Список интегралов элементарных функций — Википедия
Пусть a<0{\displaystyle a<0}, предположим также, что x≥0{\displaystyle x\geq 0}. Воспользуемся гиперболическими функциями, сделаем замену x=−acht,t≥0{\displaystyle x={\sqrt {-a}}\operatorname {ch} t,t\geq 0}
∫x2+adx=∫(−acht)2+ad(−acht)=−a∫ch3t−1shtdt=−a∫sh3tdt=−a∫ch2t−12dt=−a2(sh2t2−t)+C1=−a2(shtcht−t)+C1{\displaystyle {\begin{aligned}\int \!{\sqrt {x^{2}+a}}dx&=\int {\sqrt {({\sqrt {-a}}\operatorname {ch} t)^{2}+a}}d({\sqrt {-a}}\operatorname {ch} t)=-a\int {\sqrt {\operatorname {ch} ^{2}t-1}}\operatorname {sh} tdt\\&=-a\int \operatorname {sh} ^{2}tdt=-a\int {\operatorname {ch} 2t-1 \over 2}dt={-a \over 2}\left({\operatorname {sh} 2t \over 2}-t\right)+C_{1}\\&={-a \over 2}(\operatorname {sh} t\operatorname {ch} t-t)+C_{1}\end{aligned}}}
Но
sht=ch3−1=x2−a−1=x2+a−a,{\displaystyle \operatorname {sh} t={\sqrt {\operatorname {ch} ^{2}-1}}={\sqrt {{x^{2} \over -a}-1}}={{\sqrt {x^{2}+a}} \over {\sqrt {-a}}},} shtcht=xx2+a−a,{\displaystyle \operatorname {sh} t\operatorname {ch} t=x{{\sqrt {x^{2}+a}} \over -a},} et=sht+cht=x+x2+a−a.{\displaystyle e^{t}=\operatorname {sh} t+\operatorname {ch} t={x+{\sqrt {x^{2}+a}} \over {\sqrt {-a}}}.}
Поэтому
t=lnx+x2+a−a.{\displaystyle t=\ln {x+{\sqrt {x^{2}+a}} \over {\sqrt {-a}}}.}
Отсюда, включая логарифм знаменателя последней дроби в константу C, получаем
∫x2+adx=x2x2+a+a2ln|x+x2+a|+C{\displaystyle \int \!{\sqrt {x^{2}+a}}\,dx={x \over 2}{\sqrt {x^{2}+a}}+{a \over 2}\ln |x+{\sqrt {x^{2}+a}}|+C}
Если x<0{\displaystyle x<0}, то заменой x=−t,t>0{\displaystyle x=-t,t>0} сводим интеграл к уже рассмотренному случаю. Если же a>0{\displaystyle a>0}, то делаем замену x=asht{\displaystyle x={\sqrt {a}}\operatorname {sh} t} и проводим рассуждения, аналогичные рассмотренному случаю[1].
ru.wikipedia.org
Список интегралов от иррациональных функций — Википедия
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Ниже приведён список интегралов (первообразных функций) от иррациональных функций. В списке везде опущена аддитивная константа интегрирования.
Везде ниже: r=a2+x2{\displaystyle r={\sqrt {a^{2}+x^{2}}}}.
- ∫rdx=12(xr+a2ln(x+r)){\displaystyle \int r\;dx={\frac {1}{2}}\left(xr+a^{2}\,\ln \left({x+r}\right)\right)}
- ∫r3dx=14xr3+183a2xr+38a4ln(x+ra){\displaystyle \int r^{3}\;dx={\frac {1}{4}}xr^{3}+{\frac {1}{8}}3a^{2}xr+{\frac {3}{8}}a^{4}\ln \left({\frac {x+r}{a}}\right)}
- ∫r5dx=16xr5+524a2xr3+516a4xr+516a6ln(x+ra){\displaystyle \int r^{5}\;dx={\frac {1}{6}}xr^{5}+{\frac {5}{24}}a^{2}xr^{3}+{\frac {5}{16}}a^{4}xr+{\frac {5}{16}}a^{6}\ln \left({\frac {x+r}{a}}\right)}
- ∫xr2n+1dx=r2n+32n+3{\displaystyle \int xr^{2n+1}\;dx={\frac {r^{2n+3}}{2n+3}}}
- ∫x2rdx=xr34−a2xr8−a48ln(x+ra){\displaystyle \int x^{2}r\;dx={\frac {xr^{3}}{4}}-{\frac {a^{2}xr}{8}}-{\frac {a^{4}}{8}}\ln \left({\frac {x+r}{a}}\right)}
- ∫x2r3dx=xr56−a2xr324−a4xr16−a616ln(x+ra){\displaystyle \int x^{2}r^{3}\;dx={\frac {xr^{5}}{6}}-{\frac {a^{2}xr^{3}}{24}}-{\frac {a^{4}xr}{16}}-{\frac {a^{6}}{16}}\ln \left({\frac {x+r}{a}}\right)}
- ∫x3rdx=r55−a2r33{\displaystyle \int x^{3}r\;dx={\frac {r^{5}}{5}}-{\frac {a^{2}r^{3}}{3}}}
- ∫x3r3dx=r77−a2r55{\displaystyle \int x^{3}r^{3}\;dx={\frac {r^{7}}{7}}-{\frac {a^{2}r^{5}}{5}}}
- ∫x3r2n+1dx=r2n+52n+5−a3r2n+32n+3{\displaystyle \int x^{3}r^{2n+1}\;dx={\frac {r^{2n+5}}{2n+5}}-{\frac {a^{3}r^{2n+3}}{2n+3}}}
- ∫x4rdx=x3r36−a2xr38+a4xr16+a616ln(x+ra){\displaystyle \int x^{4}r\;dx={\frac {x^{3}r^{3}}{6}}-{\frac {a^{2}xr^{3}}{8}}+{\frac {a^{4}xr}{16}}+{\frac {a^{6}}{16}}\ln \left({\frac {x+r}{a}}\right)}
- ∫x4r3dx=x3r58−a2xr516+a4xr364+3a6xr128+3a8128ln(x+ra){\displaystyle \int x^{4}r^{3}\;dx={\frac {x^{3}r^{5}}{8}}-{\frac {a^{2}xr^{5}}{16}}+{\frac {a^{4}xr^{3}}{64}}+{\frac {3a^{6}xr}{128}}+{\frac {3a^{8}}{128}}\ln \left({\frac {x+r}{a}}\right)}
- ∫x5rdx=r77−2a2r55+a4r33{\displaystyle \int x^{5}r\;dx={\frac {r^{7}}{7}}-{\frac {2a^{2}r^{5}}{5}}+{\frac {a^{4}r^{3}}{3}}}
- ∫x5r3dx=r99−2a2r77+a4r55{\displaystyle \int x^{5}r^{3}\;dx={\frac {r^{9}}{9}}-{\frac {2a^{2}r^{7}}{7}}+{\frac {a^{4}r^{5}}{5}}}
- ∫x5r2n+1dx=r2n+72n+7−2a2r2n+52n+5+a4r2n+32n+3{\displaystyle \int x^{5}r^{2n+1}\;dx={\frac {r^{2n+7}}{2n+7}}-{\frac {2a^{2}r^{2n+5}}{2n+5}}+{\frac {a^{4}r^{2n+3}}{2n+3}}}
- ∫rdxx=r−aln|a+rx|=r−aarshax{\displaystyle \int {\frac {r\;dx}{x}}=r-a\ln \left|{\frac {a+r}{x}}\right|=r-a\operatorname {arsh} {\frac {a}{x}}}
- ∫r3dxx=r33+a2r−a3ln|a+rx|{\displaystyle \int {\frac {r^{3}\;dx}{x}}={\frac {r^{3}}{3}}+a^{2}r-a^{3}\ln \left|{\frac {a+r}{x}}\right|}
- ∫r5dxx=r55+a2r33+a4r−a5ln|a+rx|{\displaystyle \int {\frac {r^{5}\;dx}{x}}={\frac {r^{5}}{5}}+{\frac {a^{2}r^{3}}{3}}+a^{4}r-a^{5}\ln \left|{\frac {a+r}{x}}\right|}
- ∫r7dxx=r77+a2r55+a4r33+a6r−a7ln|a+rx|{\displaystyle \int {\frac {r^{7}\;dx}{x}}={\frac {r^{7}}{7}}+{\frac {a^{2}r^{5}}{5}}+{\frac {a^{4}r^{3}}{3}}+a^{6}r-a^{7}\ln \left|{\frac {a+r}{x}}\right|}
- ∫dxr=arshxa=ln|x+r|{\displaystyle \int {\frac {dx}{r}}=\operatorname {arsh} {\frac {x}{a}}=\ln \left|x+r\right|}
- ∫xdxr=r{\displaystyle \int {\frac {x\,dx}{r}}=r}
- ∫x2dxr=x2r−a22arshxa=x2r−a22ln|x+r|{\displaystyle \int {\frac {x^{2}\;dx}{r}}={\frac {x}{2}}r-{\frac {a^{2}}{2}}\,\operatorname {arsh} {\frac {x}{a}}={\frac {x}{2}}r-{\frac {a^{2}}{2}}\ln \left|x+r\right|}
- ∫dxxr=−1aarshax=−1aln|a+rx|{\displaystyle \int {\frac {dx}{xr}}=-{\frac {1}{a}}\,\operatorname {arsh} {\frac {a}{x}}=-{\frac {1}{a}}\ln \left|{\frac {a+r}{x}}\right|}
Везде ниже: s=x2−a2{\displaystyle s={\sqrt {x^{2}-a^{2}}}}.
Принято x2>a2{\displaystyle x^{2}>a^{2}}, для x2<a2{\displaystyle x^{2}<a^{2}} смотрите следующий раздел.
- ∫sdx=12(xs−a2ln(x+s)){\displaystyle \int s\;dx={\frac {1}{2}}\left(xs-a^{2}\ln \left(x+s\right)\right)}
- ∫xsdx=13s3{\displaystyle \int xs\;dx={\frac {1}{3}}s^{3}}
- ∫sdxx=s−acos−1|ax|{\displaystyle \int {\frac {s\;dx}{x}}=s-a\cos ^{-1}\left|{\frac {a}{x}}\right|}
- ∫dxs=∫dxx2−a2=ln|x+s|{\displaystyle \int {\frac {dx}{s}}=\int {\frac {dx}{\sqrt {x^{2}-a^{2}}}}=\ln \left|x+s\right|}
Заметим, что ln|x+sa|=sgn(x)arch|xa|=12ln(x+sx−s){\displaystyle \ln \left|{\frac {x+s}{a}}\right|=\mathrm {sgn} (x)\operatorname {arch} \left|{\frac {x}{a}}\right|={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {x+s}{x-s}}\right)}, где arch|xa|{\displaystyle \operatorname {arch} \left|{\frac {x}{a}}\right|} принимает только положительные значения.
- ∫xdxs=s{\displaystyle \int {\frac {x\;dx}{s}}=s}
- ∫xdxs3=−1s{\displaystyle \int {\frac {x\;dx}{s^{3}}}=-{\frac {1}{s}}}
- ∫xdxs5=−13s3{\displaystyle \int {\frac {x\;dx}{s^{5}}}=-{\frac {1}{3s^{3}}}}
- ∫xdxs7=−15s5{\displaystyle \int {\frac {x\;dx}{s^{7}}}=-{\frac {1}{5s^{5}}}}
- ∫xdxs2n+1=−1(2n−1)s2n−1{\displaystyle \int {\frac {x\;dx}{s^{2n+1}}}=-{\frac {1}{(2n-1)s^{2n-1}}}}
- ∫x2mdxs2n+1=−12n−1x2m−1s2n−1+2m−12n−1∫x2m−2dxs2n−1{\displaystyle \int {\frac {x^{2m}\;dx}{s^{2n+1}}}=-{\frac {1}{2n-1}}{\frac {x^{2m-1}}{s^{2n-1}}}+{\frac {2m-1}{2n-1}}\int {\frac {x^{2m-2}\;dx}{s^{2n-1}}}}
- ∫x2dxs=xs2+a22ln|x+sa|{\displaystyle \int {\frac {x^{2}\;dx}{s}}={\frac {xs}{2}}+{\frac {a^{2}}{2}}\ln \left|{\frac {x+s}{a}}\right|}
- ∫x2dxs3=−xs+ln|x+sa|{\displaystyle \int {\frac {x^{2}\;dx}{s^{3}}}=-{\frac {x}{s}}+\ln \left|{\frac {x+s}{a}}\right|}
- ∫x4dxs=x3s4+38a2xs+38a4ln|x+sa|{\displaystyle \int {\frac {x^{4}\;dx}{s}}={\frac {x^{3}s}{4}}+{\frac {3}{8}}a^{2}xs+{\frac {3}{8}}a^{4}\ln \left|{\frac {x+s}{a}}\right|}
- ∫x4dxs3=xs2−a2xs+32a2ln|x+sa|{\displaystyle \int {\frac {x^{4}\;dx}{s^{3}}}={\frac {xs}{2}}-{\frac {a^{2}x}{s}}+{\frac {3}{2}}a^{2}\ln \left|{\frac {x+s}{a}}\right|}
- ∫x4dxs5=−xs−13x3s3+ln|x+sa|{\displaystyle \int {\frac {x^{4}\;dx}{s^{5}}}=-{\frac {x}{s}}-{\frac {1}{3}}{\frac {x^{3}}{s^{3}}}+\ln \left|{\frac {x+s}{a}}\right|}
- ∫x2mdxs2n+1=(−1)n−m1a2(n−m)∑i=0n−m−112(m+i)+1(n−m−1i)x2(m+i)+1s2(m+i)+1,{\displaystyle \int {\frac {x^{2m}\;dx}{s^{2n+1}}}=(-1)^{n-m}{\frac {1}{a^{2(n-m)}}}\sum _{i=0}^{n-m-1}{\frac {1}{2(m+i)+1}}{n-m-1 \choose i}{\frac {x^{2(m+i)+1}}{s^{2(m+i)+1}}},} где n>m≥0{\displaystyle n>m\geq 0}
- ∫dxs3=−1a2xs{\displaystyle \int {\frac {dx}{s^{3}}}=-{\frac {1}{a^{2}}}{\frac {x}{s}}}
- ∫dxs5=1a4[xs−13x3s3]{\displaystyle \int {\frac {dx}{s^{5}}}={\frac {1}{a^{4}}}\left[{\frac {x}{s}}-{\frac {1}{3}}{\frac {x^{3}}{s^{3}}}\right]}
- ∫dxs7=−1a6[xs−23x3s3+15x5s5]{\displaystyle \int {\frac {dx}{s^{7}}}=-{\frac {1}{a^{6}}}\left[{\frac {x}{s}}-{\frac {2}{3}}{\frac {x^{3}}{s^{3}}}+{\frac {1}{5}}{\frac {x^{5}}{s^{5}}}\right]}
- ∫dxs9=1a8[xs−33x3s3+35x5s5−17x7s7]{\displaystyle \int {\frac {dx}{s^{9}}}={\frac {1}{a^{8}}}\left[{\frac {x}{s}}-{\frac {3}{3}}{\frac {x^{3}}{s^{3}}}+{\frac {3}{5}}{\frac {x^{5}}{s^{5}}}-{\frac {1}{7}}{\frac {x^{7}}{s^{7}}}\right]}
- ∫x2dxs5=−1a2x33s3{\displaystyle \int {\frac {x^{2}\;dx}{s^{5}}}=-{\frac {1}{a^{2}}}{\frac {x^{3}}{3s^{3}}}}
- ∫x2dxs7=1a4[13x3s3−15x5s5]{\displaystyle \int {\frac {x^{2}\;dx}{s^{7}}}={\frac {1}{a^{4}}}\left[{\frac {1}{3}}{\frac {x^{3}}{s^{3}}}-{\frac {1}{5}}{\frac {x^{5}}{s^{5}}}\right]}
- ∫x2dxs9=−1a6[13x3s3−25x5s5+17x7s7]{\displaystyle \int {\frac {x^{2}\;dx}{s^{9}}}=-{\frac {1}{a^{6}}}\left[{\frac {1}{3}}{\frac {x^{3}}{s^{3}}}-{\frac {2}{5}}{\frac {x^{5}}{s^{5}}}+{\frac {1}{7}}{\frac {x^{7}}{s^{7}}}\right]}
Везде ниже: t=a2−x2(|x|⩽|a|){\displaystyle t={\sqrt {a^{2}-x^{2}}}\qquad {\mbox{(}}|x|\leqslant |a|{\mbox{)}}}
- ∫tdx=12(xt+a2arcsinxa)=12(xt−a2arccosxa){\displaystyle \int t\;dx={\frac {1}{2}}\left(xt+a^{2}\arcsin {\frac {x}{a}}\right)={\frac {1}{2}}\left(xt-a^{2}\arccos {\frac {x}{a}}\right)}
- ∫xtdx=−13t3{\displaystyle \int xt\;dx=-{\frac {1}{3}}t^{3}}
- ∫tdxx=t−aln|a+tx|{\displaystyle \int {\frac {t\;dx}{x}}=t-a\ln \left|{\frac {a+t}{x}}\right|}
- ∫dxt=arcsinxa{\displaystyle \int {\frac {dx}{t}}=\arcsin {\frac {x}{a}}}
- ∫xdxt=−t{\displaystyle \int {\frac {x\;dx}{t}}=-t}
- ∫x2dxt=−x2t+a22arcsinxa{\displaystyle \int {\frac {x^{2}\;dx}{t}}=-{\frac {x}{2}}t+{\frac {a^{2}}{2}}\arcsin {\frac {x}{a}}}
- ∫tdx=12(xt−sgnxarch|xa|){\displaystyle \int t\;dx={\frac {1}{2}}\left(xt-\operatorname {sgn} x\,\operatorname {arch} \left|{\frac {x}{a}}\right|\right)}
Здесь обозначено: R=ax2+bx+c{\displaystyle R=ax^{2}+bx+c}
- ∫dxax2+bx+c=1aln|2aR+2ax+b|( a>0){\displaystyle \int {\frac {dx}{\sqrt {ax^{2}+bx+c}}}={\frac {1}{\sqrt {a}}}\ln \left|2{\sqrt {aR}}+2ax+b\right|\qquad {\mbox{( }}a>0{\mbox{)}}}
- ∫dxax2
ru.wikipedia.org
| 1 | Найти производную — d/dx | квадратный корень x | |
| 2 | Найти производную — d/dx | натуральный логарифм x | |
| 3 | Вычислить | интеграл натурального логарифма x по x | |
| 4 | Найти производную — d/dx | e^x | |
| 5 | Вычислить | интеграл e^(2x) относительно x | |
| 6 | Найти производную — d/dx | 1/x | |
| 7 | Найти производную — d/dx | x^2 | |
| 8 | Вычислить | интеграл e^(-x) относительно x | |
| 9 | Найти производную — d/dx | 1/(x^2) | |
| 10 | Найти производную — d/dx | sin(x)^2 | |
| 11 | Найти производную — d/dx | sec(x) | |
| 12 | Вычислить | интеграл e^x относительно x | |
| 13 | Вычислить | интеграл x^2 относительно x | |
| 14 | Вычислить | интеграл квадратного корня x по x | |
| 15 | Вычислить | натуральный логарифм 1 | |
| 16 | Вычислить | e^0 | |
| 17 | Вычислить | sin(0) | |
| 18 | Найти производную — d/dx | cos(x)^2 | |
| 19 | Вычислить | интеграл 1/x относительно x | |
| 20 | Вычислить | cos(0) | |
| 21 | Вычислить | интеграл sin(x)^2 относительно x | |
| 22 | Найти производную — d/dx | x^3 | |
| 23 | Найти производную — d/dx | sec(x)^2 | |
| 24 | Найти производную — d/dx | 1/(x^2) | |
| 25 | Вычислить | интеграл arcsin(x) относительно x | |
| 26 | Вычислить | интеграл cos(x)^2 относительно x | |
| 27 | Вычислить | интеграл sec(x)^2 относительно x | |
| 28 | Найти производную — d/dx | e^(x^2) | |
| 29 | Вычислить | интеграл в пределах от 0 до 1 кубического корня 1+7x по x | |
| 30 | Найти производную — d/dx | sin(2x) | |
| 31 | Вычислить | интеграл натурального логарифма x по x | |
| 32 | Найти производную — d/dx | tan(x)^2 | |
| 33 | Вычислить | интеграл e^(2x) относительно x | |
| 34 | Вычислить | интеграл 1/(x^2) относительно x | |
| 35 | Найти производную — d/dx | 2^x | |
| 36 | График | натуральный логарифм a | |
| 37 | Вычислить | e^1 | |
| 38 | Вычислить | интеграл 1/(x^2) относительно x | |
| 39 | Вычислить | натуральный логарифм 0 | |
| 40 | Найти производную — d/dx | cos(2x) | |
| 41 | Найти производную — d/dx | xe^x | |
| 42 | Вычислить | интеграл 1/x относительно x | |
| 43 | Вычислить | интеграл 2x относительно x | |
| 44 | Найти производную — d/dx | ( натуральный логарифм x)^2 | |
| 45 | Найти производную — d/dx | натуральный логарифм (x)^2 | |
| 46 | Найти производную — d/dx | 3x^2 | |
| 47 | Вычислить | натуральный логарифм 2 | |
| 48 | Вычислить | интеграл xe^(2x) относительно x | |
| 49 | Найти производную — d/dx | 2e^x | |
| 50 | Найти производную — d/dx | натуральный логарифм 2x | |
| 51 | Найти производную — d/dx | -sin(x) | |
| 52 | Вычислить | tan(0) | |
| 53 | Найти производную — d/dx | 4x^2-x+5 | |
| 54 | Найти производную — d/dx | y=16 корень четвертой степени 4x^4+4 | |
| 55 | Найти производную — d/dx | 2x^2 | |
| 56 | Вычислить | интеграл e^(3x) относительно x | |
| 57 | Вычислить | интеграл cos(2x) относительно x | |
| 58 | Вычислить | интеграл cos(x)^2 относительно x | |
| 59 | Найти производную — d/dx | 1/( квадратный корень x) | |
| 60 | Вычислить | интеграл e^(x^2) относительно x | |
| 61 | Вычислить | sec(0) | |
| 62 | Вычислить | e^infinity | |
| 63 | Вычислить | 2^4 | |
| 64 | Найти производную — d/dx | x/2 | |
| 65 | Вычислить | 4^3 | |
| 66 | Найти производную — d/dx | -cos(x) | |
| 67 | Найти производную — d/dx | sin(3x) | |
| 68 | Вычислить | натуральный логарифм 1/e | |
| 69 | Вычислить | интеграл x^2 относительно x | |
| 70 | Упростить | 1/( кубический корень от x^4) | |
| 71 | Найти производную — d/dx | 1/(x^3) | |
| 72 | Вычислить | интеграл e^x относительно x | |
| 73 | Вычислить | интеграл tan(x)^2 относительно x | |
| 74 | Вычислить | интеграл 1 относительно x | |
| 75 | Найти производную — d/dx | x^x | |
| 76 | Найти производную — d/dx | x натуральный логарифм x | |
| 77 | Вычислить | интеграл sin(x)^2 относительно x | |
| 78 | Найти производную — d/dx | x^4 | |
| 79 | Вычислить | предел (3x-5)/(x-3), если x стремится к 3 | |
| 80 | Вычислить | интеграл от x^2 натуральный логарифм x по x | |
| 81 | Найти производную — d/dx | f(x) = square root of x | |
| 82 | Найти производную — d/dx | x^2sin(x) | |
| 83 | Вычислить | интеграл sin(2x) относительно x | |
| 84 | Найти производную — d/dx | 3e^x | |
| 85 | Вычислить | интеграл xe^x относительно x | |
| 86 | Найти производную — d/dx | y=x^2 | |
| 87 | Найти производную — d/dx | квадратный корень x^2+1 | |
| 88 | Найти производную — d/dx | sin(x^2) | |
| 89 | Вычислить | интеграл e^(-2x) относительно x | |
| 90 | Вычислить | интеграл натурального логарифма квадратного корня x по x | |
| 91 | Вычислить | 2^5 | |
| 92 | Найти производную — d/dx | e^2 | |
| 93 | Найти производную — d/dx | x^2+1 | |
| 94 | Вычислить | интеграл sin(x) относительно x | |
| 95 | Вычислить | 2^3 | |
| 96 | Найти производную — d/dx | arcsin(x) | |
| 97 | Вычислить | предел (sin(x))/x, если x стремится к 0 | |
| 98 | Вычислить | e^2 | |
| 99 | Вычислить | интеграл e^(-x) относительно x | |
| 100 | Вычислить | интеграл 1/x относительно x |
www.mathway.com
Список интегралов от экспоненциальных функций — Википедия
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Ниже приведён список интегралов (первообразных функций) от экспоненциальной функции. В списке везде опущена константа интегрирования.
- ∫ecxdx=1cecx{\displaystyle \int e^{cx}\;dx={\frac {1}{c}}e^{cx}}
- ∫acxdx=1clnaacx,{\displaystyle \int a^{cx}\;dx={\frac {1}{c\ln a}}a^{cx},} для a>0,a≠1{\displaystyle a>0,a\neq 1}
- ∫xecxdx=ecxc2(cx−1){\displaystyle \int xe^{cx}\;dx={\frac {e^{cx}}{c^{2}}}(cx-1)}
- ∫x2ecxdx=ecx(x2c−2xc2+2c3){\displaystyle \int x^{2}e^{cx}\;dx=e^{cx}\left({\frac {x^{2}}{c}}-{\frac {2x}{c^{2}}}+{\frac {2}{c^{3}}}\right)}
- ∫xnecxdx=1cxnecx−nc∫xn−1ecxdx{\displaystyle \int x^{n}e^{cx}\;dx={\frac {1}{c}}x^{n}e^{cx}-{\frac {n}{c}}\int x^{n-1}e^{cx}dx}
- ∫ecxdxx=ln|x|+∑i=1∞(cx)ii⋅i!{\displaystyle \int {\frac {e^{cx}\;dx}{x}}=\ln |x|+\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {(cx)^{i}}{i\cdot i!}}}
- ∫ecxdxxn=1n−1(−ecxxn−1+c∫ecxdxxn−1),{\displaystyle \int {\frac {e^{cx}\;dx}{x^{n}}}={\frac {1}{n-1}}\left(-{\frac {e^{cx}}{x^{n-1}}}+c\int {\frac {e^{cx}dx}{x^{n-1}}}\right),} для n≠1{\displaystyle n\neq 1}
- ∫ecxlnxdx=1cecxln|x|−Ei(cx){\displaystyle \int e^{cx}\ln x\;dx={\frac {1}{c}}e^{cx}\ln |x|-\operatorname {Ei} \,(cx)}
- ∫ecxsinbxdx=ecxc2+b2(csinbx−bcosbx){\displaystyle \int e^{cx}\sin bx\;dx={\frac {e^{cx}}{c^{2}+b^{2}}}(c\sin bx-b\cos bx)}
- ∫ecxcosbxdx=ecxc2+b2(ccosbx+bsinbx){\displaystyle \int e^{cx}\cos bx\;dx={\frac {e^{cx}}{c^{2}+b^{2}}}(c\cos bx+b\sin bx)}
- ∫ecxsinnxdx=ecxsinn−1xc2+n2(csinx−ncosx)+n(n−1)c2+n2∫ecxsinn−2xdx{\displaystyle \int e^{cx}\sin ^{n}x\;dx={\frac {e^{cx}\sin ^{n-1}x}{c^{2}+n^{2}}}(c\sin x-n\cos x)+{\frac {n(n-1)}{c^{2}+n^{2}}}\int e^{cx}\sin ^{n-2}x\;dx}
- ∫ecxcosnxdx=ecxcosn−1xc2+n2(ccosx+nsinx)+n(n−1)c2+n2∫ecxcosn−2xdx{\displaystyle \int e^{cx}\cos ^{n}x\;dx={\frac {e^{cx}\cos ^{n-1}x}{c^{2}+n^{2}}}(c\cos x+n\sin x)+{\frac {n(n-1)}{c^{2}+n^{2}}}\int e^{cx}\cos ^{n-2}x\;dx}
- ∫xecx2dx=12cecx2{\displaystyle \int xe^{cx^{2}}\;dx={\frac {1}{2c}}\;e^{cx^{2}}}
- ∫1σ2πe−(x−μ)2/2σ2dx=12(1+erfx−μσ2),{\displaystyle \int {1 \over \sigma {\sqrt {2\pi }}}\,e^{-{(x-\mu )^{2}/2\sigma ^{2}}}\;dx={\frac {1}{2}}(1+{\mbox{erf}}\,{\frac {x-\mu }{\sigma {\sqrt {2}}}}),} где erf(…) — функция ошибок
- ∫01ex⋅lna+(1−x)⋅lnbdx=∫01(ab)x⋅bdx=∫01ax⋅b1−xdx=a−blna−lnb{\displaystyle \int \limits _{0}^{1}e^{x\cdot \ln a+(1-x)\cdot \ln b}\;\mathrm {d} x=\int \limits _{0}^{1}\left({\frac {a}{b}}\right)^{x}\cdot b\;\mathrm {d} x=\int \limits _{0}^{1}a^{x}\cdot b^{1-x}\;\mathrm {d} x={\frac {a-b}{\ln a-\ln b}}} для a>0, b>0, a≠b{\displaystyle a>0,\ b>0,\ a\neq b}, что есть логарифмическое среднее
- ∫0∞e−axdx=1a{\displaystyle \int \limits _{0}^{\infty }e^{-ax}\,\mathrm {d} x={\frac {1}{a}}}
- ∫0∞e−ax2dx=12πa(a>0){\displaystyle \int \limits _{0}^{\infty }e^{-ax^{2}}\,\mathrm {d} x={\frac {1}{2}}{\sqrt {\pi \over a}}\quad (a>0)} (интеграл Гаусса)
- ∫−∞∞e−ax2dx=πa(a>0){\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{\infty }e^{-ax^{2}}\,\mathrm {d} x={\sqrt {\pi \over a}}\quad (a>0)}
- ∫−∞∞e−ax2e−2bxdx=πaeb2a(a>0){\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-ax^{2}}e^{-2bx}\,\mathrm {d} x={\sqrt {\frac {\pi }{a}}}e^{\frac {b^{2}}{a}}\quad (a>0)}
- ∫−∞∞xe−a(x−b)2dx=bπa(a>0){\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{\infty }xe^{-a(x-b)^{2}}\,\mathrm {d} x=b{\sqrt {\pi \over a}}\quad (a>0)}
- ∫−∞∞x2e−ax2dx=12πa3(a>0){\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{\infty }x^{2}e^{-ax^{2}}\,\mathrm {d} x={\frac {1}{2}}{\sqrt {\pi \over a^{3}}}\quad (a>0)}
- ∫0∞xne−ax2dx={12Γ(n+12)/an+12(n>−1,a>0)(2k−1)!!2k+1akπa(n=2k,kцелое,a>0)k!2ak+1(n=2k+1,kцелое,a>0){\displaystyle \int \limits _{0}^{\infty }x^{n}e^{-ax^{2}}\,\mathrm {d} x={\begin{cases}{\frac {1}{2}}\Gamma \left({\frac {n+1}{2}}\right)/a^{\frac {n+1}{2}}&(n>-1,a>0)\\{\frac {(2k-1)!!}{2^{k+1}a^{k}}}{\sqrt {\frac {\pi }{a}}}&(n=2k,k\;{\text{целое}},a>0)\\{\frac {k!}{2a^{k+1}}}&(n=2k+1,k\;{\text{целое}},a>0)\end{cases}}} (!! — двойной факториал)
- ∫0∞xne−axdx={Γ(n+1)an+1(n>−1,a>0)n!an+1(n=0,1,2,…,a>0){\displaystyle \int \limits _{0}^{\infty }x^{n}e^{-ax}\,\mathrm {d} x={\begin{cases}{\frac {\Gamma (n+1)}{a^{n+1}}}&(n>-1,a>0)\\{\frac {n!}{a^{n+1}}}&(n=0,1,2,\ldots ,a>0)\\\end{cases}}}
- ∫0∞e−axsinbxdx=ba2+b2(a>0){\displaystyle \int \limits _{0}^{\infty }e^{-ax}\sin bx\,\mathrm {d} x={\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}\quad (a>0)}
- ∫0∞e−axcosbxdx=aa2+b2(a>0){\displaystyle \int \limits _{0}^{\infty }e^{-ax}\cos bx\,\mathrm {d} x={\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}\quad (a>0)}
- ∫0∞xe−axsinbxdx=2ab(a2+b2)2(a>0){\displaystyle \int \limits _{0}^{\infty }xe^{-ax}\sin bx\,\mathrm {d} x={\frac {2ab}{(a^{2}+b^{2})^{2}}}\quad (a>0)}
- ∫0∞xe−axcosbxdx=a2−b2(a2+b2)2(a>0){\displaystyle \int \limits _{0}^{\infty }xe^{-ax}\cos bx\,\mathrm {d} x={\frac {a^{2}-b^{2}}{(a^{2}+b^{2})^{2}}}\quad (a>0)}
- ∫02πexcosθdθ=2πI0(x){\displaystyle \int \limits _{0}^{2\pi }e^{x\cos \theta }d\theta =2\pi I_{0}(x)} (I0{\displaystyle I_{0}} — модифицированная функция Бесселя первого рода)
- ∫02πexcosθ+ysinθdθ=2πI0(x2+y2){\displaystyle \int \limits _{0}^{2\pi }e^{x\cos \theta +y\sin \theta }d\theta =2\pi I_{0}\left({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\right)}
- ∫0∞xs−1ex−1dx,=Γ(s)ζ(s){\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {x^{s-1}}{e^{x}-1}}\,dx,=\Gamma (s)\zeta (s)} (Дзета-функция Римана)
- Книги
- Градштейн И. С. Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. — 4-е изд. — М.: Наука, 1963. — ISBN 0-12-294757-6 // EqWorld
- Двайт Г. Б. Таблицы интегралов СПб: Издательство и типография АО ВНИИГ им. Б. В. Веденеева, 1995. — 176 с. — ISBN 5-85529-029-8.
- D. Zwillinger. CRC Standard Mathematical Tables and Formulae, 31st ed., 2002. ISBN 1-58488-291-3.
- M. Abramowitz and I. A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 1964. ISBN 0-486-61272-4
- Корн Г. А., Корн Т. М. Справочник по математике для научных работников и инженеров. — М.: «Наука», 1974.
- Таблицы интегралов
- Вычисление интегралов
ru.wikipedia.org