Ряд Фибоначчи — это… Что такое Ряд Фибоначчи?
Чи́сла Фибона́ччи — элементы числовой последовательности
- 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597 … (последовательность A000045 в OEIS)
в которой каждое последующее число равно сумме двух предыдущих чисел. Название по имени средневекового математика Леонардо Пизанского (или Фибоначчи) [1].
Более формально, последовательность чисел Фибоначчи задается рекуррентным соотношением:
Иногда числа Фибоначчи рассматривают и для неположительных номеров n как двусторонне бесконечную последовательность, удовлетворяющую основному соотношению. Члены с такими номерами легко получить с помощью эквивалентной формулы «назад»:
n | −10 | −9 | −8 | −7 | −6 | −5 | −4 | −3 | −2 | −1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Fn | −55 | 34 | −21 | 13 | −8 | 5 | −3 | 2 | −1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 2 | 3 | 5 | 8 | 13 | 21 | 34 | 55 |
Легко видеть, что F − n = ( − 1)n + 1Fn. Для чисел Фибоначчи с отрицательными индексами остаются верными большинство нижеприведённых свойств.
Происхождение
Последовательность Фибоначчи была хорошо известна в древней Индии, где она применялась в метрических науках (просодии, другими словами — стихосложении), намного раньше, чем она стала известна в Европе.
Образец длиной n может быть построен путём добавления S к образцу длиной n-1, либо L к образцу длиной n-2; и просодицисты показали, что число образцов длиною n является суммой двух предыдущих чисел в последовательности. Дональд Кнут рассматривает этот эффект в книге «Искусство программирования».
На Западе эта последовательность была исследована Леонардо Пизанским, известным как Фибоначчи, в его труде «Liber Abaci» (1202). Он рассматривает развитие идеализированной (биологически нереальной) популяции кроликов, предполагая что:
- В «нулевом» месяце, имеется пара кроликов (0 новых пар).
- В первом месяце, первая пара производит на свет другую пару (1 новая пара).
- Во втором месяце, обе пары кроликов порождают другие пары и первая пара погибает (1 новая пара).
- В третьем месяце, вторая пара и две новые пары порождают в общем три новые пары, а старая вторая пара погибает (2 новые пары).
Закономерным является тот факт, что каждая пара кроликов порождает ещё две пары на протяжении жизни, а затем погибает.
Пусть популяция за месяц n будет равна F(n). В это время, только кролики которые жили в месяце n-2 являются способными к размножению и производят потомков, тогда F(n-2) пар прибавится к текущей популяции F(n-1). Таким образом общее количество пар будет равно F(n) = F(n — 1) + F(n — 2).
Формула Бине
Формула Бине выражает в явном виде значение Fn как функцию от n:
- ,
где — золотое сечение. При этом и являются корнями квадратного уравнения .
Из формулы Бине следует, что для всех , Fn есть ближайшее к целое число, то есть . В частности, справедлива асимптотика .
Тождества
И более общие формулы:
- Числа Фибоначчи представляются значениями континуант на наборе единиц: , то есть
- , а также ,
- где матрицы имеют размер , i — мнимая единица.
Свойства
- Наибольший общий делитель двух чисел Фибоначчи равен числу Фибоначчи с индексом, равным наибольшему общему делителю индексов, т. е. (Fm,Fn) = F(m,n). Следствия:
- Fm делится на Fn тогда и только тогда, когда m делится на n (за исключением n = 2). В частности, Fm делится на F3 = 2 (то есть является чётным) только для m = 3k; Fm делится на F4 = 3 только для m = 4k; Fm делится на F5 = 5 только для m = 5k и т. д.
- Fm может быть простым только для простых m (с единственным исключением m = 4) (например, число 233 простое, и индекс его, равный 13, также прост). Обратное не верно, первый контрпример — . Неизвестно, бесконечно ли множество чисел Фибоначчи, являющихся простыми.
- .
- В 1964 Дж. Кон (J. H. E. Cohn) доказал, что единственными точными квадратами среди чисел Фибоначчи являются числа Фибоначчи с индексами 0, 1, 2, 12: F0 = 02 = 0, F1 = 12 = 1, F2 = 12 = 1, F12 = 122 = 144. При этом для n=0,1,12 верно утверждение Fn = n2.
- Множество чисел Фибоначчи совпадает с множеством положительных значений многочлена
z(x,y) = 2xy4 + x2y3 − 2x3y2 − y5 − x4y + 2y,
на множестве неотрицательных целых чисел x и y [2].
- Произведение и частное двух любых различных чисел Фибоначчи, отличных от единицы, никогда не является числом Фибоначчи.
- Последние цифры чисел Фибоначчи образуют периодическую последовательность с периодом 60, последняя пара цифр чисел Фибоначчи образует последовательность с периодом 300, последние три цифры — с периодом 1500, последние четыре — с периодом 15000, последние пять — с периодом 150000 и т. д.
Вариации и обобщения
В других областях
- В природе
- Расстояния между листьями (или ветками) на стволе растения относятся примерно как числа Фибоначчи.
- В культуре
См. также
Литература
Ссылки
Примечания
- ↑ [1] БСЭ]
- ↑ P. Ribenboim, The New Book of Prime Number Records, Springer, 1996, p. 193.
Wikimedia Foundation. 2010.
Ряд Фибоначчи — это… Что такое Ряд Фибоначчи?
Чи́сла Фибона́ччи — элементы числовой последовательности
- 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597 … (последовательность A000045 в OEIS)
в которой каждое последующее число равно сумме двух предыдущих чисел. Название по имени средневекового математика Леонардо Пизанского (или Фибоначчи) [1].
Более формально, последовательность чисел Фибоначчи задается рекуррентным соотношением:
Иногда числа Фибоначчи рассматривают и для неположительных номеров n как двусторонне бесконечную последовательность, удовлетворяющую основному соотношению. Члены с такими номерами легко получить с помощью эквивалентной формулы «назад»: Fn = Fn + 2 − Fn + 1:
n | −10 | −9 | −8 | −7 | −6 | −5 | −4 | −3 | −2 | −1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Fn | −55 | 34 | −21 | 13 | −8 | 5 | −3 | 2 | −1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 2 | 3 | 5 | 8 | 13 | 21 | 34 | 55 |
Легко видеть, что F − n = ( − 1)n + 1Fn. Для чисел Фибоначчи с отрицательными индексами остаются верными большинство нижеприведённых свойств.
Происхождение
Последовательность Фибоначчи была хорошо известна в древней Индии, где она применялась в метрических науках (просодии, другими словами — стихосложении), намного раньше, чем она стала известна в Европе.
Образец длиной n может быть построен путём добавления S к образцу длиной n-1, либо L к образцу длиной n-2; и просодицисты показали, что число образцов длиною n является суммой двух предыдущих чисел в последовательности. Дональд Кнут рассматривает этот эффект в книге «Искусство программирования».
На Западе эта последовательность была исследована Леонардо Пизанским, известным как Фибоначчи, в его труде «Liber Abaci» (1202). Он рассматривает развитие идеализированной (биологически нереальной) популяции кроликов, предполагая что:
- В «нулевом» месяце, имеется пара кроликов (0 новых пар).
- В первом месяце, первая пара производит на свет другую пару (1 новая пара).
- Во втором месяце, обе пары кроликов порождают другие пары и первая пара погибает (1 новая пара).
- В третьем месяце, вторая пара и две новые пары порождают в общем три новые пары, а старая вторая пара погибает (2 новые пары).
Закономерным является тот факт, что каждая пара кроликов порождает ещё две пары на протяжении жизни, а затем погибает.
Пусть популяция за месяц n будет равна F(n). В это время, только кролики которые жили в месяце n-2 являются способными к размножению и производят потомков, тогда F(n-2) пар прибавится к текущей популяции F(n-1). Таким образом общее количество пар будет равно F(n) = F(n — 1) + F(n — 2).
Формула Бине
Формула Бине выражает в явном виде значение
- ,
где — золотое сечение. При этом и являются корнями квадратного уравнения .
Из формулы Бине следует, что для всех , Fn есть ближайшее к целое число, то есть . В частности, справедлива асимптотика .
Тождества
И более общие формулы:
- Числа Фибоначчи представляются значениями континуант на наборе единиц: , то есть
- , а также ,
- где матрицы имеют размер , i — мнимая единица.
Свойства
- Наибольший общий делитель двух чисел Фибоначчи равен числу Фибоначчи с индексом, равным наибольшему общему делителю индексов, т. е. (Fm,Fn) = F(m,n). Следствия:
- Fm делится на Fn тогда и только тогда, когда m делится на n (за исключением n = 2). В частности, Fm делится на F3 = 2 (то есть является чётным) только для m = 3k; Fm делится на F4 = 3 только для m = 4k; Fm делится на F5 = 5 только для m = 5k и т. д.
- Fm может быть простым только для простых m (с единственным исключением m = 4) (например, число 233 простое, и индекс его, равный 13, также прост). Обратное не верно, первый контрпример — . Неизвестно, бесконечно ли множество чисел Фибоначчи, являющихся простыми.
- .
- В 1964 Дж. Кон (J. H. E. Cohn) доказал, что единственными точными квадратами среди чисел Фибоначчи являются числа Фибоначчи с индексами 0, 1, 2, 12: F0 = 02 = 0, F1 = 12 = 1, F2 = 12 = 1, F12 = 122 = 144. При этом для n=0,1,12 верно утверждение Fn = n2.
- Множество чисел Фибоначчи совпадает с множеством положительных значений многочлена
z(x,y) = 2xy4 + x2y3 − 2x3y2 − y5 − x4y + 2y,
на множестве неотрицательных целых чисел x и y [2].
- Произведение и частное двух любых различных чисел Фибоначчи, отличных от единицы, никогда не является числом Фибоначчи.
- Последние цифры чисел Фибоначчи образуют периодическую последовательность с периодом 60, последняя пара цифр чисел Фибоначчи образует последовательность с периодом 300, последние три цифры — с периодом 1500, последние четыре — с периодом 15000, последние пять — с периодом 150000 и т. д.
Вариации и обобщения
В других областях
- В природе
- Расстояния между листьями (или ветками) на стволе растения относятся примерно как числа Фибоначчи.
- В культуре
См. также
Литература
Ссылки
Примечания
- ↑ [1] БСЭ]
- ↑ P. Ribenboim, The New Book of Prime Number Records, Springer, 1996, p. 193.
Wikimedia Foundation. 2010.
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ ФИБОНАЧЧИ — это… Что такое ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ ФИБОНАЧЧИ?
Последовательность Фибоначчи — Числа Фибоначчи элементы числовой последовательности 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597 … (последовательность A000045 в OEIS) в которой каждое последующее число равно сумме двух предыдущих чисел. Название по… … Википедия
ФИБОНАЧЧИ — (Fibonacci) Леонардо (ок. 1170 ок. 1240), итальянский математик. Автор «Liber Abaci» (ок. 1200), первого западноевропейского труда, в котором предлагалось принять арабскую (индийскую) систему написания цифр. Разработал математическую… … Научно-технический энциклопедический словарь
Фибоначчи — (Fibonacci) Фибоначчи первый крупный математик средневековой Европы Десятичная система счисления, арабские цифры, числа, последовательность, уровни, ряд, линии и спираль Фибоначчи Содержание >>>>>>>>> … Энциклопедия инвестора
Фибоначчи числа — Числа Фибоначчи элементы числовой последовательности 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597 … (последовательность A000045 в OEIS) в которой каждое последующее число равно сумме двух предыдущих чисел. Название по… … Википедия
Последовательность Падована — Последовательность Падована это целочисленная последовательность P(n) с начальными значениями и линейным рекуррентным соотношением Первые значения P(n) таковы 1, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 12, 16, 21, 28, 37, 49, 65, 86, 114, 151, 200, 265 … Википедия
Фибоначчи — Леонардо Пизанский Leonardo Pisano Дата рождения: ок. 1170 года … Википедия
Фибоначчи числа — элементы числовой возвратной последовательности (См. Возвратная последовательность) 1, 1, 2, 3, 5, 8,… (ряда Фибоначчи), в которых каждый последующий член равен сумме двух предыдущих. Название по имени средневекового математика Леонардо … Большая советская энциклопедия
ФИБОНАЧЧИ МЕТОД — разновидность одномерного поиска экстремума функции путем последовательного сужения интервала неопределенности. Единственное ограничение, налагаемое на исследуемую функцию требование строгой унимодальности на заданном интервале. При… … Математическая энциклопедия
Последовательность Люка — Не следует путать с числами Люка. В математике, последовательностями Люка называют семейство пар линейных рекуррентных последовательностей второго порядка, впервые рассмотренных Эдуардом Люка. Последовательности Люка представляют собой пары… … Википедия
Последовательность — одно из основных понятий математики. П. образуется из элементов любой природы, занумерованных натуральными числами 1, 2,…, n,…, и записывается в виде x1, x2, …, xn, … или коротко, {xn}. Элементы, из которых составляется П., называются … Большая советская энциклопедия
Ряд Фибоначчи — это… Что такое Ряд Фибоначчи?
Чи́сла Фибона́ччи — элементы числовой последовательности
- 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597 … (последовательность A000045 в OEIS)
в которой каждое последующее число равно сумме двух предыдущих чисел. Название по имени средневекового математика Леонардо Пизанского (или Фибоначчи) [1].
Более формально, последовательность чисел Фибоначчи задается рекуррентным соотношением:
Иногда числа Фибоначчи рассматривают и для неположительных номеров n как двусторонне бесконечную последовательность, удовлетворяющую основному соотношению. Члены с такими номерами легко получить с помощью эквивалентной формулы «назад»: Fn = Fn + 2 − Fn + 1:
n | −10 | −9 | −8 | −7 | −6 | −5 | −4 | −3 | −2 | −1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Fn | −55 | 34 | −21 | 13 | −8 | 5 | −3 | 2 | −1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 2 | 3 | 5 | 8 | 13 | 21 | 34 | 55 |
Легко видеть, что F − n = ( − 1)n + 1Fn. Для чисел Фибоначчи с отрицательными индексами остаются верными большинство нижеприведённых свойств.
Происхождение
Последовательность Фибоначчи была хорошо известна в древней Индии, где она применялась в метрических науках (просодии, другими словами — стихосложении), намного раньше, чем она стала известна в Европе.
Образец длиной n может быть построен путём добавления S к образцу длиной n-1, либо L к образцу длиной n-2; и просодицисты показали, что число образцов длиною n является суммой двух предыдущих чисел в последовательности. Дональд Кнут рассматривает этот эффект в книге «Искусство программирования».
На Западе эта последовательность была исследована Леонардо Пизанским, известным как Фибоначчи, в его труде «Liber Abaci» (1202). Он рассматривает развитие идеализированной (биологически нереальной) популяции кроликов, предполагая что:
- В «нулевом» месяце, имеется пара кроликов (0 новых пар).
- В первом месяце, первая пара производит на свет другую пару (1 новая пара).
- Во втором месяце, обе пары кроликов порождают другие пары и первая пара погибает (1 новая пара).
- В третьем месяце, вторая пара и две новые пары порождают в общем три новые пары, а старая вторая пара погибает (2 новые пары).
Закономерным является тот факт, что каждая пара кроликов порождает ещё две пары на протяжении жизни, а затем погибает.
Пусть популяция за месяц n будет равна F(n). В это время, только кролики которые жили в месяце n-2 являются способными к размножению и производят потомков, тогда F(n-2) пар прибавится к текущей популяции F(n-1). Таким образом общее количество пар будет равно F(n) = F(n — 1) + F(n — 2).
Формула Бине
Формула Бине выражает в явном виде значение Fn как функцию от n:
- ,
где — золотое сечение. При этом и являются корнями квадратного уравнения .
Из формулы Бине следует, что для всех , Fn есть ближайшее к целое число, то есть . В частности, справедлива асимптотика .
Тождества
И более общие формулы:
- Числа Фибоначчи представляются значениями континуант на наборе единиц: , то есть
- , а также ,
- где матрицы имеют размер , i — мнимая единица.
Свойства
- Наибольший общий делитель двух чисел Фибоначчи равен числу Фибоначчи с индексом, равным наибольшему общему делителю индексов, т. е. (Fm,Fn) = F(m,n). Следствия:
- Fm делится на Fn тогда и только тогда, когда m делится на n (за исключением n = 2). В частности, Fm делится на F3 = 2 (то есть является чётным) только для m = 3k; Fm делится на F4 = 3 только для m = 4k; Fm делится на F5 = 5 только для m = 5k и т. д.
- Fm может быть простым только для простых m (с единственным исключением m = 4) (например, число 233 простое, и индекс его, равный 13, также прост). Обратное не верно, первый контрпример — . Неизвестно, бесконечно ли множество чисел Фибоначчи, являющихся простыми.
- .
- В 1964 Дж. Кон (J. H. E. Cohn) доказал, что единственными точными квадратами среди чисел Фибоначчи являются числа Фибоначчи с индексами 0, 1, 2, 12: F0 = 02 = 0, F1 = 12 = 1, F2 = 12 = 1, F12 = 122 = 144. При этом для n=0,1,12 верно утверждение Fn = n2.
- Множество чисел Фибоначчи совпадает с множеством положительных значений многочлена
z(x,y) = 2xy4 + x2y3 − 2x3y2 − y5 − x4y + 2y,
на множестве неотрицательных целых чисел x и y [2].
- Произведение и частное двух любых различных чисел Фибоначчи, отличных от единицы, никогда не является числом Фибоначчи.
- Последние цифры чисел Фибоначчи образуют периодическую последовательность с периодом 60, последняя пара цифр чисел Фибоначчи образует последовательность с периодом 300, последние три цифры — с периодом 1500, последние четыре — с периодом 15000, последние пять — с периодом 150000 и т. д.
Вариации и обобщения
В других областях
- В природе
- Расстояния между листьями (или ветками) на стволе растения относятся примерно как числа Фибоначчи.
- В культуре
См. также
Литература
Ссылки
Примечания
- ↑ [1] БСЭ]
- ↑ P. Ribenboim, The New Book of Prime Number Records, Springer, 1996, p. 193.
Wikimedia Foundation. 2010.
Ряд Фибоначчи Википедия
Черепица с квадратами, длина сторон которых является последовательными числами Фибоначчи: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 и 21. Спираль Фибоначчи: приближение золотой спирали, созданной путём рисования круговых дуг, соединяющих противоположные углы квадратов в мозаике Фибоначчи;[1] (см. предыдущее изображение)Чи́сла Фибона́ччи (иногда пишут Фибона́чи[2]) — элементы числовой последовательности
- 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, … (последовательность A000045 в OEIS),
в которой первые два числа равны либо 1 и 1, либо 0 и 1, а каждое последующее число равно сумме двух предыдущих чисел[3]. Названы в честь средневекового математика Леонардо Пизанского (известного как Фибоначчи)[4].
Более формально, последовательность чисел Фибоначчи {Fn}{\displaystyle \{F_{n}\}} задаётся линейным рекуррентным соотношением:
- F0=0,F1=1,Fn=Fn−1+Fn−2, n⩾2, n∈Z.{\displaystyle F_{0}=0,\quad F_{1}=1,\quad F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2},\ n\geqslant 2,\ n\in \mathbb {Z} .}
В некоторых книгах, особенно в старых, F0{\displaystyle F_{0}}, равное нулю опускается, и последовательность Фибоначчи начинается с F1=F2=1{\displaystyle F_{1}=F_{2}=1}[6].
Иногда числа Фибоначчи рассматривают и для отрицательных значений n{\displaystyle n}, как двусторонне бесконечную последовательность, удовлетворяющую тому же рекуррентному соотношению. При этом члены с отрицательными индексами легко получить с помощью эквивалентной формулы «назад»: Fn=Fn+2−Fn+1{\displaystyle F_{n}=F_{n+2}-F_{n+1}}:
n | … | −10 | −9 | −8 | −7 | −6 | −5 | −4 | −3 | −2 | −1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | … |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Fn{\displaystyle F_{n}} | … | −55 | 34 | −21 | 13 | −8 | 5 | −3 | 2 | −1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 2 | 3 | 5 | 8 | 13 | 21 | 34 | 55 | … |
Легко заметить, что