Строгие и нестрогие неравенства

Например, неравенство \(x>4\) – строгое. В нем решениями будут только значения больше четверки. При этом сама четверка решением не будет! Действительно, если мы подставим в неравенство вместо икса число \(4\), получим неверное числовое неравенство \(4>4\).
То есть, в строгих неравенствах не допускается равенство правой и левой части. Поэтому они и называются строгими. Оформление решения таких неравенств показано ниже: граничная точка (в нашем случае четверка) на числовой оси не закрашена (еще говорят «выколота»), а в записи промежутка на этом значении переменной стоит круглая скобка «(».

\(x>4\)

Ответ: \(x \:  ϵ \: (4;+∞)\)

Нестрогие – это неравенства со знаками сравнения \(≥\) (больше или равно) или \(≤\) (меньше или равно).

Само название знаков сравнения уже подразумевает, что здесь равенство левой и правой части допускается, и значение икса, приводящее к такому результату, решением будет.
Например

, неравенство \(x≥4\) – нестрогое. И в нем решением являются не только значения больше четырех, но и сама четверка тоже. Действительно, подставив вместо икса \(4\), получим верное числовое неравенство \(4≥4\) (потому что четверка и в самом деле равна четверке).
При записи решения таких неравенств граничную точку на числовой оси закрашивают, а при записи промежутка скобку  на этом значении пишут не круглую, а прямоугольную «[».

\(x≥4\)

Ответ: \(x\:  ϵ\:  [4;+∞)\)

Простейшие неравенства | Алгебра

Простейшие линейные неравенства — это неравенства вида x>a; x≥a; x<a; x≤a.

Решение простейшего линейного неравенства можно изобразить на числовой прямой в виде числового промежутка и записать в виде интервала.

Неравенства бывают строгие и нестрогие.

Строгие неравенства — это неравенства со знаками больше (>) или меньше (<).

Нестрогие неравенства

— это неравенства со знаками больше либо равно(≥) или меньше либо равно(≤).

При изображении на числовой прямой решения строгого неравенства точку выкалываем (она рисуется пустой внутри), точку из нестрогого неравенства закрашиваем (для запоминания можно использовать ассоциацию).

Числовой промежуток, соответствующий решению неравенства x<a или x≤a находится слева от точки a (штриховка идет от точки a влево, к минус бесконечности).

Числовой промежуток — решение неравенства x>a или x≥a — лежит справа от точки a (штриховка идет от точки a вправо, на плюс бесконечность) (для запоминания можно использовать ассоциацию).

Скобка, соответствующая точке a строгого неравенства x>a или x<a — круглая.

В нестрогом неравенстве x≥a или x≤a точка a — с квадратной скобкой.

Бесконечность и минус бесконечность в любом неравенстве всегда записываются с круглой скобкой.

Если обе скобки в записи круглые, числовой промежуток называется открытым. Концы открытого промежутка не являются решением неравенства и не включаются в ответ.

Конец промежутка с квадратной скобкой включается в ответ.

Запись промежутка всегда ведётся слева направо, от меньшего — к большему.

Решение простейших линейных неравенств схематически можно представить в виде схемы:

Рассмотрим примеры решения простейших линейных неравенств.

   

Читают: «икс больше двенадцати».

Решение:

Неравенство нестрогое, на числовой прямой 12 изображаем выколотой точкой.

К знаку неравенства мысленно пририсовываем стрелочку: —>. Стрелочка указывает, что от 12 штриховка уходит вправо, к плюс бесконечности:

Так как неравенство строгое и точка x=12 выколотая, в ответ 12 записываем с круглой скобкой.

Ответ:

   

Читают: «икс принадлежит открытому промежутку от двенадцати до бесконечности».

   

Читают: «икс больше минус трёх целых семи десятых»

Решение:

Неравенство нестрогое, поэтому -3,7 на числовой прямой изображаем закрашенной точкой. Мысленно пририсовываем к знаку неравенства стрелочку: —≥. Стрелочка направлена вправо, поэтому штриховка от -3,7 идёт вправо, на бесконечность:

Так как неравенство нестрогое и точка x= -3,7 закрашенная, -3,7 в ответ записываем с квадратной скобкой.

Ответ:

   

Читают: «икс принадлежит промежутку от минус трёх целых семи десятых до бесконечности, включая минус три целых семь десятых».

   

Читают: «икс меньше нуля целых двух десятых» (или «икс меньше чем нуль целых две десятых»).

Решение:

Неравенство строгое, 0,2 на числовой прямой изображаем выколотой точкой. К знаку неравенства мысленно пририсовываем стрелочку: <—. Стрелочка подсказывает, что от 0,2 штриховка уходит влево, к минус бесконечности:

Неравенство строгое, точка выколотая, 0,2 — с круглой скобкой.

Ответ:

   

Читают: «икс принадлежит открытому промежутку от минус бесконечности до нуля целых двух десятых».

   

Читают: «икс меньше либо равен пяти».

Решение:

Неравенство нестрогое, на числовой прямой 5 изображаем закрашенной точкой. К знаку неравенства мысленно пририсовываем стрелочку: ≤—. Направление штриховки — влево, к минус бесконечности:

Неравенство нестрогое, точка закрашенная, 5 — с квадратной скобкой.

Ответ:

   

Читают: «икс принадлежит промежутку от минус бесконечности до пяти, включая пять».

Неравенство — Википедия

Нера́венство в математике — отношение, связывающее два числа или иных математических объекта с помощью одного из перечисленных ниже знаков^[1].

Область допустимых решений («feasible region») в задачах линейного программирования

Строгие неравенства

Неравенства a>b{\displaystyle a>b} и b<a{\displaystyle b<a} равносильны. Говорят, что знаки >{\displaystyle >} и <{\displaystyle <} противоположны; например, выражение «знак неравенства сменился на противоположный» означает, что <{\displaystyle <} заменено на >{\displaystyle >} или наоборот.

Нестрогие неравенства

Русскоязычная традиция начертания знаков ⩽{\displaystyle \leqslant } и ⩾{\displaystyle \geqslant } отличается от принятой за рубежом, где обычно используются знаки ≤{\displaystyle \leq } и ≥{\displaystyle \geq }. Про знаки ⩽{\displaystyle \leqslant } и ⩾{\displaystyle \geqslant } также говорят, что они противоположны.

Другие типы неравенств

Далее в данной статье, если не оговорено иное, понятие неравенства относится к первым 4 типам.

В элементарной математике изучают числовые неравенства. В общей алгебре, анализе, геометрии рассматриваются неравенства также и между объектами нечисловой природы.

Неравенства с одинаковыми знаками называются одноимёнными (иногда используется термин «одного смысла» или «одинакового смысла»).

Допускается двойное или даже многократное неравенство, объединяющее несколько неравенств в одно. Пример:

a<b<c{\displaystyle a<b<c} — это краткая запись пары неравенств: a<b{\displaystyle a<b} и b<c.{\displaystyle b<c.}

Числовые неравенства содержат вещественные числа (для комплексных чисел сравнение на больше-меньше не определено) и могут содержать также символы неизвестных (x,y,…).{\displaystyle (x,y,\dots ).} Числовые неравенства, содержащие неизвестные величины, подразделяются (аналогично уравнениям) на алгебраические и трансцендентные. Алгебраические неравенства, в свою очередь, подразделяются на неравенства первой степени, второй степени и так далее. Например, неравенство 18x<414{\displaystyle 18x<414} — алгебраическое первой степени, неравенство 2×3−7x+6>0{\displaystyle 2x^{3}-7x+6>0} — алгебраическое третьей степени, неравенство 2x>x+4{\displaystyle 2^{x}>x+4} — трансцендентное

[2].

Свойства[править | править код]

Свойства числовых неравенств в некоторых отношениях близки к свойствам уравнений^[1]:

• К обеим частям неравенства можно прибавить одно и то же число.
• От обеих частей неравенства можно отнять одно и то же число. Следствие: как и для уравнений, любой член неравенства можно перенести в другую часть с противоположным знаком. Например, из a+b<c{\displaystyle a+b<c} следует, что a<c−b.{\displaystyle a<c-b.}
• Обе части неравенства можно умножить на одно и то же положительное число.
• Одноимённые неравенства можно складывать: если, например, a<b{\displaystyle a<b} и c<d,{\displaystyle c<d,} то a+c<b+d.{\displaystyle a+c<b+d.} Неравенства с противоположными знаками можно аналогично почленно вычитать.
• Если все четыре части двух неравенств положительны, то неравенства можно перемножить.
• Если обе части неравенства положительны, то их можно возвести в одну и ту же (натуральную) степень, а также логарифмировать с любым основанием (если основание логарифма меньше 1, то знак неравенства надо изменить на противоположный).

Другие свойства

• (Транзитивность) Если a<b{\displaystyle a<b} и b<c,{\displaystyle b<c,} то a<c{\displaystyle a<c} и аналогично для прочих знаков.
• Если обе части неравенства умножить на одно и то же отрицательное число, то знак неравенства изменится на противоположный: больше на меньше, больше или равно на меньше или равно и т. д.

Решение неравенств[править | править код]

Если неравенство содержит символы неизвестных, то решение его означает выяснение вопроса, при каких значениях неизвестных неравенство выполняется. Примеры:

x2<4{\displaystyle x^{2}<4} выполняется при −2<x<2.{\displaystyle -2<x<2.}

x2>4{\displaystyle x^{2}>4} выполняется, если либо x>2,{\displaystyle x>2,} либо x<−2.{\displaystyle x<-2.}

x2<−4{\displaystyle x^{2}<-4} не выполняется никогда (решений нет).

x2>−4{\displaystyle x^{2}>-4} выполняется при всех x{\displaystyle x} (тождество).

Внимание: если возвести в чётную степень неравенство, содержащее неизвестные, могут появиться «лишние» решения. Пример: если неравенство x>3{\displaystyle x>3} возвести в квадрат: x2>9,{\displaystyle x^{2}>9,} то появится ошибочное решение x<−3,{\displaystyle x<-3,} не удовлетворяющее исходному неравенству. Поэтому все полученные таким образом решения следует проверить подстановкой в исходное неравенство.

Неравенства первой степени[править | править код]

Неравенство первой степени имеет общий формат: ax>b{\displaystyle ax>b} или ax<b,{\displaystyle ax<b,} где a≠0{\displaystyle a\neq 0} (работа со знаками ⩾{\displaystyle \geqslant } и ⩽{\displaystyle \leqslant } аналогична). Чтобы его решить, разделите неравенство на a{\displaystyle a} и, если a<0,{\displaystyle a<0,} измените знак неравенства на противоположный^[3]. Пример:

5x−11>8x+1.{\displaystyle 5x-11>8x+1.} Приведём подобные члены: −3x>12,{\displaystyle -3x>12,} или x<−4.{\displaystyle x<-4.}

Системы неравенств первой степени[править | править код]

Если одно и то же неизвестное входит более чем в одно неравенство, надо решить каждое неравенство в отдельности и затем сопоставить эти решения, которые должны выполняться все вместе.

Пример 1. Из системы {4x−3>5x−52x+4<8x{\displaystyle {\begin{cases}4x-3>5x-5\\2x+4<8x\end{cases}}} получаем два решения: для первого неравенства x<2,{\displaystyle x<2,} для второго: x>23.{\displaystyle x>{2 \over 3}.} Соединяя их, получаем ответ: 23<x<2.{\displaystyle {2 \over 3}<x<2.}

Пример 2. {2x−3>3x−52x+4>8x{\displaystyle {\begin{cases}2x-3>3x-5\\2x+4>8x\end{cases}}} Решения: x<2{\displaystyle x<2} и x<23.{\displaystyle x<{2 \over 3}.} Второе решение поглощает первое, так что ответ: x<23.{\displaystyle x<{2 \over 3}.}

Пример 3. {2x−3<3x−52x+4>8x{\displaystyle {\begin{cases}2x-3<3x-5\\2x+4>8x\end{cases}}} Решения: x>2{\displaystyle x>2} и x<23,{\displaystyle x<{2 \over 3},} они несовместимы, поэтому исходная система не имеет решений.

Неравенства второй степени[править | править код]

Общий вид неравенства второй степени (называемого также квадратным неравенством):

x2+px+q>0{\displaystyle x^{2}+px+q>0} или x2+px+q<0.{\displaystyle x^{2}+px+q<0.}

Если квадратное уравнение x2+px+q=0{\displaystyle x^{2}+px+q=0} имеет вещественные корни x1,x2,{\displaystyle x_{1},x_{2},} то неравенство можно привести к виду соответственно:

(x−x1)(x−x2)>0{\displaystyle (x-x_{1})(x-x_{2})>0} или (x−x1)(x−x2)<0.{\displaystyle (x-x_{1})(x-x_{2})<0.}

В первом случае x−x1{\displaystyle x-x_{1}} и x−x2{\displaystyle x-x_{2}} должны иметь одинаковые знаки, во втором — разные. Для окончательного ответа надо применить следующее простое правило^[4].

Квадратный трёхчлен x2+px+q{\displaystyle x^{2}+px+q} с разными вещественными корнями отрицателен в интервале между корнями и положителен вне этого интервала.

Если оказалось, что у уравнения x2+px+q=0{\displaystyle x^{2}+px+q=0} вещественных корней нет, то его левая часть сохраняет один и тот же знак при всех x.{\displaystyle x.} Поэтому исходное неравенство второй степени либо является тождеством, либо не имеет решений (см. ниже примеры^[5]).

Пример 1. −2×2+14x−20>0.{\displaystyle -2x^{2}+14x-20>0.} Разделив на −2,{\displaystyle -2,} приведём неравенство к виду: x2−7x+10<0.{\displaystyle x^{2}-7x+10<0.} Решив квадратное уравнение x2−7x+10=0,{\displaystyle x^{2}-7x+10=0,} получаем корни x1=2;x2=5,{\displaystyle x_{1}=2;x_{2}=5,} поэтому исходное неравенство равносильно такому: (x−2)(x−5)<0.{\displaystyle (x-2)(x-5)<0.} Согласно приведенному выше правилу, 2<x<5,{\displaystyle 2<x<5,} что и является ответом.

Пример 2. −2×2+14x−20<0.{\displaystyle -2x^{2}+14x-20<0.} Аналогично получаем, что x−2{\displaystyle x-2} и x−5{\displaystyle x-5} имеют одинаковые знаки, то есть, согласно правилу, либо x<2,{\displaystyle x<2,} либо x>5.{\displaystyle x>5.}

Пример 3. x2+6x+15>0.{\displaystyle x^{2}+6x+15>0.} Уравнение x2+6x+15=0{\displaystyle x^{2}+6x+15=0} не имеет вещественных корней, поэтому левая часть его сохраняет знак при всех x.{\displaystyle x.} При x=0{\displaystyle x=0} левая часть положительна, поэтому исходное неравенство есть тождество (верно при всех x{\displaystyle x}).

Пример 4. x2+6x+15<0.{\displaystyle x^{2}+6x+15<0.} Как и в предыдущем примере, здесь левая часть всегда положительна, поэтому неравенство не имеет решений.

Аналогично, разложением на множители, можно решать неравенства высших степеней. Другой способ — построить график левой части и определить, какие знаки она имеет в различных интервалах^[6].

Прочие неравенства[править | править код]

Существуют также дробно-рациональные, иррациональные, логарифмические и тригонометрические неравенства.

Ниже приведены практически полезные неравенства, тождественно выполняющиеся, если неизвестные попадают в указанные границы^[7].

(1+x)n⩾1+nx,{\displaystyle (1+x)^{n}\geqslant 1+nx,} где x⩾−1,n{\displaystyle x\geqslant -1,n} — натуральное число.

|a+b|⩽|a|+|b|{\displaystyle |a+b|\leqslant |a|+|b|}

См. следствия этого неравенства в статье Абсолютная величина.

Знаки неравенства в языках программирования[править | править код]

Символ «не равно» в разных языках программирования записывается по-разному.

Символ	Языки
!=	C, C++, C#, Java, JavaScript, Perl, PHP, Python, Wolfram Language
<>	Basic, Pascal
~=	Lua
/=	Haskell, Fortran, Ada
#	Modula-2, Oberon

1. ↑ ^{1 2} Неравенства // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1982. — Т. 3. — С. 999.
2. ↑ Справочник по элементарной математике, 1978, с. 177.
3. ↑ Справочник по элементарной математике, 1978, с. 178.
4. ↑ Элементарная математика, 1976, с. 217—222.
5. ↑ Справочник по элементарной математике, 1978, с. 180—181.
6. ↑ Элементарная математика, 1976, с. 212—213, 219—222.
7. ↑ Справочник по элементарной математике, 1978, с. 174—176.

• Беккенбах Э. Ф. Неравенства. — М.: Мир, 1965.
• Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. — М.: Наука, 1978.
• Зайцев В. В., Рыжков В. В., Сканави М. И. Элементарная математика. Повторительный курс. — Издание третье, стереотипное. — М.: Наука, 1976. — 591 с.
• Харди Г. Г., Литлвуд Д. И., Полиа Д. Неравенства. — М.: Иностранная литература, 1948.

Плюс (+) Минус (−) Знак умножения (· или ×) Знак деления (: или /) Обелюс (÷) Знак корня (√) Факториал (!) Знак интеграла (∫) Набла (∇) Знак равенства (=, ≈, ≡ и др.) Знаки неравенства (≠, >, < и др.) Пропорциональность (∝) Скобки (( ), [ ], ⌈ ⌉, ⌊ ⌋, { }, ⟨ ⟩) Вертикальная черта (|) Косая черта, слеш (/) Обратная косая черта, бэкслеш (\) Знак бесконечности (∞) Знак градуса (°) Штрих (′, ″, ‴, ⁗) Звёздочка (*) Процент (%) Промилле (‰) Тильда (~) Карет (^) Циркумфлекс (ˆ) Плюс-минус (±) Знак минус-плюс (∓)

Знак неравенства. Строгие и нестрогие неравенства

Неравенства и их знаки

Знаки «>» были введены английским астрономом, математиком, этнографом и переводчиком Томасом Хэрриотом (1560-1621) в 1631 году, а знаки «» предложил английский математик, один из предшественников математического анализа Джон Валлис (1616-1703) в 1670 году.

Запись означает, что меньше .

Запись означает, что больше .

Запись означает, что меньше или равно .

Запись означает, что больше или равно .

Если , то точка, изображающая число на координатной прямой, лежит правее точки, изображающей число (рис. 1).

Если , то точка, изображающая число на координатной прямой, лежит левее точки, изображающей число (рис. 2).

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Строгое неравенство Википедия

Нера́венство в математике — отношение, связывающее два числа или иных математических объекта с помощью одного из перечисленных ниже знаков^[1].

Область допустимых решений («feasible region») в задачах линейного программирования

Строгие неравенства

Неравенства a>b{\displaystyle a>b} и b<a{\displaystyle b<a} равносильны. Говорят, что знаки >{\displaystyle >} и <{\displaystyle <} противоположны; например, выражение «знак неравенства сменился на противоположный» означает, что <{\displaystyle <} заменено на >{\displaystyle >} или наоборот.

Нестрогие неравенства

Русскоязычная традиция начертания знаков ⩽{\displaystyle \leqslant } и ⩾{\displaystyle \geqslant } отличается от принятой за рубежом, где обычно используются знаки ≤{\displaystyle \leq } и ≥{\displaystyle \geq }. Про знаки ⩽{\displaystyle \leqslant } и ⩾{\displaystyle \geqslant } также говорят, что они противоположны.

Другие типы неравенств

Далее в данной статье, если не оговорено иное, понятие неравенства относится к первым 4 типам.

В элементарной математике изучают числовые неравенства. В общей алгебре, анализе, геометрии рассматриваются неравенства также и между объектами нечисловой природы.

Связанные определения

Неравенства с одинаковыми знаками называются одноимёнными (иногда используется термин «одного смысла» или «одинакового смысла»).

Допускается двойное или даже многократное неравенство, объединяющее несколько неравенств в одно. Пример:

a<b<c{\displaystyle a<b<c} — это краткая запись пары неравенств: a<b{\displaystyle a<b} и b<c.{\displaystyle b<c.}

Числовые неравенства

Числовые неравенства содержат вещественные числа (для комплексных чисел сравнение на больше-меньше не определено) и могут содержать также символы неизвестных (x,y,…).{\displaystyle (x,y,\dots ).} Числовые неравенства, содержащие неизвестные величины, подразделяются (аналогично уравнениям) на алгебраические и трансцендентные. Алгебраические неравенства, в свою очередь, подразделяются на неравенства первой степени, второй степени и так далее. Например, неравенство 18x<414{\displaystyle 18x<414} — алгебраическое первой степени, неравенство 2×3−7x+6>0{\displaystyle 2x^{3}-7x+6>0} — алгебраическое третьей степени, неравенство 2x>x+4{\displaystyle 2^{x}>x+4} — трансцендентное^[2].

Свойства

Свойства числовых неравенств в некоторых отношениях близки к свойствам уравнений^[1]:

• К обеим частям неравенства можно прибавить одно и то же число.
• От обеих частей неравенства можно отнять одно и то же число. Следствие: как и для уравнений, любой член неравенства можно перенести в другую часть с противоположным знаком. Например, из a+b<c{\displaystyle a+b<c} следует, что a<c−b.{\displaystyle a<c-b.}
• Обе части неравенства можно умножить на одно и то же положительное число.
• Одноимённые неравенства можно складывать: если, например, a<b{\displaystyle a<b} и c<d,{\displaystyle c<d,} то a+c<b+d.{\displaystyle a+c<b+d.} Неравенства с противоположными знаками можно аналогично почленно вычитать.
• Если все четыре части двух неравенств положительны, то неравенства можно перемножить.
• Если обе части неравенства положительны, то их можно возвести в одну и ту же (натуральную) степень, а также логарифмировать с любым основанием (если основание логарифма меньше 1, то знак неравенства надо изменить на противоположный).

Другие свойства

• (Транзитивность) Если a<b{\displaystyle a<b} и b<c,{\displaystyle b<c,} то a<c{\displaystyle a<c} и аналогично для прочих знаков.
• Если обе части неравенства умножить на одно и то же отрицательное число, то знак неравенства изменится на противоположный: больше на меньше, больше или равно на меньше или равно и т. д.

Решение неравенств

Если неравенство содержит символы неизвестных, то решение его означает выяснение вопроса, при каких значениях неизвестных неравенство выполняется. Примеры:

x2<4{\displaystyle x^{2}<4} выполняется при −2<x<2.{\displaystyle -2<x<2.}

x2>4{\displaystyle x^{2}>4} выполняется, если либо x>2,{\displaystyle x>2,} либо x<−2.{\displaystyle x<-2.}

x2<−4{\displaystyle x^{2}<-4} не выполняется никогда (решений нет).

x2>−4{\displaystyle x^{2}>-4} выполняется при всех x{\displaystyle x} (тождество).

Внимание: если возвести в чётную степень неравенство, содержащее неизвестные, могут появиться «лишние» решения. Пример: если неравенство x>3{\displaystyle x>3} возвести в квадрат: x2>9,{\displaystyle x^{2}>9,} то появится ошибочное решение x<−3,{\displaystyle x<-3,} не удовлетворяющее исходному неравенству. Поэтому все полученные таким образом решения следует проверить подстановкой в исходное неравенство.

Неравенства первой степени

Неравенство первой степени имеет общий формат: ax>b{\displaystyle ax>b} или ax<b,{\displaystyle ax<b,} где a≠0{\displaystyle a\neq 0} (работа со знаками ⩾{\displaystyle \geqslant } и ⩽{\displaystyle \leqslant } аналогична). Чтобы его решить, разделите неравенство на a{\displaystyle a} и, если a<0,{\displaystyle a<0,} измените знак неравенства на противоположный^[3]. Пример:

5x−11>8x+1.{\displaystyle 5x-11>8x+1.} Приведём подобные члены: −3x>12,{\displaystyle -3x>12,} или x<−4.{\displaystyle x<-4.}

Системы неравенств первой степени

Если одно и то же неизвестное входит более чем в одно неравенство, надо решить каждое неравенство в отдельности и затем сопоставить эти решения, которые должны выполняться все вместе.

Пример 1. Из системы {4x−3>5x−52x+4<8x{\displaystyle {\begin{cases}4x-3>5x-5\\2x+4<8x\end{cases}}} получаем два решения: для первого неравенства x<2,{\displaystyle x<2,} для второго: x>23.{\displaystyle x>{2 \over 3}.} Соединяя их, получаем ответ: 23<x<2.{\displaystyle {2 \over 3}<x<2.}

Пример 2. {2x−3>3x−52x+4>8x{\displaystyle {\begin{cases}2x-3>3x-5\\2x+4>8x\end{cases}}} Решения: x<2{\displaystyle x<2} и x<23.{\displaystyle x<{2 \over 3}.} Второе решение поглощает первое, так что ответ: x<23.{\displaystyle x<{2 \over 3}.}

Пример 3. {2x−3<3x−52x+4>8x{\displaystyle {\begin{cases}2x-3<3x-5\\2x+4>8x\end{cases}}} Решения: x>2{\displaystyle x>2} и x<23,{\displaystyle x<{2 \over 3},} они несовместимы, поэтому исходная система не имеет решений.

Неравенства второй степени

Общий вид неравенства второй степени (называемого также квадратным неравенством):

x2+px+q>0{\displaystyle x^{2}+px+q>0} или x2+px+q<0.{\displaystyle x^{2}+px+q<0.}

Если квадратное уравнение x2+px+q=0{\displaystyle x^{2}+px+q=0} имеет вещественные корни x1,x2,{\displaystyle x_{1},x_{2},} то неравенство можно привести к виду соответственно:

(x−x1)(x−x2)>0{\displaystyle (x-x_{1})(x-x_{2})>0} или (x−x1)(x−x2)<0.{\displaystyle (x-x_{1})(x-x_{2})<0.}

В первом случае x−x1{\displaystyle x-x_{1}} и x−x2{\displaystyle x-x_{2}} должны иметь одинаковые знаки, во втором — разные. Для окончательного ответа надо применить следующее простое правило^[4].

Квадратный трёхчлен x2+px+q{\displaystyle x^{2}+px+q} с разными вещественными корнями отрицателен в интервале между корнями и положителен вне этого интервала.

Если оказалось, что у уравнения x2+px+q=0{\displaystyle x^{2}+px+q=0} вещественных корней нет, то его левая часть сохраняет один и тот же знак при всех x.{\displaystyle x.} Поэтому исходное неравенство второй степени либо является тождеством, либо не имеет решений (см. ниже примеры^[5]).

Пример 1. −2×2+14x−20>0.{\displaystyle -2x^{2}+14x-20>0.} Разделив на −2,{\displaystyle -2,} приведём неравенство к виду: x2−7x+10<0.{\displaystyle x^{2}-7x+10<0.} Решив квадратное уравнение x2−7x+10=0,{\displaystyle x^{2}-7x+10=0,} получаем корни x1=2;x2=5,{\displaystyle x_{1}=2;x_{2}=5,} поэтому исходное неравенство равносильно такому: (x−2)(x−5)<0.{\displaystyle (x-2)(x-5)<0.} Согласно приведенному выше правилу, 2<x<5,{\displaystyle 2<x<5,} что и является ответом.

Пример 2. −2×2+14x−20<0.{\displaystyle -2x^{2}+14x-20<0.} Аналогично получаем, что x−2{\displaystyle x-2} и x−5{\displaystyle x-5} имеют одинаковые знаки, то есть, согласно правилу, либо x<2,{\displaystyle x<2,} либо x>5.{\displaystyle x>5.}

Пример 3. x2+6x+15>0.{\displaystyle x^{2}+6x+15>0.} Уравнение x2+6x+15=0{\displaystyle x^{2}+6x+15=0} не имеет вещественных корней, поэтому левая часть его сохраняет знак при всех x.{\displaystyle x.} При x=0{\displaystyle x=0} левая часть положительна, поэтому исходное неравенство есть тождество (верно при всех x{\displaystyle x}).

Пример 4. x2+6x+15<0.{\displaystyle x^{2}+6x+15<0.} Как и в предыдущем примере, здесь левая часть всегда положительна, поэтому неравенство не имеет решений.

Аналогично, разложением на множители, можно решать неравенства высших степеней. Другой способ — построить график левой части и определить, какие знаки она имеет в различных интервалах^[6].

Прочие неравенства

Существуют также дробно-рациональные, иррациональные, логарифмические и тригонометрические неравенства.

Некоторые известные неравенства

Ниже приведены практически полезные неравенства, тождественно выполняющиеся, если неизвестные попадают в указанные границы^[7].

(1+x)n⩾1+nx,{\displaystyle (1+x)^{n}\geqslant 1+nx,} где x⩾−1,n{\displaystyle x\geqslant -1,n} — натуральное число.

|a+b|⩽|a|+|b|{\displaystyle |a+b|\leqslant |a|+|b|}

См. следствия этого неравенства в статье Абсолютная величина.

Знаки неравенства в языках программирования

Символ «не равно» в разных языках программирования записывается по-разному.

Символ	Языки
!=	C, C++, C#, Java, JavaScript, Perl, PHP, Python, Wolfram Language
<>	Basic, Pascal
~=	Lua
/=	Haskell, Fortran, Ada
#	Modula-2, Oberon

Коды знаков неравенств

См. также

Примечания

1. ↑ ^{1 2} Неравенства // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1982. — Т. 3. — С. 999.
2. ↑ Справочник по элементарной математике, 1978, с. 177.
3. ↑ Справочник по элементарной математике, 1978, с. 178.
4. ↑ Элементарная математика, 1976, с. 217—222.
5. ↑ Справочник по элементарной математике, 1978, с. 180—181.
6. ↑ Элементарная математика, 1976, с. 212—213, 219—222.
7. ↑ Справочник по элементарной математике, 1978, с. 174—176.

Литература

• Беккенбах Э. Ф. Неравенства. — М.: Мир, 1965.
• Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. — М.: Наука, 1978.
• Зайцев В. В., Рыжков В. В., Сканави М. И. Элементарная математика. Повторительный курс. — Издание третье, стереотипное. — М.: Наука, 1976. — 591 с.
• Харди Г. Г., Литлвуд Д. И., Полиа Д. Неравенства. — М.: Иностранная литература, 1948.

Плюс (+) Минус (−) Знак умножения (· или ×) Знак деления (: или /) Обелюс (÷) Знак корня (√) Факториал (!) Знак интеграла (∫) Набла (∇) Знак равенства (=, ≈, ≡ и др.) Знаки неравенства (≠, >, < и др.) Пропорциональность (∝) Скобки (( ), [ ], ⌈ ⌉, ⌊ ⌋, { }, ⟨ ⟩) Вертикальная черта (|) Косая черта, слеш (/) Обратная косая черта, бэкслеш (\) Знак бесконечности (∞) Знак градуса (°) Штрих (′, ″, ‴, ⁗) Звёздочка (*) Процент (%) Промилле (‰) Тильда (~) Карет (^) Циркумфлекс (ˆ) Плюс-минус (±) Знак минус-плюс (∓) Десятичный разделитель (, или .) Символ конца доказательства (∎)