Как построить график функции в Microsoft Excel?

Знаю что в Excel можно построить разные диаграммы, а можно ли в нем строить графики функций?

В Microsoft Excel можно строить даже графики математических функций, конечно это не так просто как построить те же  графики в специализированной программе MathCAD.

Рассмотрим процесс построения графика функции в Microsoft Excel 2003. Процесс построения графика в Microsoft Excel 2007 будет немного отличаться.

Excel — электронные таблицы, позволяющие производить вычисления. Результаты вычислений можно применить в качестве исходных данных для графика (диаграммы) Excel.

1. Открываем чистый лист книги. Делаем два столбца, в одном из которых будет записан аргумент, а в другом — функция.

2. Заносим в столбец с аргументом x (столбец B) значения x так, чтобы вас устраивал выбранный отрезок, на котором вы будете рассматривать график функции. В ячейку C3 забьём формулу функции, которую вы собираетесь строить.

). То же самое можно реализовать с помощью функции «=B3*B3*B3».

Однако забивать формулу в каждой строке очень неудобно. Создатели Microsoft Excel всё это предусмотрели. Для того, чтобы наша формула появилась в каждой ячейке необходимо «растянуть» её. Растягивание ячеек с формулами и числами — фирменная фишка экзеля (очень полезная).

Щёлкните на ячейке с формулой. В правом нижнем углу ячейки есть маленький квадратик (он отмечен красным цветом на рисунке ниже). Вам нужно навести курсор мышки на него (при этом курсор мышки поменяется), нажать праву кнопку и «растянуть» формулу вниз на столько ячеек, сколько вам нужно.

3. Перейдём непосредственно к построению графика.

 Меню «Вставка» → «Диаграмма»:

4. Выбираем любую из точечных диаграмм. Нажимаем «Далее». Следует заметить, что нам необходима именно точечная диаграмма, т.к. другие виды диаграмм не позволяют нам задать и функцию, и аргумент в явном виде (в виде ссылки на группу ячеек).

5. В появившемся окне нажимаем вкладку «Ряд». Добавляем ряд нажатием кнопки «Добавить».

В появившемся окне надо задать откуда будут взяты числа (а точнее результаты вычислений) для графика. Чтобы выбрать ячейки, нужно щёлкнуть поочередно по кнопкам, обведённым красным овалом на рисунке ниже.

После этого нужно выделить те ячейки, откуда будут взяты значения для x и y.

6. Вот что получилось. Последний шаг — нажимаем «готово» :

Вот таким достаточно простым способом можно строить графики в Microsoft Excel. Стоит заметить, что при любом изменении набора аргументов функции или самой функции график мгновенно перестроится заново

По материалам: how-tos.ru

Построение в Excel графиков математических и тригонометрических функций — Трюки и приемы в Microsoft Excel

Использование диаграмм Excel — хороший способ отображения графиков математических и тригонометрических функций. В этой статье описываются два метода построения графика функции: с одной переменной с помощью точечной диаграммы и с двумя переменными с помощью 3D-диаграммы.

Построение графиков математических функций с одной переменной

Точечная диаграмма (известная как диаграмма XY в предыдущих версиях Excel) отображает точку (маркер) для каждой пары значений. Например, на рис. 140.1 показан график функции SIN. На диаграмму наносятся рассчитанные значения у для значений х (в радианах) от -5 до 5 с инкрементом (приращением) 0,5. Каждая пара значений х и у выступает в качестве точки данных в диаграмме, и эти точки связаны линиями.

Рис. 140.1. Диаграмма представляет собой график функции SIN(x)

Функция выражается в таком виде: у = SIN(x).

Соответствующая формула в ячейке

В2 (которая копируется в ячейки, расположенные ниже) будет следующей: =SIN(A2).

Чтобы создать эту диаграмму, выполните следующие действия.

1. Выделите диапазон А1:В22.
2. Выберите Вставка ► Диаграммы ► Точечная ► Точечная с прямыми отрезками и маркерами. 2)
   =НОРМ.РАСП(A2;0;1;ЛОЖЬ)

   Чтобы получить более точную диаграмму, увеличьте количество значений для построения графика и сделайте приращение в столбце А меньше.

   Вы можете использовать онлайн наш файл примера графиков математических функций с одной переменной, расположенной в Excel Web Apps при помощи Skydrive, и внести свои данные (изменения не будут сохраняться) или скачать себе на компьютер, для чего необходимо кликнуть по иконке Excel в правом нижнем углу. Это бесплатно 🙂

   Построение графиков математических функций с двумя переменными

   Вы также можете строить графики функций, которые используют две переменные. Например, следующая функция рассчитывает

   z для различных значений двух переменных (х и у): =SIN($A2)*COS($B1)

   На рис. 140.2 приведена поверхностная диаграмма, которая рассчитывает значение z для 21 значения х в диапазоне от -3 до 0 и для 21 значения у в диапазоне от 2 до 5. Для х и у используется приращение 0,15.

   Рис. 140.2. Использование трехмерной поверхностной диаграммы для построения графика функции с двумя переменными

   Значения х находятся в диапазоне А2:А22, а значения у — в диапазоне B1:V1.

   Формула в ячейке В2 копируется в другие ячейки таблицы и имеет следующий вид: =SIN($A2)*C0S(B$1).

   Чтобы создать диаграмму, выполните приведенные ниже действия.

   1. Выделите диапазон A1:V22.
   2. Выберите Вставка ► Диаграммы ► Другие ► Поверхность.
   3. Выберите макет диаграммы, который вам нравится, а затем настройте его.

   Пока значения х и у имеют равные приращения, вы можете задавать любую формулу с двумя переменными. Вам, возможно, потребуется настроить начальные значения и значение приращения для х и у. Для увеличения сглаживания используйте больше значений х и у при меньшем приращении. Вот другие формулы, которые вы можете попробовать:
   =SIN(КОРЕНЬ($A2^2+B$1^2))
=SIN($A2)*COS($A2*B$1)
=COS($A2*B$1)

   Свойства функций синуса, косинуса, тангенса и котангенса и их графики

   Свойства функции y=sin(x) и ее график.  

   График функции (синусоида)

   Свойства функции

   1.  Область определения: R (x — любое действительное число) т.е. 
   2. Область значений:

   3. Функция нечетная:

      (график симметричен относительно начала координат).

   4. Функция периодическая с периодом 
   5. Точки пересечения с осями координат:  
   6. Промежутки знакопостоянства: 
   7. Промежутки возрастания и убывания:   
      

    

   Объяснение и обоснование

   Описывая свойства функций, мы будем чаще всего выделять такие их характеристики: 1) область определения; 2) область значений; 3) четность или нечетность; 4) периодичность; 5) точки пересечения с осями координат; 6)   промежутки знакопостоянства; 7) промежутки возрастания и убывания; 8) наибольшее и наименьшее значения функции.

   Замечание. Абсциссы точек пересечения графика функции с осью Ох (то есть те значения аргумента, при которых функция равна нулю) называют нулями функции.

   Напомним, что значение синуса — это ордината соответствующей точки единичной окружности (рис. 1).

    

    Рис.1.

   Поскольку ординату можно найти для любой точки единичной окружности (в силу того, что через любую точку окружности всегда можно провести единственную прямую, перпендикулярную оси ординат), то область определения функции — все действительные числа. Это можно записать так:

   Для точек единичной окружности ординаты находятся в промежутке [—1; 1] и принимают все значения от —1 до 1, поскольку через любую точку отрезка [—1; 1] оси ординат (который является диаметром единичной окружности) всегда можно провести прямую, перпендикулярную оси орди­нат, и получить точку окружности, которая имеет рассматриваемую орди­нату. Таким образом, для функции область значений: . Это можно записать так:.Как видим, наибольшее значение функции sin x равно единице. Это зна­чение достигается только тогда, когда соответствующей точкой единичной окружности является точка A, то есть при Наименьшее значение функции равно минус единице. Это значение достигается только тогда, когда соответствующей точкой единичной окруж­ности является точка B, то есть при.

   Синус — нечетная функция: , поэтому ее график симметричен относительно начала координат.

   Синус — периодическая функция с наименьшим положительным периодом : , таким образом, через промежутки длиной вид графика функции повторя­ется. Поэтому при построении графика этой функции достаточно построить график на любом промежутке длиной , а потом полученную линию парал­лельно перенести вправо и влево вдоль оси Ox на расстояние , где k — любое натуральное число.

   Чтобы найти точки пересечения графика функции с осями координат, напомним, что на оси значение . Тогда соответствующее значение , то есть график функции проходит через начало координат.

   На оси значение . Поэтому необходимо найти такие значения , при которых , то есть ордината соответствующей точки единичной окруж­ности, равна нулю. Это будет тогда и только тогда, когда на единичной окруж­ности будут выбраны точки C или D, то есть при (см. рис. 1).

   Промежутки знакопостоянства. Значения функции синус положительны (то есть ордината соответствующей точки единичной окружности положительна) в I и II четвертях (рис. 2). Таким образом, при всех , а также, учитывая период, при всех .

   Значения функции синус отрицательны (то есть ордината соответствую­щей точки единичной окружности отрицательна) в III и IV четвертях, поэто­му при .

   Промежутки возрастания и убывания. Учитывая периодичность функции с периодом , достаточно исследовать ее на возрастание и убывание на любом промежутке длиной , например на промежутке . 

   Если (рис. 3, а), то при увеличении аргумента  ордината соответствующей точки единичной окружности увеличивается (то есть , следовательно, на этом промежутке функция возрас­тает. Учитывая периодичность функции , делаем вывод, что она также возрастает на каждом из промежутков 

   Рис.2                                                                            Рис. 3

   Если  (рис.3,б), то при увеличении аргумента  ордината соответствующей точки единичной окружности уменьшается (то есть ), таким образом, на этом промежутке функция убыва­ет. Учитывая периодичность функции , делаем вывод, что она также убывает на каждом из промежутков 

   Проведенное исследование позволяет обоснованно построить график функции . Учитывая периодичность этой функции (с периодом ), достаточно сначала построить график на любом промежутке длиной , на­пример на промежутке . Для более точного построения точек графика воспользуемся тем, что значение синуса — это ордината соответствующей точки единичной окружности. На рисунке 4 показано построение графика функции на промежутке . Учитывая нечетность функции  (ее график симметричен относительно начала координат), для построения графика на промежутке отображаем полученную кривую симметрич­но относительно начала координат (рис. 5).

   Рис.4

   Рис.5

    

   Поскольку мы построили график на промежутке длиной , то, учитывая периодичность синуса (с периодом ), повторяем вид графика на каждом промежутке длиной (то есть переносим параллельно график вдоль оси на , где k — целое число).  Получаем график, который называется синусоидой .(Рис.6)

   Рис.6

   
   Замечание. Тригонометрические функции широко применяются в ма­тематике, физике и технике. Например, множество процессов, таких как колебания струны, маятника, напряжения в цепи переменного тока и т. п., описываются функцией, которая задается формулой . Та­кие процессы называют гармоническими колебаниями.

   График функции можно получить из синусоиды сжатием или растяжением ее вдоль координатных осей и параллельным пере­носом вдоль оси . Чаще всего гармоническое колебание является функцией времени t. Тогда оно задается формулой , где А — амплитуда

   колебания, — частота, — начальная фаза, — период колебания.

   
    

   СВОЙСТВА ФУНКЦИИ И ЕЕ ГРАФИК

   График функции  (косинусоида).

   Свойства функции 

   1. Область определения: R (x — любое действительное число).
   2. Область значений: 

   3. Функция четная:

      (график симметричен относительно оси ).

   4. Функция периодическая с периодом  : 
   5. Точки пересечения с осями координат 
   6. Промежутки знакопостоянства: 
   7. Промежутки возрастания и убывания: 
      

   Объяснение и обоснование

   Напомним, что значение косинуса — это абсцисса соответствующей точки единичной окружности (рис.7). Поскольку абсциссу можно найти для любой точки единичной окружности (в силу того, что через любую точку окружности, всегда можно провести единственную прямую, перпендикулярную оси абсцисс), то область определения функции — все действительные числа. Это можно записать так:
   .

   Рис.7

   Для точек единичной окружности абсциссы находятся в промежутке и принимают все значения от -1 до 1, поскольку через любую точку отрезка оси абсцисс (который является диаметром единичной окружности) всегда можно провести прямую, перпендикулярную оси абсцисс, и получить
   

   точку окружности, которая имеет рассматриваемую абсциссу. Следовательно, область значений функции . Это можно записать так: .

   Как видим, наибольшее значение функции равно единице. Это зна­чение достигается только тогда, когда соответствующей точкой единичной окружности является точка A, то есть при .

   Наименьшее значение функции cos x равно минус единице. Это значение достигается только тогда, когда соответствующей точкой единичной окруж­ности является точка B, то есть при .

   Косинус — четная функция: , поэтому ее график симметричен относительно оси .

   Косинус — периодическая функция с наименьшим положительным периодом : . Таким об­разом, через промежутки длиной вид графика функции повторяется.

   Чтобы найти точки пересечения графика функции с осями координат, напомним, что на оси значение . Тогда соответствующее значение . На оси значение . Поэтому необходимо найти такие значения , при которых , то есть абсцисса соответствующей точки единичной окружности будет равна нулю. Это будет тогда и только тогда, когда на единичной окружности будут выбраны точки C или D, то есть при .

   Промежутки знакопостоянства. Значения функции косинус положительны (то есть абсцисса соответствующей точки единичной окружности положительна) в I и IV четвертях (рис. 8). Следова­тельно, 0 при , а также, учитывая период, при всех .

   Значения функции косинус отрицательны (то есть абсцисса соответству­ющей точки единичной окружности отрицательна) во II и III четвертях, поэтому  при 

   Промежутки возрастания и убывания. Учитывая периодичность функции , достаточно исследовать ее на возрастание и убывание на любом промежутке длиной , например на промежутке .

   Если (рис. 9, а), то при увеличении аргумента  абсцис­са соответствующей точки единичной окружности уменьшается (то есть ), следовательно, на этом промежутке функция убывает. Учитывая периодичность функции , делаем вывод, что она также убывает на каждом из промежутков .

   Если (рис. 9, б), то при увеличении аргумента  аб­сцисса соответствующей точки единичной окружности увеличивается (то есть ), таким образом, на этом промежутке функция  возрастает. Учитывая периодичность функции , делаем вывод, что она возрастает также на каждом из промежутков . 

   Рис.8                                                                                                                          Рис.9

   Проведенное исследование позволяет построить график функции аналогично тому, как был построен график функции . Но график функции можно также получить с помощью геометрических преобразований графика функции , используя формулу

   Рис.10

   Эту формулу можно обосновать, например, так. Рассмотрим единичную окружность (рис. 10), отметим на ней точки а также

   абсциссы и ординаты этих точек. Так как , то при повороте

   прямоугольника  около точки на угол — против часовой стрел­ки он перейдет в прямоугольник . Но тогда . Следовательно, 00.

   Укажем также формулы, которые нам понадобятся далее:.

   Тогда,

   Таким образом, .

   Учитывая, что , график функции можно полу­чить из графика функции его параллельным переносом вдоль оси на  (рис. 11). Полученный график называется косинусоидой (рис. 12).

   Рис.11

   Рис.12

   
   График функции  (тангенсоида) 

   Свойства функции :

   1. Область определения: 

   2. Область значений: 

   3. Функция нечетная: 

   4. Функция периодическая с периодом 

   5. Точки пересечения с осями координат:   

   6. Промежутки знакопостоянства:

   7. Промежутки возрастания и убывания:

   8. Наибольшего и наименьшего значений функция не имеет.

   График функции  (котангенсоида)

   Свойства функции :

   1. Область определения:

   2. Область значений:

   3. Функция нечетная: 

   4. Функция переодическая с периодом 
   5. Точки пересечения с осями координат: 

   6. Промежутки знакопостоянства: 

   7. Промежутки возрастания и убывания:

    

   8. Наибольшего и наименьшего значений функция не имеет.

    

   Графики зависимости кинематических величин от времени при равномерном и равноускоренном движении

   Цели урока:

   обучающая: рассмотреть и сформировать навыки построения графиков зависимости кинематических величин от времени при равномерном и равноускоренном движении; научить учащихся анализировать эти графики; путем решения за­дач закрепить полученные знания на практике;

   развивающая: развитие умения наблюдать, анализировать конкретные ситуации; выделять определенные признаки;

   воспитывающая: воспитание дисциплины и норм поведения, творческого от­ношения к изучаемому предмету; стимулировать активность учащихся.

   Методы:

   словесный — беседа;

   наглядный — видеоурок, записи на доске;

   контролирующий — тестирование или устный (письменный) опрос, решение задач).

   Связи:

   межпредметные: математика — линейная зависимость, график линейной функции; квадратичная функция и ее график;

   внутрипредметные: равномерное и равноускоренное движение.

   Ход урока:

   1. Организационный этап.

   Добрый день. Прежде чем мы приступим к уроку, хотелось бы, чтобы каждый из вас настроился на рабочий лад.

   2. Актуализация знаний.

   3. Объяснение нового материала.

   Скачать этот видеоурок

   Мы с вами знаем, что механическое движение — это изменение положения тела (или частей тела) в пространстве относительного других тел с течением времени.

   В свою очередь механическое движение бывает двух видов — равномерное, при котором тело за любые равные промежутки времени совершает одинаковые перемещения, и неравномерным, при котором тело за любые равные промежутки времени совершает разные перемещения.

   Давайте вспомним основные формулы, которые мы выучили для равномерного и неравномерного движения.

   Если движение равномерное, то:

   1. Скорость тела не меняется с течением времени;

   2. Что бы найти скорость тела, необходимо путь, который прошло тело за некоторый промежуток времени, разделить на этот промежуток времени;

   3. Уравнение перемещения имеет вид:

   4. И  — кинематическое уравнение равномерного движения.

   Для равноускоренного:

   1. Ускорение тела не изменяется с течением времени;

   2. Ускорение есть величина, равная отношению изменения скорости тела, к промежутку времени, в течении которого это изменение произошло

   3. Уравнение скорости для равноускоренного движения имеет вид:

   4.  — уравнение перемещения для равноускоренного движения;

   5. — кинематическое уравнение равноускоренного движения.

   Для большей наглядности движение можно описывать с помощью графиков.

   Рассмотрим зависимость ускорения, которым может обладать тело вследствие своего движения, от времени.

   Если по горизонтальной оси (оси абсцисс) откладывать в определенном масштабе время, прошедшее с начала отсчета времени, а по вертикальной оси (оси ординат) — тоже в соответствующем масштабе — значения ускорения тела, полученный график будет выражать зависимость ускорения тела от времени.

   Для равномерного прямолинейного движения график зависимости ускорения от времени имеет вид прямой, которая совпадает с осью времени, т.к. ускорение при равномерном движении равно нулю.

   Для равноускоренного движения график ускорения также имеет вид прямой, параллельной оси времени. При этом график располагается над осью времени, если тело движется ускоренно, и под осью времени, если тело движется замедленно.

   Если по горизонтальной оси (оси абсцисс) откладывать в определенном масштабе время, а по вертикальной оси ординат — тоже в соответствующем масштабе — значения скорости тела, то мы получим график скорости.

   Для равномерного движения график скорости имеет вид прямой, параллельной оси времени. При этом график скорости располагается над осью времени, если тело движется по оси Х, и под осью времени, если тело движется против оси Х.

   Такие графики показывают, как изменяется скорость с течением времени, т. е. как скорость зависит от времени. В случае прямолинейного равномерного движения эта «зависимость» состоит в том, что скорость с течением времени не меняется. Поэтому график скорости представляет собой прямую, параллельную оси времени.

   По графику скорости тоже можно узнать абсолютное значение перемещения тела за данный промежуток времени. Оно численно равно площади заштрихованного прямоугольника: верхнего, если тело движется в сторону положительного направления, и нижнего — в случае движения тела в отрицательном направлении.

   Действительно, площадь прямоугольника равна произведению его сторон: S=ab, где a и b стороны прямоугольника.

   Но одна из сторон в определенном масштабе равна времени, а другая — скорости. А их произведение как раз и равно абсолютному значению перемещения тела. При этом перемещение будет положительным, если проекция вектора скорости положительна, и отрицательным, если проекция вектора скорости отрицательна.

   При равноускоренном движении тела, происходящем вдоль координатной оси X, скорость с течением времени не остается постоянной, а меняется со временем согласно формуле v = v₀ + at, т. е. скорость является линейной функцией, и поэтому графики скорости имеют вид прямой, наклоненную к оси времени. Причем, чем больше угол наклона, те большую скорость имеет тело. На нашем графике прямая 1 соответствует движению с положительным ускорением (скорость увеличивается) и некоторой начальной скоростью, прямая 2 — движению с отрицательным ускорением (скорость убывает) и начальной скоростью равной нулю.

   По графику скорости при равноускоренном движении также можно узнать абсолютное значение перемещения тела за данный промежуток времени. Оно численно равно площади заштрихованной трапеции для тела 1, и прямоугольного треугольника — в противоположном случае. Действительно, например, площадь трапеции равна произведению полу суммы её оснований на высоту. В нашем случае, в определенном масштабе, высота трапеции равна времени, а основания — начальной и конечной скорости.

   При этом проекция перемещения для первого тела будет положительной.

   Для второго тела, прямоугольного треугольника — половине произведения его катетов. В нашем случае, катеты — это время и конечная скорость тела.

   Проекция перемещения — отрицательна.

   Теперь рассмотрим зависимость пройденного пути от времени.

   Как и в предыдущих случаях, по оси абсцисс мы будем откладывать время, с момента начала движения, а по оси ординат — путь.

   Для равномерного движения график зависимости пути от времени представляет собой прямую линию, т.к. зависимость — линейная.

   При этом наклон графика к оси времени зависит от модуля скорости: чем больше скорость, тем больший угол наклона и тем больше скорость движения тела.

   При равноускоренном движении графиком будет являться ветка параболы, т.к. зависимость, в этом случае, будет квадратичной. И чем больше ускорение, с которым движется тело, тем сильнее график будет прижиматься к оси ординат.

   Теперь перейдем к рассмотрению зависимости перемещения от времени.

   Рассмотрим равномерное движение.

   Т.к. при равномерном движении перемещение линейно зависит от времени (s_x = υ_xt), то графиком будет являться прямая линия. Направление и угол наклона графика к оси времени будет зависеть от проекции вектора скорости на координатную ось.

   Так, в нашем случае, тела 2 и 3 движутся в положительном направлении оси Х, при этом скорость третьего тела больше скорости второго.

   А тело 1 — в направлении, противоположном направлению оси Х, поэтому график располагается под осью времени.

   Для равноускоренного движения графиком перемещения является парабола, положение вершины которой зависит от направлений начальной скорости и ускорения.

   Для 1-го тела ускорение меньше нуля, начальная скорость равна нулю.

   Для 2-го тела ускорение и начальная скорость тела больше нуля.

   Для 3-го тела ускорение больше нуля, начальная скорость меньше нуля.

   У 4-го тела начальная скорость и ускорение меньше нуля.

   Для 5-го тела ускорение больше нуля, а начальная скорость равна нулю.

   И, наконец, 6-ое тело двигается замедленно, но с некоторой начальной скоростью.

   И последнее, что мы с вами рассмотрим — это зависимость координаты тела от времени.

   Если по горизонтальной оси (оси абсцисс) откладывать в определенном масштабе время, прошедшее с начала отсчета времени, а по вертикальной оси (оси ординат) — тоже в соответствующем масштабе — значения координаты тела, полученный график будет выражать зависимость координаты тела от времени (его также называют графиком движения).

   Для равноускоренного движения графиком движения, как и в случае перемещения, является парабола, положение вершины которой также зависит от направлений начальной скорости и ускорения.

   График равномерного движения представляет собой прямую линию. Это значит, что координата линейно зависит от времени.

   В случае прямолинейного движения тела графики дви­жения дают полное решение за­дачи механики, так как они позволяют найти поло­жение тела в любой момент времени, в том числе и в моменты времени, предшество­вавшие начальному моменту (если предполо­жить, что тело двигалось с такой же ско­ростью и до начала отсчета времени).

   С помощью графика движения можно определить:

   1. координаты тела в любой момент времени;

   2. путь, пройденный телом за некоторый промежуток времени;

   3. время, за которое пройден какой-то путь;

   4. кратчайшее расстояние м/у телами в любой момент времени;

   5. момент и место встречи и т. д.

   По виду графиков зависи­мости координаты от времени можно судить и о скорости дви­жения. Ясно, что скорость тем больше, чем круче график, т. е. чем больше угол между ним и осью времени (чем больше этот угол, тем больше изме­нение координаты за одно и то же время).

   При этом надо помнить, что график зависимости координаты тела от времени не следует путать с траекторией движения тела — прямой, во всех точках которой тело побывало при своем движении.

   4. Этап обобщения и закрепления нового материала

   И так, сделаем главный вывод.

   Механическое движение для большей наглядности можно описывать с помощью графиков:

   1) Зависимости скорости от времени;

   2) Зависимости ускорения от времени;

   3) Зависимость координаты тела от времени;

   4) И зависимости перемещения тела от времени, в течении которого это перемещение произошло.

   5. Рефлексия

   Хотелось бы услышать ваши отзывы о сегодняшнем уроке: что вам понравилось, что не понравилось, чем бы хотелось узнать еще.

   6. Домашнее задание.

   Тема 2. Математические средства представления информации. Таблицы. Диаграммы. Формулы. Графики.

   Занятие 2.1. Диаграммы и таблицы

   Основное содержание

   Диаграмма как средство представления информации. Виды диаграмм. Целесообразность использования того или иного вида диаграммы для решения определенного вида задач.

   Таблица как средство представления информации. Способы структурирования информации на основе таблицы. Чтение таблиц. Обобщение данных на основе таблицы.

   Приведем фрагмент содержания занятия.

   Диаграмма — графическое изображение статистических данных при помощи линий или геометрических фигур. Диаграммы знакомы вам со времени обучения в начальной школе. Как вы знаете, диаграммы бывают, например:

   — круговые или секторные;

   — столбчатые;

   — гистограммы;

   — точечные;

   — кольцевые;

   — лепестковые.

   Круговые (секторные) диаграммы и составные столбчатые диаграммы удобно использовать в том случае, когда необходимо представить структуру целого, состоящего из непересекающихся частей. В этом случае целое чаще всего принимается за 100%. Таким образом, сумма составляющих его частей должна быть равна 100%.

   Например, диаграмма 1 показывает состав атмосферы Земли.

   Рис.1.

   Диаграмма 2 отражает то же соотношение газов в атмосфере Земли.

   Рис. 2.

   При построении круговой диаграммы или составной столбчатой диаграммы необходимо следить, чтобы сумма всех частей равнялась 100 %. Например, на диаграмме 3, отражающей воображаемую структуру целого, сумма процентов частей, составляющих ее, равна: 38+10+34+15=97, то есть не равна 100%. Таким образом, можно утверждать, что данная диаграмма сконструирована неправильно.

   Рис. 3.

   Иногда при составлении круговой диаграммы не указывают количество процентов, приходящееся на каждую выделенную часть. В этом случае диаграмма рассчитана на визуальное восприятие целостной информации без подробного анализа.

   Теперь перейдем к рассмотрению столбчатых диаграмм.

   Среди них можно выделить собственно столбчатые диаграммы и составные столбчатые диаграммы.

   Заметим, что и круговые, и составные столбчатые диаграммы могут отражать не количество процентов, соответствующих каждой составляющей целого, а количество долей. И в этом случае их число может быть отлично от 100. Но тогда, естественно, наименование (%) не пишется. В рассмотренном нами примере (рис. 3), убрав наименование (%), мы получили бы круговую диаграмму распределения частей в некотором целом, но не в процентах, а в долях, общее количество которых равно 97.

   То же самое может иметь место и в случае построения составных столбчатых диаграмм. В этом случае целое может быть выражено в абсолютных единицах (количество дней, то есть длительность какого-то процесса; общая сумма затрат и т.д.)

   Теперь обратимся непосредственно к столбчатым диаграммам.

   Столбчатая диаграмма — это график с одной осью для изображения качественных или порядковых показателей. Данные представляются в виде параллельных прямоугольников (столбиков) одинаковой ширины. Каждый столбик показывает один класс качественных данных (например, количество человек, занятых на том или ином участке производства). Высота столбика пропорциональна величине или частоте измеряемого параметра. Столбчатая диаграмма может быть расположена горизонтально (см. рис. 4) или вертикально (см. рис. 5).

   Рис. 4. Диаграмма объема ВВП стран-лидеров (2004 г.)

   в % от мировой доли ВВП

   Рис. 5. Площадь посевов генетически модифицированных растений, млн.га.

   Столбчатые диаграммы используют для представления сравнительных данных. Столбики могут быть сгруппированы или использованы для того, чтобы показать отклонение от исходного уровня.

   Примером простой столбчатой диаграммы является диаграмма, приведенная на рис. 5, которая отражает динамику роста площади посевов генетически модифицированных растений с 1995 по 2004 год.

   Теперь рассмотрим пример сгруппированных столбчатых диаграмм, которые используется для сравнения показателей внутри и между группами.

   На рисунке 6 приведена диаграмма, отражающая распределение топливных полезных ископаемых по регионам мира в 2005 году (в %).

   Рис. 6. распределение топливных полезных ископаемых по регионам мира в 2005 году (в %).

   Заметим, что одна и та же информация может быть представлена в виде разных диаграмм, в зависимости от тех целей, которые преследует автор.

   Автор книги «Говори на языке диаграмм» Джин Желязны, утверждает, что «выбирать тип диаграммы, не сформулировав окончательно идею, которую вы хотите донести с ее помощью, — это все равно что подбирать предметы гардероба по цвету с закрытыми глазами».

   Рассмотрим некоторые полезные рекомендации, которые представляет автор в своей книге.

   Первый шаг к правильному, адекватному поставленной цели представлению имеющейся информации – выбор типа диаграммы, который определяет тот смысл. Который автор стремиться вложить в диаграмму. Для того чтобы выбрать тип диаграммы, целесообразно набросать как можно больше диаграмм, соответствующих представленным данным.

   Например: на основании таблицы данных, отражающей процентное соотношение объема продаж по регионам для каждой компании (см. таблица 1.), можно построить несколько разных диаграмм.

   Таблица 1.

   Построение графиков математических функций в OneNote с использованием помощника по преобразованию в математические выражения

   Постройте график рукописных или введенных уравнений, используя помощник по преобразованию в математические выражения в OneNote. Вы даже можете манипулировать переменными, чтобы увидеть визуальный эффект изменений, превратив помощник по преобразованию в математические выражения в эффективное средство обучения математике.

   1. Сначала создайте уравнение с помощью рукописного ввода или текста. 

      На вкладке Рисование напишите или введите уравнение. Чтобы нарисовать кружок вокруг уравнения, используйте инструмент Произвольное выделение. Затем выберите пункт Математическое выражение. Откроется панель помощника по преобразованию в математические выражения.

   2. В раскрывающемся меню Выбрать действие в области Математическое выражение выберите Построить двухмерный график или двухмерный график обеих частей.

   3. Чтобы изменить граф, созданный помощником по преобразованию в математические выражения, выполните одно из указанных ниже действий (по возможности).

      • Чтобы переместить граф, щелкните (или нажмите и удерживайте) его, а затем перетащите в любом направлении.

      • Если нужно изменить значения параметров в уравнении, щелкните или коснитесь кнопок увеличительного стекла + и –, чтобы увеличить или уменьшить масштаб.

        Примечание: Если вы используете OneNote на сенсорном устройстве, вы также можете настроить граф с помощью пальцев. Используйте один палец, чтобы переместить граф, или два пальца, чтобы изменить масштаб увеличения. В OneNote для Интернета положение графа можно изменить с помощью стрелок, расположенных по сторонам графа.

      • Чтобы восстановить исходное состояние графа, щелкните или коснитесь значка Сброс в форме двойной стрелки.

      • Когда граф приобретет нужный вид, щелкните или коснитесь пункта Вставить на страницу, чтобы поместить его в виде снимка экрана на текущей странице.

   Примечание: Чтобы изменить способ измерения графа (градусы, радиан, градианы), щелкните или коснитесь пункта Параметры, когда открыта область «Математическое выражение».

   Построение графика линейной функции. Визуальный гид (ЕГЭ — 2021)

   P.S. Анонс платных и бесплатных вебинаров на эту неделю (с 1-го по 7-е февраля 2021)

   МАТЕМАТИКА

   Вторник. 18-00 мск. Экономическая задача. ЕГЭ 17. Кредиты — 1 — https://youclever.org/prices-math-repetitor-d/

   Это 2-й из 4-х уроков  курса по экономической задаче. По окончании курса вы сможете решать любую экономическую задачу (в том числе на оптимизацию, где надо знать производную) и получите свои 3 балла на ЕГЭ. Все уроки доступны в записи до 1 августа 2021 года.

   Среда. 18-00 мск. Планиметрия ЕГЭ №16.  Касательные, касающиеся окружности — https://youclever. org/prices-math-repetitor-d/ 

   Это 9-й из 12-ти уроков на планиметрию. Количество уроков курса говори само за себя. Планиметрия — одна из самых сложных тем. Но мы разберемся со всеми сложностями. Покупайте курс и вы сможете получить 3 балла на ЕГЭ по планиметрии. Все уроки доступны в записи до 1 августа 2021 года.

   Пятница. 18-00 мск. Экономическая задача. ЕГЭ 17. Кредиты — 2 — https://youclever.org/prices-math-repetitor-d/ 

   Это 3-й из 4-х уроков  курса по экономической задаче. По окончании курса вы сможете решать любую экономическую задачу (в том числе на оптимизацию, где надо знать производную) и получите свои 3 балла на ЕГЭ. Все уроки доступны в записи до 1 августа 2021 года.

   Бесплатный воскресный вебинар. 11-00. ЕГЭ 19. Задача — загадка.

   Регистрация здесь: https://youclever.org/free-sunday-webinars/  Кстати, зарегистрируйтесь один раз и вы будете получать приглашения на ВСЕ бесплатные вебинары до конца года.

   ИНФОРМАТИКА

   Понедельник. Сегодня. 18-00. Сочетание for + if — https://youclever.org/prices-informatics-repetitor-d/ 

   Это 2-й из 8-ми уроков курса «Цикл с параметром (for). Массивы. Работа с файлами. ЕГЭ №17, 24, 25». Пройдите 8 уроков и вы сможете получить на ЕГЭ целых 4 первичных балла! Все уроки доступны в записи до 1 августа 2021 года.

   Четверг. 18-00. Вложенные циклы и сложные условия — https://youclever.org/prices-informatics-repetitor-d/ 

   Это 3-й из 8-ми уроков курса «Цикл с параметром (for). Массивы. Работа с файлами. ЕГЭ №17, 24, 25».

   Эта тема чрезвычайно важна! На ЕГЭ по информатике за нее дают целых 4 первичных балла! За 8 уроков мы разберем все, что для этого нужно. Все уроки доступны в записи до 1 августа 2021 года.

   Бесплатный воскресный вебинар 11-00. ЕГЭ №26. Жадный алгоритм. Олимпиадная задача и задача ЕГЭ.

   Регистрация здесь: https://youclever.org/free-sunday-webinars/   Кстати, зарегистрируйтесь один раз и вы будете получать приглашения на ВСЕ бесплатные вебинары до конца года.  

   ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ

   По всем курсам математики и информатики по каждому уроку предусмотрены домашние задания и их проверка, чтобы вы не только поняли тему, но и САМОЕ ГЛАВНОЕ научились решать задачи.
   И еще вы можете задавать вопросы Алексею Шевчуку в закрытой группе Вконтакте.

   Приходите на бесплатные вебинары или покупайте курсы и готовьтесь системно вместе с нами!

   2]]

   Редактировать

   Я только что заметил вторую часть вашего вопроса о производном формате. Документация по форматированию действительно несколько сбивает с толку, потому что она разбросана по разным страницам. Возможно, это связано с тем фактом, что существует так много разных методов, что трудно определить «официально предпочтительный» подход. Я думаю, например, о пакете Notation , который, похоже, должен упростить пользовательскую нотацию, но на самом деле немного неудобен в использовании.

   Стиль по умолчанию для меток на графиках — TraditionalForm , поэтому я ограничу изменения стиля этой конкретной формой вывода. {[1]} (x)

   $

   Я добавил некоторую дополнительную логику в определение стиля, чтобы заставить его работать с производными более высокого порядка и многими переменными.{[1,2]} (x, y)

   долларов США

   Эта модификация повлияет на отображение всех производных финансовых инструментов, которые были введены с использованием ключевого слова Derivative , когда формат вывода — TraditionalForm . Поэтому, если вы хотите, чтобы это выглядело именно так, когда TraditionalForm не является по умолчанию, вам придется явно заключить выражение в TraditionalForm . Также обратите внимание, что TraditionalForm отображает альтернативную производную D [f [x], x] — это , на не влияет новый формат, тогда как на f '[x] влияет.Таким образом, вы по-прежнему можете выбирать между двумя различными внешними формами TraditionalForm для производных — нетрадиционным и традиционным . ..

   Редактировать 2

   Дополнительные ссылки:

   Математика векторной графики

   Это каркасное изображение головы человека является примером файла масштабируемой векторной графики (SVG). Каркасы используются в качестве основы для CGI (компьютерных изображений) в видео. Каркас в основном состоит из треугольников.

   Векторное искусство широко используется в кино и игровой индустрии. Он состоит из комбинации основных математических форм, называемых примитивами и , которые описаны ниже.

   (См. Некоторую предысторию этой темы здесь: Vector Art.)

   Полигоны

   Многоугольник — это многогранная фигура. Самый простой двумерный многоугольник — это треугольник. Вот первые 5 правильных многоугольников (треугольник, квадрат, пятиугольник, шестиугольник, семиугольник).

   Конечно, мы могли бы использовать и неправильные многоугольники:

   Вышеупомянутая поверхность каркаса в основном состоит из треугольников, но вы также можете найти и неправильные многоугольники. 2 = 1`

   Для получения дополнительной информации см. Эллипс.

   Кривые Безье

   Кривые Безье соединяют 2 или более точек плавной кривой. У нас может быть:

   а. Линейные кривые Безье

   Это просто прямая линия, проходящая через 2 точки.

   Ранее мы узнали, что прямые можно записать в виде

   `y = mx + b`

   (Подробнее о прямых линиях)

   Например, мы можем соединить точки `A (1, 4)` и `B (-3, 12)` прямой линией `y = -2x + 6`.

   Чтобы получить уравнение этой линии, я использовал формулу

   y — y ₁ = м ( x — x ₁ )

   г. Квадратичные кривые Безье

   Мы хотим провести параболу (или квадратичную кривую Безье) через 3 заданные точки `P (1, 2)`, `Q (3, 5)` и `R (5, 4)` следующим образом

   Чтобы найти искомую квадратичную, мы используем общую форму квадратичной и подставляем известные значения x и y . 2 + cx + d`

   Решение этих четырех одновременных уравнений для a , b , c , d (с использованием системы компьютерной алгебры) дает мне следующую кубическую кривую, проходящую через 4 точки:

   `у = 0.2 + 15.77x-9`

   Вот полученная кривая, проходящая через 4 заданные точки:

   Интерактивные графики кривых Безье

   В следующем интерактиве вы можете изучить примеры, приведенные для 4 типов кривых Безье, упомянутых выше.

   В каждом случае перетащите точек и посмотрите эффект на кривой. (Уравнения отображаются серым цветом при перетаскивании, поскольку после изменения кривой уравнение больше не применяется.)

   Используя такие кривые, мы создаем векторную графику.

   Авторские права © www.intmath.com

   Рисование кривых Безье в графической программе

   Когда вы используете графическую программу для рисования кривых Безье, она выполняет все необходимые математические вычисления в фоновом режиме.

   В примере слева я создал 3 векторные стрелки, которые в данном случае являются кривыми, проходящими через 2 точки. На третьем изображении вы можете увидеть, как он выглядит в процессе создания, аналогично четвертой интерактивной кривой выше. Я могу перетащить ручки в любую форму кривой, какую хочу.

   Позже я могу отредактировать форму стрелки или размер вектора, и это не будет потери качества. Это очень сложно сделать с растровым изображением — вам нужно будет начать заново и нарисовать все целиком.

   Интерфейс формул

   для ggplot2

   Для R. имеется несколько превосходных графических пакетов. Пакет ggformula в настоящее время строится на одном из них, ggplot2 , но предоставляет совершенно другой пользовательский интерфейс для создания графиков.Интерфейс основан на формулах (очень похож на интерфейс lattice ) и использовании оператора цепочки (%>% ) для построения более сложной графики из более простых компонентов.

   Графика ggformula была разработана с учетом нескольких групп пользователей:

   • новичков, которые хотят быстро начать работу и могут найти синтаксис ggplot2 () немного сбивающим с толку,

   • те, кто знаком с графикой решетки , но хотят иметь возможность легко создавать многослойные графики,

   • для тех, кто предпочитает интерфейс формул, возможно, потому, что он знаком по использованию с такими функциями, как lm () , или по использованию пакета мозаики для числовых сводок.

   Базовый шаблон формулы

   Базовый шаблон для создания графика с ggformula —

     gf_plottype (формула, данные = mydata)  

   или, что эквивалентно,

     mydata%>% gf_plottype (формула)  

   где

   • тип графика описывает желаемый тип графика (слоя) (точки, линии, гистограмма и т. Д. И т. Д.),

   • mydata — это фрейм данных, содержащий переменные, используемые в графике, а

   • Формула описывает, как и где используются эти переменные.

   Например, на двумерном графике формула примет форму y ~ x , где y — это имя переменной, которая будет отображаться на оси Y, а x — это имя переменной. переменная, которая будет нанесена на ось абсцисс. (Также можно использовать выражения, которые также могут быть оценены с использованием переменных во фрейме данных.)

   Первая форма временного графика полезна для простых графиков или для многослойных графиков, где разные слои используют разные данные.Вторая форма полезна для многослойных сюжетов или сюжетов с множеством аргументов.

   Вот простой пример:

     библиотека (ggformula)
   gf_point (миль на галлон ~ л.с., данные = mtcars)  

     mtcars%>% gf_point (миль на галлон ~ л. с.)  

   Выбор типа глифа

   «Тип графики» определяется именем графической функции. Все графические функции данных ggformula имеют имена, начинающиеся с gf_ , что призвано напомнить пользователю, что они представляют собой интерфейсы на основе формул с ggplot2 : g для ggplot2 и f для формулы .”Обычно используемые функции включают

   • gf_point () для точечных диаграмм
   • gf_line () для линейных графиков (соединение точек на точечной диаграмме)
   • gf_de density () или gf_dens () или gf_histogram () или gf_dhistogram () или gf_freqpoly () для отображения распределений количественной переменной
   • gf_boxplot () или gf_violin () для параллельного сравнения распределений
   • gf_counts () для отображения счетчиков в виде гистограмм.
   • gf_bar () для более общей графики в стиле гистограмм

   Имена функций обычно соответствуют имени соответствующей функции из ggplot2 , хотя

   • gf_counts () — это упрощенный частный случай geom_bar () ,
   • gf_dens () является альтернативой gf_de density () , которая отображает график плотности немного иначе
   • gf_dhistogram () создает гистограмму плотности, а не гистограмму подсчета.

   Каждая из функций gf_ может создавать оси координат и заполнять их за одну операцию. (В номенклатуре ggplot2 функции gf_ создают фрейм и добавляют слой за одну операцию.) Это то, что происходит с первой функцией gf_ в цепочке. Для последующих функций gf_ добавляются новые слои, каждый «поверх» предыдущих слоев.

   Атрибуты

   Каждая метка на графике представляет собой глиф . Каждый глиф имеет графические атрибуты (называемые эстетикой в ​​ ggplot2 ), которые говорят, где и как рисовать глиф. На приведенном выше графике очевидными атрибутами являются положение x и y:
   Мы сказали R поставить миль на галлон, по оси y и л.с., по оси x, как видно из графика.

   Но каждая точка также имеет другие атрибуты, включая цвет, форму, размер, обводку, заливку и альфа (прозрачность). Мы не указывали их в нашем примере, поэтому gf_point () использует некоторые значения по умолчанию для них — в данном случае маленькие черные залитые кружки.

   Указание атрибутов

   В функциях gf_ вы указываете непозиционные графические атрибуты с помощью дополнительных аргументов функции. Атрибуты могут быть установлены на на постоянное значение (например, установить цвет на «синий»; установить размер на 2), или они могут быть сопоставлены с переменной в данных или некоторым выражением, включающим переменные (например, map цвет пол , поэтому пол определяет группировку цветов)

   Атрибуты устанавливаются или отображаются с использованием дополнительных аргументов.

   • добавление аргумента вида атрибут = значение устанавливает атрибут на значение .
   • добавление аргумента в форме атрибут = ~ выражение сопоставляет атрибут с выражением

   , где , атрибут — это один из , цвет, , , форма, и т. Д., , значение — константа (например, «красный» или 0,5 , в зависимости от ситуации), а выражение может быть немного больше общее выражение, которое может быть вычислено с использованием переменных в данных (хотя часто лучше создать новую переменную в данных и использовать эту переменную вместо вычислений на лету в пределах графика).

   Следующий график, например,

   • Мы используем cyl для определения цвета и carb для определения размера каждой точки. Цвет и размер сопоставлены с по цилиндров и карбюратора . Предоставлена ​​легенда, чтобы показать нам, как выполняется сопоставление. (Позже мы можем использовать шкалы, чтобы точно контролировать, как выполняется сопоставление — какие цвета и размеры используются для обозначения значений cyl и carb .)

   • Мы также установили прозрачность на 50%. Придает одинаковое значение alpha всем глифам в этом слое.

     gf_point (миль на галлон ~ л.с., цвет = ~ цил, размер = ~ carb, альфа = 0,50, данные = mtcars)  

   Расчеты на лету

   ggformula позволяет производить вычисления атрибутов «на лету», хотя маркировка графика по умолчанию часто бывает лучше, если мы создаем новую переменную в нашем фрейме данных.В приведенных ниже примерах, поскольку существует только три значения для carb , график будет легче читать, если мы скажем R рассматривать cyl как категориальную переменную путем преобразования в коэффициент (или в строку). За исключением обозначения легенды, эти два графика совпадают. Во втором примере мы видим, как ggformula хорошо работает с преобразованием данных с использованием %>% .

     библиотека (dplyr)
   gf_point (миль на галлон ~ л.с., цвет = ~ коэффициент (цилиндр), размер = ~ карбюратор, альфа = 0.75, данные = mtcars)  

     вагонов%>%
     изменить (цилиндры = коэффициент (цилиндр))%>%
     gf_point (миль на галлон ~ л.с., цвет = ~ цилиндры, размер = ~ карбюратор, альфа = 0,75)  

   Участков с одной переменной

   Для некоторых графиков нам нужно только указать x-позицию, потому что y-позиция вычисляется из x-значений. Гистограммы, графики плотности и многоугольники частот являются примерами. Для иллюстрации мы будем использовать графики плотности, но те же идеи применимы и к gf_histogram () , и к gf_freqpolygon () . Обратите внимание, что на графике плотности с одной переменной, переменная, плотность которой должна быть вычислена, идет справа от тильды в позиции, зарезервированной для переменной оси x.

     данных (пингвины, пакет = "palmerpenguins")
   gf_de density (~ bill_length_mm, данные = пингвины)  

     gf_de density (~ bill_length_mm, fill = ~ sizes, alpha = 0.5, data = penguins)  

     # gf_dens () аналогичен, но нет линии внизу / по бокам и график не заполняется
   gf_dens (~ bill_length_mm, цвет = ~ разновидности, альфа = 0.7, данные = пингвины)  

     # gf_dens2 () похожа на gf_dens (), но заполняется
   gf_dens2 (~ bill_length_mm, fill = ~ разновидности, data = пингвины,
             color = "gray50", альфа = 0,4)  

   Некоторые функции построения графика включают дополнительные аргументы, которые не изменяют атрибуты отдельных глифов, но управляют некоторыми другими аспектами графика. В этом случае Adjust может использоваться для увеличения или уменьшения степени сглаживания.

     # меньше сглаживания
   пингвины%>% gf_dens (~ bill_length_mm, цвет = ~ разновидности, альфа = 0,7, настройка = 0,25)  

     ## Предупреждение: удалены 2 строки, содержащие не конечные значения (stat_de density).   

     # больше сглаживания
   пингвины%>% gf_dens (~ bill_length_mm, цвет = ~ разновидности, альфа = 0,7, отрегулировать = 4)  

     ## Предупреждение: удалены 2 строки, содержащие не конечные значения (stat_de density).  

   Дополнительные сведения

   Чтобы узнать больше о ggformula , см. Более длинную версию этой виньетки, доступную по адресу https: // projectmosaic.github.io/ggformula/. Эта версия включает разделы по

   • Регулировка положения (стопка, уклонение и т. Д.)
   • Фацетирование (согласованные участки)
   • Нанесение надписей на график (в том числе с использованием этикеток, прикрепленных к данным с маркировкой или expss пакетов)
   • Объединение в цепочку для создания полных (многослойных) графиков
   • Использование джиттера и прозрачности для борьбы с наложением графика
   • Дополнительные типы участков
   • Использование позиций и статистики
   • Функции визуализации
   • Карты
   • Построение распределений
   • Глобальные настройки сюжета (темы, метки и т. Д.)
   • Горизонтальные геометрии

   Математика для компьютерной графики

   Математика для компьютерной графики

   Грег Терк, август 1997 г.

   «Какую математику мне нужно изучить, чтобы изучать компьютерную графику?» Это пожалуй, самый частый общий вопрос, который студенты задают мне о компьютере графика. Ответ зависит от того, насколько глубоко вы хотите углубиться в эту область. Если вы хотите начать использовать готовые графические программы, тогда ответ в том, что вам, вероятно, совсем не нужно знать математику.Если хочешь чтобы пройти вводный курс компьютерной графики, тогда вам следует прочитать первые два раздела ниже для моих рекомендаций (алгебра, тригонометрия и линейная алгебра). Если вы хотите когда-нибудь стать исследователем графики то я считаю, что вы должны рассматривать свое математическое образование как непрерывный процесс на протяжении всей вашей карьеры.

   Если вы не особо любите математику, есть ли шанс работает в поле? Да, некоторые области компьютерной графики не очень озабочен математическими идеями. Не стоит отказываться от графики просто потому, что вы не математический волшебник. Однако вполне вероятно, что вы иметь больше свободы в выборе тем исследования, если у вас есть желание узнать о новых математических идеях.

   Нет однозначного ответа на вопрос, какая математика важна в компьютере. графика. Для разных областей в данной области требуются разные математические методы, и ваши собственные интересы, вероятно, приведут вас к некоторым темам и может никогда не касаться других. Ниже приведены описания ряда областей в математика, которую я считаю полезной в компьютерной графике.Не чувствовать что вам нужно быть экспертом в каждой из этих областей, чтобы стать графическим Исследователь! Я намеренно включил много областей ниже, чтобы дать достаточно широкий взгляд на математические идеи, используемые в графике. Однако многие исследователи никогда не будет нуждаться в рассмотрении некоторых тем, о которых я упоминаю ниже.

   Наконец, хотя это должно быть ясно из чтения, высказанные мнения в этом документе полностью мои. Вполне вероятно, что вы получите другой список тем или, по крайней мере, разные акценты от других людей кто работает в компьютерной графике.Теперь перейдем к списку тем.

   Алгебра и тригонометрия

   Алгебра и тригонометрия в старших классах, вероятно, самые важные области, которые нужно знать, чтобы начать изучать компьютерную графику. Только примерно каждый день мне нужно определить одно или несколько неизвестных из простого набора уравнений. Почти так же часто мне нужно выполнять простую тригонометрию, например определение длины края какой-то геометрической фигуры на основе других длины и углы. Алгебра и тригонометрия — это предметы, которые будут решать такие повседневные задачи в компьютерной графике.

   А как насчет геометрии, которую мы изучаем в средней школе? Это может быть сюрприз, но наша школьная геометрия не очень часто нужна большинству задания по компьютерной графике. Причина в том, что геометрия, как она есть во многих школах преподается на самом деле курс построения математических доказательства. Хотя доказательная конструкция определенно является ценным интеллектуалом инструмент, фактические теоремы и доказательства из вашего урока геометрии не часто используется в компьютерной графике. Если вы пойдете в аспирантуру по математике связанной области (включая компьютерную графику), то вы вполне можете оказаться доказательства теорем, но это не обязательно, чтобы начать графика.

   Если вы хорошо разбираетесь в алгебре и тригонометрии, то вы вполне готов начать читать вводную книгу по компьютерной графике. Большинство таких книг содержат хотя бы сокращенное введение к следующему Важная область математики для компьютерной графики, а именно линейная алгебра.

   Рекомендация книги:

   Компьютерная графика: принципы и практика

   Джеймс Фоули, Андрис ван Дам, Стивен Файнер, Джон Хьюз

   Эддисон-Уэсли

   [огромная книга, но все же моя любимая]

   Линейная алгебра

   Идеи линейной алгебры используются во всей компьютерной графике. По факту, любая область, которая связана с числовыми представлениями геометрии часто собирает вместе числа, такие как позиции x, y, z, в математические объекты, называемые векторами. Векторы и связанные с ними математические объект, называемый матрицей, все время используется в графике. Язык векторов и матриц — это элегантный способ описания (среди прочего) способ, которым объект может быть повернут, сдвинут (сдвинут) или увеличен или меньше (в масштабе). Линейная алгебра обычно предлагается либо в продвинутый класс средней школы или в колледже.Всем, кто желает работать в компьютерная графика должна в конечном итоге получить прочное основание в этой области. Однако, как я упоминал ранее, многие учебники по графике дают разумную введение в эту тему — достаточно часто, чтобы вы прошли первый курс в графике.

   Рекомендация книги:

   Линейная алгебра и ее приложения

   Гилберт Стрэнг

   Academic Press

   Исчисление

   Знание математического анализа — важная часть продвинутой компьютерной графики. Если вы планируете заниматься графикой, я настоятельно рекомендую получить базовый заземление в исчислении. Это верно не только потому, что это коллекция инструментов, которые часто используются в полевых условиях, но также потому, что многие исследователи описывать свои проблемы и решения на языке математического анализа. В кроме того, ряд важных математических областей требует исчисления как предпосылка. Это единственная область математики помимо базовых алгебра, которая может открыть для вас больше всего дверей в компьютерной графике в терминах вашего будущего математического понимания.

   Исчисление — последняя из тем, о которых я упомяну, которая часто введен в средней школе. Следующие темы почти всегда находятся в курсы колледжа.

   Дифференциальная геометрия

   Эта область математики изучает уравнения, определяющие геометрию гладкие кривые и поверхности. Если вы пытаетесь выяснить, в каком направлении перпендикулярна (указывает прямо от) гладкой поверхности ( «нормальный вектор»), то вы используете дифференциальную геометрию. Изготовление автомобиля движение с определенной скоростью по кривой пути также является дифференциальным геометрия.В графике есть обычная техника для создания плавного поверхность кажется шероховатой, известной как «рельефное отображение», и этот метод использует дифференциальная геометрия. Если вы планируете работать с кривыми и поверхностями для создание формы (называемое «моделированием» в графическом поле), тогда вам следует изучить хотя бы основы дифференциальной геометрии. Многопараметрическое исчисление является предпосылкой для этой области.

   Рекомендация книги:

   Геометрия элементарного дифференциала

   Барретт О’Нил

   Academic Press

   Численные методы

   Почти каждый раз, когда мы представляем числа и манипулируем ими на используемом нами компьютере приблизительные, а не точные значения, и из-за этого всегда есть возможность появления ошибок.Более того, часто бывает много различные подходы к решению данной численной задачи и некоторые методы будет быстрее, точнее или потребует меньше памяти, чем другие. Исследование из этих проблем имеет ряд названий, включая «численные методы» и «научные вычисления». Это очень обширная область, и некоторые из других области математики, которые я упомяну, могут считаться подобластями под этим зонтиком. Эти под-области включают теорию выборки, матрицу уравнения, численное решение дифференциальных уравнений и оптимизация.

   Рекомендация книги:

   Числовые рецепты на языке C: Искусство научных вычислений

   Уильям Пресс, Сол Тюкольски, Уильям Веттерлинг и Брайан Фланнери

   Cambridge University Press

   [это очень ценный справочник, но обычно не используется в качестве учебника]

   Теория выборки и обработка сигналов

   Снова и снова в компьютерной графике мы представляем какой-то объект, например изображение. или поверхность как набор чисел, которые хранятся в обычном двумерный массив.Каждый раз, когда мы это делаем, мы создаем «выборку» представление объекта. Хорошее понимание теории выборки важно, если мы хотим использовать и контролировать качество таких представления. Распространенная проблема при отборе образцов применительно к графике: неровные края, которые могут появиться на силуэте объекта, когда он нарисованный на экране компьютера. Появление таких неровных краев (одна форма явления, известного как «наложение») очень отвлекает, и это может быть сведены к минимуму за счет использования хорошо изученных методов теории выборки.На В основе теории выборки лежат такие концепции, как свертка, фурье преобразование, пространственные и частотные представления функций. Эти идеи также важны в области обработки изображений и аудио.

   Рекомендация книги:

   Преобразование Фурье и его приложения

   Рональд Н. Брейсвелл

   McGraw Hill

   Матричные уравнения

   В компьютерной графике возникает множество проблем. требующие численного решения матричных уравнений.Некоторые проблемы требующие матричные методы включают: поиск лучшей позиции и ориентация для соответствия одного объекта другому (один пример «наименьшего квадратов), создавая поверхность, которая покрывает заданный набор точки с минимальными складками (шлицы тонкой пластины) и моделирование такие материалы, как вода или ткань. Приходят матричные постановки задач достаточно часто в графике, что я ставлю эту область очень высоко в моем списке темы, которые нужно знать.

   Рекомендация книги:

   Матричные вычисления

   Джин Голуб и Чарльз Ван Лоан

   Johns Hopkins University Press

   Физика

   Очевидно, что физика — это отдельная область изучения, а не подкатегория математики.Тем не менее, физика и математика тесно связаны друг с другом в нескольких областях компьютерной графики. Примеры графических задач, связанных с физикой: как свет взаимодействует с поверхностями объектов, как свет отражается в сложная среда, движения людей и животных, а также движение вода и ветер. Знание физики важно для моделирования всех эти явления. Это тесно связано с решением дифференциальных уравнений, который я буду обсуждать дальше.

   Численные решения дифференциальных уравнений

   Я считаю, что методы решения дифференциальных уравнений чрезвычайно важна для компьютерной графики. Как мы только что обсуждали, большая часть компьютерная графика предназначена для моделирования физических систем из реальных Мир. Как в воде образуются волны и как животное ходит по земле два примера физического моделирования. Моделирование физических систем очень часто приводит к численному решению дифференциальных уравнений. Заметка что это на самом деле очень отличается от символических решений дифференциальной уравнения. Символические решения — это точные ответы, и обычно их можно найти только для очень простых систем уравнений.Иногда курс колледжа «Дифференциальные уравнения» исследуют только символические решения, и это не сильно поможет при большинстве проблем с компьютерной графикой.

   В физическом моделировании мир разбивается на маленькие части, которые представлены в виде больших векторов. Тогда отношения между частями мир фиксируется записями в матрицах. Решение матрицы возникающие уравнения обычно не выполняются точно, а вместо этого выполняются проведя длинную серию вычислений, которая дает приблизительную решение в виде списка чисел. Вот какие численные решения дифференциальные уравнения о. Отметим, что решение матрицы уравнений является неотъемлемой частью численных решений дифференциальных уравнения.

   Оптимизация

   Довольно часто в компьютерной графике мы ищем описание объект или набор объектов, удовлетворяющий какой-либо желаемой цели. Примеры включают поиск положений огней, которые дают определенный «чувствовать», как освещена комната, выясняя, как анимированный персонаж может двигать конечностями, чтобы выполнить определенное действие, и позиционировать формы и текст на странице, чтобы результат не выглядел загроможденным.Каждый из них Примеры можно сформулировать как проблему оптимизации. Десять лет назад было мало в литературе по графике, в которой использовались методы оптимизации, но в последнее время эта область все больше и больше использует оптимизацию. Я думаю что оптимизация будет и дальше играть все более важную роль в компьютерная графика.

   Вероятность и статистика

   В компьютерной графике есть несколько областей, в которых используются вероятность и / или статистика. Конечно, когда исследователи проводят исследования используя человека, им требуются статистические методы для выполнения анализ данных.Области, связанные с графикой, которые часто используют человеческие субъекты включают виртуальную реальность и взаимодействие человека с компьютером (HCI). Кроме того, многие компьютерные описания реального мира включают использование различные вероятности того, что данное действие произойдет. Вероятность того, что ветвь дерева будет ветвиться во время роста или что синтетическое животное решит ходить в определенном направлении — два примера этого. Наконец, некоторые методы решения сложных уравнений используют случайные числа для оцените их решения.Важным примером этого является класс методы, известные как методы Монте-Карло, которые часто используются для определения того, как свет распространяется в окружающей среде. Это всего лишь несколько способов, которыми вероятность и статистика используются в компьютерной графике.

   Вычислительная геометрия

   Вычислительная геометрия — это изучение эффективных способов представления и манипулировать геометрией внутри компьютера. Типичные проблемы включают тестирование сталкиваются ли два объекта, решая, как разбить многоугольник на треугольников и поиск ближайшей точки в группе к заданному месту.Эта область представляет собой смесь алгоритмов, структур данных и математики. Исследователи графики, которые работают над созданием фигур (моделированием), много рисуют. на этой территории.

   Рекомендации по книгам:

   Вычислительная геометрия на языке C

   Джозеф О’Рурк

   Cambridge University Press

   [текст для студентов]

   Вычислительная геометрия: Введение

   Франко Препарата и Майкл Шамос

   Springer-Verlag

   [классический текст, несколько датированный]

   Заключительные слова: Прикладная и чистая математика

   Одна общая тема для многих математических тем, связанных с графика заключается в том, что они с прикладной стороны, а не с теоретической сторона математики.Это не должно вызывать удивления. Многие из проблемы в компьютерной графике тесно связаны с проблемами, которые физики и инженеры изучили, и математический аппарат физика и инженеров — это в подавляющем большинстве инструменты, которые используют исследователи графики. Большинство тем, составляющих теоретическую («чистую») математику, редко применяется в компьютерной графике. Это не следует воспринимать как абсолютное правда, однако. Стоит обратить внимание на примеры из других областей: молекулярная биология теперь использует теорию узлов для изучения ДНК. динамика и субатомная физика используют абстрактную теорию групп.Кто может сказать, когда тема «чистой» математики будет использована в компьютере графика?

   Есть несколько областей математики, которые кажутся необходимыми. важны, но никогда не играют большой роли в компьютерной графике. Пожалуй, самая интересная из этих областей — топология. Обычный Описание топологии одним предложением — это исследование того, почему пончик и кофейная чашка такие же. Ответ в том, что это обе поверхности с одним дыра. Здесь мы говорим об идеях из топологии.Разве поверхности не большие часть компьютерной графики? Да, но оказывается, что большинство идей в топологию, полезную для графики, можно изучить на первом курсе в дифференциальная геометрия. Дифференциальная геометрия изучает * формы * поверхности, тогда как топология изучает такие вещи, как то, какие части поверхности рядом с какими другими частями. Я видел очень мало топологии, для использования в графике, и я считаю, что это потому, что большая часть топологии связаны с довольно абстрактными множествами, и что большая часть топологии далека от из концепций трехмерного евклидова пространства, которое так важно для большая часть графики.Бывают случаи, когда формализм топологии ( символическая запись) — удобный способ выразить идеи в графике, но реальные инструменты абстрактной топологии так редко играют роль в графике. Изучите этот прекрасный предмет ради самого себя, но не ждите немедленного расплата за графику!

   Меня несколько раз спрашивали, может ли абстрактная алгебра (теория групп, кольца и т. д.) или теория чисел играют роль в компьютерной графике. Немного что я видел. Эти предметы, как и топология, полны красивые идеи.К сожалению, эти идеи редко попадают в компьютерная графика.

   Как построить график линейных уравнений с двумя переменными

   Обновлено 3 ноября 2020 г.

   Кевин Бек

   Графики являются одними из самых полезных инструментов в математике для осмысленной передачи информации. Даже те, кто не склонен к математике или испытывает явное отвращение к числам и вычислениям, могут найти утешение в базовой элегантности двухмерного графа, представляющего отношения между парой переменных.

   Линейные уравнения с двумя переменными могут иметь вид

   Ax + By = C

   , и результирующий график всегда представляет собой прямую линию. Чаще уравнение принимает вид

   y = mx + b

   , где m — наклон линии соответствующего графика, а b — его пересечение y , точка, в которой линия пересекает ось y .

   Например, 4 x + 2 y = 8 является линейным уравнением, поскольку оно соответствует требуемой структуре.Но для построения графиков и большинства других целей математики записывают это как:

   2y = -4x + 8

   y = -2x + 4

   Переменные в этом уравнении равны x и y. , а наклон и пересечение y — это константы .

   Шаг 1. Определите точку пересечения оси y

   Сделайте это, решив интересующее уравнение для y , если необходимо, и определив b . В приведенном выше примере интервал перехвата y равен 4.

   Шаг 2. Обозначьте оси

   Используйте масштаб, удобный для вашего уравнения. Вы можете столкнуться с уравнениями с необычно высокими или низкими значениями интервала y , такими как -37 или 89. В этих случаях каждый квадрат вашей миллиметровой бумаги может представлять десять единиц, а не одну, поэтому оба Ось x и y должны обозначать это.

   Шаг 3: Постройте пересечение оси y

   Нарисуйте точку на оси y в соответствующей точке.Кстати, точка пересечения по оси Y — это просто точка, в которой x = 0.

   Шаг 4: Определите наклон

   Посмотрите на уравнение. Коэффициент перед x — это наклон, который может быть положительным, отрицательным или нулевым (последнее в случаях, когда уравнение представляет собой просто y = b , горизонтальная линия). Наклон часто называют «превышением скорости» и представляет собой количество изменений единиц в y для каждого отдельного изменения единицы в x.В приведенном выше примере наклон равен -2.

   Шаг 5: Проведите линию через точку пересечения оси y с правильным наклоном

   В приведенном выше примере, начиная с точки (0, 4), переместите две единицы в отрицательном направлении y — направление и один в положительном направлении x , так как наклон равен -2. Это приводит к точке (1, 2). Проведите линию через эти точки и продолжайте в обоих направлениях, насколько хотите.

   Шаг 6: Проверка графика

   Выберите точку на графике, удаленную от начала координат, и проверьте, удовлетворяет ли она уравнению.В этом примере точка (6, −8) лежит на графике. Подставляя эти значения в уравнение

   y = -2x + 4

   \ begin {align} -8 & = (-2) × 6 + 4 \\ -8 & = -12 + 4 \\ -8 & = — 8 \ end {align}

   Итак, график правильный.

   Уравнения и графики

   Уравнения и графики

   Обзор: В этом модуле мы рассматриваем основы интерпретации и подготовки графических данных и пересмотреть графическое сложение векторов.

   Навыки:

   • Определение наклонов и пересечений по оси Y из графиков
   • Оценка конкретных значений данных по графикам

   ---

   В науке много раз необходимо уметь интерпретировать графики а также уметь строить графики некоторых уравнений. Часто данные доступны в графическом формате, и вы должен уметь извлекать необходимую информацию. В других случаях может быть полезно построить уравнение в чтобы полностью понять проблему.Однако для некоторых студентов построение графиков может быть затруднено. Формат в этот раздел немного отличается. Первая часть просто покажет, как выглядят некоторые специальные уравнения. например, в графической форме, а вторая часть будет представлять собой серию вопросов, которые помогут вам лучше понять графики.

   На этом графике изображена прямая линия, и соответствующее уравнение имеет вид y = mx + b. Y — значение y (расстояние по оси y, которая является вертикальной ось), а x — значение x (расстояние по оси x, которое является Горизонтальная ось).Наклон линии равен м, что также является подъемом / спуском. или Dx / Dy. В y-точка пересечения линии равна b. Это значение y, где линия пересекает ось Y (когда x = 0). На графике здесь наклон равен 1, а b равно +2. Обратите внимание, что линия пересекает каждую ось только один раз (максимум).

   Этот график представляет квадратичную функцию, которая равна y = ax 2 + bx + c.Параметры a, b и c являются постоянными. На этом графике фактические уравнение y = 2x 2 + 3x — 2. Обратите внимание, что на этом графике функция пересекает ось Y один раз и ось X дважды. Это нужно сделать с тем фактом, что x возведен в квадрат в уравнении, а y — нет. Функция пересекает ось (до) столько же раз, сколько мощность этого ценность. На этом графике x возведен в квадрат, поэтому линия пересекает ось x до два раза.

   На этом графике показано кубическое уравнение, которое математически выражается как y = топор 3 + bx 2 + cx + d. Для этой конкретной функции y = x 3 + 2 x 2 — 2 x — 3. Поскольку x увеличивается до в третьей степени функция пересекает ось абсцисс 3 раза. Он пересекает Однако по оси Y только один раз.

   Это график журнала.Обратите внимание, что ось абсцисс сильно отличается от другой. графики. На этом графике, если мы посмотрим на ось Y, мы увидим, что расстояние от 1 до 10 то же самое, что и от 10 до 100. Но мы знаем, что диапазон от 10 до 100 представляет гораздо больший диапазон значений x, чем этот от 1 до 10. Это свойство бревенчатой ​​делянки. Обязательно посмотрите на ось на графике журнала (а также на всех графиках), чтобы точно понять что пытается показать график.

   Чтобы ответить на следующие вопросы, вам необходимо хорошо разбираться в предыдущих предметах в учебнике.

   1.	Справа показано движение частицы. Используйте информацию, чтобы ответьте на следующие вопросы. а. Как далеко переместилась частица за 4 с? Ответ б. Сколько времени нужно, чтобы частица переместилась на 6 м? Ответ г. Какова скорость частицы? Ответ
   2.	Другая частица движется по траектории, описанной на графике справа. а. Сколько времени нужно, чтобы частица переместилась на 16 м от исходного положения? Ответ б. Как далеко перемещается частица за первые 5 с? Ответ г. Частица ускоряется? Ответ
   3.	Мяч падает с вершины здания, и его падение отображается на график справа. а. Мяч ускоряется? Ответ б. Какова скорость при 1 с? Ответ г. Сколько времени нужно, чтобы мяч достиг скорости 49 м / с? Ответ г. Что происходит с потенциальной энергией мяча, когда он падает? Ответ
   4.	а. Сколько раз следующая функция пересекает ось y? 5лет 6 + 7лет 3 + 5x 4 — 2x 2 = 0? Ответ б. Для того же уравнения сколько раз оно пересечет ось x? Ответ

   ---

   Резюме

   В этом модуле мы рассмотрели основные навыки, необходимые для устного перевода данные представлены в графическом формате. Интерпретация графических данных — рутина навыки, используемые практикующими учеными, врачами и инженерами. Вы будете развивать эти навыки в вашей конкретной дисциплине в Вашингтонском университете.

   ---

   Вернуться к предметному указателю по химии

   Экспоненциальный рост, его свойства, как график соотносится с уравнением и формулой — Наглядный урок

   Как это соотносится с другими графиками / функциями?

   Как показано на графике ниже, экспоненциальный рост

   • сначала , имеет меньшую скорость роста, чем линейное уравнение f (x) = 50x
   • сначала , имеет более медленную скорость роста, чем кубическая функция, например f (x) = x ³ , но в конечном итоге скорость роста экспоненциальной функции f (x) = 2 ^x , увеличивается все больше и больше — пока функция экспоненциального роста не будет иметь наибольшее значение и скорость роста!

   Мораль этой истории: экспоненциальный рост в конечном итоге растет огромными темпами, хотя сначала он растет медленно. x $$, a определяет точку пересечения по оси y.

   Что бы вы сделали?

   Примите участие в опросе! (и подумайте об экспоненциальном росте)

   (У этого опроса есть своя страница)

   Пояснение

   Вариант 1 1000 долларов в год на двадцать лет

   Это даст вам 20 000 долларов.

   Вариант 2 функция экспоненциального роста y = 2 ^x

   2 ²⁰ = 1 048 576 долл. США

   Этот вопрос демонстрирует черту, к которой мы постоянно возвращаемся: экспоненциальный рост может начаться не с большого количества (1 и 2 доллара в первые годы), но в конечном итоге темпы его роста огромны!

   Ниже приведены изображения двух рассматриваемых графиков.