Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ°: ЛогарифмичСская функция, Π΅Ρ‘ свойства ΠΈ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ β€” ΡƒΡ€ΠΎΠΊ. АлгСбра, 11 класс. – Π›ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ β€” ВикипСдия

Π‘ΠΎΠ΄Π΅Ρ€ΠΆΠ°Π½ΠΈΠ΅

ЛогарифмичСская функция. АлгСбра, 11 класс: ΡƒΡ€ΠΎΠΊΠΈ, тСсты, задания.

1. ΠŸΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

Π‘Π»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ: Π»Ρ‘Π³ΠΊΠΎΠ΅

1
2. Π‘Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΎΠ²

Π‘Π»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ: Π»Ρ‘Π³ΠΊΠΎΠ΅

1
3. Π—Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π° (Ρ†Π΅Π»ΠΎΠ΅ число)

Π‘Π»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ: Π»Ρ‘Π³ΠΊΠΎΠ΅

2
4. ВозрастаниС ΠΈ ΡƒΠ±Ρ‹Π²Π°Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

Π‘Π»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ: Π»Ρ‘Π³ΠΊΠΎΠ΅

2
5. ΠžΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ опрСдСлСния логарифмичСской Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

Π‘Π»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ: Π»Ρ‘Π³ΠΊΠΎΠ΅

4
6. НахоТдСниС области опрСдСлСния Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ°

Π‘Π»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ: срСднСС

1
7. НахоТдСниС области опрСдСлСния Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ°, пСрСмСнная Π² основании Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ°

Π‘Π»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ: срСднСС

2
8. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ основания Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ°

Π‘Π»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ: срСднСС

2
9. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²ΠΈΠ΄Π° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΏΠΎ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΡƒ

Π‘Π»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ: срСднСС

1
10. Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ логарифмичСской Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π²ΠΈΠ΄Π° y = log2(x + b)

Π‘Π»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ: срСднСС

3
11. Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ логарифмичСской Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ y = log2x + a

Π‘Π»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ: срСднСС

3
12. ВозрастаниС ΠΈ ΡƒΠ±Ρ‹Π²Π°Π½ΠΈΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ (основаниС большС 1)

Π‘Π»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ: срСднСС

2
13. ΠžΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ опрСдСлСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ (основаниС большС 1)

Π‘Π»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ: срСднСС

5
14. ΠžΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ опрСдСлСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ (Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΡŒ)

Π‘Π»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ: срСднСС

5
15.
ΠžΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ опрСдСлСния Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ (ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ ΠΈ логарифмичСская Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ)

Π‘Π»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ: слоТноС

4

ΠŸΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ ΠΈ логарифмичСская Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ. АлгСбра, 11 класс: ΡƒΡ€ΠΎΠΊΠΈ, тСсты, задания.

Π’Ρ…ΠΎΠ΄ ЯКласс Π»ΠΎΠ³ΠΎ
Π’Ρ…ΠΎΠ΄ РСгистрация Начало Начало Поиск ΠΏΠΎ сайту Поиск ΠΏΠΎ сайту Π’ΠžΠŸΡ‹ Π’ΠžΠŸΡ‹ Π£Ρ‡Π΅Π±Π½Ρ‹Π΅ завСдСния Π£Ρ‡Π΅Π±Π½Ρ‹Π΅ завСдСния ΠŸΡ€Π΅Π΄ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ‹ ΠŸΡ€Π΅Π΄ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ‹ ΠŸΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΎΡ‡Π½Ρ‹Π΅ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹ ΠŸΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΎΡ‡Π½Ρ‹Π΅ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹ ОбновлСния ОбновлСния Новости Новости ΠŸΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΊΠ° ΠŸΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΊΠ° ΠžΡ‚ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΎΡ‚Π·Ρ‹Π²ΠžΡ‚ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΎΡ‚Π·Ρ‹Π² ЯКласс Π»ΠΎΠ³ΠΎ
  • ΠŸΡ€Π΅Π΄ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ‹
  • АлгСбра
  • 11 класс
  1. ΠŸΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ функция, Π΅Ρ‘ свойства ΠΈ Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ

  2. ΠŸΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ уравнСния

  3. ΠŸΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ нСравСнства

  4. ΠŸΠΎΠ½ΡΡ‚ΠΈΠ΅ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ°

  5. ЛогарифмичСская функция

  6. Бвойства Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΎΠ²

  7. ЛогарифмичСскиС уравнСния

  8. ЛогарифмичСскиС нСравСнства

  9. ΠŸΠ΅Ρ€Π΅Ρ…ΠΎΠ΄ ΠΊ Π½ΠΎΠ²ΠΎΠΌΡƒ основанию

  10. БистСмы ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΠΈ логарифмичСских ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ

  11. БистСмы логарифмичСских ΠΈ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… нСравСнств

  12. Π”ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΈ логарифмичСской Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

ΠžΡ‚ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΎΡ‚Π·Ρ‹Π² ΠΠ°ΡˆΡ‘Π» ΠΎΡˆΠΈΠ±ΠΊΡƒ? Π‘ΠΎΠΎΠ±Ρ‰ΠΈ Π½Π°ΠΌ! Copyright Β© 2020 ООО ЯКласс ΠšΠΎΠ½Ρ‚Π°ΠΊΡ‚Ρ‹ ΠŸΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΠΊΠΎΠ΅ соглашСниС

ЛогарифмичСская функция, Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ логарифмичСской Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅: ЛогарифмичСской Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ называСтся функция Π²ΠΈΠ΄Π° , Π³Π΄Π΅

Бвойства логарифмичСской Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ

  1. ΠžΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ опрСдСлСния
  2. ΠœΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡ‚Π²Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅
  3. Π§Π΅Ρ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ, Π½Π΅Ρ‡Π΅Ρ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ
  4. Ѐункция Π½ΠΈ чСтная, Π½ΠΈ нСчСтная

  5. ΠŸΠ΅Ρ€Π΅ΡΠ΅Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ с осями ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚
  6. ΠΏΡ€ΠΈ

    ΠŸΠ΅Ρ€Π΅ΡΠ΅Ρ‡Π΅Π½ΠΈΡ с осью Π½Π΅Ρ‚ ( ΠΏΠΎ области опрСдСлСния)

  7. ΠΠ΅ΠΏΡ€Π΅Ρ€Ρ‹Π²Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΈ производная
  8. Ѐункция Π½Π΅ΠΏΡ€Π΅Ρ€Ρ‹Π²Π½Π° ΠΈ Π΄ΠΈΡ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†Ρ–ΠΉΠΎΠ²Π½Π° Π²ΠΎ всСй области опрСдСлСния

  9. ΠŸΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΊΠΈ постоянства Π·Π½Π°ΠΊΠ°
  10. ΠΏΡ€ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈ

    ΠΏΡ€ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈ

  11. ВозрастаниС ΠΈ ΡƒΠ±Ρ‹Π²Π°Π½ΠΈΠ΅
  12. ЭкстрСмумов Π½Π΅Ρ‚

    ΠΏΡ€ΠΈ β€” растСт

    ΠΏΡ€ΠΈ β€” ΠΏΡ€ΠΈΡ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚

  13. Асимптоты
  14. ΠŸΡ€ΡΠΌΠ°Ρ β€” Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ асимптота

    Π€ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΈ Π²Π·Π°ΠΈΠΌΠ½ΠΎ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, поэтому Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ симмСтричны ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ прямой

Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ логарифмичСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ

Π›ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΡ–Ρ‡Π½Π° функція

Π›ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΡ–Ρ‡Π½Π° функція

Π›ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΡ–Ρ‡Π½Π° функція

ЛогарифмичСская функция β€” это… Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ ЛогарифмичСская функция?

Рис. 1. Π“Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ логарифмичСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ

Π›ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ числа b ΠΏΠΎ основанию a опрСдСляСтся ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ стСпСни, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ Π½Π°Π΄ΠΎ возвСсти число a, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ число b. ΠžΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅: . Из опрСдСлСния слСдуСт, Ρ‡Ρ‚ΠΎ записи ΠΈ ax = b Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΡΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€: , ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ 23 = 8.

ВСщСствСнный Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ

Π›ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ вСщСствСнного числа logab ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ смысл ΠΏΡ€ΠΈ .

НаиболСС ΡˆΠΈΡ€ΠΎΠΊΠΎΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ нашли ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ Π²ΠΈΠ΄Ρ‹ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΎΠ².

Если Ρ€Π°ΡΡΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΈΡ€ΡƒΠ΅ΠΌΠΎΠ΅ число ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡƒΡŽ, ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€: . Π­Ρ‚Π° функция ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π° Π² ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎΠΉ части числовой прямой: x > 0, Π½Π΅ΠΏΡ€Π΅Ρ€Ρ‹Π²Π½Π° ΠΈ Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΡƒΠ΅ΠΌΠ° Ρ‚Π°ΠΌ (см. рис. 1).

Бвойства

ΠΠ°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΡ‹

Для ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ° справСдлива простая Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π°:

По этой ΠΏΡ€ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π΅ Π² матСматичСских исслСдованиях прСимущСствСнно ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡŽΡ‚ ΠΈΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΡ‹. Они Π½Π΅Ρ€Π΅Π΄ΠΊΠΎ ΠΏΠΎΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ ΠΏΡ€ΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ, исслСдовании статистичСских зависимостСй (Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, распрСдСлСния простых чисСл) ΠΈ Ρ‚. ΠΏ.

ΠŸΡ€ΠΈ справСдливо равСнство

(1)

Π’ частности,

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° (1) Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ большой практичСской цСнности ΠΈΠ·-Π·Π° Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ряд ΠΎΡ‡Π΅Π½ΡŒ ΠΌΠ΅Π΄Π»Π΅Π½Π½ΠΎ сходится ΠΈ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ x ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡Π΅Π½ΠΎ вСсьма ΡƒΠ·ΠΊΠΈΠΌ Π΄ΠΈΠ°ΠΏΠ°Π·ΠΎΠ½ΠΎΠΌ. Однако Π½Π΅Ρ‚Ρ€ΡƒΠ΄Π½ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΈΠ· Π½Π΅Ρ‘ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΡƒΠ΄ΠΎΠ±Π½ΡƒΡŽ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ:

(2)

Π­Ρ‚ΠΎΡ‚ ряд сходится быстрСС, Π° ΠΊΡ€ΠΎΠΌΠ΅ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, лСвая Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π²Ρ‹Ρ€Π°Π·ΠΈΡ‚ΡŒ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ любого ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ числа.

Бвязь с дСсятичным Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΎΠΌ: .

ДСсятичныС Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΡ‹

Рис. 2. ЛогарифмичСская шкала

Π›ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎ основанию 10 (ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅: lg a) Π΄ΠΎ изобрСтСния ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² ΡˆΠΈΡ€ΠΎΠΊΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΠ»ΠΈΡΡŒ для вычислСний. НСравномСрная шкала дСсятичных Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΎΠ² ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎ наносится ΠΈ Π½Π° логарифмичСскиС Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠΊΠΈ. Подобная шкала ΡˆΠΈΡ€ΠΎΠΊΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅Ρ‚ΡΡ Π² Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… областях Π½Π°ΡƒΠΊΠΈ, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€:

ЛогарифмичСская шкала Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΡˆΠΈΡ€ΠΎΠΊΠΎ примСняСтся для выявлСния показатСля стСпСни Π² стСпСнных зависимостях ΠΈ коэффициСнта Π² ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»Π΅ экспонСнты. ΠŸΡ€ΠΈ этом Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊ, построСнный Π² логарифмичСском ΠΌΠ°ΡΡˆΡ‚Π°Π±Π΅ ΠΏΠΎ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΈΠ»ΠΈ Π΄Π²ΡƒΠΌ осям, ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π΅Ρ‚ Π²ΠΈΠ΄ прямой, Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ простой для исслСдования.

ΠšΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½Ρ‹ΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ

ΠœΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π½Π°Ρ функция

Для комплСксных чисСл Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ опрСдСляСтся Ρ‚Π°ΠΊ ΠΆΠ΅, ΠΊΠ°ΠΊ вСщСствСнный. Начнём с Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ°, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡ΠΈΠΌ ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΠΌ ΠΊΠ°ΠΊ мноТСство всСх комплСксных чисСл z Ρ‚Π°ΠΊΠΈΡ…, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ez = w. ΠšΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½Ρ‹ΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ сущСствуСт для любого , ΠΈ Π΅Π³ΠΎ вСщСствСнная Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ опрСдСляСтся ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π½ΠΎ, Π² Ρ‚ΠΎ врСмя ΠΊΠ°ΠΊ мнимая ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ бСсконСчноС мноТСство Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ. По этой ΠΏΡ€ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π΅ Π΅Π³ΠΎ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ. Если ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ w Π² ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ΅:

,

Ρ‚ΠΎ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ находится ΠΏΠΎ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅:

Π—Π΄Π΅ΡΡŒ  β€” вСщСствСнный Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ, r = | w | , k β€” ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ Ρ†Π΅Π»ΠΎΠ΅ число. Π—Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌΠΎΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈ k = 0, называСтся Π³Π»Π°Π²Π½Ρ‹ΠΌ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ комплСксного Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ°; принято Π±Ρ€Π°Ρ‚ΡŒ Π² Π½Ρ‘ΠΌ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π° Π² ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π²Π°Π»Π΅ ( βˆ’ Ο€,Ο€]. Π‘ΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰Π°Ρ (ΡƒΠΆΠ΅ однозначная) функция называСтся Π³Π»Π°Π²Π½ΠΎΠΉ Π²Π΅Ρ‚Π²ΡŒΡŽ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ° ΠΈ обозначаСтся . Иногда Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°ΡŽΡ‚ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ°, Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰Π΅Π΅ Π½Π΅ Π½Π° Π³Π»Π°Π²Π½ΠΎΠΉ Π²Π΅Ρ‚Π²ΠΈ.

Из Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ слСдуСт:

  • ВСщСствСнная Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ° опрСдСляСтся ΠΏΠΎ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅:
  • Π›ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ числа находится ΠΏΠΎ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅:

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ (ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΎ Π³Π»Π°Π²Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ°):

  • ln( βˆ’ 1) = iΟ€

Аналогично Ρ€Π°ΡΡΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΠ²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ комплСксныС Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΡ‹ с Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠΌ основаниСм. Π‘Π»Π΅Π΄ΡƒΠ΅Ρ‚, ΠΎΠ΄Π½Π°ΠΊΠΎ, Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ остороТным ΠΏΡ€ΠΈ прСобразованиях комплСксных Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΎΠ², принимая Π²ΠΎ Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π½Ρ‹, ΠΈ поэтому ΠΈΠ· равСнства Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΎΠ² ΠΊΠ°ΠΊΠΈΡ…-Π»ΠΈΠ±ΠΎ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ Π½Π΅ слСдуСт равСнство этих Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ. ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ ΠΎΡˆΠΈΠ±ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ³ΠΎ рассуТдСния:

iΟ€ = ln( βˆ’ 1) = ln(( βˆ’ i)2) = 2ln( βˆ’ i) = 2( βˆ’ iΟ€ / 2) = βˆ’ iΟ€ β€” явная Π½Π΅Π»Π΅ΠΏΠΎΡΡ‚ΡŒ.

ΠžΡ‚ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ слСва стоит Π³Π»Π°Π²Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ°, Π° справа β€” Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΠ· Π½ΠΈΠΆΠ΅Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰Π΅ΠΉ Π²Π΅Ρ‚Π²ΠΈ (k = βˆ’ 1). ΠŸΡ€ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π° ошибки β€” нСостороТноС использования свойства , ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅, Π²ΠΎΠΎΠ±Ρ‰Π΅ говоря, ΠΏΠΎΠ΄Ρ€Π°Π·ΡƒΠΌΠ΅Π²Π°Π΅Ρ‚ Π² комплСксном случаС вСсь бСсконСчный Π½Π°Π±ΠΎΡ€ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ°, Π° Π½Π΅ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Π³Π»Π°Π²Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅.

АналитичСскоС ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΠΎΠ»ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅

Рис. 3. ΠšΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½Ρ‹ΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ (мнимая Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ)

Π›ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ комплСксного числа Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Ρ‘Π½ ΠΊΠ°ΠΊ аналитичСскоС ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΠΎΠ»ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ вСщСствСнного Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ° Π½Π° всю ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡƒΡŽ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ. Π’ явном Π²ΠΈΠ΄Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΠΎΠ»ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ° вдоль ΠΊΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠΉ Ξ“, Π½Π΅ проходящСй Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· 0, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΡΡƒΡ‰Π΅ΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΠΎ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅ (ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΡƒΡŽ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅ΠΌ ln)

ΠŸΡ€ΠΈ этом, Ссли Ξ“ β€” простая кривая (Π±Π΅Π· самопСрСсСчСний), Ρ‚ΠΎ для чисСл, Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰ΠΈΡ… Π½Π° Π½Π΅ΠΉ, логарифмичСскиС тоТдСства ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡ‚ΡŒ Π±Π΅Π· опасСний, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€

Из Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ аналитичСского продолТСния слСдуСт, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π° любой Π²Π΅Ρ‚Π²ΠΈ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ°

Для любой окруТности S, ΠΎΡ…Π²Π°Ρ‚Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‰Π΅ΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ 0:

Π˜Π½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» бСрётся Π² ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΌ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ (ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ² часовой стрСлки). Π­Ρ‚ΠΎ тоТдСство Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ Π² основС Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΠΈ Π²Ρ‹Ρ‡Π΅Ρ‚ΠΎΠ².

Π ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΎΠ²Π° ΠΏΠΎΠ²Π΅Ρ€Ρ…Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ

КомплСксная логарифмичСская функция β€” ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ Ρ€ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΎΠ²ΠΎΠΉ повСрхности; Π΅Ρ‘ мнимая Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ (рис. 3) состоит ΠΈΠ· бСсконСчного числа Π²Π΅Ρ‚Π²Π΅ΠΉ, Π·Π°ΠΊΡ€ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… Π½Π°ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±ΠΈΠ΅ спирали. Π­Ρ‚Π° ΠΏΠΎΠ²Π΅Ρ€Ρ…Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ односвязна; Π΅Ρ‘ СдинствСнный Π½ΡƒΠ»ΡŒ (ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ³ΠΎ порядка) получаСтся ΠΏΡ€ΠΈ z = 1, особыС Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ: z = 0 ΠΈ (Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ развСтвлСния бСсконСчного порядка).

Π ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΎΠ²Π° ΠΏΠΎΠ²Π΅Ρ€Ρ…Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ° являСтся ΡƒΠ½ΠΈΠ²Π΅Ρ€ΡΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Π½Π°ΠΊΡ€Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‰Π΅ΠΉ для комплСксной плоскости Π±Π΅Π· Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ 0.

Π˜ΡΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈΠΉ ΠΎΡ‡Π΅Ρ€ΠΊ

ВСщСствСнный Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ

ΠŸΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π±Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Π² слоТных расчётах Π² XVI Π²Π΅ΠΊΠ΅ быстро росла, ΠΈ Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ трудностСй Π±Ρ‹Π»Π° связана с ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΈ Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π½Ρ‹Ρ… чисСл. Π’ ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π΅ Π²Π΅ΠΊΠ° нСскольким ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ°ΠΌ, ΠΏΠΎΡ‡Ρ‚ΠΈ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ, ΠΏΡ€ΠΈΡˆΠ»Π° Π² Π³ΠΎΠ»ΠΎΠ²Ρƒ идСя: Π·Π°ΠΌΠ΅Π½ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ‚Ρ€ΡƒΠ΄ΠΎΡ‘ΠΌΠΊΠΎΠ΅ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° простоС слоТСниС, сопоставив с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ ΡΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ† Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΡƒΡŽ ΠΈ Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΡƒΡŽ прогрСссии, ΠΏΡ€ΠΈ этом гСомСтричСская Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ исходной. Π’ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΈ Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ автоматичСски замСняСтся Π½Π° Π½Π΅ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Ρ€ΠΈΠΌΠΎ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ простоС ΠΈ Π½Π°Π΄Ρ‘ΠΆΠ½ΠΎΠ΅ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Π½ΠΈΠ΅. ΠŸΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΌ эту идСю ΠΎΠΏΡƒΠ±Π»ΠΈΠΊΠΎΠ²Π°Π» Π² своСй ΠΊΠ½ΠΈΠ³Π΅ Β«Arithmetica integraΒ» ΠœΠΈΡ…Π°ΡΠ»ΡŒ Π¨Ρ‚ΠΈΡ„Π΅Π»ΡŒ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ, Π²ΠΏΡ€ΠΎΡ‡Π΅ΠΌ, Π½Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠ»ΠΎΠΆΠΈΠ» ΡΠ΅Ρ€ΡŒΡ‘Π·Π½Ρ‹Ρ… усилий для Ρ€Π΅Π°Π»ΠΈΠ·Π°Ρ†ΠΈΠΈ своСй ΠΈΠ΄Π΅ΠΈ.

Π’ 1614 Π³ΠΎΠ΄Ρƒ ΡˆΠΎΡ‚Π»Π°Π½Π΄ΡΠΊΠΈΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊ-Π»ΡŽΠ±ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ Π”ΠΆΠΎΠ½ НСпСр ΠΎΠΏΡƒΠ±Π»ΠΈΠΊΠΎΠ²Π°Π» Π½Π° латинском языкС сочинСниС ΠΏΠΎΠ΄ Π½Π°Π·Π²Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ «ОписаниС ΡƒΠ΄ΠΈΠ²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρ‹ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΎΠ²Β». Π’ Π½Ρ‘ΠΌ Π±Ρ‹Π»ΠΎ ΠΊΡ€Π°Ρ‚ΠΊΠΎΠ΅ описаниС Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΎΠ² ΠΈ ΠΈΡ… свойств, Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ 8-Π·Π½Π°Ρ‡Π½Ρ‹Π΅ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρ‹ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΎΠ² синусов, косинусов ΠΈ тангСнсов, с шагом 1β€². Π’Π΅Ρ€ΠΌΠΈΠ½ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ, ΠΏΡ€Π΅Π΄Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ НСпСром, утвСрдился Π² Π½Π°ΡƒΠΊΠ΅.

ΠŸΠΎΠ½ΡΡ‚ΠΈΡ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° Π΅Ρ‰Ρ‘ Π½Π΅ Π±Ρ‹Π»ΠΎ, ΠΈ НСпСр ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΠ» Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ кинСматичСски, сопоставив Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎΠ΅ ΠΈ логарифмичСски-Π·Π°ΠΌΠ΅Π΄Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅. Π’ соврСмСнной записи модСль НСпСра ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΈΡ‚ΡŒ Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ: dx/x = -dy/M, Π³Π΄Π΅ M β€” ΠΌΠ°ΡΡˆΡ‚Π°Π±Π½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ, Π²Π²Π΅Π΄Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ для Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠ»ΠΎΡΡŒ Ρ†Π΅Π»Ρ‹ΠΌ числом с Π½ΡƒΠΆΠ½Ρ‹ΠΌ количСством Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠ² (дСсятичныС Π΄Ρ€ΠΎΠ±ΠΈ Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° Π΅Ρ‰Ρ‘ Π½Π΅ нашли ΡˆΠΈΡ€ΠΎΠΊΠΎΠ³ΠΎ примСнСния). НСпСр взял M = 10000000.

Π‘Ρ‚Ρ€ΠΎΠ³ΠΎ говоря, НСпСр Ρ‚Π°Π±ΡƒΠ»ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π» Π½Π΅ Ρ‚Ρƒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ, которая сСйчас называСтся Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΎΠΌ. Если ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚ΡŒ Π΅Π³ΠΎ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ LogNap(x), Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ½Π° связана с Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΎΠΌ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ:

ΠžΡ‡Π΅Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, LogNap(M) = 0, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ Β«ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΠ³ΠΎ синуса» Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π½ΡƒΠ»ΡŒ β€” этого ΠΈ добивался НСпСр своим ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ. LogNap(0) = ∞.

ОсновноС свойство Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ° НСпСра: Ссли Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΡŽΡ‚ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΡƒΡŽ ΠΏΡ€ΠΎΠ³Ρ€Π΅ΡΡΠΈΡŽ, Ρ‚ΠΎ ΠΈΡ… Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΡ‹ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΡŽΡ‚ ΠΏΡ€ΠΎΠ³Ρ€Π΅ΡΡΠΈΡŽ Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΡƒΡŽ. Однако ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° логарифмирования для Π½Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΠΎΠ²ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΎΡ‚Π»ΠΈΡ‡Π°Π»ΠΈΡΡŒ ΠΎΡ‚ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ» для соврСмСнного Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ°.

НапримСр, LogNap(ab) = LogNap(a) + LogNap(b) β€” LogNap(1).

К соТалСнию, всС значСния Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρ‹ НСпСра содСрТали Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ ΠΎΡˆΠΈΠ±ΠΊΡƒ послС ΡˆΠ΅ΡΡ‚ΠΎΠ³ΠΎ Π·Π½Π°ΠΊΠ°. Однако это Π½Π΅ помСшало Π½ΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ΠΈΠΊΠ΅ вычислСний ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ ΡˆΠΈΡ€ΠΎΡ‡Π°ΠΉΡˆΡƒΡŽ ΠΏΠΎΠΏΡƒΠ»ΡΡ€Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ, ΠΈ составлСниСм логарифмичСских Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ† занялись ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΠ΅ СвропСйскиС ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ, Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Ρ ΠšΠ΅ΠΏΠ»Π΅Ρ€Π°.

Π’ 1620-Π΅ Π³ΠΎΠ΄Ρ‹ Π­Π΄ΠΌΡƒΠ½Π΄ Π£ΠΈΠ½Π³Π΅ΠΉΡ‚ ΠΈ Уильям ΠžΡ‚Ρ€Π΅Π΄ ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π΅Π»ΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΡƒΡŽ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΡƒΡŽ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠΊΡƒ, Π΄ΠΎ появлСния ΠΊΠ°Ρ€ΠΌΠ°Π½Π½Ρ‹Ρ… ΠΊΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² β€” Π½Π΅Π·Π°ΠΌΠ΅Π½ΠΈΠΌΡ‹ΠΉ инструмСнт ΠΈΠ½ΠΆΠ΅Π½Π΅Ρ€Π°.

Π‘Π»ΠΈΠ·ΠΊΠΎΠ΅ ΠΊ соврСмСнному ΠΏΠΎΠ½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅ логарифмирования β€” ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΈ, ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ возвСдСнию Π² ΡΡ‚Π΅ΠΏΠ΅Π½ΡŒ β€” Π²ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹Π΅ появилось Ρƒ Валлиса ΠΈ Иоганна Π‘Π΅Ρ€Π½ΡƒΠ»Π»ΠΈ, Π° ΠΎΠΊΠΎΠ½Ρ‡Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π±Ρ‹Π»ΠΎ ΡƒΠ·Π°ΠΊΠΎΠ½Π΅Π½ΠΎ Π­ΠΉΠ»Π΅Ρ€ΠΎΠΌ Π² XVIII Π²Π΅ΠΊΠ΅. Π’ ΠΊΠ½ΠΈΠ³Π΅ Β«Π’Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π² Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ· бСсконСчных» (1748) Π­ΠΉΠ»Π΅Ρ€ Π΄Π°Π» соврСмСнныС опрСдСлСния ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΈ логарифмичСской Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ, ΠΏΡ€ΠΈΠ²Ρ‘Π» Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΡ… Π² стСпСнныС ряды, особо ΠΎΡ‚ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΠ» Ρ€ΠΎΠ»ΡŒ Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ°.

Π­ΠΉΠ»Π΅Ρ€Ρƒ ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ ΠΈ заслуга распространСния логарифмичСской Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π° ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½ΡƒΡŽ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒ.

ΠšΠΎΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡΠ½Ρ‹ΠΉ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌ

ΠŸΠ΅Ρ€Π²Ρ‹Π΅ ΠΏΠΎΠΏΡ‹Ρ‚ΠΊΠΈ Ρ€Π°ΡΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‚ΡŒ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΡ‹ Π½Π° комплСксныС числа ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π»ΠΈ Π½Π° Ρ€ΡƒΠ±Π΅ΠΆΠ΅ XVIIβ€”XVIII Π²Π΅ΠΊΠΎΠ² Π›Π΅ΠΉΠ±Π½ΠΈΡ† ΠΈ Иоганн Π‘Π΅Ρ€Π½ΡƒΠ»Π»ΠΈ, ΠΎΠ΄Π½Π°ΠΊΠΎ ΡΠΎΠ·Π΄Π°Ρ‚ΡŒ Ρ†Π΅Π»ΠΎΡΡ‚Π½ΡƒΡŽ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΡŽ ΠΈΠΌ Π½Π΅ ΡƒΠ΄Π°Π»ΠΎΡΡŒ β€” Π² ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΡƒΡŽ ΠΎΡ‡Π΅Ρ€Π΅Π΄ΡŒ ΠΏΠΎ Ρ‚ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° Π΅Ρ‰Ρ‘ Π½Π΅ Π±Ρ‹Π»ΠΎ ясно ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΎ само понятиС Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ°. Дискуссия ΠΏΠΎ этому ΠΏΠΎΠ²ΠΎΠ΄Ρƒ вСлась сначала ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π›Π΅ΠΉΠ±Π½ΠΈΡ†Π΅ΠΌ ΠΈ Π‘Π΅Ρ€Π½ΡƒΠ»Π»ΠΈ, Π° Π² сСрСдинС XVIII Π²Π΅ΠΊΠ° β€” ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π”Π°Π»Π°ΠΌΠ±Π΅Ρ€ΠΎΠΌ ΠΈ Π­ΠΉΠ»Π΅Ρ€ΠΎΠΌ. Π‘Π΅Ρ€Π½ΡƒΠ»Π»ΠΈ ΠΈ Π”Π°Π»Π°ΠΌΠ±Π΅Ρ€ считали, Ρ‡Ρ‚ΠΎ слСдуСт ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ log(-x) = log(x). Полная тСория Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΎΠ² ΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ†Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΠΈ комплСксных чисСл Π±Ρ‹Π»Π° ΠΎΠΏΡƒΠ±Π»ΠΈΠΊΠΎΠ²Π°Π½Π° Π­ΠΉΠ»Π΅Ρ€ΠΎΠΌ Π² 1747β€”1751 Π³ΠΎΠ΄Π°Ρ… ΠΈ ΠΏΠΎ сущСству Π½ΠΈΡ‡Π΅ΠΌ Π½Π΅ отличаСтся ΠΎΡ‚ соврСмСнной.

Π₯отя спор продолТался (Π”Π°Π»Π°ΠΌΠ±Π΅Ρ€ отстаивал свою Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ зрСния ΠΈ ΠΏΠΎΠ΄Ρ€ΠΎΠ±Π½ΠΎ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π» Π΅Ρ‘ Π² ΡΡ‚Π°Ρ‚ΡŒΠ΅ своСй Β«Π­Π½Ρ†ΠΈΠΊΠ»ΠΎΠΏΠ΅Π΄ΠΈΠΈΒ» ΠΈ Π² Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΡ… Ρ‚Ρ€ΡƒΠ΄Π°Ρ…), ΠΎΠ΄Π½Π°ΠΊΠΎ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° зрСния Π­ΠΉΠ»Π΅Ρ€Π° быстро ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠ»Π° всСобщСС ΠΏΡ€ΠΈΠ·Π½Π°Π½ΠΈΠ΅.

ЛогарифмичСскиС Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρ‹

ЛогарифмичСскиС Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρ‹

Из свойств Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ° слСдуСт, Ρ‡Ρ‚ΠΎ вмСсто Ρ‚Ρ€ΡƒΠ΄ΠΎΡ‘ΠΌΠΊΠΎΠ³ΠΎ умноТСния ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π½Ρ‹Ρ… чисСл достаточно Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ (ΠΏΠΎ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π°ΠΌ) ΠΈ ΡΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ ΠΈΡ… Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΡ‹, Π° ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌ ΠΏΠΎ Ρ‚Π΅ΠΌ ΠΆΠ΅ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π°ΠΌ Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½Ρ†ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Π° ΠΏΠΎ Π΅Π³ΠΎ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΡƒ. Π’Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ дСлСния отличаСтся Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Ρ‚Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΡ‹ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡ‚Π°ΡŽΡ‚ΡΡ. Лаплас Π³ΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΈΠ», Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π΅Ρ‚Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΎΠ² Β«ΠΏΡ€ΠΎΠ΄Π»ΠΈΠ»ΠΎ Тизнь астрономов», ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠΊΡ€Π°Ρ‚Π½ΠΎ ускорив процСсс вычислСний.

ΠŸΡ€ΠΈ пСрСносС дСсятичной запятой Π² числС Π½Π° n разрядов Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ дСсятичного Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠ° этого числа измСняСтся Π½Π° n. НапримСр, lg8314,63 = lg8,31463 + 3. ΠžΡ‚ΡΡŽΠ΄Π° слСдуСт, Ρ‡Ρ‚ΠΎ достаточно ΡΠΎΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρƒ дСсятичных Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΎΠ² для чисСл Π² Π΄ΠΈΠ°ΠΏΠ°Π·ΠΎΠ½Π΅ ΠΎΡ‚ 1 Π΄ΠΎ 10.

ΠŸΠ΅Ρ€Π²Ρ‹Π΅ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρ‹ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΎΠ² ΠΎΠΏΡƒΠ±Π»ΠΈΠΊΠΎΠ²Π°Π» Π”ΠΆΠΎΠ½ НСпСр (1614), ΠΈ ΠΎΠ½ΠΈ содСрТали Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΡ‹ тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ, ΠΏΡ€ΠΈΡ‡Ρ‘ΠΌ с ошибками. НСзависимо ΠΎΡ‚ Π½Π΅Π³ΠΎ свои Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρ‹ ΠΎΠΏΡƒΠ±Π»ΠΈΠΊΠΎΠ²Π°Π» Π˜ΠΎΡΡ‚ Π‘ΡŽΡ€Π³ΠΈ, Π΄Ρ€ΡƒΠ³ ΠšΠ΅ΠΏΠ»Π΅Ρ€Π° (1620). Π’ 1617 Π³ΠΎΠ΄Ρƒ оксфордский профСссор ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠΈ Π“Π΅Π½Ρ€ΠΈ Бригс ΠΎΠΏΡƒΠ±Π»ΠΈΠΊΠΎΠ²Π°Π» Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρ‹, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΡƒΠΆΠ΅ Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Π»ΠΈ дСсятичныС Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΡ‹ самих чисСл, ΠΎΡ‚ 1 Π΄ΠΎ 1000, с 8 (ΠΏΠΎΠ·ΠΆΠ΅ β€” с 14) Π·Π½Π°ΠΊΠ°ΠΌΠΈ. Но ΠΈ Π² Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π°Ρ… Бригса ΠΎΠ±Π½Π°Ρ€ΡƒΠΆΠΈΠ»ΠΈΡΡŒ ошибки. ΠŸΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ΅ Π±Π΅Π·ΠΎΡˆΠΈΠ±ΠΎΡ‡Π½ΠΎΠ΅ ΠΈΠ·Π΄Π°Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° основС Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ† Π’Π΅Π³Π° (1783) появилось Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Π² 1857 Π³ΠΎΠ΄Ρƒ Π² Π‘Π΅Ρ€Π»ΠΈΠ½Π΅ (Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρ‹ Π‘Ρ€Π΅ΠΌΠΈΠ²Π΅Ρ€Π°).

Π’ России ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹Π΅ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρ‹ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΎΠ² Π±Ρ‹Π»ΠΈ ΠΈΠ·Π΄Π°Π½Ρ‹ Π² 1703 Π³ΠΎΠ΄Ρƒ ΠΏΡ€ΠΈ участии Π›. Π€. ΠœΠ°Π³Π½ΠΈΡ†ΠΊΠΎΠ³ΠΎ. Π’ Π‘Π‘Π‘Π  Π²Ρ‹ΠΏΡƒΡΠΊΠ°Π»ΠΈΡΡŒ нСсколько сборников Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ† Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΎΠ².

  • Брадис Π’. М. Π§Π΅Ρ‚Ρ‹Ρ€Π΅Ρ…Π·Π½Π°Ρ‡Π½Ρ‹Π΅ матСматичСскиС Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρ‹. 44-Π΅ ΠΈΠ·Π΄Π°Π½ΠΈΠ΅, М., 1973.

Π’Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρ‹ Брадиса (1921) использовались Π² ΡƒΡ‡Π΅Π±Π½Ρ‹Ρ… завСдСниях ΠΈ Π² ΠΈΠ½ΠΆΠ΅Π½Π΅Ρ€Π½Ρ‹Ρ… расчётах, Π½Π΅ Ρ‚Ρ€Π΅Π±ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… большой точности. Они содСрТали мантиссы дСсятичных Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΎΠ² чисСл ΠΈ тригономСтричСских Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΉ, Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΡ‹ ΠΈ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎΠ»Π΅Π·Π½Ρ‹Π΅ расчётныС инструмСнты.

  • Π’Π΅Π³Π° Π“. Π’Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρ‹ сСмизначных Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΎΠ², 4-Π΅ ΠΈΠ·Π΄Π°Π½ΠΈΠ΅, М., 1971.

ΠŸΡ€ΠΎΡ„Π΅ΡΡΠΈΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ сборник для Ρ‚ΠΎΡ‡Π½Ρ‹Ρ… вычислСний.

  • ΠŸΡΡ‚ΠΈΠ·Π½Π°Ρ‡Π½Ρ‹Π΅ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρ‹ Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ тригономСтричСских Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½, ΠΈΡ… Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΎΠ² ΠΈ Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΎΠ² чисСл, 6 ΠΈΠ·Π΄., М.: Наука, 1972.
  • Π’Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρ‹ Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Π»ΠΎΠ³Π°Ρ€ΠΈΡ„ΠΌΠΎΠ², 2-Π΅ ΠΈΠ·Π΄Π°Π½ΠΈΠ΅, Π² 2 Ρ‚ΠΎΠΌΠ°Ρ…, М.: Наука, 1971.

Π‘ΠΌ. Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅

Π›ΠΈΡ‚Π΅Ρ€Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°

Wikimedia Foundation. 2010.

Π”ΠΎΠ±Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠΎΠΌΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Ρ€ΠΈΠΉ

Π’Π°Ρˆ адрСс email Π½Π΅ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΎΠΏΡƒΠ±Π»ΠΈΠΊΠΎΠ²Π°Π½. ΠžΠ±ΡΠ·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ поля ΠΏΠΎΠΌΠ΅Ρ‡Π΅Π½Ρ‹ *