Функция y=k/х, ее свойства и график (продолжение 1). Видеоурок. Алгебра 8 Класс

Тема: Квадратичная функция. Функция

Урок: Функция , её свойства и график (продолжение 1)

На этом уроке мы продолжим изучение функции , её графика и свойств, а также научимся решать типовые задачи.

Напомним, как выглядит график данной функции.

В случае, если , то ветви гиперболы расположены в

,  координатных четвертях, а если , то – , . (Рис. 1,2 соответственно).

Рис. 1.    

Рис. 2.

Перечислим теперь основные свойства функции

:

1) Область определения: .

2) Монотонность на промежутках  и .

3) Асимптоты: координатные оси .

4) Центр симметрии .

Вспомним также о влиянии коэффициента

:  – чтобы получить из первого графика второй, необходимо растянуть его в 2 раза от оси .

Рис. 3.

Повторив все основные свойства гиперболы, перейдём к решению типовых задач.

Задача 1

Гипербола  проходит через точку

. Найти:

а) коэффициент , изобразить схематически график функции;

б) найти пределы изменения функции на луче ;

в) установить: проходит ли гипербола через точки , .

Решение:

а) при , так как график функции проходит через точку

 с соответствующими координатами. Значит: . Получаем, что график имеет вид: . Его схематический вид следующий:

           

Рис. 4.

б) Рассмотрим поведение гиперболы при . Воспользуемся монотонностью функции на этом промежутке. Данная гипербола на этом промежутке монотонно возрастает. Значит, её максимальное значение будет достигаться на правом конце промежутка:

. Минимального же значения на этом промежутке не будет, так как функция будет стремиться к , но не будет его достигать.

Значит, при : .

Рис. 5.

 в)  проходит через точку

 и не проходит через точку . Поясним это: чтобы точка лежала на графике, её координаты должны удовлетворять уравнению этого графика.  – верно, значит, точка  лежит на графике. С другой стороны,  – неправильное равенство, значит, точка  не лежит на графике.

Рис. 6.

 Задача 2

Определите с помощью графиков число решений системы уравнений:

.

Решение:

 – гипербола ( и  координатные четверти).

 – прямая (

, точка пересечения с осью : ).

Построим эти графики в одной системе координат:

Рис. 7.

Как видно из рисунка, графики этих функций пересекаются в двух точках. Значит, данная система имеет два решения.

Ответ: 2 решения.

Задача 3

Построить график функции: .

Найти: а)

; б) построить график ; в) перечислите свойства этой функции.

Решение:

Начнём с построения графика этой функции. Данная функция называется кусочной.

Первая часть графика – это кусок параболы  (рис.8.).

Вспомнив, свойства параболы с отрицательным коэффициентом, получаем, что на указанном промежутке функция возрастает, причём её значения меняются от  до .

Вторая часть графика – это часть прямой (отрезок)

. Она также возрастает на указанном промежутке (так как коэффициент при  положителен), причём её значения меняются от  до . (рис. 9.).

Третья часть графика – это часть гиперболы . (рис. 10.).

Зная свойства гиперболы, получаем, что на этом промежутке функция убывает, причём максимальное значение достигается на левом конце:  (хотя эта точка не принадлежит этой части графика).

Рис. 8.

Рис. 9.

Рис. 10.

Следующий шаг – это объединение всех трёх графиков на одном рисунке. В результате получается следующий график:

Рис. 11.

Вернёмся теперь к пункту а). Теперь мы легко можем посчитать значения: , , .

Теперь осталось сформулировать ответ на пункт в): функция определена на промежутке . Кроме того, она принимает все значения на промежутке . Также функция является непрерывной. При этом на промежутке:  . На промежутке  .

Мы рассмотрели типовые задачи. Теперь рассмотрим задачи, которые могут сопутствовать этим задачам.

Задача 4

Найти все значения параметра , при каждом из которых уравнение  имеет хотя бы 1 решение (корень), где  – функция из предыдущей задачи.

Решение:

Методика решения подобных задач:

1) Вначале необходимо изобразить график функции.

Мы воспользуемся графиком из предыдущей задачи:

Рис. 12.

2) Найти множество значений функции: . Для этого используем определение и свойство функции: функция – это зависимость  от , при которой каждому допустимому значению  соответствует ровно одно значение . А свойство функции: каждое значение  достигается хотя бы при одном значении .

3) Выписать ответ: . Это следует из того, что уравнение  может иметь решения только в случае, если  принадлежит множеству значений функции. Действительно, если провести прямую , то она не пересечёт график функции, то есть корней не будет. А если провести прямую , то будут точки пересечения, значит, будут и решения соответствующего уравнения.

Рис. 13.

Ответ:.

Задача 5

Для каждого значения параметра  найти число решений уравнения  (функция  из предыдущей задачи).

Решение:

Фактически нам необходимо перебрать все значения  и указать ответ.

Методика решения подобных задач:

1) Вначале необходимо изобразить график функции (см. рис. 12).

2) Рассечь его семейством прямых  при разных значениях параметра .

Рис. 14.

3) Определить количество точек пересечения прямых с графиком функции при различных значениях параметра .

Мы видим, что при  – решений нет; при  – 1 решение; при  – 2 решения; при  – 1 решение; при  – решений нет.

4) Выписать ответ.

Ответ: при  – решений нет; при  – 1 решение; при  – 2 решения.

 Итак, мы повторили свойства функции  при различных значениях , а также разобрали ряд типовых задач, которые связаны со свойствами и графиками данной функции.

На следующем уроке мы перейдём к изучению новой темы: «Квадратный корень».

 

Список рекомендованной литературы

1. Башмаков М.И. Алгебра 8 класс. М.: Просвещение. 2004 г.

2. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 8. 5 издание. М.: Просвещение. 2010 г.

3. Никольский С.М., Потапов М.А., Решетников Н.Н., Шевкин А.В. Алгебра 8 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. М.: Просвещение. 2006 г.

 

Рекомендованные ссылки на ресурсы интернет

1. Фестиваль педагогических идей «Открытый урок» (Источник).

2. Алгебра и начала анализа – 10 кл (Источник).

3. Вся элементарная математика (Источник).

 

Рекомендованное домашнее задание

1. № 826, 827 Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 8. 5 издание. М.: Просвещение. 2010 г.

2. Исследуйте количество корней уравнения , в зависимости от значений параметра .

3. Решите графически уравнения: а) , б) .

interneturok.ru

ее график и свойства при k0

 

Рассмотрим функцию y=k/y. Графиком этой функции является линия, называемая в математике гиперболой. Общий вид гиперболы, представлен на рисунке ниже. (На графике представлена функция y равно k разделить на x, у которой k равно единице.)

Видно, что график состоит из двух частей. Эти части называют ветвями гиперболы. Стоит отметить также, что каждая ветвь гиперболы подходит в одном из направлений все ближе и ближе к осям координат. Оси координат в таком случае называют асимптотами.

Вообще любые прямые линии, к которым бесконечно приближается график функции, но не достигает их, называются асимптотами. У гиперболы, как и у параболы, есть оси симметрии. Для гиперболы, представленной на рисунке выше, это прямая y=x.

Теперь разберемся с двумя общими случаями гипербол. Графиком функции y = k/x, при k ≠0, будет являться гипербола, ветви которой расположены либо в первом и третьем координатных углах, при k>0, либо во втором и четвертом координатных углах, при k<0.

Основные свойства функции y = k/x, при k>0

График функции y = k/x, при k>0

1. Точка (0;0) центр симметрии гиперболы.

2. Оси координат – асимптоты гиперболы.

3. Прямая y=x ось симметрии гиперболы.

4. Область определения функции все х, кроме х=0.

5. y>0 при x>0; y6. Функция убывает как на промежутке (-∞;0), так и на промежутке (0;+∞).

7. Функция не ограничена ни снизу, ни сверху.

8. У функции нет ни наибольшего, ни наименьшего значений.

9. Функция непрерывна на промежутке (-∞;0) и на промежутке (0;+∞). Имеет разрыв в точке х=0.

10. Область значений функции два открытых промежутка (-∞;0) и (0;+∞).

Основные свойства функции y = k/x, при k<0

График функции y = k/x, при k<0

1. Точка (0;0) центр симметрии гиперболы.

2. Оси координат – асимптоты гиперболы.

3. Прямая y=-x ось симметрии гиперболы.

4. Область определения функции все х, кроме х=0.

5. y>0 при x0.

6. Функция возрастает как на промежутке (-∞;0), так и на промежутке (0;+∞).

7. Функция не ограничена ни снизу, ни сверху.

8. У функции нет ни наибольшего, ни наименьшего значений.

9. Функция непрерывна на промежутке (-∞;0) и на промежутке (0;+∞). Имеет разрыв в точке х=0.

10. Область значений функции два открытых промежутка (-∞;0) и (0;+∞).

Нужна помощь в учебе?

Предыдущая тема: Преобразование рациональных выражений: способы преобразований и примеры
Следующая тема:&nbsp&nbsp&nbspРациональные числа: определение, сумма, разность, умножение, деление

Все неприличные комментарии будут удаляться.

www.nado5.ru

График функции y=f(x)/k | Алгебра

График функции y=f(x)/k  (где k>1) может быть получен из графика функции y=f(x) с помощью сжатия к оси Ox в k раз.

При таком преобразовании каждая точка (x; y) графика функции y=f(x) переходит в точку (x; y/k) графика функции y=f(x)/k:

(x; y) → (x; y/k)

(то есть абсцисса (x) каждой точки начального графика остаётся неизменной, а ордината (y) уменьшается в k раз).Точки, лежащие на оси Ox при сжатии к оси абсцисс остаются на месте (так как 0/k=0).

Примеры.

1) График функции y=x²/3 можно получить из графика функции y=x² сжатием к оси Ox в 3 раза.

Строим параболу y=x² (достаточно отметить базовые точки). Координату x каждой точки оставляем без изменения, координату y делим на 3.

(1; 1) → (1; 1/3),

(-1; 1) → (-1; 1/3),

(2; 4) → (2; 4/3),

(-2; 4) → (-2; 4/3),

(3; 9) → (3; 3),

(-3; 9) → (-3; 3).

Таким образом, каждая точка нового графика соответственно располагается под точкой первоначального графика, но в 3 раза ближе к оси абсцисс.

Вершина параболы при сжатии к оси Ox остаётся на месте (0:3=0).

 

2) График функции y=x³/4 может быть получен из графика функции y=x³ сжатием к оси абсцисс в 4 раза.

Для построения графика абсциссы базовых точек графика кубической функции оставляем неизменными, а каждую ординату делим на 4:

 

 

(1; 1) → (1; 1/4),

(-1; -1) → (-1; -1/4),

(2; 8) → (2; 8/3),

(-2; 8) → (-2; -8/3).

Точка (0; 0) при таком преобразовании остаётся на месте.

 

 

3) График функции y=(1/2)√x можно получить сжатием к оси Ox графика функции y=√x.

Координату x каждой из базовых точек графика y=√x оставляем без изменений, координату y делим на 2:

(0; 0) →  (0; 0),

(1;1) →  (1; 1/2),

(4; 2) →  (4; 1),

(9; 3) → (9; 9/2)  и т. д.

 

Геометрические преобразования дают возможность на основании графиков элементарных функций строить многие другие графики. Умение строить графики  функций востребовано при решений заданий из различных разделов алгебры.

www.algebraclass.ru

Функция y = k/x, её свойства и график — методическая рекомендация. Алгебра, 8 класс.

1.	Коэффициент обратной пропорциональности	1 вид — рецептивный	лёгкое	1 Б.	Записать коэффициент обратной пропорциональности.
2.	Расположение графика функции	1 вид — рецептивный	лёгкое	1 Б.	Определить, в каких четвертях расположен график функции.
3.	Построение графика функции	1 вид — рецептивный	лёгкое	1 Б.	Необходимо построить график функции и ответить на вопрос.
4.	Обратно пропорциональные величины	1 вид — рецептивный	лёгкое	1 Б.	Определение обратно пропорциональных велиин.
5.	Гипербола	1 вид — рецептивный	лёгкое	1 Б.	Определение вида функции, графиком которой является гипербола.
6.	Значение обратной пропорциональности	1 вид — рецептивный	лёгкое	1 Б.	Вычисление значения обратной пропорциональности, если известен аргумент.
7.	Принадлежность точки графику обратной пропорциональности	1 вид — рецептивный	лёгкое	2 Б.	Определение координаты точки, принадлежащей графику обратной пропорциональности.
8.	Определение формулы обратной пропорциональности	1 вид — рецептивный	лёгкое	2 Б.	Определение формулы обратной пропорциональности, если известны координаты точки, через которую проходит график данной функции.
9.	Задача на обратную пропорциональность	1 вид — рецептивный	среднее	2 Б.	Решение задачи на обратную пропорциональность, выбор графика, описывающего данную в задаче ситуацию.
10.	Задача на обратную пропорциональность (количество и стоимость товара)	1 вид — рецептивный	среднее	2 Б.	Решение задачи на обратную пропорциональность (стоимость и количество товара).
11.	Построение графика обратной пропорциональности	1 вид — рецептивный	среднее	4 Б.	Построение графика обратной пропорциональности.
12.	Аргумент обратной пропорциональности	1 вид — рецептивный	среднее	3 Б.	Вычисление аргумента обратной пропорциональности (y = k/x + b), если дано значение функции.
13.	Экономическая задача	2 вид — интерпретация	среднее	4 Б.	Решение экономической задачи.
14.	Принадлежность точки графику	2 вид — интерпретация	среднее	2 Б.	Без построения графика определить, принадлежит ли точка графику функции.
15.	Обратная пропорциональность	2 вид — интерпретация	среднее	2 Б.	Задать формулой обратную пропорциональность.
16.	Вычисление значения	2 вид — интерпретация	среднее	2 Б.	Вычислить значение функции.
17.	Нахождение значения	3 вид — анализ	сложное	3 Б.	Найти значение функции.
18.	Значение функции	3 вид — анализ	сложное	3 Б.	Вычислить значение функции.
19.	Значение аргумента	3 вид — анализ	сложное	3 Б.	Необходимо найти значение аргумента.

www.yaklass.ru

Функция y = kx², её свойства и график. Алгебра, 8 класс: уроки, тесты, задания.

1.	Ветви параболы Сложность: лёгкое	1
2.	Свойства функции (коэффициент больше нуля) Сложность: лёгкое	1
3.	Свойства функции (коэффициент меньше нуля) Сложность: лёгкое	1
4.	Значение квадратичной функции Сложность: лёгкое	1
5.	Коэффициент k в уравнении параболы Сложность: среднее	1
6.	Вычисление значения функции Сложность: среднее	2
7.	Принадлежность точки графику функции Сложность: среднее	2
8.	Вычисление значения Сложность: сложное	3
9.	Вычисления Сложность: сложное	3
10.	Решение уравнения Сложность: сложное	3

www.yaklass.ru

Как построить график функции y = f(x + l) + m, если известен график функции y = f(x). Алгебра, 8 класс: уроки, тесты, задания.

1.	Вспомогательная система координат Сложность: лёгкое	1
2.	Параллельный перенос графика функции Сложность: лёгкое	2
3.	Направление сдвига графика функции Сложность: лёгкое	2
4.	Формула функции Сложность: среднее	2
5.	Уравнение параболы Сложность: среднее	2
6.	Значение функции Сложность: среднее	2
7.	Построение графика квадратичной функции вида y = (x + a)² + b Сложность: среднее	3
8.	Метод выделения полного квадрата Сложность: сложное	3
9.	Функции Сложность: сложное	3
10.	Графическое решение системы уравнений Сложность: сложное	3

www.yaklass.ru