Фибоначчи ряд – ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ ФИБОНАЧЧИ — это… Что такое ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ ФИБОНАЧЧИ?

Ряд Фибоначчи — это… Что такое Ряд Фибоначчи?

Чи́сла Фибона́ччи — элементы числовой последовательности

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597 … (последовательность A000045 в OEIS)

в которой каждое последующее число равно сумме двух предыдущих чисел. Название по имени средневекового математика Леонардо Пизанского (или Фибоначчи) [1].

Более формально, последовательность чисел Фибоначчи \left\{F_n\right\} задается рекуррентным соотношением:

F_1 = 1,\quad F_2 = 1,\quad F_{n+1} = F_n + F_{n-1} \quad n\in\mathbb{N}.

Иногда числа Фибоначчи рассматривают и для неположительных номеров n как двусторонне бесконечную последовательность, удовлетворяющую основному соотношению. Члены с такими номерами легко получить с помощью эквивалентной формулы «назад»: Fn = Fn + 2Fn + 1:

n −10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Fn −55 34 −21 13 −8 5 −3 2 −1 1 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55

Легко видеть, что F n = ( − 1)n + 1Fn. Для чисел Фибоначчи с отрицательными индексами остаются верными большинство нижеприведённых свойств.

Происхождение

Последовательность Фибоначчи была хорошо известна в древней Индии, где она применялась в метрических науках (просодии, другими словами — стихосложении), намного раньше, чем она стала известна в Европе.

Образец длиной n может быть построен путём добавления S к образцу длиной n-1, либо L к образцу длиной n-2; и просодицисты показали, что число образцов длиною n является суммой двух предыдущих чисел в последовательности. Дональд Кнут рассматривает этот эффект в книге «Искусство программирования».

На Западе эта последовательность была исследована Леонардо Пизанским, известным как Фибоначчи, в его труде «Liber Abaci» (1202). Он рассматривает развитие идеализированной (биологически нереальной) популяции кроликов, предполагая что:

  • В «нулевом» месяце, имеется пара кроликов (0 новых пар).
  • В первом месяце, первая пара производит на свет другую пару (1 новая пара).
  • Во втором месяце, обе пары кроликов порождают другие пары и первая пара погибает (1 новая пара).
  • В третьем месяце, вторая пара и две новые пары порождают в общем три новые пары, а старая вторая пара погибает (2 новые пары).

Закономерным является тот факт, что каждая пара кроликов порождает ещё две пары на протяжении жизни, а затем погибает.

Пусть популяция за месяц n будет равна F(n). В это время, только кролики которые жили в месяце n-2 являются способными к размножению и производят потомков, тогда F(n-2) пар прибавится к текущей популяции F(n-1). Таким образом общее количество пар будет равно F(n) = F(n — 1) + F(n — 2).

Формула Бине

Формула Бине выражает в явном виде значение Fn как функцию от n:

F_n = \frac{\left(\frac{1 + \sqrt{5}}{2}\right)^n - \left(\frac{1 - \sqrt{5}}{2}\right)^n}{\sqrt{5}} = \frac{\phi^n - (-\phi )^{-n}}{\phi - (-\phi )^{-1}}
,

где \phi=\frac{1 + \sqrt{5}}{2} — золотое сечение. При этом \phi\,\! и (-\phi )^{-1}=1-\phi\,\! являются корнями квадратного уравнения x^2-x-1=0\,\!.

Из формулы Бине следует, что для всех n\geqslant 0, Fn есть ближайшее к \frac{\phi^n}{\sqrt{5}}\,целое число, то есть F_n = \left\lfloor\frac{\phi^n}{\sqrt{5}}\right\rceil. В частности, справедлива асимптотика F_n\sim \frac{\phi^n}{\sqrt{5}}.

Тождества

  • F_1+F_2+F_3+\dots+F_n=F_{n+2}-1
  • F_1+F_3+F_5+\dots+F_{2n-1}=F_{2n}
  • F_2+F_4+F_6+\dots+F_{2n}=F_{2n+1}-1
  • F_{n+1}F_{n+2}^{}-F_nF_{n+3}=(-1)^{n+1}
  • F_1^2+F_2^2+F_3^2+\dots+F_{n}^2=F_nF_{n+1}
  • F_n^2+F_{n+1}^2=F_{2n+1}
  • F_{2n}=F_{n+1}^2-F_{n-1}^2
  • F_{3n}=F_{n+1}^3+F_n^3-F_{n-1}^3

И более общие формулы:

  • F_{n+m}^{}=F_{n-1}F_{m}+F_{n}F_{m+1}
  • F_{(k+1)n}^{}=F_{n-1}F_{kn}+F_nF_{kn+1}
  • F_n^{}=F_lF_{n-l+1}+F_{l-1}F_{n-l}
  • Числа Фибоначчи представляются значениями континуант на наборе единиц: F_n = K_n(1,\dots,1), то есть
F_n =
\det \begin{pmatrix} 
1 & 1    & 0 &\cdots & 0 \\ 
-1  & 1  & 1 &  \ddots    & \vdots\\
0   & -1   & \ddots &\ddots & 0 \\
\vdots & \ddots  & \ddots   &\ddots & 1 \\ 
0 & \cdots & 0 & -1 & 1
\end{pmatrix}, а также \ F_{n+1} =
\det \begin{pmatrix} 
1 & i    & 0 &\cdots & 0 \\ 
i  & 1  & i &  \ddots    & \vdots\\
0   & i   & \ddots &\ddots & 0 \\
\vdots & \ddots  & \ddots   &\ddots & i \\ 
0 & \cdots & 0 & i & 1\end{pmatrix},
где матрицы имеют размер n\times n, i — мнимая единица.
F_{n+1} = (-i)^n U_n\left(\frac{-i}{2}\right) = (-i)^n T_n(-i)
F_{2n+2} = U_n\left(\frac{3}{2}\right) = T_n(3)
\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}^n =
       \begin{pmatrix} F_{n+1} & F_n \\
                       F_n   & F_{n-1} \end{pmatrix}.
(-1)^n = F_{n+1} F_{n-1} - F_n^2

Свойства

  • Наибольший общий делитель двух чисел Фибоначчи равен числу Фибоначчи с индексом, равным наибольшему общему делителю индексов, т. е. (Fm,Fn) = F(m,n). Следствия:
    • Fm делится на Fn тогда и только тогда, когда m делится на n (за исключением n = 2). В частности, Fm делится на F3 = 2 (то есть является чётным) только для m = 3k; Fm делится на F4 = 3 только для m = 4k; Fm делится на F5 = 5 только для m = 5k и т. д.
    • Fm может быть простым только для простых m (с единственным исключением m = 4) (например, число 233 простое, и индекс его, равный 13, также прост). Обратное не верно, первый контрпример — F_{19}=4181=37\cdot 113. Неизвестно, бесконечно ли множество чисел Фибоначчи, являющихся простыми.
F_{n+1} = \sum_{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor} {n-k\choose k}.
  • В 1964 Дж. Кон (J. H. E. Cohn) доказал, что единственными точными квадратами среди чисел Фибоначчи являются числа Фибоначчи с индексами 0, 1, 2, 12: F0 = 02 = 0, F1 = 12 = 1, F2 = 12 = 1, F12 = 122 = 144. При этом для n=0,1,12 верно утверждение Fn = n2.
0 + x + x^2 + 2 x^3 + 3 x^4 + 5 x^5 + \dots = \sum_{n=0}^{\infty} F_n x^n = \frac{x}{1-x-x^2}
  • Множество чисел Фибоначчи совпадает с множеством положительных значений многочлена
        z(x,y) = 2xy4 + x2y3 − 2x3y2y5x4y + 2y,
    на множестве неотрицательных целых чисел x и y [2].
  • Произведение и частное двух любых различных чисел Фибоначчи, отличных от единицы, никогда не является числом Фибоначчи.
  • Последние цифры чисел Фибоначчи образуют периодическую последовательность с периодом 60, последняя пара цифр чисел Фибоначчи образует последовательность с периодом 300, последние три цифры — с периодом 1500, последние четыре — с периодом 15000, последние пять — с периодом 150000 и т. д.

Вариации и обобщения

В других областях

В природе
  • Расстояния между листьями (или ветками) на стволе растения относятся примерно как числа Фибоначчи.
В культуре

См. также

Литература

Ссылки

Примечания

  1. [1] БСЭ]
  2. P. Ribenboim, The New Book of Prime Number Records, Springer, 1996, p. 193.

Wikimedia Foundation. 2010.

Ряд Фибоначчи — это… Что такое Ряд Фибоначчи?

Чи́сла Фибона́ччи — элементы числовой последовательности

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597 … (последовательность A000045 в OEIS)

в которой каждое последующее число равно сумме двух предыдущих чисел. Название по имени средневекового математика Леонардо Пизанского (или Фибоначчи) [1].

Более формально, последовательность чисел Фибоначчи \left\{F_n\right\} задается рекуррентным соотношением:

F_1 = 1,\quad F_2 = 1,\quad F_{n+1} = F_n + F_{n-1} \quad n\in\mathbb{N}.

Иногда числа Фибоначчи рассматривают и для неположительных номеров n как двусторонне бесконечную последовательность, удовлетворяющую основному соотношению. Члены с такими номерами легко получить с помощью эквивалентной формулы «назад»: Fn = Fn + 2Fn + 1:

n −10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Fn −55 34 −21 13 −8 5 −3 2 −1 1 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55

Легко видеть, что F n = ( − 1)n + 1Fn. Для чисел Фибоначчи с отрицательными индексами остаются верными большинство нижеприведённых свойств.

Происхождение

Последовательность Фибоначчи была хорошо известна в древней Индии, где она применялась в метрических науках (просодии, другими словами — стихосложении), намного раньше, чем она стала известна в Европе.

Образец длиной n может быть построен путём добавления S к образцу длиной n-1, либо L к образцу длиной n-2; и просодицисты показали, что число образцов длиною n является суммой двух предыдущих чисел в последовательности. Дональд Кнут рассматривает этот эффект в книге «Искусство программирования».

На Западе эта последовательность была исследована Леонардо Пизанским, известным как Фибоначчи, в его труде «Liber Abaci» (1202). Он рассматривает развитие идеализированной (биологически нереальной) популяции кроликов, предполагая что:

  • В «нулевом» месяце, имеется пара кроликов (0 новых пар).
  • В первом месяце, первая пара производит на свет другую пару (1 новая пара).
  • Во втором месяце, обе пары кроликов порождают другие пары и первая пара погибает (1 новая пара).
  • В третьем месяце, вторая пара и две новые пары порождают в общем три новые пары, а старая вторая пара погибает (2 новые пары).

Закономерным является тот факт, что каждая пара кроликов порождает ещё две пары на протяжении жизни, а затем погибает.

Пусть популяция за месяц n будет равна F(n). В это время, только кролики которые жили в месяце n-2 являются способными к размножению и производят потомков, тогда F(n-2) пар прибавится к текущей популяции F(n-1). Таким образом общее количество пар будет равно F(n) = F(n — 1) + F(n — 2).

Формула Бине

Формула Бине выражает в явном виде значение Fn как функцию от n:

F_n = \frac{\left(\frac{1 + \sqrt{5}}{2}\right)^n - \left(\frac{1 - \sqrt{5}}{2}\right)^n}{\sqrt{5}} = \frac{\phi^n - (-\phi )^{-n}}{\phi - (-\phi )^{-1}},

где \phi=\frac{1 + \sqrt{5}}{2} — золотое сечение. При этом \phi\,\! и (-\phi )^{-1}=1-\phi\,\! являются корнями квадратного уравнения x^2-x-1=0\,\!.

Из формулы Бине следует, что для всех n\geqslant 0, Fn есть ближайшее к \frac{\phi^n}{\sqrt{5}}\,целое число, то есть F_n = \left\lfloor\frac{\phi^n}{\sqrt{5}}\right\rceil. В частности, справедлива асимптотика F_n\sim \frac{\phi^n}{\sqrt{5}}.

Тождества

  • F_1+F_2+F_3+\dots+F_n=F_{n+2}-1
  • F_1+F_3+F_5+\dots+F_{2n-1}=F_{2n}
  • F_2+F_4+F_6+\dots+F_{2n}=F_{2n+1}-1
  • F_{n+1}F_{n+2}^{}-F_nF_{n+3}=(-1)^{n+1}
  • F_1^2+F_2^2+F_3^2+\dots+F_{n}^2=F_nF_{n+1}
  • F_n^2+F_{n+1}^2=F_{2n+1}
  • F_{2n}=F_{n+1}^2-F_{n-1}^2
  • F_{3n}=F_{n+1}^3+F_n^3-F_{n-1}^3

И более общие формулы:

  • F_{n+m}^{}=F_{n-1}F_{m}+F_{n}F_{m+1}
  • F_{(k+1)n}^{}=F_{n-1}F_{kn}+F_nF_{kn+1}
  • F_n^{}=F_lF_{n-l+1}+F_{l-1}F_{n-l}
  • Числа Фибоначчи представляются значениями континуант на наборе единиц: F_n = K_n(1,\dots,1), то есть
F_n =
\det \begin{pmatrix} 
1 & 1    & 0 &\cdots & 0 \\ 
-1  & 1  & 1 &  \ddots    & \vdots\\
0   & -1   & \ddots &\ddots & 0 \\
\vdots & \ddots  & \ddots   &\ddots & 1 \\ 
0 & \cdots & 0 & -1 & 1
\end{pmatrix}, а также \ F_{n+1} =
\det \begin{pmatrix} 
1 & i    & 0 &\cdots & 0 \\ 
i  & 1  & i &  \ddots    & \vdots\\
0   & i   & \ddots &\ddots & 0 \\
\vdots & \ddots  & \ddots   &\ddots & i \\ 
0 & \cdots & 0 & i & 1\end{pmatrix},
где матрицы имеют размер n\times n, i — мнимая единица.
F_{n+1} = (-i)^n U_n\left(\frac{-i}{2}\right) = (-i)^n T_n(-i)
F_{2n+2} = U_n\left(\frac{3}{2}\right) = T_n(3)
\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}^n =
       \begin{pmatrix} F_{n+1} & F_n \\
                       F_n   & F_{n-1} \end{pmatrix}.
(-1)^n = F_{n+1} F_{n-1} - F_n^2

Свойства

  • Наибольший общий делитель двух чисел Фибоначчи равен числу Фибоначчи с индексом, равным наибольшему общему делителю индексов, т. е. (Fm,Fn) = F(m,n). Следствия:
    • Fm делится на Fn тогда и только тогда, когда m делится на n (за исключением n = 2). В частности, Fm делится на F3 = 2 (то есть является чётным) только для m = 3k; Fm делится на F4 = 3 только для m = 4k; Fm делится на F5 = 5 только для m = 5k и т. д.
    • Fm может быть простым только для простых m (с единственным исключением m = 4) (например, число 233 простое, и индекс его, равный 13, также прост). Обратное не верно, первый контрпример — F_{19}=4181=37\cdot 113. Неизвестно, бесконечно ли множество чисел Фибоначчи, являющихся простыми.
F_{n+1} = \sum_{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor} {n-k\choose k}.
  • В 1964 Дж. Кон (J. H. E. Cohn) доказал, что единственными точными квадратами среди чисел Фибоначчи являются числа Фибоначчи с индексами 0, 1, 2, 12: F0 = 02 = 0, F1 = 12 = 1, F2 = 12 = 1, F12 = 122 = 144. При этом для n=0,1,12 верно утверждение Fn = n2.
0 + x + x^2 + 2 x^3 + 3 x^4 + 5 x^5 + \dots = \sum_{n=0}^{\infty} F_n x^n = \frac{x}{1-x-x^2}
  • Множество чисел Фибоначчи совпадает с множеством положительных значений многочлена
        z(x,y) = 2xy4 + x2y3 − 2x3y2y5x4y + 2y,
    на множестве неотрицательных целых чисел x и y [2].
  • Произведение и частное двух любых различных чисел Фибоначчи, отличных от единицы, никогда не является числом Фибоначчи.
  • Последние цифры чисел Фибоначчи образуют периодическую последовательность с периодом 60, последняя пара цифр чисел Фибоначчи образует последовательность с периодом 300, последние три цифры — с периодом 1500, последние четыре — с периодом 15000, последние пять — с периодом 150000 и т. д.

Вариации и обобщения

В других областях

В природе
  • Расстояния между листьями (или ветками) на стволе растения относятся примерно как числа Фибоначчи.
В культуре

См. также

Литература

Ссылки

Примечания

  1. [1] БСЭ]
  2. P. Ribenboim, The New Book of Prime Number Records, Springer, 1996, p. 193.

Wikimedia Foundation. 2010.

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ ФИБОНАЧЧИ — это… Что такое ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ ФИБОНАЧЧИ?

  • Последовательность Фибоначчи — Числа Фибоначчи  элементы числовой последовательности 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597 … (последовательность A000045 в OEIS) в которой каждое последующее число равно сумме двух предыдущих чисел. Название по… …   Википедия

  • ФИБОНАЧЧИ — (Fibonacci) Леонардо (ок. 1170 ок. 1240), итальянский математик. Автор «Liber Abaci» (ок. 1200), первого западноевропейского труда, в котором предлагалось принять арабскую (индийскую) систему написания цифр. Разработал математическую… …   Научно-технический энциклопедический словарь

  • Фибоначчи — (Fibonacci) Фибоначчи первый крупный математик средневековой Европы Десятичная система счисления, арабские цифры, числа, последовательность, уровни, ряд, линии и спираль Фибоначчи Содержание >>>>>>>>> …   Энциклопедия инвестора

  • Фибоначчи числа — Числа Фибоначчи  элементы числовой последовательности 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597 … (последовательность A000045 в OEIS) в которой каждое последующее число равно сумме двух предыдущих чисел. Название по… …   Википедия

  • Последовательность Падована — Последовательность Падована  это целочисленная последовательность P(n) с начальными значениями и линейным рекуррентным соотношением Первые значения P(n) таковы 1, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 12, 16, 21, 28, 37, 49, 65, 86, 114, 151, 200, 265 …   Википедия

  • Фибоначчи — Леонардо Пизанский Leonardo Pisano Дата рождения: ок. 1170 года …   Википедия

  • Фибоначчи числа —         элементы числовой возвратной последовательности (См. Возвратная последовательность) 1, 1, 2, 3, 5, 8,… (ряда Фибоначчи), в которых каждый последующий член равен сумме двух предыдущих. Название по имени средневекового математика Леонардо …   Большая советская энциклопедия

  • ФИБОНАЧЧИ МЕТОД — разновидность одномерного поиска экстремума функции путем последовательного сужения интервала неопределенности. Единственное ограничение, налагаемое на исследуемую функцию требование строгой унимодальности на заданном интервале. При… …   Математическая энциклопедия

  • Последовательность Люка — Не следует путать с числами Люка. В математике, последовательностями Люка называют семейство пар линейных рекуррентных последовательностей второго порядка, впервые рассмотренных Эдуардом Люка. Последовательности Люка представляют собой пары… …   Википедия

  • Последовательность —         одно из основных понятий математики. П. образуется из элементов любой природы, занумерованных натуральными числами 1, 2,…, n,…, и записывается в виде x1, x2, …, xn, … или коротко, {xn}. Элементы, из которых составляется П., называются …   Большая советская энциклопедия

  • Ряд Фибоначчи — это… Что такое Ряд Фибоначчи?

    Чи́сла Фибона́ччи — элементы числовой последовательности

    1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597 … (последовательность A000045 в OEIS)

    в которой каждое последующее число равно сумме двух предыдущих чисел. Название по имени средневекового математика Леонардо Пизанского (или Фибоначчи) [1].

    Более формально, последовательность чисел Фибоначчи \left\{F_n\right\} задается рекуррентным соотношением:

    F_1 = 1,\quad F_2 = 1,\quad F_{n+1} = F_n + F_{n-1} \quad n\in\mathbb{N}.

    Иногда числа Фибоначчи рассматривают и для неположительных номеров n как двусторонне бесконечную последовательность, удовлетворяющую основному соотношению. Члены с такими номерами легко получить с помощью эквивалентной формулы «назад»: Fn = Fn + 2Fn + 1:

    n −10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
    Fn
    −55
    34 −21 13 −8 5 −3 2 −1 1 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55

    Легко видеть, что F n = ( − 1)n + 1Fn. Для чисел Фибоначчи с отрицательными индексами остаются верными большинство нижеприведённых свойств.

    Происхождение

    Последовательность Фибоначчи была хорошо известна в древней Индии, где она применялась в метрических науках (просодии, другими словами — стихосложении), намного раньше, чем она стала известна в Европе.

    Образец длиной n может быть построен путём добавления S к образцу длиной n-1, либо L к образцу длиной n-2; и просодицисты показали, что число образцов длиною n является суммой двух предыдущих чисел в последовательности. Дональд Кнут рассматривает этот эффект в книге «Искусство программирования».

    На Западе эта последовательность была исследована Леонардо Пизанским, известным как Фибоначчи, в его труде «Liber Abaci» (1202). Он рассматривает развитие идеализированной (биологически нереальной) популяции кроликов, предполагая что:

    • В «нулевом» месяце, имеется пара кроликов (0 новых пар).
    • В первом месяце, первая пара производит на свет другую пару (1 новая пара).
    • Во втором месяце, обе пары кроликов порождают другие пары и первая пара погибает (1 новая пара).
    • В третьем месяце, вторая пара и две новые пары порождают в общем три новые пары, а старая вторая пара погибает (2 новые пары).

    Закономерным является тот факт, что каждая пара кроликов порождает ещё две пары на протяжении жизни, а затем погибает.

    Пусть популяция за месяц n будет равна F(n)

    . В это время, только кролики которые жили в месяце n-2 являются способными к размножению и производят потомков, тогда F(n-2) пар прибавится к текущей популяции F(n-1). Таким образом общее количество пар будет равно F(n) = F(n — 1) + F(n — 2).

    Формула Бине

    Формула Бине выражает в явном виде значение Fn как функцию от n:

    F_n = \frac{\left(\frac{1 + \sqrt{5}}{2}\right)^n - \left(\frac{1 - \sqrt{5}}{2}\right)^n}{\sqrt{5}} = \frac{\phi^n - (-\phi )^{-n}}{\phi - (-\phi )^{-1}},

    где \phi=\frac{1 + \sqrt{5}}{2} — золотое сечение. При этом \phi\,\! и (-\phi )^{-1}=1-\phi\,\! являются корнями квадратного уравнения x^2-x-1=0\,\!.

    Из формулы Бине следует, что для всех n\geqslant 0, Fn есть ближайшее к \frac{\phi^n}{\sqrt{5}}\,целое число, то есть F_n = \left\lfloor\frac{\phi^n}{\sqrt{5}}\right\rceil. В частности, справедлива асимптотика F_n\sim \frac{\phi^n}{\sqrt{5}}.

    Тождества

    • F_1+F_2+F_3+\dots+F_n=F_{n+2}-1
    • F_1+F_3+F_5+\dots+F_{2n-1}=F_{2n}
    • F_2+F_4+F_6+\dots+F_{2n}=F_{2n+1}-1
    • F_{n+1}F_{n+2}^{}-F_nF_{n+3}=(-1)^{n+1}
    • F_1^2+F_2^2+F_3^2+\dots+F_{n}^2=F_nF_{n+1}
    • F_n^2+F_{n+1}^2=F_{2n+1}
    • F_{2n}=F_{n+1}^2-F_{n-1}^2
    • F_{3n}=F_{n+1}^3+F_n^3-F_{n-1}^3

    И более общие формулы:

    • F_{n+m}^{}=F_{n-1}F_{m}+F_{n}F_{m+1}
    • F_{(k+1)n}^{}=F_{n-1}F_{kn}+F_nF_{kn+1}
    • F_n^{}=F_lF_{n-l+1}+F_{l-1}F_{n-l}
    • Числа Фибоначчи представляются значениями континуант на наборе единиц: F_n = K_n(1,\dots,1), то есть
    F_n =
\det \begin{pmatrix} 
1 & 1    & 0 &\cdots & 0 \\ 
-1  & 1  & 1 &  \ddots    & \vdots\\
0   & -1   & \ddots &\ddots & 0 \\
\vdots & \ddots  & \ddots   &\ddots & 1 \\ 
0 & \cdots & 0 & -1 & 1
\end{pmatrix}, а также \ F_{n+1} =
\det \begin{pmatrix} 
1 & i    & 0 &\cdots & 0 \\ 
i  & 1  & i &  \ddots    & \vdots\\
0   & i   & \ddots &\ddots & 0 \\
\vdots & \ddots  & \ddots   &\ddots & i \\ 
0 & \cdots & 0 & i & 1\end{pmatrix},
    где матрицы имеют размер n\times n, i — мнимая единица.
    F_{n+1} = (-i)^n U_n\left(\frac{-i}{2}\right) = (-i)^n T_n(-i)
    F_{2n+2} = U_n\left(\frac{3}{2}\right) = T_n(3)
    \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}^n =
       \begin{pmatrix} F_{n+1} & F_n \\
                       F_n   & F_{n-1} \end{pmatrix}.
    (-1)^n = F_{n+1} F_{n-1} - F_n^2

    Свойства

    • Наибольший общий делитель двух чисел Фибоначчи равен числу Фибоначчи с индексом, равным наибольшему общему делителю индексов, т. е. (Fm,Fn) = F(m,n). Следствия:
      • Fm делится на Fn тогда и только тогда, когда m делится на n (за исключением n = 2). В частности, Fm делится на F3 = 2 (то есть является чётным) только для m = 3k; Fm делится на F4 = 3 только для m = 4k; Fm делится на F5 = 5 только для m = 5k и т. д.
      • Fm может быть простым только для простых m (с единственным исключением m = 4) (например, число 233 простое, и индекс его, равный 13, также прост). Обратное не верно, первый контрпример — F_{19}=4181=37\cdot 113. Неизвестно, бесконечно ли множество чисел Фибоначчи, являющихся простыми.
    F_{n+1} = \sum_{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor} {n-k\choose k}.
    • В 1964 Дж. Кон (J. H. E. Cohn) доказал, что единственными точными квадратами среди чисел Фибоначчи являются числа Фибоначчи с индексами 0, 1, 2, 12: F0 = 02 = 0, F1 = 12 = 1, F2 = 12 = 1, F12 = 122 = 144. При этом для n=0,1,12 верно утверждение Fn = n2.
    0 + x + x^2 + 2 x^3 + 3 x^4 + 5 x^5 + \dots = \sum_{n=0}^{\infty} F_n x^n = \frac{x}{1-x-x^2}
    • Множество чисел Фибоначчи совпадает с множеством положительных значений многочлена
          z(x,y) = 2xy4 + x2y3 − 2x3y2y5x4y + 2y,
      на множестве неотрицательных целых чисел x и y [2].
    • Произведение и частное двух любых различных чисел Фибоначчи, отличных от единицы, никогда не является числом Фибоначчи.
    • Последние цифры чисел Фибоначчи образуют периодическую последовательность с периодом 60, последняя пара цифр чисел Фибоначчи образует последовательность с периодом 300, последние три цифры — с периодом 1500, последние четыре — с периодом 15000, последние пять — с периодом 150000 и т. д.

    Вариации и обобщения

    В других областях

    В природе
    • Расстояния между листьями (или ветками) на стволе растения относятся примерно как числа Фибоначчи.
    В культуре

    См. также

    Литература

    Ссылки

    Примечания

    1. [1] БСЭ]
    2. P. Ribenboim, The New Book of Prime Number Records, Springer, 1996, p. 193.

    Wikimedia Foundation. 2010.

    Ряд Фибоначчи Википедия

    Черепица с квадратами, длина сторон которых является последовательными числами Фибоначчи: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 и 21. Спираль Фибоначчи: приближение золотой спирали, созданной путём рисования круговых дуг, соединяющих противоположные углы квадратов в мозаике Фибоначчи;[1] (см. предыдущее изображение)

    Чи́сла Фибона́ччи (иногда пишут Фибона́чи[2]) — элементы числовой последовательности

    0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, … (последовательность A000045 в OEIS),

    в которой первые два числа равны либо 1 и 1, либо 0 и 1, а каждое последующее число равно сумме двух предыдущих чисел[3]. Названы в честь средневекового математика Леонардо Пизанского (известного как Фибоначчи)[4].

    Более формально, последовательность чисел Фибоначчи {Fn}{\displaystyle \{F_{n}\}} задаётся линейным рекуррентным соотношением:

    F0=0,F1=1,Fn=Fn−1+Fn−2, n⩾2, n∈Z.{\displaystyle F_{0}=0,\quad F_{1}=1,\quad F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2},\ n\geqslant 2,\ n\in \mathbb {Z} .}

    В некоторых книгах, особенно в старых, F0{\displaystyle F_{0}}, равное нулю опускается, и последовательность Фибоначчи начинается с F1=F2=1{\displaystyle F_{1}=F_{2}=1}[6].

    Иногда числа Фибоначчи рассматривают и для отрицательных значений n{\displaystyle n}, как двусторонне бесконечную последовательность, удовлетворяющую тому же рекуррентному соотношению. При этом члены с отрицательными индексами легко получить с помощью эквивалентной формулы «назад»: Fn=Fn+2−Fn+1{\displaystyle F_{n}=F_{n+2}-F_{n+1}}:

    n −10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
    Fn{\displaystyle F_{n}} −55 34 −21 13 −8 5 −3 2 −1 1 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55

    Легко заметить, что

    Отправить ответ

    avatar
      Подписаться  
    Уведомление о