Геометрическая прогрессия (ЕГЭ — 2021)

Многие знают, что шахматная игра была придумана в Индии. Когда индусский царь познакомился с нею, он был восхищен ее остроумием и разнообразием возможных в ней положений.

Узнав, что она изобретена одним из его подданных, царь решил лично наградить его. Он вызвал изобретателя к себе и приказал просить у него все, что он пожелает, пообещав исполнить даже самое искусное желание.

Сета попросил время на размышления, а когда на другой день Сета явился к царю, он удивил царя беспримерной скромностью своей просьбы. Он попросил выдать за первую клетку шахматной доски \( \displaystyle 1\) пшеничное зерно, за вторую \( \displaystyle 2\) пшеничных зерна, за третью \( \displaystyle -4\), за четвертую \( \displaystyle -8\) и т.д.

Царь разгневался, и прогнал Сета, сказав, что просьба слуги недостойна царской щедрости, но пообещал, что слуга получит свои зерна за все \( \displaystyle 64\) клетки доски.

А теперь вопрос: используя формулу суммы членов геометрической прогрессии, посчитай, сколько зерен должен получить Сета?

Начнем рассуждать.{64}}=1024\cdot 1024\cdot 1024\cdot 1024\cdot 1024\cdot 1024\cdot 64\)

Конечно, если ты хочешь, то можешь взять калькулятор и посчитать, что за число в итоге у тебя получится, а если нет, придется поверить мне на слово: итоговым значением выражения будет \( \displaystyle 18~\ 446~\ 744~\ 073~\ 709~\ 551~\ 615\).

То есть:

\( \displaystyle 18\) квинтильонов \( \displaystyle 446\) квадрильонов \( \displaystyle 744\) триллиона \( \displaystyle 73\) миллиарда \( \displaystyle 709\) миллионов \( \displaystyle 551\) тысяч \( \displaystyle 615\).

Фух) Если желаете представить себе огромность этого числа, то прикиньте, какой величины амбар потребовался бы для вмещения всего количества зерна.

При высоте амбара \( \displaystyle 4\) м и ширине \( \displaystyle 10\) м длина его должна была бы простираться на \( \displaystyle 300\text{ }000\text{ }000\) км, — т.е. вдвое дальше, чем от Земли до Солнца.

Если бы царь был бы силен в математике, то он мог бы предложить самому ученому отсчитывать зерна, ведь чтобы отсчитать миллион зерен, ему бы понадобилось не менее \( \displaystyle 10\) суток неустанного счета, а учитывая, что необходимо отсчитать \( \displaystyle 18\) квинтильонов, зерна пришлось бы отсчитывать всю жизнь.

А теперь решим простую задачку на сумму членов геометрической прогрессии.

Знаменатель и первый член геометрической прогрессии

Продолжаем тему геометрической прогрессии. Ранее мы писали как найти суму геометрической прогрессии:

Следующий калькулятор способен найти знаменатель и первый член в геометрической прогрессии по двум ближайшим членам.

Да-да, бывают и такие задания. Тут все просто, если обойти стороной все ненужные формулы, то вам остается просто ввести два поля: первый член геометрической прогрессии и второй. Калькулятор в свою очередь посчитает вам первый член геометрической прогрессии, а также знаменатель геометрической прогрессии.

The field is not filled.

‘%1’ is not a valid e-mail address.

Please fill in this field.

The field must contain at least% 1 characters.

The value must not be longer than% 1 characters.

Field value does not coincide with the field ‘%1’

An invalid character. Valid characters:’%1′.

Expected number.

It is expected a positive number.

Expected integer.

It is expected a positive integer.

The value should be in the range of [%1 .. %2]

The ‘% 1’ is already present in the set of valid characters.

The field must be less than 1%.

The first character must be a letter of the Latin alphabet.

Su

Mo

Tu

We

Th

Fr

Sa

January

February

March

April

May

June

July

August

September

October

November

December

century

B.C.

%1 century

An error occurred while importing data on line% 1. Value: ‘%2’. Error: %3

Unable to determine the field separator. To separate fields, you can use the following characters: Tab, semicolon (;) or comma (,).

%3.%2.%1%4

%3.%2.%1%4 %6:%7

s.sh.

u.sh.

v.d.

z.d.

yes

no

Wrong file format. Only the following formats: %1

Please leave your phone number and / or email.

Как найти знаменатель геометрической прогрессии

Согласноопределению, геометрическая прогрессия — это последовательность неравных нулю чисел, каждое последующее из которых равно предыдущему, умноженному на некоторое постоянное число (знаменатель прогрессии). При этом в геометрической прогрессии не должно быть ни одного нуля, иначе вся последовательность «обнулятся», что противоречит определению. Чтобы найти знаменатель достаточно знать значения двух ее соседних членов. Однако, не всегда условия задачи бывают настолько простыми.Вам понадобится

Разделите любой член прогрессии на предыдущий. Если значение предыдущего члена прогрессии неизвестно или неопределено (например, для первого члена прогрессии), то разделите на любой член последовательности значение последующего члена прогрессии.
Так как ни один член геометрической прогрессии не равен нулю, то при выполнении этой операции не должновозникнуть проблем.

Пример.
Пусть имеется последовательность чисел:

10, 30, 90, 270…

Требуется найти знаменатель геометрической прогрессии.
Решение:

1 вариант. Возьмем произвольный член прогрессии (например, 90) и разделим его на предыдущий (30): 90/30=3.

2 вариант. Возьмем любой член геометрической прогрессии (например, 10) и разделим на него последующий (30): 30/10=3.

Ответ: знаменатель геометрической прогрессии 10, 30, 90, 270… равен 3.

Если значения членов геометрической прогрессии заданы не явно, а в форме соотношений, то составьте и решите систему уравнений.
Пример.
Сумма первого и четвертого члена геометрической прогрессии равняется 400 (b1+b4=400), а сумма второго и пятого члена равняется 100 (b2+b5=100).

Требуется найти знаменатель прогрессии.
Решение:

Запишите условие задачи в виде системы уравнений:
b1+b4=400

b2+b5=100
Из определения геометрической прогрессии вытекает, что:

b2=b1*q

b4=b1*q^3

b5=b1*q^4, где q – общепринятое обозначение знаменателя геометрической прогрессии.n)/(1-q), где Sn – сумма n первых членов геометрической прогрессии и
S = b1/(1-q), где S – сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии (сумма всех членов прогрессии со знаменателем меньшим единицы).
Пример.

Первый член убывающей геометрической прогрессии равен единице, а сумма всех ее членов равна двум.

Требуется определить знаменатель этой прогрессии.
Решение:

Подставьте данные из задачи в формулу. Получится:
2=1/(1-q), откуда – q=1/2.

Геометрическая прогрессия и сумма ее членов 🐲 СПАДИЛО.РУ

Определение

Геометрической прогрессией называется последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же число.

Другими словами, последовательность (b_n) – геометрическая последовательность, если для натурального n выполняются условия:

b_n+1= b_n×q,

где q некоторое число, которое называется знаменатель прогрессии, и b_n≠0

Примером такой последовательности может быть ряд чисел 2; 10; 50; 250;…., откуда видно, что каждое последующее больше предыдущего в пять раз, значит, каждый член равен предыдущему, умноженному на одно и то же число 5. Или, например, ряд чисел 20; -2; 0,2; -0,02……, где видно, что каждое последующее умножали на одно и то же число (-0,1).

Так как по определению геометрической прогрессии мы имеем одно и то же число, то это и есть число q. Оно называется «знаменатель» геометрической прогрессии. Он находится путем деления соседних членов – последующего на предыдущий, то есть q=bn+1bn… Знаменатель не может быть равным нулю!

Для того чтобы задать геометрическую прогрессию, надо знать ее первый член и знаменатель. Например, если b₁=4, q=3, то получим прогрессию: 4; 12; 36; ….и так далее. Ну, а зная первый член и знаменатель, можно найти любой член геометрической прогрессии: b₂=b₁q; b₃=(b₁q)q=b₁q²; b₄==((b₁q)q)q=b₁q³. Так можно продолжать и дальше, но из этих записей видно, что можно найти n-ый член геометрической последовательности, если умножить первый член на знаменатель, степень которого на 1 меньше порядкового номера искомого члена, то есть bn=b1 qn−1 . Мы получили формулу n-ого члена геометрической прогрессии.

Формула n-ого члена геометрической прогрессии

bn=b1 ×qn−1

Рассмотри на примерах применение формулы bn=b1 qn−1 для указанного члена геометрической прогрессии.

Пример №1. Найти четвертый член геометрической прогрессии, если известно, что b₁=6, q=3. Составляем формулу для b₄:

b4=b1 q4−1=b1 q3

Подставляем в формулу значения, указанные в задании и вычисляем результат: b4=6×33=162.

Найти шестой член геометрической прогрессии 2; -6;……. Здесь для нахождения b₆ надо знать знаменатель q. Для его нахождения надо -6 разделить на 2, получим -3, то есть q=-3. Теперь составляем формулу для b₆, подставляем значения и вычисляем ответ:

b6=b1 q6−1=b1 q5=2×(−3)5=−486

Свойство геометрической прогрессии

Квадрат любого члена геометрической прогрессии, начиная со второго, равен произведению предыдущего и последующего ее членов. Формула:

b2n=bn−1×bn+1

Верным является и утверждение, обратное данному: если в последовательности чисел, отличных от нуля, квадрат каждого члена, начиная со второго, равен произведению предыдущего и последующего членов, то эта последовательность чисел является геометрической прогрессией.

Другими словами, с помощью данной формулы можно найти неизвестный член геометрической прогрессии, соседние члены которого известны. Рассмотрим применение данного свойства на примерах.

Пример №2. Найти b₅, если задана геометрическая прогрессия, в которой b₄=32, b₆=128. Составляем формулу, подставляем в нее значения и вычисляем:

b25=b5−1×b5+1=b4 ×b6 =32×128=4096

Этим действием мы нашли квадрат пятого члена геометрической прогрессии, поэтому извлекаем квадратный корень из числа 4096 для нахождения значения b₅: b₅=√4096=64

Найти у, если дана геометрическая прогрессия …..24; у; 96. Видим, что у находится между соседними известными числами 24 и 96. Поэтому, следуя свойству, умножаем данные числа и извлекаем квадратный корень из полученного числа: у=√24×96=√2304=48.

Формула суммы n первых членов геометрической прогрессии

Формула суммы членов геометрической прогрессии с известными членами

Sn=bnq−b1q−1.. , где q≠1

Для нахождения суммы по данной формуле нужно знать первый и последний член геометрической прогрессии, а также ее знаменатель.

Также есть вторая формула, по которой можно находить сумму нескольких первых членов прогрессии, зная только первый ее член и знаменатель:Формула суммы членов геометрической прогрессии с известным первым членом и знаменателем

Sn=b1(qn−1)q−1.., где q≠1

Рассмотрим применение данных формул на примере, решив его двумя способами. Пример №3. Найти сумму пяти первых членов геометрической прогрессии, если известно, что b₁=2; b₅=162; q=-3. Способ №1 (первая формула). Составим формулу для нахождения S₅:

S5=b5q−b1q−1..

Подставим значения b₁=2; b₅=162 и найдем результат:

S5=162(−3)−2−3−1..=−486−2−4..=−488−4..=122

Способ №2 (вторая формула).

 Sn=b1(qn−1)q−1.

Для решения нам нужен первый член и знаменатель: b₁=2; q=-3. Составим формулу:

S5=b1(q5−1)q−1.

Подставим в формулу данные значения и вычислим сумму:

S5=2((−3)5−1)−3−1..=2(−243−1)−4..=−488−4..=122

Таким образом, мы увидели, что у нас получился один и тот же результат 122 в обоих способах решения. Выбор формулы зависит от данных в условии задачи.

Урок 38. формула суммы первых n членов геометрической прогрессии — Алгебра — 9 класс

Напомним, что геометрической прогрессией называется последовательность ненулевых чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число. Это число называют знаменателем геометрической прогрессии. Из определения следует, что знаменатель геометрической прогрессии отличен от нуля.
Зная первый член и знаменатель, можно найти любой член геометрической прогрессии по его номеру. Это позволяет сделать формула n-го члена.
Мы выяснили, что последовательность является геометрической прогрессией тогда и только тогда

, когда квадрат каждого её члена, начиная со второго, равен произведению предыдущего и последующего членов. Это свойство геометрической прогрессии называется её характеристическим свойством.
Более того, квадрат любого члена геометрической прогрессии, начиная с некоторого, равен не только произведению своих непосредственных соседей, но и произведению членов прогрессии, находящихся от него на одинаковом расстоянии.
Например, квадрат 10-го члена геометрической прогрессии равен произведению 9-го и 11-го членов, а также 8-го и 12-го, 7-го и 13-го, … 1-го и 19-го.
Обозначим сумму первых n членов геометрической прогрессии как эс энное и запишем эту сумму.
Умножим полученное равенство на знаменатель прогрессии q.
Учитывая, что a₁q = a₂, a₂q = a₃, a₃q = a₄ … a_n-1q = a_n, получаем равенство 2.
Вычитаем из равенства 2 равенство 1.
При q, не равном единице, делим обе части равенства на q минус 1 и получаем формулу суммы n первых членов геометрической прогрессии.
Вернёмся к задаче, которую мы решали в начале урока. Найдём количество зёрен, которые попросил в награду у принца создатель шахмат: на первую клетку шахматной доски он просил положить одно зерно, на каждую следующую в два раза больше зёрен, чем на предыдущую.
Заметим, что эти числа образуют геометрическую прогрессию с первым членом 1 и знаменателем 2. В этой прогрессии 64 члена – по количеству клеток на шахматной доске. На последнюю клетку нужно было положить 2 в 63-й степени зёрен.
А общее количество зёрен равно сумме первых 64-х членов данной геометрической прогрессии.
Вычислим приближённо массу всего зерна. Заметим, что 2 в десятой степени равно 1024, округлим до 1000. Тогда в награду изобретателю нужно дать 16, умноженное на 10 в 18-й степени зёрен.
Масса одного пшеничного зерна составляет примерно 0,06 грамма.
Масса всех зёрен должна составить примерно 10 в 12-й степени тонн, то есть триллион тонн. Однако, такого количества пшеницы не собрало человечество за все годы своего существования.
По полученной формуле можно находить сумму n первых членов геометрической прогрессии, если известны её первый и n-й члены, знаменатель и количество членов. Но далеко не всегда нам известен n-й член. И не обязательно его находить.
Воспользуемся формулой n – го члена геометрической прогрессии и выведем ещё одну формулу суммы первых n членов – через первый член и знаменатель геометрической прогрессии.
Найдём сумму первых семи членов геометрической прогрессии с первым членом 4400 и знаменателем –0,1.
Сумма первых шести членов геометрической прогрессии равна 364, её знаменатель равен 3. Найдём первый член.
Запишем формулу суммы n первых членов геометрической прогрессии, подставим в неё известные величины, решим полученное уравнение.
Первый член геометрической прогрессии равен 1.

Сумма бесконечной геометрической прогрессии при |q|

&nbsp>&nbspСумма бесконечной геометрической прогрессии при |q|

 

Геометрическая прогрессия — это числовая последовательность, первый член которой отличен от нуля, а каждый следующий член, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же не равное нулю число.

Понятие геометрической прогрессии

Геометрическая прогрессия обозначается b1,b2,b3, …, bn, … .

Отношение любого члена геометрической погрешности к её предыдущему члену равно одному и тому же числу, то есть b2/b1 = b3/b2 = b4/b3 = … = bn/b(n-1) = b(n+1)/bn = … . Это следует непосредственно из определения арифметической прогрессии. Это число называют знаменателем геометрической прогрессии. Обычно знаменатель геометрической прогрессии обозначают буквой q.

Сумма бесконечной геометрической прогрессии при |q|<1

Одним из способов задания геометрической прогрессии является задание её первого члена b1 и знаменателя геометрической погрешности q.2 = bn * b(n+2),для любого n>0, где n принадлежит множеству натуральных чисел N.

Теперь положим (Xn) – геометрическая прогрессия. Знаменатель геометрической прогрессии q, причем |q|∞).
Если теперь за S обозначить сумму бесконечно геометрической прогрессии, тогда будет иметь место следующая формула:
S=x1/(1-q).

Рассмотрим простой пример:

Найти сумму бесконечной геометрической прогрессии 2, -2/3, 2/9, — 2/27, … .

Для нахождения S воспользуемся формулой суммы бесконечно арифметической прогрессии. |-1/3| < 1. x1 = 2. S=2/(1-(-1/3)) = 3/2.

Нужна помощь в учебе?

Предыдущая тема: Формула суммы n первых членов геометрической прогрессии + примеры
Следующая тема:&nbsp&nbsp&nbspЧетные и нечетные функции: графики и свойства

%d0%b7%d0%bd%d0%b0%d0%bc%d0%b5%d0%bd%d0%b0%d1%82%d0%b5%d0%bb%d1%8c%20%d0%b3%d0%b5%d0%be%d0%bc%d0%b5%d1%82%d1%80%d0%b8%d1%87%d0%b5%d1%81%d0%ba%d0%be%d0%b9%20%d0%bf%d1%80%d0%be%d0%b3%d1%80%d0%b5%d1%81%d1%81%d0%b8%d0%b8 — со всех языков на все языки

Все языкиАнглийскийРусскийКитайскийНемецкийФранцузскийИспанскийШведскийИтальянскийЛатинскийФинскийКазахскийГреческийУзбекскийВаллийскийАрабскийБелорусскийСуахилиИвритНорвежскийПортугальскийВенгерскийТурецкийИндонезийскийПольскийКомиЭстонскийЛатышскийНидерландскийДатскийАлбанскийХорватскийНауатльАрмянскийУкраинскийЯпонскийСанскритТайскийИрландскийТатарскийСловацкийСловенскийТувинскийУрдуФарерскийИдишМакедонскийКаталанскийБашкирскийЧешскийКорейскийГрузинскийРумынский, МолдавскийЯкутскийКиргизскийТибетскийИсландскийБолгарскийСербскийВьетнамскийАзербайджанскийБаскскийХиндиМаориКечуаАканАймараГаитянскийМонгольскийПалиМайяЛитовскийШорскийКрымскотатарскийЭсперантоИнгушскийСеверносаамскийВерхнелужицкийЧеченскийШумерскийГэльскийОсетинскийЧеркесскийАдыгейскийПерсидскийАйнский языкКхмерскийДревнерусский языкЦерковнославянский (Старославянский)МикенскийКвеньяЮпийскийАфрикаансПапьяментоПенджабскийТагальскийМокшанскийКриВарайскийКурдскийЭльзасскийАбхазскийАрагонскийАрумынскийАстурийскийЭрзянскийКомиМарийскийЧувашскийСефардскийУдмурдскийВепсскийАлтайскийДолганскийКарачаевскийКумыкскийНогайскийОсманскийТофаларскийТуркменскийУйгурскийУрумскийМаньчжурскийБурятскийОрокскийЭвенкийскийГуараниТаджикскийИнупиакМалайскийТвиЛингалаБагобоЙорубаСилезскийЛюксембургскийЧерокиШайенскогоКлингонский

 

Все языкиРусскийАнглийскийДатскийТатарскийНемецкийЛатинскийКазахскийУкраинскийВенгерскийТурецкийТаджикскийПерсидскийИспанскийИвритНорвежскийКитайскийФранцузскийИтальянскийПортугальскийАрабскийПольскийСуахилиНидерландскийХорватскийКаталанскийГалисийскийГрузинскийБелорусскийАлбанскийКурдскийГреческийСловенскийИндонезийскийБолгарскийВьетнамскийМаориТагальскийУрдуИсландскийХиндиИрландскийФарерскийЛатышскийЛитовскийФинскийМонгольскийШведскийТайскийПалиЯпонскийМакедонскийКорейскийЭстонскийРумынский, МолдавскийЧеченскийКарачаевскийСловацкийЧешскийСербскийАрмянскийАзербайджанскийУзбекскийКечуаГаитянскийМайяАймараШорскийЭсперантоКрымскотатарскийОсетинскийАдыгейскийЯкутскийАйнский языкКхмерскийДревнерусский языкЦерковнославянский (Старославянский)ТамильскийКвеньяАварскийАфрикаансПапьяментоМокшанскийЙорубаЭльзасскийИдишАбхазскийЭрзянскийИнгушскийИжорскийМарийскийЧувашскийУдмурдскийВодскийВепсскийАлтайскийКумыкскийТуркменскийУйгурскийУрумскийЭвенкийскийЛожбанБашкирскийМалайскийМальтийскийЛингалаПенджабскийЧерокиЧаморроКлингонскийБаскскийПушту

Арифметико-геометрическая прогрессия | Блестящая вики по математике и науке

Теперь, когда мы нашли сумму конечного числа членов, давайте рассмотрим случай бесконечного числа членов. Мы, конечно, не можем вручную суммировать бесконечные числа, поэтому нам придется найти общий подход. Начнем с обсуждения проблемы, с которой вы столкнулись в верхней части этой страницы:

12 + 24 + 38 + 416 + 532 + ⋯ =? \ Large \ dfrac {\ color {# 3D99F6} {1}} {\ color {# D61F06} {2}} + \ dfrac {\ color {# 3D99F6} { 2}} {\ color {# D61F06} {4}} + \ dfrac {\ color {# 3D99F6} {3}} {\ color {# D61F06} {8}} + \ dfrac {\ color {# 3D99F6} { 4}} {\ color {# D61F06} {16}} + \ dfrac {\ color {# 3D99F6} {5}} {\ color {# D61F06} {32}} + \ cdots = \,? 21 +42 +83 +164 +325 + ⋯ =?

---

Допустим, данная серия является SSS, тогда

S = 12 + 24 + 38 + 416 + 532 + ⋯.S = \ dfrac 12 + \ dfrac 24 + \ dfrac 38+ \ dfrac {4} {16} + \ dfrac {5} {32} + \ cdots.S = 21 +42 +83 +164 +325 + ⋯.

Умножая SSS на 12 \ frac 1221, получаем

S2 = 14 + 28 + 316 + 432 + 564 + ⋯. \ dfrac S2 = \ dfrac 14 + \ dfrac 28 + \ dfrac {3} {16} + \ dfrac {4} {32} + \ dfrac {5} {64} + \ cdots.2S = 41 +82 +163 +324 +645 + ⋯.

Теперь вычитая S2 \ frac S22S из SSS, получаем

S = 12 + 24 + 38 + 416 + 532 + ⋯ S2 = 0 + 14 + 28 + 316 + 432 + 564 + ⋯ S (1−12) = 12 + 14 + 18 + 116 + 132 + ⋯ ⇒S2 = 12 + 14 + 18 + 116 + 132 + ⋯, \ begin {array} {rlllllllll} S & = \ dfrac 12 & + \ dfrac 24 & + \ dfrac 38 & + \ dfrac {4} {16} & + \ dfrac {5} {32} + \ cdots \\ \ dfrac S2 & = 0 & + \ dfrac 14 & + \ dfrac 28 & + \ dfrac {3} {16} & + \ dfrac {4} {32} + \ dfrac {5} {64} + \ cdots \\ \ hline S \ left (1- \ dfrac 12 \ right) & = \ dfrac 12 & + \ dfrac 14 & + \ dfrac 18 & + \ dfrac {1} {16} & + \ dfrac {1} {32} + \ cdots \ \ \ Rightarrow \ dfrac S2 & = \ dfrac 12 & + \ dfrac 14 & + \ dfrac 18 & + \ dfrac {1} {16} & + \ dfrac {1} {32} + \ cdots, \ end {array} S2S S (1-21) ⇒2S = 21 = 0 = 21 = 21 +42 +41 +41 +41 +83 +82 + 81 +81 +164 +163 +161 +161 +325 + ⋯ + 324 +645 + ⋯ + 321 + ⋯ + 321 + ⋯,

, который является GP.2} = 2 1−21 21 + (1−21) 21 × 21 = 2.
Второе суммирование — это геометрическая прогрессия с суммой до бесконечности 141−12 = 12 \ frac {\ frac {1} {4}} {1 — \ frac {1} {2}} = \ frac {1} { 2} 1−21 41 = 21.
Следовательно, общая сумма равна 2−12 = 1,5 □ 2 — \ frac {1} {2} = 1,5 \ _ \ square 2−21 = 1,5 □.

Решение 2:

Данную серию можно записать как

14 + 38 + 516 + 732 + ⋯. \ Dfrac 14+ \ dfrac 38 + \ dfrac {5} {16} + \ dfrac {7} {32} + \ cdots .41 +83 +165 +327 + ⋯.

Умножив и разделив ряд на 444, получим

14 (1 + 32 + 54 + 78 + ⋯).2} \ right) = \ dfrac 14 \ left (2 + 4 \ right) = 1,5. \ _ \ квадрат S = 41 ⎝⎜⎜⎜⎛ 1−21 1 + (1−21) 22⋅21 ⎠⎟⎟⎟⎞ = 41 (2 + 4) = 1,5. □

Решение проблем, указанных ниже, позволит проверить, хорошо ли вы разбираетесь в концепциях и способах решения проблем:

Найдите значение ppp для данного

3 + 14 (3 + p) +142 (3 + 2p) +143 (3 + 3p) + ⋯ = 8.3} (3 + 3p) + \ cdots = 8,3 + 41 (3 + p) +421 (3 + 2p) +431 (3 + 3p) + ⋯ = 8. n} n = 1∑∞ 3n2n может быть выражено в форме ab \ frac { a} {b} ba, где aaa и bbb взаимно простые положительные целые числа.Найдите a − b a — b a − b.

Упражнения по математике

]]> Матрицы Алгебра Геометрия Функции Тригонометрия Координатная геометрия Комбинаторика Сумма и ресторан Продукт для эскалара Изделие Inversa Мономы Полиномы Особые продукты Уравнения Квадратные уравнения Радикальные выражения Системы уравнений Последовательности и серии Внутренний продукт Экспоненциальные уравнения Матрицы Детерминанты Инверсия матрицы Логарифмические уравнения Системы трех переменных уравнений Двумерные фигуры Площадь Теорема Пифагора Расстояния Графики Определение уклона Положительный или отрицательный наклон Определить наклон прямой Ecuación de una recta Уравнение прямой (из графика) Квадратичная функция Posición relativa de dos rectas Асимптоты Пределы Distancias Непрерывность и разрывы Теорема Пифагора Синус Косинус Касательная Косеканс Секант Котангенс Тригонометрические идентификаторы Тригонометрические функции острого угла Тригонометрические функции связанных углов Решение прямоугольных треугольников Закон косинусов Закон синусов Ecuación de una recta Posición relativa de dos rectas Distancias Углы в пространстве Внутренний продукт Факториал Вариации без повторов Вариации с повторением Перестановки с повторением Перестановки без повторов Упражнения Круговые перестановки Биномиальный коэффициент Комбинации с повторением Комбинации без повторов Среднее арифметическое

Решатель геометрической прогрессии, N-е значение и калькулятор суммы

Что такое геометрическая прогрессия?

Геометрическая прогрессия $ (g_n) _ {n \ in N} $ или геометрическая последовательность — это последовательность действительных чисел или переменных, каждый член которой получается из предшествующий единице путем умножения на ненулевое действительное число.4, \ ldots $$

где ненулевая константа $ r $ — обычное отношение. Первый член $ g_1 $ называется начальным членом. Обратите внимание, что обычное отношение $ r $ не может быть нулевым. С другой стороны, прогрессия $ (g_n) _ {n \ in N} $ является геометрической прогрессией с общим соотношением $ r $, если отношения между последовательными членами равны, то есть

$$ \ frac {g_2} {g_1} = \ frac {g_3} {g_2} = \ ldots = \ frac {g_n} {g_ {n-1}} = r $$

• Если $ r> 1 $, то геометрическая прогрессия представляет собой возрастающую прогрессию и в нем содержится
  $$ g_1 \ lt g_2 \ lt \ ldots \ lt g_ {n-1} \ lt g_n $$
• Если $ 0 \ lt r \ lt 1 $, то геометрическая прогрессия является убывающей, и она содержит
  $$ g_1> g_2> \ ldots> g_ {n-1}> g_n $$
• Если $ r = 1 $, то геометрическая прогрессия является постоянной прогрессией и выполняется
  $$ g_1 = g_2 = \ ldots = g_ {n-1} = g_n $$ Постоянная прогрессия — это только прогрессия, одновременно геометрическая и геометрическая.

Члены между двумя непоследовательными членами геометрической прогрессии $ (g_n) _ {n \ in N} $ называются средними геометрическими терминами. Например, геометрические средние между $ g_1 $ и $ g_5 $ равны $ g_2 $, $ g_3 $ и $ g_5. $ Если заданы два непоследовательных члена геометрической прогрессии $ (g_n) _ {n \ in N} $ и число средних геометрических между ними, то геометрическая прогрессия полностью определена.
Геометрический ряд — это сумма членов геометрической прогрессии. Геометрический ряд может быть бесконечным или конечным.{n-1}, $$ где $ g_1 $ — начальный член, а $ r \ ne0 $ — обыкновенное отношение.

Геометрические серии (прогрессия), серии и последовательности, Чистая математика

Геометрическая серия — структура

Геометрический ряд начинается с первого члена, обычно обозначаемого буквой « a ».

Для каждого последующего члена ряда первый член умножается на другой член.

Термин, кратный букве « r », называется «обычное отношение ».

Итак, серия имеет структуру:

, где S _n — сумма членов « n », буква « l » — последний член.

Обычное отношение « r » рассчитывается путем деления любого члена на предшествующий ему термин.

N-й термин (иногда называемый «общим термином ») задается по:

к началу

Доказательство суммы геометрического ряда

NB альтернативная формула для r > 1, просто умножьте числитель и знаменатель на -1

Пример № 1

В геометрической прогрессии сумма 3-го и 4-го членов равна 60, а сумма 4-го и 5-го членов равна 120.

Найдите 1-й член и общее отношение.

к началу

Пример № 2

Какое наименьшее количество членов геометрической прогрессии:

2 + 6 + 18 + 54 + 162 …

, что даст в сумме больше 1000?

Среднее геометрическое

Это метод нахождения термина, зажатого между двумя другими терминами.

Итак, если у нас есть последовательность терминов: a , b , c , где a и c известны,

соотношение последовательных членов дает общее отношение .

Приравнивая эти :

Пример

Если 4-й член геометрической прогрессии равен 40, а 6-й — 160, что такое 5-й член?

к началу

Сумма до бесконечности

Это касается геометрических прогрессий, когда по мере увеличения числа членов значение суммы приближается к одному конкретному числу.Это число называется , сумма до бесконечности .

В этом примере при увеличении « n » сумма приближается к 2 .

Итак, если член r ⁿ стремится к нулю, при увеличении n уравнение суммы до n членов меняется:

Пример

Экспресс 0.055555 … дробью.

к началу

Арифметическая прогрессия — обзор

3.2 Арифметическая прогрессия

Арифметическая прогрессия — это последовательность, которая начинается с числа a и затем увеличивается с фиксированным шагом d : a , a + d , a + 2 d ,….Пусть s _n обозначает сумму первых n членов, так что

sn = a + a + d + a + 2d +… + a + n − 1d.

Мы хотим найти простое выражение для s _n .

Мы можем сделать это, записав s _n в его естественном порядке, а затем с членами в обратном порядке.

sn = a + a + d + (a + 2d) +… + (a + (n − 1) d), sn = (a + n − 1d) + (a + (n − 2) d) + (a + ( п — 3) г) +… + а.

Затем, складывая соответствующие члены,

2sn = 2a + n − 1d) + 2a + n − 1d +… + (2a + n − 1d⏟nterms = n (2a + n − 1d).∴sn = na + 12nn − 1d.

Мы доказали следующий небольшой результат. (Вежливое название небольшого результата, обычно шаг к чему-то более интересному, — это лемма.)

Лемма 3.1 Сумма первых n членов арифметической прогрессии a , a + d , a + 2 d ,… равно na + 12nn − 1d. ℕ

Только что доказанный результат и другие ему подобные часто становятся намного яснее, если мы используем обозначение Σ для суммирования.Общий член приведенной выше арифметической прогрессии: a + ( k — 1) d , это k -й член, так что a + ( a + d ) +… + ( a + ( n — 1) d ) — это сумма членов, когда k = 1, k = 2,… и k = n , все сложенные вместе, и запишем это как

∑k = 1na + k − 1d.

В более общем смысле, если f — некоторая формула, включающая k , ∑ ⁿ _{k = 1} f ( k ) означает f (1) + f (2 ) +…. + f ( k ), сумма значений, полученных при последовательной замене k на 1, 2,…, n или любые другие значения, обозначенные знаком Σ. Таким образом, ∑ ⁵ _{k = 3} f ( k ) = f (3) + f (4) + f (5). Обратите внимание, что k здесь является «фиктивной» переменной и что ∑ ⁿ _{k = 1} f ( k ) не зависит от k ; мы могли бы заменить k на любой другой символ, который нам подходит, кроме символа, который уже имеет другое значение в этом выражении.∑ ⁿ _{n = 1} n не годится, так как символ n имеет два значения.

Другой распространенный простой тип последовательности — это геометрическая прогрессия , которая представляет собой последовательность вида a , ar , ar ² , ar ³ ,… r будучи называется общим соотношением . Опять же, есть формула для суммы первых n членов.Пусть s _n = a + ar +… + ar ^{n −1} , сумма первых n членов. Тогда

sn = a + ar +… + arn − 1rsn = ar +… + arn − 1 + arnso1 − rsn = a − arn = a (1 − rn).

Следовательно, при условии r ≠ 1 (чтобы избежать деления на ноль)

sn = a1 − rn1 − r.

(Обратите внимание на форму этого: первый член прогрессии умножает все выражение, а степень на в числителе — это количество членов.Если r > 1, обычно лучше писать sn = arn − 1r − 1, чтобы знаменатель был положительным. В случае, когда r = 1, формула не имеет смысла, но в этом случае все суммированные члены равны, поэтому ответ прост.) Мы доказали:

Лемма 3.2 Если r ≠ 1 и n — натуральное число

a + ar +… + arn − 1 = ∑k = 1nark − 1 = a1 − rn1 − r.ℕ

Этот результат имеет чрезвычайно полезное следствие (которое мы называем следствием). Предположим, мы хотим разложить на множители x ⁿ — y ⁿ .Тогда (при условии, что x ≠ 0) xn − yn = xn1 − ynxn = xn1 − yxn. Здесь мы должны заметить, что мы можем использовать формулу из леммы 3.2 с r = y / x и a = 1. Тогда

1 + yx +… + yn − 1xn − 1 = 1 − yxn1 − yxprovidedyx ≠ 1.

Итак, 1 − yxn = 1 − yx1 + yx +… + yn − 1xn − 1 и умножение на x ⁿ дает

(*) xn − yn = x − yxn − 1 + xn − 2y +… + xyn − 2 + yn − 1.

Мы доказали это для всех действительных чисел, удовлетворяющих двум условиям x ≠ 0 и x ≠ y .В двух исключенных случаях, x = 0 и x = y , результат тривиален для проверки, поэтому мы независимо замечаем, что результат верен для них и ограничение может быть снято. Основное достоинство (*) состоит в том, что x ⁿ — y ⁿ имеет множитель x — y , хотя выражение для второго множителя также полезно.

Эти два примера — арифметическая и геометрическая прогрессии — полезны, но они создают немного вводящее в заблуждение впечатление, поскольку легко доказать формулы напрямую, как только вы заметите уловку.3 6 Решить для? cos (x) = 1/2 7 Решить относительно x sin (x) = — 1/2 8 Преобразование из градусов в радианы 225 9 Решить для? cos (x) = (квадратный корень из 2) / 2 10 Решить относительно x cos (x) = (квадратный корень из 3) / 2 11 Решить относительно x sin (x) = (квадратный корень из 3) / 2 12 График г (x) = 3/4 * корень пятой степени x 13 Найдите центр и радиус х ^ 2 + у ^ 2 = 9 14 Преобразование из градусов в радианы 120 градусов 15 Преобразование из градусов в радианы 180 16 Найдите точное значение желто-коричневый (195) 17 Найдите степень е (х) = 2х ^ 2 (х-1) (х + 2) ^ 3 (х ^ 2 + 1) ^ 2 18 Решить для? тангенс (x) = квадратный корень из 3 19 Решить для? sin (x) = (квадратный корень из 2) / 2 20 Найдите центр и радиус х ^ 2 + у ^ 2 = 25 21 Найдите центр и радиус х ^ 2 + у ^ 2 = 4 22 Решить относительно x 2cos (x) -1 = 0 23 Решить относительно x 6x ^ 2 + 12x + 7 = 0 24 Найдите домен х ^ 2 25 Найдите домен е (х) = х ^ 2 26 Преобразование из градусов в радианы 330 градусов 27 Развернуть логарифмическое выражение натуральный логарифм от (x ^ 4 (x-4) ^ 2) / (квадратный корень из x ^ 2 + 1) 28 Упростить ((3x ^ 2) ^ 2y ^ 4) / (3y ^ 2) 29 Упростить (csc (x) кроватка (x)) / (sec (x)) 30 Решить для? tan (x) = 0 31 Решить относительно x х ^ 4-3x ^ 3-х ^ 2 + 3x = 0 32 Решить относительно x cos (x) = sin (x) 33 Найдите точки пересечения x и y х ^ 2 + у ^ 2 + 6х-6у-46 = 0 34 Решить относительно x квадратный корень из x + 30 = x 35 Упростить детская кроватка (x) коричневый (x) 36 Найдите домен у = х ^ 2 37 Найдите домен квадратный корень из x ^ 2-4 38 Найдите точное значение грех (255) 39 Оценить бревно, база 27 из 36 40 Преобразовать из радианов в градусы 2п 41 Упростить (F (x + h) -Fx) / час 42 Решить для? 2sin (x) ^ 2-3sin (x) + 1 = 0 43 Решить относительно x tan (x) + квадратный корень из 3 = 0 44 Решить относительно x sin (2x) + cos (x) = 0 45 Упростить (1-cos (x)) (1 + cos (x)) 46 Найдите домен х ^ 4 47 Решить для? 2sin (x) + 1 = 0 48 Решить относительно x х ^ 4-4x ^ 3-х ^ 2 + 4x = 0 49 Упростить 9 / (х ^ 2) + 9 / (х ^ 3) 50 Упростить (детская кроватка (x)) / (csc (x)) 51 Упростить 1 / (с ^ (3/5)) 52 Упростить квадратный корень из 9a ^ 3 + квадратный корень из 53 Найдите точное значение желто-коричневый (285) 54 Найдите точное значение cos (255) 55 Преобразовать в логарифмическую форму 12 ^ (х / 6) = 18 56 Развернуть логарифмическое выражение (основание 27 из 36) (основание 36 из 49) (основание 49 из 81) 57 Найдите недвижимость х ^ 2 = 12 лет 58 Найдите недвижимость х ^ 2 + у ^ 2 = 25 59 График f (x) = — натуральный логарифм x-1 + 3 60 Найдите значение, используя единичную окружность арксин (-1/2) 61 Найдите домен квадратный корень из 36-4x ^ 2 62 Упростить (квадратный корень из x-5) ^ 2 + 3 63 Решить относительно x х ^ 4-2x ^ 3-х ^ 2 + 2x = 0 64 Решить относительно x у = (5-х) / (7х + 11) 65 Решить относительно x х ^ 5-5x ^ 2 = 0 66 Решить относительно x cos (2x) = (квадратный корень из 2) / 2 67 График г = 3 68 График f (x) = — логарифм по основанию 3 из x-1 + 3 69 Найдите корни (нули) f (x) = 3x ^ 3-12x ^ 2-15x 70 Найдите степень 2x ^ 2 (x-1) (x + 2) ^ 3 (x ^ 2 + 1) ^ 2 71 Решить относительно x квадратный корень из x + 4 + квадратный корень из x-1 = 5 72 Решить для? cos (2x) = — 1/2 73 Решить относительно x основание журнала x из 16 = 4 74 Упростить e ^ x 75 Упростить (cos (x)) / (1-sin (x)) + (1-sin (x)) / (cos (x)) 76 Упростить сек (x) sin (x) 77 Упростить кубический корень из 24 кубический корень из 18 78 Найдите домен квадратный корень из 16-x ^ 2 79 Найдите домен квадратный корень из 1-x 80 Найдите домен у = грех (х) 81 Упростить квадратный корень из 25x ^ 2 + 25 82 Определить, нечетно ли, четно или нет е (х) = х ^ 3 83 Найдите домен и диапазон f (x) = квадратный корень из x + 3 84 Найдите недвижимость х ^ 2 = 4y 85 Найдите недвижимость (x ^ 2) / 25 + (y ^ 2) / 9 = 1 86 Найдите точное значение cos (-210) 87 Упростить кубический корень из 54x ^ 17 88 Упростить квадратный корень из квадратного корня 256x ^ 4 89 Найдите домен е (х) = 3 / (х ^ 2-2x-15) 90 Найдите домен квадратный корень из 4-x ^ 2 91 Найдите домен квадратный корень из x ^ 2-9 92 Найдите домен е (х) = х ^ 3 93 Решить относительно x e ^ x-6e ^ (- x) -1 = 0 94 Решить относительно x 6 ^ (5x) = 3000 95 Решить относительно x 4cos (х-1) ^ 2 = 0 96 Решить относительно x 3x + 2 = (5x-11) / (8y) 97 Решить для? грех (2x) = — 1/2 98 Решить относительно x (2x-1) / (x + 2) = 4/5 99 Решить относительно x сек (4x) = 2 100 Решить для n (4n + 8) / (n ^ 2 + n-72) + 8 / (n ^ 2 + n-72) = 1 / (n + 9)

Видео с вопросом: поиск отсутствующих членов данной геометрической последовательности

Стенограмма видео

Найдите следующие четыре члена в геометрической последовательности 29, отрицательные 58 третей, 116 девятых.

Геометрические последовательности — это последовательности с общим соотношением. Отношение, которое вы умножаете на один член, чтобы получить следующий член. Чтобы найти следующие четыре члена, нам нужно выяснить, каково общее отношение для этой последовательности. Это формула, которую мы будем использовать для нахождения нашего общего отношения. Чтобы использовать эту формулу, сначала нам нужно выбрать числитель, термин, с которого нужно начать. Начнем с минус 58 третей.

Принцип работы этой формулы и выбор знаменателя состоит в том, что какой бы член мы ни выбрали для числителя, следующий член, который мы выбираем для знаменателя, должен стоять на единицу перед ним.Поскольку мы начали с отрицательными 58 третями, то что будет в следующем сроке ниже, каким будет наш предыдущий срок? 29. Мы подставляем 29 в качестве знаменателя, потому что 29 — это предыдущий член из термина, который мы используем для числителя. Итак, мы выбираем срок и выбираем предыдущий срок.

Давайте перепишем нашу задачу деления вот так. А поскольку мы не можем разделить дробь на дробь, мы умножим 58 третей, отрицательные 58 третей на единицу, полученную вместе, я получу отрицательные 58 на 87, что уменьшится до отрицательных двух третей, что уменьшается до отрицательных двух третей.Это говорит нам о том, что наше обычное отношение, умноженное на член для получения следующего члена в строке, равно отрицательным двум третям.

Наш вопрос касается следующих четырех терминов в последовательности. Итак, мы берем наш третий член в последовательности, 116 на девять, и умножаем его на отрицательные две трети. Это дает нам отрицательное 232 вместо 27. Мы берем четвертый член, уменьшаем его и умножаем 232 на 27 на отрицательные две трети, наше обычное отношение, что дает нам 464 на 81. Мы опускаем пятый член, умножаем 464 на 81 раз отрицательные две трети.Наш следующий член отрицательный 928 на 243.

Здесь заканчивается место, поэтому я перетащу это отрицательное 928 на 243 вправо и умножу его на отрицательные две трети, что даст нам 1856 вместо 729.