Формулы сложного радикала доказательство – Алгебра. Формула сложного радикала — Вики-конспекты АК-642

Содержание

Урок алгебры по теме "Двойной радикал". 8-й класс

Цели урока:

Учебная:

  1. Углубить знания учащихся по теме квадратные корни и обобщить учебный материал.
  2. Познакомить учащихся с понятием двойного радикала.
  3. Научить преобразовывать двойные радикалы выделением полного квадрата подкоренного выражения.
  4. Научить учащихся использовать формулу двойного радикала.
  5. Развивать умения и навыки работы с иррациональными выражениями.

Развивающая:

  1. Развитие внимания учащихся.
  2. Развитие умения добиваться результатов труда.
  3. Развитие интереса к изучению алгебры и навыков самостоятельной работы.

Воспитывающая:

  1. Воспитание чувства коллективизма.
  2. Формирование чувства ответственности за результат работы.
  3. Формирование у учащихся адекватной самооценки при выборе отметки за работу на уроке.

Оборудование: компьютер, проектор.

Ход урока

1 этап работы. Организационный момент.

2 этап работы. Мотивация и выход на постановку проблемы

До восьмого класса мы осуществляли над числами пять арифметических действий: сложение, вычитание, умножение, деление и возведение в степень, причем при вычислениях, мы активно использовали различные свойства этих операций.

В курсе алгебры восьмого класса была введена новая операция – извлечение квадратного корня из неотрицательного числа. Выражения, содержащие операцию извлечения квадратного корня, называются иррациональными.

В большом толковом словаре можно найти следующее определение иррациональности:

С философской точки зрения иррациональность – недоступность разуму, то, что не может быть постигнуто разумом, что явно не подчиняется законам логики, и не может быть выражено в логических понятиях, что оценивается как «сверхразумное». С математической точки зрения иррациональность – несоизмеримость с единицей; не является ни целой, ни дробной величиной.

Действительно ли понятие иррациональности – это что-то «уму не постижимое, несоизмеримое, немыслимое»?

На этот вопрос мы постараемся сегодня найти ответ.

3 этап работы. Повторение ранее изученного материала

1) Свойства квадратного корня

Чтобы успешно выполнять преобразования выражений, содержащих операцию извлечения квадратного корня, нужно знать свойства этой операции.

Вспомним эти свойства:

1) Квадратный корень из произведения двух неотрицательных чисел равен произведению квадратных корней из этих чисел.

2) Если a≥0, b>0, то справедливо равенство

3) Если a≥0 и n – натуральное число, то

4) При любом a справедливо тождество

Если хорошо знать приёмы преобразования рациональных выражений, приёмы преобразования алгебраических дробей, усвоить определение понятия корня и свойства квадратного корня, уметь вносить множитель под знак квадратного корня, выносить множитель из – под знака квадратного корня, то можно выполнить преобразование любого выражения, содержащего операцию извлечения квадратного корня.

2) Способы преобразования радикалов

Кроме перечисленных теорем при преобразовании радикалов применяются некоторые специальные приёмы, тоже вытекающие из этих теорем, но требующие некоторого навыка.

Первый называется уничтожением иррациональности в знаменателе дроби. Если в знаменателе дроби имеется корень или несколько корней, то обращаться с такой дробью не совсем удобно. Смысл этого приёма заключается в том, что надо подобрать такой множитель, чтобы его произведение на знаменатель не содержало корней.

Второе интересное преобразование радикалов называется преобразованием двойного радикала .

4 этап работы. Ввести понятие двойного радикала и доказатьформулу сложного радикала.

Выражения вида  и называют двойными радикалами или сложными радикалами. Преобразовать двойной радикалэто значит избавиться от внешнего радикала.

Справедливы тождества

 =

При каждое подкоренное выражение неотрицательно.

Докажем эти равенства(доказывает ученик):

Для этого возведём в квадрат обе части данных выражений, воспользовавшись при этом формулой квадрата суммы (разности) двух чисел и формулой разности квадратов.

Возведем в квадрат левую часть:

 =

Возведем в квадрат правую часть:

=  = =  =  = =  =  =

Заметим, что доказанное тождество позволяет существенно облегчить вычисления и преобразования, если выражение представляет полный квадрат.

5 этап работы. Рассмотрим способы преобразования двойного радикала.

1 способ:

Можно выполнить алгебраические действия в некотором выражении, содержащем двойные радикалы.

Примеры:

 =  =  =  = =  =

 =  =  =  = = =

 =  =

 =  = =  =

2 способ

Можно привести подкоренное выражение к полному квадрату.

Примеры:

  1.  =  =  = =  =  =  =
  2.  =  =  = =  =
  3.  =  =  =  = =

Таким образом, если подкоренное выражение представить в виде полного квадрата, то можно легко освободиться от внешнего радикала.

Попробуем решить

НЕ УДАЕТСЯ!!!

3 способ

В тех случаях, когда подкоренное выражение нелегко представить в виде полного квадрата, то можно использовать готовую формулу сложного радикала

 =

Примеры:

  1.  =
     =
     =  =  = =  =
  2.  =  =  =  = =  =
  3.  =  =  =  = =  =

6 этап работы. Закрепление изученного материала.

Преобразуйте выражения, содержащие двойные радикалы:

7 этап работы. Вывод урока.

Преобразовать двойные радикалы можно следующим образом:

  1. выполняя в выражении, содержащем двойные радикалы, алгебраические действия, применив свойства квадратных корней;
  2. приводя подкоренное выражение к полному квадрату;
  3. используя формулы сложного радикала.

8 этап работы. Домашнее задание.

Дома вы преобразуете двойные радикалы разными способами (раздать листы с заданиями).

Урок окончен. Спасибо за урок!

urok.1sept.ru

Урок алгебры в 8-м классе на тему: "Преобразование двойных радикалов"

Цели урока:

Учебная:

1) Познакомить учащихся с понятием двойного радикала.

2) Научить преобразовывать двойные радикалы выделением полного квадрата подкоренного выражения и по формулам двойного радикала.

3) Развивать умения и навыки работы с квадратными корнями, выявить закономерности и обобщить учебный материал.

Развивающая:

1) Развитие внимания учащихся.

2) Развитие умения слушать товарища, доводить начатое дело до конца.

3) Развитие интереса к изучению алгебры и навыки самостоятельной и исследовательской работы.

Воспитывающая:

1) Воспитание чувства коллективизма.

2) Продолжить формирование чувства ответственности за результат работы.

1 этап работы. Организационный момент.

2 этап работы. Устный счёт.

а) Найти два последовательных натуральных числа, между которыми заключено число:

б) Имеет ли смысл выражение:

в) Упростите выражение:

г) Выполни умножение:

Вводим понятие двойного радикала:

Выражения вида и называют двойными радикалами или сложными радикалами.

Преобразовать двойной радикал – это значит избавиться от внешнего радикала.

Обратим внимание, что во время устного счёта мы с вами уже преобразовывали двойные радикалы. Преобразование двойных радикалов произошло во время алгебраических действий с квадратными корнями.

Преобразовать выражение в тетради:

1)

На этом примере мы убедились, что мы уже умеем преобразовывать двойные радикалы в процессе выполнения алгебраических действий.

2) Вместо “?” поставить числа так, чтобы получилось верное равенство:

Преобразовать следующие выражения, используя формулы полного квадрата:

Вывод: Если подкоренное выражение представить в виде полного квадрата, то можно легко освободиться от внешнего радикала.

Работаем в тетрадях примерам 1;2;3;5 с листа контрольных заданий.

Последний пример пытаются выполнить и не получается.

В тех случаях, когда подкоренное выражение нелегко представить в виде полного квадрата, можно использовать готовые формулы:

При данных условиях каждое подкоренное выражение не отрицательно. Докажем справедливость одной из формул.

Возведём обе части первого равенства в квадрат. Имеем:(доказывает ученик):

Применяя данные формулы решить примеры 7;8;10;17; 21 с листа контрольных заданий.

7)

Вывод урока: преобразовать двойные радикалы можно

1) при выполнении алгебраических действий в некотором выражении, содержащем двойные радикалы.

2) приводя подкоренное выражение к полному квадрату;

3) по формулам сложного радикала.

Дома вы преобразуете двойные радикалы с контрольного листа разными способами.

Урок окончен. Спасибо всем за урок.

Контрольные задания к уроку.

urok.1sept.ru

Конспект урока "Преобразование двойных радикалов"(8 класс)

Урок № 8б(07.12.16) 8а(_09.12.16_________)

Цели урока:

Учебная:

  1. Углубить знания учащихся по теме квадратные корни и обобщить учебный материал.

  2. Познакомить учащихся с понятием двойного радикала.

  3. Научить преобразовывать двойные радикалы выделением полного квадрата подкоренного выражения.

  4. Научить учащихся использовать формулу двойного радикала.

  5. Развивать умения и навыки работы с иррациональными выражениями.

Развивающая:

  1. Развитие внимания учащихся.

  2. Развитие умения добиваться результатов труда.

  3. Развитие интереса к изучению алгебры и навыков самостоятельной работы.

Воспитывающая:

  1. Воспитание чувства коллективизма.

  2. Формирование чувства ответственности за результат работы.

  3. Формирование у учащихся адекватной самооценки при выборе отметки за работу на уроке.

Оборудование: компьютер, проектор.

Ход урока

1 этап работы. Организационный момент.

2 этап работы. Мотивация и выход на постановку проблемы

До восьмого класса мы осуществляли над числами пять арифметических действий: сложение, вычитание, умножение, деление и возведение в степень, причем при вычислениях, мы активно использовали различные свойства этих операций.

В курсе алгебры восьмого класса была введена новая операция – извлечение квадратного корня из неотрицательного числа. Выражения, содержащие операцию извлечения квадратного корня, называются иррациональными.

В большом толковом словаре можно найти следующее определение иррациональности:

С философской точки зрения иррациональность – недоступность разуму, то, что не может быть постигнуто разумом, что явно не подчиняется законам логики, и не может быть выражено в логических понятиях, что оценивается как «сверхразумное». С математической точки зрения иррациональность – несоизмеримость с единицей; не является ни целой, ни дробной величиной.

Действительно ли понятие иррациональности – это что-то «уму не постижимое, несоизмеримое, немыслимое»?

На этот вопрос мы постараемся сегодня найти ответ.

3 этап работы. Повторение ранее изученного материала

1) Свойства квадратного корня

Чтобы успешно выполнять преобразования выражений, содержащих операцию извлечения квадратного корня, нужно знать свойства этой операции.

Вспомним эти свойства:

1) Квадратный корень из произведения двух неотрицательных чисел равен произведению квадратных корней из этих чисел.

hello_html_4f025d49.png

2) Если a≥0, b>0, то справедливо равенство

hello_html_2a854fb1.png

3) Если a≥0 и n – натуральное число, то

hello_html_mc476d0.png

4) При любом a справедливо тождество

hello_html_45788a95.png

Если хорошо знать приёмы преобразования рациональных выражений, приёмы преобразования алгебраических дробей, усвоить определение понятия корня и свойства квадратного корня, уметь вносить множитель под знак квадратного корня, выносить множитель из – под знака квадратного корня, то можно выполнить преобразование любого выражения, содержащего операцию извлечения квадратного корня.

2) Способы преобразования радикалов

Кроме перечисленных теорем при преобразовании радикалов применяются некоторые специальные приёмы, тоже вытекающие из этих теорем, но требующие некоторого навыка.

Первый называется уничтожением иррациональности в знаменателе дроби. Если в знаменателе дроби имеется корень или несколько корней, то обращаться с такой дробью не совсем удобно. Смысл этого приёма заключается в том, что надо подобрать такой множитель, чтобы его произведение на знаменатель не содержало корней.

Второе интересное преобразование радикалов называется преобразованием двойного радикала .

4 этап работы. Ввести понятие двойного радикала и доказатьформулу сложного радикала.

Выражения вида hello_html_m50be28ff.png и hello_html_m50be28ff.pngназывают двойными радикалами или сложными радикалами. Преобразовать двойной радикалhello_html_f3d7f5f.pngэто значит избавиться от внешнего радикала.

Справедливы тождества

hello_html_mc0a8db7.png = hello_html_dea960c.png

При hello_html_3e035d1f.pngкаждое подкоренное выражение неотрицательно.

Докажем эти равенства(доказывает ученик):

Для этого возведём в квадрат обе части данных выражений, воспользовавшись при этом формулой квадрата суммы (разности) двух чисел и формулой разности квадратов.

Возведем в квадрат левую часть:

hello_html_m422e78cb.png = hello_html_44eb55b7.png

Возведем в квадрат правую часть:

hello_html_35272d57.pnghello_html_m271bf51.pnghello_html_21fe528c.png = = hello_html_592b55ab.png = hello_html_m79d753af.png = = hello_html_m25ecea42.png = hello_html_m47f0a489.png = hello_html_44eb55b7.png

Заметим, что доказанное тождество позволяет существенно облегчить вычисления и преобразования, если выражение hello_html_2950ceea.pngпредставляет полный квадрат.

5 этап работы. Рассмотрим способы преобразования двойного радикала.

1 способ:

Можно выполнить алгебраические действия в некотором выражении, содержащем двойные радикалы.

Примеры:

hello_html_m326abf35.png = hello_html_m71673e08.png = hello_html_62d098c3.png = hello_html_1391046c.png = = hello_html_3fb4d3ac.png = hello_html_m626fef72.png

hello_html_186f4abe.png = hello_html_m749bc29a.png = hello_html_6a4a5f77.png = hello_html_76b01b3b.png = =hello_html_34f0623e.png = hello_html_m6957435d.png

hello_html_434d7986.png = hello_html_m2bd3a121.png = hello_html_m5b5fc196.png = hello_html_m71a27329.png = = hello_html_2249105f.png = hello_html_2ab5a661.png

2 способ

Можно привести подкоренное выражение к полному квадрату.

Примеры:

  1. hello_html_7740c051.png hello_html_m3bcb2063.png = hello_html_md552f73.png = = hello_html_m28e9eab.png = hello_html_15b299a4.png = hello_html_m5c04b18c.png = hello_html_7d45c4a7.png

  2. hello_html_138bdc53.png hello_html_73f633f5.png = hello_html_656c4059.png = = hello_html_m644ac708.png = hello_html_3e1358b6.png

  3. hello_html_61661ffd.png hello_html_2080a40f.png = hello_html_78d8fafe.png = hello_html_4ea6aa7e.png = = hello_html_me38ccbb.png

Таким образом, если подкоренное выражение представить в виде полного квадрата, то можно легко освободиться от внешнего радикала.

Попробуем решить hello_html_13a2fcb7.png

НЕ УДАЕТСЯ!!!

3 способ

В тех случаях, когда подкоренное выражение нелегко представить в виде полного квадрата, то можно использовать готовую формулу сложного радикала

hello_html_mc0a8db7.png = hello_html_dea960c.png

Примеры:

  1. hello_html_639038d1.png hello_html_m64cbb131.png = hello_html_6e648762.png = hello_html_m28632ff7.png = hello_html_m11add30e.png = = hello_html_31a49599.png =hello_html_m62fa00b9.png

  2. hello_html_m769644a6.png hello_html_m3c8039bb.png = hello_html_m3cc0254a.png = hello_html_m567bcd1b.png = = hello_html_5047c981.png = hello_html_7d4dc837.png

  3. hello_html_3456df5.png hello_html_3a3b2ca5.png = hello_html_168b0a49.png = hello_html_182cc92e.png = = hello_html_m4cbdab2e.png = hello_html_7b7b8158.png

6 этап работы. Закрепление изученного материала.

Преобразуйте выражения, содержащие двойные радикалы:

  1. hello_html_79ef7b2d.png

  2. hello_html_m588873eb.png

  3. hello_html_4bfa6e06.png

  4. hello_html_m6b325207.png

  5. hello_html_m6fac882.png

  6. hello_html_7cf9abfa.png

  7. hello_html_m33cb693a.png

  8. hello_html_a067ddc.png

  9. hello_html_6f88256c.png

  10. hello_html_m12642929.png

  11. hello_html_m335f5046.png

  12. hello_html_3afaad9.png

7 этап работы. Вывод урока.

Преобразовать двойные радикалы можно следующим образом:

  1. выполняя в выражении, содержащем двойные радикалы, алгебраические действия, применив свойства квадратных корней;

  2. приводя подкоренное выражение к полному квадрату;

  3. используя формулы сложного радикала.

8 этап работы. Домашнее задание.

Дома вы преобразуете двойные радикалы разными способами (раздать листы с заданиями).

Урок окончен. Спасибо за урок!

infourok.ru

"Преобразования двойных радикалов" (8 класс)

Цели урока:

Учебная:

1) Познакомить учащихся с понятием двойного радикала.

2) Научить преобразовывать двойные радикалы выделением полного квадрата подкоренного выражения и по формулам двойного радикала.

3) Развивать умения и навыки работы с квадратными корнями, выявить закономерности и обобщить учебный материал.

Развивающая:

1) Развитие внимания учащихся.

2) Развитие умения слушать товарища, доводить начатое дело до конца.

3) Развитие интереса к изучению алгебры и навыки самостоятельной и исследовательской работы.

Воспитывающая:

1) Воспитание чувства коллективизма.

2) Продолжить формирование чувства ответственности за результат работы.

Ход урока:

1 этап работы. Организационный момент.

2 этап работы. Устный счёт.

а) Найти два последовательных натуральных числа, между которыми заключено число:hello_html_m6c0f4639.gif

б) Имеет ли смысл выражение: hello_html_1ec8cad.gif

в) Упростите выражение: hello_html_m6e87d613.gif

г) Выполни умножение:

hello_html_m4be8c2de.gif

Вводим понятие двойного радикала:

Выражения вида hello_html_m35dabd51.gifи hello_html_7af504d4.gifназывают двойными радикалами или сложными радикалами.

Преобразовать двойной радикал – это значит избавиться от внешнего радикала.

Обратим внимание, что во время устного счёта мы с вами уже преобразовывали двойные радикалы. Преобразование двойных радикалов произошло во время алгебраических действий с квадратными корнями.

Преобразовать выражение в тетради:

1) hello_html_596c65bf.gif

На этом примере мы убедились, что мы уже умеем преобразовывать двойные радикалы в процессе выполнения алгебраических действий.

2) Вместо “?” поставить числа так, чтобы получилось верное равенство:

hello_html_5edc6896.gif

Преобразовать следующие выражения, используя формулы полного квадрата:

hello_html_m253962a3.gif

Вывод: Если подкоренное выражение представить в виде полного квадрата, то можно легко освободиться от внешнего радикала.

Работаем в тетрадях примерам 1;2;3;5 с листа контрольных заданий.

hello_html_7ed9bc95.gif

Последний пример пытаются выполнить и не получается.

В тех случаях, когда подкоренное выражение нелегко представить в виде полного квадрата, можно использовать готовые формулы:

hello_html_cdf5e64.gif

При данных условиях каждое подкоренное выражение не отрицательно. Докажем справедливость одной из формул.

Возведём обе части первого равенства в квадрат. Имеем:(доказывает ученик):

hello_html_m6144b77f.gif

Применяя данные формулы решить примеры 7;8;10;17; 21 с листа контрольных заданий.

7) hello_html_m1742d9e8.gif

Вывод урока: преобразовать двойные радикалы можно

1) при вып-ии алгебраич-х действий в некот выражении, содержащем двойные радикалы.

2) приводя подкоренное выражение к полному квадрату;

3) по формулам сложного радикала.

hello_html_m4cd6f7f6.jpg

hello_html_m69063778.jpg

Дома вы преобразуете двойные радикалы с контрольного листа разными способами.

Контрольные задания к уроку.

hello_html_4089545c.gifhello_html_4089545c.gif

infourok.ru

Иррациональные числа. Формула сложного радикала | Учеба-Легко.РФ

 

Рациональные числа. Иррациональные числа. 
Примеры иррациональных чисел.
Формула сложного радикала.

Иррациональные числа в отличие от рациональных (см. “Рациональные числа”) не могут быть представлены в виде обыкновенной несократимой дроби вида: m / nгде  m  и  n  – целые числа. Это числа нового типа, которые могут быть вычислены с любой точностью, но не могут быть заменены рациональным числом. Они могут появиться как результат геометрических измерений, например: 

  - отношение длины диагонали квадрата к длине его стороны равно ,

  - отношение длины окружности к длине её диаметра равно иррациональному числу 

Примеры других иррациональных чисел:

Докажем, что  является иррациональным числом. Предположим противное:  - рациональное число, тогда согласно определению рационального числа можно записать:  = m / n , отсюда: 2 = m2 / n2, или  m2 = 2 n2, то есть  m2 делится на 2, следовательно,  m  делится на 2, откуда  m= 2 k, тогда  m2 = 4 k2 или 4 k= 2 n2, то есть n2 = 2 k2, то есть n2 делится на 2, а значит,  n  делится на 2, следовательно,  m  и  n  имеют общий множитель 2, что противоречит определению рационального числа  (см. выше). Таким образом, доказано, что  является иррациональным числом.  

При алгебраических преобразованиях иррациональных выражений и уравнений, содержащих квадратные корни, может быть полезна следующаяформула сложного радикала:

(все подкоренные выражения неотрицательны). Для доказательства этой формулы достаточно возвести в квадрат обе ее части.

uclg.ru

как доказать формулу сложных радикалов?

Образование Личный Кабинет Удалён 2 (104) как доказать формулу сложных радикалов? 13 года

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

2015-2019 © Игровая комната «Волшебный лес», Челябинск
тел.:+7 351 724-05-51, +7 351 777-22-55 игровая комната челябинск, праздник детям челябинск