График 2x x 2: Mathway | Популярные задачи

2 - 2x - 3') plt.ylabel('Ось y') plt.xlabel('Ось x') plt.grid() plt.axis([-10, 16, -10, 10]) plt.scatter(x1, y1, s = 1, c = 'b') plt.scatter(x1, -y1, s = 1, c= 'b') plt.plot(x2, y2, 'r--') plt.plot(x2, -y2, 'r--') plt.show()

Вывод:

Надеюсь, из кода всё понятно, но немного поясню.

Поскольку |y| может быть только больше нуля, нам нужно выделить значения функции, которые >= 0 и нарисовать в основной части графика только их. Для этого мы делаем булевую маску для всех значений f(x) (в моём коде это значение обозначено как y, но мой y это не y из вашей формулы).

ind = y >= 0

Более понятно можно записать так:

ind = (y >= 0)

В ind у нас теперь булева маска, содержащая True на тех позициях, где y >= 0 и False, где y < 0.

Далее, мы отбираем по этой маске значения из наших массивов x и y:

x1 = x[ind]
y1 = y[ind]

А также мы отбираем остальные значения x и y, для чего инвертируем маску с помощью булевой операции инверсии

~ (где было True станет False и наоборот:

x2 = x[~ind]
y2 = y[~ind]

После этого мы рисуем основной график, причём два раза - один раз используя f(x), а другой раз -f(x) (по формуле |y| = f(x) получается, что у нас есть два графика: y = f(x) и y = -f(x)).2$

9

6,25

4

2,25

1

0,25

0

0,25

1

2,25

4

6,25

9

Отметим полученные точки на координатной плоскости и соединим их кривой:

Полученный график называют параболой. Точка (0;0) - это вершина параболы. Вершина делит график на левую и правую части, которые называют ветвями параболы.

Содержание

Свойства параболы y=x²

1. Область определения $x \in (- \infty;+ \infty)$ - все действительные числа.

2. Область значений $y \in [0;+ \infty)$ - все неотрицательные действительные числа.

3. Функция убывает при $x \lt 0$, функция возрастает при $x \gt 0$.

4. Наименьшее значение функции y = 0 - в вершине параболы при x = 0. Вершина параболы совпадает с началом координат.

5. Все точки на ветвях параболы лежат выше оси абсцисс, для них $y \gt 0$.2$, кроме двух точек с $ x \neq \pm 1 $.

График кореньиз 2x x 2 – Telegraph

График кореньиз 2x x 2

Скачать файл - График кореньиз 2x x 2

Выберите, относительно какой из переменных строить график, а какие будут являться параметрами. Построить график функции онлайн. Построить график функции с параметрами. В веденной функции присутствуют несколько переменных. Выберите, относительно какой из переменных строить график, а какие будут являться параметрами Строить относительно: Строить в одной системе координат. Заработок в интернете, Обучение, работа. Для того, чтобы построить несколько графиков в одной системе координат, поставьте галочку в поле 'Строить в одной системе координат' и стройте по очереди графики функций. Сервис позволяет строить графики функций, в которых присутствуют параметры. Введите функцию с параметрами и нажмите 'Построить график' В появившемся окошке выбирете, относительно какой из переменных строить график. Изменяйте значения параметров в меню 'История'. График будет меняться на Ваших глазах.

Как будет выглядеть график функции y= корень из 2-x

Острый эндометрит симптомы и лечение

Эльдорадо каталог товаров анапа

Функция y = √x. Её свойства и график. Решение задач

Сделать карты на заказ

Remember who you are перевод

Проект значение растений

Во сколько месяцев стерилизуют кошек

Построить график функции онлайн. Построить график функции с параметрами. График Функции. функция, график онлайн, график, построить график, построить график функции, y=, построить график,построить график функции,построить график y,x построить график,постройте график функции y,построить график онлайн,y x построить график,постройте график функции y x,построить график функции онлайн,постройте график функции, build function graph online, build function graph, build graph online, исследовать функцию и построить ее график онлайн

Как остановить маточное кровотечение в домашних условиях

Insert key перевод

Пищевая ценность птицы схема

Построение графика функции онлайн!

Психологические причины появления прыщей

Мероприятия способствующие достижению целей бизнес плана

Дождевальный поливсвоими руками

Построение и решение графиков Функций

Понятие функции

Функция — это зависимость y от x, где x является переменной или аргументом функции, а y — зависимой переменной или значением функции.

Задать функцию значит определить правило, в соответствии с которым по значениям независимой переменной можно найти соответствующие ее значения. Вот, какими способами ее можно задать:

  • Табличный способ — помогает быстро определить конкретные значения без дополнительных измерений или вычислений.
  • Графический способ — наглядно.
  • Аналитический способ — через формулы. Компактно, и можно посчитать функцию при произвольном значении аргумента из области определения.
  • Словесный способ.

Область определения — множество х, то есть область допустимых значений выражения, которое записано в формуле.

Например, для функции вида область определения выглядит так

  • х ≠ 0, потому что на ноль делить нельзя. Записать можно так: D (y): х ≠ 0.

Область значений — множество у, то есть это значения, которые может принимать функция.

Например, естественная область значений функции y = x² — это все числа больше либо равные нулю. Можно записать вот так: Е (у): у ≥ 0.

Понятие графика функции

Графиком функции y = f(x) называется множество точек (x; y), координаты которых связаны соотношением y = f(x). Само равенство y = f(x) называется уравнением данного графика.

График функции — это множество точек (x; y), где x — это аргумент, а y — значение функции, которое соответствует данному аргументу.

Проще говоря, график функции показывает множество всех точек, координаты которых можно найти, просто подставив в функцию любые числа вместо x.

Для примера возьмём самую простую функцию, в которой аргумент равен значению функции, то есть y = x.

В этом случае нам не придётся вычислять для каждого аргумента значение функции, так как они равны, поэтому у всех точек нашего графика абсцисса будет равна ординате.

Отметим любые три точки на координатной плоскости, например: L (-2; -2), M (0; 0) и N (1; 1).

Если мы последовательно от наименьшего значения аргумента к большему соединим отмеченные точки, то у нас получится прямая линия. Значит графиком функции y = x является прямая. На графике это выглядит так:

Надпись на чертеже y = x — это уравнение графика. Ставить надпись с уравнением на чертеже удобно, чтобы не запутаться в решении задач.

Важно отметить, что прямая линия бесконечна в обе стороны. Хоть мы и называем часть прямой графиком функции, на самом деле на чертеже изображена только малая часть графика.

Не обязательно делать чертеж на целый тетрадный лист, можно выбрать удобный для вас масштаб, который отразит суть задания.

Исследование функции

Важные точки графика функции y = f(x):

  • стационарные и критические точки;
  • точки экстремума;
  • нули функции;
  • точки разрыва функции.

Стационарные точки — точки, в которых производная функции f(x) равна нулю.

Критические точки

— точки, в которых производная функции f(x) равна нулю либо не существует. Стационарные точки являются подмножеством множества критических точек.

Экстремум в математике — максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума. Соответственно, если достигается минимум — точка экстремума называется точкой минимума, а если максимум — точкой максимума.

Нули функции — это значения аргумента, при которых функция равна нулю.

Асимптота — прямая, которая обладает таким свойством, что расстояние от точки графика функции до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки графика от начала координат. По способам их отыскания выделяют три вида асимптот: вертикальные, горизонтальные, наклонные.

Функция непрерывна в точке k, если предел функции в данной точке равен значению функции в этой точке:

Если функция f(x) не является непрерывной в точке x = a, то говорят, что f(x) имеет разрыв в этой точке.


Если нам нужно построить график незнакомой функции, когда заранее невозможно представить вид графика, полезно применять схему исследования свойств функции. Она поможет составить представление о графике и приступить к построению по точкам.

Схема построения графика функции:

 
  1. Найти область определения функции.

  2. Найти область допустимых значений функции.

  3. Проверить не является ли функция четной или нечетной.

  4. Проверить не является ли функция периодической.

  5. Найти нули функции.

  6. Найти промежутки знакопостоянства функции, то есть промежутки, на которых она строго положительна или строго отрицательна.

  7. Найти асимптоты графика функции.

  8. Найти производную функции.

  9. Найти критические точки в промежутках возрастания и убывания функции.

  10. На основании проведенного исследования построить график функции.

Построение графика функции

Чтобы понять, как строить графики функций, потренируемся на примерах.

Задача 1. Построим график функции

Как решаем:

Упростим формулу функции:

Задача 2. Построим график функции

Как решаем:

Выделим в формуле функции целую часть:

График функции — гипербола, сдвинутая на 3 вправо по x и на 2 вверх по y и растянутая в 10 раз по сравнению с графиком функции


Выделение целой части — полезный прием, который применяется в решении неравенств, построении графиков и оценке целых величин.

Задача 3. По виду графика определить знаки коэффициентов общего вида функции y = ax2 + bx + c.

 





Как решаем:

Вспомним, как параметры a, b и c определяют положение параболы.

 
  1. Ветви вниз, следовательно, a < 0.

    Точка пересечения с осью Oy — c = 0.

    Координата вершины


  2. Ветви вверх, следовательно, a > 0.

    Точка пересечения с осью Oy — c = 0.

    Координата вершины , т.к. неизвестное число при делении на положительное дает отрицательный результат, то это число отрицательное, следовательно, b > 0.


  3. Ветви вниз, следовательно, a < 0.

    Точка пересечения с осью Oy — c > 0.

    Координата вершины , т.к. неизвестное число при делении на отрицательное дает в результате положительное, то это число отрицательное, следовательно, b < 0.

Задача 4. Построить графики функций:

а) y = 3x - 1

б) y = -x + 2

в) y = 2x

г) y = -1

Как решаем:

Воспользуемся методом построения линейных функций «по точкам».

а) y = 3x - 1

Как видим, k = 3 > 0 и угол наклона к оси Ox острый, b = -1 — смещение по оси Oy.

б) y = -x + 2

k = -1 > 0 и b = 2 можно сделать аналогичные выводы, как и в первом пункте.

в) y = 2x

k = 2 > 0 — угол наклона к оси Ox острый, B = 0 — график проходит через начало координат.

г) y = -1

k = 0 — константная функция, прямая проходит через точку b = -1 и параллельно оси Ox.

Задача 5. Построить график функции

Как решаем:

Это дробно-рациональная функция. Область определения функции D(y): x ≠ 4; x ≠ 0.

Нули функции: 3, 2, 6.

Промежутки знакопостоянства функции определим с помощью метода интервалов.

Вертикальные асимптоты: x = 0, x = 4.

Если x стремится к бесконечности, то у стремится к 1. Значит, y = 1 — горизонтальная асимптота.

Вот так выглядит график:

Задача 6. Построить графики функций:

а) y = x² + 1

б)

в) y = (x - 1)² + 2

г)

д)

Как решаем:

Когда сложная функция получена из простейшей через несколько преобразований, то преобразования графиков можно выполнить в порядке арифметических действий с аргументом.

а)

Преобразование в одно действие типа f(x) + a.

y = x²


Сдвигаем график вверх на 1:

y = x² + 1


б)

Преобразование в одно действие типа f(x - a).

y = √x


Сдвигаем график вправо на 1:

y = √x - 1


в) y = (x - 1)² + 2

В этом примере два преобразования, выполним их в порядке действий: сначала действия в скобках f(x - a), затем сложение f(x) + a.

y = x²


Сдвигаем график вправо на 1:

y = (x - 1)²

Сдвигаем график вверх на 2:

y = (x - 1)² + 2


г)

Преобразование в одно действие типа

y = cos(x)


Растягиваем график в 2 раза от оси ординат вдоль оси абсцисс:


д)

Мы видим три преобразования вида f(ax), f (x + a), -f(x).

Чтобы выполнить преобразования, посмотрим на порядок действий: сначала умножаем, затем складываем, а уже потом меняем знак. Чтобы применить умножение ко всему аргументу модуля в целом, вынесем двойку за скобки в модуле.




Сжимаем график в два раза вдоль оси абсцисс:



Сдвигаем график влево на 1/2 вдоль оси абсцисс:



Отражаем график симметрично относительно оси абсцисс:



Построение графика зависимости y = x2

y = x2. (1)

В такой зависимости находятся длина (x) стороны квадрата и его площадь (y).

Для построения графика мы будем поступать так же, как поступали раньше при построении графиков линейной зависимости (см. § 74 и 75) и обратной пропорциональности (§ 76).

Составим, например, такую таблицу значений x и соответствующих значений y:

Построим по таблице точки (черт. 50) на координатной плоскости. Если будем давать x значения, промежуточные между уже взятыми, то точки расположатся на плоскости плотнее. При всевозможных значениях x все точки расположатся на некоторой линии (кривой) называемой параболой (черт. 51).

Из чертежа 51 видно, что весь график расположится в верхней полуплоскости (т. е. выше оси абсцисс) и лишь одна его точка O (0, 0) лежит на оси абсцисс.

Это и понятно: y есть квадрат числа x, поэтому y не может иметь отрицательных значений; запишем это так: (читают: y – неотрицательное число).

Мы видим далее, что все точки графика расположены попарно симметрично относительно оси ординат. Это и понятно. Так как (–3)2 = 32; (–5)2 = 52 и вообще (–a)2 = a2, то точки, имеющие абсциссы, одинаковые по абсолютной величине, но противоположные по знаку, имеют одинаковые ординаты. Значит, каждой точке A (x; y) графика соответствует точка B (–x; y) того же графика, расположенная по другую сторону оси ординат на том же расстоянии от этой оси. Таким образом, ось ординат является осью симметрии графика зависимости y = x2.

Аккуратно построенный график (например, на миллиметровой бумаге) можно использовать для приближенного возведения чисел в квадрат, если не требуется большая точность вычислений.

Пусть, например, требуется найти квадрат числа 3,2. На оси абсцисс находим точку 3,2 (точка A) и из нее проводим перпендикуляр к оси абсцисс до пересечения с графиком в точке M. Ордината этой точки, приблизительно равная 10,2, и даст приближенное значение квадрата числа 3,2 (точное значение 10,24). Ординату можно найти или измерив длину перпендикуляра AM, или опустив из точки M перпендикуляр на ось ординат. Полученная точка на оси ординат покажет величину квадрата данного числа.

Примечание. Ввиду симметрии графика для практических вычислений достаточно начертить только ту его часть, которая расположена в первой четверти координатной плоскости. В самом деле, квадрат положительного числа находится непосредственно по графику; если же нужно найти квадрат отрицательного числа, например –3,6, то ищем по графику квадрат числа 3,6, противоположного данному.

Подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ (Справочник по математике - Планиметрия

Преобразование   y = f (x + c),  где c   – число

Описание:

В случае   c > 0   график функции   y = f (x)   переносится влево на расстояние | c |

Рисунок:

Описание:

В случае   c < 0   график функции   y = f (x)   переносится вправо на расстояние | c |

Рисунок:

Преобразование   y = f (x) + c,  где c   – число

Описание:

В случае   c > 0   график функции   y = f (x)   переносится вверх на расстояние | c |

Рисунок:

Описание:

В случае   c < 0   график функции   y = f (x)   переносится вниз на расстояние | c |

Рисунок:

Преобразование   y = – f (x)

Описание:

График функции   y = f (x)   симметрично отражается относительно оси Ox.

Рисунок:

Преобразование   y = f ( – x)

Описание:

График функции   y = f (x)   симметрично отражается относительно оси Oy.

Рисунок:

Преобразование   y = f (kx), где  k   – число

Описание:

В случае   k > 1   происходит сжатие графика функции   y = f (x)   в   k   раз к оси   Oy.

Рисунок:

Описание:

В случае   0 < k < 1   происходит растяжение графика функции   y = f (x)   в раз от оси   Oy.

Рисунок:

Описание:

В случае   – 1 < k < 0   происходит растяжение графика функции   y = f (x)   в     раз от оси   Oy   с последующим симметричным отражением графика относительно оси Oy.

Рисунок:

Описание:

В случае   k < – 1   происходит сжатие графика функции   y = f (x)   в   | k |   раз к оси   Oy   с последующим симметричным отражением графика относительно оси Oy.

Рисунок:

Преобразование   y = k f (x), где  k   – число

Описание:

В случае   k > 1   происходит растяжение графика функции   y = f (x)   в   k   раз от оси   Ox.

Рисунок:

Описание:

В случае   0 < k < 1   происходит сжатие графика функции   y = f (x)   в     раз к оси   Ox.

Рисунок:

Описание:

В случае   – 1 < k < 0   происходит сжатие графика функции   y = f (x)   в     раз к оси   Ox   с последующим симметричным отражением графика относительно оси Ox.

Рисунок:

Описание:

В случае   k < – 1   происходит растяжение графика функции   y = f (x)   в   | k |   раз от оси   Ox   с последующим симметричным отражением графика относительно оси Ox.

Рисунок:

Преобразование   y = | f (x)|

Описание:

Часть графика функции y = f (x),   расположенная в области , остаётся на месте. Часть графика функции   y = f (x),   расположенная в области   y < 0,   симметрично отражается относительно оси Ox.

Рисунок:

Преобразование   y = f (| x|)

Описание:

Ось   Oy   является осью симметрии графика функции   y = f (| x|).

Часть графика функции   y = f (x), расположенная в области остаётся на месте. Часть графика функции   y = f (| x|),   расположенная в области   x < 0,   получается из части графика, расположенной в области при помощи симметричного отражения относительно оси Oy.

Рисунок:

Mathway | Популярные задачи

1 Найдите производную - d / dx натуральное журнал x
2 Оцените интеграл интеграл натурального логарифма x относительно x
3 Найдите производную - d / dx е ^ х
4 Оцените интеграл интеграл от e ^ (2x) относительно x
5 Найдите производную - d / dx 1 / х
6 Найдите производную - d / dx х ^ 2
7 Найдите производную - d / dx 1 / (х ^ 2)
8 Найдите производную - d / dx грех (х) ^ 2
9 Найдите производную - d / dx сек (x)
10 Оцените интеграл интеграл e ^ x относительно x
11 Оцените интеграл интеграл x ^ 2 относительно x
12 Оцените интеграл интеграл квадратного корня x относительно x
13 Найдите производную - d / dx соз (х) ^ 2
14 Оцените интеграл интеграл от 1 / x по отношению к x
15 Оцените интеграл интеграл sin (x) ^ 2 относительно x
16 Найдите производную - d / dx х ^ 3
17 Найдите производную - d / dx сек (x) ^ 2
18 Оцените интеграл интеграл cos (x) ^ 2 относительно x
19 Оцените интеграл интеграл от sec (x) ^ 2 относительно x
20 Найдите производную - d / dx е ^ (х ^ 2)
21 Оцените интеграл интеграл от 0 до 1 кубического корня из 1 + 7x относительно x
22 Найдите производную - d / dx грех (2x)
23 Найдите производную - d / dx загар (x) ^ 2
24 Оцените интеграл интеграл 1 / (x ^ 2) относительно x
25 Найдите производную - d / dx 2 ^ х
26 График натуральное бревно из
27 Найдите производную - d / dx cos (2x)
28 Найдите производную - d / dx хе ^ х
29 Оцените интеграл интеграл от 2x относительно x
30 Найдите производную - d / dx (натуральный логарифм x) ^ 2
31 Найдите производную - d / dx натуральный логарифм (x) ^ 2
32 Найдите производную - d / dx 3x ^ 2
33 Оцените интеграл интеграл xe ^ (2x) относительно x
34 Найдите производную - d / dx 2e ^ x
35 Найдите производную - d / dx натуральное бревно 2x
36 Найдите производную - d / dx -син (х)
37 Найдите производную - d / dx 4x ^ 2-x + 5
38 Найдите производную - d / dx y = 16 корень четвертой степени из 4x ^ 4 + 4
39 Найдите производную - d / dx 2x ^ 2
40 Оцените интеграл интеграл e ^ (3x) относительно x
41 Оцените интеграл интеграл cos (2x) относительно x
42 Найдите производную - d / dx 1 / (квадратный корень из x)
43 Оцените интеграл интеграл e ^ (x ^ 2) относительно x
44 Оценить e ^ бесконечность
45 Найдите производную - d / dx х / 2
46 Найдите производную - d / dx -cos (x)
47 Найдите производную - d / dx грех (3x)
48 Найдите производную - d / dx 1 / (х ^ 3)
49 Оцените интеграл интеграл tan (x) ^ 2 относительно x
50 Оцените интеграл интеграл 1 по x
51 Найдите производную - d / dx х ^ х
52 Найдите производную - d / dx x натуральное бревно x
53 Найдите производную - d / dx х ^ 4
54 Оценить предел предел, когда x приближается к 3 из (3x-5) / (x-3)
55 Оцените интеграл интеграл x ^ 2 натуральный логарифм x относительно x
56 Найдите производную - d / dx f (x) = квадратный корень из x
57 Найдите производную - d / dx х ^ 2sin (х)
58 Оцените интеграл интеграл sin (2x) относительно x
59 Найдите производную - d / dx 3e ^ x
60 Оцените интеграл интеграл xe ^ x относительно x
61 Найдите производную - d / dx у = х ^ 2
62 Найдите производную - d / dx квадратный корень из x ^ 2 + 1
63 Найдите производную - d / dx грех (x ^ 2)
64 Оцените интеграл интеграл от e ^ (- 2x) относительно x
65 Оцените интеграл интеграл натурального логарифма квадратного корня x относительно x
66 Найдите производную - d / dx е ^ 2
67 Найдите производную - d / dx х ^ 2 + 1
68 Оцените интеграл интеграл sin (x) относительно x
69 Найдите производную - d / dx арксин (х)
70 Оценить предел предел, когда x приближается к 0 of (sin (x)) / x
71 Оцените интеграл интеграл e ^ (- x) относительно x
72 Найдите производную - d / dx х ^ 5
73 Найдите производную - d / dx 2 / х
74 Найдите производную - d / dx натуральное бревно из 3х
75 Найдите производную - d / dx х ^ (1/2)
76 Найдите производную - d / d @ VAR f (x) = квадратный корень из x
77 Найдите производную - d / dx соз (x ^ 2)
78 Найдите производную - d / dx 1 / (х ^ 5)
79 Найдите производную - d / dx кубический корень из x ^ 2
80 Оцените интеграл интеграл cos (x) относительно x
81 Оцените интеграл интеграл e ^ (- x ^ 2) относительно x
82 Найдите производную - d / d @ VAR е (х) = х ^ 3
83 Оцените интеграл интеграл от 0 до 10 из 4x ^ 2 + 7 по x
84 Оцените интеграл интеграл (натуральный логарифм x) ^ 2 относительно x
85 Найдите производную - d / dx журнал x
86 Найдите производную - d / dx арктан (x)
87 Найдите производную - d / dx натуральное бревно 5x
88 Найдите производную - d / dx 5e ^ x
89 Найдите производную - d / dx cos (3x)
90 Оцените интеграл интеграл x ^ 3 относительно x
91 Оцените интеграл интеграл x ^ 2e ^ x относительно x
92 Найдите производную - d / dx Корень четвертой степени из 4x ^ 4 + 4 (16)
93 Найдите производную - d / dx х / (е ^ х)
94 Оценить предел предел, когда x приближается к 3 от arctan (e ^ x)
95 Оцените интеграл интеграл от (e ^ x-e ^ (- x)) / (e ^ x + e ^ (- x)) относительно x
96 Найдите производную - d / dx 3 ^ х
97 Оцените интеграл интеграл xe ^ (x ^ 2) относительно x
98 Найдите производную - d / dx 2sin (х)
99 Оценить сек (0) ^ 2
100 Найдите производную - d / dx натуральный логарифм x ^ 2

Постройте график y = 2x ^ 2-x-6

Уравнение y = 2x 2 - x - 6

a) Чтобы найти точку пересечения y, подставьте x = 0 в y = 2x 2 - x - 6.

у = 2 (0) 2 -0-6

y перехват - 6.

b) Чтобы найти точку пересечения с x, подставьте y = 0 в y = 2x 2 - x - 6

2x 2 - x - 6 = 0

2x 2 - 4x + 3x - 6 = 0

2x (x - 2) + 3 (x - 2) = 0

(x - 2) (2x + 3) = 0

x - 2 = 0 и 2x = - 3

х = 2 и х = - 3/2

х перехватов 2 и -3/2.

c) y = 2x 2 - x - 6

Сравните это с y = ax 2 + bx + c

а = 2, б = - 1, в = - 6

Найти вершину оси симметрии x = - b / 2a

х = - (- 1) / 2 (2)

х = 1/4

Чтобы найти координату y вершины, подставьте x = 1/4 в y = 2x 2 - x - 6.

у = 2 (1/4) 2 - (1/4) - 6

у = 1/8 - 1/4 - 6

у = (1-2-48) / 8

у = - 49/8

Вершина равна (x, y) = (1/4, -49/8) или (0,25, - 6,125).

График

Выберите случайные значения для y и найдите соответствующие значения для x .

x

y = 2x 2 - x - 6

(х, у)

1

у = 2 (1) 2 -1-6

(1, - 5)

- 1

у = 2 (-1) 2 + 1-6

(-1, - 3)

- 2

у = 2 (-2) 2 + 2-6

(-2, 4)

2.5

у = 2 (2,5) 2 - 2,5 - 6

(7, - 3)

1. Нарисуйте координатную плоскость.

2. Постройте пересечения осей симметрии x, y и координаты точек, найденных в таблице.

3. Затем нарисуйте график, соединив точки плавной кривой.

Решите квадратные уравнения 1-2x-x2 = 0 Tiger Algebra Solver

Переформатирование входных данных:

Изменения, внесенные во входные данные, не должны влиять на решение:

(1): «x2» было заменено на «x ^ 2» ".

Пошаговое решение:

Шаг 1:

Шаг 2:

Вытягивание подобных терминов:

2.1 Вытягивание подобных факторов:

-x 2 - 2x + 1 = -1 • (x 2 + 2x - 1)

Попытка разложить на множители путем разделения среднего члена

2.2 Факторинг x 2 + 2x - 1

Первый член, x 2 , его коэффициент равен 1.
Средний член равен, + 2x, его коэффициент равен 2.
Последний член, «константа», равен -1

Шаг-1: Умножьте коэффициент первого члена на константу 1 • -1 = -1

Шаг-2: Найдите два множителя -1, сумма которых равен коэффициенту среднего члена, равному 2.

-1 + 1 = 0


Наблюдение: Два таких фактора не могут быть найдены !!
Заключение: трехчлен не может быть разложен на множители

Уравнение в конце шага 2:
 -x  2  - 2x + 1 = 0
 

Шаг 3:

 
Парабола, поиск вершины:

3.1 Найдите вершину y = -x 2 -2x + 1

Параболы имеют самую высокую или самую низкую точку, называемую вершиной. Наша парабола открывается вниз и, соответственно, имеет наивысшую точку (также известную как абсолютный максимум). Мы знаем это даже до того, как нанесли «y», потому что коэффициент первого члена, -1, отрицателен (меньше нуля).

Каждая парабола имеет вертикальную линию симметрии, проходящую через ее вершину. Из-за этой симметрии линия симметрии, например, будет проходить через середину двух x-точек пересечения (корней или решений) параболы.То есть, если парабола действительно имеет два реальных решения.

Параболы могут моделировать множество реальных жизненных ситуаций, например высоту над землей объекта, брошенного вверх через некоторый промежуток времени. Вершина параболы может предоставить нам информацию, например, максимальную высоту, которую может достичь объект, брошенный вверх. По этой причине мы хотим иметь возможность найти координаты вершины.

Для любой параболы Ax 2 + Bx + C координата x вершины задается как -B / (2A).В нашем случае координата x равна -1,0000

Подставляя в формулу параболы -1,0000 для x, мы можем вычислить координату y:
y = -1,0 * -1,00 * -1,00 - 2,0 * -1,00 + 1,0
или y = 2.000

Парабола, графическая вершина и пересечения по оси X:

Корневой график для: y = -x 2 -2x + 1
Ось симметрии (пунктирная линия) {x} = {- 1.00}
Вершина в {x, y} = {-1,00, 2,00}
x -Перехваты (корни):
Корень 1 в {x, y} = {0,41, 0,00}
Корень 2 в {x, y} = {-2.41, 0.00}

Решите квадратное уравнение, заполнив квадрат

3.2 Решение -x 2 -2x + 1 = 0, заполнив квадрат.

Умножьте обе части уравнения на (-1), чтобы получить положительный коэффициент для первого члена:
x 2 + 2x-1 = 0 Добавьте 1 к обеим частям уравнения:
x 2 + 2x = 1

Теперь умный бит: возьмите коэффициент при x, равный 2, разделите его на два, получив 1, и возведите его в квадрат, получив 1

Добавьте 1 к обеим сторонам уравнения:
В правой части мы имеем :
1 + 1 или, (1/1) + (1/1)
Общий знаменатель двух дробей равен 1. Сложение (1/1) + (1/1) дает 2/1
Таким образом, прибавляя к обеим сторонам окончательно получаем:
x 2 + 2x + 1 = 2

Добавление 1 завершило левую часть в полный квадрат:
x 2 + 2x + 1 =
(x + 1) • (x + 1) =
(x + 1) 2
Вещи, которые равны одному и тому же, также равны друг другу.Поскольку
x 2 + 2x + 1 = 2 и
x 2 + 2x + 1 = (x + 1) 2
, то согласно закону транзитивности
(x + 1) 2 = 2

Мы будем называть это уравнение уравнением. # 3.2.1

Принцип квадратного корня гласит, что когда две вещи равны, их квадратные корни равны.

Обратите внимание, что квадратный корень из
(x + 1) 2 равен
(x + 1) 2/2 =
(x + 1) 1 =
x + 1

Теперь, применяя Принцип квадратного корня для уравнения.# 3.2.1 получаем:
x + 1 = √ 2

Вычтите 1 из обеих сторон, чтобы получить:
x = -1 + √ 2

Поскольку квадратный корень имеет два значения, одно положительное, а другое отрицательное
x 2 + 2x - 1 = 0
имеет два решения:
x = -1 + √ 2
или
x = -1 - √ 2

Решите квадратное уравнение с помощью квадратичной формулы

3.3 Решение -x 2 -2x + 1 = 0 по квадратичной формуле.

Согласно квадратичной формуле, x, решение для Ax 2 + Bx + C = 0, где A, B и C - числа, часто называемые коэффициентами, дается как:

- B ± √ B 2 -4AC
x = ————————
2A

В нашем случае A = -1
B = -2
C = 1

Соответственно B 2 - 4AC =
4 - (-4) =
8

Применение квадратичной формулы:

2 ± √ 8
x = ————
-2

Можно ли упростить √ 8?

Да! Разложение на простые множители 8 равно
2 • 2 • 2
Чтобы можно было удалить что-то из-под корня, должно быть 2 экземпляра этого (потому что мы берем квадрат i.е. второй корень).

√ 8 = √ 2 • 2 • 2 =
± 2 • √ 2

√ 2, округленное до 4 десятичных цифр, составляет 1,4142
Итак, теперь мы смотрим на:
x = (2 ± 2 • 1,414) / -2

Два реальных решения:

x = (2 + √8) / - 2 = 1-√ 2 = -2,414

или:

x = (2-√8) / - 2 = 1 + √ 2 = 0,414

Было найдено два решения:

  1. x = (2-√8) / - 2 = 1 + √ 2 = 0,414
  2. x = (2 + √8) / - 2 = 1-√ 2 = -2,414

Квадратичные функции

Квадратичные функции

Содержание : Эта страница соответствует § 3.1 (стр. 244) текста.

Предлагаемые задачи из текста:

с. 251 # 1-8, 10, 11, 15, 16, 18, 19, 21, 23, 24, 30, 33, 37, 38, 75

Графики

Стандартная форма

Приложения


Графики

Квадратичная функция имеет вид f (x) = ax 2 + bx + c , где a , b и c - числа, где a не равны нулю.

График квадратичной функции - это кривая, называемая параболой . Параболы могут открываться вверх или вниз и различаются по «ширине» или «крутизне», но все они имеют одинаковую базовую U-образную форму. В На рисунке ниже показаны три графика, и все они являются параболами.

Все параболы симметричны относительно линии, называемой осью симметрии . Парабола пересекает его ось симметрии находится в точке, называемой вершиной параболы.

Вы знаете, что две точки определяют линию. Это означает, что если вам даны любые две точки на плоскости, то есть одна и только одна линия, содержащая обе точки. Аналогичное утверждение можно сделать относительно точек и квадратичных функции.

Учитывая три точки на плоскости, которые имеют разные первые координаты и не лежат на одной прямой, существует ровно одна квадратичная функция f, график которой содержит все три точки. Апплет ниже иллюстрирует этот факт.График содержит три точки и параболу, проходящую через все три. Соответствующая функция показана в тексте поле под графиком. Если вы перетащите любую из точек, функция и парабола обновятся.

Многие квадратичные функции можно легко изобразить вручную, используя методы растяжения / сжатия и сдвига. (перевод) парабола y = x 2 . (См. Раздел о работе с графики.)

Пример 1 .

Нарисуйте график y = x 2 /2. Начиная с графика y = x 2 , мы сокращаемся в раз половины. 2-5.Начнем с графика y = x 2 , сдвинем на 4 единицы вправо, затем 5 единиц вниз.

Упражнение 1 :

(a) Нарисуйте график y = (x + 2) 2 - 3. Ответ

(b) Нарисуйте график y = - (x - 5) 2 + 3. Ответ

Вернуться к содержанию

Стандартная форма

Функции в частях (a) и (b) упражнения 1 являются примерами квадратичных функций в стандартной форме .Когда квадратичная функция имеет стандартную форму, ее график легко построить, отражая, сдвигая и растяжение / сжатие параболы y = x 2 .

Квадратичная функция f (x) = a (x - h) 2 + k, не равная нулю, считается в стандартной форме . Если а положительно, график открывается вверх, а если отрицательно, то открывается вниз. Линия симметрии - это вертикальная линия x = h, а вершина - это точка (h, k).

Любую квадратичную функцию можно переписать в стандартной форме, добавив до квадрата . (См. Раздел о решая уравнения алгебраически, чтобы просмотреть завершение квадрата.) Шаги, которые мы используем в этом разделе для завершения квадрата, будут выглядеть немного иначе, потому что наш главный цель здесь не в решении уравнения.

Обратите внимание, что когда квадратичная функция имеет стандартную форму, ее нули также легко найти с помощью квадратного корня. принцип.

Пример 3 .

Запишите функцию f (x) = x 2 - 6x + 7 в стандартной форме. Нарисуйте график функции f и найдите его нули и вершина.

f (x) = x 2 - 6x + 7.

= (x 2 - 6x) + 7. Сгруппируйте члены x 2 и x и затем заполните квадрат на этих условиях.

= (x 2 - 6x + 9 - 9) + 7.

Нам нужно добавить 9, потому что это квадрат половины коэффициента при x, (-6/2) 2 = 9. Когда мы решая уравнение, мы просто добавляли 9 к обеим частям уравнения. В этой настройке мы добавляем и вычитаем 9 так что мы не меняем функцию.

= (x 2 - 6x + 9) - 9 + 7. Мы видим, что x 2 - 6x + 9 - это полный квадрат, а именно (x - 3) 2 .

f (x) = (x - 3) 2 - 2.Это стандартная форма .

Из этого результата легко найти вершина графа f - это (3, -2).

Чтобы найти нули f, мы устанавливаем f равным 0 и решаем относительно x.

(x - 3) 2 - 2 = 0.

(x - 3) 2 = 2.

(x - 3) = ± sqrt (2).

х = 3 ± sqrt (2).

Чтобы нарисовать график f, сдвинем график y = x 2 на три единицы вправо и на две единицы вниз.

Если коэффициент при x 2 не равен 1, то мы должны вынести этот коэффициент из x 2 и x, прежде чем продолжить.

Пример 4 .

Запишите f (x) = -2x 2 + 2x + 3 в стандартной форме и найдите вершину графика f.

f (x) = -2x 2 + 2x + 3.

= (-2x 2 + 2x) + 3.

= -2 (x 2 - x) + 3.

= -2 (x 2 - x + 1/4 - 1/4) + 3.

Мы складываем и вычитаем 1/4, потому что (-1/2) 2 = 1/4, а -1 - коэффициент при x.

= -2 (x 2 - x + 1/4) -2 (-1/4) + 3.

Обратите внимание, что все в круглых скобках умножается на -2, поэтому, когда мы убираем -1/4 из круглых скобок, мы необходимо умножить на -2.

= -2 (x - 1/2) 2 + 1/2 + 3.

= -2 (х - 1/2) 2 + 7/2.

Вершина - это точка (1/2, 7/2). Поскольку граф открывается вниз (-2 <0), вершина является высшей точкой на графике.

Упражнение 2 :

Запишите f (x) = 3x 2 + 12x + 8 в стандартной форме.Нарисуйте график функции f, найдите его вершину и найдите нули f. Ответ

Альтернативный метод поиска вершины

В некоторых случаях завершение квадрата - не самый простой способ найти вершину параболы. Если график квадратичная функция имеет два пересечения по оси x, тогда линия симметрии - это вертикальная линия, проходящая через среднюю точку х-перехватчиков.

Х-точки пересечения на графике выше находятся в точках -5 и 3.Линия симметрии проходит через -1, что является средним -5 и 3. (-5 + 3) / 2 = -2/2 = -1. Как только мы узнаем, что линия симметрии x = -1, мы узнаем первую координату вершины -1. Вторую координату вершины можно найти, вычислив функцию при x = -1.

Пример 5 .

Найдите вершину графика функции f (x) = (x + 9) (x - 5).

Поскольку формула для f разложена на множители, легко найти нули: -9 и 5.

Среднее значение нулей (-9 + 5) / 2 = -4/2 = -2. Итак, линия симметрии x = -2 и первая координата вершины -2.

Вторая координата вершины: f (-2) = (-2 + 9) (- 2-5) = 7 * (- 7) = -49.

Следовательно, вершина графика f равна (-2, -49).

Вернуться к содержанию

Приложения

Пример 6 .

У владельца ранчо есть 600 метров забора, чтобы ограждать прямоугольный загон с другим забором, разделяющим его посередине. как на схеме ниже.

Как показано на схеме, каждая из четырех горизонтальных секций забора будет иметь длину х метров, а три каждая вертикальная секция будет иметь длину y метров.

Цель владельца ранчо - использовать весь забор и оградить как можно большую площадь .

Каждый из двух прямоугольников имеет площадь xy, поэтому мы имеем

Общая площадь: A = 2xy.

Мы мало что можем сделать с величиной A, если она выражается как произведение двух переменных. Тем не мение, Тот факт, что у нас есть только 1200 метров забора, приводит к уравнению, которому должны удовлетворять x и y.

3г + 4х = 1200.

3y = 1200 - 4x.

y = 400 - 4x / 3.

Теперь у нас есть y, выраженная как функция от x, и мы можем подставить это выражение для y в формулу для общего площадь А.

A = 2xy = 2x (400 -4x / 3).

Нам нужно найти значение x, которое делает A как можно большим. A - квадратичная функция от x, а график открывается вниз, поэтому наивысшая точка на графике A - вершина. Поскольку A разложено на множители, самый простой способ найти вершина - найти пересечения по оси x и усреднить.

2x (400 -4x / 3) = 0.

2x = 0 или 400 -4x / 3 = 0.

x = 0 или 400 = 4x / 3.

x = 0 или 1200 = 4x.

х = 0 или 300 = х.

Следовательно, линия симметрии графика A равна x = 150, среднему от 0 до 300. 2.- Sarthaks eConnect

Пусть y = f (x) или, y = 3 - 2x - x 2 .

Перечислим несколько значений y = 3 - 2x - x 2 , соответствующих нескольким значениям x следующим образом:

x -5 -4 -3 - 2 -1 0 1 2 3 4
y = 3-2x-x 2 -12 -5 0 4 3 0 -5 -12 -21

Таким образом, следующие точки лежат на графике полинома y = 2 - 2x - x 2 :

( -5, -12), (-4, -5), (-3, 0), (-2, 4), (-1, 4), (0, 3), (1, 0), (2 , - 5), (3, -12) и (4, - 21).

Построим эти точки на миллиметровой бумаге и проведем плавную кривую, проходящую через эти точки, чтобы получить графики y = 3 - 2x - x 2 . Полученная таким образом кривая представляет собой параболу, как показано на рисунке. Наивысшая точка P (-1, 4), называемая точкой максимума, является вершиной параболы. Вертикальная линия, проходящая через точку P, является осью параболы. Ясно, что парабола симметрична относительно оси.

Наблюдения: Следующие наблюдения из графика полинома f (x) = 3 - 2x - x 2 выглядят следующим образом:

(i) Коэффициент при x2 в f (x) = 3 - 2x - x 2 - 1 i.е. отрицательное действительное число, поэтому парабола открывается вниз.

(ii) D = b 2 - 4ax = 4 + 12 = 16> 0. Итак, парабола пересекает ось x на две отдельные точки.

(iii) Сравнивая многочлен 3 - 2x - x 2 с ax 2 + bc + c, мы получаем a = - 1, b = - 2 и c = 3. Вершина параболы находится в точке точка (-1, 4), т.е. в (-b / 2a, -D / 4a), где D = b 2 - 4ac.

(iv) Многочлен f (x) = 3 - 2x - x 2 = (1 - x) (x + 3) разлагается на два различных линейных множителя (1 - x) и (x + 3).Итак, парабола пересекает ось X в двух разных точках (1, 0) и (-3, 0). Координаты этих точек - нули функции f (x).

График 2x X 2

2-й график параболы математические характеристики его

экспоненциальные функции свойства графиков 2х графиков функция экспоненты родительская база, чем показанная алгебра формул выглядит лучше gmat расширенная правая математика

ось x2 график x2 mathman biz

график квадратичный рисовать 2x коэффициент функции уравнения функция отрицательный график происходит ведущий попытаться пусть

график линия математика прямая алгебра геометрия равная координата области принадлежит kwiznet he ags статистика среднее значение константа

парабола графа шире 2x более узкая, чем кривая Сократа меньше

график x2 квадрат линейная диаграмма коэффициент мощности растяжение шкала Google растягивает время, показывающее график математика математика x3d bbc преобразование gcse

2x график функции минимумы максимумы объяснить

x2 2x2 парабола фиолетовый графики функций соответственно значения точек меняются

2x точки x2 функции уравнения математический график графики рабочие листы функции графики, которые хотят узнать

график 2x 2sin синус рисовать кривые греха xy назначение исследуя

2x вершинный квадратичный ответ Сократа

график 2x выполняет функцию решения минимум x2 максимум выглядит квадратичный график алгебра пусть вершина вопрос функции 2c5 2c точка

линия графика отражение 2x область диапазона вдоль его

Докажите, что sec ^ î € € 2 xî € + cos ^ î € € 2 xî €> = î € 2î € для всех î € € xî € принадлежит действительному

график

эскиз графика 2x x2 отношения контур

уравнение x2 график квадратичных совпадений показано функция

график tan tan2x нарисуйте ответ пожалуйста объясните функцию математика математика

график функция графики кривая математика bbc power translations дифференцируемый gcse bitesize ли проверить

граф неявное дифференцирование круг x2 y2 mathsisfun исчисление

график экспоненциальная функция функции основные аналогичные студенты

экспоненциальные функции график функция графики систрия семейства

график функция производная наклон производные записать задачи назначение взять

уравнения 2x квадратичные графики рисовать таблицу математика iii сцена

график 2x 3x ii

граф парабола 2x 5x

построить график x2 y2 z2 изменения математического уравнения

экспоненты expon ltcconline greenl курсы

график cos 2x 9ox

график

Mathscene - Функции 1 - Урок 3

Mathscene - Функции 1 - Урок 3
2007 Rasmus ehf и Jhann sak

Функции Я

Печать

Урок 3

.

Функции второй степени


Давайте снова посмотрим на многочлены второй степени.Самая простая форма функции - f (x) = х 2 . График представляет собой параболу часто называют основной параболой.

Обратите внимание, что график симметричен относительно оси y- ось. Ось ординат называется осью симметрии этой функции.

Теперь посмотрим, как коэффициенты влияют на внешний вид графика.

Коэффициент x 2 равен обычно называется a. Если мы посмотрим на параболы с разными значениями a мы видим, что некоторые из них шире, а некоторые - уже основной параболы, где a = 1.

Вот графики парабол, где a = 4, 2, ог.

а = 4 а = 2 а = а =

Вот параболы с отрицательные значения

а = −4 а = −2 а = - а = -

Если значение a равно положительный график изгибается вверх (как улыбка!) Чем больше значение уже график.

Как становится мало график становится более плоским и плоским до тех пор, пока, когда a не станет отрицательным, он не станет меньше ( как хмурый взгляд! ).


Пример 1

Теперь нарисуем график из f (x) = x 2 + 1 и сравните его с g (x) = x 2 .

x f (x) = х 2 + 1
-2 (-2) 2 + 1 = 5
-1 (-1) 2 + 1 = 2
0 0 + 1 = 1
1 1 2 + 1 = 2
2 2 2 + 1 = 5

Значения функции ( y) в таблице значений для f (x) = x 2 +1 все на единицу выше соответствующих значений в таблице значений для g (x) = x 2 и график был переведен по вертикали на 1 единицу.

Обратите внимание, что график f (x) = x 2 + 1 не пересекает ось абсцисс. Это говорит нам о том, что уравнение x 2 + 1 = 0 не имеет решения. Мы уже знаем это, поскольку число в квадрате никогда не бывает отрицательный, поэтому x 2 никогда не может быть равно -1.


Пример 2

Нарисуйте график f (x) = x 2 - 1 и сравните с g (x) = х 2 .

x f (x) = х 2 - 1
-2 (-2) 2 - 1 = 3
-1 (-1) 2 - 1 = 0
0 0 - 1 = -1
1 1 2 - 1 = 0
2 2 2 - 1 = 3

Теперь значения функции в все таблицы f (x) на единицу ниже соответствующих значений в таблице для g (x) = x 2 и график опустился на одну единицу.

Обратите внимание, что в этом примере график f (x) = x 2 - 1 пересекает ось x в двух местах.

Это означает, что уравнение x 2 - 1 = 0 имеет два решения,

x 2 - 1 = 0

х 2 = 1

х = 1

, которые равны x = −1 и x = 1.


Пример 3

Нарисуйте график f (x) = (x + 1) 2 (или f (x) = x 2 + 2x + 1) и сравните это к основной параболе g (x) = x 2 .

x f (x) = (х + 1) 2
-3 (-3 + 1) 2 = 4
-2 (-2 + 1) 2 = 1
-1 (-1 + 1) 2 = 0
0 (0 + 1) 2 = 1
1 (1 + 1) 2 = 4

Здесь мы прибавили 1 к x и мы видим, что функция значения в таблице значений сдвинуты на одну строку вверх по сравнению с базовыми функция.

График f (x) - это так же, как если бы мы переместили график g (x) = x 2 на одну единицу Слева.

Мы говорим, что основной график переведено на -1 единиц по горизонтали. Ось симметрии теперь x = -1.


Пример 4

Нарисуйте график f (x) = (x - 2) 2 - 1 (или f (x) = x 2 - 4x + 3) и сравните его с базовым графиком g (x) = x 2 .

Если использовать тот же метод, что и в предыдущем Например, мы можем предположить, что график переместился на две единицы вправо и одну блок вниз. Теперь проверим это, составив таблицу значения, начиная с x = 0 и рисование графика.

x f (x) = (х - 2) 2 - 1
0 (0–2) 2 - 1 = 3
1 (1-2) 2 - 1 = 0
2 (2–2) 2 - 1 = -1
3 (3–2) 2 - 1 = 0
4 (4–2) 2 - 1 = 3

Обратите внимание, что ось симметрии теперь x = 2.

Мы можем найти, где график пересекает ось Y без рисования графика. Мы делаем это, вычисляя f (0) = 3 или путем умножения скобок и видя, что постоянный член (член без x) равен 3.

f (x) = (x - 2) 2 - 1 = x 2 - 4x + 4 - 1 = x 2 - 4x + 3 или

f (0) = (x - 2) 2 - 1 = 4 - 1 = 3


Пример 5

Найдите график зависимости f (x) = (x - 2) 2 - 1 пересекает ось абсцисс.Положим y = f (x) = 0, а затем решим уравнение для x.

(x - 2) 2 - 1 = 0 Первый переместите -1 над знаком равенства.
(x - 2) 2 = 1 Далее, извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения. Помните + и -.
x - 2 = 1 = 1 Наконец переместите 2 на другую сторону и упростите результат.
х = 2 1

Точки пересечения х = 2 -1 = 1 и x = 2 + 1 = 3.

Легко видеть, что запись функции как f (x) = (x - 2) 2 - 1 дает нам много информации.

Он сообщает нам, как переводится основной график вертикально и горизонтально.

Он также сообщает нам, где находится ось симметрии.

Наконец, мы можем легко найти точки пересечение с осями x и y.

Общий вид уравнения, записанного в этом путь:

f (x) = a (x + r) 2 + s

a - коэффициент x 2 как мы уже видели.

г. ось симметрии имеет уравнение x = −r (или, можно сказать, то же значение как r, но с обратным знаком).

Поэтому важно знать, как перепишите функцию

f (x) = ax 2 + bx + c в виде f (x) = a (x + r) 2 + s


Пример 6

Теперь давайте посмотрим, как мы можем изменить секунду функция степени от одной формы к другой.

Записываем f (x) = x 2 - 4x + 3 в виде f (x) = (x - 2) 2 . - 1.

По сравнению с общей формой:

f (x) = ах 2 + bx + c

f (х) = х 2 - 4x + 3

Здесь = 1

og b = −4

и c = 3 (поэтому график пересекает ось y в 3).

Посмотрите на правило возведения скобки в квадрат:

(x q) 2 = p 2 2xq + q 2 .

Мы видим, что коэффициент при x составляет 2кв.

В нашем примере коэффициент при x равен −4, что означает 2q = - 4 и, следовательно, q = −2.

Если посчитать (х - 2) 2 получаем x 2 - 4x + 4.

(х - 2) 2 = х 2 - 4x + 4.

Если мы вычтем 1 с обеих сторон мы получили :

(х - 2) 2 −1 = x 2 - 4x + 4−1 = x 2 - 4x + 3

Обобщая метод:

f (x) = x 2 - 4x + 3 Половина коэффициент при x равен −4 / 2 = −2, который мы возводим в квадрат (4) и добавить к уравнению.
= (x 2 - 4x + 2 2 ) - 2 2 + 3
= (x - 2) 2 - 4 + 3 Если мы прибавив 4 к уравнению, мы также должны вычесть 4, чтобы уравнение без изменений
Теперь упростим −4 + ​​3 = −1
= (x - 2) 2 - 1

Из приведенного выше примера можно сделать вывод, что график полинома второй степени, где a = 1 (f (x) = x 2 + bx + c) имеет ось симметрии в:

x = −b / 2 и обрезает y ось, где y = c.


Пример 7

Найдите ось симметрии графика f (x) = 2x 2 - 12x + 10.

В этом случае a = 2, поэтому правило из предыдущего примера не применяется. Ни один так же легко переписать функцию, как раньше.

Вместо этого мы переводим функцию вниз на 10 единиц путем вычитания 10 из уравнения. Перемещение графика по вертикали не изменить положение оси симметрии.

Назовем эту новую функцию g (x) и найдем, где g (x) отсекает ось x.

2x 2 - 12x = 0

2x (х - 6) = 0

Это уравнение имеет решения x = 0 и 6, поэтому график g (x) пересекает ось x в 0 и 6. Ось симметрии должна быть посередине этих двух точек, что находится в x = 3 .


Пример 8

Перепишем функцию f (x) = 2x 2 - 12x + 10 в форме
f (x) = a (x + r) 2 + s.

f (x) = 2x 2 - 12x + 10 Дубль 2 вне скобки. Половина коэффициента при x равно −6 / 2 = −3, поэтому добавьте 3 2 внутри скобки. Мы действительно добавили 18, поэтому теперь нам нужно вычесть 23 2 = 18 за пределами скобки.
= 2 (x 2 - 6x + 3 2 ) - 2 3 2 + 10
= 2 (x 2 - 6x + 9) - 18 + 10
= 2 (х - 3) 2 - 8

Теперь мы, как и раньше, видим, что ось симметрии находится в x = 3.

Коэффициенты x В приведенном выше примере (f (x) = 2x 2 - 12x + 10) равны a = 2, b = −12 и c = 10. Чтобы найти ось симметрии, мы множитель 2 вынес за скобки. Это соответствует делению на 2. Тогда мы завершил квадрат делением коэффициента при x (−6) на 2.

Общая формула оси симметрии функция
f (x) = ax 2 + bx + c - это следовательно:


Пример 9

Найдите вершину параболы f (x) = 2x 2 - 12x + 10.

Вершина (в которой вращается парабола) лежит на оси симметрии, поэтому мы знаем значение x вершины (3).

Мы нашли значение y путем вычисления f (3).

f (3) = 23 2 - 123 + 10 = 18 - 36 + 10 = −8.

Вершина параболы равна (3, −8).

Примечание: Если a> 0, вершина является точкой минимума. Если a <0 вершина является точкой максимума.


Попробуйте пройти тест 3 по функциям I.
Не забудьте использовать контрольный список, чтобы отслеживать свою работу.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *