Крах геометрии в школе: что происходит с предметом

Школу и современный подход к образованию часто критикуют, обвиняют в низком качестве и развитии шаблонного мышления у детей. Наш блогер, опытный педагог Галина Прядунец, объясняет, почему сейчас сложно научить геометрии и чем плохи тесты.

Привет, учитель! Рассылка

Для тех, кто работает в школе и очень любит свою профессию

Пожалуй, трудно найти родителя школьника или будущего школьника, кто не слышал бы страшилку «Геометрия — это ужас, получить по ней пять нереально, её никто не понимает». Что случилось с предметом и с детьми, его изучающими? В поисках ответа на этот вопрос я предлагаю оставить за скобками сокращение часов на геометрию в общей программе математики, несовершенство учебников и так далее и сосредоточиться на аспекте восприятия предмета ребёнком.

Начнём с начальной школы. Чем, кроме учебников, оснащён ребёнок по всем предметам? Правильно, рабочими тетрадями.

Что такое рабочая тетрадь? Это полиграфическое издание с рабочим материалом по изучаемой теме. Ребёнку предлагают набор готовых рисунков, схем, таблиц, в которых он должен сделать пометки, вписать нужное, убрать лишнее и так далее.

Работая с такой тетрадью, ребёнок не испытывает нужды задуматься о способах переработки информации по изучаемой теме, они ему уже предложены. Ему не нужно трудиться над созданием образа, информационной модели изучаемого материала. «Всё уже продумано за вас».

Иногда эта модель бывает сложнее самого изучаемого материала, но и ребёнок в долгу не останется: просто не станет её понимать, поставит крестики наугад. Главное не в этом. Какая бы хорошая рабочая тетрадь ни была, она чужая для ребёнка. Эти схемы, таблицы, связи рисовал не он, он их только использовал, готовые.

Давайте вспомним, как решали задачи в начальной школе в середине прошлого века. Решение начиналось с произвольной схемы. На движение — рисовали машинки, идущих пешеходов, на части — груши, яблоки. Коряво, схематично, но, пока рисовали, обдумывали. Мне возразят: «Да пока он будет рисовать, он и одну задачу не решит, а с рабочей тетрадью и десяток осилит». Вопрос в том, как осилит. По шаблону, не задумываясь?

На мой взгляд, шаблонное мышление — главный бич современной системы образования

Дело дошло до того, что школьники целью образования ставят не научиться предмету так, чтобы решить любую задачу в нужной области, да ещё и обрадоваться, что решение нашёл именно ты, а сдать ОГЭ и ЕГЭ, а для этого выучить как можно больше типовых задач и тестов.

«При чём же здесь геометрия?» — спросите вы. А при том, что из всех разделов математики именно геометрия самая «загадочная» наука, в том смысле, что решение почти каждой задачи похоже на разгадывание загадки.

Нестандартных подходов можно и нужно найти много, а ход решения иногда надо просто почувствовать, построить цепочку доказательства и любоваться ею. Но нет, не встраивается это в систему образования.

С начальной школы и до старшей доминирует тестовый контроль знаний. Когда выбрал правильный ответ из предложенных вариантов или цифру ответа у соседа списал и не нужны никакие стройные цепочки и красивые доказательства.

Мне возразят: «А как же рассуждения и доказательства, которые требуется привести при решении геометрических задач в части С на ОГЭ и ЕГЭ по математике?» Статистика говорит, что 80% выпускников эти задачи не решают, около 60% даже не берутся. Спрашиваешь: «Почему?» Отвечают: «Геометрию с седьмого класса не понимаю». Вот такая геометрия.

На уроке информатики в седьмом классе дала тест с обязательным условием: при выборе правильного ответа писать объяснение, без него ответ не будет засчитан. Первая реакция: «Как это?» Потом: «Зачем? Ответ же дал». Убеждаю: «Если вы уверены в ответе, докажите, аргументируйте». В результате меньше 10% справились с задачей, а без дополнительного условия обычно больше 50%. Причина — шаблон работы с тестами такого подхода никогда не предусматривал.

Однажды увидев у коллеги при подготовке к уроку толстую папку готового раздаточного материала (таблицы, схемы, кроссворды), предназначенного на один урок, спросила: «Зачем так много?» — «Чтобы ребята больше успели». — «А зачем больше? Может, надо не больше, а лучше. Лучше усвоить, глубже понять».

В век информации человек, придавленный её количеством и непрерывным потоком, теряет к ней чувствительность. Ребёнку нужно научиться структурировать информацию, строить информационные связи, выделять главное и второстепенное. На этой основе строить систему обучения, запоминания формул или принципов их получения. Всеобщая интернетизация — это хорошо, но конспект, организованный учеником, во многом характеризует его умение самостоятельно работать с информацией.

А как вы думаете? Можно считать геометрию показателем определённого рода проблем современного образования?

Вы находитесь в разделе «Блоги». Мнение автора может не совпадать с позицией редакции.

Фото: Shutterstock (Just dance)

mel.fm

Геометрия в начальной школе

В программе традиционной начальной школы геометрический материал является составной частью курса математики. Он не выделяется в самостоятельный раздел, а включается в программу каждого года обучения. Но, к сожалению, изучается геометрический материал в основном на уровне знания-знакомства. Здесь никакие правила и определения не заучиваются, ученики практически различают геометрические фигуры, сравнивают их, изображают на бумаге, а многие геометрические понятия, такие как кривая линия, острый и тупой углы, виды треугольников и вовсе исключены из традиционных учебников.

Нами взят геометрический материал из традиционной программы, добавлено новое содержание и скорректирована программа с использованием учебников: “Математика в 1–4-х классах” – автор Л.Г. Петерсон, “Геометрия для младших школьников” издательство Томского университета. Согласно этой программы геометрия выделена как самостоятельный предмет. Составлено поурочное планирование из расчета 1час в неделю.

Сохраняется преемственность с традиционной программой по математике, но усиливается геометрическое содержание, что позволяет расширить геометрические представления и знания учащихся, развивать их пространственное воображение, техническое и логическое мышление, конструкторские умения.

Возникает вопрос: доступен ли этот материал для детей младшего школьного возраста?

Психологические исследования Л.С. Выготского, Л.В. Занкова, В.В. Давыдова и др. показывают, что усвоение данного материала должно базироваться на определенных психических процессах, основным из которых является восприятие. У детей старшего дошкольного возраста оно целостное, а не атоместическое. Кто может возражать против того, что восприятие является базой развития речи и на ее основе – творческого воображения? Таким образом, по Л.С.Выготскому, получаем собранную природой психологическую систему, как базу для введения геометрического материала: восприятие, плюс речь, плюс воображение, которое требует дальнейшего развития. Исходя из всего этого, выстраивается структура нашей программы и уроков на ее основе в виде триады.

Развитие восприятия требует введение геометрического материала, т.к. сам геометрический материал–это образы, это символы. Следовательно, вторая составляющая – это речь. Данные образы и символы являются моделью реальных объектов. Реальные объекты могут быть созданы нашими учениками в ходе моделирующей деятельности. Эти модели представлены понятиями (сторона, угол, треугольник, многоугольник и т.д.), которые естественным образом дети стараются расширить. А средством описания моделей является речь. Поэтому на уроках сначала вводим модели (геометрические образы), исследуя которые с помощью речи, дети работают в зоне ближайшего развития.

Третий компонент, развитие воображения, закладывается в непосредственной деятельности конструирования. Однако речь и в данном случае является средством развития учащихся. При этом творческая фантазия детей ничем не ограничена, содержание их воображения дети формулируют опираясь на научный понятийный аппарат и логические приемы мышления.

Такая структура программы и уроков подсказана тем, что учебная деятельность для детей младшего школьного возраста является ведущей, а моделирование с помощью знаковой и символической деятельности, является одной из составляющих учебной деятельности в совокупности с другими интеллектуальными умениями. Моделирующая, знаково-символическая деятельность – это те виды деятельности, с помощью которых ученики развивают память, внимание, творческое воображение.

Мы выделяем еще одну составляющую учебной деятельности младших школьников – это проектно-исследовательская деятельность. В зависимости от целей конкретного урока какая-либо составная учебная деятельность выходит на первый план.

Основная цель состоит в том, чтобы дать учащимся начальные геометрические представления, развить логическое мышление и пространственное воображение детей, сформировать умения узнавать геометрические фигуры и их части, собирать заданный объект из частей, делить геометрические фигуры на составные части, изображать фигуры на чертеже.

В соответствии с этим определяется конкретное содержание, основными положениями которого являются:

• преемственность с традиционным построением курса математики, что обеспечивает числовую грамотность учащихся, умение решать текстовые задачи, знакомство с величинами и их измерением;
• усиление геометрического содержания обеспечивает расширение геометрических представлений и знаний учащихся, развивает их пространственное воображение и логическое мышление. В программу входит знакомство с основными линейными, плоскостными и пространственными геометрическими фигурами и их свойствами. Расширение геометрических представлений и знаний используется для формирования у учащихся элементов технического мышления и конструкторских умений;
• обеспечивается формирование умений изображать на бумаге в форме чертежа сначала элементарных геометрических фигур, а затем конструируемые объекты или их части;
• активизируется творческое мышление, побуждает к поиску нестандартных математических задач.

Изложение геометрического материала проводится в наглядно-практическом плане. Работая с геометрическим материалом, дети знакомятся и используют основные свойства изучаемых геометрических фигур. Задания располагаются в порядке усложнения и постепенного обогащения новыми элементами конструкторского характера.

При первоначальном введении основных геометрических понятий (точка, линия, плоскость) используются нестандартные способы: создание наглядного образа с помощью рисунка на известном детям материале, сказочного сюжета с использованием сказочных персонажей, выполнение несложных на первых порах практических работ.

После введения одной из важнейших линейных геометрических фигур – отрезка – предусмотрена серия заданий на конструирование из отрезков одинаковой и разной длины. Первые задания направлены на выявление равных и неравных отрезков, на умение расположить их в порядке увеличения или уменьшения. Далее отрезки используются для изготовления силуэтов различных объектов на плоскости.

Учащиеся знакомятся с плоскими фигурами: треугольником, прямоугольником, квадратом, ромбом и др.; с геометрическими телами: кубом, цилиндром, шаром и др. и их элементами; развертками геометрических тел; с плоскостью; с кругом и окружностью, умением выполнять чертеж с помощью циркуля; получают представление о центре, радиусе, диаметре круга (окружности), а также о полукруге и кольце. Дети учатся решать задачи на нахождение периметра, площади и объема фигур; знакомятся и учатся работать с основными инструментами: линейка, угольник, циркуль и др.

Предусматривается знакомство с конструкциями из шашек и кубиков, выполнение чертежа конструкций, три их вида: спереди, сверху, слева. Дети учатся писать графические диктанты по клеточкам и по координатным шкалам.

В программе учитываются возрастные особенности детей и материал представляется в форме интересных заданий, сказочных путешествий, дидактических игр, игровых ситуаций, используются стихи, сказки, считалки, загадки, ребусы и т.д.

Мы предлагаем вашему вниманию два урока геометрии в 1-м и 2-м классах.

РАЗРАБОТКА УРОКА ПО ГЕОМЕТРИИ В 1-м КЛАССЕ (1–4)

Урок-исследование по теме: “Прямоугольный, остроугольный и тупоугольный треугольники”.

Тип урока: усвоение нового материала.

Форма урока: урок-исследование.

Цели урока:

• Обучающие: формировать понятие о прямоугольном, остроугольном, тупоугольном треугольниках; учить анализировать объекты;
• Развивающие: развивать речь, память, воображение, творческое мышление;
• Воспитывающие: учить выполнять работу аккуратно, уважать мнение других, жить в коллективе.

Оборудование:

• конверты:
  • с заданиями для “разминки”, графического диктанта;
  • с моделями углов;
  • игра “Пифагор”;
• карточки для индивидуальной работы;
• рисунки “Резиночки” и “Ластика”;
• таблицы с фигурами;
• фланелеграф;
• демонстрационный материал;
• ТСО.

ХОД УРОКА

1. Разминка. (На доске “Резиночка” с конвертом.)

– Ребята, как всегда мы наш урок начинаем с разминки. “Резиночка” предлагает внимательно рассмотреть фигуры и найти “лишнюю”. Назовите общий признак фигур.

а) (Незамкнутые)

б) (Наличие углов и сторон)

в) (Геометрические фигуры)

2. Графический диктант. (В конверте у “Резиночки”.)

Дети выполняют работу в тетрадях.

– 1 кл. вправо, 2 кл. вправо вверх по диагонали, 2 кл. влево, 2 кл. вправо вниз по диагонали, 1 кл. вправо и т. д. Продолжите узор до конца строки.

– Проверим. Что за линию мы начертили? Что вы можете о ней сказать? (Ломаная, незамкнутая, самопересекающаяся.)

3. Повторение.

– Какая фигура получилась при пересечении? (Треугольник.)

– Назовите ее признаки. (3 угла, 3 вершины, 3 стороны.)

– На прошлом уроке мы путешествовали по городу Треугольников, говорили о сторонах треугольника. Вспомните, из каких отрезков можно построить треугольник? ( а + в > с.)

– Как называются треугольники, у которых все стороны равны?

На доске группа треугольников, после ответа детей прикрепляется табличка “равносторонние”.

– Как называются треугольники, у которых две стороны равны? (“Равнобедренные”.)

– А если все три стороны разной длины? (“Разносторонние”.)

4. Тема.

а) – Сегодня мы вновь будем путешествовать по городу Треугольников с Ученым Ластиком. Отправляемся на улицу Углов. А какие углы вы знаете?

– Как можно получить прямой угол? А как проверить?

– Какой угол называется острым? Тупым?

б) – Сложите из счетных палочек прямой, острый и тупой углы.

– Проверьте друг друга.

Физминутка под музыку “Мы едем, едем, едем…”

в) – Возьмите конверт, высыпьте углы и разложите их по цветам. Попробуем из углов составить треугольники.

Дети складывают на парте, учитель – на фланелеграфе.

– Возьмем за основу прямой угол. Работаем с синими углами. Добавим к нему еще два прямых угла. Получился треугольник? Почему? Уберем 1 прямой угол. А теперь? Почему?

– Добавим к прямому углу тупой. Получился треугольник? Почему?

– Добавим к прямому углу два острых. Получился треугольник? Из каких углов мы его составили?

Вывод: треугольник, у которого 1 угол прямой и 2 острых, называется прямоугольным.

Дети повторяют правило в парах и хором.

г) Работа в парах.

– Возьмите зеленые углы. Берем за основу тупой угол. Добавьте еще два тупых. Скажите друг другу, получится ли треугольник? Почему? Оставьте два тупых угла. Может ли сейчас получиться треугольник? Почему? Добавьте к тупому 1 прямой угол. Получился? Почему? Добавим к тупому два острых угла. Получился? Из каких же углов мы смогли составить треугольник?

Зрительная проверка.

Вывод: треугольник, у которого 1 тупой и 2 острых угла, называется тупоугольным.

Дети повторяют в парах, хором.

д) Работа в группах.

– Сравните прямоугольный и тупоугольный треугольники. Что общего? Какой еще можно построить треугольник с помощью двух острых углов? Возьмите красные углы. Из каких углов вы построили треугольник?

Зрительная проверка.

Вывод: треугольник, у которого три острых угла, называется остроугольным.

Дети повторяют в парах, хором.

Физминутка.

е) Самостоятельная работа.

– Возьмите карточки, внимательно рассмотрите треугольники и прочитайте, из каких углов они построены. Самостоятельно подпишите название этих треугольников.

Зрительная проверка.

5. Игра “Пифагор”.

– Посмотрите, какой красивый город у нас получился. А чтобы треугольникам жилось спокойно, я предлагаю поселить здесь вот эту забавную собачку.

– Возьмите игру “Пифагор” и сложите собачку.

6. Итог.

– Какие же треугольники мы сегодня поселили в нашем городе? Что вы знаете о них?

Дети повторяют правила. Затем к доске выходят 3 ученика в шапочках с треугольниками и читают стихи.

Ты на меня, ты на него, На всех нас посмотри. У нас всего, у нас всего, У нас всего по три.

Три стороны и три угла И столько же вершин. И трижды трудные дела Мы трижды совершим.

Все в нашем городе – друзья, Дружнее – не сыскать. Мы треугольников семья, Нас каждый должен знать.

– Молодцы, ребята. Наш урок подходит к концу. Сегодня у нас появилось много новых друзей. Я надеюсь, что вы с ними подружитесь. А наше путешествие по городу Треугольников мы продолжим на следующем уроке. Урок окончен.

РАЗРАБОТКА УРОКА ПО ГЕОМЕТРИИ ВО 2-м КЛАССЕ (1–4)

Урок-моделирование по теме: “МНОГОУГОЛЬНИКИ”.

Тип урока: усвоение новых знаний.

Форма урока: урок-моделирование.

Цели урока:

• Обучающие: познакомить с понятием “многоугольник”, формировать внутренний план действий.
• Развивающие: развивать речь, память, внимание, мышление, воображение, творческие способности, познавательный интерес.
• Воспитывающие: воспитывать аккуратность, умение работать в группах, уважать мнение других.

Оборудование:

• карточки:
  • для тренировки памяти,
  • для индивидуальной работы,
  • для работы в парах;
• счетные палочки; демонстрационный материал; игра “Танграм”;
• рисунки “Резиночки” и “Ластика”;
• фланелеграф;
• цветные сигналы;
• ТСО.

ХОД УРОКА

1. Разминка.

– Ребята, как всегда урок мы начинаем с разминки. С нами путешествуют по стране Геометрии верные друзья Ученый Ластик и Резиночка.

а) Тренируем память. – Надо выложить узор по памяти.

2 сек на запоминание каждой строчки с последующей зрительной проверкой.

б) – Что общего?

После ответов детей появляются карточки “углы”, “стороны”.

в) Игры со счетными палочками. Работа в парах.

– Какую фигуру напоминает крышка стола? (Прямоугольник.)

– Возьмите 1 палочку и выложите на столе треугольник.

– Докажите, что это треугольник. (На доске появляется треугольник.)

– Какое минимальн

urok.1sept.ru

Геометрия: уроки, тесты, задания.

Аксиомы стереометрии

1. Аксиомы стереометрии и их простейшие следствия

Параллельность прямых и плоскостей

1. Параллельность прямых, прямой и плоскости

2. Взаимное расположение прямых в пространстве. Угол между прямыми

3. Параллельность плоскостей

4. Тетраэдр и параллелепипед

Перпендикулярность прямых и плоскостей

1. Перпендикулярность прямой и плоскости

2. Перпендикуляр и наклонные. Угол между прямой и плоскостью

3. Двугранный угол. Перпендикулярность плоскостей

Многогранники

1. Понятие многогранника. Призма

2. Пирамида

3. Правильные многогранники

Векторы в пространстве

1. Понятие вектора в пространстве

2. Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на число

3. Компланарные векторы

www.yaklass.ru

Основные проблемы и пути их решения при обучении геометрии в школе

Геометрия является одной из составляющих образовательного процесса. Целью обучения геометрии является развитие абстрактного мышления у детей. И учитель должен им в этом помочь и направить.

Школьники должны разбираться в основных понятиях предмета, научиться применять основные способы и методы решения задач. Особое значение имеют задания на доказательство. Задачи подобного типа помогают всестороннему развитию мышления, ведь нельзя доказать требуемое только расчетом.

СОВЕТ. Не бойтесь обращаться к учителю, если вам что то неясно. Непонимание одной темы повлечет за собой проблемы в другую, и потом труднее будет разобраться во всем.

Как показывает статистика — геометрия, как предмет, является одним из самых сложных в школе. С чем это связано и как решать эти проблемы?

Основные проблемы при изучении геометрии

• При изучении геометрии очень большое значение придается теории.
• Знать одну только теорию недостаточно. Часто учащиеся, не задумываясь, заучивают формулировку теоремы и ее доказательство, но при этом не имеют ни малейшего представления о ее применении. Не делайте так — разберитесь во всем до конца!
• Неумение построить чертеж. А ведь именно грамотно построенный чертеж — залог успеха при решении задачи, как минимум на 1/3.
• Школьники пытаются по своему чертежу делать предположения о каких-либо свойствах фигуры, не указанных в задании. Например, строят равнобедренный треугольник и начинают решение, отталкиваясь от свойств оного, хотя в задании такого условия нет.
• Школьники не способны построить цепь логических рассуждений, которая приведет к решению задания.
• Особенности психологического развития школьников в этом возрасте.

Геометрия — это предмет, не похожий ни на один из ранее изученных. В нем все основано на логических рассуждениях. Ознакомление с новыми понятиями, терминами, символикой. У учеников часто нет пространственного мышления. Отсутствует способность к обобщению.

Как решать проблемы и трудности в учебе

Чтобы преодолеть эти проблемы необходимо:

• Обучать предмету, используя наглядность и логику.
• Четкая подача темы. Все объяснения должны быть логичны, без разрывов от основного материала.
• Объяснение связать с реальными предметами. Необходимо представить практическое применение геометрии в жизни.
• Данный предмет развивает у школьников пространственное и логическое мышление, практическое понимание, поэтому надо сделать упор на воображение, реальность и логику.
• При выполнении решения школьником задачи у доски, нужно приучать проговаривать решение задачи.
• Решение задачи самостоятельно должно сопровождаться полным описанием действий.
• Для лучшего усвоения предмета давать задания на доказательства, используя метод от противного.

В геометрии нет ничего, что было бы хоть малозначительным. При изучении предмета также необходим дополнительный материал, который заинтересует школьников.

Если вы ученик, надеемся вам повезло с учителем геометрии, так как многое зависит именно от него. От правильной подачи материала, от умения заинтересовать предметом.

А если вам сложно даются вычислительные моменты, или вы все понимаете, но нужно сократить время на выполнении домашнего задания, рекомендую воспользоваться калькулятором дробей от MiroCalc.com. Он поможет вам решать все быстро и оперативно.

 

Материалы по теме:

Поделиться с друзьями:

Загрузка…

matemonline.com

Геометрия как одна из линий математического образования

«Геометрия как одна из линий математического образования»

Панина Е. А., учитель математики

первой квалификационной категории

Одной из важнейших задач школы является воспитание культурного, всесторонне развитого человека, воспринимающего мир как единое целое. Каждая из учебных дисциплин объясняет ту или иную сторону окружающего мира, изучает ее, применяя для этого разнообразные методы.

Геометрия – один из важнейших компонентов математического образования, необходимый для приобретения конкретных знаний о пространстве и практически значимых умений, формирования языка описания объектов окружающего мира, для развития пространственного воображения и интуиции, математической культуры, для эстетического воспитания учащихся. Изучение геометрии вносит вклад в развитие логического мышления, в формирование понятия доказательства.

В школе практически никто, за исключением особо одаренных и заинтересованных детей, не понимает, зачем учат геометрию. Школьники в основном аргументируют это тем, что эта наука абсолютно бесполезна, и совершенно никак не применима в реальной жизни.

На самом деле, как математика в целом, так и геометрия в частности, приносят огромную пользу, но не всегда это действие заметно сразу. Те школьники, которые в свое время учили геометрию и находили в этом толк, в студенческие годы оказываются более смышлеными, чем остальные, быстрее принимают решения, умеют просчитывать все в жизни на несколько шагов вперед и не требуют много времени, чтоб выходить из жизненных неурядиц. То есть, даже если в дальнейшем геометрия и не применяется как наука для изучения на ее основе новых предметов, то она несомненно полезна тем, что тренирует мозг и развивает логическое мышление!

Секрет заключается в том, что именно геометрия учит думать поэтапно, просчитывая каждый шаг, и объяснять каждое действие. Во многих книгах по современной психологии и бизнес обучении это умение раскладывания информации по полочкам, расписывания происходящего по этапам и планирования называют наиважнейшим для достижения успеха! А геометрия в школе учила именно этому. Ведь все доказывали теоремы и выводили формулы на основе уже имеющихся аксиом в свое время! Именно это и послужило огромным толчком к логическому мышлению и обдумыванию каждого шага по жизни.

В ряду учебных дисциплин, составляющих в совокупности школьный курс математики, геометрия играет особо важную роль. Эта роль определяется и относительной сложностью геометрии по сравнению с другими предметами математического цикла, и большим значением этого предмета для изучения окружающего мира.

Геометрия, являясь неотъемлемой частью математического образования, имеет целью обще-интеллектуальное и общекультурное развитие учащихся. Развитие учащихся средствами геометрии направлено на достижение научных, прикладных и общекультурных целей математического образования, где общекультурные цели обучения геометрии в первую очередь предполагают всестороннее развитие мышления детей. Геометрия, как учебный предмет, обладает уникальными возможностями для решения главной задачи общего математического образования – целостного развития и становления личности средствами математики.

Уникальность геометрии как учебного предмета заключается в том, что она позволяет наиболее ярко устанавливать связи между естественными представлениями об окружающих предметах и их абстрактными моделями; формировать мыслительные операции различных видов и уровней; учитывать индивидуальные особенности протекания психических процессов учащихся.

Геометрия – это раздел математики, являющийся носителем собственного метода познания мира, с помощью которого рассматриваются формы и взаимное расположение предметов, развивающий пространственные представления, образное мышление учащихся, изобразительно-графические умения, приемы конструктивной деятельности, т.е. формирует геометрическое мышление.«Особенность геометрии, выделяющая ее среди других наук вообще, состоит в том, что в ней самая строгая логика соединена с наглядным представлением. Геометрия в своей сущности и есть такое соединение живого воображения и строгой логики, в котором они взаимодействуют и дополняют друг друга». В соответствии с этим делается вывод о том, что преподавание геометрии в школе должно включать в себя три тесно связанных, но вместе с тем и противоположных элемента: логику, наглядное представление и применение к реальным вещам. Задача геометрии заключается в развитии у школьников трех соответствующих качеств: логического мышления, пространственного воображения и практического понимания.

В настоящее время изучение систематического курса геометрии начинается с 7 класса средней школы. Однако со многими геометрическими фигурами посредством практической деятельности дети знакомятся намного раньше. Это происходит уже на занятиях в детском саду и на уроках рисования, труда, математики в начальной школе.

Чтобы обеспечить преемственность обучающихся при переходе детей младшего школьного возраста в среднее звено основной школы необходимо:

1. узнавание геометрических фигур путем измерений и вычислений, перегибания и накладывания, вырезания и преобразования фигур.

2. умение решать задачи на вычисление площадей фигур, составленных из прямоугольников и квадратов и вычисление периметров этих фигур

3. должны быть хорошо сформированы умения и навыки в построении геометрических фигур с помощью чертежных инструментов: линейка, угольник, циркуль, транспортир.

Ведение новой формы экзамена (в форме ЕГЭ) разделило образовательную общественность на два, а то и на три лагеря, которые за или против данной формы экзамена. Я не могу отнести себя ни к одной из этих групп, я – учитель-практик, и моя задача – подготовить всех учащихся к экзамену. И вот, готовя учащихся к математике, а не отдельно к алгебре и началам анализа, я увидела, что у учащихся формируется целостное представление математики, проявляется интерес к предмету, формируется осознанная мотивация изучения предмета.

Геометрия сейчас очень востребована для обучения, особенно при подготовке к сдаче ЕГЭ и ОГЭ. Количество заданий, за последние годы, по геометрии неуклонно возрастает.

Преподавая в старших классах, я увидела, что учащиеся имеют очень большие затруднения в изучении геометрии. На экзаменах по математике задача по геометрии является самым трудным заданием. Окончив 9 классов и изучив планиметрию, ученик должен, казалось бы, уметь решать любую задачу в данном курсе. Однако учащиеся не только не умеют решать задачи, даже боятся за них браться.

Помочь учащимся можно было бы, заинтересовав их изучением геометрии и организовав их деятельность таким образом, чтобы был результат.

Задача, которую необходимо решить сегодня, состоит в том, чтобы, опираясь на достигнутый отечественной школой уровень геометрического образования, сделать курс геометрии современным и интересным, учитывающим склонности и способности учеников, направленным на формирование математической культуры, интеллектуальное развитие личности каждого школьника, его творческих способностей, формирование

представлений учащихся о геометрии, ее месте и роли в современном мире.

Постепенно повышается внимание учителей и учащихся к геометрии. Теперь, если не решишь задания по геометрии в ОГЭ, то экзамен не сдан! Необходимо сохранить и усилить эту тенденцию, сделать геометрию современным интересным предметом, повысить качество обучения геометрии и тем самым качество математического образования школьников.

infourok.ru

это раздел математики, изучающий пространственные отношения и формы. Изучение геометрии в школе: особенности

Один из фундаментов нынешних знаний хранится в знакомом для всех слове «геометрия». Большинство помнит его из школы и связывает с ним сложные фигуры, числа и бесконечные доказательства, некоторые же работают с геометрией ежедневно. Как бы то ни было, эта наука положила начало смелым открытиям с точными до сантиметра расчетами.

Немного истории

Как и прочие фундаментальные науки, геометрия является одной из древнейших, и ее возникновение датируется тысячами годами до нашей эры. Название предмета древнегреческое geometria от ge — Земля и metreo – меряю, что дословно означает измерение Земли. Однако это очень скромное ее обозначение, данное еще предками.

Развитие науки и ее популяризацию осуществили древние греки, однако первое упоминание о геометрии возникло в Древнем Египте. Греки называют себя учениками египтян и приводят пример, доказывающий это. На одном из папирусов рассказана легенда о том, как некий царь поделил землю на два прямоугольника, чтобы собирать с них доход. Если же Нил отнимал что–то, то царь посылал людей для измерения земли и уменьшения налогов. Легенда, изложенная на папирусе, датируется десятым веком до нашей эры.

Тем временем, к 7-му веку до н. э. в Древнюю Грецию пришли первые азы геометрии. Неоформленные, невыраженные. За сотни лет все кропотливо собирали, упорядочивали, добавляя новые и новые фрагменты. Благодаря выдающемуся ученому Фалесу Милетскому была основана наука геометрия. Это был первый пик в череде вершин, которые будут покорены в дальнейшем. К слову, именно Милетский сумел первым измерить высоту пирамиды Хеопса.

Что такое геометрия? Определение геометрии

Геометрию называют наукой о телах и фигурах в пространстве. Или образно говоря, она изучает расположение и размеры всего относительно всего.

Геометрия — это уникальная наука. Ее используют практически везде:

• астрономия;
• география;
• архитектура;
• искусство;
• биология и анатомия;
• кино и музыка.

И так далее. Геометрия начинается в нашей жизни еще до появления на свет и присутствует всю жизнь.

Огромный труд — работать с такой бесценной вещью. Невозможно построить здание, не обратившись к геометрии, есть риск создать кривой дом, и он разрушится. Если на холсте нарисовать несимметрично портрет, он будет не похож на настоящего человека. Нельзя не упомянуть, что геометрия — раздел математики — также помогает в вычислениях. К слову, этот текст написан ровными, одинаковыми буквами, а строчки в нем так же друг другу параллельны. Что весьма удобно при чтении. Геометрия так прочно вошла в нашу жизнь, что мы перестали ее замечать. И напрасно. Сколько удивительных памятников архитектуры сохранилось из прошлого! А все потому, что строители создавали их максимально устойчивыми, геометрически правильными. Интерьерный стиль «минимализм», который современным людям так нравится, состоит из четких правильных форм с максимальным набором функций, но без излишков — это геометрия в почти идеальном виде. Примеры, может, незначительны, но даже они вносят в наш мир ощущение порядка и завершенности.

Разделы геометрии

Сейчас наука делится на две части:

1. Планиметрия. Раздел изучает фигуры в пределе исключительно одной плоскости (чаще всего это доска, тетрадь, стена, планшет).
2. Стереометрия. Этот раздел изучает фигуры в пространстве (комната, дом, страна, Вселенная).

Первый раздел задает первичные данные для изучения второго. Соответственно, они взаимосвязаны. В чем различие? Очень просто.

Представим, что человек на листке бумаги нарисовал точку. Пустой лист с единственной точкой в середине. Если ее увеличить, то это будет просто большая точка. Либо средняя. Так, ее диаметр может быть 4, 5, 10 сантиметров, любой. Как пожелает человек. А если провести рукой по бумаге, то в любом размере точки человек ощутит лишь прикосновение к тетрадному листу. Все это является планиметрией. В данном случае фигура – точка, а плоскость – лист бумаги.

Если же рассмотреть точку со стороны стереометрии, то картина существенно меняется. Можно допустить, что точка — это шар или маслина. Шар можно взять и перенести в другое место, как и маслину, которую можно съесть на кухне. Точка уже стала чем–то объемным, и с ней можно совершать куда больше действий. Что немаловажно, если нарисовать точку, а рядом положить шар и маслину одного с ней размера и цвета, то глядя сверху, можно увидеть только 3 одинаковые точки. Сбоку это уже рисунок точки и два предмета.

Геометрия в школе

Предметом изучения геометрия стала давно. Еще во времена образования первых школ и гимназий. Что удивительно, чем больше проходит времени с тех пор, тем меньше о геометрии узнают в школах. Разумеется, это сделано для того, чтобы все дети могли осваивать дисциплину одинаково, с оглядкой на то, что воспринимается данный предмет далеко не всеми.

Геометрия как школьный предмет изучается в основном на уровне азов, ежегодно усложняется материал. Еще совсем недавно в большинстве школ ее вводили с пятого по шестой класс. Сейчас учебный план сдвинулся, и первые геометрические познания дети получают с первого класса.

Сделано это для того, чтобы ученики смогли эффективнее подготовиться к заданиям, которые их ждут в старших классах. Первоклассники имеют отличное чувство пространства, которое будет развиваться за счет изучения науки, им проще понять определение геометрии, что такое, чем полезно, как применить.

Чем же полезна?

Основными плюсами геометрии человек пользуется на подсознательном уровне, не учитывая сам факт использование науки. Тем не менее понимание даже школьного материала способствует:

• формированию воображения, созданию в нем трехмерных моделей;
• пониманию принципов работы механизмов;
• формированию топографического мышления и ориентации в пространстве;
• способности конструировать, создавать, воспроизводить механизмы;
• решению простых житейских задач (например, под каким углом ставить ножки штатива, чтобы фотоаппарат держался устойчиво на поверхности) и многому другому.

Интересные факты о науке

• Только в 600-м веке до н.э. появились попытки обосновать или продемонстрировать геометрию. До этого момента все факты были интуитивными, являлись таковыми бездоказательно.
• Абрахам де Муавр заметил, что продолжительность его сна увеличилась на 15 минут, затем вычислил в прогрессии дату сна вечного. Так и вышло, в указанный день он скончался.
• У числа пи есть дата рождения. В Америке это 14 марта, поскольку выглядит это как 3,14 (начало числа пи).

fb.ru

«Изучение геометрии в школе (проблемы и их решение)»

В ряду учебных дисциплин, составляющих в совокупности школьный курс математики, геометрия играет особо важную роль. Эта роль определяется и относительной сложностью геометрии по сравнению с другими предметами математического цикла, и большим значением этого предмета для изучения окружающего мира.

В разное время высказывались различные суждения по поводу преподавания геометрии и ее месте в системе школьного образования. По мнению многих, геометрия в школе — это не только основная математическая дисципли­на, но и один из важнейших компонентов общечеловеческой культуры. Геометрия, как учебный предмет, обладает уникальными возможностями для решения главной задачи общего математического образования – целостного развития и становления личности средствами математики. Развитие учащихся средствами геометрии направлено на достижение научных, прикладных и общекультурных целей математического образования, где общекультурные цели обучения геометрии в первую очередь предполагают всестороннее развитие мышления детей. Недостатки в освоении геометрии ведут к серьез­ному ущербу всего миропонимания, как материального, так и духовного. Поэтому воспитание геометрического мышления должно выходить за временные рамки курса геометрии как школьного предмета и продолжаться во все время пребыва­ния учащегося в школе.

Цели и результаты обучения геометрии не огра­ничиваются рамками предмета, они столь ценны и широки, что нашей средней школе давно следовало бы взять на вооружение принцип, который можно сформулировать, перефразировав знаменитое платоновское изречение: «Не знаю­щий геометрии не выпускается (из школы)». Выдвигая этот принцип, имеем в виду не столько специальные геометрические знания, предусмотренные программой, сколько тот ни­чем пока незаменимый эффект, который имеет для общего развития личности сам процесс серьезного изучения геометрии.

Развитие логики и развитие интуиции (гео­метрической в частности) — две важнейшие равноправные функции геометрического обра­зования. Пуанкаре писал: «Доказывают при по­мощи логики, изобретают при помощи интуи­ции». Геометрия, как, пожалуй, никакой дру­гой предмет, способствует развитию обоих ка­честв, поскольку логический и интуитивный ас­пекты в этом предмете переплетаются наибо­лее тесно. Диалектическое единство двух про­тиворечивых тенденций, которое мы наблюдаем в геометрии и которого нет сегодня ни в од­ном другом школьном предмете, как раз и дела­ет эту дисциплину, по моему мнению, уникаль­ным и необходимым предметом изучения.

С другой стороны, противоречие между «су­хой логикой» и «живым воображением» являет­ся едва ли не главной причиной всех методи­ческих трудностей во всех вопросах геометри­ческого образования начиная с составления школьных программ, написания учебных посо­бий и кончая оцениванием знаний учащихся. Жаркие дис­куссии вокруг программ и учебников по геомет­рии представляются не только борьбой между сторонниками различных подходов к из­учению геометрии, но и отражением объектив­ных методологических противоречий, присущих этой науке. Польза от дискуссий несомненна: за последние десять лет программы по геомет­рии стали «геометричнее», учебники, грешившие сухим логическим акцентом, заметно эволюцио­нировали к большей наглядности, а чересчур «наглядные» — приобрели больше логической стройности.

Следующим аспектом обучения геометрии в школе является подготовка учителя. Каждая эпоха ставит перед школой новые задачи, и учитель, как один из главных источников знаний, должен соответствовать требованиям своего времени. Учитель должен быть творческой личностью, четко понимать цели преподавания геометрии в школе, обладать знаниями, адекватными этим целям.

А. Н. Колмогоров высказал мысль о том, что в преподавании школьного курса геомет­рии можно выделить пять уровней.

Первый низший уровень предполагает систематизацию того опытного геометрического материала, который накоплен учащимися в младших классах, а также приобретение навы­ков и приемов для практического использования различных геометрических закономерностей. На этом уровне геометрия выступает еще не как математическая дисциплина, а скорее как инструмент, помогающий решать задачи по алгебре (так называемые текстовые задачи), задачи по физике и химии, выполнять задания по черчению. Знаниями этого уровня ограничиваются многие школьные общеобразовательные программы западных стран; такого типа знания остаются в среднем и у наших выпускников, когда «все выученное забывается».

Второй уровень предполагает усвоение учащимися концепции геометрического (математического) доказатель­ства. Подобно тому, как возникновение в античной геомет­рии идеи строгого логического доказательства явилось началом совершенно нового подхода к синтезу знаний, началом революционно нового этапа в развитии человече­ской культуры, так и освоение конкретным учащимся идеи математического доказательства ставит его на новую ступень в своем индивидуальном интеллектуальном развитии.

Практика показывает, что идея доказательства усваива­ется учащимися очень непросто. В ГИА 2017г 16% участников выполнили задачу на простейшее геометрическое доказательство.

Типична ситуация, когда даже хороший учащийся имитирует некоторые приемы, не понимая сути той всеобщности, логической ограниченности допустимых средств, которые лежат в основе идеи доказа­тельства. Усвоение этой идеи является поворотным пунктом в геометрическом и, вообще, в общем образовании человека. Поэтому достижение этого уровня можно рассматривать как основу, отправляясь от которой можно развивать дальнейшее изучение геометрии.

На своих уроках если это возможно в ходе беседы по изучению нового материала предлагаю учащимся выдвигать гипотезы, а потом их опровергать или доказывать. Например при изучении особого свойства прямоугольника, учащиеся его исследуют, предполагают, что диагонали равны, а затем предлагаю им это доказать. То есть уже приучаю детей использовать свои знания в новой ситуации. Стараюсь меньше теорем доказывать сама. Пользуясь девизом «Знания приобретенные самостоятельно, куда богаче и прочнее чем изложенные кем-то…»

На третьем уровне предполагается усвоение учащимися формально-логической схемы геометрии, ее основных понятий, достаточного набора теорем и фактов, достаточно обширная практика в решении геометрических задач. Этот уровень можно охарактеризовать как уровень хорошего выпускника.

На своих уроках если после изучения свойств параллелограмма предлагаю учащимся исследовать параллелограмм, и выдвинуть еще какие-нибудь его свойства, а затем их доказать.

Четвертый уровень — это освоение курса школьной геометрии в его полном традиционном объеме. Предполагается, что на этом уровне учащийся владеет не только общими геометрическими фактами, но и специальной техникой решения геометрических задач (дополнительные построения, соображения размерности, подобия и т. п.).

Пятый уровень — это уровень углубленного, специализированного изучения геометрии с ориентацией на дальнейшую профессиональную работу в области математи­ки и физики. На этом уровне предполагается не только хорошее владение всем арсеналом средств школьной геомет­рии, но также и умение разбираться в ситуациях, обычно моделируемых в так называемых олимпиадных задачах. Критерием достижения этого уровня можно считать умение решать сложные стереометрические задачи, многофигурные задачи, многопараметрические задачи на построение.

Итак, к чему же сводятся суждения о проблеме обучения геометрии? Ныне, как никогда, школе нужна взвешенная, хорошо продуманная система геометрического образования. Основываясь на опыте многих учителей и методистов можно заметить, что при создании этой системы целесообразно учесть следующие аспекты.

1°. Многоуровневое построение системы геометрических знаний и навыков учащихся, позволяющее осуществлять оперативный контроль и измерения в управлении процессом обучения.

2°. Адекватная подготовка учителя в пединститутах, направленная на полное широкомасштабное овладение ими совокупностью геометрических дисциплин, связанных с элементарной геометрией.

3° . Создание концепции геометрической пропедевтики; выделение в программах IV-V классов пропедевтического курса наглядной геометрии; создание условий для восприя­тия школьником геометрии не только как конкретного предмета, но и как обще культурного феномена.

Уникальность геометрии как учебного предмета заключается в том, что она позволяет наиболее ярко устанавливать связи между естественными представлениями об окружающих предметах и их абстрактными моделями; формировать мыслительные операции различных видов и уровней; учитывать индивидуальные особенности протекания психических процессов учащихся. Ясно, что успешное решение этих задач возможно лишь при условии непрерывного геометрического образования.

Геометрические образы сопровождают человека в течение всей его жизни начиная с первых лет. Первичные геометрические сведения у человека появляются до того, как он способен их формально-логически осмыслить. Чем богаче и разностороннее мир ребенка, тем большее количество таких первоначальных знаний он получает до начала обуче­ния в школе. По наблюдениям многих учителей и специалистов-психологов при неверном обучении ранняя способ­ность оперировать геометрическими образами и синтезиро­вать геометрические знания может в дальнейшем не только не развиваться, но даже резко ослабевать. Поэтому одной из главных задач преподавания геометрии является задача планомерного, систематического развития геометрического, образного мышления, восприятие геометрии не только как школьного предмета, но и как феномена человеческой культуры.

К сожалению, в современной школе эта начальная часть геометрического образования развита весьма недостаточно. Наблюдающийся прогресс в постанов­ке геометрического образования не приводит к радикальным изменениям качества геометри­ческого образования школьника, которое сей­час находится в плачевном положении.

Принципиальным тормозом в деле геометри­ческого образования является установившееся за многие годы положение курса геометрии в школе. Оно состоит в том, что в школе геометрия изучается начиная только с VII клас­са и только в рамках систематического курса. При этом полностью отсутствует изучение на­глядной геометрии. При всем своем уважении к традициям, мы тем не менее не видим убеди­тельных аргументов, объясняющих, почему гео­метрия получила в школе именно такой статус. Более того, многие трудности в изучении гео­метрии связаны, как мне кажется, именно с этим сложившимся статусом геометрии в школе.

Хорошо известно, какой огромный путь в сво­ем интеллектуальном развитии проходит ребе­нок в первые пять-шесть лет своей жизни. В богатом багаже его представлений об окру­жающем мире геометрические представления занимают одно из центральных мест. Геомет­рический опыт шестилетнего ребенка настолько многогранен, что если говорить о развитии непосредственных наглядно-геометрических представлений, то изучение геометрии в школе немногое может к нему добавить. Ребенок предшкольного возраста многое знает, многое умеет делать руками. Ему доставляют огромное удовольствие занятия геометрическими играми, упражнениями, буквально всё, что связано с геометрией (рисование, конструирование, лепка и т. п.). Именно на этот возраст приходит­ся пик, если можно так сказать, геометриче­ской активности ребенка.

Но вот ребенок поступает в школу, и живой поток его геометрической активности, вместо того, чтобы быть воспринятым и направленным в учебное русло, фактически перекрывается. В течение первых пяти-шести лет обучения геометрия сочится жалким, иссыхающим ручей­ком по школьным учебникам.

В программах и учебниках для младших классов по математике, если говорить о гео­метрии, совершенно не учитывается ни умствен­ное развитие ребенка, ни его возрастные осо­бенности. На кого, например, рассчитана про­грамма, требующая, чтобы ученик на выходе из четвертых-пятых классов умел распознавать простейшие фигуры: квадрат и прямоугольник, круг и окружность, куб и шар? Ведь в школу приходит ребенок, который для игры в футбол никогда не брал куб, а детские домики возво­дил не из шаров. Возможно, кое-кто из ребят не знает названий некоторых геометрических фигур, хотя и прекрасно знаком с ними.

Положение геометрии по сравнению с други­ми школьными предметами в своем роде уни­кально: ни один предмет, пожалуй, первоклас­сники так ни готовы воспринимать, как нагляд­ную геометрию. В то же время, ни один предмет не начинают изучать в школе с таким запозда­нием (по отношению к благоприятному момен­ту), как геометрию.

Следует сказать, что к 12—13 годам, когда ученик приступает к изучению геометрии, его непосредственный интерес к геометрии уже на излете. К сожалению, школьный учебник воз­будить интерес к предмету не в состоянии: требования к систематическому изложению на­кладывают свой отпечаток независимо от вы­бранного в учебнике подхода — более аксио­матического или более наглядного. Ученик, как только он откроет учебную книгу по геомет­рии, неизбежно должен ощутить разрыв между его личным жизненным геометрическим опытом и тем, с чего начинается любое систематиче­ское изложение геометрии. И это испытание разочарованием от первой встречи со школь­ной геометрией для многих определяет всё даль­нейшее их отношение к предмету.

Было бы неправильно думать, что отсутствие геометрии в младших классах — это беда только лишь геометрии. Есть основания считать, что пятилетний провал в геометрическом обра­зовании детей, лишение их, если можно так сказать, геометрического детства — это трудно восполнимая потеря с точки зрения и общего эмоционального, и умственного развития ре­бенка.

Мысль о том, что курс “Наглядной геометрии” был бы полезен в начальной школе, не является новой, но сложность ее реализации в существующем курсе математики для начальных классов долгие годы останавливала методистов и учителей. О необходимости введения такого курса настойчиво говорят и психологи. Американский педагог-психолог Д. Брунер писал: “… Если бы ребенок раньше овладел понятиями и доступными ему способами действий в виде “интуитивной геометрии”, то он смог бы более глубоко усвоить смысл теорем и аксиом, которые ему объясняются позднее”.

Изучая геометрию, мы отвлекаемся от реальных объектов действительности: среди всех свойств рассматриваем только размеры, форму и положение в пространстве. Т.о., мы изучаем абстрактные модели каких-то реальных объектов.

Психологической особенностью детей младшего школьного возраста является преобладание наглядно—образного мышления, им сложно иметь дело с абстракциями. Восприятие же формы (основа распознания), формирующийся образ предмета складывается на основании объединения в комплекс тактильных, зрительных и ощущений, связанных с ощупыванием, поворачиванием и т.п.

В связи с этим основной метод, используемый в курсе “Наглядная геометрия” для формирования геометрических представлений, — это метод действия с объектами, а не метод наблюдения над ними. В большей мере эта работа производится на интуитивной основе, на уровне осмысления через ощущение, поскольку практическая деятельность, в отличие от теоретической, чаще использует догадку, интуицию. Такая практическая деятельность будет стимулировать развитие “геометрического чутья”, “геометрического видения”, а значит и геометрического пространственного мышления.

Метод действия с объектами предполагает построение курса “Наглядная геометрия” на основе системы практических работ, позволяющих детям научиться строить модель изучаемого пространственного соотношения, используя всевозможную вещественную наглядность (палочки, бечевку, бумагу, геометрические мозаики, конструкторы разных типов и т. д.). Такую деятельность называют моделированием.

Действие моделирования является как раз тем общим способом действий, который отражает специфику математического описания действительности. Если человек умеет построить какую-либо модель изучаемого предмета, процесса, явления, ситуации, отношения и описать ее на математическом языке, значит, он обладает тем, что мы называем математическим мышлением.

В процессе построения курса не считаю необходимым строго следовать логике построения Евклидовой геометрии, т.к. полагаю, что этот урок не должен превращаться в урок геометрии. Геометрический материал осваивается ребенком в ходе выполнения конструкторских заданий, геометрическое обобщение выступает в виде результата решения конструктивной задачи.

Моделируя пространственные отношения наиболее доступным для этого возраста способом, с опорой на наглядно-образное мышление, практическую деятельность и ощущения ученик легко усваивает начальные геометрические сведения.

Если же учесть, что полученные в начальных классах элементарные навыки построения и измерений сохраняются у учащихся на долгие годы, то становится ясной значимость формирования этих навыков именно в этот период.

infourok.ru