Задачи на углы треугольника. Видеоурок. Геометрия 7 Класс

Треугольник – это центральная фигура геометрии. Он обладает многими удивительными свойствами. Два этих свойства, касающихся углов, мы сейчас повторим.

Пусть дан треугольник  с внутренними углами , , .

Теорема утверждает, что сумма внутренних углов треугольника равна  (см. Рис. 1).

Рис. 1. Иллюстрация к теореме о внутренних углах треугольника

Это теорема о внутренних углах треугольника.

Следующая теорема о внешнем угле треугольника.

Внешний угол треугольника равен сумме двух других внутренних углов, не смежных с ним (см. Рис. 2).

Рис. 2. Иллюстрация к теореме о внешнем угле треугольника

Из того, что сумма внутренних углов треугольника 180 градусов, вытекает наличие трех видов треугольников.

Первый – это остроугольный треугольник .

, ,

Например: (см. Рис. 3).

В сумме углы составляют , каждый из них меньше .

Рис. 3. Остроугольный треугольник

Тупоугольный треугольник (см. Рис. 4)

 – угол

 тупой, т. е. лежит в пределах от 90 градусов до 180 градусов.

Например:

Тупым может быть только один угол.

Рис. 4. Тупоугольный треугольник

Прямоугольный треугольник (см. Рис. 5)

,

Например:

Рис. 5. Прямоугольный треугольник

Таким образом, мы рассмотрели все виды треугольников.

Теперь рассмотрим некоторые типовые задачи на углы треугольника.

Найдите угол  треугольника , если угол  равен 60 градусов, угол  равен 50 градусов (см. Рис. 6).

Рис. 6. Иллюстрация к задаче 1

Дано:

, , .

Найти: .

Решение

Ответ: .

Здесь мы воспользовались теоремой о внутренних углах треугольника.

Доказать, что углы при основании равнобедренного треугольника – острые (см. Рис. 7).

Дано: , .

Доказать: ,

.

Доказательство

Рис.7. Иллюстрация к задаче 2

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны (по свойству равнобедренного треугольника): .

Пусть , тогда   

. Это противоречит тому, что .

Что и требовалось доказать.

В предыдущих задачах фигурировали только внутренние углы треугольника. В следующей задаче присутствует внешний угол треугольника.

Найдите углы в треугольнике , если , внешний угол при вершине  равен 100 градусам (см. Рис. 8).

Дано:

, , .

Найти:, , .

Решение

Рис. 8. Иллюстрация к задаче 3

Данный треугольник равнобедренный по условию.

Вспомним, что внешний угол  и внутренний угол  – смежные углы и в сумме осоставляют . Один из них дан, значит, можно найти другой, а если треугольник равнобедренный, то углы при основании равны , а, зная эти два угла, мы можем найти и третий угол.

Ответ: ; .

Найти сумму углов при всех вершинах пятиконечной звезды (см. Рис. 9).

Дано:  – звезда.

Найти: .

Решение

Рис. 9. Иллюстрация к задаче 4

Рассмотрим треугольник . В этом треугольнике угол при вершине  равен , так как угол  в этом треугольнике – внешний для треугольника .

 по той же теореме для треугольника .

При сложении всех трех углов треугольника получим:

Значит искомая сумма равняется .

Ответ: .

Примечание: данная сумма верна для пятиконечной звезды любой формы, с любыми углами.

 

Список литературы

1. Погорелов А.В. Геометрия. Учебник для 7-9 классов. – 2-е изд. – М.: 2014 – 240 с.

2. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия 7. – 5-е изд. – М.: Просвещение.

3. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолова В.В. Геометрия 7 / В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев, В.В. Прасолова, под ред. Садовничего В.А. – М.: Просвещение, 2010.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет портал «Школьный помощник» (Источник)

2. Интернет портал «Гипермаркет знаний» (Источник)

3. Интернет портал «Фестиваль педагогических идей» (Источник)

 

Домашнее задание

1. Чему равен угол при основании равнобедренного треугольника, если угол при его вершине на  больше угла при основании?

2. Определите величины углов равнобедренного треугольника , если внешний угол угла  при основании  равен .

3. Определите величины углов треугольника , если .

Как решать задачи по геометрии 7 класса 🚩 как научиться решать геометрию 🚩 Образование 🚩 Другое 🚩 KakProsto.ru: как просто сделать всё

Автор КакПросто!

Вы начали изучать геометрию. Это новая для вас дисциплина, и вы поначалу можете испытывать трудности в её освоении. Не пугайтесь: пройдет некоторое время, и вы научитесь с легкостью решать любые геометрические задачи. Для приобретения необходимого навыка нужно лишь приложить немного усилий. Итак, как решать задачи по геометрии?

Статьи по теме:

Вам понадобится

• Учебник, тетрадь, ручка, карандаш, линейка, транспортир, циркуль, ластик

Инструкция

Внимательно прочитайте условие задачи.

Сделайте чертеж. Отметьте на чертеже то, что вам дано: длины сторон, величины углов. Если в условии задачи сказано, что какие-то отрезки равны, поставьте на них одинаковые штрихи. Равные по величине углы отмечайте одинаковыми дужками: одинарными, двойными, волнистыми. Углы разных величин выделяйте разными дужками.

Исследуйте фигуры, представленные в задаче. Вспомните их определения и свойства.

Определите тему, к которой относится ваша задача. Освежите в голове теоретический материал по этой теме, повторите основные теоремы. Рассмотрите примеры решения задач по этой теме. В задачах, приводимых в учебнике в качестве примеров, часто рассматриваются принципиальные вопросы, которые вы должны знать.

Если вы чувствуете себя в теме достаточно уверенно, приступайте к решению задачи. Начните с того, что требуется найти или доказать. Подумайте, каким путем это можно сделать. То есть, решайте задачу «с конца».

Если вы не видите путей решения задачи, попробуйте найти хоть что-нибудь, используя имеющиеся данные. Возможно, так к вам придет идея, как решать задачу.

Полезный совет

Не увлекайтесь «устными» доказательствами. Записывайте решение задачи как можно более подробно, если не оговорено иное. Некоторые вещи могут казаться вам очевидными, но всё равно прописывайте их. Так у вас будет отрабатываться навык, вы лучше запомните идею.

Источники:

• задачи по геометрии 7 класс

У меня часто спрашивают: «Как понять геометрию 7 класса?» | Геометрия

У меня часто спрашивают: «Как понять геометрию 7 класса?» | Геометрия — просто!

       У меня часто спрашивают: «Как понять геометрию 7 класса?»
 Из своего опыта могу сказать, что любое дело требует от каждого из нас в первую очередь изучения теории. И только потом, понимая, о чём идёт речь, можно приступать к практике.
      Так же и с геометрией. В первую очередь необходимо понять и изучить её определения, теоремы, а затем начинать регулярные, именно регулярные действия по решению задач.
       Например, если не понять на рисунках или чертежах, а затем не выучить определения смежных и вертикальных углов, то вряд ли можно будет решить хоть одну задачу с ними.
       А ведь определение совсем простое: если нам даны две пересекающиеся прямые, то они образуют четыре угла.  Те углы, которые имеют общую сторону, называются смежными, а те, которые не имеют общих сторон — вертикальные.
       На данном рисунке углы  a и b, a и c, c и d, d и b  —  смежные.
А углы  a и d, c и b   — вертикальные.
Смежные углы в сумме составляют 180 градусов, а вертикальные углы равны между собой.
       Теперь, зная только эти определения и видя рисунок, мы можем начать решать задачи на смежные и вертикальные углы.

Задача 1.  На прямой АВ взята точка С и из неё проведён луч СD таким образом, что угол ACD в 4 раза больше, чем угол  BCD. Определить величину этих углов.
       Решение: Пусть угол BCD будет Х, тогда  угол ACD будет 4Х.  В сумме эти углы составляют 180 градусов.
Значит, имеем уравнение: Х+4Х = 180  5Х=180  Х= 36.   4Х= 36*4 = 144.
Ответ: угол BCD = 36 градусов.   Угол ACD = 144 градуса.

Задача 2. Определить 2 смежных угла, один из которых на 20 градусов больше другого.
      Решение: Пусть один угол равен Х, тогда другой равен Х+20.
Составляем уравнение Х+Х+20 = 180  2Х+20 = 180     2Х=180 — 20   2Х=160   Х=160/2   Х=80.
Первый угол равен 80 градусов, тогда второй — 80 + 20 = 100 градусов.

Задача 3. Даны две пересекающиеся прямые.  2 угла, образованных этими прямыми относятся как 2:6. Найти остальные углы.
      Решение: Если два угла относятся как 2:6, то это смежные углы. Ведь углы вертикальные равны и относятся друг к другу как 1:1.  Итак, первый угол равен 2Х, второй 6Х. В сумме они дают 180 градусов.
Имеем: 2Х+6Х=180  8Х=180  Х=180/8 = 22,5 градуса.
Первый угол равен 22,5*2 = 45 градусов, второй 22,5*6 = 135 градусов, третий = 45 градусов, четвёртый = 135 градусов.

Задача 4. Один из четырех углов, который образован при пересечении двух прямых, равен 54 градуса. Определить остальные углы.
       Решение:  Ещё один угол, как вертикальный будет равен 54 градуса. Смежные углы с углом в 54 градуса будут равны 180-54 = 126 градуса.
Ответ: 1-й угол 54, 2-й угол 54, 3-й угол 126, 4-й угол 126.

Задача 5. 2 прямые пересекаются в точке О. Сумма двух углов равна 220 градусов.  Определить все углы.
       Решение: Если сумма углов равна 220 градусов, то это углы вертикальные, ведь если бы они были смежными, тогда их сумма была бы равна 180 градусов.
А если это углы вертикальные, то они равны. Значит, каждый из них равен 220:2 = 110 градусов.
Смежные с ними углы равны 180-110 = 70 градусов.
Ответ: 110, 110, 70, 70.

Задача 6. Данный угол и смежные с ним составляют в сумме 293 градуса. Найти все углы.
       Решение:    Если три угла в сумме равны  293 градуса, то, поскольку все четыре угла в сумме  равны 360 градусов,  четвёртый угол будет равен 360-293 = 67 градусов.
Смежные с ним будут равны 180-67 = 113 градусов. А первый, как вертикальный, равен четвёртому и равен 67 градусов.
Ответ: 113, 113, 67, 67.

В следующий раз мы продолжим отвечать на вопрос: «Как понять геометрию 7 класса».

 

Вам так же будет интересно:

Оставить комментарий

Сравнение отрезков и углов. Геометрия, 7 класс: уроки, тесты, задания.

1.	Равные фигуры Сложность: лёгкое	1
2.	Сравнение отрезков Сложность: лёгкое	3
3.	Биссектриса угла Сложность: лёгкое	3
4.	Серединная точка отрезка Сложность: среднее	3
5.	Свойство биссектрисы Сложность: среднее	7
6.	Число отрезков Сложность: сложное	3

Учебно-методический материал по геометрии (7 класс) на тему: 7 класс Геометрия Задачи к зачету Смежные и вертикальные углы

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

презентация по геометрии в 7 классе по теме:»Смежные и вертикальные углы»

Для изучения темы «Смежные и вертикальные углы» предложены задачи и самостоятельная работа. К задачам предложены готовые чертежи. Задачи можно применять для письменного и устного решения….

7класс Геометрия Решение задач по теме «Смежные и вертикальные углы. Перпендикулярные прямые».

7класс Геометрия Решение задач по теме «Смежные и вертикальные углы. Перпендикулярные прямые»….

Лабораторная работа на уроке геометрии в 7 классе «Смежные и вертикальные углы»

В разработке дается план проведения лабораторной работы по геометрии в 7 классе по теме «Смежные и вертикальные углы», задания для самостоятельносго выполенния учащимися….

«Решение задач по теме «Смежные и вертикальные углы»

Решение задач по теме « Смежные и вертикальные углы». 7 класс. Урок является заключительным по теме. Учителю важно повторить теоретический материал, потому что он необходим для решения задач. …

Зачет по геометрии в 7 классе по теме «Смежные и вертикальные углы»

Данный учебно-методический материал призван проверить уровень усвоения знаний обучающихся по геометрии в 7 классе после изучения темы «Смежные и вертикальные углы»….

7 класс. Домашнее задание к теме: «Смежные и вертикальные углы».

7 класс. Домашнее задание к теме: «Смежные и вертикальные углы». Геометрия. Задачи на готовых чертежах, 7-9 классы…

7 класс Геометрия Вопросы к зачету Смежные и вертикальные углы

Материал к зачету по геометрии Смежные и вертикальные углы…