внизу равно натяжению вверху плюс 6мг. Мы можем использовать эти уравнения в совокупности для описания движения по вертикальному кругу и решения проблем.

Результаты обучения

После этого урока вы сможете:

• Объяснять, почему скорость и напряжение меняются во время движения по вертикальному кругу
• Определите уравнения, описывающие движение по вертикальному кругу

Центростремительная сила — Практика — Физический гипертекст

Мотоцикл весом 250 кг движется по вертикальной круговой гусенице высотой 12 метров с постоянной скоростью 11 м / с.

1. Определите нормальные силы и силы трения в четырех точках, отмеченных на схеме ниже.
   1. внизу (и поднимаясь)
   2. на полпути к вершине
   3. наверху
   4. 45 ° за верхушку
2. Определите минимальный коэффициент статического трения, необходимый для выполнения трюка в соответствии с планом.

(Масса мотоцикла включает массу водителя. Предположим, что аэродинамическое сопротивление и сопротивление качению незначительны.)

Ringworld (платная ссылка) — это название классического научно-фантастического романа, написанного Ларри Нивеном в 1970 году.Действие происходит в 2850 году. Это история четырех авантюристов (двух человек и двух пришельцев), выбранных для исследования искусственного мира, окружающего звезду, похожую на Солнце. Кольцо — это огромная цилиндрическая полоса с радиусом, примерно равным радиусу орбиты Земли, и шириной примерно такой же, как диаметр Солнца. Он был построен некой неопределенной формой трансмутации материи с использованием планет и малых тел, которые когда-то вращались вокруг солнца Кольца, в качестве сырья. Плоская внутренняя поверхность покрыта естественным земным ландшафтом, и она вращается с достаточно высокой скоростью, чтобы дать своим обитателям ощущение земной гравитации.Стены высотой в тысячу миль по краям не позволяют атмосфере Кольца выплеснуться в космос. Кольцо является домом для сотен видов гоминидов, но в основном они не технологичны. Развитая цивилизация, создавшая Кольцо, рухнула много веков назад, и искатели приключений находят только ее останки.

Увеличить

Насколько быстро Мир-кольцо вращается, чтобы дать своим обитателям ощущение нормальной земной гравитации? Укажите свой ответ в…

1. метров в секунду
2. земных суток на оборот
3. оборотов в земной год

1. Используйте уравнение центростремительного ускорения и решите для скорости.Подставьте значения для ускорения свободного падения на Земле и радиуса земной орбиты (также известного как астрономическая единица).

   v = √ a c r ⇐ a c = в 2 r
   v = √ [(9,8 м / с 2 ) (1,50 × 10 11 м)]
   v = 1.21 × 10 6 м / с

   Звучит быстро, но вещи в космосе имеют тенденцию быстро двигаться. Как это соотносится с годовым движением Земли вокруг Солнца? Это цель следующей части вопроса.

2. Мы решим эту практическую задачу двумя способами. Сначала мы воспользуемся определением скорости и заменим вычисленное выше значение на расстояние, пройденное за один оборот (окружность).

   T = 2π r ⇐ v = ∆ с = 2π r v ∆ т т

   T = 2π (1,50 × 10 11 м) 1. 21 × 10 6 м / с

   T = 780 000 с ≈ 9 дней

   Более изящный способ — начать с уравнения центростремительного ускорения, заменить скорость на длину окружности за период и упростить. Это дает нам уравнение, которое некоторым людям так нравится, что они запоминают его.

   a c =	в 2	=	(2π r / T ) 2	=	4π 2 r
   	r		r		Т 2

   Определите период и подставьте.

   T = 2π√ 1,50 × 10 11 м 9,8 м / с 2

   T = 780 000 с ≈ 9 дней

   Это быстрый «год» — если мы используем астрономическое определение года как период одного обращения вокруг Солнца. Как это соотносится с обычным календарным годом?

3. Эту проблему лучше всего решить с помощью анализа размеров.

   n = 365 дней в году 9 дней / ротацию

   n = 40,5 оборотов в год

К этой проблеме вернемся в разделе по питанию.

В следующем отрывке излагаются технические характеристики предлагаемой системы поезда на магнитной подвеске (Transrapid).

Радиусы изгиба современных высокоскоростных систем приводят к зависимости от скорости и максимально возможного виража направляющей для компенсации возникающих центробежных сил. Направляющая Transrapid может иметь максимальный угол наклона 12 градусов (до 16 градусов в особых случаях), что позволяет уменьшить радиус поворота на более высоких скоростях, чем в случае обычных систем колесо-на-рельсе.

• Минимальный радиус: 350 м
• 200 км / ч: 0705 м
• 400 км / ч: 2825 м
• 500 км / ч: 4415 м

ThyssenKrupp Transrapid GmbH, 2002

Определить…

1. максимальное центростремительное ускорение (в м / с ² и g), подразумеваемое этими спецификациями
2. Ограничение скорости (в м / с и км / ч) на криволинейном участке пути с минимальным радиусом

Когда вы перестанете читать неудобный перевод с немецкого на английский, это концептуально простой вопрос.Установите таблицу, подобную приведенной ниже, и заполните недостающие части. Используйте графический калькулятор, так как он избавляет от утомительных повторных вычислений.

максимальная скорость		радиус	центростремительное ускорение
(км / ч)	(м / с)	(м)	(м / с 2 )	(г)
		0350
200		0705
400		2825
500		4415
Среднее центростремительное ускорение →

Начните с преобразования максимальной скорости из км / ч в м / с.

⎡ ⎢ ⎣	м	=	км		1000 метров		1 ч	⎤ ⎥ ⎦
	с		ч		1 км		3600 с

Затем примените уравнение для центростремительного ускорения.

Полученные значения будут в м / с ² . Чтобы преобразовать в g, разделите на стандартное значение ускорения свободного падения.

a _c [г] = a _c [м / с ² ] ÷ 9,80665 м / с ²

Эта процедура дает набор чисел, которые достаточно близки друг к другу: три значения в м / с ² и три в g. Найдите среднее значение обеих этих троек. Ниже представлена ​​частично заполненная таблица.

максимальная скорость		радиус	центростремительное ускорение
(км / ч)	(м / с)	(м)	(м / с 2 )	(г)
		0350
200	0 56	0705	4. 38	0,446
400	111	2825	4,37	0,446
500	139	4415	4,37	0,446
Среднее центростремительное ускорение →			4,37	0,446

Для второй части этого вопроса следуйте логике первой части в обратном порядке.Предположим, что максимально допустимое центростремительное ускорение одинаково для всех кривых, независимо от размера. Используйте только что вычисленное среднее значение, чтобы определить ограничение скорости на кривой радиусом 350 м.

v = √ a c r ⇐ a c = в 2 r
v = √ (4. 372 м / с 2 ) (350 м)
v = 39,1 м / с

Затем преобразовать из м / с в км / ч.

39,1 м		1 км		3600 с	= 140 км / ч
1 с		1000 метров		1 ч

Добавьте эти результаты в таблицу.

максимальная скорость		радиус	центростремительное ускорение
(км / ч)	(м / с)	(м)	(м / с 2 )	(г)
140	0 39	0350	4,37	0,446
200	056	0705	4. 38	0,446
400	111	0825	4,37	0,446
500	139	4415	4,36	0,446
Среднее центростремительное ускорение →			4,37	0,446

Более продвинутый метод заключается в графическом решении проблемы.

Исходя из уравнения центростремительного ускорения.

Сделайте v ² темой и сравните с уравнением для прямой линии.

v 2 = a c r

⇔

y = m x + b

Уравнение говорит нам, что мы должны положить квадрат скорости по оси y и радиус по оси x .

Это делает центростремительное ускорение равным наклону линии наилучшего соответствия.

м =	наклон = a c
a c =	4,37 м / с 2
a c =	0,445 г

b =	перехват
б =	7. 28 м 2 / с 2
b ≈	0

Значение точки пересечения 7,28 м ² / с ² фактически равно нулю. Поскольку все значения квадрата скорости порядка нескольких тысяч, точка пересечения меньше десяти будет для сравнения «маленькой».

Используйте коэффициенты из линии наилучшего соответствия, чтобы найти предел скорости на кривой минимального радиуса. Закончите преобразованием скорости обратно в км / ч из м / с.

y =	м x + b
v 2 =	a c r + 0
v 2 =	(4,37 м / с 2 ) (350 м)
v =	39 м / с = 140 км / ч

Данные о Луне и планетах взяты со страницы этой книги.Данные о Солнце взяты со страницы в The Physics Factbook. Расстояние от Земли до Солнца называется астрономической единицей (а.е.). Планирую обсудить а.е. в разделе этой книги, посвященном разным единицам (1 а.е. = 149,6 × 10 ⁶ км). Я знаю, что вам известен период обращения Земли по орбите. Возможно, вам просто придется остановиться и подумать на секунду. Первые два столбца таблицы готовы.

Скорость — это скорость изменения расстояния во времени, которая в круговом движении означает длину окружности, деленную на период.

Мы будем использовать это уравнение снова и снова. Пожалуйста, следите за этими единицами. При необходимости преобразуйте в метры и секунды.

Луна

v = 2π (3.844 × 10 8 м) (27,32 × 24 × 60 × 60 с) v = 1023 м / с

Меркурий

v = 2π (5. 791 × 10 10 м) (87,97 × 24 × 60 × 60 с) v = 47900 м / с

Земля

v = 2π (1.496 × 10 11 м) (365,25 × 24 × 60 × 60 с) v = 29 800 м / с

Плутон

v = 2π (5.906 × 10 12 м) (90 465 × 24 × 60 × 60 с) v = 4750 м / с

Солнце

v = 2π (30 000 лет) (3,00 × 10 8 м / с) (2,25 × 10 8 год) v = 251000 м / с

Теперь, когда у нас есть все скорости, мы можем вычислить центростремительные ускорения.

Снова будем делать это снова и снова…

Луна

a c = (1023 м / с) 2 (3,844 × 10 8 м) a c = 0,00272 м / с 2

Меркурий

a c = (47900 м / с) 2 (5.791 × 10 10 м) a c = 0,03958 м / с 2

Земля

a c = (29800 м / с) 2 (1. 496 × 10 11 м) a c = 0.00593 м / с 2

Плутон

a c = (4750 м / с) 2 (5,906 × 10 12 м) a c = 3,82 × 10 −6 м / с 2

Солнце

a c = (251000 м / с) 2 (30 000 лет) (3.00 × 10 8 м / с) (365,25 × 24 × 60 × 60 с) a c = 2,22 × 10 −10 м / с 2

Теперь таблица готова к заполнению.