Обратная пропорциональность | Подготовка к ЕГЭ по математике

Категория: Справочные материалыФункции и графики

Елена Репина 2013-05-21 2019-08-13

Обратной пропорциональностью называется функция вида , где .

Число называется коэффициентом обратной пропорциональности.

Графиком функции является гипербола. 

Гипербола  состоит из двух одинаковых частей, кроме того, у неё есть асимптоты  (оси ОХ и ОY) — прямые, к которым она стремится, уходя в бесконечность.

 

Пример 1.

Построим график функции

Построение:

Заполняем таблицу:

Мы вольны брать любые значения , кроме

. Но, конечно, мы подбираем те, подсчет значений в которых удобен.

Отмечаем на координатной плоскости точки (-6;-1), (-3;-2) и т.д. Соединяем их плавной линией. Чем больше точек будет взято, тем точнее будет график функции.

И, уж конечно, он не «обрывается» в точках  (-6;-1), (6,1). Ничто не мешает нам взять в качестве значение, например,

и получить И так далее.

Пример 2.

Построить график функции

Построение:

Автор: egeMax | Нет комментариев | Метки: графики функций

egemaximum.ru

Обратная пропорциональность

Обратная пропорциональность-это функциональная зависимость, при которой уменьшение либо увеличение в несколько раз независимой величины (аргумента) вызывает пропорциональное увеличение, либо уменьшение зависимой величины (функции).

или

где k-любое число,k≠0.

Допустим, мы пришли в магазин за тетрадями. Тетради на прилавке и ваши деньги в кошельке находятся в обратной пропорциональности. Т.е. чем больше вы купите тетрадей, тем меньше денег у вас останется.

Графиком функции является гипербола.

График функции при k>0

Гипербола состоит из 2 частей: одна находится в I четверти, где значения

X и Yположительные, а вторая часть – в III четверти, где значения X и Yотрицательные.

y(x)>0, при x∈(0;+∞)

y(x)<0, при x∈(0;+∞)

Если двигаться по одной ветви гиперболы от -∞ к 0, то мы замечаем, что функция убывает, если двигаться по другой ветви гиперболы от 0 до +∞, то мы снова видим, что функция убывает. => Функция , где K>0, убывает.

График функции при k<0

Гипербола состоит из 2 частей: одна находится во 2 четверти, где значения Xотрицательные, а значения Yположительные, а вторая часть – в 4 четверти, где значения Xположительные, а значения Yотрицательные.

Функция принимает положительное значение на промежутке (-∞;0),

Функция принимает отрицательные значения на промежутке

(0;+∞).

Если двигаться по одной ветви гиперболы от -∞ к 0, то мы замечаем, что функция возрастает, если двигаться по другой ветви гиперболы от 0 до +∞, то мы снова видим, что функция возрастает. => Функция , где K<0, Возрастает.

Свойства функции:

1)Область определения функции:

D(f)=(-∞;0)∪(0;+∞).

2)Область значения функции:

E(f)=(-∞;0)∪(0;+∞).

3)Наибольшего и наименьшего значения функция не имеет.

4)   — нечетная функция (т.к. ).

График симметричен относительно начала координат (0;0).

5) Функция не ограничена.

6)Функция не пересекает координатные оси (oX и oY).

Перемещение гиперболы

Если добавить константу а (где a любое число)в знаменатель, в качестве слагаемого к  X, то произойдет перемещение гиперболы по оси оX (вместе с вертикальной асимптотой).

В таком случае уравнением функции станет:

Если у а стоит знак «+» (), то график функции передвигается по оси oX влево.

Для примера возьмем уравнение 

Гипербола смещена на 2 влево.

Если у а стоит знак «–» (), то график функции передвигается по оси oX вправо.

Для примера возьмем уравнение 

Гипербола смещена на 2 вправо.

Если добавить константу b (где b любое число) к дроби в качестве слагаемого, то произойдет перемещение гиперболы по оси oY (вместе с горизонтальной асимптотой)

 

В таком случае уравнением функции станет: 

Если у b стоит знак «+» (), то график функции передвигается по оси oY вверх.

Для примера возьмем уравнение 

 

Если у b стоит знак «-» (), то график функции передвигается по оси oY вниз.

Для примера возьмем уравнение 

Гипербола смещена на 2 вниз.

 

Сужение и расширение графика относительно начала координат.

От коэффициента K зависит, как будут вести себя ветви гиперболы, относительно начала координат.

Например, сравним  и .

Мы видим, что график функции  значительно уже графика функции   =>Чем больше коэффициент K , тем больше расстояние между ветвями гиперболы, относительно начала координат.

 

 

Сравним  и .

Мы видим, что график функции  значительно уже графика функции   =>Чем меньше коэффициент K , тем меньше расстояние между ветвями гиперболы, относительно начала координат.

Автор статьи: Мажаров Данила Михайлович

Редакторы: Агеева Любовь Александровна, Гаврилина Анна Викторовна

www.teslalab.ru

График обратной пропорциональности | Алгебра

График обратной пропорциональности — функции 

   

— гипербола. При k>0 ветви гиперболы расположены в I и III координатных четвертях, при k<0 — во II и IV.

Как построить график обратной пропорциональности? Для этого достаточно определить несколько точек гиперболы. Удобно брать те значения x, на которые удобно делить k.

Рассмотрим построение графика обратной пропорциональности на конкретных примерах.

   

Эта функция — обратная пропорциональность. Её график — гипербола, ветви которой расположены в I и III координатных четвертях. Для построения гиперболы выберем значения x, на которые удобно делить 8: -8; -4; -2; -1; 1; 2; 4; 8. Подставляя их в формулу вместо x, находим соответствующие значения y:

   

   

   

Таким образом, нашли 8 точек с координатами

(-8;-1), (-4; -2), (-2; -4), (-1; -8), (1; 8), (2; 4), (4; 2) и (8; 1).

На практике эти вычисления оформляют в виде таблицы — в верхнюю строчку записывают выбранные значения x, в нижнюю — y, полученные при подстановке соответствующего значения x в формулу функции. Для функции y=8/x таблица выглядит так:

Полученные точки отмечаем на координатной плоскости:

 

Затем через эти точки проводим две ветви гиперболы:

Важно!

Оси Ox и Oy для гиперболы являются асимптотами. Это означает, что ветви гиперболы на бесконечности приближаются к осям, но никогда их не пересекут.

Для построения гиперболы можно брать только положительные значения x. Вторая ветвь гиперболы симметрична первой относительно точки O.

   

Эта функция — обратная пропорциональность. Её график — гипербола, ветви которой расположены во II и IV-й координатных четвертях. Для построения гиперболы составим таблицу:

Полученные точки отмечаем на координатной плоскости:

 

И строим график:

 

www.algebraclass.ru

3.3.2 Функция, описывающая обратную пропорциональную зависимость, её график

Видеоурок: Обратная пропорциональность и её график

Лекция: Функция, описывающая обратную пропорциональную зависимость, её график

Обратная пропорциональность

Когда на физике или на другом предмете говорят об обратной пропорциональности, мы понимаем это, как рост одной величины в то время, когда вторая величина уменьшается.

Функция, которая описывает обратную пропорциональность или зависимость, имеет следующий вид:

y = k/x, стоит обратить внимание на то, что коэффициент не может быть равен нулю, иначе обратная пропорциональность превратиться в линейную зависимость.

Чем больше будет значение аргумента, тем меньше будет значение функции, и наоборот.

Давайте посмотрим внимательно, где находится аргумент. Его местонахождение говорит о том, что при рассматривании данной функции, появляются некие ограничения, а именно то, что в знаменателе не может быть нуля. Именно поэтому областью определения данной функции будет множество всех значений, кроме нуля.

Отсюда следует, что функция так же не может принимать значение нуля.

График обратной функции

Для построения графика данной функции нам понадобится 5 точек для положительных «х» и «у», а также для отрицательных «х» и «у», в отличие от линейной функции.

Обратите внимание так же на то, что при положительных «х» и при положительном коэффициенте значение функции так же будет положительным числом.

Если значение «х» отрицательно, а коэффициент положительный, то функция так же будет отрицательной. Аналогичные рассуждения для отрицательного коэффициента. Отсюда можно сделать вывод, что данная функция одновременно может находиться в двух четвертях.

Обратно пропорциональная функция является симметричной относительно биссектрисы четвертей.

Итак, возьмем функцию у = 1/х.

Найдем для него координаты «х» и «у», занесем все данные в таблицу.

Расставим все полученные точки на плоскости и соединим их кривыми.

График данной функции всегда будет стремиться к нулю по оси ОХ и по оси ОУ, но так до него и не достигнет, из-за невозможности нуля в знаменателе.

Как влияет коэффициент на вид графика?

Чем больше значение коэффициента, тем дальше график находится от начала координат.

А что случится, если к дроби добавить какое-то число и в знаменателе добавить слагаемое? Все просто! Произойдет сдвиг. Если к дроби прибавить число, то произойдет сдвиг по оси ОУ:

• если число отрицательное, то график сместиться на некоторое число единиц ниже по оси ОУ;

• если число положительное, то график сместиться на некоторое число единиц выше по оси ОУ.

Если в знаменателе к аргументу добавить положительное число, то график сместиться по оси ОХ влево, если добавить отрицательное — то вправо.

Итак, например, имеем график вида:

 

Получим следующий график:

cknow.ru

Функция обратной пропорциональности, гипербола, график, свойства: область определения, значения, нули, промежутки возрастания, убывания, положительного, отрицательного значений. Тесты

Математика->Функции->обратная пропорциональность->

Тестирование онлайн

• Обратная пропорциональность

Определение. График

Обратной пропорциональностью называется функция вида

где и является числом.

Графиком функции является гипербола.

Свойства функции

1) Областью определения функции является множество всех действительных чисел, кроме x=0, т.е.

2) Множеством значений функции являются все числа, кроме y=0, т.е. промежуток

3) Наименьшего и наибольшего значений функция не имеет.

4) Функция является нечетной, график симметричен относительно начала координат (0; 0)

5) Функция непериодическая.

6) График функции не пересекает координатных осей.

7) Функция не имеет нулей.

8) Функция на каждом из промежутков является убывающей.

Функция на каждом из промежутков является возрастающей.

9) Функция принимает отрицательные значения на промежутке и принимает положительные значения на промежутке

Функция принимает отрицательные значения на промежутке и принимает положительные значения на промежутке

fizmat.by

Функция обратной пропорциональности | Алгебра

Определение

Функция обратной пропорциональности — это функция, заданная формулой

   

где x — независимая переменная, k — число, отличное от нуля.

Графиком обратной пропорциональности является гипербола. Гипербола состоит из двух ветвей. (так называют две части графика).

Для построения гиперболы нужно знать несколько точек (больше точек — точнее график). Лучше выбирать те значения x, на которые удобно делить k.

Свойства функции обратной пропорциональности

1) Область определения обратной пропорциональности состоит из всех значений x, кроме нуля:

D: x∈(-∞;0) U (0;∞).

2) Область значений обратной пропорциональности — все значения y, кроме нуля:

E: y∈(-∞;0) U (0;∞).

3) Функция обратной пропорциональности не имеет нулей.

4) При k>0

ветви гиперболы расположены в I и III координатных четвертях:

 

Обратная пропорциональность убывает на каждом из промежутков области определения, то есть при x∈(-∞;0) U (0;∞).

Функция принимает положительные значения при x>0, или

y>0 при x∈ (0;∞).

Функция принимает отрицательные значения при x<0, или

y<0 при x∈(-∞;0).

При k<0

ветви гиперболы расположены вo II и IV координатных четвертях:

 

Обратная пропорциональность возрастает на каждом из промежутков области определения, то есть при x∈(-∞;0) U (0;∞).

Функция принимает положительные значения при x<0, или

y<0 при x∈(-∞;0).

Функция принимает отрицательные значения при x>0, или

y>0 при x∈ (0;∞).

Оси Ox и Oy для обратной пропорциональности являются асимптотами — прямыми, к которым ветви гиперболы неограниченно приближаются  (но никогда их не достигнут).

В следующий раз на конкретных примерах рассмотрим, как строить график обратной пропорциональности.

www.algebraclass.ru

Учебно-методический материал по алгебре (8 класс) на тему: Функция обратной пропорциональности и её график

1 урок по теме

«Функция обратной пропорциональности                     и её график».

                                                                                   Выполнила:

                                                                                          Телегина Л.Б.

Цель урока:

1. повторить весь изученный материал по функциям.
2. ввести определение обратной пропорциональности и научить строить её график.
3. развивать логическое мышление.
4. воспитывать внимание, аккуратность, точность.

План урока:

1. Повторение.
2. Объяснение нового материала.
3. Физкультминутка.
4. Закрепление.
5. Подведение итогов, оценки, задание на дом.

Оборудование: плакаты.

Ход урока:

1. Урок начинается с повторения. Учащимся предлагается разгадать кроссворд (который заранее подготовлен на большом листе бумаги).

Вопросы кроссворда:

1. Зависимость между переменными, при которой каждому значению независимой переменной соответствует единственное значение зависимой переменной. [Функция].

2. Независимая переменная. [Аргумент].

3. Множество точек координатной плоскости абсциссы, которых равны значениям аргумента, а ординаты – значениям функции. [График].

4. Функция, заданная формулой y=kx+b. [Линейная].

5. Каким коэффициентом называют число k в формуле y=kx+b? [Угловым].

6. Что служит графиком линейной функции? [Прямая].

7. Если k≠0, то график y=kx+b пересекает эту ось, а если k=0, то параллелен ей. Какой буквой эта ось обозначается? [Икс].

8. Слово в названии функции y=kx? [Пропорциональность].

9. Функция, заданная формулой y=x2. [Квадратичная].

10. Название графика квадратичной функции. [Парабола].

11. Буква латинского алфавита, которой часто обозначают функцию. [Игрек].

12. Один из способов задания функции. [Формула].

Учитель: Какие основные способы задания функции нам известны?

(Один учащийся получает задание у доски: заполнить таблицу значений функции 12/x по данным значениям её аргумента, а затем построить на координатной плоскости соответствующие точки).

х	-12	-8	-6	-5	-4	-3	-2	-1	1	2	3	4	5	6	8	12
у

Остальные отвечают на вопросы учителя: (которые заранее записаны на доске)

1. Как называются следующие функции, заданные формулами: y=kx, y=kx+b, y=x2, y=x3?

2. Укажите область определения следующих функций: y=x2+8, y=1/x-7, y= 4x-1/5, y=2x, y=7-5x, y=2/x, y=x3, y=-10/x.

Затем учащиеся работают по таблице, отвечая на поставленные учителем вопросы:

1. На каком рисунке из таблицы изображены графики:

а) линейной функции;

б) прямой пропорциональности;

в) квадратичной функции;

г) функции вида y=kx3?

2. Какой знак имеет коэффициент k в формулах вида y=kx+b, которым соответствуют графики на рисунках 1, 2, 4, 5 таблицы?

3. Найти в таблице графики линейных функций, у которых угловые коэффициенты:

а) равны;

б) равны по модулю и противоположны по знаку.

(Затем весь класс проверяет, верно ли ученик, вызванный к доске заполнил таблицу и расставил точки на координатной плоскости).

2. Объяснение начинается с мотивации.

Учитель: Как известно, всякая функция описывает какие-то процессы, происходящие в окружающем нас мире.

Рассмотрим, например, прямоугольник со сторонами x и y и площадью 12см2. Известно, что x*y=12, но что будет, если начать изменять одну из сторон прямоугольника, допустим сторону длиной x?

Длину стороны y можно узнать из формулы y=12/x. Если x увеличить в 2 раза, то будет иметь y=12/2x, т.е. сторона y уменьшится в 2 раза. Если значение x увеличить в 3, 4, 5… раз, то значение y во столько же раз уменьшится. Наоборот, если x уменьшать в несколько раз, то y будет увеличиваться во столько же раз. (Работа по таблице).

Поэтому функцию вида y=12/x называют обратной пропорциональностью. В общем виде она записывается так y=k/x, где k-константа, причём k≠0.

Это тема сегодняшнего урока, записали в тетрадях. Даю строгое определение. Для функции y=12/x, являющейся частным видом обратной пропорциональности, мы уже записали в таблице ряд значений аргумента и функции и изобразим соответствующие точки на координатной плоскости. Как же выглядит график данной функции? По построенным точкам трудно судить обо всём графике, ведь точки можно соединить как угодно. Давайте попробуем вместе сделать выводы о графике функции, вытекающие из рассмотрения таблицы и формулы.

Вопросы к классу:

1. Какова область определения функции y=12/x?
2. Положительны или отрицательны значения y, если

а) x

б) x>0?

3. Как изменяется значение переменной y с изменением значения x?

Итак,

1. точка (0,0) не принадлежит графику, т.е. он не пересекает ни оси OX, ни оси OY;
2. график находится в Ι и ΙΙΙ координатных четвертях;
3. плавно приближается к координатным осям как в Ι координатной четверти, так и в ΙΙΙ, причём он подходит к осям как угодно близко.

Располагая этими сведениями, мы уже можем соединить точки на рисунке (учитель это делает сам на доске) и увидеть график функции y=12/x целиком. Полученная кривая называется гиперболой, что в переводе с греческого означает «прохожу через что-либо». Эта кривая была открыта математиками древнегреческой школы примерно в 4 веке до н.э. Термин, гипербола ввёл Аполлоний из города Пергам (Малая Азия), живший в ΙΙΙ- ΙΙ в. до н.э.

Теперь рядом с графиком функции y=12/x построим график функции y=-12/x. (Учащиеся выполняют это задание в тетрадях, а один ученик — у доски).

Сравнивая оба графика, учащиеся замечают, что второй занимает 2 и 4 координатные четверти. К тому же, если график функции y=12/x отобразить симметрично относительно оси ОУ, то получится график функции y=-12/x.

Вопрос: Как зависит расположение графика гиперболы y=k/x от знака и от значения коэффициента k?

Учащиеся убеждаются, что если k>0, то график расположен в Ι и ΙΙΙ координатных четвертях, а если k

3. Физкультминутку проводит учитель.

4. Закрепление изучаемого проходит при выполнении №180, 185 из учебника.

5. Подводится итог урока, оценки, задание на дом: п.8 № 179, 184.

2 урок по теме

«Функция обратной пропорциональности                     и её график».

                                                                                   Выполнила:

                                                                                          Телегина Л.Б.

 

Цель урока:

1. закрепить навык построения графика функции обратной пропорциональности;
2. развивать интерес к предмету, логическое мышление;
3. воспитывать самостоятельность, внимание.

План урока:

1. Проверка выполнения домашнего задания.
2. Устная работа.
3. Решение задач.
4. Физкультминутка.
5. Разноуровневая самостоятельная работа.
6. Подведение итогов, оценки, задание на дом.

Оборудование: карточки.

Ход урока:

1. Учитель объявляет тему урока, цели и план занятия.

Затем двое учащихся выполняют на доске заданные на дом номера 179, 184.

2. Остальные учащиеся работают фронтально, отвечая на вопросы учителя.

Вопросы:

• Дать определение функции обратной пропорциональности.
• Что является графиком функции обратной пропорциональности.
• Как зависит расположение графика гиперболы y=k/x от значения коэффициента k?

Задания:

1. Среди функций, заданных формулами назвать функции обратной          пропорциональности:

а) y=x2+5,     б) y=1/х,     в) y= 4x-1,   г) y=2x,     д) y=7-5x,      е) y=-11/x,   ж) y=x3,        з) y=15/x-2.

2. Для функций обратной пропорциональности назвать коэффициент и указать в каких четвертях лежит график.

3. Найти область определения для функций обратной пропорциональности.

(Затем учащиеся карандашом проверяют друг у друга выполнение домашнего задания по проверенному учителем решениям номеров на доске и выставляют оценку).

Фронтальная работа по учебнику № 190, 191, 192, 193 (устно).

3. Выполнение в тетрадях и на доске из учебника № 186(б), 187(б), 182.

   4. Физкультминутку проводит учитель.

 

  5. Самостоятельная работа даётся в трёх вариантах различной сложности (раздаётся на карточках).

Ι в. (облегчённый).

Постройте график функции обратной пропорциональности y=-6/x с помощью таблицы:

Используя график, найти:

а) значение у, если х = — 1,5; 2;

б) значение х, при котором у = — 1; 4.

ΙΙ в. (средней трудности)

Постройте график функции обратной пропорциональности y=16/x, предварительно заполнив таблицу.

Используя график, найти при каких значениях х  у >0.

ΙΙΙ в. (повышенной трудности)

Постройте график функции обратной пропорциональности y=10/x-2, предварительно заполнив таблицу.

Найти область определения данной функции.

(Листы с построенными графиками учащиеся сдают на проверку).

 

  6. Подводится итог урока, оценки, задание на дом:  № 186 (а), 187 (а).

                                                                                         

nsportal.ru