Свойства функции синуса, косинуса, тангенса, котангенса, арксинуса, арккосинуса. Графики. Тест

Тестирование онлайн

• Функция синуса, косинуса

• Функция тангенса, котангенса

Функция синуса

На рисунке показано построение графика синуса на отрезе .

Рассмотрим основные свойства функции y=sinx:

1) Область определения функции — множество всех действительных чисел

2) Множеством значений функции является промежуток

3) Функция является нечетной, график симметричен относительно начала координат (0;0).

4) Функция периодическая. Наименьший положительный период равен

5) График функции пересекает ось Ох (нули функции) в точках

6) График функции пересекает ось Оy в точке (0; 0).

7) Функция принимает положительные значения на промежутках

8) Функция принимает отрицательные значения на промежутках

9) Функция возрастает на промежутках

10) Функция убывает на промежутках

11) Точки минимума:

12) Точки максимума:

13) Графиком функции является синусоида

Функция косинуса

График косинуса получается из графика синуса с помощью параллельного переноса на расстояние влево.

Основные свойства функции y=cosx:

1) Область определения функции — множество всех действительных чисел

2) Множеством значений функции является промежуток

3) Функция является четной, график симметричен относительно оси Оу.

4) Функция периодическая. Наименьший положительный период равен

5) График функции пересекает ось Ох (нули функции) в точках

6) График функции пересекает ось Оy в точке (0; 1).

7) Функция принимает положительные значения на промежутках

8) Функция принимает отрицательные значения на промежутках

9) Функция возрастает на промежутках

10) Функция убывает на промежутках

11) Точки минимума:

12) Точки максимума:

13) Графиком функции является косинусоида

Функция тангенса

Основные свойства функции y=tgx:

1) Область определения функции:

2) Множеством значений функции:

3) Функция является нечетной, график симметричен относительно начала координат (0;0).

4) Функция периодическая. Наименьший положительный период равен

5) График функции пересекает ось Ох (нули функции) в точках

6) График функции пересекает ось Оy в точке (0; 0).

7) Функция принимает положительные значения на промежутках

8) Функция принимает отрицательные значения на промежутках

9) Функция возрастает на промежутках

10) Промежутки убывания отсутствуют.

11) Точек минимума нет.

12) Точек максимума нет.

13) Графиком функции является тангенсоида:

Функция котангенса

Основные свойства функции y=сtgx:

1) Область определения функции:

2) Множеством значений функции:

3) Функция является нечетной, график симметричен относительно начала координат (0;0).

4) Функция периодическая. Наименьший положительный период равен

5) График функции пересекает ось Ох (нули функции) в точках

6) Функции не пересекает ось Оy.

7) Функция принимает положительные значения на промежутках

8) Функция принимает отрицательные значения на промежутках

9) Функция не имеет промежутков возрастания.

10) Промежутки убывания:

11) Точек минимума нет.

12) Точек максимума нет.

13) Графиком функции является котангенсоида:

Период функции

1) Если T — основной период функции y=f(x), то число является основным периодом функции y=f(ax), где a — любое положительное число.

2) Если периодические функции y=f(x) и y=g(x) имеют один и тот же период T, то их сумма, разность и произведение тоже будет иметь период T.

3) Если периодические функции y=f(x) и y=g(x) имеют соизмеримые периоды T₁ и T₂, то они имеют общий период.

4) Период сложной функции y=g(f(x)) совпадает с периодом функции y=f(x).

Свойства функций синуса, косинуса, тангенса и котангенса и их графики

Свойства функции y=sin(x) и ее график. 

График функции (синусоида)

Свойства функции

1.  Область определения: R (x — любое действительное число) т.е. 
2. Область значений:

3. Функция нечетная:

   (график симметричен относительно начала координат).

4. Функция периодическая с периодом 
5. Точки пересечения с осями координат:  
6. Промежутки знакопостоянства: 
7. Промежутки возрастания и убывания:   
   

 

Объяснение и обоснование

Описывая свойства функций, мы будем чаще всего выделять такие их характеристики: 1) область определения; 2) область значений; 3) четность или нечетность; 4) периодичность; 5) точки пересечения с осями координат; 6)   промежутки знакопостоянства; 7) промежутки возрастания и убывания; 8) наибольшее и наименьшее значения функции.

Замечание. Абсциссы точек пересечения графика функции с осью Ох (то есть те значения аргумента, при которых функция равна нулю) называют

нулями функции.

Напомним, что значение синуса — это ордината соответствующей точки единичной окружности (рис. 1).

 

 Рис.1.

Поскольку ординату можно найти для любой точки единичной окружности (в силу того, что через любую точку окружности всегда можно провести единственную прямую, перпендикулярную оси ординат), то область определения функции — все действительные числа. Это можно записать так:

Для точек единичной окружности ординаты находятся в промежутке [—1; 1] и принимают все значения от —1 до 1, поскольку через любую точку отрезка [—1; 1] оси ординат (который является диаметром единичной окружности) всегда можно провести прямую, перпендикулярную оси орди­нат, и получить точку окружности, которая имеет рассматриваемую орди­нату. Таким образом, для функции область значений: . Это можно записать так:.Как видим, наибольшее значение функции sin x равно единице. Это зна­чение достигается только тогда, когда соответствующей точкой единичной окружности является точка A, то есть при 

Наименьшее значение функции равно минус единице. Это значение достигается только тогда, когда соответствующей точкой единичной окруж­ности является точка B, то есть при.

Синус — нечетная функция: , поэтому ее график симметричен относительно начала координат.

Синус — периодическая функция с наименьшим положительным периодом : , таким образом, через промежутки длиной вид графика функции повторя­ется. Поэтому при построении графика этой функции достаточно построить график на любом промежутке длиной , а потом полученную линию парал­лельно перенести вправо и влево вдоль оси Ox на расстояние , где k — любое натуральное число.

Чтобы найти точки пересечения графика функции с осями координат, напомним, что на оси значение . Тогда соответствующее значение , то есть график функции проходит через начало координат.

На оси значение . Поэтому необходимо найти такие значения , при которых , то есть ордината соответствующей точки единичной окруж­ности, равна нулю. Это будет тогда и только тогда, когда на единичной окруж­ности будут выбраны точки C или D, то есть при (см. рис. 1).

Промежутки знакопостоянства. Значения функции синус положительны (то есть ордината соответствующей точки единичной окружности положительна) в I и II четвертях (рис. 2). Таким образом, при всех , а также, учитывая период, при всех .

Значения функции синус отрицательны (то есть ордината соответствую­щей точки единичной окружности отрицательна) в III и IV четвертях, поэто­му при .

Промежутки возрастания и убывания. Учитывая периодичность функции с периодом , достаточно исследовать ее на возрастание и убывание на любом промежутке длиной , например на промежутке . 

Если (рис. 3, а), то при увеличении аргумента  ордината соответствующей точки единичной окружности увеличивается (то есть , следовательно, на этом промежутке функция возрас­тает. Учитывая периодичность функции , делаем вывод, что она также возрастает на каждом из промежутков 

Рис.2                                                                            Рис.3

Если  (рис.3,б), то при увеличении аргумента  ордината соответствующей точки единичной окружности уменьшается (то есть ), таким образом, на этом промежутке функция убыва­ет. Учитывая периодичность функции , делаем вывод, что она также убывает на каждом из промежутков 

Проведенное исследование позволяет обоснованно построить график функции . Учитывая периодичность этой функции (с периодом ), достаточно сначала построить график на любом промежутке длиной , на­пример на промежутке . Для более точного построения точек графика воспользуемся тем, что значение синуса — это ордината соответствующей точки единичной окружности. На рисунке 4 показано построение графика функции на промежутке . Учитывая нечетность функции  (ее график симметричен относительно начала координат), для построения графика на промежутке отображаем полученную кривую симметрич­но относительно начала координат (рис. 5).

Рис.4

Рис.5

 

Поскольку мы построили график на промежутке длиной , то, учитывая периодичность синуса (с периодом ), повторяем вид графика на каждом промежутке длиной (то есть переносим параллельно график вдоль оси на , где k — целое число). Получаем график, который называется синусоидой .(Рис.6)

Рис.6

Замечание. Тригонометрические функции широко применяются в ма­тематике, физике и технике. Например, множество процессов, таких как колебания струны, маятника, напряжения в цепи переменного тока и т. п., описываются функцией, которая задается формулой . Та­кие процессы называют гармоническими колебаниями.

График функции можно получить из синусоиды сжатием или растяжением ее вдоль координатных осей и параллельным пере­носом вдоль оси . Чаще всего гармоническое колебание является функцией времени t. Тогда оно задается формулой , где А — амплитуда

колебания, — частота, — начальная фаза, — период колебания.

 

СВОЙСТВА ФУНКЦИИ И ЕЕ ГРАФИК

График функции  (косинусоида).

Свойства функции 

1. Область определения: R (x — любое действительное число).
2. Область значений: 

3. Функция четная:

   (график симметричен относительно оси ).

4. Функция периодическая с периодом  : 
5. Точки пересечения с осями координат 
6. Промежутки знакопостоянства: 
7. Промежутки возрастания и убывания: 
   

Объяснение и обоснование

Напомним, что значение косинуса — это абсцисса соответствующей точки единичной окружности (рис.7). Поскольку абсциссу можно найти для любой точки единичной окружности (в силу того, что через любую точку окружности, всегда можно провести единственную прямую, перпендикулярную оси абсцисс), то область определения функции — все действительные числа. Это можно записать так:

.

Рис.7

Для точек единичной окружности абсциссы находятся в промежутке и принимают все значения от -1 до 1, поскольку через любую точку отрезка оси абсцисс (который является диаметром единичной окружности) всегда можно провести прямую, перпендикулярную оси абсцисс, и получить
точку окружности, которая имеет рассматриваемую абсциссу. Следовательно, область значений функции . Это можно записать так: .

Как видим, наибольшее значение функции равно единице. Это зна­чение достигается только тогда, когда соответствующей точкой единичной окружности является точка A, то есть при .

Наименьшее значение функции cos x равно минус единице. Это значение достигается только тогда, когда соответствующей точкой единичной окруж­ности является точка B, то есть при .

Косинус — четная функция: , поэтому ее график симметричен относительно оси .

Косинус — периодическая функция с наименьшим положительным периодом : . Таким об­разом, через промежутки длиной вид графика функции повторяется.

Чтобы найти точки пересечения графика функции с осями координат, напомним, что на оси значение . Тогда соответствующее значение . На оси значение . Поэтому необходимо найти такие значения , при которых , то есть абсцисса соответствующей точки единичной окружности будет равна нулю. Это будет тогда и только тогда, когда на единичной окружности будут выбраны точки C или D, то есть при .

Промежутки знакопостоянства. Значения функции косинус положительны (то есть абсцисса соответствующей точки единичной окружности положительна) в I и IV четвертях (рис. 8). Следова­тельно, 0 при , а также, учитывая период, при всех .

Значения функции косинус отрицательны (то есть абсцисса соответству­ющей точки единичной окружности отрицательна) во II и III четвертях, поэтому  при 

Промежутки возрастания и убывания. Учитывая периодичность функции , достаточно исследовать ее на возрастание и убывание на любом промежутке длиной , например на промежутке .

Если (рис. 9, а), то при увеличении аргумента  абсцис­са соответствующей точки единичной окружности уменьшается (то есть ), следовательно, на этом промежутке функция убывает. Учитывая периодичность функции , делаем вывод, что она также убывает на каждом из промежутков .

Если (рис. 9, б), то при увеличении аргумента  аб­сцисса соответствующей точки единичной окружности увеличивается (то есть ), таким образом, на этом промежутке функция  возрастает. Учитывая периодичность функции , делаем вывод, что она возрастает также на каждом из промежутков . 

Рис.8                                                                                                                          Рис.9

Проведенное исследование позволяет построить график функции аналогично тому, как был построен график функции . Но график функции можно также получить с помощью геометрических преобразований графика функции , используя формулу

Рис.10

Эту формулу можно обосновать, например, так. Рассмотрим единичную окружность (рис. 10), отметим на ней точки а также

абсциссы и ординаты этих точек. Так как , то при повороте

прямоугольника  около точки на угол — против часовой стрел­ки он перейдет в прямоугольник . Но тогда . Следовательно, 00.

Укажем также формулы, которые нам понадобятся далее:.

Тогда,

Таким образом, .

Учитывая, что , график функции можно полу­чить из графика функции его параллельным переносом вдоль оси на  (рис. 11). Полученный график называется косинусоидой (рис. 12).

Рис.11

Рис.12

График функции  (тангенсоида) 

Свойства функции :

1. Область определения: 

2. Область значений: 

3. Функция нечетная: 

4. Функция периодическая с периодом 

5. Точки пересечения с осями координат:   

6. Промежутки знакопостоянства:

7. Промежутки возрастания и убывания:

8. Наибольшего и наименьшего значений функция не имеет.

График функции  (котангенсоида)

Свойства функции :

1. Область определения:

2. Область значений:

3. Функция нечетная: 

4. Функция переодическая с периодом 
5. Точки пересечения с осями координат: 

6. Промежутки знакопостоянства: 

7. Промежутки возрастания и убывания:

 

8. Наибольшего и наименьшего значений функция не имеет.

 

Синус и косинус — тригонометрические функции y=sin(x), y=cos(x). Свойства, область определения, значения, четность, периоды, нули, промежутки знакопостоянства, возрастание, убывание, минимумы, максимумы, основные значения, знаки, формулы приведения

Адрес этой страницы (вложенность) в справочнике dpva.ru:  главная страница  / / Техническая информация / / Математический справочник / / Тригонометрические функции, формулы и графики. sin, cos, tg, ctg….Значения тригонометрических функций. Формулы приведения тригонометрических функций. Тригонометрические тождества.  / / Синус и косинус — тригонометрические функции y=sin(x), y=cos(x). Свойства, область определения, значения, четность, периоды, нули, промежутки знакопостоянства, возрастание, убывание, минимумы, максимумы, основные значения, знаки, формулы приведения Поделиться:    Синус (sin) и косинус (cos) — тригонометрические функции y=sin(x), y=cos(x). Свойства, область определения, область значения, четность, периоды, нули, промежутки знакопостоянства, возрастание, убывание, минимумы, максимумы, основные значения, знаки по четвертям, формулы приведения. Свойства, область определения, область значения, четность, периоды, нули, промежутки знакопостоянства, возрастание, убывание, минимумы, максимумы, основные значения: Свойства, область определения, область значения, четность, периоды, нули, промежутки знакопостоянства, возрастание, убывание, минимумы, максимумы, основные значения: Область определения D(y): Область значений E(x): Наименьший положительный период: Координаты точек пересечения графика функции с осью: Промежутки знакопостоянства —  на которых функция принимает: Положительные значения:

Тригонометрические функции | Математика | Fandom

Рис. 1
Графики тригонометрических функций: синуса, косинуса, тангенса, секанса, косеканса, котангенса

Тригонометрические фу́нкции — математические функции от угла. Они безусловно важны при изучении геометрии, а также при исследовании периодических процессов. Обычно тригонометрические функции определяют как отношения сторон прямоугольного треугольника или длины определённых отрезков в единичной окружности. Более современные определения выражают тригонометрические функции через суммы рядов или как решения некоторых дифференциальных уравнений, что позволяет расширить область определения этих функций на произвольные вещественные числа и даже на комплексные числа.

В настоящее время выделяют шесть основных тригонометрических функций, указанных ниже вместе с уравнениями, связывающими их друг с другом. Для последних четырёх функций, эти соотношения часто называют определениями этих функций, однако можно определять эти функции геометрически или как-нибудь по-другому. Кроме того, существуют другие функции, такие как $ \operatorname{versin} $ и $ \operatorname{exsec} $, но они в настоящее время редко используются (см. Редко используемые тригонометрические функции). С тригонометрическими функциями тесно связаны обратные им функции (см. Обратные тригонометрические функции)

Основные тригонометрические функции

Функция	Обозначение	Соотношение
Си́нус	$ \sin $	$ \sin x=\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right) $
Ко́синус	$ \cos $	$ \cos x=\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right) $
Та́нгенс	$ \operatorname{tg} $ или $ \tan $	$ \operatorname{tg}\; x=\frac{\sin x}{\cos x}=\operatorname{ctg}\; \left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\frac{1}{\operatorname{ctg}\; x} $
Кота́нгенс	$ \operatorname{ctg} $ или $ \cot $	$ \operatorname{ctg}\; x=\frac{\cos x}{\sin x}=\operatorname{tg}\; \left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\frac{1}{\operatorname{tg}\; x} $
Се́канс	$ \sec $	$ \sec x=\frac{1}{\cos x}=\csc\left(\frac{\pi}{2}-x\right) $
Косе́канс	$ \operatorname{cosec} $ или $ \csc $	$ \operatorname{cosec}\; x=\frac{1}{\sin x}=\sec\left(\frac{\pi}{2}-x\right) $

Тригонометрические функции в прямоугольном треугольнике

Чтобы определить тригонометрические функции произвольного угла $ \alpha, $ возьмём произвольный прямоугольный треугольник, содержащий угол $ \alpha $. Стороны этого треугольника мы будем называть так:

• Гипотенуза — сторона, противолежащая прямому углу, самая длинная сторона в треугольнике. В данном случае, сторона $ c. $
• Противолежащий катет — катет, лежащий напротив угла. Например, катет $ a $ — противолежащий по отношению к углу $ A. $
• Прилежащий катет — катет, являющийся стороной угла. Например, катет $ b $ — прилежащий по отношению к углу $ A. $

Будем предполагать, что треугольник лежит в евклидовой плоскости, поэтому сумма его углов равна $ \pi. $ Это означает, что углы между катетами и гипотенузой лежат между $ 0 $ и $ \frac{\pi}{2}. $ Используя формулы приведения или определение через единичную окружность, можно расширить область определения тригонометрических функций на множество вещественных чисел.

Си́нус угла — отношение противолежащего катета к гипотенузе: $ \sin\alpha=\frac{a}{c}. $ Это отношение не зависит от выбора треугольника $ {ABC} $, содержащего угол $ \alpha, $ так как все такие треугольники подобны.

Ко́синус угла — отношение прилежащего катета к гипотенузе: $ \cos\alpha=\frac{b}{c}. $ Так как $ \sin\beta=\frac{b}{c}, $ синус одного острого угла в треугольнике равна косинусу второго, и наоборот.

Та́нгенс угла — отношение противолежащего катета к прилежащему: $ \operatorname{tg}\,\alpha=\frac{a}{b}. $

Кота́нгенс угла — отношение прилежащего катета к противолежащему: $ \operatorname{ctg}\,\alpha=\frac{b}{a}. $ Котангенс одного острого угла в прямоугольном треугольнике равен тангенсу второго, и наоборот.

Се́канс угла — отношение гипотенузы к прилежащему катету: $ \sec\alpha=\frac{c}{b}. $

Косе́канс угла — отношение гипотенузы к противолежащему катету: $ \operatorname{cosec}\,\alpha=\frac{c}{a}. $

Из определений тригонометрических функций следует:

$ a=c\sin\alpha\,, $

$ b=c\cos\alpha\,, $

$ a=b\,\operatorname{tg}\,\alpha, $

$ b=a\,\operatorname{ctg}\,\alpha, $

$ c=b\sec\alpha\,, $

$ c=a\,\operatorname{cosec}\,\alpha, $

и симметрично:

$ b=c\sin\beta\,, $

$ a=c\cos\beta\,, $

$ b=a\,\operatorname{tg}\,\beta, $

$ a=b\,\operatorname{ctg}\,\beta, $

$ c=a\sec\beta\,, $

$ c=b\,\operatorname{cosec}\,\beta. $

Определение тригонометрических функций через окружность

Пусть на плоскости задана прямоугольная система координат с началом в точке $ O $ и с осями $ {OX} $ и $ {OY} $ . Возьмём в этой системе координат окружность с центром в точке $ O $ и радиусом

Построение графиков тригонометрических функций — АЛГЕБРА — Уроки для 10 классов — конспекты уроков — План урока — Конспект урока — Планы уроков

УРОК 9

Тема. Построение графиков тригонометрических функций

 

Цель урока: построение графиков функций у = sin х, у = cos x, у = tg х, у = ctg x.

Формирование умений строить графики функций: у = Asin (kx + b), у = Acos (kx + b), у = Atg (kx + b), у = Actg (kx + b).

И. Проверка домашнего задания

1. Один ученик воспроизводит решение упражнения № 24 (1-3).

2. Фронтальная беседа:

1) Назовите явления в природе, которые периодически повторяются.

2) Дайте определение периодической функции.

3) Если функция у = f(x) имеет периодом число Т, то будет периодом этой функции число 2Т, 3T…? Ответ обоснуйте.

4) Найдите наименьший положительный период функций:

a) y = cos; б) y = sin ; в) у = tg ; г) у = .

5) периодическая функция у = С? Если да, то укажите период этой функции.

 

II. Построение графика функции у = sin х

Для построения графика функции у = sin x воспользуемся единичным кругом. Построим единичный круг радиусом 1 см (2 клетки). Справа построим систему координат, как на рис. 57.

 

На ось ОХ нанесем точки ; π; ; 2π (соответственно 3 ячейки, 6 ячеек 9 ячеек, 12 ячеек). Разделим первую четверть единичного круга на три равные части и на столько же частей отрезок оси абсцисс. Перенесем значение синуса до соответствующих точек оси ОХ. Получим точки, которые надо соединить плавной линией. Затем разделим вторую, третью и четвертую четверть единичного круга также на три равные части и перенесем значение синуса до соответствующей точки оси ОХ. Последовательно соединив все полученные точки, получим график функции у = sin х на промежутке [0;π].

 

За то что функция у = sin x периодическая с периодом 2π, то для построения графика функции у = sin x на всей прямой ОХ достаточно параллельно перенести построен график вдоль оси ОХ на 2π, 4π, 6π… единиц влево и вправо (рис. 58).

 

 

Кривая, которая является графиком функции у = sin x, называют синусоидой.

Выполнение упражнений______________________________

1. Постройте графики функций.

а) у = sin ; б) у = sin 2х; в) у = 2sin х; г) у = sin (-x).

Ответы: а) рис. 59; б) рис. 60; в) рис. 61; г) рис. 62.

 

 

 

 

 

III. Построение графика функции у = cos x

Как известно, cos х = sin , поэтому у = cos x и у = sin — одинаковые функции. Для построения графика функции у = sin воспользуемся геометрич-ими преобразованиями графиков: сначала построим (рис. 63) график функции у = sin х, затем у = sin (-х) и в конце у = sin .

 

 

 

Выполнение упражнений________________________________

1. Постройте графики функций:

a) y = cos ; б) y = cos ; в) y =cos х; г) у = |cos x|.

Ответ: а) рис. 64; б) рис. 65; в) рис. 66; г) рис. 67.

 

 

 

 

 

IV. Построение графика функции у = tg x

График функции у = tg x построим с помощью линии тангенсов на промежутке , длина которого равна периоду π этой функции. Построим единичный круг радиусом 2 см (4 ячейки) и проведем линию тангенсов. Справа построим систему координат, как на рис. 68.

 

 

На ось ОХ нанесем точки ; (6 ячеек). Разделим первую и четвертую четверть окружности на 3 равные части и на столько же частей каждый из отрезков и . Найдем значения тангенсов чисел ; ; 0; ; с помощью линии тангенсов (ординаты точек ; ; ; ; линии тангенсов). Перенесем значения тангенсов до соответствующих точек оси ОХ. Последовательно соединив все полученные точки, получим график функции у = tg x на промежутке .

За то что функция у = tg x периодическая с периодом π, для построения графика функции у = tg x на всей прямой ОХ достаточно параллельно перенести построен график вдоль оси ОХ на π, 2π, 3π, 4π… единиц влево и вправо (рис. 69).

 

 

График функции у = tg x называется тангенсоїдою.

Выполнение упражнений

1. Постройте график функций

а) у = tg 2х; б) у = tgx; в) у = tg x + 2; г) у = tg (-x).

Ответы: а) рис. 70; б) рис. 71; в) рис. 72; г) рис. 73.

 

 

 

 

 

V. Построение графика функции у = ctg x

График функции у = ctg x легко получить, воспользовавшись формулой ctg x = tg и двумя геометрическими преобразованиями (рис. 74) симметрия относительно оси ΟΥ параллельный перенос вдоль оси ОХ на .

 

 

 

 

IV. Домашнее задание

Раздел И § 6. Вопросы и задания для повторения раздела И № 50-51. Упражнения № 28 (а-г).

 

V. Итог урока