Двугранный угол. Видеоурок. Геометрия 10 Класс

Данный урок предназначается для самостоятельного изучения темы «Двугранный угол». В ходе этого занятия учащиеся познакомятся с одной из самых важных геометрических фигур – двугранным углом. Также на уроке нам предстоит узнать о том, как определить линейный угол рассматриваемой геометрической фигуры и какой бывает двугранный угол при основании фигуры.

Повторим, что такое угол на плоскости и как он измеряется.

Рис. 1. Плоскость

Рассмотрим плоскость α (рис. 1). Из точки О исходят два луча – ОВ и ОА.

Определение. Фигура, образованная двумя лучами, исходящими из одной точки, называется углом.

Угол измеряется в градусах и в радианах.

Вспомним, что такое радиан.

Рис. 2. Радиан

Если мы имеем центральный угол, длина дуги которого равна радиусу, то такой центральный угол называется углом в 1 радиан. , ∠АОВ = 1 рад (рис. 2).

Связь радианов и градусов.

 рад.

Получаем,  рад. (). Тогда,

Определение. Двугранным углом называется фигура, образованная прямой а и двумя полуплоскостями с общей границей а, не принадлежащими одной плоскости.

Рис. 3. Полуплоскости

Рассмотрим две полуплоскости α и β (рис. 3). Их общая граница –

а. Указанная фигура называется двугранным углом.

Терминология

Полуплоскости α и β – это грани двугранного угла.

Прямая а – это ребро двугранного угла.

На общем ребре а двугранного угла выберем произвольную точку О (рис. 4). В полуплоскости α из точки О восстановим перпендикуляр ОА к прямой а. Из той же точки О во второй полуплоскости β восставим перпендикуляр ОВ к ребру а. Получили угол АОВ, который называется линейным углом двугранного угла.

 – линейный угол двугранного угла.

Рис. 4. Измерение двугранного угла

Докажем равенство всех линейных углов для данного двугранного угла.

Пусть мы имеем двугранный угол (рис. 5). Выберем точку О и точку О₁ на прямой а. Построим линейный угол соответствующий точке О, т. е. проведем два перпендикуляра ОА и ОВ в плоскостях α и β соответственно к ребру а. Получаем угол АОВ – линейный угол двугранного угла.

Рис. 5. Иллюстрация доказательства

Из точки О₁ проведем два перпендикуляра ОА₁ и ОВ₁ к ребру а в плоскостях α и β соответственно и получим второй линейный угол А₁О₁В₁.

Лучи О₁А₁ и ОА сонаправленны, так как они лежат в одной полуплоскости и параллельны между собой как два перпендикуляра к одной и той же прямой

а.

Аналогично, лучи О₁В₁ и ОВ сонаправлены, значит, ∠АОВ = ∠А₁О₁В₁ как углы с сонаправленными сторонами, что и требовалось доказать.

Плоскость линейного угла перпендикулярна ребру двугранного угла.

Доказать: а ⊥ АОВ.

Рис. 6. Иллюстрация доказательства

Доказательство:

ОА ⊥ а по построению, ОВ ⊥ а по построению (рис. 6).

Получаем, что прямая а перпендикулярна двум пересекающимся прямым ОА и ОВ из плоскости АОВ, значит, прямая а перпендикулярна плоскости ОАВ, что и требовалось доказать.

Двугранный угол измеряется своим линейным углом. Это означает, что, сколько градусов радиан содержится в линейном угле, столько же градусов радиан содержится в его двугранном угле. В соответствии с этим различают следующие виды двугранных углов.

— Острый (рис. 6)

Двугранный угол острый, если его линейный угол острый, т.е. .

— Прямой (рис. 7)

Двугранный угол прямой, когда его линейный угол равен 90°— Тупой (рис. 8)

Двугранный угол тупой, когда его линейный угол тупой, т.е. .

Рис. 7.   Прямой угол

Рис. 8. Тупой угол

Примеры построения линейных углов в реальных фигурах

АВСD – тетраэдр.

1.      Построить линейный угол двугранного угла с ребром АВ.

Рис. 9. Иллюстрация к задаче

Построение:

Речь идет о двугранном угле, который образован ребром АВ и гранями АВD и АВС (рис. 9).

Проведем прямую DН перпендикулярно плоскости АВС, Н – основание перпендикуляра. Проведем наклонную DМ перпендикулярно прямой АВ,М – основание наклонной. По теореме о трех перпендикулярах заключаем, что проекция наклонной

НМ также перпендикулярна прямой АВ.

То есть, из точки М восстановлены два перпендикуляра к ребру АВ в двух гранях АВD и АВС. Мы получили линейный угол DМН.

Заметим, что АВ, ребро двугранного угла, перпендикулярно плоскости линейного угла, т. е. плоскости DМН. Задача решена.

Замечание. Двугранный угол можно обозначить следующим образом: DАВС, где

АВ – ребро, а точки D и С лежат в разных гранях угла.

2. Построить линейный угол двугранного угла с ребром АС.

Проведем перпендикуляр DН к плоскости АВС и наклонную DN перпендикулярно прямой АС. По теореме о трех перпендикулярах получаем, что НN – проекция наклонной DN на плоскость АВС, также перпендикулярна прямой

АС.DNН – линейный угол двугранного угла с ребром АС.

В тетраэдре DАВС все ребра равны. Точка М – середина ребра АС. Докажите, что угол DМВ – линейный угол двугранного угла ВАСD, т. е. двугранного угла с ребром АС. Одна его грань – АСD, вторая – АСВ (рис. 10).

Рис. 10. Иллюстрация к задаче

Решение:

Треугольник ADC – равносторонний, DM – медиана, а значит и высота. Значит, DМ ⊥ АС. Аналогично, треугольник AВC – равносторонний, ВM – медиана, а значит, и высота. Значит, ВМ ⊥ АС.

Таким образом, из точки М ребра АС двугранного угла восстановлено два перпендикуляра

DM и ВМ к этому ребру в гранях двугранного угла.

Значит, ∠DMВ – линейный угол двугранного угла, что и требовалось доказать.

Итак, мы определили двугранный угол, линейный угол двугранного угла.

На следующем уроке мы рассмотрим перпендикулярность прямых и плоскостей, дальше узнаем что такое двугранный угол при основании фигур.

 

Список литературы по теме «Двугранный угол», «Двугранный угол при основании геометрических фигур»

1. Геометрия. 10–11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е издание, исправленное и дополненное – М.: Мнемозина, 2008. – 288 с.: ил.
2. Геометрия. 10–11 класс: учебник для общеобразовательных учебных заведений / Шарыгин И. Ф. – М.: Дрофа, 1999. – 208 с.: ил.
3. Геометрия. 10 класс: учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики /Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. – 6-е издание, стереотип. – М.: Дрофа, 2008. – 233 с.: ил.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Yaklass.ru (Источник).
2. E-science.ru (Источник).
3. Webmath.exponenta.ru (Источник).
4. Tutoronline.ru (Источник).

 

Домашнее задание по теме «Двугранный угол», определение двугранного угла при основании фигур

Геометрия. 10–11 класс: учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е издание, исправленное и дополненное – М.: Мнемозина, 2008. – 288 с.: ил.

Задания 2, 3 стр. 67.

Что такое линейный угол двугранного угла? Как его построить?

АВСD – тетраэдр. Построить линейный угол двугранного угла с ребром:

а) ВD                б) DС.

АВСDA₁B₁C₁D₁ – куб. Постройте линейный угол двугранного угла А₁АВС с ребром АВ. Определите его градусную меру.

interneturok.ru

Пирамида. Видеоурок. Геометрия 10 Класс

Данный урок поможет получить представление о теме «Многогранники. Правильная пирамида». На этом занятии мы познакомимся со свойствами правильной пирамиды, узнаем что такое двугранный угол при основании пирамиды и научимся решать разноплановые задания.

В стереометрии две прямые могут совпадать, пересекаться, быть параллельными и скрещиваться.

Взаимоотношение между прямой и плоскостью в пространстве: прямая может лежать в плоскости, может пересекаться с ней и может быть параллельной плоскости.

Взаимоотношение между плоскостями в пространстве: две плоскости могут совпадать, пересекаться или быть параллельными друг другу.

Рассмотрим случай, когда плоскости пересекаются.

Плоскость  пересекается с плоскостью  по прямой . При этом образуются две полуплоскости, которые образуют двугранный угол. В большинстве случаев требуется построить и найти линейный угол. Для этого на ребре  выбирается точка M и из нее восстанавливаются два перпендикуляра к этому ребру: первый – , лежащий в плоскости , второй – , лежащий в плоскости . Угол между прямыми  и  и есть угол между плоскостями  и  (рис. 1).

Рис. 1 Двугранный угол

Плоскость линейного угла перпендикулярна всем элементам двугранного угла (двум полуплоскостям и ребру) (рис. 2).

Рис. 2

Доказательство:

1. Прямая  перпендикулярна двум пересекающимся прямым  и  из плоскости , значит, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая  перпендикулярна плоскости .

2. Прямая  лежит в плоскости  и перпендикулярна плоскости , значит, по признаку перпендикулярности плоскостей, плоскости  и  перпендикулярны.

3. Прямая  лежит в плоскости  и перпендикулярна плоскости , значит, по признаку перпендикулярности плоскостей, плоскости  и  перпендикулярны.

Задача №1:

В основании пирамиды ABCD лежит правильный треугольник ABC. Длина вписанной в треугольник ABC окружности равна  см. Боковые ребра пирамиды наклонены к основанию под углом . Найти площадь основания, высоту OD, ребро пирамиды, апофему грани пирамиды, двугранный угол при основании пирамиды, постройте линейный угол при боковом ребре (рис. 3).

Рис. 3 Задача найти двугранный угол при основании пирамиды

Решение

Длина окружности равна  и равна . Значит, радиус вписанной окружности равен 1 см. Вписанная в правильный треугольник ABC окружность пересекается со стороной BC в точке , и отрезок  является радиусом этой окружности. По свойствам медиан:

 см

 является высотой и состоит из радиуса вписанной окружности и радиуса описанной окружности:  см. В прямоугольном треугольнике  () катет  см, а угол . Найдем гипотенузу этого треугольника, являющуюся стороной треугольника ABC:

 см

Найдем площадь основания:

Докажем, что высота пирамиды DO проектируется в центр треугольника ABC, то есть, что пирамида ABCD – правильная. Рассмотрим треугольники . Они равны, так как они прямоугольные (), имеют общий катет DO и одинаковый угол наклона, равный . Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон (), значит, O – центр треугольника. Таким образом, пирамида правильная, так как в ее основании правильный треугольник и ее высота проектируется в его центр. Из треугольника DOC, найдем высоту OD и сторону DC.  прямоугольный (, катет  см, угол . Получается , а катет, лежащий напротив угла в , равен половине гипотенузы, значит,  см. Высота OD:

 см.

Для двугранного угла найдем апофему . Рассмотрим :  является гипотенузой, значит:

 см.

Найдем двугранный угол при основании пирамиды: из точки  проведены два перпендикуляра в плоскостях (ABC) и (ABD) (т. к.  – середина AB и, соответственно,  и  – биссектриса и высота правильного треугольника ABC и равнобедренного треугольника ABD), значит,  – линейный угол двугранного угла. Найдем для него тангенс из треугольника DC₁O:

Построим линейный угол при боковом ребре: Проведем из точки A перпендикуляр AP (). Соединим B с P и получим перпендикуляр BP к прямой DC. , так как треугольники ACP и BCP равны по двум сторонам и углу между ними (, PC – общая, ). Значит, двугранный угол при ребре DC, то есть угол между плоскостями (DCA) и (DCB), построен ().

Ответ: площадь основания равна , высота OD равна  см, сторона пирамиды равна 4 см, апофема грани пирамиды равна  см, двугранный угол при основании равен .

Выводы:

Была рассмотрена типовая задача на правильную пирамиду. Было доказано, что пирамида правильная, и найдены различные неизвестные. Было найдено значение двугранного угла п

interneturok.ru

Двугранный угол — урок. Геометрия, 10 класс.

Двугранный угол — это часть пространства, заключённая между двумя полуплоскостями, имеющими одну общую границу.

 

Если в пространстве пересекаются две плоскости, получаются четыре двугранных угла (аналогично как при пересечении двух прямых получаются четыре угла). Рассмотрим один из них.

 

Полуплоскости α и β, образующие двугранный угол, называются его гранями.

Общая прямая \(a\) этих граней называется ребром двугранного угла.

 

Выберем на ребре \(a\) двугранного угла произвольную точку \(C\) и проведём две пересекающиеся прямые AC⊥a и BC⊥a, а через эти прямые — плоскость γ перпендикулярно ребру \(a\).

 

Линии пересечения \(AC\) и \(BC\) полуплоскостей α и β с плоскостью γ образуют некоторый угол ∡ACB. Этот угол называется  линейным углом двугранного угла. Величина линейного угла не зависит от выбора точки \(C\)  на ребре \(a\).

 

Обрати внимание!

Величина двугранного угла  \(0° <\) &angmsd;ACB \(< 180°\).

Если плоскости параллельны, то угол между ними равен \(0°\) по определению.

Если при пересечении плоскостей один из двугранных углов составляет \(90°\), то три остальных угла — тоже \(90°\). Эти плоскости называют перпендикулярными.

Следующие теоремы, которые здесь приведём без доказательств, могут пригодиться при решении задач.

 

1. Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны.

 

2. Плоскость, перпендикулярная прямой, по которой пересекаются две плоскости, перпендикулярна каждой из этих плоскостей.

 

3. Если две плоскости перпендикулярны, и в одной из них прямая проведена перпендикулярно линии пересечения плоскостей, то эта прямая перпендикулярна второй плоскости.

Многогранные углы

Объясним понятие многогранных углов.

Представим несколько лучей в пространстве с общим началом. Их можно представить тоже как часть линий пересечения плоскостей — трёх, четырёх или больше — и назвать рёбрами многогранного угла.

 Трёхгранный угол

 

 Четырёхгранный угол

 

 Пятигранный угол

 

Каждые два луча образуют угол, который называют плоским углом многогранного угла.

 

 

Обрати внимание!

Каждый плоский угол трёхгранного угла меньше суммы двух других плоских углов.

 

Сумма плоских углов многогранного угла меньше \(360°\).

www.yaklass.ru

Пирамиды, в которых двугранные углы при основании равны

Теперь рассмотрим пирамиды, в которых двугранные углы при основании равны: каковы их свойства, как изображаются.

Если все двугранные углы при ребрах основания равны, то

1) вершина пирамиды проецируется в центр вписанной в основание окружности;

2) основание пирамиды является ортогональной проекцией ее боковой поверхности, поэтому площадь основания пирамиды можно найти по формуле

   

где

   

— двугранный угол при основании пирамиды. Чаще эту формулу используют для нахождения площади боковой поверхности пирамиды:

   

Соответственно, площадь полной поверхности пирамиды равна

   

3) площадь боковой поверхности в этом случае также может быть найдена по формуле

   

где p — полупериметр основания, l — высота боковой грани, проведенная из вершины пирамиды.

Прямоугольные треугольники, образованные высотой пирамиды, высотами боковых граней, проведенными из вершины пирамиды, и их проекциями (равными радиусу вписанной окружности), равны. Поэтому также

— высоты боковых граней, проведенные из вершины пирамиды, равны;

— высоты боковых граней образуют с высотой пирамиды равные углы.

Решение задач на пирамиды, в которых двугранные углы при основании равны (или — пирамиды, в которых высоты боковых граней равны либо образуют с высотой пирамиды равные углы), начинается с чертежа.

Если основание пирамиды — треугольник

Центр вписанной в треугольник окружности лежит строго внутри треугольника и является точкой пересечения его биссектрис.

 

OM=OK=OF=r

Радиус вписанной окружности ищем по формуле

   

где S — площадь треугольника, p — его полу периметр.

 

 

 

Если в основании такой пирамиды лежит прямоугольный треугольник, чертеж немного иной.

Это связано со свойствами параллельного проектирования: параллельность прямых сохраняется. Радиусы, перпендикулярные катетам, и отрезки, прилежащие к прямому углу треугольника, образуют квадрат, который на чертеже изображается параллелограммом.

Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности ищем по формуле

   

где a и b — катеты, c — гипотенуза.

Если основание пирамиды — параллелограмм

Из всех параллелограммов вписать окружность можно только в ромб (и квадрат как его частный случай). Поэтому, если в задаче известно, что все двугранные углы при основании равны (или высоты боковых граней пирамиды равны либо образуют с высотой пирамиды равные углы), а в основании лежит параллелограмм, то речь может идти только о ромбе (или квадрате).

OM=OK=OF=OP.

O — точка пересечения диагоналей ромба (квадрата).

Радиус вписанной в ромб окружности можно искать по формуле

   

Кроме того, радиус вписанной в ромб окружности равен половине его высоты.

Если  основание пирамиды — произвольный четырехугольник

OM=OK=OF=OP=r

О — точка пересечения биссектрис четырехугольника ABCD.

Радиус вписанной в четырехугольник окружности ищем все по той же формуле

   

Поскольку вписать в четырехугольник окружность можно тогда и только тогда, когда суммы длин его противоположных сторон равны,

AB+CD=BC+AD.

Если основание пирамиды — трапеция

OM=OK=OF=OP=r

O — точка пересечения биссектрис трапеции.

Радиус вписанной в трапецию окружности

   

а также радиус вписанной окружности равен половине высоты трапеции.

Также AB+CD=BC+AD.

 

Если все двугранные углы при основании пирамиды равны (либо высоты боковых граней пирамиды равны, либо высоты боковых граней составляют с пирамидой равные углы), а в основании пирамиды — правильный многоугольник, то это — правильная пирамида.

 

www.uznateshe.ru

Повторение теории и решение задач по теме «Двугранный угол. Перпендикулярность плоскостей»

Тема: Перпендикулярность прямых и плоскостей

Урок: Повторение теории и решение задач по теме «Двугранный угол. Перпендикулярность плоскостей»

Тема данного урока – «Повторение теории и решение задач по теме “Двугранный угол. Перпендикулярность плоскостей”». На этом занятии мы повторим теорию, вспомнив определение параллельных прямых и лемму о пересечении параллельными прямыми плоскости. Далее повторим определение параллельности прямой и плоскости и ее признак. Затем решим несколько задач по теме «Двугранный угол. Перпендикулярность плоскостей».

Двугранный угол

Двухгранный угол — это фигура, образованная прямой l и двумя полуплоскостями с общей границей l.

Рис. 1

Обозначение. Двугранный угол (рис. 1) часто записывают так: ∠АMNВ.

MN — общая граница. Точка А лежит в одной полуплоскости α и точка В лежит в другой полуплоскости β. 

Линейный угол двугранного угла

Линейный угол двугранного угла АMNВ строится следующим образом: выбирается точка О на общей границе l. Проводится перпендикуляр ОА к прямой l в плоскости α. Проводится перпендикуляр ОВ к l в плоскости β. Полученный угол АОВ является линейным углом двугранного угла, где АО ⊥  l, ВО ⊥ l.

Измерение двугранного угла

Двугранный угол измеряется своим линейным углом.

Свойство 1.

Плоскость линейного угла и прямая l перпендикулярны. l ⊥ АОВ

Доказательство

Так как прямая l перпендикулярна двум пересекающимся прямым АО и ВО, то прямая l перпендикулярна плоскости АОВ.

Точки А и В лежат на ребре данного двугранного угла, равного 120°.

Отрезки АС и ВD проведены в разных гранях и перпендикулярны к ребру двугранного угла.

Найдите отрезок СD, если АВ = АС = ВD = а.

Дано: ∠САВD= 120°,  

АС ⊥ АВ,  АС ⊂ α,

BD ⊥ АВ,  BD ⊂ β,

АВ = АС = ВD = а.

Найти: СD.

Рис. 2

Решение:

Здесь дан тупой двугранный угол, ∠САВD= 120°.

АВ – ребро двугранного угла, точка С лежит в одной полуплоскости, точка D лежит в другой полуплоскости. В одной полуплоскости проведена прямая АС, перпендикулярная АВ. В другой полуплоскости проведена прямая ВD, перпендикулярная АВ.

Проведем АК перпендикулярно АВ и DК параллельно АВ (рис. 2). Тогда угол САК – линейный угол двугранного угла, а значит, ∠САК = 120°.

Так как прямые АК и ВDперпендикулярны одной и той же прямой АВ, то прямые АК и ВD – параллельны. В четырехугольнике АКDВ противоположные стороны параллельны (AK∥BD, AB∥ DK), значит,  АКВD– параллелограмм. Значит,  АК=BD = а.

Рассмотрим треугольник АКС. Найдем  с помощью теоремы косинусов:

Прямая АВ перпендикулярна плоскости линейного угла (по свойству 1), значит, и параллельная ей прямая DК перпендикулярна плоскости линейного угла. А значит, прямая  DК  перпендикулярна прямой СК, лежащей в плоскости линейного угла, то есть угол СКD прямой.

Из прямоугольного треугольника СКD по теореме Пифагора находим гипотенузу СD.

Ответ: 2а.

Определение.Плоскости называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90°.

Имеем плоскости α и β, которые образуют двугранный угол. l – ребро двугранного угла (рис. 3). Построим линейный угол данного двугранного угла. Возьмем точку О на ребре l. Проведем прямую АО перпендикулярно ребру l в плоскости α и прямую ВО перпендикулярно ребру l в плоскости β. Тогда, ∠ВОА – линейный угол двугранного угла. Если ∠ВОА =90°, то плоскости α и β перпендикулярны.

Рис. 3

Пусть, прямая ОА перпендикулярна плоскости β и ОА лежит в плоскости α. Тогда плоскости α и β перпендикулярны.

Если плоскости α и β пересекаются по прямой l, а плоскость γ перпендикулярна прямой l, то плоскость γ перпендикулярна плоскости α и плоскость γ перпендикулярна плоскости β (рис. 4).

Рис. 4

Доказательство

Прямая l перпендикулярна плоскости γ по условию, но плоскость α проходит через прямую l, значит, плоскость γ перпендикулярна плоскости α. Плоскость β также проходит через прямую l, значит, плоскость γ перпендикулярна плоскости β. Следствие доказано. 

Указанное следствие переформулируем для двугранного угла и для его линейного угла.

Плоскость линейного угла перпендикулярна ребру и граням своего двугранного угла. 

Другими словами, если мы построили линейный угол двугранного угла, то его плоскость перпендикулярна всем элементам этого двугранного угла – и ребру, и граням.

Рис. 5

Рассмотрим рисунок 5. Мы имеем плоскость α и плоскость β. Они пересекаются по прямой l. Из точки О проводим прямую АО перпендикулярно ребру l в плоскости α. Из точки О в плоскости β проводим вторую прямую ВО перпендикулярно к ребру l. Получаем линейный угол двугранного угла – угол ВОА. Обозначим плоскость ВОА за γ.

Тогда, плоскость линейного угла γ перпендикулярна прямой l, так как прямая l перпендикулярна двум пересекающимся прямым АО и ВО из плоскости γ по построению. Также через перпендикуляр l к плоскости γ проходит плоскость α, значит, по признаку α ⊥ γ. Аналогично, β ⊥ γ.

Найдите двугранный угол АВСD тетраэдра АВСD, если углы DАВ, DАС и АСВ прямые, АС = СВ = 5   DВ = .

Дано: АВСD – тетраэдр.

∠DАВ = ∠DАС = ∠АСВ = 90°.

АС = СВ = 5, DВ = .

Найти: ∠ (АВСD)

Рис. 6

Решение:

Прямая DA перпендикулярна пересекающимся прямым АВ и АС из плоскости АВС. Значит, прямая DA перпендикулярна плоскости АВС.

Тогда АС — это проекция DС на плоскость АВС. Проекция АС перпендикулярна прямой ВС из плоскости по условию, значит, и наклонная DС перпендикулярна прямой ВС (по теореме о трех перпендиулярах). Получаем, что угол АСD – линейный угол искомого двугранного угла.

Рассмотрим прямоугольный треугольник DСВ. Найдем DС по теореме Пифагора.

Рассмотрим прямоугольный треугольник АСD. Выразим косинус угла АСD.

.

Тогда

Ответ: .

Итак, мы повторили теорию и решили некоторые типовые задачи по теме «Двугранный угол. Перпендикулярность плоскостей».

На следующем уроке мы перейдем к изучению многогранников.

 

Список рекомендованной литературы

1. Геометрия. 10-11 класс : учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е издание, исправленное и дополненное – М. : Мнемозина, 2008. – 288 с. : ил.
2. Геометрия. 10-11 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений / Шарыгин И. Ф. – М.: Дрофа, 1999. – 208 с.: ил.
3. Геометрия. 10 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики /Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. – 6-е издание, стереотип. – М. : Дрофа, 008. – 233 с. :ил.

 

Рекомендованные ссылки на ресурсы интернет

1. ЕГЭ (Источник).
2. Портал естественных наук (Источник).
3. Якласс (Источник).

 

Рекомендованное домашнее задание

1. Прямоугольник ABCD перегнули по диагонали АС так, что плоскости АВС и ACD оказались перпендикулярными. Найдите расстояние между точками B и D, если стороны прямоугольника равны 6 см и 8 см.
2. Параллельные прямые а и с лежат в плоскости α. Через каждую из этих прямых проведена плоскость, перпендикулярная плоскости α. Каково взаимное расположение полученных плоскостей?
3. Сторона ВС прямоугольника ABCD служит стороной треугольника BCK, причем точка К проектируется на прямую CD. Укажите линейный угол двугранного угла ВС.
4. Найдите множество точек, принадлежащих одной грани двугранного угла и удаленных от плоскости другой грани на расстояние а.

interneturok.ru

задачи на сферу, вписанную в треугольную пирамиду. Видеоурок. Геометрия 11 Класс

На этом уроке мы повторим теоретические сведения о двугранном угле и сфере, вписанной в этот угол, решим несколько задач на сферу, вписанную в треугольную пирамиду.

Вспомним определение линейного и двухгранного угла, а также некоторые свойства.

1. Двугранным углом называется фигура (рис. 1), образованная двумя не принадлежащими одной плоскости полуплоскостями (), имеющими общую границу – прямую l. Полуплоскости, образующие двугранный угол, называются его гранями, а общая граница этих плоскостей – ребром двугранногоугла.

Рис. 1. Двугранный угол

Двугранный угол измеряется линейным углом. Чтобы его построить, нужно выбрать произвольную точку О на ребре l, а лучи ОА и ОВ должны быть перпендикулярны ребру. Получили , который является линейным углом двугранного угла.  – плоскость линейного угла.

 

2. Рассмотрим свойство плоскости γ линейного угла.

Плоскость линейного угла перпендикулярна всем элементам двугранного угла, а именно ребру и двум плоскостям.

 

3. На плоскость γ весь двугранный угол проецируется в угол (рис. 2), то есть угол  – проекция двугранного угла на плоскость γ.

 

                                  

Рис. 2. Иллюстрация к свойству

Рассмотрим биссекторную плоскость и вспомним её свойства.

Биссекторная плоскость  двугранного угла  – геометрическое место точек, равноудалённых от граней  данного угла (рис. 3).

Рис. 3. Биссекторная плоскость

Спроектируем данную фигуру на плоскость линейного угла, то есть на плоскость, перпендикулярную ребру l. Ребро l проектируется в точку, плоскости  – в прямые. Весь двугранный угол проектируется в угол . Биссекторная плоскость проектируется в луч OQ(рис. 4).

                                  

Рис. 4. Иллюстрация к свойству

Так как любая точка (Q), лежащая на биссекторной плоскости (, равноудалена от граней  двугранного угла, то в двугранный угол можно вписать сферу. Следовательно, если сфера  вписана в двугранный угол , это означает, что  – касательные плоскости. Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен плоскости (). Расстояние от вершины угла (т. O) до точки Q равно расстоянию от центра сферы до ребра l двугранного угла (.

Двугранный угол равен . Расстояние между его ребром и центром вписанной сферы равноc. Найдите радиус сферы.

Рис. 5. Иллюстрация к задаче

Дано:;

Найти:

Решение:

На рисунке 5 изображена проекция двугранного угла (он проектируется в угол ). Отрезок QA, равный радиусу вписанной в угол сферы, найдём, рассмотрев треугольник QAO. Этот треугольник прямоугольный, так как радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен плоскости (). Угол , так как ,  – биссекторная плоскость, следовательно, OQ – биссектриса. Гипотенуза . Катет QA лежит напротив угла , поэтому он равен половине гипотенузы:

 

 

Ответ:

1. Построить центр Qсферы, вписанной в правильную треугольную пирамиду DABC.

2. Найти радиус сферы, если AB = a, угол наклона боковой грани к основанию ABC равен .

1. Дано: ;  (рис. 6).

Найти: 1.т.Q; ; 2. r

Решение:

Центр Qсферы, вписанной в правильную треугольную пирамиду DABC, – это точка, равноудалённая от всех граней пирамиды. Докажем, что т. Q равноудалена от основания и одной из боковых граней (для других граней доказательство производится

Рис. 6. Иллюстрация к задаче

аналогично).

а) Выберем точку  так, что . Проведём ,  – высота , следовательно, угол  – линейный угол двугранного угла при основании .

б) Построим биссектрису угла .

в) На пересечении биссектрисы и высоты пирамиды DH получим точку Q. .

г) Докажем, что точка Q – центр сферы, вписанной в правильную треугольную пирамиду DABC. Для этого из этой точки опустим перпендикуляр на апофему  (.  перпендикулярен всей плоскости ABD, так как, по теореме о трёх перпендикулярах,  (проекцией является прямая , которая перпендикулярна ). Таким образом,  – расстояние от точки  до плоскости ABD. – расстояние от точки  до плоскости .

interneturok.ru

Двугранный угол. Линейный угол двугранного угла

Двугранным углом называется фигура, образованная двумя не принадлежащими одной плоскости полуплоскостями, имеющими общую границу – прямую а. Полуплоскости, образующие двугранный угол, называются его гранями, а общая граница этих плоскостей – ребром двугранного угла.

В реальности мы встречаемся с предметами, которые  имеют форму двугранного угла: двускатные крыши домов, приоткрытая дверь, полураскрытая папка и т. п.

Линейным углом двугранного угла называется угол, сторонами которого являются лучи, по которым грани двугранного угла пересекаются плоскостью, перпендикулярной ребру двугранного угла.

У каждого двугранного угла сколько угодно линейных углов: через каждую точку ребра можно провести плоскость, перпендикулярную этому ребру; лучи, по которым эта плоскость пересекает грани двугранного угла, и образуют линейные углы.

Все линейные углы двугранного угла равны между собой.

Пример.

Докажем, что если равны двугранные углы, образованные плоскостью основания пирамиды КАИС и плоскостями её боковых граней, то основание перпендикуляра, проведённого из вершины К, является центром вписанной в треугольник АВС окружности.

Доказательство. Прежде всего, построим линейные углы равных двугранных углов.

По определению, плоскость линейного угла должна быть перпендикулярна ребру двухгранного угла.

Следовательно, ребро двугранного угла должно быть перпендикулярно сторонам линейного угла. Если КО перпендикуляр к плоскости основания, то можно провести ОР перпендикулярно АС, ОR перпендикулярно CB, OQ перпендикулярно  АВ, а затем соединить точки Р, Q, R с точкой К. Тем самым, мы построим проекции наклонных РК, QК, RК так, что рёбра АС, СВ, АВ перпендикулярны этим проекциям. Следовательно, эти рёбра перпендикулярны и самим наклонным. И потому плоскости треугольников РОQ, QOК, RОК перпендикулярны соответствующим рёбрам двугранного угла и образуют те равные линейные углы, о которых сказано в условии.

Прямоугольные треугольники РОК, QOК, RОК равны (так как у них общий катет ОК и равны противолежащие этому катету углы). Следовательно, ОР = ОR = OQ. Если провести окружность с центром О и радиусом ОР, то стороны треугольника АВС перпендикулярны радиусам ОР, OR, OQ, а потому являются касательными к этой окружности.

Остались вопросы? Не знаете, как доказать теорему?
Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь.
Первый урок – бесплатно!

Зарегистрироваться

© blog.tutoronline.ru, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

blog.tutoronline.ru