Геометрический смысл модуля: Модуль числа, геометрический смысл — расстояние на координатной прямой, примеры, тесты

Содержание

Геометрический способ решения уравнений и неравенств с модулем, 9-й класс

Цель: рассмотреть геометрическое определение модуля. Уметь применять его для решения уравнений и неравенств с модулем, развивать умение исследовать уравнения с параметрами.

Ход урока

1. Организационная часть (Цель занятия)

2. Актуализация знаний

  • Алгебраическое определение модуля

    |a| =

  • Вычислите модули чисел: 3, -8, 10, 0.
  • Решите уравнения
  • Решите неравенства
  • Запишите к каждому чертежу соответствующее уравнение или неравенство

3. Изучение нового материала

  • Найдите расстояние между двумя точками координатной прямой
    А) А(-1) и В(3)
    Б) Р(0,0001) и Q(132)
    В) М(-2) и N(-87)
  • Формула расстояния между двумя точками координатной прямой с координатами х и а:
    ρ(x,a) = |x — a|

    Геометрическое истолкование выражения |x-a|- это расстояние между двумя точками координатной прямой.

  • Отметить на координатной прямой точки, для которых
    |x| = 1      |x| ≥ 3      |x| > 2      1 < |x| < 4      |x| = 0      |x| = -1

  • Каков смысл выражений?

    Изобразите множества, задаваемые этими предложениями на координатной прямой. Иными словами переведем аналитические модели на геометрический язык.

  • Решим неравенство |х-2| <3

    Переведем аналитическую модель на геометрический язык: нужно найти на координатной прямой такие точки х, которые удовлетворяют условию ρ (х,2) < 3. Другими словами удалены от точки с координатой 2 на расстояние меньше 3.

    Это все точки, принадлежащие интервалу (-1;5)

    Ответ: (-1;5)

  • Как решить уравнение?
    |х-5|+|х+1|=8

    Выражение |х-5| можно истолковать, как расстояние между точками с координатами х и 5.

    Выражение |х+1| можно истолковать, как расстояние между точками с координатами х и -1.

    Тогда уравнение означает, что нужно найти такую точку Х(х), сумма расстояний от которой до точек с координатами 5 и -1 равна 8.

    Расстояние между точками с координатами 5 и -1 равно 6 < 8, следовательно, точка с координатой х находиться вне отрезка [-1;5] и таких точек две.

    Ответ: х=-2, х=6

    Что произойдет, если вместо 8 взять число 1, 6, 100,…? Сколько будет тогда корней уравнения?

    При равенстве суммы модулей 1 – нет решений, так как 1

    При равенстве суммы модулей 6 – множество решений, так как все точки отрезка [-2;6] удовлетворяют условию уравнения.

    При равенстве суммы модулей 100, или любому числу больше 6, уравнение имеет два решения.

    Вывод:

    1. Если сумма модулей больше расстояния между двумя точками, то уравнение имеет два решения.
    2. Если сумма модулей равна расстоянию между двумя точками, то уравнение имеет множество решений, которых принадлежат отрезку между точками.
    3. Если расстояние между двумя точками меньше суммы модулей, то решений нет.

4. Закрепление полученных знаний

  • Решите неравенство: |х-5|
    Ответ: (3;7)
  • Решите неравенство: |х+3| ≥ 4
    Ответ: x ≤ -7, x ≥ 1
  • Решите уравнение: |х-1| +|х+2|=5

    Ответ: x=2, x=-3

  • Изобразите на координатной плоскости решения неравенств:

    1. |х-1|+|х+2|=5

    2. | х-1|+|х+2|<5

  • Самостоятельно исследуйте, сколько решений может иметь уравнение в зависимости от значений а: |х+3| +|х-1|=

     Ответ:
    а) Если, а=4, то уравнение имеет множество решений – отрезок [-3;1] б) Если а>4, то уравнение имеет 2 корня
    в) Если а

5. Домашнее задание

1. Исследовать уравнение: |х+3| -|х-1|=а

2. Решить № 13, № 16 (а,б)

6. Итог занятия:

  • Геометрический смысл модуля
  • Как применить геометрический смысл модуля для решения неравенств
  • Как применить геометрический смысл модуля для решения уравнений

Литература

1. Мордкович А.Г. Алгебра ,9 класс, в двух частях,6 издание, Москва, Мнеиозина,2004

2. «Метод координат», учебное пособие для учащихся, ОЛ ВЗМШ, Москва ,2002

Раскрытие модуля, используя его геометрический смысл с примером решения

Раскрытие модуля, используя его геометрический смысл

Пусть

— действительные числа. Тогда выражение имеет геометрический смысл расстояния на числовой прямой от точки с координатой до точки с координатой . Геометрическую интерпретацию модуля как расстояния бывает достаточно удобно использовать при решении некоторых уравнений и неравенств с модулями.

Например, решить уравнение

геометрически означает найти на числовой прямой все точки , расположенные от точки 3 на расстоянии 1. Представим себе числовую прямую, отметим на ней точку, отвечающую числу 3, и отложим в обе стороны от неё единичные отрезки. Получим две точки, координаты которых и будут искомыми решениями уравнения.

Другой пример. Пусть требуется решить неравенство

Это означает, что надо найти на числовой прямой все точки, отстоящие от точки 3 на расстояние, меньшее
1
. Опять представим себе числовую прямую, отметим на ней точку 3, отложим от неё в обе стороны отрезки единичной длины и получим две точки 2 и 4 (их следует выколоть). Тогда искомые точки образуют интервал с центром в точке 3 длины 2, т.е. . Таким же образом можно решить неравенства и многие другие.

Рассмотрим теперь более сложный пример.

Пример №273.

Решить неравенство

Решение:

Так как

, то перенесём все слагаемые в левую часть и разложим её на множители

Решим последнее неравенство, привлекая геометрический смысл модуля. Представим числовую прямую и на ней точки — 1 и 2 .

Решить неравенство

означает найти на числовой прямой такие точки , что модуль разности расстояний от до точек — 1 и 2 не меньше
3
. Заметим, что расстояние между этими точками в точности равно 3 . Если точка то сумма расстояний от неё до — 1 и 2 равна 3 , а соответствующая разность расстояний будет меньше 3, т.е. неравенство не выполняется. Если же то модуль разности расстояний от до — 1 и 2 будет равен 3, т.е. неравенство верно. Таким образом, получаем ответ:

Эта лекция взята со страницы, где размещён подробный курс лекций по предмету математика:

Предмет математика

Эти страницы возможно вам будут полезны:

Изображение действительных чисел на координатной прямой. Определение модуля числа. Геометрический смысл модуля. Действительные числа ii


















Назад Вперёд

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Цели:

Оборудование: проектор, экран, персональный компьютер, мультимедийная презентация

Ход урока

1. Организационный момент.

2. Актуализация знаний учащихся.

2.1. Ответить на вопросы учащихся по домашнему заданию.

2.2. Разгадать кроссворд (повторение теоретического материала) (Слайд 2):

  1. Комбинация математических знаков, выражающая какое-нибудь
утверждение. (Формула. )
  • Бесконечные десятичные непериодические дроби. (Иррациональные числа)
  • Цифра или группа цифр, повторяющихся в бесконечной десятичной дроби. (Период. )
  • Числа, используемые для счета предметов. (Натуральные числа.)
  • Бесконечные десятичные периодические дроби. (Рациональные числа.)
  • Рациональные числа + иррациональные числа = ? (Действительные числа.)
  • – Разгадав кроссворд, в выделенном вертикальном столбце прочитайте название темы сегодняшнего урока.

    (Слайды 3, 4)

    3. Объяснение новой темы.

    3.1. – Ребята, вы уже встречались с понятием модуля, пользовались обозначением |a | . Раньше речь шла только о рациональных числах. Теперь надо ввести понятие модуля для любого действительного числа.

    Каждому действительному числу соответствует единственная точка числовой прямой, и, наоборот, каждой точке числовой прямой соответствует единственное действительное число. Все основные свойства действий над рациональными числами сохраняются и для действительных чисел .

    Вводится понятие модуля действительного числа. (Слайд 5).

    Определение. Модулем неотрицательного действительного числа x называют само это число: |x | = x ; модулем отрицательного действительного числа х называют противоположное число: |x | = – x .

    Запишите в тетрадях тему урока, определение модуля:

    На практике используют различные свойства модулей , например. (Слайд 6) :

    Выполнить устно № 16.3 (а, б) – 16.5 (а, б) на применение определения, свойства модуля. (Слайд 7) .

    3.4. Для любого действительного числа х можно вычислить |x | , т.е. можно говорить о функции y = |x | .

    Задание 1. Построить график и перечислить свойства функции y = |x | (Слайды 8, 9).

    Один ученик на доске строит график функции


    Рис 1 .

    Свойства перечисляются учащимися. (Слайд 10)

    1) Область определения – (– ∞; + ∞) .

    2) у = 0 при х = 0; y > 0 при x 0.

    3) Функция непрерывная.

    4) у наим = 0 при х = 0, у наиб не существует.

    5) Функция ограничена снизу, не ограничена сверху.

    6) Функция убывает на луче (– ∞; 0) и возрастает на луче }

    Матвертикаль 8 класс | Общественный портал Школы №1505 «Преображенская»

    Здесь размещаются ссылки на полезные материалы

    АЛГЕБРА

    САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ И КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ (Уже прошли, скоро будут, планируются)

    1. Применение свойств неравенств для оценки значения выражения (Условие) (Видео разбор)

    2. Решение линейных неравенств (Условие) (Видео разбор)

    3. Геометрический смысл модуля. Неравенства с модулем. (Условие) (Видео разбор)

    4. Линейные неравенства с параметром. (Условие) (Видео разбор)

    5. Системы и совокупности линейных неравенств. (Условие) (Видео разбор)

    6. КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА «НЕРАВЕНСТВА» . (Условие)

    7. Дробно- рациональные выражения (Условие)

    8. Сокращение дробей (Условие)

    9. Сложение дробей с разными знаменателями (Условие)

    10. Выделение целой части из алгебраческой дроби (Условие)

     

    ВИДЕО

    Повторение

    1. Задача 4 о линейных функциях и их графика (Видео)

    2. Выделение полного квадрата и оценка значения квадратного трехчлена (Видео)

    Свойства неравенств

    1. Применение свойств неравенств для оценки значения выражения (Видео)

    Линейные неравенства

    1. Пример неравенства с числовыми знаменателями (Видео) 

    3. Графический метод решения линейных неравенств (Видео)

    5. Объединение и пересечение числовых промежутков (Видео)

    6. Геометрический смысл модуля. Простейшие неравенства с модулем (Видео). 

    7. Геометрический смысл модуля разности двух чисел. Простейшие неравенства с модулем (Видео).

    8. Системы неравенств (Видео)

    9. Совокупности неравенств (Видео1, Видео2 )

    ГЕОМЕТРИЯ

    САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ РАБОТЫ 

    1. Параллелограмм  (Условие) (Видео разбор)

    2. Симметрия параллелограмма (Условие) (Видео разбор)

    3. Зачет по теории по теме «Параллелограмм» (Список вопросов и задач)

    4. Трапеция (Условие)

     

     

    ВИДЕО 

    *** 

    СТАТИСТИКА

    САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ РАБОТЫ

    1. Случайный опыт. Случайное событие. Набор элементарных исходов случайного опыта. (Условие) (Видео разбор)

    2. Определение вероятности (Условие)

    ВИДЕО

    ***

    Дистанционный курс высшей математики НИЯУ МИФИ

    Пусть функция =

    f(z) аналитична в некоторой области D ⊂ и отображает область D плоскости z в область G

    плоскости . Представим её производную в произвольно заданной точке z0D в показательной форме:

    f′(z0) = = ke.

    (4.7)

    Тогда отображение, осуществляемое функцией f(z), переводит бесконечно малую окрестность точки z0D в подобную окрестность точки 0 = f(z0) ∈ G, поворачивая её на угол α и растягивая в k раз.

    Убедимся в этом. Из (4.7) следует

    Δ = Δz · k ·e + (Δz), при Δz → 0.

    Рассмотрим главное слагаемое: Δz · ke. Поскольку при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются,

    |Δ| ≈ kz|, arg |Δ| ≈ arg |Δz| + α.

    (4.8)

    Таким образом, функция f(z) растягивает в k раз окрестность точки z0 и поворачивает её на угол α.

    Пример 4.5

    Рассмотрим f(z) = 2iz. Её действительная и мнимая части функции u(x, y) = −2y и υ(x, y) = 2x. Легко убедиться, что на всей комплексной плоскости выполнены условия Коши–Римана: и , поэтому f(z) аналитична всюду на . При этом её производная, в силу следствия 4.1, равна

    .

    Таким образом, эта функция поворачивает комплексную плоскость на угол и растягивает её в 2 раза.

    7/18

    5 Геометрический смысл аргумента и модуля производной аналитической функции

    Лекция 3

    Геометрический смысл аргумента и модуля производной аналитической функции. Восстановление аналитической функции по ее действительной или мнимой части.

    Рассмотрим комплекснозначную   дифференцируемую в точке t и некоторой ее окрестности функцию действительной переменной z(t).

    Наличие ненулевой производной  означает наличие касательной к графику функции с углом наклона к действительной оси, равным .

    Рассмотрим теперь комплекснозначную аналитическую функцию комплексной переменной  . Пусть , где  — действительное число. Тогда  — комплекснозначная  функция действительной переменной z(t), дифференцируемая в точке t и некоторой ее окрестности.

    Касательная к графику функции, по рассмотренному выше, имеет угол наклона к действительной оси равный .

    По теореме о сложной функции , поэтому

    . Следовательно,  — аргумент производной аналитической функции . имеет смысл угла поворота касательной к кривой в точке при ее отображении посредством функции .

    Так как , , то   — модуль производной аналитической функции имеет смысл коэффициента растяжения при отображении посредством функции . Все это справедливо в тех точках, в которых производная отлична от нуля.

    Если две кривые отображаются посредством аналитической функции  , то угол наклона  касательной к каждой кривой изменяется в точке z на один и тот же угол , поэтому углы между кривыми сохраняются при отображении посредством аналитической функции (в тех точках, в которых ее производная отлична от нуля).

    Отображение, сохраняющее углы между кривыми, называется конформным. Поэтому отображение посредством аналитической функции (в тех точках, в которых ее производная отлична от нуля) является конформным.

    Пример. Линейное отображение  (), как было показано выше, сводится к повороту на угол  и растяжению в  раз.

    Восстановление аналитической функции по ее действительной или мнимой части.

    Пусть задана функция , требуется определить, может ли она быть действительной частью некоторой аналитической функции , а если может, то восстановить эту функцию.

    Та же задача может быть поставлена относительно мнимой части. Пусть задана функция , требуется определить, может ли она быть мнимой частью некоторой аналитической функции , а если может, то восстановить эту функцию.

    При решении этих задач сначала надо проверить, существует ли такая аналитическая функция

    Справедлива теорема. Действительная и мнимая части аналитической функции есть функции гармонические (т.е. удовлетворяют уравнению Лапласа).

    Доказательство. Если  — функция аналитическая, то выполнены условия Коши – Римана  . Дифференцируем частным образом первое равенство по x, второе по y и складываем. Получим , поэтому функция  — гармоническая. Дифференцируем частным образом первое равенство по y, второе по x и вычитаем из первого равенства второе. Получим , поэтому функция  — гармоническая.

    Следовательно, если функция  или функция  не являются гармоническими, то аналитическую функцию построить нельзя.

    Пусть функция  и функция  — гармонические функции. Покажем, как можно  восстановить аналитическую функцию по известной действительной части .

    Восстановление функции по  аналогично.

    1 способ.

     

     Сравнивая оба выражения, определяем . Теперь .

    Замечание. При восстановлении по  функция восстанавливается с точностью до действительной постоянной, а не мнимой.

    2 способ.  (как в первом способе). Если при интегрировании второго условия Коши – Римана возникают проблемы, то можно продифференцировать полученное соотношение по x и приравнять известной функции.

    . Решая это дифференциальное уравнение, получим  , +С, .

    3 способ. В первых двух способах функция восстанавливается как функция x, y. Гораздо приятнее получить ее в виде f(z). В третьем способе используется формула для производной . Так как функция  известна, то  определяется как функция (x, y). Функцию определяем по формуле

     .

    Пример. Задана функция =. Проверить, можно ли восстановить аналитическую функцию с такой действительной частью. Если возможно, то восстановить.

    Проверьте самостоятельно, что заданная функция является гармонической.

    1 способ.  

    .

    Сравнивая эти выражения, имеем ,

    . Поэтому  + С i = .

    2 способ.

    . ,

    Поэтому  + С i = .

    3 способ.

     . Здесь С – комплексное число.

    «Неравенства, содержащие модуль»

    Неравенства, содержащие переменную под знаком модуля

    с

    • Определение модуля числа.
    • Геометрический смысл модуля числа а?
    • Геометрический смысл выражения│ х-а │?

    Определение модуля

    | a | =

    Модулем действительного числа а называется само это число, если оно неотрицательное, и противоположное ему число, если данное число отрицательно.

    a, если a ≥ 0

    -a , если a

    Из определения модуля следует:

    Геометрический смысл модуля

    A1

    A

    x

    -a

    a

    0

    OA=O А

    | a |= |- a |

    1

    Модуль – расстояние от начала отсчета на координатной прямой до точки, изображающей число.

    Геометрический смысл модуля выражения│ х-а │

    x

    х

    a

    0

    есть расстояние между точками x и a на координатной прямой .

    Устная работа

    • Найдите |3,6|, |0|, |-5|, | √ 7 – 3 |.
    • Найдите |3,6|, |0|, |-5|, | √ 7 – 3 |.
    • Найдите |3,6|, |0|, |-5|, | √ 7 – 3 |.
    • Назовите модуль какого числа равен: 7, 2, 1, 0 ,5 , 6
    • Решите уравнения:
    • |х|=3 |х|=0 |х|=-3 |х|=х
    • |х|=3 |х|=0 |х|=-3 |х|=х
    • |х|=3
    • |х|=0
    • |х|=-3
    • |х|=х

    Решение уравнений

    Решите самостоятельно:

    1. |х|= 2,6

    х= 2,6 или х=- 2,6

    Ответ: -2,6 ; 2,6

    2. + 5 |= 3

    х + 5 = 3 или х + 5 =- 3

    • 1. |х|= 2,6 х= 2,6 или х=- 2,6 Ответ: -2,6 ; 2,6 2. + 5 |= 3 х + 5 = 3 или х + 5 =- 3
    • 1. |х|= 2,6 х= 2,6 или х=- 2,6 Ответ: -2,6 ; 2,6 2. + 5 |= 3 х + 5 = 3 или х + 5 =- 3

    х= 3-5 х= -3 -5

    х= -2 х= -8

    Ответ: -8 ; -2

    |2х-5|=7

    |6-2х|=8

    |х+3|=0

    |3х+2|= -3

    • |2х-5|=7 |6-2х|=8 |х+3|=0 |3х+2|= -3
    • |2х-5|=7 |6-2х|=8 |х+3|=0 |3х+2|= -3

    Проверка

    |2х-5|=7

    х=6 ,х=-1

    |6-2х|=8

    х=-1 х=7

    |х+3|=0

    х=-3

    |3х+2|= -3

    Нет решений

    • |2х-5|=7 х=6 ,х=-1 |6-2х|=8 х=-1 х=7 |х+3|=0 х=-3 |3х+2|= -3 Нет решений
    • |2х-5|=7 х=6 ,х=-1 |6-2х|=8 х=-1 х=7 |х+3|=0 х=-3 |3х+2|= -3 Нет решений

    Решение неравенств

    |х| ≤ a

    Решение:

    x

    a

    -a

    — a ≤ х ≤ a

    x ͼ [ -a; a ]

    Решение неравенств

    |х| ≥ a

    Решение:

    x

    a

    -a

    х ≤ -a ; x ≥ a

    x ͼ (- ; -a ] U [a; + )

    Решение неравенств

    |х| ≥ a

    |х| ≤ a

    Решение:

    Решение:

    x

    x

    a

    -a

    a

    -a

    — a ≤ х ≤ a

    х ≤ -a ; x ≥ a

    x ͼ [ -a; a ]

    x ͼ (- ; -a ] U [a; + )

    Неравенства с модулем

    Решить неравенство: |x — 1 |

    х

    Х

    О

    1

    4

    3

    1

    4

    3

    2

    2

    -2

    -6

    -5

    -4

    -3

    5

    2

    3

    4

    1

    0

    -1

    |x — 1 | = ρ (x; 1 )

    -3

    Неравенства с модулем

    Решить неравенство: |x — 1 |≤4

    Решить неравенство: |x — 1 |

    Х

    О

    1

    4

    3

    1

    4

    3

    2

    2

    -2

    -6

    -5

    -4

    -3

    -1

    5

    2

    3

    4

    1

    0

    |x — 1 | = ρ (x; 1 )

    -3≤x≤5

    3 Х О 1 2 1 3 3 2 5 -6 -5 -4 -3 -2 -1 3 4 1 0 2 |x + 2| = ρ (x;-2) x1 Закрь «

    Неравенства с модулем

    Решить неравенство: |x + 2 | 3

    Х

    О

    1

    2

    1

    3

    3

    2

    5

    -6

    -5

    -4

    -3

    -2

    -1

    3

    4

    1

    0

    2

    |x + 2| = ρ (x;-2)

    x1

    Закрь

    6 |х-6| |х+5| ≥ 2 |х+1| ≤ 2 «

    Решите неравенства:

    • |х|
    • |х| 6
    • |х-6|
    • |х+5| ≥ 2
    • |х+1| ≤ 2
    2 х+5 2 x2-5 х -3 | 6 х+ 1 | — 2 -3 -1/2 «

    Проверка

    • Решение:
    • Решение:

    -5

    1

    7

    х+5 2

    x2-5

    х -3

    — 2

    -3

    -1/2

    Дополнительные задания

    При каком b верно равенство?

    а) | b | =- b

    б) | b+ 4 | = b +4

    в) | b- 5 | = 5 -b

    г) |6- b |

    =

    1

    b-6

    1). С какими неравенствами мы познакомились сегодня на уроке?

    2). Сколько видов таких неравенств мы сегодня узнали?

    3). Всегда ли такие неравенства имеют решения?

    4). Как в таком случае мы поступаем?

    Д/З

    • Теория (выучить теоретические основы : определение модуля, его геометрический смысл, вид изученных неравенств и способы их решения).
    • С.49 №206 (1,2)

    Урок окончен, молодцы!

    ag. Алгебраическая геометрия — геометрическая характеристика алгебр Риса в категориях без выбора

    Прежде чем задать свой вопрос, сделаю оговорку: теоретик категорий во мне хотел бы, чтобы я задавал этот вопрос в более общем виде, но я ограничу свой кругозор, поскольку на самом деле мне нужна некая геометрическая интуиция.

    Пусть $ R $ — коммутативное кольцо. $ R $ -модуль $ \ mathbb Z $ -фильтрованный представляет собой диаграмму $ \ cdots \ hookrightarrow X _ {\ leq -1} \ hookrightarrow X _ {\ leq 0} \ hookrightarrow X _ {\ leq 1} \ hookrightarrow \ dots $, где каждый $ X _ {\ leq i} $ является $ R $ -модулем, а каждое отображение является включением. {\ pm 1}].i x $ для $ x \ in X _ {\ leq i} $.

    Тогда алгебра Риса интерполирует между $ X $ и $ \ operatorname {gr} (X) $ в следующем смысле: $$ \ operatorname {Rees} (X) / (\ epsilon = 1) = \ operatorname {Rees} (X) \ otimes_ {R [\ epsilon]} R [\ epsilon] / (\ epsilon-1) \ cong X $$ $$ \ operatorname {Rees} (X) / (\ epsilon = 0) = \ operatorname {Rees} (X) \ otimes_ {R [\ epsilon]} R [\ epsilon] / (\ epsilon) \ cong \ operatorname { gr} (X) $$ Здесь знаки «$ = $» являются определениями, а знаки «$ \ cong $» — каноническими изоморфизмами. Первое из них должно быть совершенно очевидным; второй — важный расчет.1 $, возникающие как алгебры Риса фильтрованных модулей, являются в точности $ \ mathbb G_m $ -эквивариантными векторными расслоениями.

    Другими словами, над полем всегда существуют изоморфизмы между $ X $ и $ \ operatorname {gr} (X) $ (т.е. тривиализации пучка около $ 0 $). Существование таких изоморфизмов требует аксиомы выбора , которая гласит, что каждый эпиморфизм расщепляется. 1 $ является алгеброй Риса фильтрованного модуля?

    ак.1 _ {\ mathbb C}} $ не является проективным или даже сюръективным образом проективного.

    Но вы спросили об аффинной схеме, так что мы в порядке, но, возможно, тогда мы сможем просто ограничиться свободными разрешениями.

    Пожалуй, наиболее очевидная причина несвободного модуля — это скручивание. и, возможно, кто-то может иметь геометрическую интуицию на этот счет.

    Геометрическая интуиция о кручении состоит в том, что оно поддерживается в соответствующей (то есть не всей) подсхеме, вроде структурного пучка подсхемы, или нескольких копий $ \ oplus $ -ed вместе, или делает это для различных подсхем и объединяя их.Однако в резолюциях речь идет о замене секций на другие, а в случае кручения — поднятии их до внешней схемы. Возможно, это можно сделать только локально, но поэтому у нас есть снопы. Например, для структурного пучка подсхемы естественным первым шагом является подъем секций к структурному пучку и переход к идеальному пучку.

    Идеальные шкивы обычно не свободны, но по разным причинам. Если объемлющая схема редуцирована и неприводима, то идеальные пучки не имеют кручения, но это не означает, в общем, что они свободны.Например, идеальный пучок подсхемы коразмерности не менее $ 2 $ требует по крайней мере двух образующих вдоль подсхемы, которую он определяет, но он изоморфен структурному пучку везде, поэтому, в частности, его ранг равен 1. Наиболее значимое разрешение схемы Идеальная связка состоит в том, чтобы взять столько свободных элементов, сколько минимальное количество генераторов необходимо для точки, которая больше всего нуждается. Другими словами, первый шаг в разрешении идеального пучка заключается в том, сколько функций могут определять соответствующую подсхему.Затем следующий вопрос касается отношений между этими функциями и так далее.

    Я бы сказал, ясно, что чем дальше идет разрешение, тем труднее и труднее придавать смысл следующему шагу. Так что, возможно, лучше всего подумать об этом рекурсивно; каждая новая сизигия является первой сизигией предыдущей. Что у нас может быть какое-то смутное понимание. И хорошая новость заключается в том, что до тех пор, пока проективная размерность нашего модуля конечна, эти связки будут становиться все лучше и лучше, пока один из них не станет уже свободным.

    ag. Алгебраическая геометрия — Геометрическая интерпретация несвязных, некоконнективных цепных комплексов / спектров?

    Оговоримся, что

    1. Соединительные — т.е. неотрицательно- (гомологически) -градуированные — цепные комплексы имеют очень естественную геометрическую интерпретацию: по теореме Дольда-Кана они представляют собой способ мышления о симплициальных абелевых группах.

    2. Двойственно, кокосвязные, т. Е. Неположительно-градуированные, цепные комплексы имеют очень естественную геометрическую интерпретацию как комплексы функций на пространствах.

    Таким образом, мотивация для рассмотрения категории всех (неограниченных) цепных комплексов достаточно хороша — эта категория обеспечивает дом как для соединительных, так и для кокосвязных цепных комплексов, и имеет превосходные формальные свойства, такие как стабильность и хорошая теория двойственности.

    Однако эти мотивы формальные по своей природе — они не обеспечивают геометрическую интерпретацию в соответствии с пунктами (1) или (2) выше. По большей части, эти мотивации действуют «на один уровень выше», обсуждая свойства категории цепных комплексов.Я специально ищу что-то, что дает геометрический, естественный способ думать о индивидуальном цепном комплексе .

    Вопрос 1: Какая геометрическая интерпретация несвязных, некосвязных цепных комплексов является хорошей?

    Примечания:

    • Аналогичное обсуждение в более общем плане предполагает, что групповые $ E_ \ infty $ -пространства имеют естественную геометрическую интерпретацию, и требуют аналогичной «геометрической» интерпретации более общих спектров.Я был бы в равной степени доволен обсуждением в такой обстановке.

    • Точно я был бы рад обсуждению в контексте комплексов пучков разных вкусов.


    Предположение: Вот предположение об изображении, которое могло бы быть подходящим, основанное на моем понимании ответов Тайлера и Адила на этот вопрос и вдохновленное приведенным ниже комментарием Саната.

    • Общий спектр кольца $ E_ \ infty $ $ A $ можно представить как глобальные сечения $ A = \ Gamma (X, \ mathcal O_X) $ спектральной схемы $ X $ (обратите внимание, что структурный пучок $ \ mathcal O_X $ принимает значения $ \ Gamma (U, \ mathcal O_X) $ в связных кольцевых спектрах $ E_ \ infty $, когда $ U $ аффинно открыто, но его глобальные сечения могут быть несвязными).

      • Таким образом, гомотопические группы отрицательной размерности $ A $ можно рассматривать как измерение когомологий $ X $, то есть глобальной структуры того, как $ A $ склеивается из аффинных элементов. Гомотопические группы положительной размерности $ A $ можно рассматривать как своего рода нильпотентную утолщающую / бесконечно малую структуру $ X $ — или, возможно, лучше думать о них как о кодировании «стековой» части структуры $ X $.
    • Спектр $ M $ — это модуль над спектром $ E_ \ infty $ -кольца $ A = \ Gamma (X, \ mathcal O_X) $, поэтому нам следует думать о $ M = \ Gamma (X, \ mathcal F) $ как глобальные сечения квазикогерентного пучка на $ X $ (где значения $ \ Gamma (U, \ mathcal F) $ из $ \ mathcal F $ на аффинных открытиях $ U $ являются связными, но его глобальные сечения требуют не будет).

      • Таким образом, гомотопические группы отрицательной размерности $ M $ можно рассматривать как измерение когомологий $ \ mathcal F $, а гомотопические группы положительной размерности $ M $ можно рассматривать как бесконечно малые (или, скорее, » stacky «) структура $ \ mathcal F $.

    Вопрос 2: Следует ли иметь в виду эту картину, пытаясь геометрически думать о несвязных, некосвязных цепных комплексах / спектрах?

    Я думаю, что думаю о спектрах $ E_ \ infty $ более уверенно, чем об общих спектрах (или спектрах модулей) таким образом.

    Вопрос 3: Например, есть ли у нас $ KU = \ Gamma (X, \ mathcal O_X) $ для естественной (или даже канонической ) спектральной схемы $ X $?

    Анализ геометрического модуля: смысловая связь между метрикой и ориентиром в пространственной переориентации животных

    Целью данной статьи является обзор и оценка ряда теорий, предложенных для объяснения результатов использования геометрии в переориентации. Мы рассматриваем пять ключевых подходов и связанных с ними моделей и, в ходе анализа каждого подхода, пять ключевых вопросов.Во-первых, мы рассмотрим саму теорию модульности, недавно пересмотренную Ли и Спелке (Cognitive Psychology, 61, 152-176, 2010a; Experimental Brain Research, 206, 179-188, 2010b). В этом контексте мы обсуждаем вопросы, касающиеся основных различий между геометрией и элементами. Во-вторых, мы рассматриваем подход сопоставления взглядов (Stürzl, Cheung, Cheng, & Zeil, Journal of Experimental Psychology: Animal Behavior Processes, 34, 1-14, 2008). В этом контексте мы подчеркиваем возможность межвидовых различий, а также общности.В-третьих, мы рассматриваем ассоциативную теорию (Miller & Shettleworth, Journal of Experimental Psychology: Animal Behavior Processes, 33, 191-212, 2007; Journal of Experimental Psychology: Animal Behavior Processes, 34, 419-422, 2008). В этом контексте мы сосредотачиваемся на явлениях конкуренции киев. В-четвертых, мы занимаемся теорией адаптивной комбинации (Newcombe & Huttenlocher, 2006). В этом контексте мы сосредотачиваемся на обсуждении развития и влияния опыта. В-пятых, мы исследуем различные нейронные подходы, включая схемы, предложенные Doeller и Burgess (Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America, 105, 5909-5914, 2008; Doeller, King, & Burgess, Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America, 105, 5915-5920, 2008) и Шейниховичем, Чаварриагой, Стрёсслином, Арлео и Герстнером (Psychological Review, 116, 540-566, 2009).В этом контексте мы исследуем проблему нейронных субстратов пространственной навигации. Мы пришли к выводу, что ни один из этих подходов не может объяснить все известные явления, касающиеся использования геометрии при переориентации, и прояснить, каковы проблемы для каждого подхода.

    Алгебраическая геометрия — Геометрическое описание инъективных модулей

    Аналогом модуля $ M $ над кольцом $ A $ является (квазикогерентный) пучок модулей над схемой $ X $. Действительно, в случае, когда $ X = \ operatorname {Spec} A $ — аффинное многообразие, эти два понятия совпадают.Когда

    Первый момент: как можно представить себе связку $ F $ над $ X $? Что ж, вы можете взять соответствующее пространство étalé и представить его как пространство от $ p: E \ to X $, так что

    $$ F (U) \ simeq \ {e \ in E: p (e) \ in U \} $$

    Обратите внимание, что секции в этом случае являются $ R $ -модулями. Другими словами, вы всегда можете думать о связке как о связке секций. Классный способ думать о секциях — это своего рода «обобщенные функции», которые могут принимать более одного значения. 2 $ над $ \ mathbb {C} $: локальные секции в окрестности 1 — это в точности две функции $ \ sqrt {x}, — \ sqrt {x} $ .

    Другой набор геометрических примеров пучка — несмотря на то, что он менее общий и менее распространенный в алгебраической геометрии — это пучок решений заданного ограничения (как дифференциального уравнения): локально он может иметь множество решений, но это не обязательно верно. что они склеивают глобальное решение. Эта точка зрения полезна, потому что более распространено действие кольца $ R $ на пространстве решений. Например, если они обладают некоторой симметрией относительно действия группы и устойчивы для умножения на действительную константу, кольцо $ \ mathbb {R} [G] $ действует в пространстве решений; однако в этой ситуации гораздо естественнее иметь «непрерывную» группу симметрий (вроде вращений), и пространство решений рассматривается как модуль над ассоциированной алгеброй Ли.2 = х $.

    Второй момент: что значит быть инъективной связкой? Самым «изящным» следствием является то, что все его группы когомологий равны нулю (кроме нулевой, совпадающей с модулем).

    Интуитивно я думаю, что «иметь нулевую когомологию» все равно, что быть без дыр любой размерности. Конкретным воплощением этой интуиции является тот факт, что инъективная связка является «вялой» или «дряблой»: это означает, что любой локальный раздел расширяется до глобального раздела (читай: любое локальное решение расширяет tk глобальное решение!).n \ to I \ to 0 $$

    И что отображение из $ I $ в $ M $ равносильно выбору n элементов $ m_1, \ ldots, m_n \ in M ​​$, удовлетворяющих соотношениям, предписанным $ K $. Найти расширение до $ R $ означает найти такой элемент $ m \ in M ​​$, что $ f_j m = m_j $. Давайте посмотрим на простой пример: если вы возьмете идеал, порожденный одним элементом $ (f) $, для любого $ m_1 \ in M ​​$ можно найти такой элемент $ m $, что $ fm = m_1 $. Другими словами, у вас есть «» $ m = m_1 / f $, то есть модуль делится на . Для PID, такого как $ \ mathbb {Z} $, это эквивалентно инъективности.В общем, вы всегда можете найти «общий делитель», учитывая, что элементы удовлетворяют очевидным соотношениям, которым они должны удовлетворять. Если, например, $ R = \ mathbb {C} [x, y] $ и вам нужен элемент $ m $ такой, что $ xm = m_1, ym = m_2 $, необходимо, чтобы $ m_1, m_2 $ удовлетворяли $ ym_1 = xym = xm_2 $.

    Что касается шкивов, это не намного значительнее. Для идеала $ I = (f_1, \ ldots, f_r) $ это означает, что если некоторые глобальные секции $ m_1, \ ldots, m_r $ удовлетворяют соотношениям, аналогичным отношениям, которым удовлетворяют $ f_1, \ ldots, f_r $, вы всегда можно найти глобальную секцию $ m $ такую, что $ f_j m = m_j $.

    Модуль 3: Геометрия — пути к математике

    Все двухмерные (2D) и трехмерные (3D) объекты можно классифицировать в соответствии с их конкретными свойствами. Понимание этих форм и их свойств дает инструменты, которые помогают нам представлять и визуализировать наш мир.

    Практическое задание 1
    Общие 2D- и 3D-фигуры

    Следующее упражнение содержит некоторые основные 2D и 3D формы и некоторые их свойства.

    Щелкните здесь , чтобы перейти к упражнению.

    Быстрая викторина внизу этой веб-страницы дает некоторые отзывы.

    Учебное задание 2
    Четырёхугольники и диагонали

    Четырехугольники

    Многоугольник — это плоская фигура с как минимум тремя прямыми сторонами и углами (см. Геометрию BI2). Четырехугольник — это многоугольник с четырьмя сторонами.

    Вот два примера многоугольников.

    • Один выпуклый (все углы меньше 180 °).
    • Другой — вогнутый (один угол больше 180 °).

    Четырехугольник выпуклый

    Четырехугольник вогнутый


    Вышеупомянутые четырехугольники неправильные, так как все четыре стороны не одинаковой длины.

    Четырехугольники с четырьмя сторонами одинаковой длины — это правильные четырехугольники или формы.

    Например: квадрат — это правильный четырехугольник.

    Какая из следующих геометрических фигур также является правильным четырехугольником?

    Воздушный змей

    Ромб

    Прямоугольник


    Нажмите здесь , чтобы проверить свой ответ

    Диагонали

    Линии, соединяющие несмежные углы или вершины многоугольника, являются диагоналями.

    Перейдите на веб-страницу GeoSET (Университет штата Оклахома), чтобы узнать больше о диагональных свойствах различных четырехугольников.

    Обратите внимание: заявлено, что кайт не имеет диагоналей, перпендикулярных пополам. Хотя у кайта есть перпендикулярные диагонали, образующие четыре прямых угла в месте их пересечения, только одна из диагоналей делит другую пополам (делится на две равные части).

    Практическое задание 2
    Четырехугольники

    Сколько разных четырехугольников можно составить, соединив точки на круге (щелкните ссылку ниже из NRICH enriching Mathematics)?

    Четырехугольники

    Щелкните «Начало работы» в левой части веб-страницы, чтобы распечатать копию круга.
    Для получения дополнительных идей нажмите «Решение».

    Учебное задание 3
    Полигоны и углы

    Четыре угла четырехугольника равны 360 °. Это легко увидеть в квадратах и ​​прямоугольниках, которые имеют четыре прямых или квадратных угла, каждый размером 90 ° (4 x 90 ° = 360 °)

    А как насчет других четырехугольников, например, неправильных ?

    Их четыре угла в сумме составляют 360 °?

    Вот способ узнать:

    Нарисуйте различные четырехугольники, оторвите четыре угла и соедините их вместе, как показано на рисунке ниже.Четыре угла (угла) подходят друг к другу, чтобы сделать полный оборот на 360 °.

    Здесь углы воздушного змея оторваны, а углы соединились. Они равны 360 °, поэтому змей представляет собой неправильный четырехугольник.

    Используйте ту же стратегию отрыва углов, чтобы узнать, сколько градусов в треугольнике, обязательно попробуйте все три типа треугольников, рассматриваемых в учебном объекте 1A: общие 2D и 3D формы.

    Расширить это на другие правильные и неправильные многоугольники, такие как…

    Многоугольник

    Количество сторон

    Сумма внутренних углов

    треугольник

    3

    180 °

    четырехугольник

    4

    360 °

    пятиугольник

    5

    540 °

    шестигранник

    6

    720 °

    семиугольник

    7

    900 °

    восьмиугольник

    8

    1080 °

    декагон

    10

    1440 °

    двенадцатигранник

    12

    1800 °

    Учебное задание 4
    Площадь параллелограммов и треугольников

    Площадь — это двумерное пространство внутри области.Фигуры с разными размерами или периметрами могут иметь одинаковую площадь.

    Параллелограмм — четырехсторонняя плоская фигура, противоположные стороны которой параллельны.

    Вот несколько четырехугольников (четырехугольников).

    Все четыре параллелограмма, потому что противоположные стороны параллельны.

    квадрат

    прямоугольник

    ромб

    параллелограмм

    площадь параллелограмма

    0

    (широта) обычно является первым формальным методом, которому знакомятся студенты.


    Площадь синего прямоугольника на диаграмме ниже составляет 12 единиц 2 или 12 квадратных единиц (4 x 3).

    Площадь фиолетового квадрата составляет 16 единиц 2 , или 16 квадратных единиц (4 x 4).

    Площадь желтого прямоугольника также составляет 16 единиц 2 , или 16 квадратных единиц (2 x 8).

    Умножение длины и ширины дает тот же результат, что и счет квадратов.

    Площадь этого прямоугольника 46 м 2 или 46 квадратных метров (4 x 11,5).

    Чтобы найти площадь параллелограмма, важно понимать, что высота должна быть под прямым углом к ​​основанию (высота перпендикуляра).

    Представьте, что сдвиньте треугольный сегмент слева направо и поместите его в пространство справа от параллелограмма. На диаграмме ниже показано, как площадь параллелограмма совпадает с площадью прямоугольника, в который он был преобразован:

    Форма ниже будет преобразована в прямоугольник 16 x 12.Вот почему необходимо использовать перпендикулярную высоту.

    Площадь этого параллелограмма рассчитывается умножением 16 на 12.

    16 x 12 = 192 единицы 2


    Посмотрите следующее видео, чтобы увидеть это. Видео показывает, как знание того, как вычислить площадь прямоугольника, может позволить нам вычислить площадь треугольников и параллелограммов:

    Практическое задание 3
    Сети для рисования

    1.Нарисуйте еще две сети, которые можно сложить в куб.

    2. Нарисуйте сетку для прямоугольной призмы.

    3. Рассмотрим свойства цилиндра и нарисуем для него сеть.

    После того, как вы нарисовали сети выше, проверьте свою цилиндрическую сеть и исследуйте другие сети, используя эту ссылку из Illuminations — Resources for Teaching Math:

    Динамическая бумага

    1. Выберите «сети» на панели инструментов под словом «Инструкции».
    2.Выберите форму «цилиндр». Размеры должны появиться перед вами. Выберите см, а не дюймы.
    3. Нажмите «добавить», и вы увидите три двухмерных элемента, образующих цилиндр — два круга и прямоугольник.
    4. При нажатии на корзину изображение стирается.
    5. Изучите другие 2D-сети на предмет различных 3D-форм.

    Учебная деятельность 6
    Круги

    Круг — это плоская (2D) фигура или фигура. Его граница (окружность) всегда находится на фиксированном расстоянии (радиусе) от центра.Диаметр круга в два раза больше радиуса.

    http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/3/36/Pi_eq_C_over_d.svg

    Перейдите по следующей ссылке с веб-сайта Maths is Fun, чтобы узнать больше о круге:

    Круг


    Из приведенной выше ссылки вы могли бы обнаружить, что, когда вы разделите окружность на диаметр, вы получите 3,14159… что называется пи (π).
    Поскольку радиус составляет половину длины диаметра, имеет смысл, что длина окружности равна 2 x Радиус x π, обычно записывается как 2 π R.

    Упражнение 1:

    Щелкните следующую ссылку, чтобы просмотреть визуальное моделирование, которое поможет вам запомнить, что длина окружности в три с небольшим (3,14159…) раза больше диаметра или в шесть с небольшим раз (2 x 3,14159…) длины окружности радиус.

    Инструмент «Круг»

    из Ресурсы Illuminations для обучения математике

    Щелкните на синей букве d для диаметра, затем на видеокамере и посмотрите на окружность круга.
    Щелкните на красном значке диаметра r, затем на видеокамере и посмотрите на окружность круга.

    Упражнение 2:

    Надеюсь, вы найдете следующее видео весьма увлекательным, поскольку графика помогает продемонстрировать, как круг может быть преобразован в прямоугольник, демонстрируя, откуда берется формула для площади круга, π R2.

    Практическое задание 4
    Сетка для трехмерной формы — Цилиндр

    Вы делаете цилиндр, и у вас есть два круглых конца, каждый диаметром 400 мм.

    Вам нужно сконструировать тело, подходящее к концам цилиндра.

    • Какой 2D-формы будет тело?
    • Каких размеров могла бы быть эта форма, чтобы концы идеально сходились? (Вы можете выбрать любую высоту для вашего цилиндра).
    Расширенное мышление

    Следующий пятиугольник был разделен на треугольники путем нанесения диагоналей из одной вершины:

    Учитывая, что сумма внутренних углов в треугольнике равна 180 °, мы можем вычислить, что сумма углов в пятиугольнике равна 540 ° (3 x 180 °).

    Используя эту стратегию «треугольников», используйте аналогичные диаграммы, чтобы показать, как вычислить количество углов в

    Обратите внимание, что количество треугольников, созданных путем рисования всех диагоналей, на 2 меньше, чем количество сторон в многоугольнике, т.е. (n — 2). Сумма углов каждого треугольника равна 180 °, поэтому для любого многоугольника вы можете использовать уравнение для вычисления суммы внутренних углов любого многоугольника:

    Сумма внутренних углов = (количество сторон — 2) x 180 °
    Это соотношение между количеством сторон и суммой внутренних углов можно выразить следующим образом:

    s = (n — 2) 180 °, где:
    s = сумма внутренних углов.
    n = количество сторон многоугольника.

    Это может быть применено к многоугольнику с любым количеством сторон.

    Пример

    Для вычисления суммы углов 20-стороннего многоугольника:
    s = (20-2) x 180 °
    s = 18 x 180 °
    s = 3240 °
    Геометрия важна, потому что она связывает многие области математики, включая алгебру, измерения и данные.

    Практическое задание

    a) Используйте приведенную выше информацию о сумме внутренних углов, чтобы найти недостающий угол (x):

    б) Каков размер каждого угла в правильном 14-стороннем многоугольнике?

    Проверьте свое понимание 2D и 3D

    Этот модуль служит введением и, в зависимости от ваших предварительных знаний, пересмотром или объединением основных свойств форм.

    Эти геометрические свойства определяют, что делает фигуры одинаковыми и разными в математически важных аспектах.

    В этом разделе вы должны теперь понять

    • свойства форм
    • как рассчитать площадь форм

    Эти навыки помогут в развитии навыков дедуктивного мышления для формирования геометрических выводов.

    Перейдите на следующую вкладку

    A Sense Linking для метрической и ориентировочной информации в пространственной переориентации животных в JSTOR

    Abstract

    Дезориентированные дети могут использовать геометрическую информацию в сочетании с природной информацией, чтобы переориентировать себя в большом, но не в маленьком пространстве; отчасти похожие эффекты были обнаружены у нечеловеческих животных.Эти результаты требуют объяснения. Мы учили цыплят переориентировать, чтобы найти пищу в углу маленькой или большой прямоугольной комнаты с характерным признаком (синяя стена) — задача, аналогичная той, что используется с детьми. Затем мы протестировали цыплят после перемещения элемента на соседнюю стену. В большом вольере цыплята выбирали угол, который поддерживал правильное расположение призрачной реплики с точки зрения чувства, тогда как в маленьком вольере они выбирали угол, который сохранял правильное метрическое расположение стен по отношению к чувству.На основе этих результатов мы предлагаем простую модель, которая может объяснить влияние размера комнаты на пространственную переориентацию.

    Информация о журнале

    Psychological Science, ведущий журнал Ассоциации психологических наук, является одним из ведущих журналов в своей области, с рейтингом цитируемости / импакт-фактором, который помещает его в 10 ведущих психологических журналов мира. В журнале публикуются авторитетные статьи, представляющие интерес, по всем разделам научной психологии, включая поведенческие, клинические, когнитивные, нейронные и социальные науки.Помимо этих полноформатных статей, Psychological Science также предлагает краткие обзоры новых исследовательских разработок.

    Информация об издателе

    Сара Миллер МакКьюн основала SAGE Publishing в 1965 году для поддержки распространения полезных знаний и просвещения мирового сообщества. SAGE — ведущий международный поставщик инновационного высококачественного контента, ежегодно публикующий более 900 журналов и более 800 новых книг по широкому кругу предметных областей. Растущий выбор библиотечных продуктов включает архивы, данные, тематические исследования и видео.Контрольный пакет акций SAGE по-прежнему принадлежит нашему основателю, и после ее жизни она перейдет в собственность благотворительного фонда, который обеспечит дальнейшую независимость компании. Основные офисы расположены в Лос-Анджелесе, Лондоне, Нью-Дели, Сингапуре, Вашингтоне и Мельбурне. www.sagepublishing.com

    .

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован.

    2015-2019 © Игровая комната «Волшебный лес», Челябинск
    тел.:+7 351 724-05-51, +7 351 777-22-55 игровая комната челябинск, праздник детям челябинск