Егэ математика задачи на растворы – В14 егэ по математике. Текстовые задачи на сплавы, растворы

Задача на растворы.

Задание B13 (№ 99572) из  Открытого банка заданий для подготовки к ЕГЭ  по математике: 

 Смешали некоторое количество 15-процентного раствора некоторого вещества с таким же количеством 19-процентного раствора этого вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

Решение.

В задачах на сплавы и растворы используется одна единственная формула:

Подготовка к ГИА и ЕГЭ%, где

P - процентное содержание чистого вещества в сплаве или растворе,

m -  масса чистого вещества

M  - масса сплава или раствора.

Задачи на сплавы и растворы удобно решать с помощью таблицы. Порядок заполнения таблицы такой:

1. Сначала решаем, какую величину мы примем за неизвестное, и заполняем тот столбец таблицы, в котором речь идет об этой величине.

2. Заполняем тот столбец, параметры которого даны.

3. Параметры третьего столбца выражаем через параметры первых двух.

Поясню  алгоритм  решения задачи на сплавы и растворы на примере данной задачи.

1. Поскольку в условии масса  первого раствора не  указана, примем ее за х. Масса второго раствора равна массе первого и тоже равна х. После того, как растворы смешали, мы получила раствор, масса которого равна.

Начнем заполнять таблицу:

Подготовка к ГИА и ЕГЭ

2. В условии задачи дано процентное содержание вещества в каждом растворе. Внесем эти условия в соответствующий столбец таблицы:

Подготовка к ГИА и ЕГЭ

3. Параметры второго столбца, то есть массу чистого вещества выразим через параметры первых двух. Для этого воспользуемся формулой:

Подготовка к ГИА и ЕГЭ:

Подготовка к ГИА и ЕГЭ Процентное  содержание вещества в получившемся растворе равно

массе вещества: Подготовка к ГИА и ЕГЭ

разделить

на массу раствора:  Подготовка к ГИА и ЕГЭ,

и умножить на 100%

Получим:

Подготовка к ГИА и ЕГЭ%Подготовка к ГИА и ЕГЭ

%

Ответ: 17%.

Вероятно, Ваш браузер не поддерживается. Чтобы использовать тренажёр "Час ЕГЭ", попробуйте скачать
Firefox

ege-ok.ru

Решение задач на растворы

Цели урока: Рассмотреть алгоритм решения задач на растворы: познакомиться с приемами решения задач в математике и химии, рассмотреть биологическое значение воды как универсального растворителя, развить практические умения решать задачи, расширить знания учащихся о значении этих веществ в природе и деятельности человека, сформировать целостную картину о взаимосвязи предметов в школе.

Ход урока

Организационный момент

Учитель математики: Здравствуйте! Сегодня мы проводим необычный урок – урок на перекрестке наук математики и химии.

Учитель химии: Здравствуйте, ребята! Мы с вами увидим, как математические методы решения задач помогают при решении задач по химии.

А чтобы сформулировать тему урока, давайте проделаем небольшой эксперимент.

(Наливаю в 2 хим. стакана воду, добавляю в оба одинаковое количество сульфата меди.) Что получилось? (Растворы). Из чего состоит раствор? (Из растворителя и растворённого вещества). А теперь добавим в один из стаканов ещё немного сульфата меди. Что стало с окраской раствора? (Он стал более насыщенным). Следовательно, чем отличаются эти растворы? (Массовой долей вещ-ва).

Учитель математики: А с математической точки зрения – разное процентное содержание вещества.

Итак, тема урока “Решение задач на растворы”.

Цель урока: Рассмотреть алгоритм решения задач на растворы, познакомить с приемами решения задач в математике и химии, расширить знания о значении этих растворов в быту, сформировать целостную картину о взаимосвязи предметов в школе.

Девиз: “Только из союза двух работающих вместе и при помощи друг друга рождаются великие вещи” Антуан де Сент-Экзюпери.

Учитель математики: Для урока необходимо повторить понятие процента.

– Что называют процентом? (1/100 часть числа).

– Выразите в виде десятичной дроби 17%, 40%, 6%.

– Выразите в виде обыкновенной дроби 25%, 30%, 7%.

– Установите соответствие:

40% 1/4
25% 0,04
80% 0,4
4% 4/5

Одним из основных действий с процентами – нахождение % от числа.

Как найти % от числа? (% записать в виде дроби, умножить число на эту дробь.)

– Найти 10% от 30 (10%=0,1 30·0,1=3).

– Вычислите:

1) 20% от 70;
2) 6% от 20;
3) х% от 7.

Учитель химии

– Что такое раствор? (Однородная система, состоящая из частиц растворенного вещества, растворителя и продуктов их взаимодействия.)

– Приведите примеры растворов, с которыми вы встречаетесь в повседневной жизни. (уксус, нашатырный спирт, раствор марганцовки, перекись водорода и др.)

– Какое вещество чаще всего используется в качестве растворителя? (Вода)

Часто понятие “раствор” мы связываем, прежде всего, с водой, с водными растворами. Есть и другие растворы: например спиртовые раствор йода, одеколона, лекарственные настойки.

Хотя именно вода является самым распространённым соединением и “растворителем” в природе.

3/4 поверхности Земли покрыто водой.

Человек на 70% состоит из воды.

В сутки человек выделяет 3 литра воды и столько же нужно ввести в организм.

Овощи – 90% воды содержат (рекордсмены - огурцы - 98%)
Рыба 80% (рекордсмен у животных – медуза 98%)
Хлеб – 40%

Молоко – 75%

– Что такое массовая доля растворенного вещества? (Отношение массы растворенного вещества к общей массе раствора.)

– Вспомните формулу для вычисления массовой доли растворенного вещества и производные от нее (w = m (р.в.)/m (р-ра ) ; m (р.в.)= m (р-ра) · w ; m (р-ра) = m (р.в.)/ w )

– По какой формуле можно рассчитать массу раствора? (m(р-ра) = m (р.в.) + m (р-ля)).

Учитель химии предлагает решить учащимся задачу:

Задача №1. Перед посадкой семена томатов дезинфицируют 15%-ным раствором марганцовки. Сколько г марганцовки потребуется для приготовления 500 г такого раствора? (Ответ: 40 г.)

Учитель математики.

– Давайте посмотрим на эту задачу с точки зрения математики. Какое правило на проценты вы применили при решении этой задачи? (Правило нахождения процента от числа.)

15% от 500;

500·0,15=75 (г) – марганцовки.

Ответ: 75 г.

– Как видите, задачи, которые вы встречаете на химии, можно решать на уроках математики без применения химических формул.

Задачам на растворы в школьной программе уделяется очень мало времени, но эти задачи встречаются на экзаменах в 9 и 11 классах. В этом году на экзамене в 9 классе была задача на смешивание растворов, и она оценивалась в 6 баллов.

Задача №2. При смешивании 10%-го и 30%-го раствора марганцовки получают 200 г 16%-го раствора марганцовки. Сколько граммов каждого раствора взяли?

Можно ли решить эту задачу так быстро?

О чем говорится в этой задаче? (о растворах)

Что происходит с растворами? (смешивают)

Решение:

Раствор %-е содержание Масса раствора (г) Масса вещества (г)

1 раствор
2 раствор

10% = 0,1
30% = 0,3

х
200-х

0,1х
0,3(200-х)

Смесь

16% = 0,16

200

0,16 · 200

0,1х + 0,3(200-х) = 0,16 · 200
0,1х + 60 – 0,3х = 32
-0,2х = -28
х = 140
140 (г) – 10% раствора
200 – 140 = 60 (г) - 30% раствора.

Ответ: 140 г, 60 г.

Учитель математики. Рассмотрим еще один раствор – это уксусная кислота. Водный раствор уксусной кислоты, полученный из вина (5-8%) называют винным уксусом. Разбавленный (6-10%) раствор уксусной кислоты под названием “столовый уксус” используется для приготовления майонеза, маринадов и т.д. Уксусная эссенция 80% раствор. Ее нельзя применять без разбавления для приготовления пищевых продуктов. “Столовый уксус”, используют для приготовления маринадов, майонеза, салатов и других пищевых продуктов. Очень часто при приготовлении блюд под руками оказывается уксусная эссенция. Как из нее получить столовый уксус. Поможет следующая задача.

Задача №3. Какое количество воды и 80%-го раствора уксусной кислоты следует взять для того, чтобы приготовить 200 г столового уксуса (8%-ый раствор уксусной кислоты.)

Решение:

Раствор

%-е содержание

Масса раствора (г)

Масса вещества (г)

Уксусная кислота
Вода

80%=0,8
0%=0

х
200-х

0,8х
0

Смесь

8%=0,08

200

0,08 · 200

0,8х = 0,08 · 200
0,8х = 16
х = 16 : 0,8
х = 20
20 (г) – уксусной кислоты
200 – 20 = 180 (г) – воды.

Ответ: 20 г, 180 г.

Учитель химии. А сейчас мы решим экспериментальную задачу.

Приготовить 20 г 5%-го раствора поваренной соли. (Расчётная часть). Затем выполняем практическую часть. (Напомнить правила Т-Б).

2. Экспериментальная часть (Соблюдать правила техники безопасности).

  1. Уравновесить весы.
  2. Взвесить необходимое количество соли.
  3. Отмерить мерным цилиндром воду.
  4. Смешать воду и соль в стакане.

Учитель математики. Проведем проверочную работу, в которую включили задачи из сборника для подготовке к экзаменам в 9-м классе.

Проверочная работа

При смешивании 15%-го и 8% -го раствора кислоты получают 70 г 10%-го раствора кислоты. Сколько граммов каждого раствора взяли? При смешивании 15%-го и 60% -го раствора соли получают 90 г 40%-го раствора соли. Сколько граммов каждого раствора взяли?

15% = 0,15
х
0,15х

15%=0,15
х
0,15х

8% = 0,08
70 - х
0,08(70 - х)

60% = 0,6
90 - х
0,6(90 - х)
см
10% = 0,1
70
0,1 · 70

40% = 0,4
90
0,4 · 90
0,15х + 0,08(70 - х) = 0,1 · 70
0,15х + 5,6 - 0,08х = 7
0,07х = 7 - 5,6
0,07х = 1,4
х = 1,4:0,07
х = 20
20(г) – 15%-го раствора.
70 – 20 = 50 (г) - 8% раствора
Ответ: 20 гр., 50 г.
0,15х + 0,6(90 - х) = 0,4 · 90
0,15х + 54 - 0,6х = 36
-0,45х = 36 - 54
-0,45х =-18
х = 18 : 0,45
х = 40
40 (г) -15% раствора.
90 - 40 = 50 (г) - 60% раствора.
Ответ: 40 гр., 50 г.

Подведение итогов урока

Учитель химии.

– Посмотрите на содержание всех решенных сегодня задач. Что их объединяет? (Задачи на растворы.)

– Действительно, во всех задачах фигурируют водные растворы; расчеты связаны с массовой долей растворенного вещества; и если вы обратили внимание, задачи касаются разных сторон нашего быта.

Учитель математики.

– Посмотрите на эти задачи с точки зрения математики. Что их объединяет? (Задачи на проценты.)

При решении всех этих задач мы используем правило нахождения процента от числа.

Оценки за урок.

Домашнее задание.

Важное место в рационе питания человека, а особенно детей занимает молоко и молочные продукты. Решим такую задачу:

Задача №1. Какую массу молока 10%-й жирности и пломбира 30%-й жирности необходимо взять для приготовления 100 г 20%-го новогоднего коктейля?

Решение:

 

%-е содержание

Масса раствора (г)

Масса вещества (г)

Молоко
Пломбир

10% = 0,1
30% = 0,3

х
100 - х

0,1х
0,3(100 - х)

Коктейль

20% = 0,2

100

0,2 · 100

0,1х + 0,3(100-х) = 0,2 · 100
0,1х + 30 – 0,3х = 20
-0,2х = -10
х = 50
50(г) – молока
100 – 50 = 50(г) – пломбира.
Ответ:50 г молока, 50 г пломбира.

Задача №3. Для засола огурцов используют 7% водный раствор поваренной соли (хлорида натрия NaCl). Именно такой раствор в достаточной мере подавляет жизнедеятельность болезнетворных микроорганизмов и плесневого грибка, и в то же время не препятствует процессам молочнокислого брожения. Рассчитайте массу соли и массу воды для приготовления 1 кг такого раствора?

Рефлексия. (Синквейн)

Раствор
Разбавленный, водный
Растворять, смешивать, решать
Растворы широко встречаются в быту.
Смеси

Наш урок подошел к концу. Сейчас каждый из вас оставит на парте тот смайлик, какое настроение вы приобрели на уроке.

Спасибо за урок!

Процент

Лист к уроку

Презентация

urok.1sept.ru

Материал для подготовки к ЕГЭ (ГИА) по математике (11 класс) на тему: Задачи на смеси и сплавы

Слайд 1

Подготовка к ЕГЭ. Полезно знать.

Слайд 2

Задачи на смеси и сплавы Удобно решать с использованием следующих вспомогательных средств: каждая отдельная смесь (или сплав), фигурирующая в задаче, представляется в виде таблицы, в которой записывается информация о составе данной смеси.

Слайд 3

Например, дан раствор соли с общей массой 500 и концентрацией соли 40 %. Представляем такой раствор в виде таблицы: соль вода 40 % 60 % 500 Слева от таблицы записывается масса всего раствора. В левой колонке таблицы записывается информация об основном компоненте раствора (в данной задаче это соль). В первой строке таблицы записывается концентрация , во второй масса компонента. Найденная величина массы помещается во второй строке таблицы Если при решении задачи понадобятся данные о втором компоненте раствора, то они заносятся во вторую колонку таблицы 200 300 ( ). ( ; )

Слайд 4

ПРАВИЛО: При смешивании нескольких растворов складываются как общие массы растворов, так и массы компонентов этих растворов.

Слайд 5

Задача. Смешали 10%- ный и 25%- ный растворы соли и получили 3кг 20% -ного раствора. Какое количество каждого раствора (в кг) было использовано? Решение соль вода 10% х соль вода 25% соль вода 20% 3 (3 – х) = + 0,1х 0,25(3-х ) Имеем: 0,1x + 0,25(3- x) = 0,6 0,1x + 0,75 – 0,25 x = 0,6 -0,15 x = -0,15 x = 1 3 – x = 3 – 1 = 2 Ответ: 1 кг; 2 кг 0,6

Слайд 6

Задача. Сколько кг воды нужно выпарить из 0,5 т целлюлозной массы, содержащей 85% воды, чтобы получить массу с содержанием 75% воды? Решение цел-за вода 85% цел-за вода 100% - цел-за вода 75% 0,5 х = 0,5 · 0,85 = 0,425 0,425 (0,5-х) 0,75( 0,5 – x) х Имеем: 0,425 - x = 0,75( 0,5 – x) 0,425 – x = 0,375 – 0,75 x x - 0, 75 x = 0,425 – 0,375 0,25 x = 0,05 x = 0,2 Ответ: 200 кг

Слайд 7

Задача. Смешали 2л 60%- ного раствора соли с 3л 50%- ного раствора соли и к смеси добавили 1л чистой воды. Какова концентрация соли в полученной смеси? Решение соль вода 60% соль вода Х % соль вода 50% соль вода 0% 0 2 3 1 + + = = Символы «+» между таблицами показывают, что растворы смешиваются и, следовательно, соответствующие массы складываются. 1) Находим массу соли в первом растворе: 0,6 · 2 = 1,2 2) Находим массу соли во втором растворе: 0,5 · 3 = 1,5 Для каждого раствора имеем: Масса соли: 1,2 + 1,5 + 0 = общая раствора: 2 + 3 + 1 = 2,7 6 Имеем: 6 — 100% 2,7 — х% => х = 45% Ответ: 45%

Слайд 8

Задачи на «сухой остаток» Задача. В магазин привезли 100 кг клюквы, состоящей на 99% из воды. После длительного хранения и усушки содержание воды в клюкве уменьшилось до 98%. Каким стал новый вес клюквы? Решение клюква вода 99% 1% 100кг 1кг 1кг клюква вода 98% 2% 1кг — 2% X кг — 100% => х = — = 50 (кг) 100 2 Ответ: 50 кг

Слайд 9

Решение грибы вода 90% 10% 22кг 22 ∙ 0,1 = (кг ) 2,2 – масса свежих грибов без воды Задача. Свежие грибы содержат по массе 90% воды, а сухие содержат 12% воды. Сколько получится сухих грибов из 22 кг свежих грибов? грибы вода 2,2 12% 100% - 12% = сухих грибов 88% 2,2 кг — 88% X кг — 100% => х = = 2,2 ∙ 100 88 = 22 ∙ 10 88 = 10 4 = 2,5 (кг) = Ответ: 2,5 кг

Слайд 10

Решить неравенство: (х-1) (х+8) 5-х ≥ 0 Решение Нули: 1 ; -8 ; 5 х Есть промежуток, которому принадлежит число 0 На этом промежутке установим знак. При х = 0 имеем: ( -1) ( +8) х х 5 - х ≥ 0

Слайд 11

«Шутливые» законы I : Увидел сумму – делай произведение II : Увидел произведение – делай сумму III : Увидел квадрат – понижай степень Совет: Если не знаешь, с чего начать преобразование тригонометрических выражений (за что «зацепиться»), начни с этих законов. Тригонометрические выражения во многих случаях подчиняются трём «законам»:

Слайд 12

Решить уравнение: sin2x ∙ sin6x = cosx ∙ cox3x у видел произведение – делай сумму : Решение 1 2 ( cos (2x–6x) – cos (2x+6x)) = 1 2 (cos (x-3x) + cos (x+3x)) с os 4x – cos8x = cos 2x + cos4x (- ) (- ) cos4x – cos8x = cos2x + cos4x cos2x + cos8x = 0 увидел сумму – делай произведение : 2cos 2x+8 2 ∙ cos 2x-8x 2 = 0 с os5x ∙ cos(-3x) = 0 с os5x = 0 или cos3x = 0 5x = ∏ 2 + ∏k или 3x = ∏ 2 + ∏k x ∏ 10 = ∏k 5 + x = ∏ 6 ∏k + 3 (k Z) Э

Слайд 13

Решить уравнение: cos 2x + cos 3x = 1 2 2 Решение увидел квадрат – понижай степень : 1 + cos4x 2 + 1 + cos6x 2 = 1 2 0 увидел сумму – делай произведение : 2 cos 4x + 6x 2 ∙ cos 4x - 6x 2 = 0 cos5x ∙ cos(-x) = 0 5x = ∏ 2 ∏k + или cos 5 x = 0 или с os (- x )=0 x ∏ 2 ∏k + = ∏ 10 ∏k + x = 5 ∏ 10 ∏k + 5 ∏ 2 ∏k + ; Ответ: (k Z) Э

Слайд 14

Фронтальная работа ( взаимная проверка) Предложите способ решения данного тригонометрического уравнения 1)Приведение к квадратному; 2)приведение к однородному; 3)разложение на множители; 4)понижение степени; 5)преобразование суммы тригонометрических функций в произведение Вариант I Уравнение Способы решения 1 2 3 4 5 3 sin 2 x + cos 2 x=1- sinxcosx 4cos 2 x-cosx-1 =0 4sin 2 x+cos2x=1 cosx+cos3x=0 2Sinxcos5x-cos5x=0 Вариант II Уравнение Способы решения 1 2 3 4 5 2 sinxcosx – sinx=0 3cos 2 x-cos2x=1 6sin 2 x+4 sinxcosx= 1 4sin 2 x+11sinx=3 sin3x=sin17x

Слайд 15

Проверяем Вариант I Вариант II 1 2 3 4 5 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 1 2 3 4 5 1 + 2 + 3 + 4 + 5 +

Слайд 16

Экспертная работа

Слайд 19

Метод декомпозиции Исходное неравенство О.Д.З. Декомпозиция неравенства (равносильное исходному на О.Д.З.) а f(x) - a g(x) V 0 a > 0, a = 1 D ( f) D ( g) log f(x)- log g(x)V 0 a a а > 0, а = 1 f(x) > 0 g(x)>0 (a – 1)(f(x) – g(x))v 0 (a – 1)(f(x) – g(x))v 0

Слайд 20

Решить неравенство 1) О.Д.З. log x -9 x + 5x 2 2 x+2 ≤ log 1 x+2 Решение. x -9 x + 5x 2 2 > 0 x + 2 > 0 x + 2 = 1 (x – 3)(x + 3) x(x + 5) x > - 2 x = -1 x x x -5 -3 0 3 -2 -1 x Э (-2;-1) U (-1; 0) U ( 3; ∞) > 0

Слайд 21

2) log x -9 x + 5x 2 2 x+2 log 1 x+2 ≤ О.Д.З ( x + 2 – 1)( - 1) x -9 x + 5x 2 2 ≤ 0 О.Д.З (x + 1)( x(x + 5) x -9 - x - 5x ) 2 2 ≤ 0 (x + 1) ( -5x – 9) x(x + 5) ≤ 0 О.Д.З (x + 1) ( 5x + 9) x(x + 5) ≥ 0 x x -5 -1,8 -1 3 -2 0 -1 0 x Э [ -1,8 ;-1) U ( 3; ∞) Ответ: [ -1,8 ;-1) U ( 3; ∞) О.Д.З О.Д.З О.Д.З О.Д.З. log - x+2 x -9 x + 5x 2 2 log 1 x+2 ≤ 0 О.Д.З

Слайд 22

Решить неравенство - (0,5) x +3x-2 2 2x +2x-1 2 x ≤ 0 Решение. 1) О.Д.З. 5 - 1 = 0, х = 0 x 2) На О.Д.З. имеем: 2 - 2 5 - 5 2 x + 6 x- 4 2 2 x ≤ 0 1-2х-2х 0 (2 – 1)( (5 – 1)(х – 0) 2 x + 6 x - 4 - 2 2 (1 -2х-2х )) ≤ 0 2 x + 6 x - 4 - 2 2 1 + 2х + 2х ≤ 0 х 4х + 8х -5 х 2 ≤ 0 4( x - )( x + 2 ,5) x ≤ 0 0 0 x x x Э ( - ∞ ; ] U ( 0; ] 5 - 1 - 2 ,5 0,5 0,5 - 2 ,5 0,5 О.Д.З

nsportal.ru

Задачи на растворы и смеси с решениями. Для ЕГЭ.

АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НА РАСТВОРЫ И СМЕСИ

Для решения задач этого типа удобно использовать таблицу

Раствор (смесь)

Масса раствора (смеси)

1-й компонент

2-компонент

% концентрации

масса

% концентрации

масса

Примеры задач

 

  1. 1. Имеется 40 литров 0,5 % раствора и 50 литров 2% раствора уксусной кислоты. Сколько нужно взять того и другого, чтобы получить 30 литров 1,5% - го раствора уксусной кислоты.

Решение:

Раствор (смесь)

Объем (масса) раствора (смеси)

Уксусная кислота

Вода

% концентрации

масса

% концентрации

масса

1

40 л

0,5 %

2

50 л

2 %

1

х

0,5 %

0,005х

2

30-х

2 %

0,02(30-х)

3

30

1,5 %

0,015*30

 

0,005х + 0,02(30-х) = 30*0,015

х = 10 литров

Ответ: 10 литров, 20 литров.

 

  1. 2. Имеется два сосуда, содержащие 4 кг и 6 кг раствора кислоты разной концентрации. Если их слить, то получится 35 % раствор. Если слить равные массы этих растворов, то получится 36% раствор. Найти концентрацию каждого раствора?

Решение:

Раствор (смесь)

Объем (масса) раствора (смеси)

кислота

Вода

% концентрации

масса

% концентрации

масса

1

4 кг

х

4*0,01х

2

6 кг

y

6*0,01у

3

10 кг

35 %

0,35*10

4

1+1

36 %

0,36*2х

 

4*0,01х + 6*0,01у = 10*0,35

0,01х + 0,01у = 2*0,36

Ответ: 41%,  31%.

 

  1. 3. Влажность сухого цемента на складе 18 %. Во время дождей влажность повысилась на 2 %. Какова стала масса цемента, если его было 400 кг.

Решение:

Раствор (смесь)

Объем (масса) раствора (смеси)

вода

Сухое вещество

% концентрации

масса

% концентрации

масса

1

400 кг

18%

82%

400*0,82

2

х кг

20%

80%

х*0,8

 

400*0,82 = 0,8х

Ответ: 410 кг.

 

  1. 4. Из 38 тонн руды, содержащей 25% примесей, получили 30 тонн металла. Сколько процентов примесей содержит металл?

Решение:

Раствор (смесь)

Объем (масса) раствора (смеси)

примесь

Основное вещество

% концентрации

масса

% концентрации

масса

1

38 т

25%

75%

38*0,75

2

30 т

х

30*0,01х

38*0,75 = 30*0,01х

Ответ: 95% - содержание металла, 5% - содержание примесей.

 

  1. 5. В 4 кг сплава меди и олова содержится 40 % олова. Сколько кг олова надо добавить к этому сплаву, чтобы его процентное содержание было 70%?

 

Решение:

сплав

Масса сплава

медь

олово

%

масса

%

масса

1

4 кг

40%

4*0,4

2

х

100 %

х

3

4+х

70%

0,7*(4+х)

4*0,4 +х = 0,7(4+х)

Ответ: х=4

 

  1. 6. Имеется два сплава золота и серебра. В одном эти металлы находятся в отношении 2:3, в другом 3:7. Сколько нужно взять каждого сплава, чтобы получить 8 кг нового сплава, в котором эти металлы были бы в отношении 5:11?

 

Решение:

сплав

Масса сплава

золото

серебро

%

масса

%

масса

1

х

2

2/5х

3

2

8-х

3

(3/10) (8-х)

7

3

8

5

8 * 5/16

11

 

2/5x+3/10(8-x)=8*5/16

х = 1

Ответ: золота – 1 кг, серебра – 7 кг.

 

lib.repetitors.eu

решение задач на смеси, растворы и сплавы

Тип урока: урок обобщения систематизации знаний.

Цели урока:

  1. Обобщить решение задач на сплавы, растворы и смеси различными способами.
  2. Воспитывать интерес к предмету через межпредметные связи с химией, обращая внимание на аккуратность, дисциплинированность и самостоятельность.
  3. Развивать устную и письменную речь, внимание и логическое мышление.

Оборудование:

  • компьютер и проектор;
  • тексты задач на смеси, растворы и сплавы для решения в классе и дома.

Подготовка к уроку: повторение способов решения задач на смеси и сплавы.

Комментарий к уроку: использование презентации Microsoft Power Point

План урока:

  1. Оргмомент (сообщение необходимости решения задач на смеси и сплавы, связь темы урока с КИМами ЕГЭ по математике).
  2. Актуализация опорных знаний (повторение определения процента и концентрации).
  3. Закрепление материала (решение задач на смеси, растворы и сплавы разными способами).
  4. Итоги урока. Домашнее задание.

Презентация

Слайд 1: Решение задач на смеси, растворы и сплавы.

Человеку часто приходится смешивать различные жидкости, порошки, газообразные или твердые вещества, или разбавлять что-либо водой. Текстовые задачи на смеси, сплавы и растворы входят в различные сборники заданий по математике ГИА и ЕГЭ.

«Закон сохранения объема или массы»

Если два сплава (раствора) соединяют в один «новый» сплав (раствор), то V = V1 + V2 – сохраняется объем; m = m1+ m2 – сохраняется масса.

Примеры: Если сплав содержит свинец и медь в отношении 4:7, то в этом сплаве 4/11 частей от массы сплава составляет масса свинца, а 7/11- масса меди.

Немного теории. Абсолютное содержание вещества в смеси – это количество вещества, выраженное в единицах измерения (грамм, литр и др.)

Относительное содержание вещества в смеси – это отношение абсолютного содержания и общей массы (объему) смеси. Часто относительное содержание вещества в смеси называют концентрацией или процентным содержанием. Сумма концентраций всех компонентов смеси равна 1. Если имеется 40%-й раствор соли, то в этом растворе 0,4 объема занимает «чистая» соль. Значит, объемная концентрация соли в растворе равна 0,4.

Слайд 2: Задача №1

Смешивают 300г 90%-ного раствора соли 900г 30%-ного раствора той же соли. Определить содержание соли в полученном растворе.

Слайд 3: Задача №2

Какой раствор получится при смешивании 300 граммов 50%-ного раствора соли и раствора, в котором 120 граммов соли составляют 60%?

Слайд 4: Имеются сплавы золота и серебра. В одном эти металлы находятся в отношении 2: 3, а в другом в отношении 3: 7. Сколько нужно взять от каждого сплава, чтобы получить 1 кг нового, в котором золото и серебро находились бы в отношении 5: 11?

По этой схеме уравнение х + у =1 показывает массу нового сплава.

Определяем массу золота в каждом сплаве и получаем уравнение

 

Аналогично массу серебра и получаем уравнение

 

Записываем одну из систем:

 

Решая ее, получаем х = 0,125 и у = 0,875

Ответ: 125 г и 875 г.

Слайд 5: Имеются два сплава меди со свинцом. Один сплав содержит 15% меди, а другой 65%. Сколько нужно взять каждого сплава, чтобы получилось 200г сплава, содержащего 30% меди?

х = 140 и у = 60

Ответ: 140 г меди и 60 г свинца

Слайд 6: Смешали 30%-й раствор соляной кислоты с 10%-ым раствором и получили 600 г 15%-го раствора. Сколько граммов каждого раствора надо было взять?

Решение 1: Обозначим x массу первого раствора, тогда масса второго

(600 - x). Составим уравнение: 30x + 10* (600 - x) = 600 *15

x = 150           

Решение 2: Приравнивание площадей равновеликих прямоугольников: 15x = 5 (600- x)

x =150

Ответ: 150 г 30% и 450 г 10% раствора

Слайд 7: Имеется лом стали двух сортов с содержанием никеля 5% и 40%. Сколько нужно взять металла каждого из этих сортов, чтобы получить140 т стали с содержанием 30% никеля?

С использованием графика:
(приравнивание площадей равновеликих прямоугольников)

10*х = 25*(140 – х)

х = 100

140 – 100 = 40

Ответ: 100 т и 40 т

Слайд 8: Имеется два кислотных раствора: один 20%, другой 30%. Взяли 0,5 л первого и 1,5 л второго раствора и образовали новый раствор. Какова концентрация кислоты в новом растворе?

Так как первый раствор 20 % - й, то в нем 0,2 объема занимает «чистая» кислота. Так как объем первого раствора равен 0,5л, то в этом количестве содержится 0,2*0,5=0,1 л «чистой» кислоты.

Аналогично во втором растворе будет содержаться 0,3*1,5=0,45л «чистой» кислоты.

При смешивании обоих растворов получим 0,5+1,5=2л кислотного раствора, в котором 0,1+0,45=0,55л «чистой» кислоты.

Отсюда следует, что концентрация кислоты в новом растворе есть отношение 0,55:2=0,275, т.е.27,5%. Ответ: концентрация кислоты в новом растворе 27,5%

Слайд 9: Имеется руда из двух пластов с содержанием меди 6% и 11%. Сколько «бедной» руды надо взять, чтобы получить при смешивании с «богатой» 20 т руды с содержанием меди 8%?

Аналитическая модель:

Переведем проценты в дроби: 6%=0,06; 11%=0,11; 8%=0,08

Пусть надо взять х т «бедной» руды, которая будет содержать 0,06х т меди, а «богатой» руды надо взять (20-х) т, которая будет содержать 0,11(20 - х) т меди.

Так как получившиеся 20 т руды будут содержать 20*0,08 т меди, то получим уравнение:

0,06х + 0,11(20 - х) = 20*0,08.

Решив уравнение, получим х = 12.

Ответ: 12т руды с 6% содержанием меди

Слайд 10: Старинный способ решения задач на смешивание двух веществ

У некоторого человека были на продажу масла двух сортов: одно ценою 10 гривен за ведро, другое же 6 гривен за ведро. Захотелось ему сделать из этих двух масел, смешав их, масло ценою 7 гривен за ведро. Какие части этих двух масел нужно взять, чтобы получить ведро масла ценою 7 гривен?

Из схемы делаем заключение, что дешевого масла нужно взять втрое больше, чем дорогого, т.е. для получения одного ведра ценою 7 гривен нужно взять дорогого масла 1/4 ведра, а дешевого масла 3/4.

Слайд 11: Способ Л.Ф.Магницкого для трех веществ

Некто имеет чай трех сортов – цейлонский по 5 гривен за фунт, индийский по 8 гривен за фунт и китайский по 12 гривен за фунт. В каких долях нужно смешать эти сорта, чтобы получить чай стоимостью 6 гривен за фунт?

Взять 6+2=8 частей чая ценой по 5 гривен и по одной части ценой 8 гривен и 12 гривен за один фунт. Возьмем 8/10 фунта чая ценой по 5 гривен за фунт и по1/10 фунта чая ценой 8 и 12 гривен за фунт, то получим 1 фунт чая ценой 8/10*5 + 1/10*8 + 1/10*12 = 6 гривен

Слайд 12: Сплавили два слитка серебра: 75 г 600-й и 150 г 864-й пробы. Определить пробу сплава.

Пусть проба сплава равна х. Составим диагональную схему:

Получаем: (864 – х): (х – 600) = 75: 150

1728 – 2х = х – 600

х = 776.

Ответ: сплав 776-й пробы.

Слайд 13: «Правило креста»

При решении задач на смешивание растворов разных концентраций используется «правило креста». В точке пересечения двух прямых обозначают концентрацию смеси. У концов этих прямых слева от точки пересечения указывают концентрации составных частей смеси, а справа – разности концентраций смеси и ее составных частей:

Например, для приготовления 30 г 80%-го раствора h4PO4 требуется взять 20 г 90%-го и 10 г 60%-го растворов кислоты.

Слайд 14: От двух кусков сплава с массами 3 кг и 2 кг и с концентрацией меди 0,6 и 0,8 отрезали по куску равной массы. Каждый из отрезанных кусков сплавлен с остатком другого куска, после чего концентрация меди в обоих сплавах стала одинаковой. Какова масса каждого из отрезанных кусков?

Обозначим массу отрезанного куска х (кг). Так как в обоих сплавах концентрация меди после двух операция стала одинаковой, то массы сплавов и массы меди в этих сплавах пропорциональны. Первоначально массы меди в сплавах равны 0,6*3(кг) и 0,8*2(кг). После того, как отрезали куски массой х(кг), содержание меди стало 0,6(3-х) и 0,8(2-х), а после сплавления

0,6(3-х) + 0,8х и 0,8(2-х) +0,6х

х = 1,2

Ответ: 1,2 кг

Слайд 15: Латунь – сплав меди и цинка. Кусок латуни содержит меди на 11 кг больше, чем цинка. Этот кусок латуни сплавили с 12 кг меди и получили латунь, в котором 75% меди. Сколько килограммов меди было в куске латуни первоначально?

Обозначим искомую величину за х. Тогда масса первоначального куска латуни 2х – 11, а его

содержание меди составляет  процентов. Поскольку «медность» куска меди 100%, то по правилу квадрата получаем:

Слайд 16: В бидон налили 4л молока трехпроцентной жирности и 6л молока шестипроцентной жирности. Сколько процентов составляет жирность молока в бидоне?

Обозначим искомую величину за х.

По правилу квадрата получим: Составим пропорцию:

Слайд 17: Тренировочные варианты ЕГЭ - 2009 и задачи на смеси и сплавы (для самостоятельной работы)

1. Сплавили 2кг сплава цинка и меди, содержащего 20% цинка, и 6кг сплава цинка и меди, содержащего 40% цинка. Найдите процентную концентрацию меди в получившемся сплаве. Ответ: 65% меди в новом сплаве.

2. Для приготовления маринада необходим 2%-ый раствор уксуса. Сколько нужно добавить воды в 100г 9%-го раствора уксуса, чтобы получить раствор для маринада? Ответ: 350 г воды

Слайд 18:

«Только из союза двоих, работающих вместе и при помощи друг друга, рождаются великие вещи».
Антуан Де Сент-Экзюпери

При единении и малое растет, при раздоре и величайшее распадается.
Саллюстий Гай Крисп

Домашнее задание:

Морская вода содержит 5% соли по массе. Сколько пресной воды нужно добавить к 30 кг морской воды, чтобы концентрация соли составляла 1,5%?

urok.1sept.ru

Решение задачи на растворы

Я уже объясняла принцип решения задач на растворы здесь. В этой статье я приведу пример решения чуть более сложной задачи.

Решим задачу: из  Открытого банка заданий для подготовки к ЕГЭ  по математике:

Задание B13 (№ 99577)

Смешав 30-процентный и 60-процентный растворы кислоты и добавив 10 кг чистой воды, получили 36-процентный раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50-процентного раствора той же кислоты, то получили бы 41-процентный раствор кислоты. Сколько килограммов 30-процентного раствора использовали для получения смеси?

Вспомним, что процентное содержание выражается формулой:  P= {m/{M}}*100%  . В этой формуле

Р - процентное содержание;

m - масса чистого вещества;

M - масса раствора или сплава.

Тогда m={P*M}/100  

Чтобы решить эту задачу, составим таблицу:

m={P*M}/100  Поскольку в задаче не дана масса каждого раствора, примем массу первого раствора за x  , а второго за y, и, исходя из этого, найдем массу чистого вещества в каждом растворе:

yТеперь будем заносить в таблицу все действия, которые описаны в условии задачи. По условию в раствор добавили 10 кг чистой воды. При этом масса раствора увеличилась на 10 кг, а масса чистого вещества не изменилась. В результате получили 36-процентный раствор кислоты:

y

Теперь у нас достаточно данных, чтобы составить первое уравнение системы. (Поскольку у нас две неизвестных величины, мы должны составить два уравнения.)

{{0,3x+0,6y}/{x+y+10}}*100=36

Читаем условие дальше:

Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50-процентного раствора той же кислоты...Добавляем в таблицу эти данные:

{{0,3x+0,6y}/{x+y+10}}*100=36

то получили бы 41-процентный раствор кислоты:

{{0,3x+0,6y}/{x+y+10}}*100=36 Можем записать второе  уравнение системы:

{{0,3x+0,6y+5}/{x+y+10}}*100=41

Получили систему уравнений:

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{{{0,3x+0,6y}/{x+y+10}}*100=36} {{{0,3x+0,6y+5}/{x+y+10}}*100=41} }}{ }

Решим ее.

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{30x+60y=36x+36y+360} {30x+60y+500=41x+41y+410} }}{ }

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{-6x+24y=360} {-11x+19y=-90} }}{ }

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{-x+4y=60} {-11x+19y=-90} }}{ }

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{x=4y-60} {-11(4y-60)+19y=-90} }}{ }

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{x=4y-60} {-11(4y-60)+19y=-90} }}{ }

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{x=4y-60} {y=30} }}{ }

В ответе нужно записать, сколько килограммов 30-процентного раствора использовали для получения смеси, то есть х.

x=4y-60=60

Ответ: 60.

 

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

ege-ok.ru

Подготовка к ГИА: задачи на "концентрацию" веществ

1. Все рассматриваемые смеси (сплавы, растворы) однородны.

2. Не делается  различия  между литром как единицей емкости и литром как единицей массы.

Если смесь (сплав, раствор) массы m состоит из веществ А, В, С  (которые имеют массы соответственно а, в, с) то величина  (соответственно , ) называется концентрацией  вещества  А (соответственно В, С ).
Величина  * 100% (соответственно  * 100%, * 100%) называется процентным содержанием вещества А (соответственно В, С).           +  +  = 1.

При составлении уравнения обычно прослеживают содержание какого-нибудь одного вещества из тех, которые смешиваются ( сплавляются и т. п. ).
В задачах на составление уравнений  и неравенств полезным оказываются всевозможные таблицы, диаграммы и схемы. Это необходимо, как чертеж при решении геометрической задачи. Оформление первого этапа математического моделирования задач на «смеси и сплавы» в виде таблиц способствует  более глубокому пониманию процесса решения такого типа задач. Практически для всех  рассмотренных задач удалось составить таблицу.  Рассмотрим примеры типовых задач ГИА.

Имеется 200г 30%-го раствора  уксусной кислоты. Сколько г воды нужно добавить к этому раствору,  чтобы получить 6%-ный раствор уксусной кислоты?

Решение.

х г воды надо добавить к раствору.

  Процентное содержание кислоты Вес раствора, г Вес кислоты, г
Данный раствор 30% 200 200 * 0,3
Новый раствор 6% 200 + х 0,06(200 + х)

0,06(200 + х) = 60,
200 + х = 1000,
х = 800.  800г воды надо добавить.

Ответ: 800г.

Сколько г сахарного сиропа, концентрация которого 25%, надо добавить к 200 г воды, чтобы в полученном растворе содержание сахара составляло 5%.

Решение.

  Процентное содержание сахара Вес раствора, г Вес сахара, г
Сироп 25% х 0,25х
Новый раствор 5% 200 + х 0,05(200 + х)

0,25х = 0,05(200 + х),
5х = 200  х,
4х = 200,
х = 50.  50г сиропа надо добавить.

Ответ: 50г.

Сколько  г  15%-ного раствора соли надо добавить к 50 г 60%-ного раствора соли, чтобы получить 40%-ный раствор соли.

Решение.

  Процентное содержание соли Вес раствора, г Вес соли, г
Первый раствор 15% х 0,15х
Второй раствор 60% 50 0,6 * 50
Смесь 40% х + 50 0,4(х + 50)

0,4(х + 50) = 0,15х + 30,
0,4х + 20 = 0,15х + 30,
0,25х = 10,
х = 40.                     40 г 15%-ного раствора соли надо добавить.

Ответ: 40г.

Имеются два сосуда, содержащих 4 кг и 6 кг раствора кислоты разных концентраций. Если их слить вместе, то получится раствор, содержащий 35% кислоты. Если же слить равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 36% кислоты. Сколько кг кислоты содержится в каждом сосуде?

Решение.

Первая ситуация.

  Процентное содержание  кислоты Вес раствора, кг Вес кислоты, кг
Первый раствор х% 4 0,01х * 4
Второй раствор у% 6 0,01у * 6
Смесь 35% 10 0,35 * 10

0,04х + 0,06у = 3,5.

Вторая ситуация.

  Процентное содержание кислоты Вес раствора, кг Вес кислоты, кг
Первый раствор х% m 0,01 хm
Второй раствор у% m 0,01 уm
Смесь 36% 2m 0,36 * 2m

0,01хm + 0,01уm = 0,72m,
0,01х + 0,01у = 0,72.
Решая систему из составленных уравнений, получаем
х = 41       и      у = 31.                     0,41 * 4 = 1,64(кг) в первом сосуде.
0,31 * 6 = 1,86(кг) во втором сосуде.

Ответ: 1,64 кг.   1,86 кг.

В первом сплаве содержится 25% меди, а во втором –  45%. В  каком  отношении надо взять первый и второй сплавы, чтобы получить из них новый сплав, содержащий 30% меди?

Решение.

  Процентное содержание меди Вес сплава Вес меди
Первый сплав 25% х 0,25х
Второй сплав 45% у 0.45у
Новый сплав 30% х+у 0,3(х + у)

0,25х + 0,45у = 0,3(х + у),
– 0,05х = – 0,15у,
х = 3у.          х : у = 3 : 1.

Ответ:  3 : 1.

В куске сплава меди и цинка количество меди увеличили на 40%, а количество цинка уменьшили на 40%. В результате общая масса куска сплава увеличилась на 20%. Определите  процентное содержание меди и цинка в первоначальном куске сплава.

Решение.

  Вес меди Вес цинка Вес сплава
Данный сплав х у х + у
Новый сплав х + 0,4х у – 0,4у 1,2(х + у)

1,4х + 0,6у = 1,2(х + у),
0,2х = 0,6у,
х = 3у,
х : у = 3 : 1.               
100 : 4 * 3 = 75(%),
100 – 75 = 25(%).

Ответ: 25%, 75%.

Сплав золота с серебром, содержащий 80 г золота, сплавлен со 100 г чистого золота. В результате содержание золота в сплаве повысилось по сравнению с первоначальным на 20%. Сколько серебра в сплаве?

Решение.

  Вес золота, кг Вес серебра, кг Вес сплава, кг Процентное содержание золота
Данный сплав 80 х 80 + х   * 100
Новый сплав 180 х 180 + х * 100

 –  = 20,
х = 120.

120 кг серебра в сплаве. 

Ответ: 120 кг.

Литература.

1. М.Н. Кочагина ,  В.В.Кочагин.   Математика: 9 класс: Подготовка к « малому ЕГЭ», Москва. Эксмо, 2008.
2. Л.В.Кузнецова и др.  Алгебра: сборник заданий для подготовки к государственной итоговой аттестации. Москва. «Просвещение». 2011.
3. Учебно-методическое  пособие под редакцией  Ф.Ф. Лысенко.  Алгебра 9 класс. Подготовка к итоговой аттестации.  Ростов-на-Дону, 2010.
4. В.Н.Литвиненко,  А.Г. Мордкович.  Практикум по элементарной математике. Москва. «Просвещение». 1991.

Приложение 1

urok.1sept.ru

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

2015-2019 © Игровая комната «Волшебный лес», Челябинск
тел.:+7 351 724-05-51, +7 351 777-22-55 игровая комната челябинск, праздник детям челябинск