2 — 2x — 3′) plt.ylabel(‘Ось y’) plt.xlabel(‘Ось x’) plt.grid() plt.axis([-10, 16, -10, 10]) plt.scatter(x1, y1, s = 1, c = ‘b’) plt.scatter(x1, -y1, s = 1, c= ‘b’) plt.plot(x2, y2, ‘r—‘) plt.plot(x2, -y2, ‘r—‘) plt.show()

Вывод:

Надеюсь, из кода всё понятно, но немного поясню.

Поскольку |y| может быть только больше нуля, нам нужно выделить значения функции, которые >= 0 и нарисовать в основной части графика только их. Для этого мы делаем булевую маску для всех значений f(x) (в моём коде это значение обозначено как y, но мой y это не y из вашей формулы).

ind = y >= 0

Более понятно можно записать так:

ind = (y >= 0)

В ind у нас теперь булева маска, содержащая True на тех позициях, где y >= 0 и False, где y < 0.

Далее, мы отбираем по этой маске значения из наших массивов

x и y:

x1 = x[ind]
y1 = y[ind]

А также мы отбираем остальные значения x и y, для чего инвертируем маску с помощью булевой операции инверсии ~ (где было True станет False и наоборот:

x2 = x[~ind]
y2 = y[~ind]

После этого мы рисуем основной график, причём два раза — один раз используя f(x), а другой раз -f(x) (по формуле |y| = f(x) получается, что у нас есть два графика: y = f(x) и y = -f(x)).

И затем рисуем псевдо-график там, где функция f(x) могла бы продолжаться, но из-за условия равенства модулю |y| она в этом месте прерывается.

Построение графика зависимости y = x2

y = x². (1)

В такой зависимости находятся длина (x) стороны квадрата и его площадь (y).

Для построения графика мы будем поступать так же, как поступали раньше при построении графиков линейной зависимости (см. § 74 и 75) и обратной пропорциональности (§ 76).

Составим, например, такую таблицу значений x и соответствующих значений y:

Построим по таблице точки (черт. 50) на координатной плоскости. Если будем давать x значения, промежуточные между уже взятыми, то точки расположатся на плоскости плотнее. При всевозможных значениях x все точки расположатся на некоторой линии (кривой) называемой параболой (черт. 51).

Из чертежа 51 видно, что весь график расположится в верхней полуплоскости (т. е. выше оси абсцисс) и лишь одна его точка O (0, 0) лежит на оси абсцисс.

Это и понятно: y есть квадрат числа x, поэтому y не может иметь отрицательных значений; запишем это так: (читают: y – неотрицательное число).

Мы видим далее, что все точки графика расположены попарно симметрично относительно оси ординат. Это и понятно. Так как (–3)² = 3²; (–5)² = 5

2 и вообще (–a)² = a², то точки, имеющие абсциссы, одинаковые по абсолютной величине, но противоположные по знаку, имеют одинаковые ординаты. Значит, каждой точке A (x; y) графика соответствует точка B (–x; y) того же графика, расположенная по другую сторону оси ординат на том же расстоянии от этой оси. Таким образом, ось ординат является осью симметрии графика зависимости y = x².

Аккуратно построенный график (например, на миллиметровой бумаге) можно использовать для приближенного возведения чисел в квадрат, если не требуется большая точность вычислений.

Пусть, например, требуется найти квадрат числа 3,2. На оси абсцисс находим точку 3,2 (точка A) и из нее проводим перпендикуляр к оси абсцисс до пересечения с графиком в точке M. Ордината этой точки, приблизительно равная 10,2, и даст приближенное значение квадрата числа 3,2 (точное значение 10,24). Ординату можно найти или измерив длину перпендикуляра AM, или опустив из точки M перпендикуляр на ось ординат. Полученная точка на оси ординат покажет величину квадрата данного числа.

Примечание. Ввиду симметрии графика для практических вычислений достаточно начертить только ту его часть, которая расположена в первой четверти координатной плоскости. В самом деле, квадрат положительного числа находится непосредственно по графику; если же нужно найти квадрат отрицательного числа, например –3,6, то ищем по графику квадрат числа 3,6, противоположного данному.

Подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ (Справочник по математике — Планиметрия

Преобразование   y = f (x + c),  где c   – число

Описание: В случае   c > 0   график функции   y = f (x)   переносится влево на расстояние | c | Рисунок:

Описание: В случае   c < 0   график функции   y = f (x)   переносится вправо на расстояние | c | Рисунок:

Преобразование   y = f (x) + c,  где c   – число

Описание: В случае   c > 0   график функции   y = f (x)   переносится вверх на расстояние | c | Рисунок:

Описание: В случае   c < 0   график функции   y = f (x)   переносится вниз на расстояние | c | Рисунок:

Преобразование   y = – f (x)

Описание: График функции   y = f (x)   симметрично отражается относительно оси Ox. Рисунок:

Преобразование   y = f ( – x)

Описание: График функции   y = f (x)   симметрично отражается относительно оси Oy. Рисунок:

Преобразование   y = f (kx), где  k   – число

Описание: В случае   k > 1   происходит сжатие графика функции   y = f (x)   в   k   раз к оси   Oy. Рисунок:

Описание: В случае   0 < k < 1   происходит растяжение графика функции   y = f (x)   в раз от оси   Oy. Рисунок:

Описание: В случае   – 1 < k < 0   происходит растяжение графика функции   y = f (x)   в     раз от оси   Oy   с последующим симметричным отражением графика относительно оси Oy. Рисунок:

Описание: В случае   k < – 1   происходит сжатие графика функции   y = f (x)   в   | k |   раз к оси   Oy   с последующим симметричным отражением графика относительно оси Oy. Рисунок:

Преобразование   y = k f (x), где  k   – число

Описание: В случае   k > 1   происходит растяжение графика функции   y = f (x)   в   k   раз от оси   Ox. Рисунок:

Описание: В случае   0 < k < 1   происходит сжатие графика функции   y = f (x)   в     раз к оси   Ox. Рисунок:

Описание: В случае   – 1 < k < 0   происходит сжатие графика функции   y = f (x)   в     раз к оси   Ox   с последующим симметричным отражением графика относительно оси Ox. Рисунок:

Описание: В случае   k < – 1   происходит растяжение графика функции   y = f (x)   в   | k |   раз от оси   Ox   с последующим симметричным отражением графика относительно оси Ox. Рисунок:

Преобразование   y = | f (x)|

Описание: Часть графика функции y = f (x),   расположенная в области , остаётся на месте. Часть графика функции   y = f (x),   расположенная в области   y < 0,   симметрично отражается относительно оси Ox. Рисунок:

Преобразование   y = f (| x|)

Описание: Ось   Oy   является осью симметрии графика функции   y = f (| x|). Часть графика функции   y = f (x), расположенная в области остаётся на месте. Часть графика функции   y = f (| x|),   расположенная в области   x < 0,   получается из части графика, расположенной в области при помощи симметричного отражения относительно оси Oy. Рисунок:

2-х-6

Уравнение y = 2x ² — x — 6

a) Чтобы найти точку пересечения y, подставьте x = 0 в y = 2x ² — x — 6.

у = 2 (0) ² -0-6

y перехват — 6.

b) Чтобы найти точку пересечения с x, подставьте y = 0 в y = 2x ² — x — 6

2x ² — x — 6 = 0

2x ² — 4x + 3x — 6 = 0

2x (x — 2) + 3 (x — 2) = 0

(х — 2) (2x + 3) = 0

х — 2 = 0 и 2x = — 3

х = 2 и х = — 3/2

х перехватов 2 и -3/2.

в) y = 2x ² — x — 6

Сравните это с y = ax ² + bx + c

а = 2, б = — 1, в = — 6

Найти вершину оси симметрии x = — b / 2a

х = — (- 1) / 2 (2)

х = 1/4

Чтобы найти координату y вершины, подставьте x = 1/4 в y = 2x ² — x — 6.

у = 2 (1/4) ² — (1/4) — 6

у = 1/8 — 1/4 — 6

у = (1-2-48) / 8

у = — 49/8

Вершина равна (x, y) = (1/4, -49/8) или (0.25, — 6,125).

График

Выберите случайные значения для y и найдите соответствующие значения для x .

х	y = 2x 2 — x — 6	(х, у)
1	у = 2 (1) 2 -1-6	(1, — 5)
— 1	у = 2 (-1) 2 + 1-6	(-1, — 3)
— 2	у = 2 (-2) 2 + 2-6	(-2, 4)
2.5	у = 2 (2,5) 2 — 2,5 — 6	(7, — 3)

1. Нарисуйте координатную плоскость.

2. Постройте пересечения осей симметрии x, y и координаты точек, найденных в таблице.

3. Затем нарисуйте график, соединив точки плавной кривой.

квадратичных функций

квадратичных функций

---

Содержание : Эта страница соответствует § 3.1 (стр. 244) текста.

Предлагаемые задачи из текста:

с. 251 # 1-8, 10, 11, 15, 16, 18, 19, 21, 23, 24, 30, 33, 37, 38, 75

Графики

Стандартная форма

Приложения

---

Графики

Квадратичная функция имеет вид f (x) = ax ² + bx + c , где a , b и c — числа, где a не равны нулю.

График квадратичной функции — это кривая, называемая параболой . Параболы могут открываться вверх или вниз и различаются по «ширине» или «крутизне», но все они имеют одинаковую базовую U-образную форму. В На рисунке ниже показаны три графика, и все они являются параболами.

Все параболы симметричны относительно линии, называемой осью симметрии . Парабола пересекает его ось симметрии находится в точке, называемой вершиной параболы.

Вы знаете, что две точки определяют линию. Это означает, что если вам даны любые две точки на плоскости, то есть одна и только одна линия, содержащая обе точки. Аналогичное утверждение можно сделать о точках и квадратичных функции.

Учитывая три точки на плоскости, которые имеют разные первые координаты и не лежат на одной прямой, существует ровно одна квадратичная функция f, график которой содержит все три точки. Апплет ниже иллюстрирует этот факт.График содержит три точки и параболу, проходящую через все три. 2-5.Начнем с графика y = x ² , сдвинем на 4 единицы вправо, затем 5 единиц вниз.

Упражнение 1 :

(a) Нарисуйте график y = (x + 2) ² — 3. Ответ

(b) Нарисуйте график y = — (x — 5) ² + 3. Ответ

Вернуться к содержанию

Стандартная форма

Функции в частях (a) и (b) упражнения 1 являются примерами квадратичных функций в стандартной форме .Когда квадратичная функция имеет стандартную форму, ее график легко построить, отражая, сдвигая и растяжение / сжатие параболы y = x

2 .

Квадратичная функция f (x) = a (x — h) ² + k, не равная нулю, называется стандартной формой . Если а положительно, график открывается вверх, а если отрицательно, то открывается вниз. Линия симметрии — это вертикальная линия x = h, а вершина — это точка (h, k).

Любую квадратичную функцию можно переписать в стандартной форме, добавив до квадрата . (См. Раздел о решая уравнения алгебраически, чтобы просмотреть завершение квадрата.) Шаги, которые мы используем в этом разделе для завершения квадрата, будут выглядеть немного иначе, потому что наш главный цель здесь не в решении уравнения.

Обратите внимание, что когда квадратичная функция имеет стандартную форму, ее нули также легко найти с помощью квадратного корня. принцип.

Пример 3 .

Запишите функцию f (x) = x ² — 6x + 7 в стандартной форме. Нарисуйте график функции f и найдите его нули и вершина.

f (x) = x ² — 6x + 7.

= (x ² — 6x) + 7. Сгруппируйте члены x ² и x и затем заполните квадрат на этих условиях.

= (x ² — 6x + 9 — 9) + 7.

Нам нужно добавить 9, потому что это квадрат половины коэффициента при x, (-6/2) ² = 9. Когда мы решая уравнение, мы просто добавляли 9 к обеим частям уравнения. В этой настройке мы добавляем и вычитаем 9 так что мы не меняем функцию.

= (x ² — 6x + 9) — 9 + 7. Мы видим, что x ² — 6x + 9 — это полный квадрат, а именно (x — 3) ² .

f (x) = (x — 3) ² — 2.Это стандартная форма .

Из этого результата легко найти, что вершина графа f равна (3, -2).

Чтобы найти нули f, мы устанавливаем f равным 0 и решаем относительно x.

(x — 3)

2 — 2 = 0.

(x — 3) ² = 2.

(x — 3) = ± sqrt (2).

х = 3 ± sqrt (2).

Чтобы нарисовать график f, сдвинем график y = x ² на три единицы вправо и на две единицы вниз.

Если коэффициент при x ² не равен 1, то мы должны вынести этот коэффициент из x ² и x, прежде чем продолжить.

Пример 4 .

Запишите f (x) = -2x ² + 2x + 3 в стандартной форме и найдите вершину графика f.

f (x) = -2x ² + 2x + 3.

= (-2x ² + 2x) + 3.

= -2 (x ² — x) + 3.

= -2 (x ² — x + 1/4 — 1/4) + 3.

Мы складываем и вычитаем 1/4, потому что (-1/2) ² = 1/4, а -1 — коэффициент при x.

= -2 (x ² — x + 1/4) -2 (-1/4) + 3.

Обратите внимание, что все в круглых скобках умножается на -2, поэтому, когда мы убираем -1/4 из круглых скобок, мы необходимо умножить на -2.

= -2 (x — 1/2) ² + 1/2 + 3.

= -2 (x — 1/2) ² + 7/2.

Вершина — это точка (1/2, 7/2). Поскольку граф открывается вниз (-2 <0), вершина является высшей точкой на графике.

Упражнение 2 :

Запишите f (x) = 3x ² + 12x + 8 в стандартной форме.Нарисуйте график функции f, найдите его вершину и найдите нули f. Ответ

Альтернативный метод поиска вершины

В некоторых случаях завершение квадрата — не самый простой способ найти вершину параболы. Если график квадратичная функция имеет два пересечения по оси x, тогда линия симметрии — это вертикальная линия, проходящая через среднюю точку х-перехватчиков.

Х-точки пересечения графика выше находятся в точках -5 и 3.Линия симметрии проходит через -1, что является средним -5 и 3. (-5 + 3) / 2 = -2/2 = -1. Как только мы узнаем, что линия симметрии x = -1, мы узнаем первую координату вершины -1. Вторую координату вершины можно найти, вычислив функцию при x = -1.

Пример 5 .

Найдите вершину графика функции f (x) = (x + 9) (x — 5).

Поскольку формула для f разложена на множители, легко найти нули: -9 и 5.

Среднее значение нулей (-9 + 5) / 2 = -4/2 = -2. Итак, линия симметрии x = -2 и первая координата вершины -2.

Вторая координата вершины: f (-2) = (-2 + 9) (- 2-5) = 7 * (- 7) = -49.

Следовательно, вершина графика f равна (-2, -49).

Вернуться к содержанию

Приложения

Пример 6 .

У владельца ранчо есть 600 метров ограды, чтобы ограждать прямоугольный загон с другим забором, разделяющим его посередине. как на схеме ниже.

Как показано на схеме, каждая из четырех горизонтальных секций забора будет иметь длину х метров, а три каждая вертикальная секция будет иметь длину y метров.

Задача владельца ранчо — использовать весь забор и ограничить максимально возможной площадью .

Каждый из двух прямоугольников имеет площадь xy, поэтому мы имеем

Общая площадь: A = 2xy.

Мы мало что можем сделать с величиной A, если она выражается как произведение двух переменных. Тем не мение, Тот факт, что у нас есть только 1200 метров забора, приводит к уравнению, которому должны удовлетворять x и y.

3г + 4х = 1200.

3y = 1200 — 4x.

y = 400 — 4x / 3.

Теперь у нас есть y, выраженный как функция от x, и мы можем подставить это выражение для y в формулу для общего площадь А.

A = 2xy = 2x (400 -4x / 3).

Нам нужно найти значение x, которое делает A как можно большим. A — квадратичная функция от x, а график открывается вниз, поэтому наивысшая точка на графике A — вершина. Поскольку A разложено на множители, самый простой способ найти вершина — найти пересечения по оси x и усреднить.

2x (400 -4x / 3) = 0,

2x = 0 или 400 -4x / 3 = 0.

x = 0 или 400 = 4x / 3.

x = 0 или 1200 = 4x.

х = 0 или 300 = х.

Следовательно, линия симметрии графика A равна x = 150, среднему от 0 до 300. 2.- Sarthaks eConnect

Пусть y = f (x) или, y = 3 — 2x — x ² .

Перечислим несколько значений y = 3 — 2x — x ² , соответствующих нескольким значениям x следующим образом:

x	-5	-4	-3	— 2	-1	0	1	2	3	4
y = 3-2x-x 2	-12	-5	0	3	4	3	0	-5	-12	-21

Таким образом, следующие точки лежат на графике полинома y = 2 — 2x — x ² :

( -5, -12), (-4, -5), (-3, 0), (-2, 4), (-1, 4), (0, 3), (1, 0), (2 , — 5), (3, -12) и (4, — 21).

Построим эти точки на миллиметровой бумаге и проведем плавную кривую, проходящую через эти точки, чтобы получить графики y = 3 — 2x — x ² . Полученная таким образом кривая представляет собой параболу, как показано на рисунке. Наивысшая точка P (-1, 4), называемая точкой максимума, является вершиной параболы. Вертикальная линия, проходящая через точку P, является осью параболы. Ясно, что парабола симметрична относительно оси.

Наблюдения: Следующие наблюдения из графика многочлена f (x) = 3 — 2x — x ² выглядит следующим образом:

(i) Коэффициент x2 в f (x) = 3 — 2x — x ² — 1 i.е. отрицательное действительное число, и парабола открывается вниз.

(ii) D = b ² — 4ax = 4 + 12 = 16> 0. Итак, парабола пересекает ось x на две отдельные точки.

(iii) Сравнивая многочлен 3 — 2x — x ² с ax ² + bc + c, получаем a = — 1, b = — 2 и c = 3. Вершина параболы находится в точка (-1, 4) т.е. в (-b / 2a, -D / 4a), где D = b ² — 4ac.

(iv) Многочлен f (x) = 3 — 2x — x ² = (1 — x) (x + 3) можно разложить на два различных линейных фактора (1 — x) и (x + 3).Итак, парабола пересекает ось X в двух разных точках (1, 0) и (-3, 0). Координаты этих точек — нули функции f (x).

Mathscene — Функции 1 — Урок 3

Mathscene — Функции 1 — Урок 3

2007 Rasmus ehf и Jhann sak

Функции Я

Печать

Урок 3

.

Функции второй степени

---

Давайте еще раз посмотрим на многочлены второй степени.Самая простая форма функции — f (x) = х ² . График представляет собой параболу часто называют основной параболой.

Обратите внимание, что график симметричен относительно оси y- ось. Ось ординат называется осью симметрии этой функции.

Теперь посмотрим, как коэффициенты влияют на внешний вид графика.

Коэффициент x ² равен обычно называется a. Если мы посмотрим на параболы с разными значениями a мы видим, что некоторые шире, а некоторые уже основной параболы, где a = 1.

Вот графики парабол, где a = 4, 2, ог.

а = 4 а = 2 а = а =

Вот параболы с отрицательные значения

а = −4 а = −2 а = — а = —

Если значение a равно положительный график изгибается вверх (как улыбка!) Чем больше значение уже график.

По мере того, как становится мало график становится более плоским и плоским до тех пор, пока, когда a не станет отрицательным, он не станет меньше ( как хмурый взгляд! ).

---

Пример 1

Теперь нарисуем график из f (x) = x ² + 1 и сравните его с g (x) = x ² .

х	f (x) = х 2 + 1
-2	(-2) 2 + 1 = 5
-1	(-1) 2 + 1 = 2
0	0 + 1 = 1
1	1 2 + 1 = 2
2	2 2 + 1 = 5

Значения функции ( y) в таблице значений для f (x) = x ² +1 все на единицу выше соответствующих значений в таблице значений для g (x) = x ² и график был переведен по вертикали на 1 единицу.

Обратите внимание, что график f (x) = x ² + 1 не пересекает ось абсцисс. Это говорит нам о том, что уравнение x ² + 1 = 0 не имеет решения. Мы уже знаем это, поскольку число в квадрате никогда не бывает отрицательное значение, поэтому x ² никогда не может быть равно -1.

---

Пример 2

Нарисуйте график f (x) = x ² — 1 и сравните с g (x) = х ² .

х	f (x) = х 2 — 1
-2	(-2) 2 — 1 = 3
-1	(-1) 2 — 1 = 0
0	0 — 1 = -1
1	1 2 — 1 = 0
2	2 2 — 1 = 3

Теперь значения функции в все таблицы f (x) на единицу ниже соответствующих значений в таблице для g (x) = x ² и график опустился на одну единицу.

Обратите внимание, что в этом примере график f (x) = x ² — 1 пересекает ось x в двух местах.

Это означает, что уравнение x ² — 1 = 0 имеет два решения,

х ² — 1 = 0

х ² = 1

х = 1

, которые равны x = −1 и x = 1.

---

Пример 3

Нарисуйте график f (x) = (x + 1) ² (или f (x) = x ² + 2x + 1) и сравните это к основной параболе g (x) = x ² .

х	f (x) = (х + 1) 2
-3	(-3 + 1) 2 = 4
-2	(-2 + 1) 2 = 1
-1	(-1 + 1) 2 = 0
0	(0 + 1) 2 = 1
1	(1 + 1) 2 = 4

Здесь мы прибавили 1 к x и мы видим, что функция значения в таблице значений сдвинуты на одну строку вверх по сравнению с базовыми функция.

График f (x) — это так же, как если бы мы переместили график g (x) = x ² на одну единицу Слева.

Мы говорим, что основной граф переведено на -1 единиц по горизонтали. Ось симметрии теперь x = -1.

---

Пример 4

Нарисуйте график f (x) = (x — 2) ² — 1 (или f (x) = x ² — 4x + 3) и сравните его с базовым графиком g (x) = x ² .

Если использовать тот же метод, что и в предыдущем Например, мы можем предположить, что график переместился на две единицы вправо и одну блок вниз. Теперь проверим это, составив таблицу значения, начиная с x = 0 и рисование графика.

х	f (x) = (х — 2) 2 — 1
0	(0–2) 2 — 1 = 3
1	(1-2) 2 — 1 = 0
2	(2–2) 2 — 1 = -1
3	(3–2) 2 — 1 = 0
4	(4–2) 2 — 1 = 3

Обратите внимание, что ось симметрии теперь x = 2.

Мы можем найти, где график пересекает ось Y без рисования графика. Мы делаем это, вычисляя f (0) = 3 или путем умножения скобок и видя, что постоянный член (член без x) равен 3.

f (x) = (x — 2) ² — 1 = x ² — 4x + 4 — 1 = x ² — 4x + 3 или

f (0) = (x — 2) ² — 1 = 4 — 1 = 3

---

Пример 5

Найти график зависимости f (x) = (x — 2) ² — 1 пересекает ось абсцисс.Положим y = f (x) = 0, а затем решим уравнение для x.

(x — 2) 2 — 1 = 0	Первый переместите -1 над знаком равенства.
(х — 2) 2 = 1	Далее, извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения. Помните + и -.
x — 2 = 1 = 1	Наконец переместите 2 на другую сторону и упростите результат.
x = 2 1

Точки пересечения: х = 2 -1 = 1 и x = 2 + 1 = 3.

Легко видеть, что запись функции в виде f (x) = (x — 2) ² — 1 дает нам много информации.

Он сообщает нам, как переводится основной график вертикально и горизонтально.

Он также сообщает нам, где находится ось симметрии.

Наконец, мы можем легко найти точки пересечение с осями x и y.

Общий вид уравнения, записанного в этом путь:

f (x) = a (x + r) ² + s

a — коэффициент при x ² как мы уже видели.

ось симметрии имеет уравнение x = −r (или, можно сказать, то же значение как r, но с обратным знаком).

Поэтому важно знать, как перепишите функцию

f (x) = ax ² + bx + c в виде f (x) = a (x + r) ² + s

---

Пример 6

Теперь давайте посмотрим, как мы можем изменить секунду функция степени от одной формы к другой.

Записываем f (x) = x ² — 4x + 3 в виде f (x) = (x — 2) ² . — 1.

По сравнению с общей формой:

f (x) = ах ² + bx + c

е (х) = х ² — 4x + 3

Здесь a = 1

og b = −4

и c = 3 (поэтому график пересекает ось y в 3).

Посмотрите на правило возведения скобки в квадрат:

(x q) ² = p ² 2xq + q ² .

Мы видим, что коэффициент при x составляет 2кв.

В нашем примере коэффициент при x равен −4, что означает 2q = — 4 и, следовательно, q = −2.

Если посчитать (х — 2) ² получаем x ² — 4x + 4.

(х — 2) ² = х ² — 4x + 4.

Если мы вычтем 1 с обеих сторон мы получили :

(х — 2) ² −1 = x ² — 4x + 4−1 = x ² — 4x + 3

Обобщая метод:

f (x) = x 2 — 4x + 3	Половина коэффициент при x равен −4 / 2 = −2, который мы возводим в квадрат (4) и добавить к уравнению.
= (x 2 — 4x + 2 2 ) — 2 2 + 3
= (x — 2) 2 — 4 + 3	Если мы прибавив 4 к уравнению, мы также должны вычесть 4, чтобы уравнение остается без изменений Теперь упростим −4 + ​​3 = −1
= (x — 2) 2 — 1

Из приведенного выше примера можно сделать вывод, что график полинома второй степени, где a = 1 (f (x) = x ² + bx + c) имеет ось симметрии в:

x = ^−b / ₂ и обрезает y ось, где y = c.

---

Пример 7

Найдите ось симметрии графика f (x) = 2x ² — 12x + 10.

В этом случае a = 2, поэтому правило из предыдущего примера не применяется. Ни один так же легко переписать функцию, как раньше.

Вместо этого мы переводим функцию вниз на 10 единиц путем вычитания 10 из уравнения. Перемещение графика по вертикали не изменить положение оси симметрии.

Назовем эту новую функцию g (x) и найдем, где g (x) отсекает ось x.

2x ² — 12x = 0

2х (х — 6) = 0

Это уравнение имеет решения x = 0 и 6, поэтому график g (x) пересекает ось x в 0 и 6. Ось симметрии должна быть посередине этих двух точек, что находится в x = 3 .

---

Пример 8

Записываем функцию f (x) = 2x ² — 12x + 10 в форме
f (x) = a (x + r) ² + s.

f (x) = 2x 2 — 12x + 10	Дубль 2 вне скобки. Половина коэффициента при x равно −6 / 2 = −3, поэтому добавьте 3 2 внутри скобок. Мы действительно добавили 18, поэтому теперь нам нужно вычесть 23 2 = 18 за пределами скобки.
= 2 (x 2 — 6x + 3 2 ) — 2 3 2 + 10
= 2 (x 2 — 6x + 9) — 18 + 10
= 2 (х — 3) 2 — 8

Теперь мы, как и раньше, видим, что ось симметрии находится в x = 3.

Коэффициенты x В приведенном выше примере (f (x) = 2x ² — 12x + 10) равны a = 2, b = −12 и c = 10. Чтобы найти ось симметрии, мы множитель 2 вынес за скобки. Это соответствует делению на 2. Тогда мы завершил квадрат делением коэффициента при x (−6) на 2.

Общая формула оси симметрии функция
f (x) = ax ² + bx + c — это следовательно:

---

Пример 9

Найдите вершину параболы f (x) = 2x ² — 12x + 10.

Вершина (в которой вращается парабола) лежит на оси симметрии, поэтому мы знаем значение x вершины (3).

Мы нашли значение y путем вычисления f (3).

f (3) = 23 ² — 123 + 10 = 18 — 36 + 10 = −8.

Вершина параболы равна (3, −8).

Примечание: Если a> 0, вершина является точкой минимума. Если a <0 вершина является точкой максимума.

---

Попробуйте выполнить тест 3 по функциям I.
Не забудьте использовать контрольный список, чтобы отслеживать свою работу.

Графические квадратные уравнения

Квадратное уравнение в стандартной форме
( a , b и c могут иметь любое значение, за исключением того, что a не может быть 0.)

Вот пример:

Графики

Вы можете построить квадратное уравнение с помощью функции Grapher, но чтобы действительно понять, что происходит, , вы можете построить график самостоятельно.Читать дальше!

Простейший квадратичный

Простейшее квадратное уравнение:

f (x) = x ²

И график у него тоже простой:

Это кривая f (x) = x ²
Это парабола.

Теперь давайте посмотрим, что произойдет, когда мы введем значение «а»:

f (x) = ах ²

• Большие значения a сгибают кривую внутрь
• Меньшие значения a расширяют его наружу
• И отрицательные значения a переворачивают его вверх дном

«Генерал» квадратичный

Перед построением графика мы переставляем уравнение из этого:

f (x) = ах ² + bx + c

Кому:

f (x) = a (x-h) ² + k

Где:

Другими словами, вычислите h (= −b / 2a), затем найдите k , вычислив все уравнение для x = h

Но почему?

В этой новой форме замечательно то, что h и k показывают нам самую низкую (или самую высокую) точку, называемую вершиной :

А также кривая симметрична (зеркальное отображение) относительно оси , которая проходит через x = h , что упрощает построение графика

Итак…

• h показывает, насколько далеко влево (или вправо) кривая сместилась от x = 0
• k показывает, насколько далеко вверх (или вниз) кривая сместилась от y = 0

Давайте посмотрим, как это сделать:

Пример: График f (x) = 2x

² — 12x + 16

Сначала отметим:

• а = 2,
• b = −12, и
• с = 16

Итак, что мы знаем?

• a положительный, значит, это «восходящий» график (U-образный)
• a равно 2, поэтому он немного «раздавлен» по сравнению с графиком x ²

Далее рассчитаем h:

h = −b / 2a = — (- 12) / (2×2) = 3

Затем мы можем вычислить k (используя h = 3):

k = f ( 3 ) = 2 (3) ² — 12 · 3 + 16 = 18−36 + 16 = −2

Итак, теперь мы можем построить график (с настоящим пониманием!):

Мы также знаем: вершина равна (3, −2), а ось равна x = 3

От графика к уравнению

Что делать, если у нас есть график и мы хотим найти уравнение?

Пример: вы только что построили некоторые интересные данные, и они выглядят квадратично:

Просто зная эти два момента, мы можем придумать уравнение.

Во-первых, мы знаем h и k (в вершине):

(ч, к) = (1, 1)

Итак, давайте представим это в следующей форме уравнения:

f (x) = a (x-h) ² + k

f (x) = a (x − 1) ² + 1

Затем вычисляем «а»:

Мы знаем точку (0, 1.5) , поэтому: f (0) = 1.5

И a (x − 1) ² + 1 при x = 0 равно: f (0) = a (0−1) ² + 1

Они оба равны f (0) , поэтому сделайте их равными: a (0−1) ² + 1 = 1.5

Упростить: a + 1 = 1,5

а = 0,5

Итак, вот результирующее квадратное уравнение:

f (x) = 0,5 (x − 1) ² + 1

Примечание. Это может быть не правильное уравнение для данных, но это хорошая модель и лучшее, что мы можем придумать.

Узнайте, как построить график правила функции, построить график входов (x) и выходов (y)

В этом видео мы узнаем, как построить график функции.Чтобы построить график функции, вы должны выбрать значения x и вставить их в уравнение. Как только вы подставите эти значения в уравнение, вы получите значение y . Ваши значения x и ваши значения y составляют ваши координаты для одной точки. Продолжайте вводить значения x, чтобы получить координаты для построения большего количества точек на графике, и тогда вы увидите свою графическую функцию, как только точки будут соединены. Обязательно пометьте свой график. После того, как вы закончите этот урок, просмотрите все наши уроки Алгебры 1 и попрактикуйтесь.

Пример построения графика функции Правило

Эти координаты будут выглядеть так:
и

Стенограмма видеоурока

Пример 1

Давайте выберем значения x, а затем решим соответствующие им значения y.

У нас есть значения x как.

Наша функция.

Итак, давайте заменим значения, чтобы получить значения.

А теперь нарисуем координаты.

Пример 2

Давайте выберем значения x, а затем решим соответствующие им значения y.

У нас есть значения x как.

Наша функция.

Итак, давайте заменим значения, чтобы получить значения.

А теперь нарисуем координаты.

Давайте рассмотрим график функции-правила.

Например:

Давайте выберем значения, а затем решим соответствующие им значения.

У нас есть значения as.

Наша функция.

Итак, давайте заменим значения, чтобы получить значения.

Если

, затем

т.

Если

, затем

т.

Если

, затем

т.

Если

, затем

т.

Если

, затем

т.

Если

, затем

т.

И, наконец, если

, затем

т.

Так что давайте также напишем наши координаты и

Теперь давайте изобразим это.

После соединения точек важно поставить стрелки на обоих концах отрезка.

Потому что мы знаем, что эти точки являются точками функции. Но дело не только в этом.

Функция может перемещаться на обоих концах, обозначенных стрелками.

А затем пометьте график.

Как найти увеличивающиеся интервалы с помощью графических функций

Если вы считаете, что контент, доступный через Веб-сайт (как определено в наших Условиях обслуживания), нарушает или другие ваши авторские права, сообщите нам, отправив письменное уведомление («Уведомление о нарушении»), содержащее в информацию, описанную ниже, назначенному ниже агенту.Если репетиторы университета предпримут действия в ответ на ан Уведомление о нарушении, оно предпримет добросовестную попытку связаться со стороной, которая предоставила такой контент средствами самого последнего адреса электронной почты, если таковой имеется, предоставленного такой стороной Varsity Tutors.

Ваше Уведомление о нарушении прав может быть отправлено стороне, предоставившей доступ к контенту, или третьим лицам, таким как в виде ChillingEffects.org.

Обратите внимание, что вы будете нести ответственность за ущерб (включая расходы и гонорары адвокатам), если вы существенно искажать информацию о том, что продукт или действие нарушает ваши авторские права.Таким образом, если вы не уверены, что контент находится на Веб-сайте или по ссылке с него нарушает ваши авторские права, вам следует сначала обратиться к юристу.

Чтобы отправить уведомление, выполните следующие действия:

Вы должны включить следующее:

Физическая или электронная подпись правообладателя или лица, уполномоченного действовать от их имени; Идентификация авторских прав, которые, как утверждается, были нарушены; Описание характера и точного местонахождения контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права, в \ достаточно подробностей, чтобы позволить репетиторам университетских школ найти и точно идентифицировать этот контент; например нам требуется а ссылка на конкретный вопрос (а не только на название вопроса), который содержит содержание и описание к какой конкретной части вопроса — изображению, ссылке, тексту и т. д. — относится ваша жалоба; Ваше имя, адрес, номер телефона и адрес электронной почты; а также Ваше заявление: (а) вы добросовестно полагаете, что использование контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права не разрешены законом, владельцем авторских прав или его агентом; (б) что все информация, содержащаяся в вашем Уведомлении о нарушении, является точной, и (c) под страхом наказания за лжесвидетельство, что вы либо владелец авторских прав, либо лицо, уполномоченное действовать от их имени.

Отправьте жалобу нашему уполномоченному агенту по адресу:

Чарльз Кон Varsity Tutors LLC
101 S. Hanley Rd, Suite 300
St. Louis, MO 63105

Или заполните форму ниже:

.