Формулы корней простейших тригонометрических уравнений – Методы решения тригонометрических уравнений — «Тригонометрия вне школы»

Решение простейших тригонометрических уравнений с помощью аркфункций

Задача 1

Решите уравнение \[\sin x=-a, \quad 0<a<1\]

Решение

\(\arcsin(-a)\) – это такой угол из отрезка \(\left[-\dfrac{\pi}2; \dfrac{\pi}2\right]\), синус которого равен \(-a\):
Следовательно, одна серия решений данного уравнения – это \(x=\arcsin(-a)+2\pi n, n\in\mathbb{Z}\).
Но на окружности есть еще одна точка, синус в которой равен \(-a\) – угол \(\alpha\):
Заметим, что \(\alpha=\pi+(-\arcsin(-a))\). Так как \(\arcsin(-a)=-\arcsin a\), то \(\alpha=\pi+\arcsin a\). Следовательно, ответ в нашем уравнении: \[\left[\begin{gathered}\begin{aligned} &x=-\arcsin a+2\pi n, n\in\mathbb{Z}\\[2ex] &x=\pi+\arcsin a+2\pi k, k\in\mathbb{Z}\end{aligned}\end{gathered}\right.\]

Задача 2

Решите уравнение \[\cos x=-a, \quad 0<a<1\]

Решение

\(\arccos(-a)\) – это такой угол из отрезка \(\left[0; \pi\right]\), косинус которого равен \(-a\):


Следовательно, одна серия решений данного уравнения – это \(x=\arccos(-a)+2\pi n, n\in\mathbb{Z}\).
Но на окружности есть еще одна точка, косинус в которой равен \(-a\) – угол \(\alpha\):
Заметим, что \(\alpha=-\arccos(-a)\). Так как \(\arccos(-a)=\pi-\arccos a\), то \(\alpha=-\pi+\arccos a\). Следовательно, ответ в нашем уравнении: \[\left[\begin{gathered}\begin{aligned} &x=\pi-\arccos a+2\pi n, n\in\mathbb{Z}\\[2ex] &x=-\pi+\arccos a+2\pi k, k\in\mathbb{Z}\end{aligned}\end{gathered}\right.\]

Задача 3

Решите уравнение \[\mathrm{tg}\, x=-a, a>0\]

Решение

\(\mathrm{arctg}\,(-a)\) – это такой угол из промежутка \(\left(-\dfrac{\pi}2;\dfrac{\pi}2\right)\), тангенс которого равен \(-a\):
Следовательно, одна серия решений данного уравнения – это \(x=\mathrm{arctg}\,(-a)+2\pi n, n\in\mathbb{Z}\).

Но на окружности есть еще одна точка, тангенс в которой равен \(-a\) – угол \(\alpha\):
Заметим, что \(\alpha=\mathrm{arctg}\,(-a)+\pi\). Так как \(\mathrm{arctg}\,(-a)=-\mathrm{arctg}\, a\), то \(\alpha=\pi-\mathrm{arctg}\, a\). Следовательно, ответ в нашем уравнении: \[\left[\begin{gathered}\begin{aligned} &x=-\mathrm{arctg}\, a+2\pi n, n\in\mathbb{Z}\\[2ex] &x=\pi-\mathrm{arctg}\, a+2\pi k, k\in\mathbb{Z}\end{aligned}\end{gathered}\right.\] Заметим, что так как углы \(-\mathrm{arctg}\, a\) и \(\pi-\mathrm{arctg}\, a\) отличаются друг от друга на \(\pi\), то ответ можно записать в виде одной серии корней с периодом \(\pi\): \[x=-\mathrm{arctg}\, a+\pi m, m\in\mathbb{Z}\]

Задача 4

Решите уравнение \[\mathrm{ctg}\, x=-a, a>0\]

Решение

\(\mathrm{arcctg}\,(-a)\) – это такой угол из промежутка \(\left(0;\pi\right)\), котангенс которого равен \(-a\):
Следовательно, одна серия решений данного уравнения – это \(x=\mathrm{arcctg}\,(-a)+2\pi n, n\in\mathbb{Z}\).

Но на окружности есть еще одна точка, котангенс в которой равен \(-a\) – угол \(\alpha\):
Заметим, что \(\alpha=\mathrm{arcctg}\,(-a)+\pi\). Так как \(\mathrm{arcctg}\,(-a)=\pi-\mathrm{arcctg}\, a\), то \(\alpha=2\pi-\mathrm{arcctg}\, a\). Следовательно, ответ в нашем уравнении: \[\left[\begin{gathered}\begin{aligned} &x=\pi-\mathrm{arcctg}\, a+2\pi n, n\in\mathbb{Z}\\[2ex] &x=2\pi-\mathrm{arcctg}\, a+2\pi k, k\in\mathbb{Z}\end{aligned}\end{gathered}\right.\] Заметим, что так как углы \(2\pi-\mathrm{arcctg}\, a\) и \(\pi-\mathrm{arcctg}\, a\) отличаются друг от друга на \(\pi\), то ответ можно записать в виде одной серии корней с периодом \(\pi\): \[x=\pi-\mathrm{arcctg}\, a+\pi m, m\in\mathbb{Z}\]

shkolkovo.net

"Решение простейших тригонометрических уравнений". 10-й класс

Тип занятия: изучение нового материала.

Цели урока:

  • Дидактическая: ввести понятия простейших тригонометрических уравнений, формул их корней; закрепить умение находить значения обратных тригонометрических функций
  • Развивающая: формировать умение анализировать, искать аналоги и различные варианты решения.
  • Воспитательная: воспитывать внимательность, уверенность; активность, наблюдательность; стремление в взаимовыручке, умение работать в группе и самостоятельно.

Форма проведения: работа в группах, индивидуальная, самостоятельная.

Формы контроля: текущий.

Оборудование: презентация «Простейшие тригонометрические уравнения», проектор, экран; доска, цветной мел; листы отчета работы в группах; карточки-тесты, индивидуальные задания на карточках; листы.

В результате изучения новой темы студенты должны:

  • знать: понятия простейших тригонометрических уравнений и формулы их корней; частные случаи простейших тригонометрических уравнений;
  • уметь: применять формулы корней уравнений при решении упражнений; находить значения обратных тригонометрических функций на единичной окружности.

План проведения занятия:

  1. Организационный момент
  2. Проверка знаний, воспроизведение и коррекция опорных знаний.
    • Тест с выбором ответа (по 2 вариантам)
  3. Мотивационный момент
  4. Изучение нового материала
  5. Первичное применение приобретенных знаний
    • Работа под руководством преподавателя
    • Работа в группах
  6. Рефлексия
    • Самостоятельная работа студентов
  7. Итог занятия
  8. Задание на дом

Структура занятия

1. Организационный момент

Приветствие, перекличка.

2. Проверка знаний, воспроизведение и коррекция опорных знаний.

Тест с выбором ответа по 2 вариантам на карточках. (

Приложение)

3. Мотивационный момент

– обоснование необходимости изучения данной темы, сообщение темы
– вовлечение студентов в процесс постановки целей и задач занятия (Приложение \ Презентация, слайды № 1-2)

4. Изучение нового материала

Определение Простейшие тригонометрические уравнения – уравнения вида Sinx = a, Cosx = a, tgx = a, ctgx = a.

Решить простейшее тригонометрическое уравнение – значит найти множество всех значений аргумента, при котором данная тригонометрическая функция принимает значение а.

Рассмотрим решения данных уравнений

Уравнение Cos x = a

Т.к. функция у = Cosxимеет смысл при , то рассмотрим основные случаи решения данного уравнения.

 

(Приложение \ Презентация

, слайды № 3, 4)

Рассмотрим ещё несколько случаев решения данного уравнения, при решении которых используется единичная окружность.

Частные случаи

(Приложение \ Презентация, слайды № 5-6)

Рассмотрим пример

  (разбираем решение на доске).

Уравнение Sinx = a

Т.к. функция у = Sinxтакже имеет смысл при , то аналогично рассмотрим основные случаи решения данного уравнения.

(Приложение \ Презентация, слайды № 7, 8)

Замечание:

при  .

Рассмотрим также несколько случаев решения данного уравнения, при решении которых используется единичная окружность.

Частные случаи

(Приложение \ Презентация,  слайды № 9-10)

Рассмотрим примеры

1)   (разбираем решение на доске).

2) (разбираем решение по презентации)

(Приложение \ Презентация, слайд № 11)

Уравнение tgx = a (вспомнить линиюtgxна окружности!)

.

Т.о.

(Приложение \ Презентация, слайд № 12)

Уравнение ctgx = a

Аналогично рассматривается

(Приложение \ Презентация, слайд № 13)

Рассмотрим пример

  (разбираем решение на доске).

5. Первичное применение приобретенных знаний

Работа под руководством преподавателя

№ 1. Решить уравнения:

а)
б)

Работа в группах

Разделяю студентов на группы, выдаю листы отчета работы в группах
№ 2. Решить уравнения (Приложение

\ Презентация – слайд № 14)
Далее проводим проверку и разбор решения по ответам на экране (Приложение \ Презентация, слайд № 15)

6. Рефлексия

Самостоятельная работа студентов

Проводится в трех вариантах + Работа по индивидуальным заданиям – карточкам
Задания по вариантам – Приложение \ Презентация, слайд № 16)
Задания по карточкам – Приложение
Проверка и оценивание самостоятельной работы и оценок по карточкам проводится во время записи домашнего задания студентами

7. Итог урока

Во фронтальной беседе повторить основные моменты нового материала. Подведение итогов, выставление оценок.

8. Задание на дом:

а) теория – учебник Н.В. Богомолова «Математика» (п. 39), конспект

б) № 3. Решить уравнения.

urok.1sept.ru

Простейшие тригонометрические уравнения

Цель : изучить формулы корней простейших тригонометрических уравнений.

Задачи Образовательные: повторить определение арксинуса действительного числа; повторить определение синуса действительного числа; изучить формулу корней уравнения ; сформировать умение решать уравнения этого вида; провести проверку усвоения знаний.

  • Развивающая: способствовать развитию внимания, развитию логического мышления, математической интуиции, умению анализировать.
  • Воспитательная: воспитывать информационную культуру, выработать навыки работы в группе и индивидуально.
  • Ожидаемые результаты

    Предметные: решает простейшие тригонометрические уравнения вида

    Метопредметные: умеет планировать свою деятельность и самостоятельно решать

    Личностные: формирование у учащихся интеллектуальной честности и объективности

    Тип урока: изучения и первичного закрепления новых знаний

    Формы работы учащихся: фронтальная, работа в парах и индивидуальная.

    Необходимое техническое оборудование: компьютерный класс на 10 рабочих мест, мультимедийный комплекс.

    Литература: Базовый учебник: Алгебра и начала анализа 10. Ю.М Колягин, М.В. Ткачева и др. под редакцией А.Б.Жижченко.

    Структура и ход урока

    Этап урока Название используемых ЭОР

    (с указанием порядкового номера из Таблицы 2)

    Деятельность учителя

    (с указанием действий с ЭОР, например, демонстрация)

    Деятельность ученика Время

    (в мин.)

    1 Организация начала урока   Объявляется тема урока, цели урока и задачи Слушают и записывают тему урока в тетрадь  
    2 Подготовка к активной УПД каждого ученика на основном этапе урока.

    №1

      Решают устно упражнения  
    3 Усвоение новых знаний №1 1) Предлагает решить уравнение

    2) Демонстрирует вывод формул корней уравнения .

    3) Демонстрирует вывод формул частных случаев

    4) Демонстрирует образец решения уравнений

    1) Решают уравнение с помощью тригонометрического круга

    2) Заполняют таблицу

    3) Решают задания и проводится самопроверка

     
    5 Закрепление знаний. №2 1) Раздает задание для работы с тренажером

    2) Консультирует

    Работают на компьютере (работа парами)  
    6 Первичная проверка   1) Проводит первичную проверку знаний и умений. Выполняют проверочную работу  
    7 Подведение итогов урока (рефлексия достижения цели). №1 Предлагает решить уравнение сводящееся к простейшему Решают и обсуждают решение упражнение  
    8 Информация о домашнем задании. Инструктаж по его выполнению   Знакомит с содержанием домашнего задания (выучить формулы),

    №18, 19, 20 (четные)

       

    Приложение 1

    Простейшие тригонометрические уравнения

    ПЕРЕЧЕНЬ ИСПОЛЬЗУЕМЫХ НА ДАННОМ УРОКЕ ЭОР

     

    urok.1sept.ru

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *