Формула Герона для площади треугольника

Треугольник – это фигура, которая образуется после соединения трех точек, не лежащих на одной прямой отрезками. Точки называются вершинами, а отрезки сторонами. Для расчета треугольника существует множество формул, которые помогают найти как длины сторон, радиусы углов и прочие составляющие фигуры, так и площадь треугольника.

Самой распространенной формулой для расчета площади треугольника по трем сторонам является формула Герона . Если известны длины всех сторон, то можно вычислить площадь фигуры, применив формулу Герона для площади треугольника.

где a, b, c – длины сторон, а p– полупериметр.

Полупериметр – это сумма длин всех сторон поделенная на два.

Пример расчета формулы Герона для площади треугольника
Дан треугольник, в котором a = 5, b = 6, c = 7. Найдем полупериметр:

Теперь подставим данные в формулу для нахождения площади:

В итоге мы нашли площадь треугольника. Она равна 14,7 кв. см.

2mb.ru

Формула Герона

Умение мыслить математически – одна из благороднейших способностей человека.

В школьной математике весьма популярной является формула Герона, применение которой позволяет вычислять площадь треугольника по трем его сторонам. В тоже время мало кто из учеников знает, что существует аналогичная формула для вычисления площади четырехугольников, вписанных в окружность. Такая формула называется формулой Брахмагупты. Также является малоизвестной формула для вычисления площади треугольника по трем его высотам, вывод которой следует из формулы Герона.

Вычисление площади треугольников

Пусть в треугольнике    стороны  ,    и  . Тогда справедлива следующая теорема (формула Герона).

Теорема 1. Площадь вычисляется по формуле

                                                                              ,                 (1)

где  .

Доказательство. При выводе формулы (1) будем использовать известные геометрические формулы

,                 (2)

.                (3)

Из формул (2) и (3) получаем    и . Так как  , то     

,   ,

,

,

,

                        .                   (4)

 Если обозначить  , то из равенства (4) вытекает формула (1). Теорема доказана.

Рассмотрим теперь вопрос о вычислении площади треугольника при условии, что известны три ее высоты ,    и  .

Теорема 2. Площадь вычисляется по формуле

.              (5)

 Доказательство.  Так как   ,    и  ,  то  

,  ,     и  .

В таком случае из формулы (1) получаем

 или   

.

Отсюда вытекает формула (5). Теорема доказана.

Вычисление площади четырехугольников

Рассмотрим обобщение формулы Герона на случай вычисления площади четырехугольников. Однако сразу же необходимо отметить, что такое обобщение возможно только для четырехугольников, которые вписаны в окружность.

Пусть четырехугольник имеет стороны , ,  и  .

Если является четырехугольником, вписанным в окружность, то справедлива теорема 3 (формула Брахмагупты).

Теорема 3. Площадь    вычисляется по формуле

                                 ,              (6)

где  .

Доказательство. В четырехугольнике проведем диагональ и получим два треугольника и . Если к данным треугольникам применить теорему косинусов, которая равносильна формуле (3), то можно записать  

,  ,

                        .               (7)

Так как четырехугольник    вписан в окружность, то сумма  его противоположных углов равна  , т.е.  .

Поскольку    или  , то из (7) получаем

 или  

  .                (8)

Так как  , то  . Однако  и  ,  поэтому

                                                                                             .             (9)

Поскольку   , то из формул (8) и (9) следует

,

,

,

 или

.

Если положить   , то отсюда получаем формулу (6). Теорема доказана.

Если вписанный четырехугольник является одновременно и описанным, то формула (6) значительно упрощается.

Теорема 4. Площадь четырехугольника , вписанного в одну окружность и описанного вокруг другой,  вычисляется по формуле

 

                                                .             (10)

Доказательство. Так как в четырехугольник вписана окружность, то выполняются равенства

  или   .

В таком случае  ,  ,  ,   и формула (6) легко преобразуется в формулу (10). Теорема доказана.  

Перейдем к рассмотрению примеров задач геометрии, решение которых осуществляется на основе применения доказанных теорем.

   

Примеры решения задач

 

Пример 1. Найти площадь  , если  ,  и  .

Решение. Так как здесь  , то согласно теореме 1 получаем

.

Ответ:  .

Отметим, если стороны треугольника принимают иррациональные значения, то вычисление его площади посредством использования формулы (1), как правило,  является неэффективным. В таком случае целесообразно применять непосредственно формулы (2) и (3).

Пример 2. Найти площадь  , если  ,  и  .

Решение. Принимая во внимание формулы (2) и (3), получаем

,     или  , .

Так как  ,  то     или   .

Ответ:   .

Пример 3. Найти площадь  , если  ,  и  . 

Решение. Поскольку      ,

,

,

,

то из теоремы 2 следует, что   .

Ответ:  .

Пример 4. Треугольник имеет стороны , и . Найти    и  , где  радиусы описанной и вписанной окружностей, соответственно.

Решение. Первоначально вычислим площадь . Так как  , то из формулы (1) получаем  .

Известно, что    и  .  Поэтому    и   .

Ответ:   ,  

Пример 5. Найти площадь четырехугольника , вписанного в окружность, если  , ,  и  .

Решение.

Из условия примера следует, что . Тогда, согласно теореме 3, получаем  .

Ответ:  .

Пример 6. Найти площадь четырехугольника , вписанного в окружность, стороны которого  , ,  и  .

Решение. Так как     и   , то в четырехугольнике выполняется равенство  .  Однако известно, что существование такого равенства является необходимым и достаточным условием того, что в данный четырехугольник можно вписать окружность. В этой связи для вычисления площади    можно использовать формулу (10), из которой следует .

Ответ:  .

    Для самостоятельной и качественной подготовки к вступительным испытаниям в области решения задач школьной геометрии можно эффективно использовать учебные пособия, приведенные в списке рекомендованной литературы.  

   

Рекомендуемая литература

1. Готман Э.Г. Задачи по планиметрии и методы их решения. – М.: Просвещение, 1996. – 240 с.

2. Кулагин Е.Д., Федин С.Н. Геометрия треугольника в задачах. – М.: КД «Либроком» / URSS, 2009. – 208 с.

3. Сборник задач по математике для поступающих во втузы / Под ред. М.И. Сканави. – М.: Мир и Образование, 2013. – 608 с.

4. Супрун В.П. Математика для старшеклассников: дополнительные разделы школьной программы. – М.: Ленанд / URSS, 2014. – 216 с. 

Остались вопросы? 

Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь.

© blog.tutoronline.ru, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

blog.tutoronline.ru

Формула Герона — Вікіпедія

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Трикутник із сторонами a, b й c.

Фо́рмула Геро́на дозволяє визначити площу трикутника S{\displaystyle S} за даними довжинами його сторін a{\displaystyle a}, b{\displaystyle b} і c{\displaystyle c}.

S=p(p−a)(p−b)(p−c){\displaystyle S={\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}}, де p=a+b+c2{\displaystyle p={\frac {a+b+c}{2}}\,}  — половина периметру трикутника.

Доведення (тригонометричне)[ред. | ред. код]

Візьмемо широко відому формулу обчислення площі трикутника: S=12ab⋅sin⁡γ{\displaystyle S={1 \over 2}ab\cdot \sin {\gamma }}, де  γ{\displaystyle \ \gamma } — кут трикутника, що лежить навпроти сторони c{\displaystyle c}.

Згідно з теоремою косинусів c2=a2+b2−2ab⋅cos⁡γ{\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cdot \cos \gamma }. Звідси cos⁡γ=a2+b2−c22ab{\displaystyle \cos \gamma ={a^{2}+b^{2}-c^{2} \over 2ab}}.

Тому  sin2⁡γ=1−cos2⁡γ=(1−cos⁡γ)(1+cos⁡γ)={\displaystyle \ \sin ^{2}\gamma =1-\cos ^{2}\gamma =(1-\cos \gamma )(1+\cos \gamma )=}

=2ab−a2−b2+c22ab⋅2ab+a2+b2−c22ab=c2−(a−b)22ab⋅(a+b)2−c22ab={\displaystyle ={{2ab-a^{2}-b^{2}+c^{2}} \over 2ab}\cdot {{2ab+a^{2}+b^{2}-c^{2}} \over 2ab}={{c^{2}-(a-b)^{2}} \over 2ab}\cdot {{(a+b)^{2}-c^{2}} \over 2ab}=}

=14a2b2(c−a+b)(c+a−b)(a+b−c)(a+b+c){\displaystyle ={1 \over 4a^{2}b^{2}}(c-a+b)(c+a-b)(a+b-c)(a+b+c)}.

Оскільки справедливі рівності a+b+c=2p{\displaystyle a+b+c=2p}, a+b−c=2p−2c{\displaystyle a+b-c=2p-2c}, a+c−b=2p−2b{\displaystyle a+c-b=2p-2b}, c−a+b=2p−2a{\displaystyle c-a+b=2p-2a}, отримуємо, що

sin⁡γ=2abp(p−a)(p−b)(p−c).{\displaystyle \sin \gamma ={2 \over ab}{\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}.}

Таким чином, S=12absin⁡γ=p(p−a)(p−b)(p−c){\displaystyle S={1 \over 2}ab\sin \gamma ={\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}}.

Доведення (геометричне)[ред. | ред. код]

Нехай дано трикутник ABC{\displaystyle ABC}, w1{\displaystyle w_{1}} та w2{\displaystyle w_{2}} — вписане та зовнівписане (яке дотикається до сторони BC{\displaystyle BC}) коло відповідно, I{\displaystyle I} — центр вписаного кола w1{\displaystyle w_{1}} (інцентр, точка перетину бісектрис), Ia{\displaystyle I_{a}} — центр зовнівписаного кола w2{\displaystyle w_{2}} (точка перетину внутрішньої та двох зовнішніх бісектрис).

Нехай K{\displaystyle K} — точка дотику вписаного кола до сторони AB{\displaystyle AB}, а T{\displaystyle T} — точка дотику зовнівписаного кола до продовження сторони AB{\displaystyle AB}. Тоді IK=r{\displaystyle IK=r} — радіус вписаного кола w1{\displaystyle w_{1}}, IaT=ra{\displaystyle I_{a}T=r_{a}} — радіус зовнівписаного кола w2{\displaystyle w_{2}}, і нехай p=a+b+c2{\displaystyle p={\frac {a+b+c}{2}}} — півпериметр трикутника ABC{\displaystyle ABC}..

З властивостей вписаного та зовнівписаних кіл відомо, що AK=p−a{\displaystyle AK=p-a}, KB=p−b{\displaystyle KB=p-b}, BT=p−c{\displaystyle BT=p-c}, a AT=p{\displaystyle AT=p}, причому IK⊥AB{\displaystyle IK\perp AB} та IaT⊥AB{\displaystyle I_{a}T\perp AB}.

Звідси маємо, що трикутники AIK{\displaystyle AIK} та AIaT{\displaystyle AI_{a}T} подібні (як прямокутні трикутники зі спільним гострим кутом ∠IAK{\displaystyle \angle IAK}). Тому AKAT=IKIaT{\displaystyle {\frac {AK}{AT}}={\frac {IK}{I_{a}T}}}, тобто p−ap=rra{\displaystyle {\frac {p-a}{p}}={\frac {r}{r_{a}}}}. Звідси ra(p−a)=pr=S{\displaystyle r_{a}(p-a)=pr=S}.

Знайдемо кут ∠BIaT{\displaystyle \angle BI_{a}T}. Оскільки △BIaT{\displaystyle \bigtriangleup BI_{a}T} — прямокутний, то ∠BIaT=90∘−∠IaBT{\displaystyle \angle BI_{a}T=90^{\circ }-\angle I_{a}BT}. За побудовою BIa{\displaystyle BI_{a}} — бісектриса кута ∠CBT=180∘−∠B{\displaystyle \angle CBT=180^{\circ }-\angle B} (як зовнішній кут), а тому ∠IaBT=∠CBT2=180∘−∠B2=90∘−∠B2{\displaystyle \angle I_{a}BT={\frac {\angle CBT}{2}}={\frac {180^{\circ }-\angle B}{2}}=90^{\circ }-{\frac {\angle B}{2}}}. Звідси ∠BIaT=∠B2{\displaystyle \angle BI_{a}T={\frac {\angle B}{2}}}.

Але також ∠BIK=∠B2{\displaystyle \angle BIK={\frac {\angle B}{2}}}, оскільки BI{\displaystyle BI} — бісектриса кута ∠B{\displaystyle \angle B}. Отримали, що трикутники BIaT{\displaystyle BI_{a}T} та BIK{\displaystyle BIK} подібні (як прямокутні за рівними гострими кутами). Тому IaTBK=BTIK{\displaystyle {\frac {I_{a}T}{BK}}={\frac {BT}{IK}}}, тобто rap−b=p−cr{\displaystyle {\frac {r_{a}}{p-b}}={\frac {p-c}{r}}}. Звідси rar=(p−b)(p−c){\displaystyle r_{a}r=(p-b)(p-c)}.

З рівностей ra(p−a)=pr=S{\displaystyle r_{a}(p-a)=pr=S} одержимо, що S2=p(p−a)rar{\displaystyle S^{2}=p(p-a)r_{a}r}. Замінивши rar{\displaystyle r_{a}r} по вище доведеній формулі rar=(p−b)(p−c){\displaystyle r_{a}r=(p-b)(p-c)}, одержимо остаточно S2=p(p−a)(p−b)(p−c){\displaystyle S^{2}=p(p-a)(p-b)(p-c)}, або, що те саме, S=p(p−a)(p−b)(p−c){\displaystyle S={\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}}.

Формула Брамагупти є узагальненням формули Герона для площі трикутника. А саме, площа S вписаного у коло чотирикутника зі сторонами a, b, c, d і півпериметр p дорівнює

S=(p−a)(p−b)(p−c)(p−d).{\displaystyle S={\sqrt {(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}}.}

uk.wikipedia.org

Подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ (Справочник по математике — Планиметрия

Вывод формулы Герона

      Утверждение 1. Площадь произвольного треугольника можно найти по формуле Герона:

где   a , b , c   – длины сторон треугольника, а   p   – полупериметр треугольника, т.е.

.

      Доказательство.

Рис.1

      Поскольку (рис.1)

то

      Воспользовавшись теоремой косинусов, получаем:

      Следовательно,

      Таким образом,

что и требовалось доказать.

Вывод формулы Брахмагупты

      Утверждение 2. Площадь четырёхугольника, вписанного в окружность, можно найти по формуле Брахмагупты:

где   a , b , c , d   – длины сторон четырёхугольника, а   p   – полупериметр, т.е.

      Доказательство.

Рис.2

      Если угол   D   четырёхугольника   ABCD   обозначить буквой   φ   (рис.2), то, поскольку сумма противоположных углов вписанного четырёхугольника равна   π ,   угол   B   будет равен   π – φ .   По этой причине

      Следовательно,

      Применяя теорему косинусов к треугольнику   ACD ,   получаем:

AC ² = a² + b² – 2bc cos φ .

      Применяя теорему косинусов к треугольнику   ABC ,   получаем:

AC ² =
= c² + d ² – 2cd cos (π – φ) =
= c² + d ² + 2cd cos φ .

      Следовательно,

где буквами   A   и   B   обозначены выражения

      Поэтому

Преобразуем каждую скобку

B + A = 2 (ab +cd) +
+ a² + b² – c² – d² =
= a² + 2ab + b² –
– (c² – 2cd + d²) =
= (a + b)² – (c – d)² =
= (a + b + c – d)
(a + b – c + d) =
= (2p – 2d)(2p – 2c) =
= 4(p – d)(p – c) ;

B – A = 2 (ab +cd) –
– (a² + b² – c² – d²) =
= – (a² – 2ab + b²) +
+ (c² + 2cd + d²) =
= (c + d)² – (a – b)² =
= (c + d + a – b)
(c + d – a + b) =
= (2p – 2b)(2p – 2a) =
= 4(p – b)(p – a) .

Буквой   p   здесь обозначен полупериметр четырехугольника   ABCD

Подставляя преобразованные выражения в формулу для   S² , получаем

      Таким образом,

что и требовалось доказать.

      На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

www.resolventa.ru

ГЕРОНА ФОРМУЛА — GrandKid

ГЕРОНА ФОРМУЛА — формула, выражающая площадь треугольника через три его стороны:где S — площадь треугольника, а, b, с — его стороны и р — полупериметр, т. е.
Формула названа по имени древнегреческого инженера и ученого Герона, работавшего в Александрии примерно в I в. н. э.

Герон рассматривал треугольник со сторонами: а=13, b= 14, с = 15 и а =-5, b=12, с= 13, у которых стороны и площади (84 и 30) выражались целыми числами. Впоследствии такие треугольники с целочисленными сторонами и целочисленной площадью стали называть героновыми. Прямоугольные же треугольники с целочисленными сторонами (катетами и гипотенузой) называются пифагоровыми треугольниками (они же будут и героновыми треугольниками).

Герон Александрийский (Ήρων ο Αλεξανδρεύς, 10 — 75) — древнегреческий математик и механик.
Герон считается величайшим инженером за всю историю человечества. Он практически вплотную подобрался к индустриальной революции, которая произошла только через приблизительно 2000 лет. Первым изобрёл автоматические двери, автоматический театр кукол, автомат для продаж, скорострельный самозаряжающийся арбалет, паровую турбину, автоматические декорации, прибор для измерения протяженности дорог (древний «таксометр») и др. Первым начал создавать программируемые устройства (вал со штырьками с намотанной на него веревкой).
Занимался геометрией, механикой, гидростатикой, оптикой. Основные произведения: Иетрика, Пневматика, Автоматопоэтика, Механика (фр.; произведение сохранилось целиком по-арабски), Катоптика (наука о зеркалах; сохранилась только в латинском переводе) и др. В 1814 году было найдено сочинение Герона «О диоптре», в котором изложены правила земельной съемки, фактически основанные на использовании прямоугольных координат. Герон использовал достижения своих предшественников: Евклида, Архимеда, Стратона из Лампсака.

grandkid.ru

Формула Герона — Википедия

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Фо́рмула Герона позволяет вычислить площадь треугольника (S) по его сторонам a, b, c:

S=p(p−a)(p−b)(p−c),{\displaystyle S={\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}},}

где p — полупериметр треугольника: p=a+b+c2{\displaystyle p={\frac {a+b+c}{2}}}.

Доказательство:

S=12ab⋅sin⁡γ{\displaystyle S={1 \over 2}ab\cdot \sin {\gamma }},

где  γ{\displaystyle \ \gamma } — угол треугольника, противолежащий стороне c{\displaystyle c}. По теореме косинусов:

c2=a2+b2−2ab⋅cos⁡γ,{\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cdot \cos \gamma ,}

Отсюда:

cos⁡γ=a2+b2−c22ab,{\displaystyle \cos \gamma ={a^{2}+b^{2}-c^{2} \over 2ab},}

Значит,

 sin2⁡γ=1−cos2⁡γ=(1−cos⁡γ)(1+cos⁡γ)={\displaystyle \ \sin ^{2}\gamma =1-\cos ^{2}\gamma =(1-\cos \gamma )(1+\cos \gamma )=}

=2ab−a2−b2+c22ab⋅2ab+a2+b2−c22ab={\displaystyle ={{2ab-a^{2}-b^{2}+c^{2}} \over 2ab}\cdot {{2ab+a^{2}+b^{2}-c^{2}} \over 2ab}=}

=c2−(a−b)22ab⋅(a+b)2−c22ab=14a2b2(c−a+b)(c+a−b)(a+b−c)(a+b+c){\displaystyle ={{c^{2}-(a-b)^{2}} \over 2ab}\cdot {{(a+b)^{2}-c^{2}} \over 2ab}={1 \over 4a^{2}b^{2}}(c-a+b)(c+a-b)(a+b-c)(a+b+c)}.

Замечая, что a+b+c=2p{\displaystyle a+b+c=2p}, a+b−c=2p−2c{\displaystyle a+b-c=2p-2c}, a+c−b=2p−2b{\displaystyle a+c-b=2p-2b}, c−a+b=2p−2a{\displaystyle c-a+b=2p-2a}, получаем:

sin⁡γ=2abp(p−a)(p−b)(p−c).{\displaystyle \sin \gamma ={2 \over ab}{\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}.}

Таким образом,

S=12absin⁡γ=p(p−a)(p−b)(p−c),{\displaystyle S={1 \over 2}ab\sin \gamma ={\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}},}

ч.т.д.

История

Эта формула содержится в «Метрике» Герона Александрийского (I век н. э.) и названа в его честь (хотя она была известна ещё Архимеду). Герон интересовался треугольниками с целочисленными сторонами, площади которых тоже являются целыми. Такие треугольники носят название героновых треугольников. Простейшим героновым треугольником является египетский треугольник.

Вариации

• Выразив полупериметр через полусумму всех сторон данного треугольника, можно получить три эквивалентные формулы Герона:

S=14(a2+b2+c2)2−2(a4+b4+c4){\displaystyle S={\frac {1}{4}}{\sqrt {(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}-2(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}}

S=142(a2b2+a2c2+b2c2)−(a4+b4+c4){\displaystyle S={\frac {1}{4}}{\sqrt {2(a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2})-(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}}

S=14(a+b−c)(a−b+c)(−a+b+c)(a+b+c).{\displaystyle S={\frac {1}{4}}{\sqrt {(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)(a+b+c)}}.}

S=144a2b2−(a2+b2−c2)2.{\displaystyle S={\frac {1}{4}}{\sqrt {4a^{2}b^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}}}.}

• Формулу Герона можно записать с помощью определителя в виде^[1]:

  −16S2=|0a2b21a20c21b2c2011110|=|abc0ba0cc0ab0cba|{\displaystyle -16S^{2}={\begin{vmatrix}0&a^{2}&b^{2}&1\\a^{2}&0&c^{2}&1\\b^{2}&c^{2}&0&1\\1&1&1&0\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}a&b&c&0\\b&a&0&c\\c&0&a&b\\0&c&b&a\end{vmatrix}}}

• Первый определитель последней формулы является частным случаем определителя Кэли — Менгера (англ.)русск. для вычисления гиперобъёма симплекса.

Аналоги формулы Герона

Имеются три формулы, по структуре аналогичные формуле Герона, но выражаемые в терминах других различных параметров треугольника.

• Первая формула выражает площадь через медианы, опущенные на стороны a, b и c, обозначенные соответственно через m_a, m_b и m_c, если их полусумма есть σ = (m_a + m_b + m_c)/2. Тогда мы имеем ^[2]

  S=43σ(σ−ma)(σ−mb)(σ−mc).{\displaystyle S={\frac {4}{3}}{\sqrt {\sigma (\sigma -m_{a})(\sigma -m_{b})(\sigma -m_{c})}}.}

• Обозначим высоты, проведенные к сторонам a, b и c треугольника соответственно через h_a, h_b и h_c, а полусумму их обратных величин обозначим через H=(ha−1+hb−1+hc−1)/2{\displaystyle H=(h_{a}^{-1}+h_{b}^{-1}+h_{c}^{-1})/2}. Тогда имеем ^[3]

S−1=4H(H−ha−1)(H−hb−1)(H−hc−1){\displaystyle S^{-1}=4{\sqrt {H(H-h_{a}^{-1})(H-h_{b}^{-1})(H-h_{c}^{-1})}}}

или в развернутом виде

S=1(1ha+1hb+1hc)(1hc+1hb−1ha)(1ha+1hc−1hb)(1ha+1hb−1hc){\displaystyle S={\frac {1}{\sqrt {({\frac {1}{h_{a}}}+{\frac {1}{h_{b}}}+{\frac {1}{h_{c}}})({\frac {1}{h_{c}}}+{\frac {1}{h_{b}}}-{\frac {1}{h_{a}}})({\frac {1}{h_{a}}}+{\frac {1}{h_{c}}}-{\frac {1}{h_{b}}})({\frac {1}{h_{a}}}+{\frac {1}{h_{b}}}-{\frac {1}{h_{c}}})}}}}

• Наконец, обозначим полусумму синусов углов треугольника через s = [(sin α) + (sin β) + (sin γ)]/2, тогда имеем ^[4]

S=D2s(s−sin⁡α)(s−sin⁡β)(s−sin⁡γ).{\displaystyle S=D^{2}{\sqrt {s(s-\sin \alpha )(s-\sin \beta )(s-\sin \gamma )}}.}

Здесь через D обозначен диаметр описанной окружности треугольника: D=asin⁡α=bsin⁡β=csin⁡γ.{\displaystyle D={\tfrac {a}{\sin \alpha }}={\tfrac {b}{\sin \beta }}={\tfrac {c}{\sin \gamma }}.}

Обобщения

где p=a+b+c+d2{\displaystyle p={\frac {a+b+c+d}{2}}} — полупериметр четырёхугольника. (Треугольник является предельным случаем вписанного четырёхугольника при устремлении длины одной из сторон к нулю. Например, при d=0)

• Та же Формула Брахмагупты через определитель^[5]:

  S=14−|abc−dba−dcc−dab−dcba|{\displaystyle S={\frac {1}{4}}{\sqrt {-{\begin{vmatrix}a&b&c&-d\\b&a&-d&c\\c&-d&a&b\\-d&c&b&a\end{vmatrix}}}}}

• Для тетраэдров верна формула Герона — Тарталья, которая обобщена также на случай других многогранников (см. изгибаемые многогранники): если у тетраэдра длины рёбер равны l1,l2,l3,l4,l5,l6{\displaystyle l_{1},l_{2},l_{3},l_{4},l_{5},l_{6}}, то для его объёма V{\displaystyle V} верно выражение

  144V2=l12l52(l22+l32+l42+l62−l12−l52){\displaystyle 144V^{2}=l_{1}^{2}l_{5}^{2}(l_{2}^{2}+l_{3}^{2}+l_{4}^{2}+l_{6}^{2}-l_{1}^{2}-l_{5}^{2})}+l22l62(l12+l32+l42+l52−l22−l62){\displaystyle +l_{2}^{2}l_{6}^{2}(l_{1}^{2}+l_{3}^{2}+l_{4}^{2}+l_{5}^{2}-l_{2}^{2}-l_{6}^{2})}+l32l42(l12+l22+l52+l62−l32−l42){\displaystyle +l_{3}^{2}l_{4}^{2}(l_{1}^{2}+l_{2}^{2}+l_{5}^{2}+l_{6}^{2}-l_{3}^{2}-l_{4}^{2})}−l12l22l42−l22l32l52−l12l32l62−l42l52l62{\displaystyle -l_{1}^{2}l_{2}^{2}l_{4}^{2}-l_{2}^{2}l_{3}^{2}l_{5}^{2}-l_{1}^{2}l_{3}^{2}l_{6}^{2}-l_{4}^{2}l_{5}^{2}l_{6}^{2}}.

• Предыдущая формула может быть выписана для тетраэдра в явном виде: Если U, V, W, u, v, w являются длинами ребер тетраэдра (первые три из них образуют треугольник; и , например, ребро u противоположно ребру U и т.д.), тогда справедливы формулы ^[6]

  V=(−a+b+c+d)(a−b+c+d)(a+b−c+d)(a+b+c−d)192uvw{\displaystyle {\text{V}}={\frac {\sqrt {\,(-a+b+c+d)\,(a-b+c+d)\,(a+b-c+d)\,(a+b+c-d)}}{192\,u\,v\,w}}}

где

a=xYZb=yZXc=zXYd=xyzX=(w−U+v)(U+v+w)x=(U−v+w)(v−w+U)Y=(u−V+w)(V+w+u)y=(V−w+u)(w−u+V)Z=(v−W+u)(W+u+v)z=(W−u+v)(u−v+W).{\displaystyle {\begin{aligned}a&={\sqrt {xYZ}}\\b&={\sqrt {yZX}}\\c&={\sqrt {zXY}}\\d&={\sqrt {xyz}}\\X&=(w-U+v)\,(U+v+w)\\x&=(U-v+w)\,(v-w+U)\\Y&=(u-V+w)\,(V+w+u)\\y&=(V-w+u)\,(w-u+V)\\Z&=(v-W+u)\,(W+u+v)\\z&=(W-u+v)\,(u-v+W).\end{aligned}}}

Для сферического треугольника

• Теорема Люилье. Площадь сферического треугольника выражается через его стороны θa=aR,θb=bR,θc=cR{\displaystyle \theta _{a}={\frac {a}{R}},\theta _{b}={\frac {b}{R}},\theta _{c}={\frac {c}{R}}} как:

  S=4R2arctg⁡tg⁡(θs2)tg⁡(θs−θa2)tg⁡(θs−θb2)tg⁡(θs−θc2){\displaystyle S=4R^{2}\,\operatorname {arctg} {\sqrt {\operatorname {tg} \left({\frac {\theta _{s}}{2}}\right)\operatorname {tg} \left({\frac {\theta _{s}-\theta _{a}}{2}}\right)\operatorname {tg} \left({\frac {\theta _{s}-\theta _{b}}{2}}\right)\operatorname {tg} \left({\frac {\theta _{s}-\theta _{c}}{2}}\right)}}}, где θs=θa+θb+θc2{\displaystyle \theta _{s}={\frac {\theta _{a}+\theta _{b}+\theta _{c}}{2}}} — полупериметр.

См. также

Примечания

1. ↑ Weisstein, Eric W. Heron’s Formula. From MathWorld—A Wolfram Web Resource.
2. ↑ Benyi, Arpad, «A Heron-type formula for the triangle,» Mathematical Gazette» 87, July 2003, 324–326.
3. ↑ Mitchell, Douglas W., «A Heron-type formula for the reciprocal area of a triangle,» Mathematical Gazette 89, November 2005, 494.
4. ↑ Mitchell, Douglas W., «A Heron-type area formula in terms of sines,» Mathematical Gazette 93, March 2009, 108–109.
5. ↑ Стариков В.Н. Заметки по геометрии// Научный поиск: гуманитарные и социально-экономические науки: сборник научных трудов. Выпуск 1/ Гл ред. Романова И .В Чебоксары: ЦДИП «INet», 2014. С. 37-39
6. ↑ W. Kahan, «What has the Volume of a Tetrahedron to do with Computer Programming Languages?», [1], pp. 16-17.

Литература

wikipedia.green

Формула Герона | Математика, которая мне нравится

Герон Александрийский

Герон Александрийский жил во второй половине первого века нашей эры. О Героне известно довольно мало. Однако до нас дошли некоторые его труды и копии его трудов, на основании которых Герона вполне заслуженно считают величайшим инженером. Он изобрел автоматические двери, которые производили огромное впечатление на людей, приходивших в храмы, первый торговый автомат, наливавший за монетку определенное количество святой воды, механических певчих птиц, автоматический театр, самострельный арбалет, паровую турбину и многое другое.

К сожалению, в средние века многие его изобретения оказались никому не нужными.

Формула Герона, которая позволяет вычислить площадь треугольника по длинам его сторон, в действительности была открыта Архимедом. Однако это не умаляет того, что сделал этот человек.

О Героне сняты мультфильмы. Один из них советский, 1979 года, “Герон’’, другой — 13-я серия из французского мультсериала, посвященная Герону, “Жили-были первооткрыватели. Герон Александрийский’’. Если честно, мультфильмы я вообще не очень люблю, а вот документальный фильм о Героне, “Древние открытия: удивительные машины. Герон’’, посмотрела с большим удовольствием. Вы можете его тоже посмотреть вот здесь: http://www.cinemaplayer.ru/29479-_drevnie_otkryitiya_udivitelnyie_mashinyi___Ancient_Discoveries_Surprising_Machines.html

А теперь рассмотрим формулу Герона. Приведу самое простое ее доказательство, основанное на теореме Пифагора, доступное восьмикласснику.

Теорема. Площадь треугольника, длины сторон которого равны и , находится по формуле

   

где — полупериметр треугольника.

Доказательство. Рассмотрим треугольник , . Пусть — высота треугольника , проведенная из вершины , . Тогда , и по теореме Пифагора из треугольников и соответственно имеем:

   

откуда

   

Вспоминая, что , получаем и .
Сложим последнее равенство с равенством , получим

   

или

   

Теперь найдем высоту треугольника:

   

   

   

   

   

Поскольку

   

то

   

Подставляем эти выражения в найденное выражение для :

   

Учитывая то, что , получаем требуемое.

Источник: http://ru.wikipedia.org/wiki/Герон

hijos.ru