Формулы и свойства степеней: Формулы и свойства степеней — Детская игровая комната «Волшебный лес»

Posted on 15.10.201920.04.2021 by alexxlab

m }

Смотри также: Основные формулы по математике

Решай с разбором:

Содержание

Все главные формулы по математике — Математика — Теория, тесты, формулы и задачи

Формулы сокращенного умножения

К оглавлению…

Квадрат суммы:

Квадрат разности:

Разность квадратов:

Разность кубов:

Сумма кубов:

Куб суммы:

Куб разности:

Последние две формулы также часто удобно использовать в виде:

Квадратное уравнение и формула разложения квадратного трехчлена на множители

К оглавлению…

Пусть квадратное уравнение имеет вид:

Тогда дискриминант находят по формуле:

Если D > 0, то квадратное уравнение имеет два корня, которые находят по формуле:

Если D = 0, то квадратное уравнение имеет один корень (его кратность: 2), который ищется по формуле:

Если D < 0, то квадратное уравнение не имеет корней.

В случае когда квадратное уравнение имеет два корня, соответствующий квадратный трехчлен может быть разложен на множители по следующей формуле:

Если квадратное уравнение имеет один корень, то разложение соответствующего квадратного трехчлена на множители задается следующей формулой:

Только в случае если квадратное уравнение имеет два корня (т.е. дискриминант строго больше ноля) выполняется Теорема Виета. Согласно Теореме Виета, сумма корней квадратного уравнения равна:

Произведение корней квадратного уравнения может быть вычислено по формуле:

Парабола

График параболы задается квадратичной функцией:

При этом координаты вершины параболы могут быть вычислены по следующим формулам. Икс вершины:

Игрек вершины

параболы:

Свойства степеней и корней

К оглавлению…

Основные свойства степеней:

Последнее свойство выполняется только при n > 0. Ноль можно возводить только в положительную степень.

Основные свойства математических корней:

Для арифметических корней:

Последнее справедливо: если n – нечетное, то для любого a; если же n – четное, то только при a больше либо равном нолю. Для корня нечетной степени выполняется также следующее равенство:

Для корня четной степени имеется следующее свойство:

Формулы с логарифмами

К оглавлению…

Определение логарифма:

Определение логарифма можно записать и другим способом:

Свойства логарифмов:

Логарифм произведения:

Логарифм дроби:

Вынесение степени за знак логарифма:

Другие полезные свойства логарифмов:

Арифметическая прогрессия

К оглавлению. ..

Формулы n-го члена арифметической прогрессии:

Соотношение между тремя соседними членами арифметической прогрессии:

Формула суммы арифметической прогрессии:

Свойство арифметической прогрессии:

Геометрическая прогрессия

К оглавлению…

Формулы n-го члена геометрической прогрессии:

Соотношение между тремя соседними членами геометрической прогрессии:

Формула суммы геометрической прогрессии:

Формула суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

Свойство геометрической прогрессии:

Тригонометрия

К оглавлению…

Пусть имеется прямоугольный треугольник:

Тогда, определение синуса:

Определение косинуса:

Определение тангенса:

Определение котангенса:

Основное тригонометрическое тождество:

Простейшие следствия из основного тригонометрического тождества:

Формулы двойного угла

Синус двойного угла:

Косинус двойного угла:

Тангенс двойного угла:

Котангенс двойного угла:

Тригонометрические формулы сложения

Синус суммы:

Синус разности:

Косинус суммы:

Косинус разности:

Тангенс суммы:

Тангенс разности:

Котангенс суммы:

Котангенс разности:

Тригонометрические формулы преобразования суммы в произведение

Сумма синусов:

Разность синусов:

Сумма косинусов:

Разность косинусов:

Сумма тангенсов:

Разность тангенсов:

Сумма котангенсов:

Разность котангенсов:

Тригонометрические формулы преобразования произведения в сумму

Произведение синусов:

Произведение синуса и косинуса:

Произведение косинусов:

Формулы понижения степени

Формула понижения степени для синуса:

Формула понижения степени для косинуса:

Формула понижения степени для тангенса:

Формула понижения степени для котангенса:

Формулы половинного угла

Формула половинного угла для тангенса:

Формула половинного угла для котангенса:

Тригонометрические формулы приведения

Формулы приведения задаются в виде таблицы:

Тригонометрическая окружность

По тригонометрической окружности легко определять табличные значения тригонометрических функций:

Тригонометрические уравнения

К оглавлению. ..

Формулы решений простейших тригонометрических уравнений. Для синуса существует две равнозначные формы записи решения:

Для остальных тригонометрических функций запись однозначна. Для косинуса:

Для тангенса:

Для котангенса:

Решение тригонометрических уравнений в некоторых частных случаях:

Геометрия на плоскости (планиметрия)

К оглавлению…

Пусть имеется произвольный треугольник:

Тогда, сумма углов треугольника:

Площадь треугольника через две стороны и угол между ними:

Площадь треугольника через сторону и высоту опущенную на неё:

Полупериметр треугольника находится по следующей формуле:

Формула Герона для площади треугольника:

Площадь треугольника через радиус описанной окружности:

Формула медианы:

Свойство биссектрисы:

Формулы биссектрисы:

Основное свойство высот треугольника:

Формула высоты:

Еще одно полезное свойство высот треугольника:

Теорема косинусов:

Теорема синусов:

Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник:

Радиус окружности, описанной около правильного треугольника:

Площадь правильного треугольника:

Теорема Пифагора для прямоугольного треугольника (c — гипотенуза, a и b — катеты):

Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник:

Радиус окружности, описанной вокруг прямоугольного треугольника:

Площадь прямоугольного треугольника (h — высота опущенная на гипотенузу):

Свойства высоты, опущенной на гипотенузу прямоугольного треугольника:

Длина средней линии трапеции:

Площадь трапеции:

Площадь параллелограмма через сторону и высоту опущенную на неё:

Площадь параллелограмма через две стороны и угол между ними:

Площадь квадрата через длину его стороны:

Площадь квадрата через длину его диагонали:

Площадь ромба (первая формула — через две диагонали, вторая — через длину стороны и угол между сторонами):

Площадь прямоугольника через две смежные стороны:

Площадь произвольного выпуклого четырёхугольника через две диагонали и угол между ними:

Связь площади произвольной фигуры, её полупериметра и радиуса вписанной окружности (очевидно, что формула выполняется только для фигур в которые можно вписать окружность, т. е. в том числе для любых треугольников):

Свойство касательных:

Свойство хорды:

Теорема о пропорциональных отрезках хорд:

Теорема о касательной и секущей:

Теорема о двух секущих:

Теорема о центральном и вписанном углах (величина центрального угла в два раза больше величины вписанного угла, если они опираются на общую дугу):

Свойство вписанных углов (все вписанные углы опирающиеся на общую дугу равны между собой):

Свойство центральных углов и хорд:

Свойство центральных углов и секущих:

Условие, при выполнении которого возможно вписать окружность в четырёхугольник:

Условие, при выполнении которого возможно описать окружность вокруг четырёхугольника:

Сумма углов n-угольника:

Центральный угол правильного n-угольника:

Площадь правильного n-угольника:

Длина окружности:

Длина дуги окружности:

Площадь круга:

Площадь сектора:

Площадь кольца:

Площадь кругового сегмента:

Геометрия в пространстве (стереометрия)

К оглавлению. ..

Главная диагональ куба:

Объем куба:

Объём прямоугольного параллелепипеда:

Главная диагональ прямоугольного параллелепипеда (эту формулу также можно назвать: «трёхмерная Теорема Пифагора»):

Объём призмы:

Площадь боковой поверхности прямой призмы (P – периметр основания, l – боковое ребро, в данном случае равное высоте h):

Объём кругового цилиндра:

Площадь боковой поверхности прямого кругового цилиндра:

Объём пирамиды:

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды (P – периметр основания, l – апофема, т.е. высота боковой грани):

Объем кругового конуса:

Площадь боковой поверхности прямого кругового конуса:

Длина образующей прямого кругового конуса:

Объём шара:

Площадь поверхности шара (или, другими словами, площадь сферы):

Координаты

К оглавлению. ..

Длина отрезка на координатной оси:

Длина отрезка на координатной плоскости:

Длина отрезка в трёхмерной системе координат:

Координаты середины отрезка (для координатной оси используется только первая формула, для координатной плоскости — первые две формулы, для трехмерной системы координат — все три формулы):

Таблица умножения

К оглавлению…

Таблица квадратов двухзначных чисел

К оглавлению…

Расширенная PDF версия документа «Все главные формулы по школьной математике»:

К оглавлению…

Стенд Формулы сокращенного умножения, свойства степеней 80х70 см

Доставка

Возможные способы получения товара:

Курьером – действует при доставке по Москве и Московской области. Цена на услугу зависит от суммы заказа и удаленности адресата от Москвы. При отправке товара за МКАД при условии, расстояние от него не больше 5 км, к стоимости прибавится 60 руб. В других случаях величина надбавки к стоимости рассчитывается индивидуально.
Транспортной компанией – отправим товар в любую точку РФ. Стоимость доставки рассчитывается индивидуально в зависимости от удаленности адресата от Москвы и тарифов выбранной ТК.
Самовывоз – вы можете вывезти товар самостоятельно. Это бесплатно.

Сроки доставки:

При выборе доставки по Москве и МО курьером, вы получите товар в течение 1-3 суток.
При выборе услуг транспортной компании сроки рассчитываются индивидуально. Мы обязуемся изготовить и передать изделие ТК в течение 1-3 суток.

Если вы хотите самостоятельно забрать товар, приезжайте к в офис. Будем ждать вас в рабочее время.

Оплата

Способы оформления заказа:

На сайте. Добавьте товар в корзину и перейдите в нее для оформления заказа. Этот способ подходит, если вы хотите заказать типовое изделие.
По телефону. Позвоните нам, расскажите менеджеру, что вам нужно. При таком способе можно обсудить нюансы, которые не предусмотрены при заказе по сайту.
По E-mail. Отправьте нам письмо, в котором вы рассказываете, что хотите заказать. Если у вас есть макет, прикрепите его, чтобы изготовили изделие в соответствии с вашими ожиданиями.

Обратите внимание, что в стоимость включено изготовление простого макета без дополнительных услуг. Разработка индивидуального фона, эвакуационных схем, алюминиевая рамка и сооружение напольной подставки для стендов и досок – это опции, которые оплачиваются отдельно. Уточнить, сколько окончательно будет стоить товар вместе с дополнительными опциями, вы можете, позвонив по телефону.

Варианты оплаты:

Наличными. Купить в Москве изделие можно с оплатой наличными курьеру или нашему сотруднику в офисе (при самовывозе).
Картой. Банковской карточкой можно сделать предоплату онлайн или оплатить товар во время его получения в офисе.
Через платежный терминал. Этот способ подходит, если вы решили купить товар дистанционно.
Безналичным расчетом. При оформлении заказа укажите реквизиты компании, и мы выставим счет. Чеки отправим по почте.

Обратите внимание, что сроки зачисления средств при оплате безналичным расчетом составляет до 2 рабочих дней при оплате в пределах Московской области и до 5 рабочих дней при оплате из другого субъекта РФ.

Степень, свойства и действия со степенями, сложение, умножение, деление отрицательных степеней, степень с натуральным показателем, правила и формулы

Одной из главных характеристик в алгебре, да и во всей математике является степень. Конечно, в 21 веке все расчеты можно проводить на онлайн-калькуляторе, но лучше для развития мозгов научиться делать это самому.

В данной статье рассмотрим самые важные вопросы, касающиеся этого определения. А именно, поймем что это вообще такое и каковы основные его функции, какие имеются свойства в математике.

Рассмотрим на примерах то, как выглядит расчет, каковы основные формулы. Разберем основные виды величины и то, чем они отличаются от других функций.

Поймем, как решать с помощью этой величины различные задачи. Покажем на примерах, как возводить в нулевую степень, иррациональную, отрицательную и др.

Онлайн-калькулятор возведения в степень

Что такое степень числа

Что же подразумевают под выражением «возвести число в степень»?

Степенью n числа а является произведение множителей величиной а n-раз подряд.

Математически это выглядит следующим образом:

an = a * a * a * …an.

Причем, левая часть уравнения будет читаться, как a в степ. n.

Например:

23 = 2 в третьей степ. = 2 * 2 * 2 = 8,
42 = 4 в степ. два = 4 * 4 = 16,
54 = 5 в степ. четыре = 5 * 5 * 5 * 5 = 625,
105 = 10 в 5 степ. = 10 * 10 * 10 * 10 * 10 = 100000,
104 = 10 в 4 степ. = 10 * 10 * 10 * 10 = 10000.

Ниже будет представлена таблица квадратов и кубов от 1 до 10.

Таблица степеней от 1 до 10

Ниже будут приведены результаты возведения натуральных чисел в положительные степени – «от 1 до 100».

Ч-ло	2-ая ст-нь	3-я ст-нь
1	1	1
2	4	8
3	9	27
4	16	64
5	25	125
6	36	216
7	49	343
8	64	512
9	81	279
10	100	1000

Свойства степеней

Что же характерно для такой математической функции? Рассмотрим базовые свойства.

Учеными установлено следующие признаки, характерные для всех степеней:

an * am = (a)(n+m),
an : am = (a)(n-m),
(ab ) m=(a)(b*m).

Проверим на примерах:

23 * 22 = 8 * 4 = 32. С другой стороны 25 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 =32.

Аналогично: 23 : 22 = 8 / 4 =2. Иначе 23-2 = 21 =2.

(23)2 = 82 = 64. А если по-другому? 26 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32 * 2 = 64.

Как видим, правила работают.

А как же быть со сложением и вычитанием? Всё просто. Выполняется сначала возведение в степень, а уж потом сложение и вычитание.

Посмотрим на примерах:

33 + 24 = 27 + 16 = 43,
52 – 32 = 25 – 9 = 16. Обратите внимание: правило не будет выполняться, если сначала произвести вычитание: (5 3)2 = 22 = 4.

А вот в этом случае надо вычислять сначала сложение, поскольку присутствуют действия в скобках: (5 + 3)3 = 83 = 512.

Как производить вычисления в более сложных случаях? Порядок тот же:

при наличии скобок – начинать нужно с них,
затем возведение в степень,
потом выполнять действия умножения, деления,
после сложение, вычитание.

Есть специфические свойства, характерные не для всех степеней:

Корень n-ой степени из числа a в степени m запишется в виде: am/n.
При возведении дроби в степень: этой процедуре подвержены как числитель, так и ее знаменатель.
При возведении произведения разных чисел в степень, выражение будет соответствовать произведению этих чисел в заданной степени. То есть: (a * b)n = an * bn.
При возведении числа в отрицательную степ., нужно разделить 1 на число в той же ст-ни, но со знаком «+».
Если знаменатель дроби находится в отрицательной степени, то это выражение будет равно произведению числителя на знаменатель в положительной степени.
Любое число в степени 0 = 1, а в степ. 1 = самому себе.

Эти правила важны в отдельных случаях, их рассмотрим подробней ниже.

Степень с отрицательным показателем

Что делать при минусовой степени, т. е. когда показатель отрицательный?

Исходя из свойств 4 и 5 (смотри пункт выше), получается:

A(-n) = 1 / An, 5(-2) = 1 / 52 = 1 / 25.

И наоборот:

1 / A(-n) = An, 1 / 2(-3) = 23 = 8.

А если дробь?

(A / B)(-n) = (B / A)n, (3 / 5)(-2) = (5 / 3)2 = 25 / 9.

Степень с натуральным показателем

Под ней понимают степень с показателями, равными целым числам.

Что нужно запомнить:

A0 = 1, 10 = 1, 20 = 1, 3.150 = 1, (-4)0 = 1…и т. д.

A1 = A, 11 = 1, 21 = 2, 31 = 3…и т. д.

Кроме того, если (-a)2n+2, n=0, 1, 2…то результат будет со знаком «+». Если отрицательное число возводится в нечетную степень, то наоборот.

Общие свойства, да и все специфические признаки, описанные выше, также характерны для них.

Дробная степень

Этот вид можно записать схемой: Am/n. Читается как: корень n-ой степени из числа A в степени m.

С дробным показателем можно делать, что угодно: сокращать, раскладывать на части, возводить в другую степень и т. д.

Степень с иррациональным показателем

Пусть α – иррациональное число, а А ˃ 0.

Чтобы понять суть степени с таким показателем, рассмотрим разные возможные случаи:

А = 1. Результат будет равен 1. Поскольку существует аксиома – 1 во всех степенях равна единице,
А˃1.

Аr1 ˂ Аα ˂ Аr2, r1 ˂ r2 – рациональные числа,

В этом случае наоборот: Аr2 ˂ Аα ˂ Аr1 при тех же условиях, что и во втором пункте.

Например, показатель степени число π. Оно рациональное.

r1 – в этом случае равно 3,

r2 – будет равно 4.

Тогда, при А = 1, 1π = 1.

А = 2, то 23 ˂ 2π ˂ 24, 8 ˂ 2π ˂ 16.

А = 1/2, то (½)4 ˂ (½)π ˂ (½)3, 1/16 ˂ (½)π ˂ 1/8.

Для таких степеней характерны все математические операции и специфические свойства, описанные выше.

Заключение

Подведём итоги для чего же нужны эти величины, в чем преимущество таких функций? Конечно, в первую очередь они упрощают жизнь математиков и программистов при решении примеров, поскольку позволяют минимизировать расчеты, сократить алгоритмы, систематизировать данные и многое другое.

Где еще могут пригодиться эти знания? В любой рабочей специальности: медицине, фармакологии, стоматологии, строительстве, технике, инженерии, конструировании и т. д.

Понятие степени с рациональным показателем, свойства степеней

1.	Выражения, которые имеют смысл	1 вид — рецептивный	лёгкое	4 Б.	Выбор выражений, которые имеют смысл.
2.	Степень с дробным показателем (обыкновенная дробь)	1 вид — рецептивный	лёгкое	1 Б.	Представление степени с дробным показателем в виде корня.
3.	Степень с дробным показателем (смешанное число)	1 вид — рецептивный	лёгкое	2 Б.	Представление степени с дробным показателем в виде корня.
4.	Степень с дробным показателем (десятичная дробь)	1 вид — рецептивный	лёгкое	2 Б.	Представление степени с дробным показателем в виде корня.
5.	Корень степени n из обыкновенной дроби	1 вид — рецептивный	лёгкое	1 Б.	Представление выражения в виде степени с дробным показателем.
6.	Корень степени n из степени	1 вид — рецептивный	лёгкое	1 Б.	Представление выражения в виде степени с рациональным показателем.
7.	Степень с рациональным показателем	1 вид — рецептивный	лёгкое	2 Б.	Вычисление значения выражения.
8.	Произведение степеней с рациональными показателями	1 вид — рецептивный	лёгкое	2 Б.	Упрощение выражения, применение свойства произведения степеней с одинаковыми основаниями.
9.	Частное степеней с рациональными показателями	1 вид — рецептивный	лёгкое	1 Б.	Упрощение выражения, примение свойства деления степеней с одинаковыми основаниями.
10.	Возведение степени в степень (рациональные показатели)	1 вид — рецептивный	лёгкое	1 Б.	Упрощение выражения, применение свойства «возведение степени в степень».
11.	Значение степени с рациональным показателем	2 вид — интерпретация	среднее	4 Б.	Вычисление значения степени с рациональным показателем.
12.	Степень с дробным показателем	2 вид — интерпретация	лёгкое	1 Б.	Вычисление степени с дробным показателем.
13.	Упрощение выражения, содержащего радикалы, замена переменных	2 вид — интерпретация	сложное	5 Б.	Упрощение выражения, содержащего радикалы, замена переменных, использование формулы суммы (разности) кубов.
14.	Степень с целым показателем	2 вид — интерпретация	среднее	6 Б.	Вычисление значения выражения (дробь) с применением свойства степени.
15.	Произведение степени и корня	2 вид — интерпретация	среднее	2,5 Б.	Представление выражения в виде степени с рациональным показателем.
16.	Свойства степеней с рациональными показателями (десятичные и обыкновенные дроби)	2 вид — интерпретация	среднее	3 Б.	Упрощение выражения, применение свойств: произведение степеней с одинаковыми основаниями и возведение степени в степень.
17.	Свойства степеней с рациональными показателями (десятичные дроби)	2 вид — интерпретация	среднее	6 Б.	Вычисление значения выражения, применение свойств: произведение степеней с одинаковыми основаниями, возведение степени в степень и определение корня степени $n$.
18.	Произведение в рациональной степени (степень и дробь)	2 вид — интерпретация	среднее	6 Б.	Вычисление значения выражения, применение свойств: степень произведения, возведение степени в степень.
19.	Сумма корней и степеней	2 вид — интерпретация	среднее	4 Б.	Раскрытие скобок, применение формулы сокращённого умножения.
20.	Свойства степеней с рациональными показателями (дробь)	2 вид — интерпретация	среднее	4 Б.	Вычисление значения выражения, применение свойств: произведение степеней с одинаковыми основаниями, деление степеней с одинаковыми основаниями, возведение степени в степень.
21.	Произведение бинома на одночлен	2 вид — интерпретация	среднее	5 Б.	Раскрытие скобок.
22.	Квадрат бинома	2 вид — интерпретация	среднее	4 Б.	Раскрытие скобок, применение формулы сокращённого умножения.
23.	Произведение суммы и разности (степень и число)	2 вид — интерпретация	среднее	3 Б.	Раскрытие скобок, применение формулы сокращённого умножения.
24.	Сокращение дроби	2 вид — интерпретация	среднее	4 Б.	Применение формулы сокращённого умножения, сокращение дроби.
25.	Упрощение выражения, содержащего радикалы, формула разложения на множители кв. трёхчлена	2 вид — интерпретация	среднее	4 Б.	Упрощение разности алгебраических дробей, содержащих радикалы, использование формулы разложения на множители квадратного трёхчлена.
26.	Произведение суммы и разности двух степеней	3 вид — анализ	сложное	4 Б.	Раскрытие скобок, применение формулы сокращённого умножения.

Свойства степеней при сложении. Основные свойства степеней. Примеры на умножение степеней с одинаковыми показателями

Каждая арифметическая операция порою становится слишком громоздкой для записи и её стараются упростить. Когда-то так было и с операцией сложения. Людям было необходимо проводить многократное однотипное сложение, например, посчитать стоимость ста персидских ковров, стоимость которого составляет 3 золотые монеты за каждый. 3+3+3+…+3 = 300. Из-за громоздкости было придумано сократить запись до 3 * 100 = 300. Фактически, запись «три умножить на сто» означает, что нужно взять сто троек и сложить между собой. Умножение прижилось, обрело общую популярность. Но мир не стоит на месте, и в средних веках возникла необходимость проводить многократное однотипное умножение. 3. В остальном, когда различные основания и показатели, произвести полное умножение нельзя. Иногда можно частично упростить или прибегнуть к помощи вычислительной техники.

Формулы степеней используют в процессе сокращения и упрощения сложных выражений, в решении уравнений и неравенств.

Число c является n -ной степенью числа a когда:

Операции со степенями.

1. Умножая степени с одинаковым основанием их показатели складываются:

a m ·a n = a m + n .

2. В делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются:

3. Степень произведения 2-х либо большего числа множителей равняется произведению степеней этих сомножителей:

(abc…) n = a n · b n · c n …

4. Степень дроби равняется отношению степеней делимого и делителя:

(a/b) n = a n /b n .

5. Возводя степень в степень, показатели степеней перемножают:

(a m) n = a m n .

Каждая вышеприведенная формула верна в направлениях слева направо и наоборот.

Например . (2·3·5/15)² = 2²·3²·5²/15² = 900/225 = 4 .

Операции с корнями.

1. Корень из произведения нескольких сомножителей равняется произведению корней из этих сомножителей:

2. Корень из отношения равен отношению делимого и делителя корней:

3. При возведении корня в степень довольно возвести в эту степень подкоренное число:

4. Если увеличить степень корня в n раз и в тоже время возвести в n -ую степень подкоренное число, то значение корня не поменяется:

5. Если уменьшить степень корня в n раз и в тоже время извлечь корень n -ой степени из подкоренного числа, то значение корня не поменяется:

Степень с отрицательным показателем. Степень некоторого числа с неположительным (целым) показателем определяют как единицу, деленную на степень того же числа с показателем, равным абсолютной величине неположительного показателя:

Формулу a m :a n =a m — n можно использовать не только при m > n , но и при m n .

Например . a 4:a 7 = a 4 — 7 = a -3 .

Чтобы формула a m :a n =a m — n стала справедливой при m=n , нужно присутствие нулевой степени.

Степень с нулевым показателем. Степень всякого числа, не равного нулю, с нулевым показателем равняется единице.

Например . 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Степень с дробным показателем. Чтобы возвести действительное число а в степень m/n , необходимо извлечь корень n -ой степени из m -ой степени этого числа а .

Операции со степенями и корнями. Степень с отрицательным ,

нулевым и дробным показателем. О выражениях, не имеющих смысла.

Операции со степенями.

1. При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются :

a m · a n = a m + n .

2. При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются .

3. Степень произведения двух или нескольких сомножителей равна произведению степеней этих сомножителей.

( abc … ) n = a n · b n · c n …

4. Степень отношения (дроби) равна отношению степеней делимого (числителя) и делителя (знаменателя):

( a / b ) n = a n / b n .

5. При возведении степени в степень их показатели перемножаются:

(a m ) n = a m n .

Все вышеприведенные формулы читаются и выполняются в обоих направлениях слева направо и наоборот.

П р и м е р. (2 · 3 · 5 / 15) ² = 2 ² · 3 ² · 5 ² / 15 ² = 900 / 225 = 4 .

Операции с корнями. Во всех нижеприведенных формулах символ означает арифметический корень (подкоренное выражение положительно).

1. Корень из произведения нескольких сомножителей равен произведению корней из этих сомножителей:

2. Корень из отношения равен отношению корней делимого и делителя:

3. При возведении корня в степень достаточно возвести в эту степень подкоренное число:

4. Если увеличить степень корня в m раз и одновременно возвести в m -ую степень подкоренное число, то значение корня не изменится:

5. Если уменьшить степень корня в m раз и одновременно извлечь корень m -ой степени из подкоренного числа, то значение корня не изменится:

Расширение понятия степени. До сих пор мы рассматривали степени только с натуральным показателем; но действия со степенями и корнями могут приводить также к отрицательным , нулевым и дробным показателям. Все эти показатели степеней требуют дополнительного определения.

Степень с отрицательным показателем. Степень некоторого числа с отрицательным (целым) показателем определяется как единица, делённая на степень того же числа с показателем, равным абсолютной велечине отрицательного показателя:

Т еперь формула a m : a n = a m — n может быть использована не только при m , большем, чем n , но и при m , меньшем, чем n .

П р и м е р . a 4 : a 7 = a 4 — 7 = a — 3 .

Если мы хотим, чтобы формула a m : a n = a m — n была справедлива при m = n , нам необходимо определение нулевой степени.

Степень с нулевым показателем. Степень любого ненулевого числа с нулевым показателем равна 1.

П р и м е р ы. 2 0 = 1, (– 5) 0 = 1, (– 3 / 5) 0 = 1.

Степень с дробным показателем. Для того, чтобы возвести действительное число а в степень m / n , нужно извлечь корень n –ой степени из m -ой степени этого числа а :

О выражениях, не имеющих смысла. Есть несколько таких выражений. любое число.

В самом деле, если предположить, что это выражение равно некоторому числу x , то согласно определению операции деления имеем: 0 = 0 · x . Но это равенство имеет место при любом числе x , что и требовалось доказать.

Случай 3.

0 0 — любое число.

Действительно,

Р е ш е н и е. Рассмотрим три основных случая:

1) x = 0 – это значение не удовлетворяет данному уравнению

(Почему?).

2) при x > 0 получаем: x / x = 1, т.e. 1 = 1, откуда следует,

что x – любое число; но принимая во внимание, что в

Нашем случае x > 0 , ответом является x > 0 ;

3) при x x / x = 1, т. e . –1 = 1, следовательно,

В этом случае нет решения.

Таким образом, x > 0.

Как умножать степени? Какие степени можно перемножить, а какие — нет? Как число умножить на степень?

В алгебре найти произведение степеней можно в двух случаях:

1) если степени имеют одинаковые основания;

2) если степени имеют одинаковые показатели.

При умножении степеней с одинаковыми основаниями надо основание оставить прежним, а показатели — сложить:

При умножении степеней с одинаковыми показателями общий показатель можно вынести за скобки:

Рассмотрим, как умножать степени, на конкретных примерах.

Единицу в показателе степени не пишут, но при умножении степеней — учитывают:

При умножении количество степеней может быть любое. Следует помнить, что перед буквой знак умножения можно не писать:

В выражениях возведение в степень выполняется в первую очередь.

Если нужно число умножить на степень, сначала следует выполнить возведение в степень, а уже потом — умножение:

www.algebraclass.ru

Сложение, вычитание, умножение, и деление степеней

Сложение и вычитание степеней

Очевидно, что числа со степенями могут слагаться, как другие величины , путем их сложения одно за другим со своими знаками .

Так, сумма a 3 и b 2 есть a 3 + b 2 .
Сумма a 3 — b n и h 5 -d 4 есть a 3 — b n + h 5 — d 4 .

Коэффициенты одинаковых степеней одинаковых переменных могут слагаться или вычитаться.

Так, сумма 2a 2 и 3a 2 равна 5a 2 .

Это так же очевидно, что если взять два квадрата а, или три квадрата а, или пять квадратов а.

Но степени различных переменных и различные степени одинаковых переменных , должны слагаться их сложением с их знаками.

Так, сумма a 2 и a 3 есть сумма a 2 + a 3 .

Это очевидно, что квадрат числа a, и куб числа a, не равно ни удвоенному квадрату a, но удвоенному кубу a.

Сумма a 3 b n и 3a 5 b 6 есть a 3 b n + 3a 5 b 6 .

Вычитание степеней проводится таким же образом, что и сложение, за исключением того, что знаки вычитаемых должны соответственно быть изменены.

Или:
2a 4 — (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 — 4h 2 b 6 = -h 2 b 6
5(a — h) 6 — 2(a — h) 6 = 3(a — h) 6

Умножение степеней

Числа со степенями могут быть умножены, как и другие величины, путем написания их одно за другим, со знаком умножения или без него между ними.

Так, результат умножения a 3 на b 2 равен a 3 b 2 или aaabb.

Или:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

Результат в последнем примере может быть упорядочен путём сложения одинаковых переменных.
Выражение примет вид: a 5 b 5 y 3 .

Сравнивая несколько чисел(переменных) со степенями, мы можем увидеть, что если любые два из них умножаются, то результат — это число (переменная) со степенью, равной сумме степеней слагаемых.

Так, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

Здесь 5 — это степень результата умножения, равная 2 + 3, сумме степеней слагаемых.

Так, a n .a m = a m+n .

Для a n , a берётся как множитель столько раз, сколько равна степень n;

И a m , берётся как множитель столько раз, сколько равна степень m;

Поэтому, степени с одинаковыми основами могут быть умножены путём сложения показателей степеней.

Так, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . И x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

Или:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h — y) n ⋅ (b + h — y) = (b + h — y) n+1

Умножьте (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x — y).
Ответ: x 4 — y 4 .
Умножьте (x 3 + x — 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

Это правило справедливо и для чисел, показатели степени которых — отрицательные .

1. Так, a -2 .a -3 = a -5 . Это можно записать в виде (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y -n .y -m = y -n-m .

3. a -n .a m = a m-n .

Если a + b умножаются на a — b, результат будет равен a 2 — b 2: то есть

Результат умножения суммы или разницы двух чисел равен сумме или разнице их квадратов.

Если умножается сумма и разница двух чисел, возведённых в квадрат , результат будет равен сумме или разнице этих чисел в четвёртой степени.

Так, (a — y).(a + y) = a 2 — y 2 .
(a 2 — y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 — y 4 .
(a 4 — y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 — y 8 .

Деление степеней

Числа со степенями могут быть поделены, как и другие числа, путем отнимая от делимого делителя, или размещением их в форме дроби. 3$

Необходимо очень хорошо усвоить умножение и деление степеней, так как такие операции очень широко применяются в алгебре.

Примеры решения примеров с дробями, содержащими числа со степенями

1. Уменьшите показатели степеней в $\frac $ Ответ: $\frac $.

2. Уменьшите показатели степеней в $\frac $. Ответ: $\frac $ или 2x.

3. Уменьшите показатели степеней a 2 /a 3 и a -3 /a -4 и приведите к общему знаменателю.
a 2 .a -4 есть a -2 первый числитель.
a 3 .a -3 есть a 0 = 1, второй числитель.
a 3 .a -4 есть a -1 , общий числитель.
После упрощения: a -2 /a -1 и 1/a -1 .

4. Уменьшите показатели степеней 2a 4 /5a 3 и 2 /a 4 и приведите к общему знаменателю.
Ответ: 2a 3 /5a 7 и 5a 5 /5a 7 или 2a 3 /5a 2 и 5/5a 2 .

5. Умножьте (a 3 + b)/b 4 на (a — b)/3.

6. Умножьте (a 5 + 1)/x 2 на (b 2 — 1)/(x + a).

7. Умножьте b 4 /a -2 на h -3 /x и a n /y -3 .

8. Разделите a 4 /y 3 на a 3 /y 2 . Ответ: a/y.

Свойства степени

Напоминаем, что в данном уроке разбираются свойства степеней с натуральными показателями и нулём. Степени с рациональными показателями и их свойства будут рассмотрены в уроках для 8 классов.

Степень с натуральным показателем обладает несколькими важными свойствами, которые позволяют упрощать вычисления в примерах со степенями.

Свойство № 1

Произведение степеней

При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание остаётся без изменений, а показатели степеней складываются.

a m · a n = a m + n , где « a » — любое число, а « m », « n » — любые натуральные числа.

Данное свойство степеней также действует на произведение трёх и более степеней.

Упростить выражение.
b · b 2 · b 3 · b 4 · b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15

Представить в виде степени.
6 15 · 36 = 6 15 · 6 2 = 6 15 · 6 2 = 6 17

Представить в виде степени.
(0,8) 3 · (0,8) 12 = (0,8) 3 + 12 = (0,8) 15

Обратите внимание, что в указанном свойстве речь шла только об умножении степеней с одинаковыми основаниями . Оно не относится к их сложению.

Нельзя заменять сумму (3 3 + 3 2) на 3 5 . Это понятно, если
посчитать (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 , а 3 5 = 243

Свойство № 2

Частное степеней

При делении степеней с одинаковыми основаниями основание остаётся без изменений, а из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя.

Записать частное в виде степени
(2b) 5: (2b) 3 = (2b) 5 − 3 = (2b) 2

Вычислить.

11 3 − 2 · 4 2 − 1 = 11 · 4 = 44
Пример. Решить уравнение. Используем свойство частного степеней.
3 8: t = 3 4

Ответ: t = 3 4 = 81

Пользуясь свойствами № 1 и № 2, можно легко упрощать выражения и производить вычисления.

Пример. Найти значение выражения, используя свойства степени.

2 11 − 5 = 2 6 = 64

Обратите внимание, что в свойстве 2 речь шла только о делении степеней с одинаковыми основаниями.

Нельзя заменять разность (4 3 −4 2) на 4 1 . Это понятно, если посчитать (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48 , а 4 1 = 4

Свойство № 3

Возведение степени в степень

При возведении степени в степень основание степени остаётся без изменения, а показатели степеней перемножаются.

(a n) m = a n · m , где « a » — любое число, а « m », « n » — любые натуральные числа.

Обратите внимание, что свойство № 4, как и другие свойства степеней, применяют и в обратном порядке.

(a n · b n)= (a · b) n

То есть, чтобы перемножить степени с одинаковыми показателями можно перемножить основания, а показатель степени оставить неизменным.

Пример. Вычислить.
2 4 · 5 4 = (2 · 5) 4 = 10 4 = 10 000

Пример. Вычислить.
0,5 16 · 2 16 = (0,5 · 2) 16 = 1

В более сложных примерах могут встретиться случаи, когда умножение и деление надо выполнить над степенями с разными основаниями и разными показателями. В этом случае советуем поступать следующим образом.

Например, 4 5 · 3 2 = 4 3 · 4 2 · 3 2 = 4 3 · (4 · 3) 2 = 64 · 12 2 = 64 · 144 = 9216

Пример возведения в степень десятичной дроби.

4 21 · (−0,25) 20 = 4 · 4 20 · (−0,25) 20 = 4 · (4 · (−0,25)) 20 = 4 · (−1) 20 = 4 · 1 = 4

Свойства 5

Степень частного (дроби)

Чтобы возвести в степень частное, можно возвести в эту степень отдельно делимое и делитель, и первый результат разделить на второй.

(a: b) n = a n: b n , где « a », « b » — любые рациональные числа, b ≠ 0, n — любое натуральное число.

Пример. Представить выражение в виде частного степеней.
(5: 3) 12 = 5 12: 3 12

Напоминаем, что частное можно представить в виде дроби. Поэтому на теме возведение дроби в степень мы остановимся более подробно на следующей странице.

Степени и корни

Операции со степенями и корнями. Степень с отрицательным ,

нулевым и дробным показателем. О выражениях, не имеющих смысла.

Операции со степенями.

1. При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются:

a m · a n = a m + n .

2. При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются .

3. Степень произведения двух или нескольких сомножителей равна произведению степеней этих сомножителей.

4. Степень отношения (дроби) равна отношению степеней делимого (числителя) и делителя (знаменателя):

(a / b ) n = a n / b n .

5. При возведении степени в степень их показатели перемножаются:

Все вышеприведенные формулы читаются и выполняются в обоих направлениях слева направо и наоборот.

П р и м е р. (2 · 3 · 5 / 15) ² = 2 ² · 3 ² · 5 ² / 15 ² = 900 / 225 = 4 .

1. Корень из произведения нескольких сомножителей равен произведению корней из этих сомножителей:

2. Корень из отношения равен отношению корней делимого и делителя:

3. При возведении корня в степень достаточно возвести в эту степень подкоренное число:

П р и м е р. a 4: a 7 = a 4 — 7 = a — 3 .

Степень с нулевым показателем. Степень любого ненулевого числа с нулевым показателем равна 1.

П р и м е р ы. 2 0 = 1, (– 5) 0 = 1, (– 3 / 5) 0 = 1.

О выражениях, не имеющих смысла. Есть несколько таких выражений.

где a ≠ 0 , не существует.

В самом деле, если предположить, что x – некоторое число, то в соответствии с определением операции деления имеем: a = 0· x , т.e. a = 0, что противоречит условию: a ≠ 0

— любое число.

0 0 — любое число.

Р е ш е н и е. Рассмотрим три основных случая:

1) x = 0 – это значение не удовлетворяет данному уравнению

2) при x > 0 получаем: x / x = 1, т.e. 1 = 1, откуда следует,

что x – любое число; но принимая во внимание, что в

нашем случае x > 0 , ответом является x > 0 ;

Правила умножения степеней с разным основанием

СТЕПЕНЬ С РАЦИОНАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ,

СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИЯ IV

§ 69. Умножение и деление степеней с одинаковыми основаниями

Теорема 1. Чтобы перемножить степени с одинаковыми основаниями, достаточно показатели степеней сложить, а основание оставить прежним , то есть

Доказательство. По определению степени

2 2 2 3 = 2 5 = 32; (-3) (-3) 3 = (-3) 4 = 81.

Мы рассмотрели произведение двух степеней. На самом же деле доказанное свойство верно для любого числа степеней с одинаковыми основаниями.

Теорема 2. Чтобы разделить степени с одинаковыми основаниями, когда показатель делимого больше показателя делителя, достаточно из показателя делимого вычесть показатель делителя, а основание оставить прежним, то есть при т > п

(a =/= 0)

Доказательство. Напомним, что частным от деления одного числа на другое называется число, которое при умножении на делитель дает делимое. Поэтому доказать формулу , где a =/= 0, это все равно, что доказать формулу

Если т > п , то число т — п будет натуральным; следовательно, по теореме 1

Теорема 2 доказана.

Следует обратить внимание на то, что формула

доказана нами лишь в предположении, что т > п . Поэтому из доказанного пока нельзя делать, например, таких выводов:

К тому же степени с отрицательными показателями нами еще не рассматривались и мы пока что не знаем, какой смысл можно придать выражению 3 — 2 .

Теорема 3. Чтобы возвести степень в степень, достаточно перемножить показатели, оставив основание степени прежним , то есть

Доказательство. Используя определение степени и теорему 1 этого параграфа, получаем:

что и требовалось доказать.

Например, (2 3) 2 = 2 6 = 64;

518 (Устно.) Определить х из уравнений:

1) 2 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 = 2 x ; 3) 4 2 4 4 4 6 4 8 4 10 = 2 x ;

2) 3 3 3 3 5 3 7 3 9 = 3 x ; 4) 1 / 5 1 / 25 1 / 125 1 / 625 = 1 / 5 x .

519. (У с т н о.{n-2} } $$

Видео-решение.

Сводка тригонометрических формул

Эти формулы относятся к длине и площади определенных кругов или треугольников. На следующей странице вы найдете личности. Идентичности не относятся к конкретным геометрическим фигурам, но верны для всех углов.

Формулы дуг и секторов окружностей

Вы можете легко найти как длину дуги, так и площадь сектора для угла θ в окружности радиуса r .

Длина дуги. Длина дуги равна радиусу r, в умноженному на угол θ , где угол измеряется в радианах. Чтобы преобразовать градусы в радианы, умножьте количество градусов на π /180.
Площадь сектора. Площадь сектора равна половине квадрата радиуса, умноженного на угол, где, опять же, угол измеряется в радианах.

Формулы для прямоугольных треугольников

Наиболее важные формулы для тригонометрии — формулы для прямоугольного треугольника.Если θ — один из острых углов в треугольнике, то синус тэты — это отношение противоположной стороны к гипотенузе, косинус — это отношение соседней стороны к гипотенузе, а тангенс — это отношение сторона, противоположная соседней стороне.

Эти три формулы известны мнемоническим языком SohCahToa. Помимо этого, существует очень важная формула Пифагора, которая гласит, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов двух других сторон.

Зная, что два острых угла дополняют друг друга, то есть они складываются в 90 °, вы можете решить любой прямоугольный треугольник:

Если вы знаете две из трех сторон, вы можете найти третью сторону и оба острых угла.
Если вы знаете один острый угол и одну из трех сторон, вы можете найти другой острый угол и две другие стороны.

Формулы наклонных треугольников

Эти формулы работают для любого треугольника, будь то острый, тупой или прямой.Мы будем использовать стандартные обозначения, в которых три вершины треугольника обозначаются прописными буквами A , B и C , а три противоположные им стороны соответственно обозначаются строчными буквами a , . b и c .

Есть две важные формулы для наклонных треугольников. Их называют законом косинусов и законом синусов.

Закон косинусов обобщает формулу Пифагора на все треугольники.В нем говорится, что c ², квадрат одной стороны треугольника, равен a ² + b ², сумме квадратов двух других сторон минус 2. ab cos & nbsp C , удвоить их произведение, умноженное на косинус противоположного угла. Когда угол C правильный, он становится формулой Пифагора.

Закон синусов гласит, что отношение синуса одного угла к противоположной стороне является одинаковым отношением для всех трех углов.

С помощью этих двух формул вы можете решить любой треугольник:

Если вы знаете два угла и сторону, вы можете найти третий угол и две другие стороны.
Если вы знаете две стороны и включенный угол, вы можете найти третью сторону и оба других угла.
Если вы знаете две стороны и угол, противоположный одной из них, есть две возможности для угла, противоположного другой (острый и тупой), и для обеих возможностей вы можете определить оставшийся угол и оставшуюся сторону.

Формулы площади для треугольников

Есть три разные полезные формулы для определения площади треугольника, и какая из них вы используете, зависит от того, какая информация у вас есть.

Половина основания, умноженная на высоту. Это обычный вариант, поскольку он самый простой и обычно у вас есть такая информация. Выбирайте любую сторону, чтобы позвонить по базе b . Тогда, если h — это расстояние от противоположной вершины до b , то площадь равна половине bh .
Формула Герона. Это полезно, если вы знаете три стороны треугольника: a , b и c , и все, что вам нужно знать, — это площадь. Пусть с будет половиной их суммы, называемой полупериметром . Тогда площадь является квадратным корнем из произведения s , s — a , s — b и s — c .
Формула стороны-угла-стороны. Используйте это, если вам известны две стороны, a и b , и включенный угол C . Площадь равна половине произведения двух сторон, умноженного на синус включенного угла.

Использование свойств углов для решения задач

Результаты обучения

Найдите дополнение угла
Найти дополнение к углу

Вам знакома фраза «сделать [латекс] 180 [/ латекс]?» Это означает сделать полный поворот, чтобы вы смотрели в противоположном направлении.Это происходит из-за того, что угол, образующий прямую линию, составляет [латекс] 180 [/ латекс] градусов. См. Изображение ниже.

Угол образован двумя лучами, имеющими общую конечную точку. Каждый луч называется стороной угла, а общая конечная точка — вершиной. Угол назван по его вершине. На изображении ниже [latex] \ angle A [/ latex] — это угол с вершиной в точке [latex] A [/ latex]. Мера [латекс] \ угол А [/ латекс] записывается [латекс] м \ угол А [/ латекс].\ circ [/ латекс].

В этом и следующем разделах вы познакомитесь с некоторыми общими геометрическими формулами. Мы адаптируем нашу стратегию решения проблем для геометрических приложений. Формула геометрии назовет переменные и даст нам уравнение для решения.

Кроме того, поскольку все эти приложения будут включать геометрические фигуры, будет полезно нарисовать фигуру, а затем пометить ее информацией из проблемы. Мы включим этот шаг в стратегию решения проблем для геометрических приложений.

Используйте стратегию решения проблем для геометрических приложений.

Прочтите задачу и убедитесь, что вы понимаете все слова и идеи. Нарисуйте фигуру и пометьте ее данной информацией.

Определите то, что вы ищете. \ circ [/ latex].

1. Найдите приложение к нему

2. Найдите его дополнение

Решение

1.
Шаг 1. Прочтите проблему. Нарисуйте фигуру и напишите на ней указанную информацию.
Шаг 2. Определите то, что вы ищете.	Дополнение [латекс] 40 ° [/ латекс] угол.
Шаг 3. Имя. Выберите переменную для ее представления.	Пусть [latex] s = [/ latex] мера дополнения.
Шаг 4. Translate. Напишите соответствующую формулу для ситуации и подставьте ее в полученную информацию.	[латекс] м \ угол А + м \ угол В = 180 [/ латекс] [латекс] s + 40 = 180 [/ латекс]
Шаг 5. Решите уравнение.	[латекс] s = 140 [/ латекс]
Шаг 6. Проверка: [латекс] 140 + 40 \ stackrel {?} {=} 180 [/ латекс] [латекс] 180 = 180 \ галочка [/ латекс]
Шаг 7. Ответьте на вопрос.	Дополнение [латекс] 40 ° [/ латекс] угол составляет [латекс] 140 ° [/ латекс].

Шаг 1. Прочтите проблему. Нарисуйте фигуру и напишите на ней указанную информацию.

Шаг 2. Определите то, что вы ищете.

Дополнение угла [латекс] 40 ° [/ латекс].

Шаг 3. Имя. Выберите переменную для ее представления.

Пусть [latex] c = [/ latex] мера дополнения.

Шаг 4. Translate.

Напишите соответствующую формулу для ситуации и подставьте ее в полученную информацию.

[латекс] м \ угол А + м \ угол В = 90 [/ латекс]

Шаг 5. Решите уравнение.

[латекс] c + 40 = 90 [/ латекс]

[латекс] c = 50 [/ латекс]

Шаг 6. Чек:

[латекс] 50 + 40 \ stackrel {?} {=} 90 [/ латекс]

[латекс] 90 = 90 \ квадратик \ галочка [/ латекс]

Шаг 7. Ответьте на вопрос.

Дополнительный угол [латекс] 40 ° [/ латекс] составляет [латекс] 50 ° [/ латекс].

В следующем видео мы покажем больше примеров того, как найти дополнение и дополнение угла.

Вы заметили, что слова «дополнительный» и «дополнительный» расположены в алфавитном порядке, как [латекс] 90 [/ латекс] и [латекс] 180 [/ латекс] в порядке номеров?

Упражнения

Два угла являются дополнительными.\ circ [/ latex] больше меньшего угла. Найдите размер обоих углов.

Показать решение

Решение:

Шаг 1. Прочтите проблему. Нарисуйте фигуру и напишите на ней указанную информацию.
Шаг 2. Определите то, что вы ищете.	Меры обоих углов.
Шаг 3. Имя. Выберите переменную для ее представления. Больший угол на 30 ° больше меньшего.	Пусть [latex] a = [/ latex] измеряет меньший угол [латекс] a + 30 = [/ латекс] мера большего угла
Шаг 4. Translate. Напишите соответствующую формулу и замените ее.	[латекс] м \ угол А + м \ угол В = 180 [/ латекс]
Шаг 5. Решите уравнение.	[латекс] (a + 30) + a = 180 [/ латекс] [латекс] 2a + 30 = 180 [/ латекс] [латекс] 2a = 150 [/ латекс] [латекс] a = 75 = [/ латекс] мера меньшего угла. [латекс] a + 30 = [/ латекс] мера большего угла. [латекс] 75 + 30 [/ латекс] [латекс] 105 [/ латекс]
Шаг 6. Проверка: [латекс] м \ угол А + м \ угол В = 180 [/ латекс] [латекс] 75 + 105 \ stackrel {?} {=} 180 [/ латекс] [латекс] 180 = 180 \ четырехугольник \ галочка [/ латекс]
Шаг 7. Ответьте на вопрос.	Размеры угла: [латекс] 75 ° [/ латекс] и [латекс] 105 ° [/ латекс].

Использование свойств углов, треугольников и теоремы Пифагора — предалгебра

Цели обучения

К концу этого раздела вы сможете:

Использовать свойства углов
Используйте свойства треугольников
Используйте теорему Пифагора

Прежде чем начать, пройдите тест на готовность.

Решить:
Если вы пропустили эту проблему, просмотрите (рисунок).
Решение:
Если вы пропустили эту проблему, просмотрите (рисунок).
Упростить:
Если вы пропустили эту проблему, просмотрите (рисунок).

До сих пор в этой главе мы сосредоточились на решении задач со словами, которые похожи на многие реальные приложения алгебры. В следующих нескольких разделах мы применим наши стратегии решения проблем к некоторым общим задачам геометрии.

В этом и следующем разделах вы познакомитесь с некоторыми общими геометрическими формулами.Мы адаптируем нашу стратегию решения проблем для геометрических приложений. Формула геометрии назовет переменные и даст нам уравнение для решения.

Используйте стратегию решения проблем для геометрических приложений.

Прочтите задачу и убедитесь, что вы понимаете все слова и идеи.Нарисуйте фигуру и пометьте ее данной информацией.
Определите то, что вы ищете.
Назовите то, что вы ищете, и выберите переменную для его представления.
Переведите в уравнение, написав соответствующую формулу или модель для ситуации. Подставьте в данную информацию.
Решите уравнение, используя хорошие методы алгебры.
Проверьте ответ в проблеме и убедитесь, что он имеет смысл.
Ответьте на вопрос полным предложением.

В следующем примере показано, как можно использовать стратегию решения проблем для приложений геометрии, чтобы ответить на вопросы о дополнительных и дополнительных углах.

Угол измеряет его дополнение и ⓑ его дополнение.

Угол измеряет. Найдите его: ⓐ дополнение ⓑ дополнение.

Вы заметили, что слова «дополнительный» и «дополнительный» расположены в алфавитном порядке, как и в числовом порядке?

Два угла являются дополнительными.Больший угол больше меньшего. Найдите размер обоих углов.

Два угла являются дополнительными. Больший угол больше меньшего. Найдите размеры обоих углов.

Два угла дополняют друг друга. Больший угол больше меньшего. Найдите размеры обоих углов.

Используйте свойства треугольников

Что вы уже знаете о треугольниках? Треугольник имеет три стороны и три угла.Треугольники названы по вершинам. Треугольник на (Рисунок) называется «треугольник». Мы помечаем каждую сторону строчной буквой, чтобы она соответствовала прописной букве противоположной вершины.

Три угла треугольника связаны особым образом. Сумма их мер составляет

Сумма углов треугольника

Для любой суммы углов

Меры двух углов треугольника равны и Найдите меру третьего угла.

Треугольник имеет углы и Найдите размер третьего угла.

Правые треугольники

У некоторых треугольников есть особые имена. Сначала посмотрим на прямоугольный треугольник. Прямоугольный треугольник имеет один угол, который часто обозначается символом, показанным на (Рисунок).

Если мы знаем, что треугольник является прямоугольным, мы знаем, что измеряется один угол, поэтому нам нужна только мера одного из других углов, чтобы определить меру третьего угла.

Измеряет один угол прямоугольного треугольника. Какова мера третьего угла?

Размер одного угла прямоугольного треугольника Какова мера другого угла?

В примерах до сих пор мы могли нарисовать фигуру и пометить ее сразу после прочтения задачи. В следующем примере нам нужно будет определить один угол через другой. Поэтому мы будем ждать, чтобы нарисовать фигуру, пока мы не напишем выражения для всех углов, которые мы ищем.

Мера одного угла прямоугольного треугольника больше, чем мера наименьшего угла. Найдите размеры всех трех углов.

Подобные треугольники

Когда мы используем карту для планирования поездки, эскиз для создания книжного шкафа или выкройку для шитья платья, мы работаем с похожими фигурами.В геометрии, если две фигуры имеют одинаковую форму, но разные размеры, мы говорим, что это похожие фигуры. Один — это масштабная модель другого. Соответствующие стороны двух фигур имеют одинаковое соотношение, и все соответствующие им углы имеют одинаковые размеры.

Два треугольника на (Рисунок) похожи. Каждая сторона в четыре раза длиннее соответствующей стороны, и их соответствующие углы имеют равные размеры.

и похожи на треугольники. Их соответствующие стороны имеют одинаковое отношение, а соответствующие углы имеют одинаковую меру.

Свойства подобных треугольников

Если два треугольника подобны, то их соответствующие меры углов равны, и их соответствующие длины сторон находятся в одинаковом соотношении.

Длина стороны треугольника может обозначаться его концами, двумя вершинами треугольника. Например, в

Мы часто будем использовать это обозначение, когда решаем аналогичные треугольники, потому что это поможет нам согласовать соответствующие длины сторон.

и похожи на треугольники. Показаны длины двух сторон каждого треугольника. Найдите длину третьей стороны каждого треугольника.

Используйте теорему Пифагора

Теорема Пифагора — это особое свойство прямоугольных треугольников, которое использовалось с древних времен. Он назван в честь греческого философа и математика Пифагора, жившего около нашей эры.

Помните, что у прямоугольного треугольника есть угол, который мы обычно отмечаем маленьким квадратом в углу.Сторона треугольника, противоположная углу, называется гипотенузой, а две другие стороны — катетами. См. (Рисунок).

В прямоугольном треугольнике сторона, противоположная углу, называется гипотенузой, а каждая другая сторона называется катетом.

Теорема Пифагора говорит, как длины трех сторон прямоугольного треугольника соотносятся друг с другом. В нем говорится, что в любом прямоугольном треугольнике сумма квадратов двух катетов равна квадрату гипотенузы.

Для решения задач, использующих теорему Пифагора, нам нужно найти квадратные корни. В разделе «Упростить и использовать квадратные корни» мы ввели обозначение и определили его следующим образом:

Например, мы обнаружили, что это потому, что

Мы будем использовать это определение квадратных корней, чтобы найти длину стороны прямоугольного треугольника.

Используйте теорему Пифагора, чтобы найти длину гипотенузы.

Используйте теорему Пифагора, чтобы найти длину более длинной ноги.

Используйте теорему Пифагора, чтобы найти длину ноги.

Джон ставит основание лестницы ногами от стены своего дома. Как далеко до стены поднимается лестница?

Рэнди хочет прикрепить гирлянду фонарей к мачте своей лодки.На каком расстоянии от основания мачты он должен прикрепить конец световой струны?

Практика ведет к совершенству

Использовать свойства углов

В следующих упражнениях найдите ⓐ дополнение и ⓑ дополнение данного угла.

В следующих упражнениях используйте свойства углов для решения.

Найдите дополнение угла.

Два угла являются дополнительными. Больший угол больше меньшего. Найдите размеры обоих углов.

Два угла являются дополнительными. Меньший угол меньше большего. Найдите размеры обоих углов.

Два угла дополняют друг друга. Меньший угол меньше большего.Найдите размеры обоих углов.

Два угла дополняют друг друга. Больший угол больше меньшего. Найдите размеры обоих углов.

Использование свойств треугольников

В следующих упражнениях решите, используя свойства треугольников.

Меры двух углов треугольника равны и Найдите меру третьего угла.

Размер одного угла прямоугольного треугольника Какова мера другого угла?

Два меньших угла прямоугольного треугольника имеют равные размеры.Найдите размеры всех трех углов.

Наименьший угол прямоугольного треугольника меньше размера другого малого угла. Найдите размеры всех трех углов.

Углы в треугольнике таковы, что мера одного угла в два раза больше меры наименьшего угла, а мера третьего угла в три раза больше меры наименьшего угла. Найдите размеры всех трех углов.

Углы в треугольнике таковы, что мера одного угла больше меры наименьшего угла, а мера третьего угла в три раза больше меры наименьшего угла.Найдите размеры всех трех углов.

Найдите длину недостающей стороны

В следующих упражнениях аналогично поиску длины указанной стороны.

сторона

На карте Сан-Франциско, Лас-Вегас и Лос-Анджелес образуют треугольник, стороны которого показаны на рисунке ниже. Фактическое расстояние от Лос-Анджелеса до Лас-Вегаса составляет мили.

Найти расстояние от Лос-Анджелеса до Сан-Франциско.

Найти расстояние от Сан-Франциско до Лас-Вегаса.

Используйте теорему Пифагора

В следующих упражнениях используйте теорему Пифагора, чтобы найти длину гипотенузы.

Найдите длину недостающей стороны

В следующих упражнениях используйте теорему Пифагора, чтобы найти длину недостающей стороны. При необходимости округлите до ближайшей десятой.

В следующих упражнениях решите.При необходимости с точностью до десятых долей.

Гирлянда светильников будет прикреплена к верхней части столба для праздничного представления. На каком расстоянии от основания столба должен быть закреплен конец гирлянды?

Пэм хочет повесить плакат на двери своего гаража, чтобы поздравить сына с окончанием колледжа. Дверь гаража высотой в фут и шириной в фут. Какой длины должен быть баннер, чтобы подходить к воротам гаража?

Чи планирует проложить дорожку из брусчатки в своем цветнике.Цветник представляет собой квадрат со сторонами стопы. Какой будет длина пути?

Брайан одолжил приставную лестницу, чтобы покрасить свой дом. Если он поставит основание опор лестницы от дома, насколько высоко поднимется верх лестницы?

Повседневная математика

Построение масштабной модели Джо хочет построить кукольный домик для своей дочери. Он хочет, чтобы кукольный домик выглядел так же, как его дом. Его дом шириной в фут и высотой в фут в самой высокой точке крыши.Если кукольный домик будет шириной в фут, какой высоты будет его самая высокая точка?

Письменные упражнения

Напишите три свойства треугольников из этого раздела, а затем объясните каждое своими словами.

Объясните, как рисунок ниже иллюстрирует теорему Пифагора для треугольника с катетами длиной и

Самопроверка

ⓐ После выполнения упражнений используйте этот контрольный список, чтобы оценить свое мастерство в достижении целей этого раздела.

ⓑ Что этот контрольный список говорит вам о вашем мастерстве в этом разделе? Какие шаги вы предпримете для улучшения?

Глоссарий

угол: Угол образован двумя лучами, имеющими общую конечную точку. Каждый луч называется стороной угла.

дополнительные углы: Если сумма двух углов равна, то они называются дополнительными углами.

гипотенуза: Сторона треугольника, противоположная углу 90 °, называется гипотенузой.

катеты прямоугольного треугольника: Стороны прямоугольного треугольника, смежные с прямым углом, называются катетами.

прямоугольный треугольник: Прямоугольный треугольник — это треугольник с одним углом.

похожие фигурки: В геометрии, если две фигуры имеют одинаковую форму, но разные размеры, мы говорим, что это похожие фигуры.

дополнительные уголки: Если сумма двух углов равна, то они называются дополнительными углами.

треугольник: Треугольник — это геометрическая фигура с тремя сторонами и тремя углами.

вершина угла: Когда два луча встречаются, образуя угол, общая конечная точка называется вершиной угла.

Формула треугольника

— Типы треугольников

Примечание: Два оставшихся угла прямоугольного треугольника всегда являются острыми углами. Важным свойством прямоугольных треугольников является теорема Пифагора . В нем указано, что в прямоугольном треугольнике, сумма квадратов основания и перпендикуляра равна квадрату гипотенузы треугольника.

На рисунке выше DABC представляет собой прямоугольный треугольник, поэтому (AB) ² + (AC) ² = (BC) ². Здесь AB = 6 и AC = 8, поэтому BC = 10, так как 6 ² + 8 ² = 36 + 64 = 100 = (BC) ² и BC = & redic; 100.

Обязательно прочтите статьи о треугольниках

Любой треугольник, в котором длины сторон находятся в соотношении 3: 4, всегда является прямоугольным треугольником.

В общем, если x, by и z — длины сторон треугольника, в котором x ² + y ² = z ², то треугольник называется прямоугольным.

Есть несколько пифагоровых троек, которые часто используются в вопросах. Эти тройни лучше запомнить.

3, 4 и 5
5, 12 и 13
7, 24 и 25
8, 15 и 17
9, 40 и 41
11, 60 и 61
12, 35 и 37
16, 63 и 65
20, 21 и 29
28, 45 и 53.

Любое кратное этих троек Пифагора также будет триплетом Пифагора, т.е. когда мы говорим, что это тройка 5,12,13, если мы умножим все эти числа на 3, это также будет тройка, т.е. 15, 36, 39 также будут пифагорова тройка.

(iv) 45 ° — 45 ° -90 ° Треугольник : специальные треугольники: если три угла треугольника составляют 45 °, 45 ° и 90 °, тогда перпендикулярная сторона этого прямоугольного треугольника в 1/2 раза больше гипотенузы треугольника.В треугольнике 45 ° — 45 ° — 90 ° длины трех сторон этого треугольника находятся в соотношении 1: 1: & redic; 2.

Например, в ∆PQR, если PR = 2 см, то PQ = & redic; 2 см, а QR = & redic; 2 см.

(v) 30 ° — 60 ° — 90 ° Треугольник : В треугольнике 30 ° — 60 ° — 90 °, длины трех сторон этого треугольника находятся в соотношении 1: & redic; 3: 2. Например, в ∆ABC, если AC = 3, то AB = 3 & redic; 3 и BC = 6.Подводя итог, приведенные ниже формулы могут применяться для расчета двух других сторон треугольника 30 ° — 60 ° -90 °, если задана одна из трех сторон.

Сторона, противоположная 30 ° = ½ гипотенузы.

Сторона, противоположная 60 ° = & redic; 3/2 гипотенузы.

Некоторые важные свойства треугольников

(i) Сумма трех внутренних углов треугольника равна 180 °.

In ∆ABC, ABC + ∠BAC + ∠ACB = 180 °

(ii) Сумма внутреннего угла и прилегающего внешнего угла составляет 180 °.

На рисунке на предыдущей странице ABC + ∠ABH = 180 °

ABC + ∠CBI = 180 °

(iii) Два внешних угла с одинаковой вершиной конгруэнтны.

(iv) Размер внешнего угла равен сумме измерений двух внутренних углов (называемых удаленными внутренними углами) треугольника, не прилегающего к нему.

(vi) Сумма любых двух сторон треугольника всегда больше третьей стороны.

В ∆ABC AB + BC> AC, также AB + AC> BC и AC + BC> AB.

(vii) Разница любых двух сторон всегда меньше, чем у третьей стороны.

Высота: Высота треугольника — это отрезок, проведенный из вершины, перпендикулярной стороне, противоположной этой вершине. Относительно этой вершины и высоты противоположная сторона называется основанием.

Площадь треугольника равна: (длина высоты) × (длина основания) / 2.

BD = 5

В ∆ABC, BD — это высота до основания AC, а AE — высота до основания BC.

Формула треугольника : Площадь треугольника ∆ABC равна ½ × BD × AC = ½ × 5 × 8 = 20.

Площадь треугольника также равна (AE × BC) / 2. Если DABC выше равнобедренный и AB = BC, то высота BD делит основание пополам; то есть AD = DC = 4.Точно так же любая высота равностороннего треугольника делит пополам сторону, к которой он нарисован.

Конгруэнтность треугольников : Если стороны и углы одного треугольника равны соответствующим сторонам и углам другого треугольника, то два треугольника называются конгруэнтными.

Два треугольника равны, если

Две стороны и включенный угол треугольника соответственно равны двум сторонам и включенному углу другого треугольника (SAS).
2 угла и 1 сторона треугольника равны соответственно двум углам и соответствующей стороне другого треугольника (AAS).
Три стороны треугольника равны трем сторонам другого треугольника (SSS).
1 сторона и гипотенуза прямоугольного треугольника соответственно конгруэнтны 1 стороне и гипотенузе другого правого треугольника. треугольник (RHS).

Подобие треугольников:

Два треугольника называются подобными друг другу, если они похожи только по форме.Соответствующие углы этих треугольников равны, но соответствующие стороны только пропорциональны. Все конгруэнтные треугольники подобны, но все похожие треугольники не обязательно конгруэнтны.

Два треугольника подобны, если

Три стороны треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника (SSS).
Два угла треугольника равны двум углам другого треугольника (AA) соответственно.
Две стороны треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а входящие углы равны (SAS).

Свойства треугольников :

Если два треугольника похожи, отношения сторон = отношение высот = отношение медиан = отношение биссектрис угла = отношение внутренних радиусов = отношение радиусов окружности.
Соотношение площадей = b ₁ h ₁ / b ₂ h ₂ = (s ₁) ² / (s ₂) ², где b ₁ & h ₁ — это основание и высота первого треугольника, а b ₂ и h ₂ — основание и высота второго треугольника.s ₁ & s ₂ — соответствующие стороны первого и второго треугольника соответственно.
Два треугольника на каждой стороне перпендикуляра, проведенного от вершины прямого угла к наибольшей стороне, т. Е. Гипотенуза, похожи друг на друга и также похожи на больший треугольник.

∆ DBA аналогичен ∆ DCB, который аналогичен ∆ BCA.

Высота от вершины прямого угла до гипотенузы — это среднее геометрическое значение отрезков, на которые делится гипотенуза.

т.е. (DB) ² = AD * DC

Центр окружности : Центр окружности — это центр окружности окружности треугольника. Его можно найти по пересечению серединных перпендикуляров.

Incenter : Incenter — это точка, представляющая центр вписанной окружности многоугольника. Соответствующий радиус вписанной окружности называется внутренним радиусом вписанной окружности.

9.3 Использование свойств углов, треугольников и теоремы Пифагора — Предалгебра 2e

Цели обучения

К концу этого раздела вы сможете:

Использовать свойства углов
Используйте свойства треугольников
Используйте теорему Пифагора

Будьте готовы 9.7

Перед тем, как начать, пройдите тест на готовность.

Решите: x + 3 + 6 = 11.x + 3 + 6 = 11.
Если вы пропустили эту проблему, просмотрите Пример 8.6.

Будьте готовы 9,8

Решите: a45 = 43.a45 = 43.
Если вы пропустили эту проблему, просмотрите Пример 6.42.

Будьте готовы 9.9

Упростить: 36 + 64,36 + 64.
Если вы пропустили эту проблему, просмотрите Пример 5.72.

До сих пор в этой главе мы сосредоточились на решении задач со словами, которые похожи на многие реальные приложения алгебры.В следующих нескольких разделах мы применим наши стратегии решения проблем к некоторым общим задачам геометрии.

Использование свойств углов

Вам знакома фраза «сделать 180? 180»? Это означает повернуть так, чтобы вы смотрели в противоположную сторону. Это происходит из-за того, что угол, образующий прямую линию, составляет 180–180 градусов. См. Рисунок 9.5.

Рисунок 9.5

Угол образован двумя лучами, имеющими общую конечную точку. Каждый луч называется стороной угла, а общая конечная точка — вершиной.Угол назван по его вершине. На рисунке 9.6 A∠A — угол с вершиной в точке A.A. Мера ∠A∠A записывается m∠A.m∠A.

Рис. 9.6. ∠A∠A — угол с вершиной в точке A. pointA.

Мы измеряем углы в градусах и используем символ °° для обозначения градусов. Мы используем сокращение мм для меры угла. Итак, если ∠A∠A равно 27 °, 27 °, мы должны написать m∠A = 27.m∠A = 27.

Если сумма двух углов равна 180 °, 180 °, то они называются дополнительными углами.На рисунке 9.7 каждая пара углов является дополнительной, потому что их размеры в сумме составляют 180 ° .180 °. Каждый угол является дополнением другого.

Рисунок 9.7 Сумма дополнительных углов составляет 180 ° .180 °.

Если сумма двух углов равна 90 °, 90 °, то углы являются дополнительными углами. На рисунке 9.8 каждая пара углов дополняет друг друга, потому что их размеры в сумме составляют 90 ° 0,90 °. Каждый угол дополняет другого.

Рисунок 9.8 Сумма дополнительных углов составляет 90 ° 0,90 °.

Дополнительные и дополнительные углы

Если сумма измерений двух углов равна 180 °, 180 °, тогда углы являются дополнительными.

Если ∠A∠A и ∠B∠B дополнительные, то m thenA + m∠B = 180 °. M∠A + m∠B = 180 °.

Если сумма двух углов равна 90 °, 90 °, то углы дополняют друг друга.

Если ∠A∠A и ∠B∠B дополняют друг друга, то m∠A + m∠B = 90 ° .m∠A + m∠B = 90 °.

В этом и следующем разделах вы познакомитесь с некоторыми общими геометрическими формулами.Мы адаптируем нашу стратегию решения проблем для геометрических приложений. Формула геометрии назовет переменные и даст нам уравнение для решения.

How To

Используйте стратегию решения проблем для геометрических приложений.

Шаг 1. Прочтите задачу и убедитесь, что вы понимаете все слова и идеи. Нарисуйте фигуру и пометьте ее данной информацией.
Шаг 2. Определите то, что вы ищете.
Шаг 3. Назовите то, что вы ищете, и выберите переменную для его представления.
Шаг 4. Преобразуйте в уравнение, написав соответствующую формулу или модель для ситуации. Подставьте в данную информацию.
Шаг 5. Решите уравнение, используя хорошие методы алгебры.
Шаг 6. Проверьте ответ в задаче и убедитесь, что он имеет смысл.
Шаг 7. Ответьте на вопрос полным предложением.

Пример 9.16

Угол составляет 40 °.40 °. Найдите ⓐ его дополнение и ⓑ его дополнение.

Попробуйте 9.31

Угол составляет 25 ° 0,25 °. Найдите его: ⓐ дополнение ⓑ дополнение.

Попробуйте 9.32

Угол составляет 77 ° .77 °. Найдите его: ⓐ дополнение ⓑ дополнение.

Вы заметили, что слова «дополнительный» и «дополнительный» расположены в алфавитном порядке, как 9090 и 180180 — в порядке номеров?

Пример 9.17

Два угла являются дополнительными. Большой угол на 30 ° 30 ° больше меньшего.Найдите размер обоих углов.

Попробуйте 9,33

Два угла являются дополнительными. Большой угол на 100 ° на 100 ° больше меньшего. Найдите размеры обоих углов.

Попробуйте 9,34

Два угла дополняют друг друга. Большой угол на 40 ° на 40 ° больше меньшего. Найдите размеры обоих углов.

Используйте свойства треугольников

Что вы уже знаете о треугольниках? Треугольник имеет три стороны и три угла.Треугольники названы по вершинам. Треугольник на рисунке 9.9 называется ΔABC, ΔABC, читается как «треугольник ABCABC». Мы помечаем каждую сторону строчной буквой, чтобы она соответствовала прописной букве противоположной вершины.

Рис. 9.9. ΔABCΔABC имеет вершины A, B, CA, B и C, а также стороны a, b и c. A, b и c.

Три угла треугольника связаны особым образом. Сумма их мер составляет 180 ° .180 °.

m∠A + m∠B + m∠C = 180 ° m∠A + m∠B + m∠C = 180 °

Сумма углов треугольника

Для любых ΔABC, ΔABC сумма углов составляет 180 °.180 °.

m∠A + m∠B + m∠C = 180 ° m∠A + m∠B + m∠C = 180 °

Пример 9.18

Размеры двух углов треугольника: 55 ° 55 ° и 82 ° 0,82 °. Найдите размер третьего угла.

Попробуйте 9,35

Размеры двух углов треугольника: 31 ° 31 ° и 128 ° .128 °. Найдите размер третьего угла.

Попробуйте 9,36

Треугольник имеет углы 49 ° 49 ° и 75 ° 0,75 °. Найдите размер третьего угла.

Правые треугольники

У некоторых треугольников есть особые имена.Сначала посмотрим на прямоугольный треугольник. Прямоугольный треугольник имеет один угол 90 ° 90 °, который часто обозначается символом, показанным на рисунке 9.10.

Рисунок 9.10

Если мы знаем, что треугольник является прямоугольным, мы знаем, что один угол составляет 90 ° 90 °, поэтому нам нужна только мера одного из других углов, чтобы определить меру третьего угла.

Пример 9.19

Один угол прямоугольного треугольника составляет 28 ° 0,28 °. Какова мера третьего угла?

Попробуй 9.37

Один угол прямоугольного треугольника составляет 56 ° 0,56 °. Какова мера другого угла?

Попробуйте 9,38

Один угол прямоугольного треугольника составляет 45 ° 0,45 °. Какова мера другого угла?

Пример 9.20

Размер одного угла прямоугольного треугольника на 20 ° на 20 ° больше, чем размер наименьшего угла. Найдите размеры всех трех углов.

Попробуйте 9,39

Размер одного угла прямоугольного треугольника на 50 ° 50 ° больше, чем размер наименьшего угла. Найдите размеры всех трех углов.

Попробуйте 9,40

Размер одного угла прямоугольного треугольника на 30 ° 30 ° больше, чем размер наименьшего угла.Найдите размеры всех трех углов.

Подобные треугольники

Когда мы используем карту для планирования поездки, эскиз для создания книжного шкафа или выкройку для шитья платья, мы работаем с похожими фигурами. В геометрии, если две фигуры имеют одинаковую форму, но разные размеры, мы говорим, что это похожие фигуры. Один — это масштабная модель другого. Соответствующие стороны двух фигур имеют одинаковое соотношение, и все соответствующие им углы имеют одинаковые размеры.

Два треугольника на рисунке 9.11 похожи. Каждая сторона ΔABCΔABC в четыре раза больше длины соответствующей стороны ΔXYZΔXYZ, и их соответствующие углы имеют равные размеры.

Рис. 9.11. ΔABCΔABC и ΔXYZΔXYZ — похожие треугольники. Их соответствующие стороны имеют одинаковое отношение, а соответствующие углы имеют одинаковую меру.

Свойства похожих треугольников

Если два треугольника похожи, то их соответствующие угловые меры равны, и их соответствующие длины сторон находятся в одинаковом соотношении.

Длина стороны треугольника может обозначаться его концами, двумя вершинами треугольника. Например, в ΔABC: ΔABC:

длина также может быть записана BCдлинаb также может быть записана ACдлина также может быть записанаABдлина также может быть записанаBCдлинаb также может быть записанаACдлина также может быть записанаAB

Пример 9.21

ΔABCΔABC и ΔXYZΔXYZ — подобные треугольники. Показаны длины двух сторон каждого треугольника. Найдите длину третьей стороны каждого треугольника.

Решение

Шаг 1. Прочтите проблему. Нарисуйте фигуру и напишите на ней указанную информацию.	Рисунок предоставлен.
Шаг 2. Определите то, что вы ищете.	Длина сторон подобных треугольников
Шаг 3. Имя. Выберите переменную для ее представления.	Пусть a = длина третьей стороны ΔABCΔABC y = длина третьей стороны ΔXYZΔXYZ
Шаг 4. Перевести.
Треугольники похожи, поэтому соответствующие стороны находятся в одинаковом соотношении. Итак, ABXY = BCYZ = ACXZABXY = BCYZ = ACXZ Поскольку сторона AB = 4AB = 4 соответствует стороне XY = 3XY = 3, мы будем использовать соотношение ABXY = 43ABXY = 43, чтобы найти другие стороны. Будьте осторожны, чтобы правильно совместить соответствующие стороны.
Шаг 5. Решите уравнение.
Шаг 6. Проверка:
Шаг 7. Ответьте на вопрос.	Третья сторона ΔABCΔABC равна 6, а третья сторона ΔXYZΔXYZ равна 2,4.

Попробуйте 9,41

ΔABCΔABC похож на ΔXYZ.ΔXYZ. Найти.а.

Попробуйте 9,42

ΔABCΔABC похож на ΔXYZ.ΔXYZ. Найдите г.г.

Используйте теорему Пифагора

Помните, что прямоугольный треугольник имеет угол 90 ° 90 °, который мы обычно отмечаем маленьким квадратом в углу. Сторона треугольника, противоположная углу 90 ° 90 °, называется гипотенузой, а две другие стороны — катетами.См. Рисунок 9.12.

Рисунок 9.12 В прямоугольном треугольнике сторона, противоположная углу 90 ° 90 °, называется гипотенузой, а каждая другая сторона называется катетом.

Теорема Пифагора

В любом прямоугольном треугольнике ΔABC, ΔABC,

где cc — длина гипотенузы aa, а bb — длины катетов.

Для решения задач, использующих теорему Пифагора, нам нужно найти квадратные корни. В разделе «Упростить и использовать квадратные корни» мы ввели обозначение mm и определили его следующим образом:

Ifm = n2, thenm = nforn≥0Ifm = n2, thenm = nforn≥0.

Например, мы обнаружили, что 2525 равно 55, потому что 52 = 25,52 = 25.

Попробуйте 9,43

Используйте теорему Пифагора, чтобы найти длину гипотенузы.

Попробуйте 9,44

Используйте теорему Пифагора, чтобы найти длину гипотенузы.

Попробуйте 9,45

Используйте теорему Пифагора, чтобы найти длину ноги.

Попробуйте 9,46

Используйте теорему Пифагора, чтобы найти длину ноги.

Попробуйте 9,47

Джон ставит основание лестницы высотой 13 футов 13 футов в 55 футах от стены своего дома. Как далеко до стены поднимается лестница?

Попробуй 9.48

Рэнди хочет прикрепить гирлянду огней 17 футов 17 футов к вершине мачты 15 футов 15 футов своей парусной лодки. На каком расстоянии от основания мачты он должен прикрепить конец световой струны?

Раздел 9.3 Упражнения

Практика ведет к совершенству

Используйте свойства углов

В следующих упражнениях найдите ⓐ дополнение и ⓑ дополнение для данного угла.

В следующих упражнениях используйте свойства углов для решения.

85.

Найдите дополнение к углу 135 ° 135 °.

86.

Найдите дополнение к углу 38 ° 38 °.

87.

Найдите дополнение к углу 27,5 ° 27,5 °.

88.

Найдите дополнение к углу 109,5 ° 109,5 °.

89.

Два угла являются дополнительными. Большой угол на 56 ° 56 ° больше меньшего. Найдите размеры обоих углов.

90.

Два угла являются дополнительными. Меньший угол на 36 ° на 36 ° меньше большего угла. Найдите размеры обоих углов.

91.

Два угла дополняют друг друга. Меньший угол на 34 ° 34 ° меньше большего угла. Найдите размеры обоих углов.

92.

Два угла дополняют друг друга. Большой угол на 52 ° на 52 ° больше, чем меньший угол. Найдите размеры обоих углов.

Использование свойств треугольников

В следующих упражнениях решите, используя свойства треугольников.

93.

Размеры двух углов треугольника 26 ° 26 ° и 98 °.98 °. Найдите размер третьего угла.

94.

Размеры двух углов треугольника: 61 ° 61 ° и 84 ° 0,84 °. Найдите размер третьего угла.

95.

Размеры двух углов треугольника: 105 ° 105 ° и 31 ° 0,31 °. Найдите размер третьего угла.

96.

Размеры двух углов треугольника: 47 ° 47 ° и 72 ° 0,72 °. Найдите размер третьего угла.

97.

Один угол прямоугольного треугольника составляет 33 ° 0,33 °. Какова мера другого угла?

98.

Один угол прямоугольного треугольника составляет 51 ° 0,51 °. Какова мера другого угла?

99.

Один угол прямоугольного треугольника составляет 22,5 ° 0,22,5 °. Какова мера другого угла?

100.

Один угол прямоугольного треугольника составляет 36,5 ° 0,36,5 °. Какова мера другого угла?

101.

Два меньших угла прямоугольного треугольника имеют равные размеры. Найдите размеры всех трех углов.

102.

Наименьший угол прямоугольного треугольника на 20 ° на 20 ° меньше другого малого угла.Найдите размеры всех трех углов.

103.

104.

Углы в треугольнике таковы, что мера одного угла на 20 ° 20 ° больше, чем мера наименьшего угла, а мера третьего угла в три раза больше меры наименьшего угла.Найдите размеры всех трех углов.

Найдите длину недостающей стороны

В следующих упражнениях ΔABCΔABC аналогично ΔXYZ.ΔXYZ. Найдите длину указанной стороны.

107.

Найти расстояние от Лос-Анджелеса до Сан-Франциско.

108.

Найти расстояние от Сан-Франциско до Лас-Вегаса.

Используйте теорему Пифагора

В следующих упражнениях используйте теорему Пифагора, чтобы найти длину гипотенузы.

110. 112.

Найдите длину недостающей стороны

114. 116. 118. 120.

В следующих упражнениях решите. При необходимости с точностью до десятых долей.

121.

Гирлянда огней длиной 13 футов 13 футов будет прикреплена к вершине столба высотой 12 футов 12 футов для праздничной демонстрации. На каком расстоянии от основания столба должен быть закреплен конец гирлянды?

122.

Пэм хочет повесить плакат на двери своего гаража, чтобы поздравить сына с окончанием колледжа. Дверь гаража имеет высоту 1212 футов и ширину 1616 футов. Какой длины должен быть баннер, чтобы подходить к воротам гаража?

123.

Чи планирует проложить дорожку из брусчатки в своем цветнике. Цветник представляет собой квадрат со сторонами 1010 футов. Какой будет длина пути?

124.

Брайан одолжил 20-футовую 20-футовую приставную лестницу, чтобы покрасить свой дом. Если он установит основание лестницы в 66 футах от дома, насколько высоко поднимется верх лестницы?

Повседневная математика

125.

Построение масштабной модели Джо хочет построить кукольный домик для своей дочери.Он хочет, чтобы кукольный домик выглядел так же, как его дом. Его дом имеет ширину 3030 футов и высоту 3535 футов в самой высокой точке крыши. Если кукольный домик будет шириной 2,52,5 фута, какой высоты будет его самая высокая точка?

126.

Размер Городской инженер планирует построить пешеходный мост через озеро от точки ХХ до точки Y, Y, как показано на рисунке ниже. Чтобы определить длину пешеходного моста, она рисует прямоугольный треугольник XYZ, XYZ с прямым углом в точке X.X. Она измеряет расстояние от XX до Z, 800Z, 800 футов и от YY до Z, 1000Z, 1000 футов.Какой длины будет мост?

Письменные упражнения

127.

Напишите три свойства треугольников из этого раздела, а затем объясните каждое своими словами.

128.

Объясните, как рисунок ниже иллюстрирует теорему Пифагора для треугольника с катетами длиной 33 и 4,4.

Самопроверка

Тригонометрические и геометрические преобразования, Sin (A + B), Sin (A

Список всех тригонометрических тождеств (формул)

Коэффициенты суммирования углов

Как показали примеры, иногда нам нужны углы, отличные от 0, 30, 45, 60 и 90 градусов.В этой главе вам нужно узнать две вещи:
1. Sin (A + B) не равно sin A + sin B . Это не похоже на удаление скобок в алгебре.
2. Формула того, чему равен sin (A + B).

Во-первых, чтобы показать, что удаление скобок «не работает». Здесь: сделайте A 30 градусов и B 45 градусов.

Грех 30 равен 0,5. Sin 45 равен 0,7071. Если сложить два, получится 1,2071.

Вы знаете, что никакой синус (или косинус) не может быть больше 1. Почему? знаменателем этого отношения является гипотенуза.Максимум, что может быть в числителе, равно знаменателю. Синус или косинус никогда не могут быть больше 1, поэтому значение 1,2071 должно быть неправильным.

Требуемый синус, косинус или тангенс полного угла (A + B)

В поисках греха (A + B)

Самый простой способ найти sin (A + B) — это геометрическая конструкция, показанная здесь. Большой угол (A + B) состоит из двух меньших, A и B. Конструкция (1) показывает, что противоположная сторона состоит из двух частей.Нижняя часть, разделенная линией между углами (2), равна sin A. Линия между двумя углами, разделенная гипотенузой (3), равна cos B. Средняя линия находится как в числителе, так и в знаменателе, поэтому каждая из них отменяет и оставляет нижнюю часть противоположной точки над гипотенузой (4).

Обратите внимание на маленький прямоугольный треугольник (5). Заштрихованный угол — A, потому что линия на его верхней стороне параллельна базовой линии. Подобные прямоугольные треугольники с углом A показывают, что верхний угол, отмеченный A, также равен исходному A.Верхняя часть противоположной гипотенузы (6) над самым длинным заштрихованным треугольником — это cos A. Противоположная часть главной гипотенузы (7) — это sin B. и знаменатель, когда cos A и sin B умножаются вместе, cos A sin B — это верхняя часть исходной противоположности — для (A + B) — деленная на главную гипотенузу (8).

Теперь соберите все вместе (9). Sin (A + B) — это две противоположные части, разделенные гипотенузой (9). Помещаем это в его триггерную форму:

sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B

Нахождение cos (A + B)

Очень похожая конструкция находит формулу для косинуса угла, образованного двумя сложенными углами.

Используя ту же конструкцию (1), обратите внимание, что смежная сторона является полной базовой линией (для cos A), с вычтенной частью справа. Каждая часть должна использовать один и тот же знаменатель — гипотенузу треугольника (A + B).

Полная базовая линия, разделенная разделительной линией между углами A и E, равна cos A (2). Эта разделительная линия, разделенная гипотенузой треугольника (A + B), есть cos B (3). Таким образом, полная базовая линия, деленная на гипотенузу, представляет собой произведение cos A cos B (4).

Теперь о маленькой части, которую нужно вычесть. Заштрихованная часть (5) представляет sin A, который, умноженный на заштрихованную часть (6), равен sin E, что дает другой необходимый вам кусок (7). Вычитание дает cos (A + B) (8), поэтому нам нужна формула:

cos (A + B) = cos A cos B — sin A sin B

В поисках загара (A + B)

Полный геометрический вывод формулы для tan (A + B) сложен. Самый простой способ — это вывести его из двух формул, которые вы уже выполнили. ВНИМАНИЕ !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! «При любом угле тангенс равен синусу, деленному на косинус. Используя этот факт, tan (A + B) = sin (A + B) / cos (A + B). Так оно и есть, но вы можете расширить это до:
$ \ tan (A + B) = \ frac {\ sin \ A \ cos \ B + \ cos \ A \ \ sin \ B} {\ cos \ A \ cos \ B — \ sin \ A \ \ sin \ B} $
Разделим верхнюю и нижнюю части на cos A cos B, что превратит все члены в касательные, получив:
$ \ tan (A + B) = \ frac {\ tan \ A + \ tan \ B} {1 — \ tan \ A \ \ tan \ B} $

Передаточное число для 75 градусов

Покажите соотношения для синуса, косинуса и тангенса, подставив их в формулу суммы, а затем уменьшив результат до его простейшего вида, прежде чем оценивать отклонения.После внесения основных замен в каждом случае черновая работа заключается в закрашивании — чтобы показать, как результат сводится к простейшей форме для оценки.

Если вы используете свой карманный калькулятор для оценки, вероятно, не будет никакой разницы, упростите вы сначала выражения или просто пройдетесь по ним! Все зависит от калькулятора: некоторые имеют значение, некоторые — нет!

Углы более 90 градусов

До сих пор учитывались отношения острых углов (от 0 до 90 градусов).Другие треугольники с тупыми углами (более 90 градусов) могут быть более 180 градусов в более поздних задачах. Чтобы упростить классификацию углов по размеру, они разделены на квадранты.

Квадрант — это четверть круга. Поскольку круг обычно делится на 360 градусов, квадранты называются сегментами с углом 90 градусов. 0-90 градусов — это 1-й квадрант, 90-180 — 2-й, 180-270 — 3-й и 270-360 — 4-й.

Рисование линиями для представления границ квадранта: 0 или 360 по горизонтали вправо, 90 по вертикали, 180 по горизонтали влево и 270 по вертикали.Теперь воспользуйтесь этим методом для построения графиков.

Постепенно большие углы определяются вращающимся вектором, начинающимся с нуля и вращающимся против часовой стрелки. Горизонтальные элементы — это x: положительный справа, отрицательный слева. Вертикальные элементы — y. положительный вверх, отрицательный вниз. Вращающийся вектор — r. Итак, синус угла равен y / r, косинус x / r и тангенс y / x. Вектор r всегда положителен. Итак, знаком соотношений могут быть цифры для различных квадрантов.

Здесь знаки трех соотношений сведены в таблицу для четырех квадрантов.Также как эквивалентный угол в первом квадранте «переключается», когда вектор переходит от одного квадранта к другому. В первом квадранте стороны были определены в соотношениях для синуса, косинуса и тангенса. По мере того, как вы переходите к большим углам в оставшихся квадрантах, противоположная сторона всегда будет вертикальной (y). То, что называлось смежным, всегда является горизонтальным (x). Гипотенуза — это всегда вращающийся вектор (r). Вы начнете видеть закономерность в изменении этих тригонометрических соотношений углов.

Соотношения в четырех квадрантах

Передаточные числа для разностных углов

Теперь у вас есть два способа получить формулы для разностных углов. Во-первых, используйте геометрическую конструкцию, такую как та, которая использовалась для суммирования углов, изменив ее так, чтобы (A — B) был углом B, вычтенным из угла A.

В рассуждениях, аналогичных тем, которые использовались для суммирования углов, здесь представлены несколько сокращенно формулы синуса и косинуса:

sin (A — B) = sin A cos B — cos A sin B

а также

cos (A — B) = cos A cos B + sin A sin B

Геометрическая конструкция

Формулы суммы и разности

Второй метод нахождения формулы для разностных углов использует уже полученную формулу суммы, но делает B отрицательным.Из нашего исследования знаков для различных квадрантов, отрицательные углы от 1-го квадранта будут в 4-м квадранте. Выполнение этой замены дает те же результаты, которые геометрически были получены в предыдущем разделе.

Для нахождения формулы тангенса используется тот же метод, либо путем подстановки в формулы синуса и косинуса, либо, более напрямую, путем определения tan (-B) = — tan B. В любом случае вы получите:
$ \ tan (A — B) = \ frac {\ tan \ A — \ tan \ B} {1 + \ tan \ A \ \ tan \ B} $

Соотношения по четырем квадрантам

Вы можете вывести еще несколько соотношений с помощью формул суммы и разности.Вы уже сделали передаточные числа на 75 градусов. Теперь сделайте это на 15 градусов. Эти формулы дают соотношения для углов с 15-градусным интервалом в четырех квадрантах. Нанося их на полные 360 градусов, вы можете увидеть, как меняются три соотношения, когда вектор проходит через четыре квадранта.

И синус, и косинус «колеблются» вверх и вниз между +1 и -1. Обратите внимание, что «волны» смещены одна относительно другой на 90 градусов. Этот факт станет важным позже.

Касательная начинается как синусоида, но быстро поднимается вверх, достигая бесконечности под углом 90 градусов.Выходя за пределы шкалы в положительном направлении, он «появляется» из отрицательного направления по другую сторону 90 градусов. Проходя через точку под углом 180 градусов, касательная кривая дублирует то, что она делает, проходя через 0 или 360 (в зависимости от того, как вы ее видите). При 270 градусах он повторяет то же самое, что и при 90 градусах.

Пифагор в тригонометрии

Формулу часто можно упростить, как это было обнаружено путем получения касательных формул из формул синуса и косинуса и изменения ее с членов, использующих одно отношение, на члены, использующие другое отношение.При этом очень удобна теорема Пифагора, выраженная в тригонометрических соотношениях.

Предположим, что в прямоугольном треугольнике длина гипотенузы равна 1 единице. Тогда одна из других сторон будет иметь длину sin A, а другая — cos A. Из этого теорема Пифагора показывает, что: cos ² A + sin ² A = 1. Это утверждение всегда верно, поскольку любое значение A.

Немного о том, как это написано. Cos ² A означает (cos A) ².Если бы вы написали это cos A ², уравнение означало бы что-то другое. A — это число в некоторых угловых обозначениях, обозначающее угол. ² будет тем же числом в квадрате. Его значение будет зависеть от используемой угловой записи, так что это не лучший термин для использования. Имеется в виду синус или косинус угла в квадрате, а не сам угол.

Формулу Пифагора можно транспонировать. Например, две другие формы:
cos ² A = 1 — sin ² A и sin ² = 1 — cos ² A.

Несколько углов

Формулы суммы, наряду с теоремой Пифагора, используются для углов, которые равны 2, 3 или более точному кратному любому исходному углу. Здесь приведены формулы для 2A и 3A. Тот же метод используется далее в частях 3 и 4 этой книги.

Формула суммы работает независимо от того, одинаковые или разные углы: sin (A + B) или sin (A + A). Однако грех (А + А) на самом деле грех 2А. Итак, sin 2A — это sin A cos A + cos A sin A. Они оба являются одним и тем же произведением в противоположном порядке, поэтому это утверждение можно упростить до sin 2A = 2 sin A cos A.2 австралийских доллара

Теперь тройной угол (3A) используется только для того, чтобы показать, как получаются дальнейшие кратные.

По сути, это так же просто, как написать 3A = 2A + A и повторно применить формулы суммы. Но затем, чтобы получить результирующую формулу в работоспособной форме, вам нужно заменить часть 2A, чтобы получить все в терминах соотношений для простого угла A.

Пройдите свой путь по трем показанным здесь производным. Вы можете видеть, что при 4 А и более все усложняется (в частях 3 и 4 этой книги).

НЕСКОЛЬКО УГЛОВ, полученных из формул суммы

НЕСКОЛЬКО УГЛОВ для 3A

Свойства равнобедренного треугольника

Вы уже видели, что прямоугольный треугольник — полезный строительный блок для других фигур. Равнобедренный треугольник используется несколько иначе. Но факт, на котором основано это использование, состоит в том, что равнобедренный треугольник имеет две равные стороны и два равных угла, противоположных этим двум сторонам. Перпендикуляр от третьего угла (не одного из равных) к третьей стороне (не одной из равных) делит эту третью сторону пополам.То есть он делит его на две равные части, превращая весь треугольник в зеркальные прямоугольные треугольники.

В случае равнобедренных треугольников любой треугольник, кроме прямоугольного, можно разделить на три смежных равнобедренных треугольника, разделив каждую сторону на две равные части и возведя перпендикуляры из точек деления пополам. Если любые два из этих перпендикуляров пересекаются, если линии проводят к углам исходного треугольника, эти три линии должны быть равны, потому что две из них образуют стороны равнобедренного треугольника.Итак, перпендикуляр с третьей стороны исходного треугольника также должен пересекаться в той же точке.

Это утверждение верно, как мы показываем здесь, независимо от того, является ли исходный треугольник острым или тупым. Отличие от треугольника с тупым углом состоит в том, что точка встречи находится за пределами исходного треугольника, а не внутри.

Что делает прямоугольный треугольник? Перпендикуляры от середины гипотенузы к двум другим сторонам разделят эти две стороны пополам — вы получите две из трех! Точка встречи находится на гипотенузе.

Углы по окружности

Основное свойство круга — то, что его центр находится на равном расстоянии от каждой точки на его окружности. Это равное расстояние и есть радиус круга.

Если вы нарисуете какой-либо треугольник внутри круга, перпендикуляры из средних точек его стороны встретятся в центре круга, а радиусы углов треугольника разделят его на три равнобедренных треугольника.

Теперь, если вы назовете равные пары углов в каждом равнобедренном треугольнике, A, A, B, B, C, C, вы обнаружите, что исходный треугольник имеет один угол A + B, один угол B + C и один угол A. + С.Сумма трех углов составляет 2A + 2B + 2C. Это, знаете ли, в сумме составляет 180 градусов.

В любом равнобедренном треугольнике угол при вершине равен 180 градусам минус удвоенный угол основания. Из-за факта, выведенного в предыдущем абзаце, например, 180 — 2A должно быть таким же, как 2B + 2C.

Рассмотрим углы, противоположные той части круга, против которой сидит верхняя левая сторона треугольника. Угол в центре равен 2B + 2C, как только что было вычислено. Угол на окружности B + C.»Вы обнаружите, что для любого сегмента круга угол в центре всегда в два раза больше угла на окружности.

Приведенное выше доказательство приводит к интересному факту об углах в окружностях. Вместо обозначения углов со стороной треугольника используйте дугу (часть окружности) круга. Важен угол, соответствующий дуге в центре. Часть окружности круга, которая определяется углом в центре, называется хордой круга.

Угол в центре в два раза больше угла на окружности

Любой угол, касающийся окружности с использованием этой хорды в качестве завершения линий, ограничивающих угол, должен составлять лишь половину угла в центре. Таким образом, все углы в окружности, основанной на одной и той же хорде, должны быть равны. Предположим, что хорда имеет угол 120 градусов. Углы на окружности будут ровно 60 градусов.

Частный случай — полукруг (точный полукруг).Угол в центре — прямая линия (180 градусов). Каждый угол на окружности полукруга составляет ровно 90 градусов (прямой угол). Любой треугольник в полукруге — это прямоугольный треугольник.

Определения

Выше мы часто использовали углы, которые в сумме составляют либо прямой угол (90 градусов), либо два прямых угла (180 градусов). Когда два угла в сумме составляют 180 градусов (два прямых угла), они называются дополнительными . Когда два угла в сумме составляют 90 градусов (один прямой угол), они называются дополнительными .

Вопросы и проблемы

1. Синус угла A равен 0,8, а синус угла B равен 0,6. Из различных соотношений, полученных на данный момент, найдите следующее: tan A, tan B, sin (A + B), cos (A + B), sin (A — B), cos (A — B), tan (A + B) и tan (A — B), без использования таблиц или триггерных кнопок калькулятора.

2. На экваторе Земля имеет радиус 4000 миль. Углы вокруг экватора измеряются в меридианах долготы с линией с севера на юг, проходящей через Гринвич, Англия, в качестве нулевой точки отсчета.Два места используются для наблюдения за луной: одно — гора. Кения, на экваторе в 37,5 км к востоку от Гринвича; другая — Суматра, на экваторе, в 100,5 м восточной долготы. Насколько далеко друг от друга находятся эти два места, если измерять воображаемую прямую линию, проходящую через Землю?

3. Если прицелы производились горизонтально из точек наблюдения, упомянутых в вопросе 2 (на восток от первой, на запад от второй), под каким углом пересекались бы линии обзора?

4. В определенное время, точно синхронизированное в обоих местах, наблюдается спутник.В Кении угол обзора спутника с центром на 58 градусов выше горизонтали в восточном направлении. На Суматре высота 58 градусов над горизонтом в западном направлении. Как далеко находится спутник? Используйте расстояние между точками, рассчитанное в вопросе 2.

5. Косинус определенного угла ровно в два раза больше синуса того же угла. Каков тангенс этого угла? Для этого вопроса не нужны ни таблицы, ни калькулятор.

6. Синус определенного угла равен нулю.28. Найдите косинус и тангенс без таблиц или триггерных функций на вашем калькуляторе.

7. Синус определенного угла равен 0,6. Найдите синус двойного этого угла и тройного этого угла.

8. Найдите синус и косинус угла, который в два раза больше, чем в вопросе 7.

9. Используя 15 градусов как единичный угол и формулы для соотношений 2A и?> A, найдите значения синусов 30 и 45 градусов.

10. Используя 30 градусов в качестве единицы угла, найдите значения для синусов 60 и 90 градусов.

11. Используя 45 градусов как единичный угол, найдите значения для касательных 90 и 135 градусов.

12. Используя 60 градусов в качестве единицы угла, найдите значения косинусов 120 и 180 градусов.

13. Используя 90 градусов в качестве единицы угла, найдите значения косинусов 180 и 270 градусов.

14. Используя формулы касательных для нескольких углов и таблицы, найдите касательные для трех, умноженных на 29, 31, 59 и 61 градус. Учтите изменения знака между 29 и 31 градусом и между 59 и 61 градусом.

15. Синус угла равен 0,96. Найдите синус и косинус для удвоенного угла.

16. Задача приводит к алгебраическому выражению в форме 8cos ² A + cos A = 3. Решите для cos A и укажите, в каком квадранте будет угол, представляющий каждое решение. Приведите приблизительные значения из таблиц или вашего калькулятора.

Тригонометрия
Тригонометрические тождества (формулы)

Угловая сумма многоугольников

Когда вы начинаете с многоугольника с четырьмя или более сторонами и рисуете все возможные диагонали из одной вершины, многоугольник затем делится на несколько неперекрывающихся треугольников.Рисунок иллюстрирует это деление с помощью семигранного многоугольника. Сумма внутренних углов этого многоугольника теперь может быть найдена умножением количества треугольников на 180 °. При исследовании обнаруживается, что количество треугольников всегда на два меньше, чем количество сторон. Этот факт утверждается в виде теоремы.

Рисунок 1 Триангуляция семистороннего многоугольника для нахождения суммы внутренних углов.

Теорема 39: Если у выпуклого многоугольника n сторон, то сумма его внутренних углов определяется следующим уравнением: S = ( n −2) × 180 °.

Многоугольник на рисунке 1 имеет семь сторон, поэтому, используя теорему , дает:

Внешний угол многоугольника образуется продолжением только одной из его сторон. Непрямым углом, примыкающим к внутреннему углу, является внешний угол. Рисунок может предложить следующую теорему:

Рисунок 2 Внешние (непрямые) углы многоугольника.

Теорема 40: Если многоугольник выпуклый, то сумма степеней внешних углов, по одному в каждой вершине, равна 360 °.

Пример 1: Найдите сумму внутренних углов десятиугольника.

У десятиугольника 10 сторон, поэтому:

Пример 2: Найдите сумму внешних углов, по одному внешнему углу в каждой вершине, выпуклого шестиугольника.

Сумма внешних углов любого выпуклого многоугольника равна 360 °.

Пример 3: Найдите размер каждого внутреннего угла правильного шестиугольника (рисунок 3).

Рисунок 3 Внутренний угол правильного шестиугольника.

Метод 1: Поскольку многоугольник правильный, все внутренние углы равны, поэтому вам нужно только найти сумму внутренних углов и разделить ее на количество углов.

Есть шесть углов, поэтому 720 ÷ 6 = 120 °.

Каждый внутренний угол правильного шестиугольника имеет размер 120 °.

Метод 2: Поскольку многоугольник правильный и все его внутренние углы равны, все его внешние углы также равны.

Все главные формулы по математике — Математика — Теория, тесты, формулы и задачи

Оглавление:

Формулы сокращенного умножения

Квадратное уравнение и формула разложения квадратного трехчлена на множители

Парабола

Свойства степеней и корней

Основные свойства степеней:

Основные свойства математических корней:

Формулы с логарифмами

Определение логарифма:

Свойства логарифмов:

Арифметическая прогрессия

Геометрическая прогрессия

Тригонометрия

Формулы двойного угла

Тригонометрические формулы сложения

Тригонометрические формулы преобразования суммы в произведение

Тригонометрические формулы преобразования произведения в сумму

Формулы понижения степени

Формулы половинного угла

Тригонометрические формулы приведения

Тригонометрическая окружность

Тригонометрические уравнения

Геометрия на плоскости (планиметрия)

Геометрия в пространстве (стереометрия)

Координаты

Таблица умножения

Таблица квадратов двухзначных чисел

Расширенная PDF версия документа «Все главные формулы по школьной математике»:

Стенд Формулы сокращенного умножения, свойства степеней 80х70 см

Доставка

Оплата

Степень, свойства и действия со степенями, сложение, умножение, деление отрицательных степеней, степень с натуральным показателем, правила и формулы

Онлайн-калькулятор возведения в степень

Что такое степень числа

Таблица степеней от 1 до 10

Свойства степеней

Степень с отрицательным показателем

Степень с натуральным показателем

Дробная степень

Степень с иррациональным показателем

Заключение

Понятие степени с рациональным показателем, свойства степеней

Свойства степеней при сложении. Основные свойства степеней. Примеры на умножение степеней с одинаковыми показателями

Все вышеприведенные формулы читаются и выполняются в обоих направлениях слева направо и наоборот.

Сложение, вычитание, умножение, и деление степеней

Сложение и вычитание степеней

Умножение степеней

Деление степеней

Примеры решения примеров с дробями, содержащими числа со степенями

Свойства степени

Свойство № 1

Свойство № 2

Свойство № 3

Свойства 5

Степени и корни

Все вышеприведенные формулы читаются и выполняются в обоих направлениях слева направо и наоборот.

Правила умножения степеней с разным основанием

Сводка тригонометрических формул

Формулы дуг и секторов окружностей

Формулы для прямоугольных треугольников

Формулы наклонных треугольников

Формулы площади для треугольников

Использование свойств углов для решения задач

Результаты обучения

Используйте стратегию решения проблем для геометрических приложений.

Упражнения

Использование свойств углов, треугольников и теоремы Пифагора — предалгебра

Цели обучения

Используйте свойства треугольников

Правые треугольники

Подобные треугольники

Используйте теорему Пифагора

Практика ведет к совершенству

Повседневная математика

Письменные упражнения

Самопроверка

Глоссарий

— Типы треугольников

9.3 Использование свойств углов, треугольников и теоремы Пифагора — Предалгебра 2e