Формулы корней и степеней – Формулы степеней и корней. Извлечение корня и возведение в дробную степень

Формулы корней и их свойства

ОПРЕДЕЛЕНИЕ Корнем -ой степени из числа называется такое число что имеет место равенство

   

Обозначается как то есть

   

На этой странице описаны основные формулы и свойства корней. Если показатель корня является четным, то:

  1. для корень -ой степени не определен;
  2. для неотрицательное значение корня уравнения называется арифметическим корнем -ой степени из и обозначается

Если показатель нечетный, то уравнение имеет единственный корень при любом .

Основные свойства и формулы корней

Операции над корнями выполняются по следующим правилам:

   

   

   

   

   

   

   

   

   

ПРИМЕР 1
Задание Упростить выражение
Решение Подкоренное выражение представляет собой квадрат разности, свернем его по формуле:

   

Ответ
ПРИМЕР 2
Задание Сократить дробь

   

Решение Подкоренное выражения, стоящее в знаменателе представим в виде следующего произведения:

   

Тогда имеем:

   

Корень из произведения равен произведению корней из каждого сомножителя, то есть

   

Ответ

ru.solverbook.com

Формулы степеней и корней. Степень и ее свойства

Урок и презентация на тему: "Степень с отрицательным показателем. Определение и примеры решения задач"

Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания. Все материалы проверены антивирусной программой.

Обучающие пособия и тренажеры в интернет-магазине "Интеграл" для 8 класса
Пособие к учебнику Муравина Г.К.    Пособие к учебнику Алимова Ш.А.

Определение степени с отрицательным показателем

Ребята, мы с вами хорошо умеем возводить числа в степень.
Например: $2^4=2*2*2*2=16$  ${(-3)}^3=(-3)*(-3)*(-3)=27$.

Мы хорошо знаем, что любое число в нулевой степени равно единице. $a^0=1$, $a≠0$.
Возникает вопрос, а что будет, если возвести число в отрицательную степень? Например, чему будет равно число $2^{-2}$?
Первые математики, задавшиеся этим вопросом, решили, что изобретать велосипед заново не стоит, и хорошо, чтобы все свойства степеней оставались прежними. То есть при умножении степеней с одинаковым основанием, показатели степени складываются.
Давайте рассмотрим такой случай: $2^3*2^{-3}=2^{3-3}=2^0=1$.
Получили, что произведение таких чисел должно давать единицу. Единица в произведении получается при перемножении обратных чисел, то есть $2^{-3}=\frac{1}{2^3}$.

Такие рассуждения привели к следующему определению.
Определение. Если $n$ – натуральное число и $а≠0$, то выполняется равенство: $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$.

Важное тождество, которое часто используется: $(\frac{a}{b})^{-n}=(\frac{b}{a})^n$.
В частности, $(\frac{1}{a})^{-n}=a^n$.

Примеры решения

Пример 1.
Вычислите: $2^{-3}+(\frac{2}{5})^{-2}-8^{-1}$.

Решение.
Рассмотрим каждое слагаемое по отдельности.
1. $2^{-3}=\frac{1}{2^3}=\frac{1}{2*2*2}=\frac{1}{8}$.
2. $(\frac{2}{5})^{-2}=(\frac{5}{2})^2=\frac{5^2}{2^2}=\frac{25}{4}$.
3. $8^{-1}=\frac{1}{8}$.
Осталось выполнить операции сложения и вычитания: $\frac{1}{8}+\frac{25}{4}-\frac{1}{8}=\frac{25}{4}=6\frac{1}{4}$.
Ответ: $6\frac{1}{4}$.

Пример 2.
Представить заданное число в виде степени простого числа $\frac{1}{729}$.

Решение.
Очевидно, что $\frac{1}{729}=729^{-1}$.
Но 729 - не простое число, заканчивающиеся на 9. Можно предположить, что это число является степенью тройки. Последовательно разделим 729 на 3.
1) $\frac{729}{3}=243$;
2) $\frac{243}{3}=81$;
3) $\frac{81}{3}=27$;
4) $\frac{27}{3}=9$;
5) $\frac{9}{3}=3$;
6) $\frac{3}{3}=1$.
Выполнено шесть операций и значит: $729=3^6$.
Для нашей задачи:
$729^{-1}=(3^6)^{-1}=3^{-6}$.
Ответ: $3^{-6}$.

Пример 3. Представьте выражение в виде степени: $\frac{a^6*(a^{-5})^2}{(a^{-3}*a^8)^{-1}}$.
Решение. Первое действие выполняется всегда внутри скобок, затем умножение $\frac{a^6*(a^{-5})^2}{(a^{-3}*a^8)^{-1}}=\frac{a^6*a^{-10}}{(a^5)^{-1}}=\frac{a^{(-4)}}{a^{(-5)}}=a^{-4-(-5)}=a^{-4+5}=a$.
Ответ: $a$.

Пример 4. Докажите тождество:
$(\frac{y^2 (xy^{-1}-1)^2}{x(1+x^{-1}y)^2}*\frac{y^2(x^{-2}+y^{-2})}{x(xy^{-1}+x^{-1}y)}):\frac{1-x^{-1} y}{xy^{-1}+1}=\frac{x-y}{x+y}$.

Решение.
В левой части рассмотрим каждый сомножитель в скобках отдельно.
1. $\frac{y^2(xy^{-1}-1)^2}{x(1+x^{-1}y)^2}=\frac{y^2(\frac{x}{y}-1)^2}{x(1+\frac{y}{x})^2} =\frac{y^2(\frac{x^2}{y^2}-2\frac{x}{y}+1)}{x(1+2\frac{y}{x}+\frac{y^2}{x^2})}=\frac{x^2-2xy+y^2}{x+2y+\frac{y^2}{x}}=\frac{x^2-2xy+y^2}{\frac{x^2+2xy+y^2}{x}}=\frac{x(x^2-2xy+y^2)}{(x^2+2xy+y^2)}$.
2. $\frac{y^2(x^{-2}+y^{-2})}{x(xy^{-1}+x^{-1}y)}=\frac{y^2(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2})}{x(\frac{x}{y}+\frac{y}{x})} =\frac{\frac{y^2}{x^2}+1}{\frac{x^2}{y}+y}=\frac{\frac{y^2+x^2}{x^2}}{{\frac{x^2+y^2}{y}}}=\frac{y^2+x^2}{x^2} *\frac{y}{x^2+y^2}=\frac{y}{x^2}$.
3. $\frac{x(x^2-2xy+y^2)}{(x^2+2xy+y^2)}*\frac{y}{x^2}=\frac{y(x^2-2xy+y^2)}{x(x^2+2xy+y^2)}=\frac{y(x-y)^2}{x(x+y)^2}$.
4. Перейдем к дроби, на которую делим.
$\frac{1-x^{-1}y}{xy^{-1}+1}=\frac{1-\frac{y}{x}}{\frac{x}{y}+1}=\frac{\frac{x-y}{x}}{\frac{x+y}{y}}=\frac{x-y}{x}*\frac{y}{x+y}=\frac{y(x-y)}{x(x+y)}$.
5. Выполним деление.
$\frac{y(x-y)^2}{x(x+y)^2}:\frac{y(x-y)}{x(x+y)}=\frac{y(x-y)^2}{x(x+y)^2}*\frac{x(x+y)}{y(x-y)}=\frac{x-y}{x+y}$.
Получили верное тождество, что и требовалось доказать.

В конце урока еще раз запишем правила действий со степенями, здесь показатель степени - это целое число.
$a^s*a^t=a^{s+t}$.
$\frac{a^s}{a^t}=a^{s-t}$.
$(a^s)^t=a^{st}$.
$(ab)^s=a^s*b^s$.
$(\frac{a}{b})^s=\frac{a^s}{b^s}$.

Задачи для самостоятельного решения

1. Вычислите: $3^{-2}+(\frac{3}{4})^{-3}+9^{-1}$.
2. Представить заданное число в виде степени простого числа $\frac{1}{16384}$.
3. Представьте выражение в виде степени:
$\frac{b^{-8}*(b^3)^{-4}}{(b^2*b^{-7})^3}$.
4. Докажите тождество:
$(\frac{b^{-m}-c^{-m}}{b^{-m}+c^{-m}}+\frac{b^{-m}+c^{-m}}{c^{-m}-b^{-m}})=\frac{4}{b^m c^{-m}-b^{-m}c^m} $.

Очевидно, что числа со степенями могут слагаться, как другие величины , путем их сложения одно за другим со своими знаками .

Так, сумма a 3 и b 2 есть a 3 + b 2 .
Сумма a 3 - b n и h 5 -d 4 есть a 3 - b n + h 5 - d 4 .

Коэффициенты одинаковых степеней одинаковых переменных могут слагаться или вычитаться.

Так, сумма 2a 2 и 3a 2 равна 5a 2 .

Это так же очевидно, что если взять два квадрата а, или три квадрата

azowo.ru

Формулы степеней и корней. Извлечение корня и возведение в дробную степень


11 Операции со степенями и корнями 11.1 Степень корень формула
11.2 Степень корень формула
11.3 Степень корень формула
11.4 Степень корень формула
11.5 Степень корень формула
11.6 Степень корень формула
11.7 Степень корень формула
11.8 Степень корень формула
11.9 Степень корень формула
11.10 Степень корень формула
11.11 Степень корень формула
11.12 Степень корень формула
11.13 Степень корень формула
11.14 Степень корень формула


Степень корень формулаРешение квадратного уравнения

Степень корень формулаКалькулятор уравнений с дробями

Степень корень формулаКалькулятор-конвертер единиц измерения

List Список формул



Другие полезные темы:

Žinoti verta Формулы площади круга, длина окружности круг, длина, окружность, радиус, сегмент, сектор

Žinoti verta
Площадь круга, длина окружности, площадь сектора, сегмента, длины дуги

Žinoti verta

Žinoti verta Игра Угадай цифру онлайн. Играть бесплатно. Случайные события



Комментарий, вопросы, форум
Делимся Делиться знаниями знаниями

Если думаешь, что Это интересно для друга, напиши
VKontakte
Имя
Комментарий


www.kontroliniai.lt

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *