Ѐункция y x a – ΠŸΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ функция, Π΅Ρ‘ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ ΠΈ свойства β€” ΡƒΡ€ΠΎΠΊ. АлгСбра, 11 класс.

ΠŸΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ функция β€” ВикипСдия

ΠœΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π» ΠΈΠ· Π’ΠΈΠΊΠΈΠΏΠ΅Π΄ΠΈΠΈ β€” свободной энциклопСдии

ΠŸΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ функция — матСматичСская функция f(x)=ax{\displaystyle f(x)=a^{x}}, Π³Π΄Π΅ a{\displaystyle a} называСтся основаниСм стСпСни, Π° x{\displaystyle x}Β β€” ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅ΠΌ стСпСни.

Особо выдСляСтся случай, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π² качСствС основания стСпСни выступаСт число e. Вакая функция называСтся экспонСнтой (вСщСствСнной ΠΈΠ»ΠΈ комплСксной).

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ[ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ | ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠΎΠ΄]

ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ a{\displaystyle a}Β β€” Π½Π΅ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ вСщСствСнноС число, x{\displaystyle x}Β β€” Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ число: x=mn{\displaystyle x={\frac {m}{n}}}. Π’ΠΎΠ³Π΄Π° ax{\displaystyle a^{x}} опрСдСляСтся ΠΏΠΎ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π°ΠΌ.

Для ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ вСщСствСнного показатСля x{\displaystyle x} Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ax{\displaystyle a^{x}} ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π» ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ arn{\displaystyle a^{r_{n}}}, Π³Π΄Π΅ rn{\displaystyle r_{n}}Β β€” Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ числа, сходящиСся ΠΊ x{\displaystyle x}. Для экспонСнты Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΈ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠ΅ опрСдСлСния Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π», Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€:

ex=limnβ†’βˆž(1+xn)n.{\displaystyle e^{x}=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}.}

Бвойства[ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ | ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠΎΠ΄]

e^{x}=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}. Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ экспонСнты

Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ° lnx{\displaystyle \ln \,x}, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²Ρ‹Ρ€Π°Π·ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ с ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ основаниСм Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· экспонСнту:

ax=exβ‹…ln⁑a{\displaystyle a^{x}=e^{x\cdot \ln a}}

Π­Ρ‚Π° связь позволяСт ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ свойств экспонСнты.

АналитичСскиС свойства:

ddxax=(ln⁑a)ax.{\displaystyle {d \over dx}a^{x}=(\ln a)a^{x}.}

Π’ частности:

ddxex=ex{\displaystyle {d \over dx}e^{x}=e^{x}}

Π”ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ

Π Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π² ряд:

ex=βˆ‘n=0∞xnn!=1+x+x22!+x33!+x44!+β‹―{\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{x^{n} \over n!}=1+x+{x^{2} \over 2!}+{x^{3} \over 3!}+{x^{4} \over 4!}+\cdots }.

Асимптотика[ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ | ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠΎΠ΄]

ΠŸΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ функция растёт Π½Π° бСсконСчности быстрСС любой полиномиальной:

limxβ†’βˆžxnax=0{\displaystyle \lim \limits _{x\to \infty }{\frac {x^{n}}{a^{x}}}=0}

Π‘ΠΎΠ»ΡŒΡˆΠ°Ρ ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ роста ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ»Π»ΡŽΡΡ‚Ρ€ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½Π°, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π΅ΠΉ ΠΎ складывании Π±ΡƒΠΌΠ°Π³ΠΈ.

Для Ρ€Π°ΡΡˆΠΈΡ€Π΅Π½ΠΈΡ экспонСнты Π½Π° ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡƒΡŽ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΠΌ Π΅Ρ‘ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ ΠΆΠ΅ ряда, Π·Π°ΠΌΠ΅Π½ΠΈΠ² вСщСствСнный Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚ Π½Π° комплСксный:

ez=βˆ‘n=0∞znn!=1+z+z22!+z33!+z44!+β‹―{\displaystyle e^{z}=\sum _{n=0}^{\infty }{z^{n} \over n!}=1+z+{z^{2} \over 2!}+{z^{3} \over 3!}+{z^{4} \over 4!}+\cdots }

Π­Ρ‚Π° функция ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Ρ‚Π΅ ΠΆΠ΅ основныС алгСбраичСскиС ΠΈ аналитичСскиС свойства, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈ вСщСствСнная. ΠžΡ‚Π΄Π΅Π»ΠΈΠ² Π² рядС для eix{\displaystyle e^{ix}} Π²Π΅Ρ‰Π΅ΡΡ‚Π²Π΅Π½Π½ΡƒΡŽ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ ΠΎΡ‚ ΠΌΠ½ΠΈΠΌΠΎΠΉ, ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚ΡƒΡŽ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ Π­ΠΉΠ»Π΅Ρ€Π°:

eix=cos⁑x+isin⁑x{\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x}

ΠžΡ‚ΡΡŽΠ΄Π° Π²Ρ‹Ρ‚Π΅ΠΊΠ°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ комплСксная экспонСнта ΠΏΠ΅Ρ€ΠΈΠΎΠ΄ΠΈΡ‡Π½Π° вдоль ΠΌΠ½ΠΈΠΌΠΎΠΉ оси:

ez+2Ο€i=ez{\displaystyle e^{z+2\pi i}=e^{z}}

ΠŸΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ функция с ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ комплСксным основаниСм ΠΈ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅ΠΌ стСпСни Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ вычисляСтся с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ комплСксной экспонСнты ΠΈ комплСксного Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ°.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€: ii=eiΒ ln⁑(i){\displaystyle i^{i}=e^{i~\ln(i)}}; ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ ln⁑(i)=iΟ€2{\displaystyle \ln(i)=i{\frac {\pi }{2}}} (Π³Π»Π°Π²Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ°), ΠΎΠΊΠΎΠ½Ρ‡Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ: ii=eiiΟ€2=eβˆ’Ο€2{\displaystyle i^{i}=e^{i{\frac {i\pi }{2}}}=e^{-{\frac {\pi }{2}}}}.

Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y=a(x-m)^2

Найдём связь ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ°ΠΌΠΈ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ Β ΠΈ .

Для этого ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΈΠΌ Π² ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ плоскости Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ , , .

Боставим Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρ‹ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ для Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ:

Π’ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Β ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΈΠ· Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° Β Π² ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ пСрСносом ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ оси Ρ… Π²ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎ Π½Π° 6 Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†, m=6. А Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Β ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ пСрСносом Π²Π»Π΅Π²ΠΎ Π½Π° 6 Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†, m=-6.

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅:

Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ  являСтся

ΠΏΠ°Ρ€Π°Π±ΠΎΠ»ΠΎΠΉ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΈΠ· Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ  с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ пСрСноса вдоль оси Ρ… Π½Π° m Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ† Π²ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎ, Ссли m>0, ΠΈ Π½Π° m Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ† Π²Π»Π΅Π²ΠΎ, Ссли m<0.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€.

Π˜Π·ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΈΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ Π²ΠΈΠ΄Π° , ΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡΡΡŒ ΡƒΠΆΠ΅ извСстными опрСдСлСниями.

Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ шаблон , ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΈΠΌ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ .

Π‘Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° рассмотрим шаблон. НС Ρ‚Ρ€ΡƒΠ΄Π½ΠΎ ΡΠΎΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρƒ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ этой Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ:

ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π±ΠΎΠ»Ρƒ.

ВзглянСм Π½Π° Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Π·Π°Π΄Π°Π½Π° функция . Π­Ρ‚ΠΎ функция Π²ΠΈΠ΄Π° , Π² Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ случаС m=-4. ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ этой Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ пСрСноса ΠΏΠ°Ρ€Π°Π±ΠΎΠ»Ρ‹ Β ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ оси Ρ… Π½Π° 4 Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρ‹ Π²Π»Π΅Π²ΠΎ.

ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠ»ΠΈ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

. Π’Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Π° Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π±ΠΎΠ»Ρ‹ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ (-4,0).

Π—Π°ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Π° ΠΏΠ°Ρ€Π°Π±ΠΎΠ»Ρ‹ Β Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ (m,0).

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅:

Ѐункция Π²ΠΈΠ΄Π°  – это ΠΏΠ°Ρ€Π°Π±ΠΎΠ»Π°, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΈΠ· Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Β Π² ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π΅ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ Π΄Π²ΡƒΡ… ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… пСрСносов:

1.Β Β Β Β  вдоль оси y Π½Π° n Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ† Π²Π²Π΅Ρ€Ρ…, Ссли n>0, ΠΈ Π½Π° n Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ† Π²Π½ΠΈΠ·, Ссли n<0;

2.     вдоль оси

x Π½Π° m Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ† Π²ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎ, Ссли m>0, ΠΈ Π½Π° m Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ† Π²Π»Π΅Π²ΠΎ, Ссли m<0.

ΠŸΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ пСрСносы ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ΡŒ Π² любом порядкС.

Π’Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Π° этой ΠΏΠ°Ρ€Π°Π±ΠΎΠ»Ρ‹ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ (m,n).

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€.

Π‘ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ шаблона ΠΏΠ°Ρ€Π°Π±ΠΎΠ»Ρ‹ Β ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΈΡ‚ΡŒ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ .

На рисункС Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ m=-4, сдвигаСм Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ шаблона Π½Π° 4 Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρ‹ Π²Π»Π΅Π²ΠΎ ΠΈ n=-3, сдвигаСм ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Π½Π° 3 Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Ρ‹ Π²Π½ΠΈΠ·. ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠ»ΠΈ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

. Π’Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Π° ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ (-4,-3).

Ѐункция (ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ°) β€” ВикипСдия

Π£ этого Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½Π° ΡΡƒΡ‰Π΅ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‚ ΠΈ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠ΅ значСния, см. функция. Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ
f(x)=(4×3βˆ’6×2+1)x+13βˆ’x{\displaystyle {\begin{aligned}&\scriptstyle \\&\textstyle f(x)={\frac {(4x^{3}-6x^{2}+1){\sqrt {x+1}}}{3-x}}\end{aligned}}}.

Ѐу́нкция (отобраТС́ниС, опСра́тор, прСобразова́ниС) β€” Π² ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ соотвСтствиС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ элСмСнтами Π΄Π²ΡƒΡ… мноТСств, установлСнноС ΠΏΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΌΡƒ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Ρƒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΌΡƒ элСмСнту ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ³ΠΎ мноТСства соотвСтствуСт ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΈ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ элСмСнт Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ мноТСства.

ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΎΠ΅ понятиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ°Π΅Ρ‚ ΠΈΠ½Ρ‚ΡƒΠΈΡ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎΠ΅ прСдставлСниС ΠΎ Ρ‚ΠΎΠΌ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΠ΄Π½Π° Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π° ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ опрСдСляСт Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹. Π’Π°ΠΊ, Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ x{\displaystyle x} ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π½ΠΎ опрСдСляСт Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ выраТСния x2{\displaystyle x^{2}}, Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ мСсяца ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π½ΠΎ опрСдСляСт Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅Π³ΠΎ Π·Π° Π½ΠΈΠΌ мСсяца. Π”Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ: ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Π΅Π»ΠΎΠ²Π΅ΠΊΡƒ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π½ΠΎ ΠΏΠΎΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ Π² соотвСтствиС Π΅Π³ΠΎ Π±ΠΈΠΎΠ»ΠΎΠ³ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΡƒΡŽ ΠΌΠ°Ρ‚ΡŒ.

Аналогично, Π·Π°Π΄ΡƒΠΌΠ°Π½Π½Ρ‹ΠΉ Π·Π°Ρ€Π°Π½Π΅Π΅ Π°Π»Π³ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ΠΌ ΠΏΠΎ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΡŽ Π²Ρ…ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π²Ρ‹Π΄Π°Ρ‘Ρ‚ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Ρ‹Ρ…ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ.

Часто ΠΏΠΎΠ΄ Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½ΠΎΠΌ «функция» понимаСтся числовая функция, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ функция, которая ставит ΠΎΠ΄Π½ΠΈ числа Π² соотвСтствиС Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠΌ. Π­Ρ‚ΠΈ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΡƒΠ΄ΠΎΠ±Π½ΠΎ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡ‚ΡŒ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΎΠ².

Π’Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½ «функция» (Π² Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΡƒΠ·ΠΊΠΎΠΌ смыслС) Π±Ρ‹Π» Π²ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹Π΅ использован Π›Π΅ΠΉΠ±Π½ΠΈΡ†Π΅ΠΌ (1692 Π³ΠΎΠ΄). Π’ свою ΠΎΡ‡Π΅Ρ€Π΅Π΄ΡŒ, Иоганн Π‘Π΅Ρ€Π½ΡƒΠ»Π»ΠΈ Π² письмС ΠΊ Ρ‚ΠΎΠΌΡƒ ΠΆΠ΅ Π›Π΅ΠΉΠ±Π½ΠΈΡ†Ρƒ ΡƒΠΏΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π±ΠΈΠ» этот Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½ Π² смыслС, Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ Π±Π»ΠΈΠ·ΠΊΠΎΠΌ ΠΊ соврСмСнному[1][2].

ΠŸΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎ понятиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π±Ρ‹Π»ΠΎ Π½Π΅ΠΎΡ‚Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠΌΠΎ ΠΎΡ‚ понятия аналитичСского прСдставлСния. ВпослСдствии появилось ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ΅ Π­ΠΉΠ»Π΅Ρ€ΠΎΠΌ (1751 Π³ΠΎΠ΄), Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ β€” Ρƒ Π›Π°ΠΊΡ€ΡƒΠ° (1806 Π³ΠΎΠ΄), β€” ΡƒΠΆΠ΅ практичСски Π² соврСмСнном Π²ΠΈΠ΄Π΅. НаконСц, ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π΅ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ (Π² соврСмСнной Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ΅, Π½ΠΎ для числовых Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ) Π±Ρ‹Π»ΠΎ Π΄Π°Π½ΠΎ ЛобачСвским (1834 Π³ΠΎΠ΄) ΠΈ Π”ΠΈΡ€ΠΈΡ…Π»Π΅ (1837 Π³ΠΎΠ΄)[3].

К ΠΊΠΎΠ½Ρ†Ρƒ XIX Π²Π΅ΠΊΠ° понятиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ пСрСросло Ρ€Π°ΠΌΠΊΠΈ числовых систСм. Π‘Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° понятиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π±Ρ‹Π»ΠΎ распространСно Π½Π° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½Ρ‹Π΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, вскорС Π€Ρ€Π΅Π³Π΅ Π²Π²Ρ‘Π» логичСскиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ (1879), Π° послС появлСния Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΠΈ мноТСств Π”Π΅Π΄Π΅ΠΊΠΈΠ½Π΄ (1887) ΠΈ ПСано (1911) сформулировали соврСмСнноС ΡƒΠ½ΠΈΠ²Π΅Ρ€ΡΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅[2].

x^{2} Ѐункция, ΡΠΎΠΏΠΎΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‰Π°Ρ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ ΠΈΠ· Ρ‡Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Ρ‘Ρ… Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€ Π΅Ρ‘ Ρ†Π²Π΅Ρ‚.

НаиболСС строгим являСтся Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅Ρ‚ΠΈΠΊΠΎ-мноТСствСнноС ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ (Π½Π° основС понятия Π±ΠΈΠ½Π°Ρ€Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ). Часто вмСсто опрСдСлСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ даётся понятиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ описаниС матСматичСского ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚Π° с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ понятий ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎΠ³ΠΎ языка, Ρ‚Π°ΠΊΠΈΡ… ΠΊΠ°ΠΊ Β«Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Β», Β«ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎΒ» ΠΈΠ»ΠΈ «соотвСтствиС».

ΠŸΠΎΠ½ΡΡ‚ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ[ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ | ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠΎΠ΄]

Говорят, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π° мноТСствС X{\displaystyle X} имССтся функция (ΠΎΡ‚ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, опСрация, ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΡ€) f{\displaystyle f} со значСниями ΠΈΠ· мноТСства Y{\displaystyle Y}, Ссли ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΌΡƒ элСмСнту x{\displaystyle x} ΠΈΠ· мноТСства X{\displaystyle X} ΠΏΠΎ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Ρƒ f{\displaystyle f} поставлСн Π² соотвСтствиС Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ элСмСнт y{\displaystyle y} ΠΈΠ· мноТСства Y{\displaystyle Y}[1].

Говорят Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ функция f{\displaystyle f} ΠΎΡ‚ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ°Π΅Ρ‚ мноТСство X{\displaystyle X} Π² мноТСство Y{\displaystyle Y}. Π€ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°ΡŽΡ‚ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ записью y=f(x){\displaystyle y=f(x)}.

Если ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅Ρ‚ΡΡ Ρ‚Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½ ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΡ€, Ρ‚ΠΎ говорят, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΡ€ f{\displaystyle f} дСйствуСт ΠΈΠ· мноТСства X{\displaystyle X} Π² мноТСство Y{\displaystyle Y} ΠΈ Π΄ΠΎΠ±Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‚ запись y=fx{\displaystyle y=fx}.

Если хотят ΠΏΠΎΠ΄Ρ‡Π΅Ρ€ΠΊΠ½ΡƒΡ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ соотвСтствия считаСтся извСстным, Ρ‚ΠΎ говорят, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π° мноТСствС X{\displaystyle X} Π·Π°Π΄Π°Π½Π° функция f{\displaystyle f}, ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°ΡŽΡ‰Π°Ρ значСния ΠΈΠ· Y{\displaystyle Y}. Если функция f{\displaystyle f} Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Π° Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ Π² Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Π΅ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠ³ΠΎ-Π½ΠΈΠ±ΡƒΠ΄ΡŒ уравнСния, Ρ‚ΠΎ говорят, Ρ‡Ρ‚ΠΎ f{\displaystyle f} β€” нСизвСстная ΠΈΠ»ΠΈ нСявно заданная функция. Но Π² любом случаС, функция, ΠΏΠΎ смыслу этого понятия, считаСтся Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ, хотя ΠΈ косвСнно.

Π—Π°ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π² Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΈΡ€ΠΎΠ²ΠΊΠ΅ понятия Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Ρ‚Ρ€Π΅Π±ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ соотвСтствия «ΠΏΠΎ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Ρƒ» являСтся ΠΏΠΎΠ²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ ΠΎΠ½ΠΎ содСрТится Π² понятии ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π½ΠΎΠ³ΠΎ соотвСтствия. Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΈΡ€ΠΎΠ²ΠΊΠ° понятия Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π±Π΅Π· понятия ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΠΈ нСобходимости Π΅Π³ΠΎ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Ρ‚ΡŒ:

Говорят, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π° мноТСствС X{\displaystyle X} Π·Π°Π΄Π°Π½Π° функция f{\displaystyle f}, ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°ΡŽΡ‰Π°Ρ значСния ΠΈΠ· Y{\displaystyle Y}, Ссли ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΌΡƒ элСмСнту x{\displaystyle x} ΠΈΠ· мноТСства X{\displaystyle X} поставлСн Π² соотвСтствиС Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ элСмСнт y{\displaystyle y} ΠΈΠ· мноТСства Y{\displaystyle Y}[4].

НапримСр, функция, заданная Π½Π° X{\displaystyle X} Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π΅ΠΉ ΠΏΠ°Ρ€ элСмСнтов x{\displaystyle x} ΠΈ y{\displaystyle y}, содСрТит ΠΈ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ соотвСтствия для ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ³ΠΎ элСмСнта ΠΈΠ· X{\displaystyle X}, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ значСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΏΡ€ΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ…ΠΎΠ΄Π΅ ΠΎΡ‚ элСмСнта ΠΊ элСмСнту мноТСства X{\displaystyle X} Ρ€Π°ΡΠΏΠΎΠ»Π°Π³Π°ΡŽΡ‚ΡΡ ΠΏΠΎ Π²ΠΏΠΎΠ»Π½Π΅ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠΌΡƒ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Ρƒ.

Для числовых Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ, часто Π·Π°Π΄Π°Π²Π°Π΅ΠΌΡ‹Ρ… Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π°ΠΌΠΈ, понятиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ формулируСтся ΠΊΠ°ΠΊ соотвСтствиС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ элСмСнтами мноТСств посрСдством ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π°. ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ Π½Π΅ обозначаСтся, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΈΠ·Π±Π΅ΠΆΠ°Ρ‚ΡŒ совпадСния ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° ΠΈ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ:

Если ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΌΡƒ элСмСнту x{\displaystyle x} ΠΈΠ· мноТСства X{\displaystyle X} ΠΏΠΎ ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΌΡƒ-Π»ΠΈΠ±ΠΎ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Ρƒ ставится Π² соотвСтствиС Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ элСмСнт y{\displaystyle y} ΠΈΠ· мноТСства Y{\displaystyle Y}, Ρ‚ΠΎ ΡƒΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΠΎΠ΅ соотвСтствиС называСтся Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ y=f(x){\displaystyle y=f(x)}, Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Π½Π° мноТСствС X{\displaystyle X} со значСниями ΠΈΠ· Y{\displaystyle Y}[3][5].

Π‘ΡƒΠΊΠ²Π° f{\displaystyle f} Π² этом ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΈ β€” ΠΈΠ½Π΄ΠΈΠ²ΠΈΠ΄ΡƒΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π·Π½Π°ΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, функция y=f(x){\displaystyle y=f(x)} (ΠΈΠ»ΠΈ ΠΊΡ€Π°Ρ‚ΠΊΠΎ: функция f(x){\displaystyle f(x)} ΠΈΠ»ΠΈ f{\displaystyle f}) прСдставляСт собой Ρ‚Ρ€ΠΎΠΉΠΊΡƒ ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚ΠΎΠ²: X,f,Y{\displaystyle X,f,Y}, Π³Π΄Π΅

ΠžΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ Π±ΡƒΠΊΠ²ΠΎΠΉ x{\displaystyle x} ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΉ элСмСнт мноТСства X{\displaystyle X} называСтся нСзависимой ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΈΠ»ΠΈ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚ΠΎΠΌ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. ΠœΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡ‚Π²ΠΎ X{\displaystyle X} ΠΏΡ€ΠΈ этом называСтся ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒΡŽ измСнСния ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ x{\displaystyle x}.

Π­Π»Π΅ΠΌΠ΅Π½Ρ‚ y{\displaystyle y}, ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΉ фиксированному элСмСнту x{\displaystyle x} называСтся частным Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ x{\displaystyle x}.

Π‘ΠΎΠ²ΠΎΠΊΡƒΠΏΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ всСх частных Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ y{\displaystyle y}, обозначаСмая символом {y}{\displaystyle \{y\}}, называСтся мноТСством Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅Ρ‚ΠΈΠΊΠΎ-мноТСствСнноС ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅[ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ | ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠΎΠ΄]

ΠŸΠΎΠ½ΡΡ‚ΠΈΠ΅ мноТСства упорядочСнных ΠΏΠ°Ρ€ (ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ) позволяСт ΠΈΡΠΊΠ»ΡŽΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΈΠ· Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΈΡ€ΠΎΠ²ΠΊΠΈ понятия Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π΅ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ понятиС правило, Π½ΠΎ ΠΈ понятиС соотвСтствиС, ΠΊ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌΡƒ сводится понятиС Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π² ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½Ρ‹Ρ… Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΈΡ€ΠΎΠ²ΠΊΠ°Ρ… ΠΏΡ€Π΅Π΄Ρ‹Π΄ΡƒΡ‰Π΅Π³ΠΎ ΠΏΠΎΠ΄Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»Π°.

Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, для Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΡ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡŽΡ‰Π΅Π΅ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ матСматичСскиС понятия:

Π€ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ f{\displaystyle f} называСтся мноТСство упорядочСнных ΠΏΠ°Ρ€ (x,y)∈XΓ—Y{\displaystyle (x,y)\in X\times Y}, Ρ‚Π°ΠΊΠΈΡ…, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΠ°Ρ€Ρ‹ ΡΡƒΡ‰Π΅ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‚ для всСх элСмСнтов мноТСства X{\displaystyle X}, ΠΈ, Ссли ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹Π΅ элСмСнты ΠΏΠ°Ρ€ ΡΠΎΠ²ΠΏΠ°Π΄Π°ΡŽΡ‚, Ρ‚ΠΎ ΡΠΎΠ²ΠΏΠ°Π΄Π°ΡŽΡ‚ ΠΈ Π²Ρ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΈΡ… элСмСнты[1].

ΠŸΡ€ΠΈ этом:

Π€ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ f{\displaystyle f} ΠΈ g{\displaystyle g} Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ΠΌΠΈ, Ссли ΠΈΡ… Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ ΡΠΎΠ²ΠΏΠ°Π΄Π°ΡŽΡ‚[6].

ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ равСнство Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ (Π² любой Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΈΡ€ΠΎΠ²ΠΊΠ΅ понятия Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ) Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Π΅Ρ‚ Π² сСбя Π½Π΅ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ совпадСниС ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ» соотвСтствия ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ элСмСнтами мноТСств, Π½ΠΎ ΠΈ совпадСниС областСй задания, Ρ‚ΠΎ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ f1(x)=x:Rβ†’R{\displaystyle f_{1}(x)=x:\mathbb {R} \to \mathbb {R} } ΠΈ f2(x)=x:R+β†’R{\displaystyle f_{2}(x)=x:\mathbb {R} ^{+}\to \mathbb {R} }, Π³Π΄Π΅ R{\displaystyle \mathbb {R} } β€” мноТСство вСщСствСнных чисСл, Π° R+{\displaystyle \mathbb {R} ^{+}} β€” мноТСство ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… вСщСствСнных чисСл, ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹ΠΌΠΈ функциями.

Π‘ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΠΎΠ±Ρ‰ΠΈΠΌ, Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠΌ Π² сСбя Π½Π΅ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π½Ρ‹Π΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, являСтся ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅Π΅ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ:

Π€ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ f{\displaystyle f} называСтся любоС мноТСство упорядочСнных ΠΏΠ°Ρ€ (x,y)∈XΓ—Y{\displaystyle (x,y)\in X\times Y}[1][Π½Π΅Ρ‚ Π² источникС].

ΠŸΡ€ΠΈ этом:

  • ΠœΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡ‚Π²ΠΎ X{\displaystyle X} называСтся ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒΡŽ отправлСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. ΠœΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡ‚Π²ΠΎ всСх элСмСнтов x∈X{\displaystyle x\in X}, для ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… сущСствуСт ΠΏΠ°Ρ€Π° (x,y)∈f{\displaystyle (x,y)\in f}, называСтся ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒΡŽ задания Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ;
  • мноТСство Y{\displaystyle Y} называСтся ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒΡŽ прибытия Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. ΠœΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡ‚Π²ΠΎ всСх элСмСнтов y∈Y{\displaystyle y\in Y}, для ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… сущСствуСт ΠΏΠ°Ρ€Π° (x,y)∈f{\displaystyle (x,y)\in f}, называСтся мноТСством Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

Если Π½Π° мноТСствС X{\displaystyle X} Π·Π°Π΄Π°Π½Π° функция f{\displaystyle f}, ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°ΡŽΡ‰Π°Ρ значСния ΠΈΠ· мноТСства Y{\displaystyle Y}, Ρ‚ΠΎ

  • этот Ρ„Π°ΠΊΡ‚ Π·Π°ΠΏΠΈΡΡ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ f:Xβ†’Y{\displaystyle f\colon X\to Y} ΠΈΠ»ΠΈ X⟢fY{\displaystyle X{\stackrel {f}{\longrightarrow }}Y};
  • мноТСство X{\displaystyle X} β€” ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ задания Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ f{\displaystyle f} β€” обозначаСтся символом D(f){\displaystyle D(f)} ΠΈΠ»ΠΈ domf;{\displaystyle \mathrm {dom} \,f;}
  • мноТСство Y{\displaystyle Y} β€” ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ[3] Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ f{\displaystyle f};
  • мноТСство Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ {y}{\displaystyle \{y\}} Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ f{\displaystyle f} обозначаСтся символом E(f){\displaystyle E(f)} ΠΈΠ»ΠΈ codf{\displaystyle \mathrm {cod} \,f} (ranf{\displaystyle \mathrm {ran} \,f}).
  • Если ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ Y{\displaystyle Y} ΠΈ мноТСство Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ E(f){\displaystyle E(f)} ΡΠΎΠ²ΠΏΠ°Π΄Π°ΡŽΡ‚, Ρ‚ΠΎ говорят, Ρ‡Ρ‚ΠΎ f{\displaystyle f} ΠΎΡ‚ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ°Π΅Ρ‚ мноТСство X{\displaystyle X} Π½Π° Y{\displaystyle Y}.
  • Ѐункция, заданная Π½Π° мноТСствС X{\displaystyle X}, Π½Π°ΠΈΠ±ΠΎΠ»Π΅Π΅ часто обозначаСтся ΠΊΠ°ΠΊ соотвСтствиС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ элСмСнтами x∈X{\displaystyle x\in X} ΠΈ y∈Y{\displaystyle y\in Y}:
    y=f(x){\displaystyle y=f(x)}, ΠΈΠ»ΠΈ ΠΊΡ€Π°Ρ‚ΠΊΠΎ:f(x){\displaystyle f(x)} ΠΈΠ»ΠΈ f{\displaystyle f};
    x↦y{\textstyle x\mapsto y} ΠΈΠ»ΠΈ x↦f(x){\displaystyle x\mapsto f(x)};
  • для сокращСния числа ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ Π·Π½Π°ΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Π½Π° мноТСствС X{\displaystyle X}, ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Ρ‚ΡŒΡΡ Ρ‚ΠΎΠΉ ΠΆΠ΅ Π±ΡƒΠΊΠ²ΠΎΠΉ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ:
    y=y(x){\displaystyle y=y(x)}, z=z(x){\displaystyle z=z(x)};
  • функция обозначаСтся ΠΈ ΠΊΠ°ΠΊ функция f{\displaystyle f}, которая ΠΎΡ‚ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ°Π΅Ρ‚ мноТСство X{\displaystyle X} Π² Y{\displaystyle Y}с ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ соотвСтствия ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ элСмСнтами x∈X{\displaystyle x\in X} ΠΈ y∈Y{\displaystyle y\in Y}:
    f:x↦y{\displaystyle f\colon x\mapsto y} ΠΈΠ»ΠΈ f:y=f(x){\displaystyle f\colon y=f(x)};
  • Ρ€Π΅ΠΆΠ΅ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅Ρ‚ΡΡ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΊΠ°ΠΊ соотвСтствиС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ элСмСнтами x∈X{\displaystyle x\in X} ΠΈ y∈Y{\displaystyle y\in Y} Π±Π΅Π· скобок: y=fx{\displaystyle y=fx}, y=f∘x{\displaystyle y=f\circ x} ΠΈΠ»ΠΈ y=xf{\displaystyle y=xf},
  • Π° Ρ‚Π°ΠΌ, Π³Π΄Π΅ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ ΠΏΠΎΠ΄Ρ‡Π΅Ρ€ΠΊΠ½ΡƒΡ‚ΡŒ Π΄Π²ΠΎΠΉΡΡ‚Π²Π΅Π½Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡŽΡ‚ΡΡ обозначСния со скобками: y=(f,x){\displaystyle y=(f,x)} ΠΈΠ»ΠΈ y=(x,f){\displaystyle y=(x,f)};
  • Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ сущСствуСт ΠΈ ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎΠ΅ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ y=xf{\displaystyle y=x^{f}}, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²ΡΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒ Π² ΠΎΠ±Ρ‰Π΅ΠΉ Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Π΅.
  • Π’ лямбда-исчислСнии Π§Ρ‘Ρ€Ρ‡Π° ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅Ρ‚ΡΡ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ξ»x.y{\displaystyle \lambda x.y} .

Π€ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΈΡ… Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚ΠΎΠ²[ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ | ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠΎΠ΄]

\lambda x.y Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π΄Π²ΡƒΡ… ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Ρ… f(x,y)=sin⁑(xβˆ’sin⁑(2y)){\displaystyle f(x,y)=\sin(x-\sin(2y))}

ΠŸΠΎΠ½ΡΡ‚ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ обобщаСтся Π½Π° случай Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΡ… Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚ΠΎΠ².

Если мноТСство X{\displaystyle X} прСдставляСт собой Π΄Π΅ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΎΠ²ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ мноТСств X1,X2,…,Xn

Π”ΠΎΠ±Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠΎΠΌΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Ρ€ΠΈΠΉ

Π’Π°Ρˆ адрСс email Π½Π΅ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΎΠΏΡƒΠ±Π»ΠΈΠΊΠΎΠ²Π°Π½. ΠžΠ±ΡΠ·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ поля ΠΏΠΎΠΌΠ΅Ρ‡Π΅Π½Ρ‹ *