Уравнение вида `ax+by=c` называется линейным уравнением с двумя переменными, где `x` и `y` переменные, `a`, `b`, `c` — некоторые числа.
Например, уравнения `2x+y=3`, `x-y=0` являются линейными уравнениями с двумя переменными.
Решением уравнения с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая это уравнение в верное равенство.
Например, `x=3`, `y=4` является решением уравнения `2x+3y=18`, будем эту пару чисел записывать так `(3;4)`. Очевидно, что пара чисел `(4;3)` не является решением уравнения, т. к. `2*4+3*3=17!=18`. При нахождении решений с двумя переменными на первом месте в паре чисел пишем значение для переменной `x`, а на втором месте – значение переменной `y`.
Если каждое решение одного уравнения является решением второго уравнения и обратно, то данные уравнения называются равносильными. Например, решения уравнений `2x+y=3` и `4x+2y=6` совпадают, следовательно, эти уравнения равносильные.
1) если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение, равносильное данному;
2) если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получим уравнение, равносильное данному.
Укажите три различных решения для уравнения `3x+y-2=0`.
Если `x=0`, то `y=2`; если `y=0`, то `x=2/3`; если `x=1`, то `y=-1`.
Таким образом, пары чисел `(0;2)`, `(2/3;0)`, `(1;-1)` являются решениями данного уравнения. Заметим, что данное уравнение имеет бесконечно много решений. Для заданного значения `x` значение `y=2-3x`, т. е. любая пара чисел `(x;2-3x)`, где `x` — любое число, является решением уравнения.
Рассмотрим координатную плоскость `Oxy` и отметим на ней все точки `(x,y)`, для которых пара чисел `x` и `y` является решениями уравнения. Например, рассмотрим уравнение `y=2`. Этому уравнению удовлетворяют все пары чисел `(x;2)`.Точки, для которых `x` — любое число, а `y=2`, лежат на прямой `y=2`. Эта прямая параллельна оси `x` и проходит через точку `(0;2)` (см. рис. 1).
Рассмотрим уравнение `x=3`. Каждая пара чисел, являющаяся решением данного уравнения, изображается точкой с координатами `x` и `y` на координатной плоскости `Oxy`. Решениями данного уравнения являются пары чисел `(3;y)`. Точки с координатами `x=3` и `y` лежат на прямой `x=3`, эта прямая параллельна оси `Oy` и проходит через точку `(3;0)` (см. рис. 2).
Графиком уравнения с двумя переменными называется множество всех точек координатной плоскости, координаты которых являются решениями данного уравнения.
На рис. 1 графиком уравнения является прямая `y=2`, на рис. 2 графиком уравнения является прямая `x=3`.
Рассмотрим теперь уравнение `2x+3y-1=0`. Выразим переменную `y` через `x`, получаем `y=1/3-2/3x`, это уравнение задаёт линейную функцию, и нам известно, что её графиком является прямая. Чтобы построить эту прямую, достаточно рассмотреть две точки, координаты которых удовлетворяют уравнению, а затем через эти две точки провести прямую. При `x=0` `y=1/3` и при `x=1/2` `y=0`. График данного уравнения приведён на рис. 3.
Рассмотрим уравнение `(x-4)(x+y-4)=0`. Произведение двух скобок равно нулю, каждая скобка может равняться нулю. Наше уравнение распадётся на два уравнения: `x=4` и `x+y-4=0`. Графиком первого уравнения является прямая, параллельная оси `Oy` и проходящая через точку `(4;0)`. Графиком второго уравнения является график линейной функции `y=4-x`, эта прямая проходит через точки `(4;0)` и `(0;4)`. График данного уравнения приведён на рис. 4.
Постройте график уравнения `|x|+|y|=1`.
Этот пример можно решать двумя способами. Пусть `x>=0` и `y>=0`, точки с такими координатами лежат в первой четверти. Получаем уравнение `x+y=1`, так как `|x|=x` и `|y|=y`. Графиком данного уравнения является прямая, проходящая через точки `A(1;0)` и `B(0;1)`. Графику исходного уравнения принадлежат точки полученной прямой, лежащие в первой четверти, т. е. графику принадлежат точки отрезка `AB`, где `A(1;0)` и `B(0;1)`.
Пусть теперь `x<=0` и `y>=0` тогда получаем уравнение `-x+y=1`, рассматриваем точки полученной прямой, лежащие во второй четверти. Это будет отрезок `BC`, где `C(-1;0)`. При `x<=0`, `y<=0` получим отрезок `CD` где `D(0;-1)`, и при `>=0`, `y<=0` получим отрезок `DA`. Таким образом, график данного уравнения состоит из точек квадрата `ABCD` (рис. 5).
Этот пример можно решать другим способом. Пусть `y>=0`, тогда наше уравнение эквивалентно уравнению `y=1-|x|`. В первом задании мы строили график функции `y=|x|` (см. рис. 6). График функции `y=-|x|` получается зеркальным отражением относительно оси `Ox` графика функции `y=|x|` (см. рис. 7). График функции `y=1-|x|` получается из графика функции `y=-|x|` сдвигом вдоль оси `Oy` на единицу вверх (см. рис. 8). У полученного графика рассматриваем только точки, для которых `y>=0`. Получим ломаную `ABC` с рис. 5.
Далее рассматриваем `y<=0`, получим, что графиком уравнения при `y<=0` является ломаная `CDA` с рис.2=11`,
`(x+2-y-1)*(x+2+y+1)=11`.
Если `x` и `y` целые числа, то выражения, стоящие в скобках, являются целыми числами. А это могут быть числа `+-1` и `+-11`. Решаем `4` системы уравнений:
$$ \left\{\begin{array}{l}x+2-y-1=1,\\ x+2+y+1=11;\end{array}\right.$$
$$ \left\{\begin{array}{l}x+2-y-1=11,\\ x+2+y+1=1;\end{array}\right.$$
$$ \left\{\begin{array}{l}x+2-y-1=-1,\\ x+2+y+1=-11;\end{array}\right.$$
$$ \left\{\begin{array}{l}x+2-y-1=-11,\\ x+2+y+1=-1.\end{array}\right.$$
Решая эти системы, получаем `4` решения: `(4;4)`, `(4;-6)`, `(-8;-6)`, `(-8;4)`.
Построение графиков функций по заданным параметрам»
Цели урока:
- научить строить графики элементарных математических функций с помощью табличного процессора Excel;
- показать возможности использования программы Excel для решения задач по математике;
- закрепить навыки работы с Мастером диаграмм.
Задачи урока:
- образовательная – знакомство учащихся с основными приемами построения графиков функций в программе Excel;
- развивающие – формирование у учащихся логического и алгоритмического мышления; развитие познавательного интереса к предмету; развитие умения оперировать ранее полученными знаниями; развитие умения планировать свою деятельность;
- воспитательные – воспитание умения самостоятельно мыслить, ответственности за выполняемую работу, аккуратности при выполнении работы.
Тип урока:
- комбинированный
Учебники:
Информатика. Базовый курс 2-е издание/Под ред. С.В. Симоновича. — СПб.: Питер, 2004.-640с.:ил.
Технические и программные средства:
- Персональные компьютеры;
- Приложение Windows – электронные таблицы Excel.
- Проектор
Раздаточный материал:
- Карточки с индивидуальными заданиями на построение графиков функций.
План урока.
- Организационный момент – 3 мин.
- Проверка домашнего задания –10 мин.
- Объяснение нового материала –20 мин.
- Применение полученных знаний –20 мин.
- Самостоятельная работа. – 20 мин
- Подведение итогов урока. Домашнее задание – 7 мин.
Ход урока
Организационный момент
Проверка готовности учащихся к уроку, отметка отсутствующих, объявление темы и цели урока
Проверка домашнего задания. (фронтальный опрос)
Вопросы для проверки
- Что представляет собой рабочая область программы Excel?
- Как определяется адрес ячейки?
- Как изменить ширину столбца, высоту строки?
- Как ввести формулу в Excel?
- Что такое маркер заполнения и для чего он нужен?
- Что такое относительная адресация ячеек?
- Что такое абсолютная адресация ячеек? Как она задается?
- Что такое колонтитулы? Как они задаются?
- Как задать поля печатного документа? Как изменить ориентацию бумаги?
- Что такое функциональная зависимость у = f(х)? Какая переменная является зависимой, а какая независимой?
- Как ввести функцию в Excel?
- Что такое график функции у = f(х)?
- Как построить диаграмму в Excel?
Объяснение нового материала.
При объяснении нового материала может быть использован файл Excel с шаблонами задач (Приложение 1), который выводится на экран с помощью проектора
Сегодня мы рассмотрим применение табличного процессора Excel для графиков функций. На предыдущих практических вы уже строили диаграммы к различным задачам, используя Мастер диаграмм. Графики функций, так же как и диаграммы строятся с помощью Мастера диаграмм программы Excel.
Рассмотрим построение графиков функций на примере функции у = sin x.
Вид данного графика хорошо известен вам по урокам математики, попробуем построить его средствами Excel.
Программа будет строить график по точкам: точки с известными значениями будут плавно соединяться линией. Эти точки нужно указать программе, поэтому, сначала создается таблица значений функции у = f(х).
Чтобы создать таблицу, нужно определить
- отрезок оси ОХ, на котором будет строиться график.
- шаг переменной х, т.е. через какой промежуток будут вычисляться значения функции.
Задача 1.Построить график функции у = sin x на отрезке [– 2; 2] с шагом h = 0,5.
1. Заполним таблицу значений функции. В ячейку С4 введем первое значение отрезка: – 2
2. В ячейку D4 введем формулу, которая будет добавлять к лево-стоящей ячейки шаг: = В4 + $A$4
3. Маркером заполнения ячейки D4 заполним влево ячейки строки 4, до тех пор, пока получим значение другого конца отрезка: 2.
4. Выделим ячейку С5, вызовем Мастер функций, в категории математические выберем функцию SIN, в качестве аргумента функции выберем ячейку С4.5. Маркером заполнения распространим эту формулу в ячейках строки 5 до конца таблицы.
Таким образом, мы получили таблицу аргументов (х) и значений (у) функции у = sin x на отрезке [-2;2] с шагом h = 0,5 :
| x | -2 | -1,75 | -1,5 | -1,25 | -1 | -0,75 | -0,5 | -0,25 | 0 | 0,25 | 0,5 | 0,75 | 1 | 1,25 | 1,5 | 1,75 | 2 |
| y | -0,9092 | -0,9839 | -0,9974 | -0,9489 | -0,8414 | -0,6816 | -0,4794 | -0,2474 | 0 | 0,2474 | 0,4794 | 0,6816 | 0,8414 | 0,9489 | 0,9974 | 0,9839 | 0,9092 |
6. Следующий шаг. Выделим таблицу и вызовем Мастер диаграмм. На первом шаге выберем во вкладке Нестандартные Гладкие графики.
7. На втором шаге во вкладке Ряд выполним:
В поле Ряд необходимо выделить ряд х и нажать на кнопку “Удалить” (график изменений х нам не нужен. График функции – это график изменения значений у)
В поле Подписи оси Х нажать на кнопку. Выделить в таблице ячейки со значениями х и нажмите на кнопку . Подписи по горизонтальной оси станут такими, как у нас в таблице.
8. На третьем шаге заполним вкладку Заголовки.
9. Пример полученного графика.
На самом деле пока это мало похоже на график функции в нашем привычном понимании.
Для форматирования графика:
- Вызовем контекстное меню оси ОУ. Затем, выберем пункт Формат оси…. Во вкладке Шкала установим: цена основного деления: 1. Во вкладке Шрифт установим размер шрифта 8пт.
- Вызовем контекстное меню оси ОХ. Выберем пункт Формат оси….
Во вкладке Шкала установим: пересечение с осью ОУ установите номер категории 5 (чтобы ось ОУ пересекала ось ОХ в категории с подписью 0, а это пятая по счету категория).
Во вкладке шрифт установите размер шрифта 8пт. Нажмите на кнопку ОК.
Остальные изменения выполняются аналогично.
Для закрепления рассмотрим еще одну задачу на построение графика функций. Эту задачу попробуйте решить самостоятельно, сверяясь с экраном проектора.
Применение полученных знаний.
Пригласить к проектору студента и сформулировать следующую задачу.
Задача 2. Построить график функции у = х3 на отрезке [– 3; 3] с шагом h = 0,5.
1. Создать следующую таблицу: Создать таблица значений функции у = f(х).3
6. Маркером заполнения скопировать формулу в ячейки строки 5 до конца таблицы.
Таким образом, должна получиться таблица аргументов (х) и значений (у) функции у = х3 на отрезке [–3;3] с шагом h = 0,5:
| х | -3 | -2,5 | -2 | -1,5 | -1 | -0,5 | 0 | 0,5 | 1 | 1,5 | 2 | 2,5 | 3 |
| y | -27 | -15,625 | -8 | -3,375 | -1 | -0,125 | 0 | 0,125 | 1 | 3,375 | 8 | 15,625 | 27 |
7. Выделить таблицу и вызвать мастер диаграмм. На первом шаге выбрать во второй вкладке Гладкие графики.
8. На втором шаге во вкладке Ряд выполнить:
- В поле Ряд выделить ряд х и нажать на кнопку “Удалить” (график изменений х нам не нужен. График функции – это график изменения значений у)
- В поле Подписи оси Х нажать на кнопку . Выделить в таблице ячейки со значениями х и нажать на кнопку . Подписи по горизонтальной оси станут такими, как у нас в таблице.
9. На третьем шаге заполнить вкладку Заголовки.
10. Пример полученного графика:
11. Оформить график.
12. Установить параметры страницы и размеры диаграмм таким образом, что бы все поместилось на одном листе альбомной ориентации.
13. Создать колонтитулы для данного листа (Вид Колонтитулы…):
14. Верхний колонтитул слева: график функции у = x3
Сохранить документ своей папке под именем График.
Самостоятельная работа.
Работа по карточкам с индивидуальными заданиями. (Приложение 2)
Пример карточки, с задачей в общем виде, выводится на экран с помощью проектора.
1. Построить график функции y=f(x) на отрезке [a;b] с шагом h=c
2. Установить параметры страницы и размеры графика таким образом, что бы все поместилось на одном листе альбомной ориентации.
3. Создать колонтитулы для данного листа (Вид Колонтитулы…):
- Верхний колонтитул слева: график функции y=f(x)
- Нижний колонтитул в центре: ваши Ф.И.О. и дата
4. Сохранить в своей папке под именем “Зачетный график”
5. Вывести документ на печать.
После выполнения задания правильность каждого варианта проверяется с помощью проектора.
Подведение итогов.
Домашнее задание.
Оценки за урок.
Представление данных в виде точечной диаграммы или графика
Основное различие между точечная и графиками заключается в способе их отстройки на горизонтальной оси. Например, если использовать следующие данные листа для построения точечной диаграммы и графика, они будут представлены по-разному:
На точечной диаграмме значения суточного количества осадков из столбца A отображаются в виде значений X на горизонтальной оси (X), а показатели содержания твердых частиц из столбца B — в виде значений на вертикальной оси (Y). На точечной диаграмме категории никогда не отображаются на горизонтальной оси.
На точечной диаграмме всегда есть две оси значений, то есть один набор числовых данных представлен вдоль горизонтальной оси, а другой — вдоль вертикальной. На пересечении координат X и Y отображается точка данных, объединяющая эти два числовых значения. Такие точки данных могут быть распределены по горизонтальной оси равномерно или неравномерно, в зависимости от конкретных данных.
Первая точка данных на точечной диаграмме представляет значение Y (содержание частиц), равное 137, и значение X (суточная норма осадков), равное 1,9. Эти числа представляют значения в ячейках A9 и B9 на листе.
На графике те же значения суточного количества осадков и содержания частиц будут показаны как две разные точки данных, которые равномерно распределяются вдоль горизонтальной оси. Дело в том, что на графике есть только одна ось значений (вертикальная ось). Горизонтальная ось графика предназначена для отображения группировок (категорий) данных с равномерными интервалами. Так как категории не были заданы, они генерируются автоматически, например 1, 2, 3 и т. д.
Это наглядный пример ситуации, когда график использовать не следует.
На графиках данные категории равномерно распределяются вдоль горизонтальной оси (оси категорий), а все числовые значения откладываются по вертикальной оси (оси значений).
Значение Y (содержание частиц), равное 137 (ячейка B9), и значение X (суточное количество осадков), равное 1,9 (ячейка A9), показаны на графике двумя разными точками данных. Ни одна из этих точек данных не является первой точкой данных, отображаемой на диаграмме. Вместо этого первая точка данных для каждого значения ряд данных ссылается на значения в первой строке данных на этом сайте (ячейки A2 и B2).
Различия между типами и шкалами осей
Так как горизонтальная ось точечной диаграммы всегда является осью значений, на ней можно показывать числа и даты (в том числе дни и часы), представляемые в виде числовых значений. Чтобы отображать числовые значения вдоль горизонтальной оси с большей гибкостью, можно изменить параметры ее шкалы аналогично тому, как изменяется настройка шкалы вертикальной оси.
Поскольку горизонтальная ось графика — это ось категорий, она может быть только осью текста или осью дат. На оси текста отображается только текст (нечисловые данные или числовые категории, не являющиеся значениями) с равномерными интервалами. На оси дат отображаются даты в хронологическом порядке через заданные интервалы (базовые единицы измерения), такие как число дней, месяцев или лет, даже если даты на листе расположены в ином порядке или выражены в других единицах.
Набор параметров шкалы оси категорий ограничен по сравнению с параметрами шкалы оси значений. Доступные параметры шкалы также зависят от типа используемой оси.
математическая гипербола. Как построить гиперболу?
Что такое гипербола? Как построить гиперболу? (Для школьников (7-11 классов)).
Математическая гипербола.
Функция заданная формулой \(y=\frac{k}{x}\), где к неравно 0. Число k называется коэффициентом обратной пропорциональности.
Определение гиперболы.
График функции \(y=\frac{k}{x}\) называют гиперболой. Где х является независимой переменной, а у — зависимой.
Что нужно знать, чтобы построить гиперболу?
Теперь обсудим свойства гиперболы:
1. Ветви гиперболы. Если k>o, то ветви гиперболы находятся в 1 и 3 четверти. Если k<0, то ветви гиперболы находятся во 2 и 4 четверти.
гипербола, где k>0 ветви гиперболы находятся в 1 и 3 четверти
гипербола, где k<0 ветви гиперболы находятся во 2 и 4 четверти
2.Асимптоты гиперболы. Чтобы найти асимптоты гиперболы необходимо,иногда, уравнение гиперболы упростить. Рассмотрим на примере:
Пример №1:
$$y=\frac{1}{x}$$
Знаменатель не может равняться 0, потому что на 0 делить нельзя, поэтому х не равен 0.
$$y\neq\color{red} {\frac{1}{x}}+0$$
\(\frac{1}{x}\) дробь отбрасываем, для того чтобы найти вторую асимптоту.
Остается простое число
y≠0 это вторая асимптота.
И так, асимптоты x≠0 и y≠0 в данном примере совпадают с осями координат OX и OY.
k=1, значит гипербола будет находится в первой и третьей четверти. k всегда находится в числители.
Построим примерный график гиперболы.
Пример №2:
$$y=\frac{1}{x+2}-1$$
Находим первую асимптоту.
Знаменатель не может равняться 0, потому что на 0 делить нельзя, поэтому х+2 неравен 0.
х+2≠0
х≠-2 это первая асимптота
Находим вторую асимптоту.
$$y=\color{red} {\frac{1}{x+2}}-1$$
Дробь \(\color{red} {\frac{1}{x+2}}\) отбрасываем
Остается y≠ -1 это вторая асимптота.
Строим примерный график, отмечаем асимптоты (красным проведены прямые х≠-2 и y≠-1):
Пример №3:
$$\begin{align*}
&y=\frac{2+x}{1+x} \\\\
&y=\frac{\color{red} {1+1}+x}{1+x} \\\\
&y=\frac{1}{1+x}+\frac{1+x}{1+x}\\\\
&y=\frac{1}{1+x}+1\\\\
&y=\frac{1}{\color{red} {1+x}}+1
\end{align*}$$
Находим первую асимптоту.
Знаменатель не может равняться 0, потому что на 0 делить нельзя, поэтому 1+х неравен 0.
1+х≠0
х≠-1 это первая асимптота.
Находим вторую асимптоту.
$$y=\color{red}{\frac{1}{1+x}}+1$$
\(\color{red}{\frac{1}{1+x}}\) Дробь убираем.
Остается y≠1 это вторая асимптота.
Строим примерный график, отмечаем асимптоты (красным проведены прямые х≠-1 и y≠1):
3. У гиперболы есть центр симметрии относительно начала координат. Рассмотрим на примере:
$$y=\frac{1}{x}$$
Возьмем точку А(1;1) с координатами, которая находится на графике у=1/х. На этом же графике лежит точка B(-1;-1). Видно, что точка А симметрична точке В относительна начала координат.
4. Оси симметрии гиперболы. У гиперболы две оси симметрии. Рассмотрим пример:
$$y=\frac{1}{x}$$
Первой осью симметрии является прямая y=x. Посмотрим точки (0,5;2) и (2;0,5) и еще точки (-0,5;-2) и (-2;-0,5). Эти точки расположены по разные стороны данной прямой, но на равных расстояниях от нее, они симметричны относительно этой прямой.
Вторая ось симметрии это прямая y=-x.
5. Гипербола нечетная функция.
$$f(-x)=\frac{1}{-x}=-\frac{1}{x}=-f(x)$$
6. Область определения гиперболы и область значения гиперболы. Область определения смотрим по оси х. Область значения смотрим по оси у. Рассмотрим на примере:
$$y=\frac{-1}{x-1}-1$$
а) Находим первую асимптоту.
Знаменатель не может равняться 0, потому что на 0 делить нельзя, поэтому x-1 неравен 0.
x-1≠0
х≠1 это первая асимптота.
Находим вторую асимптоту.
$$y=\color{red} {\frac{-1}{x-1}}-1$$
Дробь \(\color{red} {\frac{-1}{x-1}}\) удаляем.
Остается y≠ -1 это вторая асимптота.
б) k=-1, значит ветви гиперболы будут находится во второй и четвертой четверти.
в) Возьмем несколько дополнительных точек и отметим их на графике.
х=0 y=0
x=-1 y=-0,5
x=2 y=-2
x=3 y=-1,5
г) Область определения смотрим по оси х. Графика гиперболы не существует по асимптоте х≠1, поэтому область определения будет находится
х ∈ (-∞;1)U(1;+∞).2 или y=1/x. А как строить графики со знаком модуля?
Задача 1. Построить графики функций y=|x| y=|x-1|.
Решение. Сравним его с графиком функции y=|x|.При положительных x имеем |x|=x. Значит, для положительных значений аргумента график y=|x| совпадает с графиком y=x, то есть эта часть графика является лучём, выходящим из начала координат под углом 45 градусов к оси абсцисс. При x< 0 имеем |x|= -x; значит, для отрицательных x график y=|x| совпадает с биссектрисой второго координатного угла.
Впрочем, вторую половину графика (для отрицательных X) легко получить из первой, если заметить, что функция y=|x| — чётная, так как |-a|=|a|. Значит, график функции y=|x| симметричен относительно оси Oy, и вторую половину графика можно приобрести, отразив относительно оси ординат часть, начерченную для положительных x. Получается график:
y=|x|
Для построения берём точки (-2; 2) (-1; 1) (0; 0) (1; 1) (2; 2).
Теперь график y=|x-1|. Если А — точка графика у=|x| с координатами (a;|a|), то точкой графика y=|x-1| с тем же значением ординаты Y будет точка A1(a+1;|a|). (Почему?) Эту точку второго графика можно получить из точки А(a;|a|) первого графика сдвигом параллельно оси Ox вправо. Значит, и весь график функции y=|x-1|получается из графика функции y=|x| сдвигом параллельно оси Ox вправо на 1.
Построим графики:
y=|x-1|
Для построения берём точки (-2; 3) (-1; 2) (0; 1) (1; 0) (2; 1).
Это была простенькая задачка. Теперь то, что многих приводит в ужас.
Задача 2. Постройте график функции y=3*|x-4| — x + |x+1|.
Решение. Найдем точки, в которых подмодульные выражения обращаются в нуль, т.е. так называемые «критические» точки функции. Такими точками будут х=-1 и х=4. В этих точках подмодульные выражения могут изменить знак.
Пусть x<-1. Тогда х+1<0, |x+1|=-x-1; x-4<0, |x-4|=-x+4; Следовательно y= 3(-х+4)-х+(-х-1)= -5х+11.
Пусть -1< = x < = 4.2 — |x| — 3|
Итак, всем спасибо! Теперь мы получили ту базу знаний, необходимую для построения графиков со знаком модуля! А то его так все боятся.
Вот ссылка, которая поможет вам проверить ваши построения:
График отключения электричества в Твери и области на 15 июля
15:27
14 июля 2021
Ссылка скопирована
1809
Фото: chehov-vid.ruТверь (Заволжский район)
С 9:00 до 16:00 по адресам:
- 26 Июня улица, д.2/19 – 20, д.1 – 21,
- Бородина улица, д.1-39/2, д.2б-36,
- Бульварный проезд, д.4,
- Воздушная улица, д.1а/15 – 33, д.2б-28,
- Исаевский переулок, д.6-12, д.7а-11,
- Крайняя улица, д.2-8,
- Кутузова проезд, д.37-57, д.42-60,
- Кутузова улица, д.59-101, д.56-90,
- Куйбышева улица, д.4, д.5,
- Летная улица, д.1-39/8, д.2-40/6,
- Литейный переулок, д.7, д.9, д.10-12а,
- Прошина улица, д.1, д.3,
- Тельмана проезд, д.95,
- Ударная улица, д.9 – 33,
- Цветочная улица, д.1 – 19/2,
- Шишкова улица, д.53-69а, д.42-54,
Тверь (Центральный район)
С 13:30 до 17:00 по адресам:
- Желябова улица, д.22,
- Трехсвятская улица, д.15, д.17, д.19
Осташков
С 9:00 до 12:00 по адресам:
- Осташковский переулок, д.17/16-20,
- Панфилова переулок, д.6-16/23-27,
- Продольный проезд, д.1-13/2-16,
- Рябочкина улица, д.20а-26, д.95-121/90-102,
- магазин “Форсаж”.
В. Волочек
С 7:00 до 12:00 по адресам:
- Урицкого улица.
Весьегонск
С 9:00 до 10:30 по адресам:
- Береговая улица, д.2б-16,
- Самойловская улица, д.1-21, д.2-20,
- Заводская улица, д.3-15, д.4-18,
- Раздельная улица, д.5-19, д.4-6,
С 10:30 до 12:00 по адресам:
- Весьегонская улица, д.11-39, д.14-42,
- К. Маркса улица, д.113-131, д.98-110,
- Комсомольская улица, д.1-23, д.2-24,
- Ленина улица, д.11-41, д.14-40,
- Пушкинская улица, д.13-35, д.12-32,
- Тодорского улица, д.20-38, д.19-37,
- Жигарева улица, д.29-39, д.10-14,
С 13:30 до 15:00 по адресам:
- Станционная улица,
- Рыбацкая улица.
Из этой же рубрики
В Улан-Удэ завершается отопительный сезон. График отключения воды
0:10
Пропустить
Конец выходных – конец тепла. В ТГК-14 назвали сроки окончания отопительного сезона. 11 мая батареи в квартирах горожан перестанут нагревать. Вместе с тем в Улан-Удэ начнутся традиционные гидравлические испытания. На время их проведения придётся потерпеть и без горячей воды.
Первыми под отключения попадут потребители 3 и 6 тепломагистрали. Это район Шишковки и от улицы Ключевская по 20А квартал. Там испытания пройдут с 11 по 14 мая. На это же время запланирована опрессовка сетей котельного комплекса.
С 24 по 25 мая без воды останется район ПВЗ и ФСК.
А вот с 21 по 25 июня без горячей воды останется весь город. В этот период будут проверять целостность сразу трёх тепломагистралей.
Во второй раз потерпеть придётся с 26 июля по 4 августа всем, кто подключен к ТЭЦ-1. Станцию полностью остановят для планового ремонта оборудования. График отключения потребителей котельных отличается и запланирован с июля по август.
Меж тем подачу отопления продлят до 31 мая для некоторых медицинских и детских дошкольных учреждений: для специализированного психоневрологического дома ребенка «Аистенок», Республиканского перинатального центра, Детской клинической больницы с центром медицинской реабилитации», детского сада №143 «Золотая рыбка», детского сада №84 «Снеryрочка».
График отключения горячей воды в Улан-Удэ
С 11 по 13 мая – тепломагистраль №3, Железнодорожный район (район Шишковки)
С 11 по 14 мая – тепломагистраль №6, Октябрьский район (от ул. Ключевская по 20а квартал)
С 12 по 14 мая – потребители котельных
С 24 по 25 мая — тепломагистраль №1, Железнодорожный район (район ПВЗ и ФСК)
С 21 по 25 июня – Весь Улан-Удэ (гидравлические испытаний тепломагистралей № 2, 4, 5)
С 19 июля по 29 августа – потребители котельных (для каждой свой график)
С 26 июля по 4 августа – Все потребители ТЭЦ-1 (плановый ремонт оборудования)
Wolfram | Примеры альфа: построение и графика
Функции
Изобразите функцию одной переменной в виде кривой на плоскости.
Постройте функцию одной переменной:
Укажите явный диапазон для переменной:
Постройте функцию с действительным знаком:
Постройте функцию в логарифмическом масштабе:
График в логарифмическом масштабе:
Другие примеры
3D графики
Постройте функцию двух переменных как поверхность в трехмерном пространстве.
Постройте функцию от двух переменных:
Укажите явные диапазоны для переменных:
Другие примеры
Уравнения
Постройте набор решений уравнения с двумя или тремя переменными.
Постройте решение уравнения с двумя переменными:
Другие примеры
Неравенства
Постройте набор решений неравенства или системы неравенств.
Постройте область, удовлетворяющую неравенству двух переменных:
Постройте область, удовлетворяющую множеству неравенств:
Другие примеры
Полярные графики
Нарисуйте график точек или кривых в полярной системе координат.
Укажите диапазон для переменной theta:
Другие примеры
Параметрические графики
Графические параметрические уравнения в двух или трех измерениях.
Укажите диапазон для параметра:
Нарисуйте параметрическую кривую в трех измерениях:
Нарисуйте параметрическую поверхность в трех измерениях:
Другие примеры
Другие примеры
Числовые строкиНанесите набор чисел или значений на числовую линию.
Визуализируйте набор действительных чисел на числовой строке:
Показать несколько наборов в числовой строке:
Другие примеры
Функции— Алгебра — Математика A-Level Revision
В этом разделе рассматриваются функции в рамках более широкой темы алгебры.
Функцию можно рассматривать как правило, которое берет каждый элемент x набора и присваивает ему то же самое значение y , известное на его изображении.
x → Функция → y
Буква, такая как f, g или h , часто используется для обозначения функции. Функция, которая возводит число в квадрат и добавляет 3, может быть записана как f (x) = x 2 + 5 . Это же понятие можно использовать, чтобы показать, как функция влияет на определенные значения.
Пример
f (4) = 4 2 + 5 = 21, f (-10) = (-10) 2 +5 = 105 или, альтернативно, f : x → x 2 + 5 .
Фраза «y является функцией x» означает, что значение y зависит от значения x, поэтому:
- y можно записать через x (например, y = 3x).
- Если f (x) = 3x и y является функцией x (т.е. y = f (x)), то значение y, когда x равно 4, равно f (4), которое находится путем замены x «s на 4. «с.
Пример
Если f (x) = 3x + 4, найти f (5) и f (x + 1).
f (5) = 3 (5) + 4 = 19
f (x + 1) = 3 (x + 1) + 4 = 3x + 7
Домен и диапазон
Область функции — это набор значений, которые вам разрешено вводить в функцию (то есть все значения, которые может принимать x). Диапазон функции — это набор всех значений, которые функция может принимать, другими словами, все возможные значения y, когда y = f (x).Итак, если y = x 2 , мы можем выбрать в качестве домена все действительные числа. Диапазон — это все действительные числа, большие (или равные) нулю, поскольку, если y = x 2 , y не может быть отрицательным.
Индивидуальные переговоры
Мы говорим, что функция — это взаимно однозначно , если для каждой точки y в диапазоне функции существует только одно значение x такое, что y = f (x). f (x) = x 2 не один к одному, потому что, например, есть два значения x, такие что f (x) = 4 (а именно –2 и 2).На графике функция взаимно однозначна, если любая горизонтальная линия разрезает график только один раз.
Составные функции
fg означает выполнение функции g, затем функции f. Иногда fg записывается как fog
.Пример
Если f (x) = x 2 и g (x) = x — 1, то
gf (x) = g (x 2 ) = x 2 — 1
fg (x) = f (x — 1) = (х — 1) 2
Как видите, fg не обязательно равно gf
Обратная функция
Обратной функцией функции является функция, которая обращает эффект исходной функции.Например, y = 2x, обратное y = ½ x.
Чтобы найти обратную функцию, поменяйте местами x «s и y» s и сделайте y предметом формулы.
Пример
Найдите обратное к f (x) = 2x + 1
Пусть y = f (x), поэтому y = 2x + 1
поменяет местами x «s и y» s:
x = 2y + 1
Сделайте y темой формулы:
2y = x — 1, поэтому y = ½ (x — 1)
Следовательно, f -1 (x) = ½ (x — 1)
f -1 (x) — стандартное обозначение, обратное f (x).Обратное считается существующим тогда и только тогда, когда существует функция f -1 с ff -1 (x) = f -1 f (x) = x
.Обратите внимание, что график f -1 будет отражением f на линии y = x.
Это видео объясняет больше об обратной функции
Графики
Функции можно изобразить в виде графиков. Функция является непрерывной , если ее график не имеет разрывов. Пример прерывистого графа — y = 1 / x, поскольку граф нельзя нарисовать, не отрывая карандаш от бумаги:
Функция является периодической , если ее график повторяется через равные промежутки времени, этот интервал известен как период.
Функция — это , даже если она не меняется при замене x на -x. График такой функции будет симметричным по оси ординат. Даже функции, которые являются полиномами, имеют четные степени (например, y = x²).
Функция является нечетной , если знак функции изменяется при замене x на -x. График функции будет иметь симметрию вращения относительно начала координат (например, y = x³).
Функция модуля
Модуль числа — это величина этого числа.Например, модуль -1 (| -1 |) равен 1. Модуль x, | x |, равен x для значений x, которые положительны, и -x для значений x, которые отрицательны. Итак, график y = | x | y = x для всех положительных значений x и y = -x для всех отрицательных значений x:
Преобразование графиков
Если y = f (x), график y = f (x) + c (где c — константа) будет графиком y = f (x), сдвинутым на c единиц вверх (в направлении y- ось).
Если y = f (x), график y = f (x + c) будет графиком y = f (x), сдвинутым на c единиц влево.
Если y = f (x), график y = f (x — c) будет графиком y = f (x), сдвинутым на c единиц вправо.
Если y = f (x), график y = af (x) представляет собой отрезок графика y = f (x), масштабный коэффициент (1 / a), параллельный оси x. [Масштабный коэффициент 1 / a означает, что «растяжение» фактически приводит к сжатию графика, если a — число больше 1]
Пример
График y = | x — 1 | будет таким же, как на приведенном выше графике, но со смещением на одну единицу вправо (так, чтобы точка V ударилась о ось x на 1, а не на 0).
BioMath: преобразование графиков
Что такое вертикальное растяжение и усадка?
При перемещении пересечений x и y базового графа, растягивание и сжатие эффективно вытягивают базовый граф наружу или сжимают базовый граф внутрь, изменяя общие размеры базового графа без изменения его формы. Когда график растягивается или сжимается по вертикали, точки пересечения x действуют как якоря и не изменяются при преобразовании.
Определение Для базовой функции f ( x ) и константы k > 0 функция, заданная как г ( x ) = k f ( x ), можно нарисовать, растянув по вертикали f ( x ) с коэффициентом k , если k > 1 или путем вертикального сжатия f ( x ) с коэффициентом k |
Помните, что перехватчики x не перемещаются при вертикальном растяжении и сжатии. Другими словами, если f ( x ) = 0 для некоторого значения x , то k f ( x ) = 0 для того же значения x. Кроме того, вертикальное растяжение / сжатие с коэффициентом k означает, что точка ( x, y ) на графике f ( x ) преобразуется в точку ( x , ky ) на графике г ( x ).
Примеры вертикального растяжения и усадки
Рассмотрим следующие базовые функции,
(1) f ( x ) = x 2 — 2,
(2) г ( x ) = sin ( x ).
Графическое представление функции (1), f ( x ), представляет собой параболу. Что вы думаете о графике
y 1 ( x ) = 1/2 f ( x )
как выглядит? Используя определение f ( x ), мы можем записать y 1 ( x ) как,
y 1 ( x ) = 1/2 f ( x ) = 1/2 ( x 2 — 2) = 1/2 x 2 — 1 .
Исходя из определения вертикальной усадки, график y 1 ( x ) должен выглядеть как график f ( x ), уменьшенный по вертикали в 1/2 раза. Взгляните на графики f ( x ) и y 1 ( x ).
Обратите внимание, что точки перехвата x не переместились.
Функция (2), g ( x ), является синусоидальной функцией.Что бы на графике
y 2 ( x ) = 6 g ( x )
похож? Используя наши знания о вертикальных растяжках, график y 2 ( x ) должен выглядеть как базовый график g ( x ), растянутый по вертикали с коэффициентом 6. Чтобы проверить это, мы можем написать y 2 ( x ) as,
y 2 ( x ) = 6 g ( x ) = 6 sin ( x ),
построить таблицу значений и построить график новой функции.Как видите, график y 2 ( x ) фактически является базовым графиком g ( x ), растянутым по вертикали в 6 раз.
*****
В следующем разделе мы рассмотрим горизонтальное растяжение и сжатие.
Растяжение и сжатие по горизонтали
Привет, Женева, Иногда, особенно после небольшого опыта, вы можете сказать по «форме» уравнения, какова «форма» графика.Если вы можете определить форму, это облегчит построение графика, но на данный момент давайте просто попробуем построить его, не зная заранее форму. Для этого я воспользуюсь таблицей значений. Я собираюсь выбрать некоторые значения для переменной x, вычислить соответствующее значение y и затем записать свои результаты в таблицу. Так, например, когда x = 1, тогда y = 2 1 + 1 = 3, а когда x = 2, тогда y = y = 2 2 + 1 = 5. Вот моя таблица, включающая эти два значения x и еще несколько.
Теперь я нанес эти точки на свой график. Теперь вы можете увидеть «форму» графика. Если вы нанесли эти точки точно и поместите линейку вдоль точек, вы увидите, что все они лежат на прямой линии. График y = 2x + 1 Если бы вы знали в начале, из «формы» уравнения, что график представляет собой прямую линию, вы могли бы построить график быстрее. В этом случае вам нужно только рассчитать и построить две точки, а линия, соединяющая эти две точки, является графиком. Надеюсь, это поможет, |
| College Algebra Урок 35: Графики полиномиальных функций Цели обучения
Введение
Учебник
Практические задачи
Нужна дополнительная помощь по этим темам? |
Построение графиков в Python | Set 1
Эта серия статей познакомит вас с построением графиков на Python с помощью Matplotlib, который, возможно, является самой популярной библиотекой построения графиков и визуализации данных для Python.
Установка
Самый простой способ установить matplotlib — использовать pip. Введите в терминале следующую команду:
pip install matplotlib
ИЛИ вы можете загрузить его отсюда и установить вручную.
Начало работы (Построение линии)
|
Выходные данные4:
. Были выполнены следующие шаги:
- Определите ось x и соответствующие значения оси y в виде списков.
- Изобразите их на холсте с помощью функции .plot () .
- Дайте имя оси x и оси y с помощью функций .xlabel () и .ylabel () .
- Дайте название своему сюжету, используя функцию .title () .
- Наконец, для просмотра вашего графика мы используем функцию .show () .
Отображение двух или более линий на одном участке
|
Выход:
plot
- Мы различаем их, давая им имя (, метка ), которое передается в качестве аргумента.plot () функция.
- Небольшое прямоугольное поле с информацией о типе линии и ее цвете называется легендой. Мы можем добавить легенду к нашему графику, используя функцию .legend () .
C Настройка участков
Здесь мы обсудим некоторые элементарные настройки, применимые практически к любому участку.
|
|
Выход:
- Здесь мы используем для построения гистограммы.
- Передаются x-координаты левой стороны стержней вместе с высотой стержней.
- вы также можете дать какое-то имя координатам оси x, указав tick_labels
Histogram
|
Вывод:
- Здесь мы используем функцию plt.hist () для построения гистограммы.
- частот передаются как список возрастов .
- Диапазон может быть установлен путем определения кортежа, содержащего минимальное и максимальное значение.
- Следующий шаг - « bin » диапазона значений, то есть разделить весь диапазон значений на серию интервалов, а затем подсчитать, сколько значений попадает в каждый интервал.Здесь мы определили интервалов = 10. Итак, всего 100/10 = 10 интервалов.
Диаграмма рассеяния
|
503
Круговая диаграмма
9292 |
Вывод вышеуказанной программы выглядит следующим образом:
- Здесь мы строим круговую диаграмму, используя метод plt.pie () .
- Прежде всего, мы определяем ярлыки , используя список под названием activity .
- Затем часть каждой метки может быть определена с помощью другого списка, который называется срезов .
- Цвет каждой метки определяется с помощью списка цветов .
- shadow = True покажет тень под каждой меткой на круговой диаграмме.
- startangle поворачивает начало круговой диаграммы на заданные градусы против часовой стрелки от оси x.
- разнесение используется для установки доли радиуса, на которую мы смещаем каждый клин.
- autopct используется для форматирования значения каждой метки. Здесь мы установили отображение процентного значения только с точностью до 1 знака после запятой.
Графические кривые данного уравнения
0 , 2 * (нп.pi), 0,1 ) 0 plt. .show () |
Результат вышеупомянутой программы выглядит следующим образом:
Здесь мы используем NumPy , который является универсальным пакетом обработки массивов на Python.
- Чтобы установить значения оси x, мы используем np.Метод arange () , в котором первые два аргумента предназначены для диапазона, а третий — для пошагового приращения. Результатом является большой массив.
- Чтобы получить соответствующие значения оси Y, мы просто используем предопределенный метод np.sin () для массива numpy.
- Наконец, мы строим точки, передавая массивы x и y функции plt.plot () .
Итак, в этой части мы обсудили различные типы графиков, которые мы можем создать в matplotlib. Есть и другие участки, которые не были охвачены, но самые важные из них обсуждаются здесь —
Эта статья предоставлена Nikhil Kumar .Если вам нравится GeeksforGeeks, и вы хотели бы внести свой вклад, вы также можете написать статью с помощью provide.geeksforgeeks.org или отправить ее по электронной почте на [email protected]. Посмотрите, как ваша статья появляется на главной странице GeeksforGeeks, и помогите другим гикам.
Пожалуйста, напишите комментарии, если вы обнаружите что-то неправильное, или если вы хотите поделиться дополнительной информацией по теме, обсуждаемой выше.
Внимание компьютерщик! Укрепите свои основы с помощью курса Python Programming Foundation и изучите основы.
Для начала подготовьтесь к собеседованию. Расширьте свои концепции структур данных с помощью курса Python DS . А чтобы начать свое путешествие по машинному обучению, присоединяйтесь к курсу Машинное обучение — базовый уровень
3D Surface Plotter | Academo.org
Эта демонстрация позволяет вам ввести математическое выражение в терминах x и y. Когда вы нажмете кнопку «Рассчитать», демонстрация будет вычислить значение выражения в предоставленных диапазонах x и y, а затем отобразить результат в виде поверхности.График можно увеличивать, прокручивая мышью, и вращать, перетаскивая. Щелчок по графику покажет значения x, y и z в этой конкретной точке.
В таблице ниже перечислены функции, которые можно вводить в поле выражения.
| Выражение | Описание |
|---|---|
| грех (х) | Синус x в радианах |
| cos (x) | Косинус x в радианах |
| желто-коричневый (x) | Тангенс x в радианах |
| asin (x), acos (x), atan (x) | Обратная из трех тригонометрических функций, перечисленных выше |
| sqrt (x) | Квадратный корень из x (только для положительного x) |
| журнал (x) | Натуральный логарифм x |
| pow (x, y) | Степень x относительно y |
Вы также можете применить к графику определенные ограничения / неравенства.2 \) во всех областях, где \ (x \) больше \ (y \), и \ (x \) во всех областях, где x равен , а не больше y.
Ползунок разрешения можно использовать для увеличения количества точек данных, отображаемых на графике, что дает более плавный конечный результат, но поскольку для этого требуется больше вычислительной мощности, вы можете заметить небольшое снижение частоты кадров при взаимодействии с графиком.
Каждый раз, когда вы нажимаете кнопку «Рассчитать», URL-адрес обновляется с вашими текущими настройками, что означает, что вы можете поделиться ссылкой прямо на график по вашему выбору, не набирая значения в настройках.
Обратите внимание: если ваша поверхность содержит комплексные числа, будет отображена только действительная часть.
Пожалуйста, включите JavaScript, чтобы просматривать комментарии от Disqus. .