Интегрирование по частям в определенном интеграле

ТЕОРЕМА 6. Пусть функции и(х) и v(x) имеют непрерывные производные на отрезке [а, b]; тогда справедлива формула

Равенство (7.13) называется формулой интегрирования по частям в определенном интеграле. Рассмотрим ряд приме­ров вычисления определенных интегралов методом интегриро­вания по частям.

Решение. Положим здесь и = х, v = e^-x, тогда dv = -e^-xdx и

Решение. Здесь и = х, sin x dx = dv или v = — cos x; далее по формуле (7.13) имеем

7.5. Геометрические приложения определенного интеграла Площадь плоской фигуры

Рассмотрим на плоскости Оху фигуру, ограниченную гра­фиком непрерывной и положительной функции f(x) на отрезке [а, b], отрезком [а, b] и вертикальными прямыми х = а и х = b (рис. 7.2). Эту фигуру будем называть криволинейной трапе­цией.

Величина площади криволинейной трапеции равна опреде­ленному интегралу от функции

f(x) на отрезке [а, b]:

Если фигура ограничена сверху и снизу неотрицательными функциями f(x) и g(х) соответственно, непрерывными на от­резке [а, b], то площадь S криволинейной фигуры равна разнос­ти площадей криволинейных трапеций, ограниченных сверху графиками f(x) и g(х):

Рассмотрим задачи на вычисление площадей фигур.

Пример 1. Найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции у = ln x ≥ 0, осью Ох и прямой х = 2.

Решение. Отрезок интегрирования: 1 ≤ х ≤ 2 (рис. 7.3), так что искомая площадь согласно формуле (7.14) равна:

Пример 2. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями у = , у = х².

Решение. Вычислим абсциссы точек пересечения указан­ных кривых, для чего приравняем правые части этих уравне­ний: х² = . Корни этого уравнения суть x₁ = 0, x₂ = 1. Сле­довательно, площадь фигуры, ограниченной сверху функцией у =

и снизу функцией у = x² (рис. 7.4), дается определенным интегралом на отрезке [0,1]:

Объем тела вращения

Рассмотрим тело, которое образуется при вращении во­круг оси Ох криволинейной трапеции, ограниченной сверху непрерывной и положительной на отрезке [а, b] функцией f(x) (рис. 7.5). Объем этого тела вращения определяется формулой

Если тело образовано вращением криволинейной трапеции вокруг оси

Оу, то, выражая х через у как обратную функцию, мы можем получить аналогичным образом формулу для объ­ема тела вращения:

где [c, d] — область изменения функции у = f(x).

Рассмотрим примеры вычисления объемов тел, образован­ных вращением фигур, ограниченных следующими линиями.

Пример 3. у = х², у = вокруг оси Ох.

Решение. Искомый объем вращения равен разности объ­емов, образованных вращением криволинейных трапеций с верхними границами соответственно у =

и у = х². Пределы интегрирования определяются по точкам пересечения этих кривых: а = 0 и b = 1. По формуле (7.15) получаем

Пример 4. у = e^х, х = 0, х = 1, у = 0 вокруг оси Оу.

Ррешение. Выражаем х через у: х = ln у; промежуток ин­тегрирования [1, е] определяется очевидным образом. Объем тела вращения (рис. 7.6) равен разности объемов соответствен­но цилиндра радиуса 1 и высоты е и тела вращения вокруг оси Оу криволинейной трапеции, ограниченной сверху кривой х = ln

у. Согласно формуле (7.15) получаем

studfile.net

4. Интегрирование подстановкой.

Теорема: Имеет место равенство

где функция непрерывно дифференцируема на,,

инепрерывна на— образе отрезкапри помощи функции.

Доказательство. Пусть и— первообразные функции соответственнои. Тогда справедливо тождество

где — некоторая постоянная. Поэтому

На основании формулы Ньютона-Лейбница, левая часть этого равенства равна левой части равенства теоремы, соответственно и правые части, что доказывает теорему.

Пример 1. Найти интеграл .

Сделаем замену переменных: . Найдем дифференциал:. В результате наш интеграл примет вид:

Преобразуем подынтегральное выражение:

Взяв этот интеграл, получим:

.

5. Интегрирование по частям в определенном интеграле.

Теорема. Справедлива формула интегрирования по частям для определенного интеграла

где и— непрерывно дифференцируемые на

функции.

Доказательство. Произведение имеет нанепрерывную производную

Поэтому по теореме Ньютона-Лейбница

Этим теорема доказана.

Например, найти интеграл .

Обозначим и. Тогда. Поэтому

Или, окончательно

.

Если — четная функция, то

Пример 2. Найти интеграл .

Преобразуем этот интеграл к виду

Сделаем замену . В результате пределы интегрирования изменятся:и. В результате получим:

Далее, если — нечетная функция, то

.

Если — периодическая функция периода—, то

.

Такие особенности в некоторых случаях упрощают процесс интегрирования.

Пример 3. Вычислить интеграл .

Преобразуем этот интеграл к виду:

Пределы интегрирования во втором интеграле представим как:

Согласно свойству периодической функции, перепишем это выражение:

Преобразуем далее

Пример 4. Определить объем продукции, произведенной рабочим за третий час рабочего дня, если производительность труда характеризуется функцией .

График этой функции имеет вид, изображенный на рисунке.

Решение. Если непрерывная функция характеризует производительность труда рабочего в зависимости от времени, то объем продукции, произведенной рабочим за промежуток времени отдобудет выражаться формулой:

В нашем случае:

Пример 5. Определить запас товаров в магазине, образуемый за три дня, если поступление товаров характеризуется функцией .

Решение. Имеем:

6. Несобственные интегралы.

Пусть на конечном полуинтервале задана функциятакая, что она интегрируема (т.е. конечна) на любом интервале, где, но неограниченна в окрестности точки. Тогда ее интеграл на, или, что то же самое, нане может существовать, так как интегрируемая функция должна быть ограничена.

Однако может случиться так, что существует конечный предел

То есть функция не ограничена, а ее интеграл ограничен. В этом случае записанный предел называют несобственным интегралом от на отрезкеи записывают в виде

В таком случае говорят, что интеграл сходится. В противном случае говорят, что он расходится или не существует как несобственный риманов интеграл.

Аналогично и на полуинтервале

В связи с этим выражение

называется интегралом от с единственной особенностью в точке, если выполняется следующее условие: есликонечная точка, то функцияинтегрируема напри любомудовлетворяющим неравенствам, и, кроме того, не ограничена в точке. Если же, то про функциюпредполагается лишь, что она интегрируема напри любом конечном.

Также различают несобственные интегралы первого типа (с одним или двумя бесконечными пределами) и несобственные интегралы второго типа (от разрывных функций).

Несобственный интеграл первого рода, вычисляется обычно как

Например, найти .

Имеем .

При это выражение имеет предел. Значит.

Или, найти .

Имеем . Этот интеграл расходится.

Пример 6. Найти площадь бесконечной полосы (верзьера Аньези).

.

Далее, имеем .

Отсюда .

Аналогично вычисляется и первое слагаемое. В итоге получим:

.

Пример 7. Найти .

Данный интеграл — несобственный, так как подынтегральная функция терпит разрыв в точке . Однако этот интеграл сходится, так как

studfile.net

Некоторые типы интегралов, берущиеся посредством формулы интегрирования по частям:

, где  многочлен, действительное число

4. Интегрирование рациональных функций.

А) Метод неопределенных коэффициентов: Интегрирование рациональной функции после выделения целой части сводится к интегрированию правильной рациональной дроби , где целые многочлены, причем степень числителя ниже степени знаменателя. Если, то справедливо следующее разложение:

Для вычисления неопределенных коэффициентов ,,обе части тождества приводят к целому виду, а затем приравнивают коэффициенты при одинаковых степенях.

Пример. Найти .

Б) Метод Остроградского: Если имеет кратные корни, то, где общий наибольший делитель многочлена и его производной;; многочлены с неопределенными коэффициентами, степени которых соответственно на единицу меньше степеней и.

Пример. Найти .

5. Интегрирование иррациональных функций.

А) Интегралы вида , где

рациональная функция,  целые числа, находятся с помощью подстановки , где общее наименьшее кратное чисел .

Пример. Найти .

Б) Интегралы вида , где многочлен степени , полагают равными, где многочлен степени с неопределенными коэффициентами; число. Коэффициенты и числонаходят с помощью дифференцирования тождества.

Пример. Найти .

В) Интеграл вида с помощью подстановкиприводят к интегралам вида Б).

Пример. Найти .

Г) Интегралы вида , где рациональные числа, выражаются через конечную комбинацию элементарных функций лишь в случаях:

Пример. Найти .

6. Интегрирование тригонометрических функций.

А) Для интегралов вида , где целые числа, возможны случаи:

1) Если  нечетное число, то

Аналогично, если  нечетное число.

Пример. Найти .

2) Если ичетные положительные числа, то подынтегральные выражения преобразуются с помощью формул:,,.

Пример. Найти .

3) Если и целые отрицательные числа одинаковой четности, то ,

в частности, ,.

Пример. Найти .

Б) Интегралы вида ,,преобразуются с помощью формул:

,

,

.

Пример. Найти .

В) Для вычисления интегралов вида , где рациональная функция, можно использовать подстановку , откуда.

Пример. Найти .

Если , то можно применить замену переменной, где.

Пример. Найти .

Определенный интеграл.

Пусть на отрезке задана функция(рис. 1). Разобьем отрезок наэлементарных отрезков точками, где. На каждом отрезке разбиения выберем некоторую точкуи положим, где.

Рис. 1.

Сумму вида будем называтьинтегральной суммой для функции на отрезке .

Обозначим через максимальную из длин отрезков, т.е..

Определенным интегралом от функции на отрезкеназывается предел интегральной суммы при, т.е., нижний предел,  верхний предел,  подынтегральная функция,  подынтегральное выражение.

Замечание 1. Переменную под знаком интеграла можно обозначать любой буквой: и т. д.

Замечание 2. В отличие от неопределенного интеграла , который представляет семейство функций (первообразных), определенный интегралесть определенное число.

Теорема (достаточное условие существования определенного интеграла). Если функция непрерывна на отрезке, то она интегрируема на этом отрезке.

Свойства определенного интеграла:

1. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла: .

2. Интеграл от алгебраической суммы 2х функций равен такой же сумме интегралов от этих функций: .

3. При перестановке пределов интегрирования знак определенного интеграла меняется на противоположный: .

4. Если пределы интегрирования равны , то интеграл равен нулю:.

5. Если отрезок интегрирования разбит на части, то интеграл на всем отрезке равен сумме интегралов для каждой из возникших частей: .

6. Если на отрезке , где,, то и, т.е. обе части неравенства можно почленно интегрировать.

7. Если на отрезке, то.

8. Если интегрируема на отрезке, то.

9. Теорема о среднем. Если функция непрерывна на отрезке, то найдется такое значение, что. Т.о. теорема о среднем утверждает, что найдется такая точкаиз отрезка, что площадь под кривойравна площади прямоугольника со сторонамии.

Пусть  непрерывная на отрезке функция, а ее первообразная. Рассмотрим определенный интеграл , где. При изменении меняется и определенный интеграл , т.е. он является функцией верхнего предела интегрирования, которую обозначим через:. Функцияназываетсяинтегралом с переменным верхним пределом (с открытым верхним пределом).

Теорема. Если функция непрерывна на отрезке, то функциятак же непрерывна на.

Теорема о производной интеграла по верхнему пределу. Пусть функция непрерывна на отрезке. Тогда в каждой точкеотрезкапроизводная функциипо переменному верхнему пределу равна подынтегральной функциина верхнем пределе, т.е..

Теорема. Пусть функция непрерывна на отрезкеи любая первообразная для на. Тогда определенный интеграл от функциина отрезкеравен приращению первообразнойна этом отрезке: это формула Ньютона-Лейбница или основная формула интегрального исчисления.

Формула Ньютона-Лейбница позволяет находить определенный интеграл, обходя суммирование, при помощи первообразных функций.

Пример. Вычислите и.

Методы вычисления определенного интеграла:

1. Метод замены переменной (метод подстановки). Данный метод основан на следующей теореме: Пусть дан интеграл , где функция непрерывна на отрезке. Введем новую переменную равенством, где: 1) между переменными и существует взаимно-однозначное соответствие; 2) непрерывна на отрезке ; 3) ; 4) непрерывна на . Тогда .

Пример. Вычислите .

2. Интегрирование по частям. Теорема. Пусть функции ,имеют непрерывные производные на отрезке. Тогда имеет место равенство: эта формула называется формулой интегрирования по частям для определенного интеграла.

Пример. Вычислить .

Геометрические приложения определенного интеграла:

1. Площадь плоской фигуры.

А) Пусть на отрезке задана неотрицательная функция. Тогда площадькриволинейной трапеции, ограниченной кривой, прямымии осью абсцисс(рис. 2) численно равна определенному интегралу от функции на, т.е..

Рис. 2.

Пример. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями .

Б) Если функция неположительная и непрерывна на отрезке(рис. 3), то площадь над кривойнаотличается знаком от определенного интеграла, т.е.

Рис. 3.

Пример. Найти площадь фигуры, ограниченной кривой и осью абсцисс.

В) Теорема. Если на отрезке заданы непрерывные функцииитакие, что(рис. 5).

Рис. 5.

Тогда площадь фигуры, заключенной между кривымиина отрезке, вычисляется по формуле:.

Пример. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: .

2. Объем тела вращения:

А) вокруг оси :.

Б) вокруг оси :.

3. Вычисление длины дуги кривой на отрезке : .

4. Вычисление площади поверхности вращения вокруг оси :.

Экономический смысл определенного интеграла. Пусть функция описывает изменение производительности некоторого производства с течением времени. Тогда объем продукции, произведенной за промежуток времени, равен.

Физические приложения определенного интеграла:

1. Пройденный путь. Пусть точка движется вдоль некоторой кривой со скоростью . Тогда путь, пройденный точной за время, равен.

2. Масса отрезка. Пусть – плотность распределения массы на отрезке. Тогда масса отрезка равна:.

3. Работа переменной силы. Пусть под действием некоторой силы материальная точкадвижется по прямой в направлении осииз точкив точку. Тогда работа, произведенная силойпри перемещении точкииз положенияв положениеравна.

studfile.net

Способы вычисления определенного интеграла Интегрирование по частям

Пусть и— дифференцируемая функция от. Тогда

(8.21)

Проинтегруем тождество (8.21) в границах от до, получим

(8.22)

Поскольку , тои равенство (8.22) приобретает вид

или окончательно (8.23)

Формула (8.23) и выражает способ интегрирования по частям определенного интеграла. Видно, что она подобна формуле (7.12) интегрирования по частям неопределенного интеграла.

Пример.1. Вычислить .

Решение

Пример 2. Вычислить .

Решение.

Интегрирование подстановкой

Пусть надо вычислить определенный интеграл

где — непрерывная нафункция, а первообразной для нее нет в таблице простейших интегралов. Тогда произведем замену переменной, а именно, введем новую переменнуютаким образом:, где— непрерывно дифференцируема нафункция.

Если при этом будут выполняться такие условия:

1. при изменении отдопеременнаяизменяется отдо, то есть

. (8.24)

2. сложная функция определена и непрерывна на отрезке, то справедлива такая формула

(8.25)

Формула (8.25) и выражает собою суть метода подстановки.

Замечание. При вычислении определенного интеграла с помощью замены переменной нет необходимости возвращаться к старой переменной (как это нужно было делать при вычислении неопределенного интеграла) достаточно лишь учесть границы интегрирования соответственно (8.24).

Пример 8.3. Вычислить

Решение

Введем новую переменную . Тогда

. Вычислим границы интегрирования и результат представим в виде табл. 1. Таблица 1

из которой видно, что при , а при. Итак, после введении новой переменной получим

Пример 4.Вычислить.

Решение.

Произведем замену переменной: . Тогда, а границы интегрирования приобретают значения: при

при

Итак, получаем

Таким образом, видим, что различие в применении метода замены переменной в неопределенном и определенном интеграле состоит в том, что в втором случае не надо возвращаться к старой переменной, поскольку при замене переменной изменяются также и границы интегрирования.

Приближенное вычисление определенного интеграла

Пусть надо вычислить , но первообразная для функциине выражается через элементарные функции. Тогда применить формулу Ньютона-Лейбница невозможно. В таких случаях применяются методы приближенного вычисления определенных интегралов. Рассмотрим их, используя определение интеграла как границы интегральной суммы. Разделим отрезокточкаминачастичных отрезков равной длины. Обозначим длину каждый из них через. Тогда

Обозначим через значения функциив точках, то есть

.

Составим суммы:

,

.

Каждая из этих сумм представляет собой интегральную сумму для на отрезкеи поэтому приближенно выражает интеграл

, (8.26)

. (8.27)

Из рис. 8.7 видно, что формула (8.26) выражает площадь ступенчатой фигуры, составленной из прямоугольников, вписанных в криволинейную трапецию, а формула (8.27) выражает площадь ступенчатой фигуры, составленной из прямоугольников, описанных вокруг криволинейной трапеции. Поэтому формулы (8.26; 8.27) называются формулами прямоугольников. Погрешность при вычислении интегралов за формулами прямоугольников будет тем меньше, чем больше число n. Она выражается формулой

где-максимальное значение абсолютной величиныпроизводнойна.

Более точное значение определенного интеграла получим, если данную кривую заменим не ступенчатой линией, как это делается в формуле прямоугольников, а вписанной ломаной (рис. 8.8).

Тогда площадь криволинейной трапеции заменится суммой площадей прямолинейных трапеций, ограниченных сверху хордами

Поскольку площадь первой из этих трапеций равна , площадь второй равняется, то

или

. (8.28)

Легко видеть, что она дает среднее арифметическое из формул (8.26 и 8.27). Формула (8.28) называется формулой трапеций. В этом случае погрешность вычисляется по формуле

где — минимальное значение абсолютной величины второй производнойна.

Более точные результаты можно получить по формуле Симпсона (или формуле парабол), которая имеет вид:

(8.29)

При этому надо обратить внимание на то, что число частичных отрезков, на которые разбивается отрезок, должно быть обязательно четным, то есть. Тогда каждые две соседних криволинейных трапеции, на которые разбилась вся криволинейная трапеция(рис. 8.8), заменяютсяпараболической трапецией, площадь которой исчисляется по формуле ,

гдеи— крайние ординаты,— ордината кривой в середине отрезка, а— расстояние между ординатамии(рис. 8.9).

Погрешность при этом может быть вычислена по формуле

где — максимальное значение абсолютной величины производнойна отрезке.

Пример.5. Вычислить приближенно.

Точное значение его . З точностью до седьмого знака. Вычислим теперь его значение, пользуясь формулами (8.26-8.29). Для этого разделим отрезокна 10 равных отрезков. Тогда длина каждого из них будет.

Составим табл. 2 значений подынтегральной функции в точках разбиения .

Таблица 2

Тогда по формуле (8.26) получим.

По формуле (8.27) .

По формуле (8.28) .

По формуле Симпсона (8.29)

Таким образом, по формуле Симпсона при получили 5 верных знаков, по формуле трапеций — лишь три верных знака, за формулами прямоугольников мы можем быть уверены только в одном знаке.

studfile.net

4. Интегрирование подстановкой.

Теорема: Имеет место равенство

где функция непрерывно дифференцируема на,,инепрерывна на— образе отрезкапри помощи функции.

Доказательство. Пусть и— первообразные функции соответственнои. Тогда справедливо тождество

где — некоторая постоянная. Поэтому

На основании формулы Ньютона-Лейбница, левая часть этого равенства равна левой части равенства теоремы, соответственно и правые части, что доказывает теорему.

Пример 1. Найти интеграл .

Сделаем замену переменных: . Найдем дифференциал:. В результате наш интеграл примет вид:

Преобразуем подынтегральное выражение:

Взяв этот интеграл, получим:

.

5. Интегрирование по частям в определенном интеграле.

Теорема. Справедлива формула интегрирования по частям для определенного интеграла

где и— непрерывно дифференцируемые нафункции.

Доказательство. Произведение имеет нанепрерывную производную

Поэтому по теореме Ньютона-Лейбница

Этим теорема доказана.

Например, найти интеграл .

Обозначим и. Тогда. Поэтому

Или, окончательно

.

Если — четная функция, то

Пример 2. Найти интеграл .

Преобразуем этот интеграл к виду

Сделаем замену . В результате пределы интегрирования изменятся:и. В результате получим:

Далее, если — нечетная функция, то

.

Если — периодическая функция периода—, то

.

Такие особенности в некоторых случаях упрощают процесс интегрирования.

Пример 3. Вычислить интеграл .

Преобразуем этот интеграл к виду:

Пределы интегрирования во втором интеграле представим как:

Согласно свойству периодической функции, перепишем это выражение:

Преобразуем далее

Пример 4. Определить объем продукции, произведенной рабочим за третий час рабочего дня, если производительность труда характеризуется функцией .

График этой функции имеет вид, изображенный на рисунке.

Решение. Если непрерывная функция характеризует производительность труда рабочего в зависимости от времени, то объем продукции, произведенной рабочим за промежуток времени отдобудет выражаться формулой:

В нашем случае:

Пример 5. Определить запас товаров в магазине, образуемый за три дня, если поступление товаров характеризуется функцией .

Решение. Имеем:

6. Несобственные интегралы.

Пусть на конечном полуинтервале задана функциятакая, что она интегрируема (т.е. конечна) на любом интервале, где, но неограниченна в окрестности точки. Тогда ее интеграл на, или, что то же самое, нане может существовать, так как интегрируемая функция должна быть ограничена.

Однако может случиться так, что существует конечный предел

То есть функция не ограничена, а ее интеграл ограничен. В этом случае записанный предел называют несобственным интегралом от на отрезкеи записывают в виде

В таком случае говорят, что интеграл сходится. В противном случае говорят, что он расходится или не существует как несобственный риманов интеграл.

Аналогично и на полуинтервале

В связи с этим выражение

называется интегралом от с единственной особенностью в точке, если выполняется следующее условие: есликонечная точка, то функцияинтегрируема напри любомудовлетворяющим неравенствам, и, кроме того, не ограничена в точке. Если же, то про функциюпредполагается лишь, что она интегрируема напри любом конечном.

Также различают несобственные интегралы первого типа (с одним или двумя бесконечными пределами) и несобственные интегралы второго типа (от разрывных функций).

Несобственный интеграл первого рода, вычисляется обычно как

Например, найти .

Имеем .

При это выражение имеет предел. Значит.

Или, найти .

Имеем . Этот интеграл расходится.

Пример 6. Найти площадь бесконечной полосы (верзьера Аньези).

.

Далее, имеем .

Отсюда .

Аналогично вычисляется и первое слагаемое. В итоге получим:

.

Пример 7. Найти .

Данный интеграл — несобственный, так как подынтегральная функция терпит разрыв в точке . Однако этот интеграл сходится, так как

studfile.net

2.2. Методы вычисления определенного интеграла

Вычисление определенных интегралов как пределов интегральных сумм связано в большими трудностями даже в тех случаях, когда подынтегральные функции являются простыми. Поэтому естественно возникает задача: найти практически удобный метод вычисления определенных интегралов.

Ниже будет сформулирована теорема Ньютона-Лейбница, позволяющая сводить вычисления определенного интеграла к неопределенному. Эта теорема играет фундаментальную роль в математическом анализе (см.подробнее [1] с.397).

2.2.1. Теорема Ньютона-Лейбница

Пусть f(x) непрерывна на сегменте [a,b] и F(x)  одна из ее первообразных, тогда справедлива формула

Пример 34. Вычислить .

Решение. Используя формулу Ньютона-Лейбница, а также табличный интеграл 16, получим

.

2.2.2. Методы замены переменной в определенном интеграле

а) Необходимо вычислить интеграл ,

где f(x) непрерывная функция на [a,b].

Перейдем к новой переменной t, полагая . Пусть, кроме того, при измененииt от  до  значения функции не выходят за пределы сегмента [a,b]. Предположим, что функция непрерывно дифференцируема на промежутке [,], то справедлива следующая формула замены переменной

.

Пример 35. Вычислить

Решение. Преобразуем подкоренное выражение, выделив полный квадрат

.

Введем новую переменную: тогда,

или

Найдем пределы интегрирования новой переменной t:

если , то

если , то.

Воспользуемся формулой замены переменной в определенном интеграле, получим

Заметим, что в данном случае при применении формулы замены переменной отпадает необходимость возвращения к старой переменной х по сравнению с неопределенным интегралом. Это вполне объяснимо, ибо определенный интеграл есть некоторое постоянное число, в то время как неопределенный интеграл от той же самой функции есть некоторая функция.

б) Часто вместо замены переменной употребляют обратную замену переменной. На конкретном примере покажем, как это делается.

Покажем это на конкретном примере.

Пример 36. Вычислить .

Решение. Пусть , тогда

Если тоесли, то

Следовательно,

2.2.3. Формула интегрирования по частям в определенном интеграле

Пусть и непрерывные функции вместе со своими первыми производными на [a,b], тогда справедлива формула интегрирования по частям:

Пример 37. Вычислить интеграл .

Решение. Применим полученную формулу

Подробнее о методах интегрирования в определенном интеграле см.[1] с.399-403.

3. Несобственные интегралы

Определение определенного интеграла, его свойства и методы интегрирования рассматривались в предположении, что промежуток интегрирования [a,b] конечен и функция f(x) непрерывна на нем.

Иногда приходится отказываться от одного или обоих этих предположений. В этом случае мы приходим к понятию несобственного интеграла.

3.1. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования

Рассмотрим функцию , непрерывную на бесконечном промежутке.

Несобственным интегралом от функции f(x) по промежутку называется:

.

Если указанный предел существует и конечен, то несобственный интеграл с бесконечным пределом интегрирования называется сходящимся, в противном случае  расходящимся.

Если наи, то данный интеграл представляет собой площадь бесконечной криволинейной трапеции, ограниченной кривой, прямойи бесконечным интервалом.

Аналогично определяется несобственный интеграл на промежутке :

а на интервале определяется формулой

где с  любое действительное число.

Если сравнить две криволинейные трапеции на рис.3.1, то конечность или бесконечность их соответствующих несобственных интегралов зависит от скорости убывания функции ипри.

Так, например, сходится прии расходится при.

В этом легко убедится, вычислив , если.

Если , топри, поэтому расходится, следовательно, и площадь соответствующей криволинейной трапеции бесконечна.

несобственный интеграл сходящийся, следовательно, площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями и бесконечным промежутком, является конечной и равна 1.

Пример 38. Исследовать на сходимость несобственный интеграл .

Решение. Воспользуемся определением несобственного интеграла с бесконечным нижним пределом интегрирования и далее  формулой интегрирования по частям

.

Несобственный интеграл сходится.

Пример 39. Вычислить несобственный интеграл или установить его расходимость .

Решение. Воспользуемся определением несобственного интеграла с бесконечными пределами интегрирования. Полагаем .

Признак сравнения. Пусть в промежутке функцииf(x) и g(x) непрерывны и . Еслисходится, то сходится и интеграл. Если интегралрасходится, то итакже расходится.

Замечание. Аналогичное утверждение верно для несобственных интегралов и по другим бесконечным пределам интегрирования.

Пример 40. Исследовать на сходимость несобственный интеграл .

Решение. Проведем сравнительный анализ подынтегральной функции при .

.

Но сходится, т.к.(см. рассуждения выше). Следовательно, по признаку сравнения сходится и данный интеграл.

studfile.net

77. Докажите формулу интегрирования по частям для неопределенного интеграла.

Теорема: пусть U(x) и V(x) – две дифференцируемые функции на промежутке X. Тогда на этом промежутке выполняется формула интегрирования по частям: ∫udv=uv-∫vdu

Доказательство. Имеем формулу дифференциала произведения функций uv:

d(uv)=udv+vdu

Интегрируя обе части равенства, получим:

uv=∫udv+∫vdu

Откуда ∫udv=uv-∫vdu.

78. Докажите формулу замены переменной для неопределенного интеграла.

Теорема:.пусть функция x=φ(t) определена и дифференцируема на промежутке T и X – множество ее значений, на котором определена функция f(x). Тогда если F(x) – первообразная для f(x) на X, то F(φ(t)) – первообразная для f(φ(t)φ’(t)) на T, т.е. на множестве T выполняется равенство:

Доказательство: По правилу дифференцирования сложной функции производная левой части равенства равна F’_t(φ(t))=F_x’(φ(t)) φ’(t)=f(φ(t))φ’(t), что совпадает с подынтегральной функцией в правой части равенства.

79. Дайте определение функции f (x), интегрируемой на отрезке [a,b].Докажите, исходя из определения, что постоянная функция f (x) = 9 интегрируема на любом отрезке.

Функция y=f(x), ограниченная на отрезке [a;b], называется интегрируемой на этом отрезке, если существует единственное число I, разделяющее множества нижних и верхних сумм Дарбу для всевозможных разбиений отрезка [a;b]. Если функция y=f(x) интегрируема на отрезке [a;b], то единственное число, разделяющее эти два множества, называют определенным интегралом функции y=f(x) по отрезку [a;b] и обозначают следующим образом: I=_a∫^bf(x)dx

81. Докажите, что если функция f (x) непрерывна на отрезке [a,b], то функция = .xaF(x) f (t) dt, x .[a,b], является ее первообразной на этом отрезке.

если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a;b], то функция F(x) =_a∫^xf(t)dt дифференцируема в любой внутренней точке этого отрезка, причем F’(x)=f(x).

Доказательство:

F’(x)=lim_∆x→0 (F(x+∆x)-F(x))/∆x

Для xє(a;b) выберем ∆x столь малым, чтобы точка x+∆x лежала внутри [a;b], тогда

F(x+∆x)=_a∫ ^x+∆xf(t)dt

F(x+∆x)-F(x)= _a∫ ^x+∆xf(t)dt — _a∫^xf(t)dt= _x∫ ^x+∆xf(t)dt + _a∫^xf(t)dt — _a∫^xf(t)dt= _x∫ ^x+∆xf(t)dt

Применим теорему о среднем

F(x+∆x)-F(x)= _x∫ ^x+∆xf(t)dt=f(c)*∆x x<c<x+∆x

(F(x+∆x)-F(x))/∆x=(f(c)*∆x)/∆x=f(c)

Так как функция f(x) непрерывна и c→x при ∆x→0, то lim_∆x→0f(c)=f(x)

F’(x)= lim_∆x→0(F(x+∆x)-F(x))/∆x= lim_∆x→0f(c)=f(x)

Значит f(x) непрерывна на [a;b] и F(x)=_a∫^xf(t)dt

82. Используя свойство интеграла с переменным верхним пределом, докажите формулу Ньютона — Лейбница для определенного интеграла.

Пусть функция y=f(x) непрерывна на [a;b] и F(x) – первообразная для f(x), тогда: интеграл f(x)dx=F(b)-F(a), т.е. значение определенного интеграла равно приращению любой из первообразных подынтегральной функции на отрезке интегрирования.

Доказательство: Поскольку функция F(x) непрерывна на отрезке [a;b], то она интегрируема на этом отрезке и имеет первообразную на этом отрезке.

По теореме о производной интеграла по переменному верхнему пределу F(t)=_a∫^t f(x)dx=f(t)

Но первообразные отличаются на c-const

_a∫^t f(x)dx=F(t)+c (*)

1) t=a, значит _a∫^af(x)dx=F(a)+c=0 F(a)=-c подставим это выражение в уравнение (*) и получим:

_a∫^t f(x)dx=F(t)-F(a)

2) t=b, значит _a∫^b f(x)dx=F(b)-F(a)

studfile.net