Справедлива следующая теорема.

Теорема 3. Из всякой точки, не лежащей на прямой, можно провести перпендикуляр к этой прямой, и притом только один.

Для проведения на чертеже перпендикуляра из точки к прямой используют чертежный угольник (рис.5).

Замечание. Формулировка теоремы обычно состоит из двух частей. В одной части говорится о том, что дано. Эта часть называется условием теоремы. В другой части говорится о том, что должно быть доказано. Эта часть называется заключением теоремы. Например, условие теоремы 2 — углы вертикальные; заключение — эти углы равны.

Всякую теорему можно подробно выразить словами так, что ее условие будет начинаться словом «если», а заключение — словом «то». Например, теорему 2 можно подробно высказать так: «Если два угла вертикальные, то они равны».

Пример 1. Один из смежных углов равен 44°. Чему равен другой?

Решение. Обозначим градусную меру другого угла через x, тогда согласно теореме 1.
44° + х = 180°.
Решая полученное уравнение, находим, что х = 136°. Следовательно, другой угол равен 136°.

Пример 2. Пусть на рисунке 21 угол COD равен 45°. Чему равны углы АОВ и АОС?

Решение. Углы COD и АОВ вертикальные, следовательно, по теореме 1.2 они равны, т. е. ∠ АОВ = 45°. Угол АОС смежный с углом COD, значит, по теореме 1.
∠ АОС = 180° — ∠ COD = 180° — 45° = 135°.

Пример 3. Найти смежные углы, если один из них в 3 раза больше другого.

Решение. Обозначим градусную меру меньшего угла через х. Тогда градусная мера большего угла будет Зх. Так как сумма смежных углов равна 180° (теорема 1), то х + Зх = 180°, откуда х = 45°.
Значит, смежные углы равны 45° и 135°.

Пример 4. Сумма двух вертикальных углов равна 100°. Найти величину каждого из четырех углов.

Решение. Пусть условию задачи отвечает рисунок 2. Вертикальные углы COD к АОВ равны (теорема 2), значит, равны и их градусные меры. Поэтому ∠ COD = ∠ АОВ = 50° (их сумма по условию 100°). Угол BOD (также и угол АОС) смежный с углом COD, и, значит, по теореме 1
∠ BOD = ∠ АОС = 180° — 50° = 130°.

Тема №6268 Ответы к задачам по геометрии домашняя работа 30 вариантов

Тема №6268

Домашняя работа, вариант 1
1. В треугольнике ABC угол C равен 90°, BC = 12 , tgA = 1,5. Найдите AC.
2.В угол C величиной 83° вписана окружность, которая касается сторон угла в точках A и B. Найдите угол AOB. Ответ дайте в градусах.
3. Основания трапеции равны 10 и 11. Найдите бóльший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из её диагоналей.

4. Найдите тангенс угла  

   треугольника  , изображённого на рисунке.  
5. Укажите номера верных утверждений. 

1) Площадь трапеции равна половине высоты, умноженной на разность оснований.

2) Через  любые две точки можно провести прямую.

3) Через  точку, не лежащую на данной прямой, можно провести единственную прямую, перпендикулярную данной прямой. 

Если утверждений несколько, запишите их через точку с запятой в порядке возрастания. 
 

Домашняя работа, вариант 2
В равнобедренной трапеции известны высота, меньшее основание и угол при основании. Найдите большее основание.
 
2. Касательные в точках A и B к окружности с центром O пересекаются под углом 72°. Найдите угол ABO. Ответ дайте в градусах.
3. В ромбе сторона равна 10, одна из диагоналей —

, а угол, из которого выходит эта диагональ, равен 45°. Найдите площадь ромба, деленную на
4. Из квадрата вырезали прямоугольник (см. рисунок). Найдите площадь получившейся фигуры.

5. Какие из следующих утверждений верны?  

1) Около  любого правильного многоугольника можно описать не более одной окружности.

2) Центр  окружности, описанной около треугольника со сторонами, равными 3, 4, 5, находится на стороне этого треугольника.

3) Центром окружности, описанной около квадрата, является точка пересечения его диагоналей.

4) Около  любого ромба можно описать окружность.  

Если утверждений несколько, запишите их через точку с запятой в порядке возрастания. 
 

Домашняя работа, вариант 3
    
  1. Два острых угла прямоугольного треугольника относятся как 4:5. Найдите больший острый угол. Ответ дайте в градусах.

Прямая касается окружности в точке K. Точка O — центр окружности. Хорда KM образует с касательной угол, равный 83°. Найдите величину угла OMK. Ответ дайте в градусах.
 
3. В треугольнике одна из сторон равна 10, другая равна

, а  угол между ними равен 120°. Найдите площадь треугольника. 
4. На клетчатой бумаге с размером клетки 1см x 1см отмечены точки А, В и С. Найдите расстояние от точки А до середины отрезка ВС. Ответ выразите в сантиметрах.

5. Какие из следующих утверждений верны?  

1) Любые  два прямоугольных треугольника подобны.

2) Если катет  и гипотенуза прямоугольного треугольника равны соответственно 6 и 10, то второй катет этого треугольника равен 8.

3) Стороны треугольника пропорциональны косинусам противолежащих углов.

4) Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.   

Если утверждений несколько, запишите их через точку с запятой в порядке возрастания. 
 

Домашняя работа, вариант 4
1. Углы выпуклого четырехугольника относятся как 1:2:3:4. Найдите меньший угол. Ответ дайте в градусах.
2.. Точки A, B, C и D лежат на одной окружности так, что хорды AB и СD взаимно перпендикулярны, а ∠BDC = 25°. Найдите величину угла ACD.

3. В ромбе сторона равна 10, одна из диагоналей —

, а угол, из которого выходит эта диагональ, равен 45°. Найдите площадь ромба, деленную на
4.

Найдите тангенс угла B треугольника ABC, изображённого на рисунке.
5. Какие из следующих утверждений верны?   

1) Правильный шестиугольник имеет шесть осей симметрии.

2) Прямая не имеет осей симметрии.

3) Центром симметрии ромба является точка пересечения его диагоналей.

4) Равнобедренный треугольник имеет три оси симметрии.  
Если утверждений несколько, запишите их через точку с запятой в порядке возрастания.

Домашняя работа, вариант 5
Найдите больший угол равнобедренной трапеции ABCD, если диагональ АС образует с основанием AD и боковой стороной АВ углы, равные 25° и 40° соответственно.
К окружности с центром в точке О проведены касательная AB и секущая AO. Найдите радиус окружности, если AB = 14 см, AO = 50 см.
3. Основания трапеции равны 18 и 12, одна из боковых сторон равна 6, а косинус угла между ней и одним из оснований равен . Найдите площадь трапеции.
4. Найдите тангенс угла AOB, изображенного на рисунке. 

5. Укажите номера верных утверждений.  
1) Биссектриса равнобедренного треугольника, проведённая из вершины, противолежащей основанию, делит основание на две равные части.

2) В любом  прямоугольнике диагонали взаимно перпендикулярны.

3) Для точки, лежащей на окружности, расстояние до центра окружности равно радиусу. 

Если утверждений несколько, запишите их через точку с запятой в порядке возрастания. 
 
 Домашняя работа, вариант 6
1. Катеты прямоугольного треугольника равны 35 и 120. Найдите высоту, проведенную к гипотенузе.
В окружности с центром O AC и BD — диаметры. Угол ACB равен 26°. Найдите угол AOD. Ответ дайте в градусах.
3. Одна из сторон параллелограмма равна 12, другая равна 5, а один из углов — 60°. Найдите площадь параллелограмма, делённую на
4.Найдите тангенс угла AOB, в треугольнике, изображённом на рисунке.
5. Какие из следующих утверждений верны?  

1) Центром симметрии прямоугольника является точка пересечения диагоналей.

2) Центром симметрии ромба является точка пересечения его диагоналей.

3) Правильный пятиугольник имеет пять осей симметрии.

4) Центром симметрии равнобедренной трапеции является точка пересечения ее диагоналей.  
Если утверждений несколько, запишите их через точку с запятой в порядке возрастания.

Домашняя работа, вариант 7
1. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABD равен 19°, угол CAD равен 35°. Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.
2. Точка О — центр окружности, ∠AOB = 84° (см. рисунок). Найдите величину угла ACB (в градусах). 
Периметр ромба равен 116, а один из углов равен 30°. Найдите площадь ромба.
 
Найдите тангенс угла, изображённого на рисунке. 
Какие из следующих утверждений верны?
 
1) Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на синус угла между ними.

2) Если катеты прямоугольного треугольника равны 5 и 12, то его гипотенуза равна 13.

3) Треугольник ABC, у которого AB = 5, BC = 6, AC = 7, является остроугольным.

4) В прямоугольном треугольнике квадрат катета равен разности квадратов гипотенузы и другого катета.  

Если утверждений несколько, запишите их через точку с запятой в порядке возрастания. 
 
 Домашняя работа, вариант 8
 
1. Сумма двух углов равнобедренной трапеции равна 220°. Найдите меньший угол трапеции. Ответ дайте в градусах.
2. Касательные в точках A и B к окружности с центром O пересекаются под углом 24°. Найдите угол ABO. Ответ дайте в градусах.

3.. Найдите площадь трапеции, изображённой на рисунке.

На рисунке изображен параллелограмм   
. Используя рисунок, найдите  .
5. Какие из следующих утверждений верны?

1) Диагонали трапеции пересекаются и делятся точкой пересечения пополам.

2) Все диаметры окружности равны между собой.

3) Один из  углов треугольника всегда не превышает 60 градусов. 
 
 
 
 
 
 
Домашняя работа, вариант  9
 
1. Около трапеции, один из углов которой равен 49°, описана окружность. Найдите остальные углы трапеции.
Запишите величины углов в ответ через точку с запятой в порядке неубывания. 

2 . Прямая касается окружности в точке K. Точка O — центр окружности. Хорда KM образует с касательной угол, равный 60°. Найдите величину угла OMK. Ответ дайте в градусах. 

3. Найдите площадь квадрата, если его диагональ равна 1.  

4. На клетчатой бумаге с размером клетки 1см ✕ 1см отмечены точки A, B и C. Найдите расстояние от точки A до середины отрезка BC . Ответ выразите в сантиметрах.

5. Какое из следующих утверждений верно?

1) Сумма  острых углов прямоугольного треугольника равна 90 градусам.

2) Средняя линия трапеции равна сумме её оснований.

3) В любой  четырёхугольник можно вписать окружность. 
 

Домашняя работа, вариант 10
1. Прямые m и n параллельны. Найдите ∠3, если ∠1= 24°, ∠2 = 76° . Ответ дайте в градусах.
2. Отрезки AB и CD являются хордами окружности. Найдите длину хорды CD, если AB = 20, а расстояния от центра окружности до хорд AB и CD равны соответственно 24 и 10.

3. Найдите площадь кругового сектора, если радиус круга равен 3, а угол сектора равен 120°. В ответе укажите площадь, деленную на π.

4.На рисунке изображена трапеция  . Используя рисунок, найдите  .
5. Какое из следующих утверждений верно?

1) Площадь параллелограмма равна половине произведения его диагоналей.

2) Сумма  углов прямоугольного треугольника равна 90 градусам.

3) Биссектрисы треугольника пересекаются в центре вписанной в него окружности.

Домашняя работа, вариант 11
1. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABD равен 14°, угол CAD равен 30°. Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.
2.Найдите ∠DEF, если градусные меры дуг DE и EF равны 150° и 68° соответственно.
3. В ромбе сторона равна 10, одна из диагоналей —, а угол, лежащий напротив этой диагонали, равен 30°. Найдите площадь ромба.
4.На клетчатой бумаге с размером клетки 1см × 1см изображена трапеция. Найдите её площадь. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
5. Укажите номера верных утверждений. 

1) В любую  равнобедренную трапецию можно вписать окружность.

2) Диагональ параллелограмма делит его углы пополам.

3) Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов. 

Если утверждений несколько, запишите их через точку с запятой в порядке возрастания.

Домашняя работа, вариант 12
1. В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC = 20, tgA = 0,5. Найдите BC.
2.Центральный угол AOB равен 60°. Найдите длину хорды AB, на которую он опирается, если радиус окружности равен 5.
3. В прямоугольном треугольнике один из катетов равен 10, угол, лежащий напротив него, равен 30°, а гипотенуза равна 20. Найдите площадь треугольника, делённую на
4.Найдите тангенс угла    треугольника  , изображённого на рисунке.
5. Какие из следующих утверждений верны?  

1) Около всякого треугольника можно описать не более одной окружности.

2) В любой треугольник можно вписать не менее одной окружности.

3) Центром окружности, описанной около треугольника, является точка пересечения биссектрис.

4) Центром окружности, вписанной в треугольник, является точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам. 

Если утверждений несколько, запишите их через точку с запятой в порядке возрастания.

Домашняя работа, вариант 13
1. На продолжении стороны AD параллелограмма ABCD за точкой D отмечена точка E так, что DC = DE. Найдите больший угол параллелограмма ABCD, если ∠DEC = 27°. Ответ дайте в градусах.
2. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 4. Угол при вершине, противолежащий основанию, равен 120°. Найдите диаметр окружности, описанной около этого треугольника.

3. В прямоугольнике диагональ равна 10, угол между ней и одной из сторон равен 30°, длина этой стороны

. Найдите площадь прямоугольника, деленную на
4.Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.
5. Какие из следующих утверждений верны?  

1) Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду окружности, равны.

2) Если радиусы двух окружностей равны 5 и 7, а расстояние между их центрами равно 3, то эти окружности не имеют общих точек.

3) Если радиус окружности равен 3, а расстояние от центра окружности до прямой равно 2, то эти прямая и окружность пересекаются.

4) Если вписанный угол равен 30°, то дуга окружности, на которую опирается этот угол, равна 60°. 

Если утверждений несколько, запишите их через точку с запятой в порядке возрастания. 

Домашняя работа, вариант 14
1. В параллелограмме ABCD диагональ AC в 2 раза больше стороны AB и ∠ACD = 104°. Найдите угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах.
2.Величина центрального угла AOD равна 110°. Найдите величину вписанного угла ACB. Ответ дайте в градусах.
3. Периметр ромба равен 24, а косинус одного из углов равен

. Найдите площадь ромба.
4.На клетчатой бумаге с размером клетки 1 см × 1 см отмечены точки А, В и С. Найдите расстояние от точки А до середины отрезка ВС. Ответ выразите в сантиметрах.
5. Какие из следующих утверждений верны? 

1) Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду окружности, равны.

2) Если радиусы двух окружностей равны 5 и 7, а расстояние между их центрами равно 3, то эти окружности не имеют общих точек.

3) Если радиус окружности равен 3, а расстояние от центра окружности до прямой равно 2, то эти прямая и окружность пересекаются.

4) Если вписанный угол равен 30°, то дуга окружности, на которую опирается этот угол, равна 60°. 

Если утверждений несколько, запишите их через точку с запятой в порядке возрастания. 
 

Домашняя работа, вариант 15
1. Площадь ромба равна 27, а периметр равен 36. Найдите высоту ромба.
2.На окружности по разные стороны от диаметра AB взяты точки M и N. Известно, что ∠NBA = 38°. Найдите угол NMB. Ответ дайте в градусах.
3. Одна из сторон параллелограмма равна 12, другая равна 5, а тангенс одного из углов равен. Найдите площадь параллелограмма.
4.На рисунке изображен параллелограмм  . Используя рисунок, найдите  .
5. Какие из следующих утверждений верны?

1) Диагонали трапеции пересекаются и делятся точкой пересечения пополам.

2) Все диаметры окружности равны между собой.

3) Один из углов  треугольника всегда не превышает 60 градусов. 
 Домашняя работа, вариант 16
1. В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC = 20, tgA = 0,5. Найдите BC.
2.Длина хорды окружности равна 96, а расстояние от центра окружности до этой хорды равно 20. Найдите диаметр окружности.
3.Найдите площадь параллелограмма, изображённого на рисунке.
4.Площадь одной клетки равна 1. Найдите площадь фигуры, изображённой на рисунке.
5.Укажите номера верных утверждений.

1) Через точку, не  лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную этой прямой.

2) Треугольник со сторонами 1, 2, 4 существует.

3) Если в ромбе  один из углов равен 90°, то такой  ромб — квадрат.

4) В любом параллелограмме диагонали равны.

 
Домашняя работа, вариант 17
1. В треугольнике ABC AB = BC, а высота AH делит сторону BC на отрезки BH = 64 и CH = 16. Найдите cos B.
2.В окружности с центром в точке O проведены диаметры AD и BC, угол OAB равен 70°. Найдите величину угла OCD.
3. В ромбе сторона равна 10, одна из диагоналей —, а угол, лежащий напротив этой диагонали, равен 30°. Найдите площадь ромба.
4.Найдите тангенс угла    треугольника  , изображённого на рисунке. 
5. Какие из следующих утверждений верны?  
1) Площадь многоугольника, описанного около окружности, равна произведению его периметра на радиус вписанной окружности.

2) Если диагонали ромба равна 3 и 4, то его площадь равна 6.

3) Площадь трапеции меньше произведения суммы оснований на высоту.

4) Площадь прямоугольного треугольника меньше произведения его катетов.  

Если утверждений несколько, запишите их через точку с запятой в порядке возрастания.

  
Домашняя работа, вариант 18
 
1. Площадь прямоугольного треугольника равна Один из острых углов равен 30°. Найдите длину гипотенузы. 
2.Отрезок AB = 48 касается окружности радиуса 14 с центром O в точке B. Окружность пересекает отрезок AO в точке D. Найдите AD.
3. В равнобедренном треугольнике боковая сторона равна 10, основание —

, а угол, лежащий напротив основания, равен 120°. Найдите площадь треугольника, деленную на  
4. Найдите площадь трапеции, изображённой на рисунке.

5. Какие из следующих утверждений верны?  

1) Если катет и  гипотенуза прямоугольного треугольника равны соответственно 6 и 10, то второй катет этого треугольника равен 8.

2) Любые два равнобедренных треугольника подобны.

3) Любые два прямоугольных треугольника подобны.

4) Треугольник ABC, у которого AB = 3, BC = 4, AC = 5, является тупоугольным.  

Если утверждений несколько, запишите их через точку с запятой в порядке возрастания.

Домашняя работа, вариант 19
1. В треугольнике угол равен 90°     ,          Найдите
2.К окружности с центром в точке О проведены касательная AB и секущая AO. Найдите радиус окружности, если AB = 12 см, AO = 13 см.
3. В равнобедренном треугольнике боковая сторона равна 10, основание —

, а  угол, лежащий напротив основания, равен 45°. Найдите площадь треугольника, деленную на
4.Найдите тангенс угла AOB.
5. Какие из следующих утверждений верны?  

1) Если при пересечении двух прямых третьей прямой внутренние накрест лежащие углы составляют в сумме 90°, то эти две прямые параллельны.

2) Если угол равен 60°, то смежный с ним равен 120°.

3) Если при пересечении двух прямых третьей прямой внутренние односторонние углы равны 70° и 110°, то эти две прямые параллельны.

4) Через любые  три точки проходит не более одной прямой.  

Если утверждений несколько, запишите их через точку с запятой в порядке возрастания.

Домашняя работа, вариант 20
В треугольнике
 = 35, угол равен 90°. Найдите радиус описанной окружности этого треугольника.
 Прямая касается окружности в точке K. Точка O — центр окружности. Хорда KM образует с касательной угол, равный 83°. Найдите величину угла OMK. Ответ дайте в градусах.
  Высота BH параллелограмма ABCD делит его сторону AD на отрезки AH = 1 и HD = 28. Диагональ параллелограмма BD равна 53. Найдите площадь параллелограмма.
4. Из квадрата вырезали прямоугольник (см. рисунок). Найдите площадь получившейся фигуры.
5.Какие из следующих утверждений верны? 

1) Сумма углов  выпуклого четырехугольника равна 180°.

2) Если один из  углов параллелограмма равен 60°, то противоположный ему угол равен 120°.

3) Диагонали квадрата делят его углы пополам.

4) Если в четырехугольнике две противоположные стороны равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.   

Если утверждений несколько, запишите их через точку с запятой в порядке возрастания

Домашняя работа, вариант 21
1. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABD равен 71°, угол CAD равен 61°. Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.
2. Найдите градусную меру ∠MON, если известно, NP — диаметр, а градусная мера ∠MNP равна 18°.

3. Периметр ромба равен 24, а тангенс одного из углов равен. Найдите площадь ромба.На квадратной сетке изображён угол . Найдите  .       
5. Какие из следующих утверждений верны?   

1) Если угол равен 45°, то вертикальный с ним угол равен 45°.

2) Любые две прямые имеют ровно одну общую точку.

3) Через любые  три точки проходит ровно одна прямая.

4) Если расстояние от точки до прямой меньше 1, то и длина любой наклонной, проведенной из данной точки к прямой, меньше 1.  

Если утверждений несколько, запишите их через точку с запятой в порядке возрастания. 
 
 Домашняя работа, вариант 22
1. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABD равен 14°, угол CAD равен 30°. Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.
2.

Точка О — центр окружности, ∠ACB = 24° (см. рисунок). Найдите величину угла AOB (в градусах).
3. В ромбе сторона равна 10, одна из диагоналей —

, а угол, из которого выходит эта диагональ, равен 45°. Найдите площадь ромба, деленную на
4. Найдите тангенс угла  

   треугольника  , изображённого на рисунке.
5. Какие из следующих утверждений верны?  

1) Площадь многоугольника, описанного около окружности, равна произведению его периметра на радиус вписанной окружности.

2) Если диагонали ромба равна 3 и 4, то его площадь равна 6.

3) Площадь трапеции меньше произведения суммы оснований на высоту.

4) Площадь прямоугольного треугольника меньше произведения его катетов. 

Если утверждений несколько, запишите их через точку с запятой в порядке возрастания. 
 
 
Домашняя работа, вариант 23
1. В трапецию, сумма длин боковых сторон которой равна 18, вписана окружность. Найдите длину средней линии трапеции.
2.Найдите градусную меру ∠ACB, если известно, что BC является диаметром окружности, а градусная мера ∠AOC равна 96°.
3. Основания трапеции равны 7 и 49, одна из боковых сторон равна 18 , а косинус угла между ней и одним из оснований равен Найдите площадь трапеции.
4.Найдите тангенс угла С треугольника ABC , изображённого на рисунке.
5.Укажите номера верных утверждений. 

1) Биссектриса равнобедренного треугольника, проведённая из вершины, противолежащей основанию, делит основание на две равные части.

2) В любом прямоугольнике диагонали взаимно перпендикулярны.

3) Для точки, лежащей на окружности, расстояние до центра окружности равно радиусу. 

Если утверждений несколько, запишите их через точку с запятой в порядке возрастания.

Домашняя работа, вариант 24
1. Два угла вписанного в окружность четырехугольника равны 82° и 58°. Найдите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.
2.

Окружность с центром в точке O описана около равнобедренного треугольника ABC, в котором AB = BC и ∠ABC = 177°. Найдите величину угла BOC. Ответ дайте в градусах.
3. Найдите площадь прямоугольника, если его периметр равен 44 и одна сторона на 2 больше другой.

4.На рисунке изображена трапеция  . Используя рисунок, найдите  .
5. Какие из данных утверждений верны? Запишите их номера.  

1) Если при  пересечении двух прямых третьей прямой накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

2) Диагональ трапеции делит её на два равных треугольника.

3) Если в  ромбе один из углов равен 90° , то такой ромб — квадрат.  
Если утверждений несколько, запишите их через точку с запятой в порядке возрастания.

Домашняя работа, вариант 25
1. Углы, отмеченные на рисунке одной дугой, равны. Найдите угол α. Ответ дайте в градусах.
2.В угол C величиной 83° вписана окружность, которая касается сторон угла в точках A и B. Найдите угол AOB. Ответ дайте в градусах.
3.На стороне BC прямоугольника ABCD, у которого AB = 24 и AD = 31, отмечена точка E так, что ∠EAB = 45°. Найдите ED.
4.На рисунке изображена трапеция  . Используя рисунок, найдите  .
5. Укажите номера верных утверждений.  
1) Через  точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную этой прямой.

2) Треугольник со сторонами 1, 2, 4 существует.

3) Если в  ромбе один из углов равен 90°, то такой ромб — квадрат.

4) Центр  описанной около треугольника окружности всегда лежит внутри этого треугольника.   

Если утверждений несколько, запишите их через точку с запятой в порядке возрастания.

Домашняя работа, вариант 26
 
1. Радиус окружности с центром в точке O равен 85, длина хорды AB равна 80 (см. рисунок). Найдите расстояние от хорды AB до параллельной ей касательной k.
2.В окружности с центром O AC и BD — диаметры. Центральный угол AOD равен 130°. Найдите вписанный угол ACB. Ответ дайте в градусах.
3.В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 70, а один из острых углов равен 45°. Найдите площадь треугольника.
4.Найдите синус острого угла трапеции, изображённой на рисунке.

5. Какие из следующих утверждений верны?   

1) Центром симметрии прямоугольника является точка пересечения диагоналей.

2) Центром симметрии ромба является точка пересечения его диагоналей.

3) Правильный пятиугольник имеет пять осей симметрии.

4) Центром симметрии равнобедренной трапеции является точка пересечения ее диагоналей.  
Если утверждений несколько, запишите их через точку с запятой в порядке возрастания.

Домашняя работа, вариант 27
1 В треугольнике ABC угол C прямой, BC = 3 , cosB = 0,6. Найдите AB.
2.На отрезке AB выбрана точка C так, что AC = 75 и BC = 10. Построена окружность с центром A, проходящая через C. Найдите длину отрезка касательной, проведённой из точки B к этой окружности.
3. В прямоугольном треугольнике один из катетов равен 10, а угол, лежащий напротив него, равен 45°. Найдите площадь треугольника.

4.Найдите тангенс угла AOB.
5. Задание 13 № 169926. Какие из следующих утверждений верны?  

1) Если в  параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм — прямоугольник.

2) Если диагонали параллелограмма делят его углы пополам, то этот параллелограмм — ромб.

3) Если один  из углов, прилежащих к стороне параллелограмма, равен 50°, то другой угол, прилежащий к той же стороне, равен 50°.

4) Если сумма  трех углов выпуклого четырехугольника равна 200°, то его четвертый угол равен 160°.  

Если утверждений несколько, запишите их через точку с запятой в порядке возрастания.

Домашняя работа, вариант 28
1. В треугольнике     угол    равен 90°,  . Найдите  .
2.В окружность вписан равносторонний восьмиугольник. Найдите величину угла ABC.
3.Сторона ромба равна 9, а расстояние от центра ромба до неё равно 1. Найдите площадь ромба.
4. На клетчатой бумаге с размером клетки 1см x 1см отмечены точки А, В и С. Найдите расстояние от точки А до середины отрезка ВС. Ответ выразите в сантиметрах.

5. Укажите номера верных утверждений. 

1) Если при  пересечении двух прямых третьей прямой соответственные углы равны 37°, то эти две прямые параллельны.

2) Через  любые три точки проходит не более одной прямой.

3) Сумма  вертикальных углов равна 180°.  
Если утверждений несколько, запишите их через точку с запятой в порядке возрастания.

Домашняя работа, вариант 29
1. В треугольнике     угол    прямой,  . Найдите  .
2.Радиус окружности с центром в точке O равен 85, длина хорды AB равна 102 (см. рисунок). Найдите расстояние от хорды AB до параллельной ей касательной k.
3. Сторона квадрата равна 10. Найдите его площадь.

4.Из квадрата вырезали прямоугольник (см. рисунок). Найдите площадь получившейся фигуры.
5. Какие из следующих утверждений верны?   

1) Сумма  углов выпуклого четырехугольника равна 180°.

2) Если один  из углов параллелограмма равен 60°, то противоположный ему угол равен 120°.

3) Диагонали квадрата делят его углы пополам.

4) Если в  четырехугольнике две противоположные стороны равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.  

Если утверждений несколько, запишите их через точку с запятой в порядке возрастания.

Домашняя работа, вариант 30
1. В трапеции ABCD AB = CD, AC = AD и ∠ABC = 95°. Найдите угол CAD. Ответ дайте в градусах.
2. Решите уравнение

.
3. Периметр ромба равен 24, а косинус одного из углов равен

. Найдите площадь ромба.
4.

На квадратной сетке изображён угол  . Найдите  .
5. Какие из следующих утверждений верны?   

1) Любые  два прямоугольных треугольника подобны.

2) Если катет  и гипотенуза прямоугольного треугольника равны соответственно 6 и 10, то второй катет этого треугольника равен 8.

3) Стороны треугольника пропорциональны косинусам противолежащих углов.

4) Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.   

Если утверждений несколько, запишите их через точку с запятой в порядке возрастания.

Определение угла. Равенство углов. Биссектриса угла. Измерения и откладывания углов — ГЕОМЕТРИЯ — Уроки для 7 классов — конспекты уроков — План урока — Конспект урока — Планы уроков

Урок № 5

Тема. Определение угла. Равенство углов. Биссектриса угла. Измерения и откладывания углов

Цель: добиться от учащихся усвоение содержания таких понятий: «угол», «элементы угла», «обозначение угла», «внутренняя область угла», «луч, делящей данный угол на два угла», «развернутый угол», «равные углы», «биссектриса угла и аксиомы измерения и откладывание углов», «виды углов».

Сформировать умения:

· воспроизводить определение названных выше понятий и аксиом;

· описывать, опираясь на названные понятия, готовые рисунки и, наоборот, по данным описанием делать соответствующий рисунок;

· без помощи измерительных инструментов определять вид угла по его градусной мере).

Тип урока: усвоение знаний, умений и навыков.

Форма проведения: фронтальная практическая работа.

Наглядность i оборудование: таблицы «Отрезки», «Углы».

ХОД УРОКА

И. Организационный момент

Учитель побуждает учащихся к самопроверке готовности к уроку и сообщает тему и план работы на уроке.

II. Проверка домашнего задания

Самостоятельная работа

Вариант 1

1. Точка N лежит между точками M и K. MN = 8,4 см, KM =18,3 см. Найдите NK.

2. Дано AC = 9 см, CB = 4 см, BD =12 см. Найдите AB, CD, AD.

3. На прямой отмечены точки A, B и C, причем AB = 24 см, BC =18 см. Найдите расстояние от точки A до середины отрезка BC. Сколько решений имеет задача?

Вариант 2

1. Точка C лежит между точками A и B. AB = 8,3 см, CB = 4,8 см. Найдите AC.

2. Дано LM = 15 см, NK = 16 см, MK = 24 см. Найдите MN, LK, NL.

3. На прямой отмечены точки A, B и C, причем AB = 24 см, а расстояние от точки C до середины отрезка AB равна 17 см. Найдите длину отрезка AC. Сколько решений имеет задача?

III. Формулировка цели и задач урока. Мотивация учебной деятельности

Определенный мотивационный момент произошел во время выполнения домашнего задания (задача 4). Ученики получили толчок к размышлениям в направлении того, что два луча с одним началом могут образовать как знакомую им фигуру — прямую, так еще не изученную фигуру — угол (понятно, что эта фигура является также знакомой учащимся с 5 класса). Исходя из новых условий изучения фигур, учитель вместе с учениками формулирует основную дидактическую цель урока.

IV. Актуализация опорных знаний

Перед формулировкой определение угла, понятий равенства углов, биссектрисы угла и аксиом измерения и откладывание углов уместно будет повторить аналогичные понятия, определения, аксиомы относительно отрезков, обратившись при этом к таблице «Отрезки».

V. Усвоение новых знаний

План изучения нового материала

1°. Определение угла. Элементы угла. Обозначения углов.

2°. Внутренняя область угла. Луч, который делит угол на два угла.

3°. Развернутый угол и его внутренняя область.

4°. Равенство углов. Биссектриса угла.

5°. Измерение углов: единицы измерения, аксиома измерения.

6°. Аксиома откладывания углов сравнение углов по градусной мере.

7°. Виды углов.

Методический комментарий

Как понятие отрезка, так и понятие угла на интуитивном уровне знакома учащимся еще с 5 класса. Поэтому главная задача урока — дать достаточно строгие математические формулировки перечисленных выше объектов, опираясь на знания учащихся и используя прием аналогии. Организуем практическую работу учащихся, выводами каждого из этапов которой i будут указаны в теме урока понятие.

Задача 1

а) Отметьте произвольную точку O. Постройте два доповняльні лучи OA и OB.

б) Отметьте произвольную точку C. Постройте два луча CM и CN, что не является доповняльними.

Сравните, что общего в образованных в пунктах а) и б) геометрических фигурах?

Из каких геометрических фигур состоят фигуры на рисунках?

Формулируем вывод вместе с учениками (определение угла, его элементы и обозначения, внутренняя область угла).

Задание 2

(Каждой паре учеников раздаем набор пронумерованных бумажных моделей углов — различной градусной меры и разные по размерам.)

Найдите и укажите среди предложенных моделей углов: а) равные; б) неровные; в) наибольший; г) наименьший.

Объясните, какие действия выполняли при этом.

Формулируем выводы вместе с учениками (определение равных углов, биссектрисы угла, возможно, свойства углов, отложенных от одной пол прямой в одну півплощину).

Задание 3 (работа с теми самыми бумажными моделями углов)

Каким еще отличным от примененного в задании 2 способом можно проверить, есть ли среди углов: а) уровне; б) наибольший; г) наименьший? Какой измерительный инструмент вы применяли для этого в 5 классе? В каких единицах измеряли углы?

Вывод. (Формулируем содержание понятие «измерение углов», «единицы измерения углов» и аксиомы измерения i откладывания углов.)

Задание 4 (работа с моделями)

Сравнив градусные меры углов, разделите их на четыре группы по градусной мере. Объясните свой выбор.

Вывод. (Рассматриваем виды углов по градусной мере и свойство сравнение углов по градусной мере.)

После чего демонстрируем учащимся обобщенную таблицу «Углы».

Таблица

VI. Первичное осознание нового материала

Выполнение устных упражнений (по готовым рисункам)

1. Можно угол, изображенный на рисунке 1, обозначить так: AOM; AMO; AMB; OMA; MOA; AMK; OMK; ABO; KMB; OKA?

2. Назовите все углы, что изображены на рисунке 2.

3. Назовите восемь углов, изображенных на рисунке 3. Вместо чисел 1, 2, 3 выпишите такие с названных углов, чтобы наверняка выполнялось равенство: . Объясните свой выбор.

4. Как, имея только лист бумаги прямоугольной формы, построить модель угла 180°; 90°; 45°? Покажите это.

5. На рисунке 4:

а) назовите все углы;

б) назовите наибольший угол;

в) найдите уровне углы, если AC — биссектриса угла BAD и AD — биссектриса угла CAE.

VII. Итоги урока

На рисунке 5 изображен углы 1, 2. Могут выполняться равенства: 1) , ; 2) , ; 3) ? Ответ объясните.

VIII. Домашнее задание

Выучить определения, аксиомы, которые рассматривались на уроке.

Устно выполнить упражнения.

1. Точки A, B и C не лежат на одной прямой. Может угол ABC быть развернутым?

2. Определите, каким (острым, прямым или развернутым) есть угол,который образуют стрелки часов в 3 часов; в 8 часов; в 11 часов; в 6 часов.

3. Назовите градусную меру угла, на который поворачивается:

а) минутная стрелка часов в течение 15 минут; 30 минут; 10 минут;

б) часовая стрелка в течение 3 часов; 1 час; 30 минут.

4. Луч l делит угол (mn) на два угла.

Сравните углы (ml) i (mn).

5. На рисунке назовите все острые углы; все прямые углы; все тупые углы.

6. Может ли сумма градусных мер двух острых углов:

а) быть меньше градусную меру прямого угла;

б) равняться градусной мере прямого угла;

в) быть больше градусную меру прямого угла;

г) быть больше градусной мере развернутого угла?

7. Луч b — биссектриса нераскрывшегося угла (ac). Может угол (ab) быть прямым; тупым?

Источники:

1. Уроки геометрии. 7 класс./ С. П. Бабенко — Х.: Изд. группа «Основа», 2007.- 208 с.

§12. Виды углов. Измерение углов

125. Заполните пропуски.

1) Угол, стороны которого образуют прямую, называют развернутым.
2) Единицу измерения углов называют градусом.
3) Измерить угол — значит подсчитать, сколько градусов входит в этот угол.
4) Величина развернутого угла составляет 180 градусов.
5) Углы измеряют с помощью прибора, который называют транспортиром.
6) Равные углы имеют равные градусные меры.
7) Из двух неравных углов большим считают тот, у которого градусная мера больше другого.
8) Если между сторонами угла АВС провести луч ВD, то градусная мера угла АВС равна сумме градусных мер углов ABD и DBC.
9) Острым называют угол, градусная мера которого меньше 90 градусов.
10) Прямым называют угол, градусная мера которого равна 90 градусам.
11) Тупым называют угол, градусная мера которого больше 90 градусов.
12) Биссектриса развернутого угла делит его на два прямых угла.

126. Начертите:
1) острый угол ACD;
2) прямой угол HTR;
3) тупой угол M;
4) развернутый угол KBO.

127. Известно, что . Заполните таблицу.

128. Найдите, пользуясь транспортиром, градусные меры углов, изображенных на рисунке. Отпределите вид каждого угла.

129. 1) Отлоите от луча ВА угол АВС, величина которого равна 60 градусов.
2) Отложите от луча CD угол DCB, величина которого равна 140 градусов.
3) Отложите от луча ОК угол КОМ, величина которого равна 90 градусов.
4) Отложите от луча ST угол TSK, величина которого равна 26 градусов.
5) Отложите от луча QP угол PQR, величина которого равна 118 градусов.
6) Отложите от луча EF угол FEK, величина которого равна 180 градусов. 

130. На данном рисунке угол EDK равен 43 градуса. Тогда угол CDE равен 180-43 = 137 градусов.

131. Начертите два угла с общей стороной так, чтобы они: 1) составляли развернутый угол; 2) не составляли развернутый угол.

132. Углы АВС и DBC составляют развернутый угол. Определите вид угла DBC, если угол АВС: 1) острый; 2) прямой; 3) тупой.

Ответ: 1) тупой; 2) прямой; 3) острый.

133. Из вершины прямого угла МОК проведены два луча ОР и ON так, что МON=64, РОК=57. Вычислити величину угла РON.

134. Развернутый угол АВС разделили лучами ВD, ВМ и ВК на четыре равных угла. Заполните пропуски.

1) Градусную меру 45 градусов имеют углы ABD, DBM, MBK, KBC.
2) Градусную меру 90 градусов имеют углы ABM, MBC, DBK.
3) Градусную меру 135 градусов имеют углы ABK, DBC.

135. Начертите угол COD, равный 163 градусам. Лучом OA разделите этот угол на два угла так, чтобы угол AOD был равен 88 градусам. Вычислите величину угла AOC.

136. Известно, что луч DE — биссектриса угла ADC, угол ADE=54 градусам. Тогда угол ADC = ? Пользуясь транспортиром, начертите угол  ADC и проведите луч DE.

137. Нарисуйте на циферблате часов часовую и минутную стрелки так, чтобы часы показывали заданное время, и найдите градусную меру угла между стрелками часов.
1) 2 ч; 2) 6 ч; 3) 8 ч

138. Угол АВС равен 30 градусам. Проведите луч BD так, чтобы: 1) луч ABD был равен 90 градусам, а угол  CBD — 120; 2) угол  ABD был равен 90 градусам, а угол  CBD — 60.

углов треугольника — Бесплатная математическая справка

Углы могут быть добавлены

Как и обычные числа, углы можно складывать для получения суммы, возможно, с целью определения меры неизвестного угла. Иногда мы можем определить недостающий угол, потому что знаем, что сумма должна быть определенным значением. Помните — сумма градусов углов в любом треугольнике равна 180 градусам. Ниже изображен треугольник ABC, где угол A = 60 градусов, угол B = 50 градусов и угол C = 70 градусов.

Если мы сложим все три угла в любом треугольнике, мы получим 180 градусов. Итак, мера угла A + угол B + угол C = 180 градусов. Это верно для любого треугольника в мире геометрии. Мы можем использовать эту идею, чтобы найти величину угла (углов), для которой градус отсутствует или не указан.

Нахождение недостающего угла

В треугольнике ABC ниже угол A = 40 градусов и угол B = 60 градусов. Какова мера угла C?

Мы знаем, что сумма мер любого треугольника равна 180 градусам.Используя тот факт, что угол A + угол B + угол C = 180 градусов, мы можем найти меру угла C.

угол A = 40
угол B = 60
угол C = мы не знаем.

Чтобы найти угол C, мы просто подставляем формулу выше и решаем относительно C.

A + B + C = 180
C = 180 — A — B
C = 180-40-60
C = 80

Чтобы проверить правильность 80 градусов, добавим все три угловые меры. Если мы получим 180 градусов, то наш ответ для угла C правильный.

Поехали:

40 + 60 + 80 = 180
180 = 180 … Проверяет!

Вам не всегда нужно подставлять эти значения в уравнение и решать. Как только вы освоитесь с такого рода проблемами, вы сможете сказать: «Хорошо, 40 + 60 = 100, поэтому другой угол должен быть 80!» и это намного быстрее.

Равносторонние треугольники

Если треугольник равносторонний, каков градус каждого из его углов?

Помните, что все стороны равностороннего треугольника имеют равной меры .У них также, как вы узнаете, равные углы! Пусть x = градус каждого угла. У треугольников три угла, поэтому мы прибавим x ТРИ раза.

У нас это:

x + x + x = 180
3x = 180
x = 60

Имеет смысл, правда? Если все углы равны и в сумме они равны 180, то это должно быть 60 градусов!

Соотношение углов

Углы треугольника в градусах находятся в соотношении 4: 5: 9.
Какова величина НАИБОЛЬШЕГО угла треугольника в градусах?

Обратите внимание, что наименьший угол представлен наименьшим числом в данном соотношении.Наименьшее из приведенных чисел — 4, верно? Поскольку это соотношение, мы должны умножить все эти значения (4,5,9) на некоторый общий коэффициент, чтобы получить фактические углы. (Например, 60 и 80 находятся в соотношении 3: 4 с коэффициентом 20)

Пусть 4x = мера наименьшего угла треугольника. Теперь мы можем сказать, что 5x и 9x = градусы остальных углов треугольника. Мы просто складываем 4x + 5x + 9x, приравниваем сумму к 180 градусам и решаем относительно x. Найдя x, мы подставляем значение x в 4x и упрощаем, чтобы найти меру наименьшего угла треугольника.

4x + 5x + 9x = 180
9x + 9x = 180
18x = 180
x = 180/18
x = 10

Мы нашли значение x, но это НЕ означает, что мы закончили.
Чтобы найти величину наименьшего угла треугольника, умножаем 4 на 10. Итак, 4 x 10 = 40.

Ответ — 40 градусов.

Помните, сумма углов треугольника равна 180 градусам. Просто возьмите то, что вам дано в задаче, и попытайтесь определить, в результате чего итоговый угол в сумме составит 180 градусов.

Урок от г-на Фелиза

Воспользуйтесь «Калькулятором треугольников» ниже:

Типы углов — объяснения и примеры

В природе существуют углов различных типов, , и каждый из них имеет большое значение в нашей повседневной жизни.

Например, , архитекторы и инженеры используют углы при проектировании машин, зданий, дорог и мостов.

В спорте спортсмены используют углы для улучшения своих результатов.Например, человек должен вращаться с диском под определенным углом, чтобы бросить его на короткое расстояние. В футболе вы должны использовать определенный угол, чтобы передать мяч следующему игроку.

Плотники и ремесленники также используют углы для изготовления таких предметов, как диваны, столы, стулья, ведра и т. Д. Художники используют углы для набросков портретов и картин. Модельеры также используют углы, чтобы подобрать лучшие наряды. По этим причинам необходимо изучить различные типы углов.

(Основное объяснение углов можно найти в предыдущей статье «Углы».)

Различные типы углов

Углы классифицируются на основе:

Классификация углов по величине

Существует семь типов углов в зависимости от их градусного измерения. В их числе:

• Нулевые углы
• Острые углы
• Прямой угол
• Тупой угол
• Уголок прямой
• Угол отражения
• Уголок полный

— нулевой угол

Нулевой угол (0 °) — это угол, образованный, когда оба плеча угла находятся в одном положении.

Иллюстрация:

∠ RPQ = 0 ° (нулевой угол)

— Острый угол

Острый угол — это угол больше 0 °, но меньше 90 °. Общие примеры острых углов: 15 °, 30 °, 45 °, 60 ° и т. Д.

∠ XYZ больше 0 °, но меньше 90 ° (острый угол)

— угол 90 градусов

Угол в 90 градусов, также известный как прямой угол, — это угол, размер которого равен 90 °, и называется прямым углом.Прямые углы изображаются в виде небольшой квадратной рамки между плечами угла.

Иллюстрация:

∠ ABC = 90 ° (прямой угол)

В следующем разделе (Треугольники) будет целая статья о прямоугольных треугольниках.

— Тупой угол

Тупой угол — это угол, градус которого больше 90 °, но меньше 180 °. Примеры тупых углов: 100 °, 120 °, 140 °, 160 °, 170 ° и т. Д.

∠ PQR — тупой угол, потому что он меньше 180 ° и больше 90 °.

— Прямоугольный

Как следует из названия, прямой угол — это угол, размер которого равен 180 ° (прямая линия)

Иллюстрация:

∠ XYZ = 180 ° (прямой угол)

— Угол рефлекса

Углы отражения — это углы, градусы которых составляют более 180 °, но менее 360 °. Общие примеры углов рефлекса: 200 °, 220 °, 250 °, 300 °, 350 ° и т. Д.

Иллюстрация:

∠ PQR больше 180 °, но меньше 360 °

— Угол в сборе

Полный угол равен 360 °.1 оборот равен 360 °.

Иллюстрация:

Классификация углов по вращению

В зависимости от направления вращения углы можно разделить на две категории, а именно:

• Положительные углы
• Отрицательные углы

Положительные углы

Положительные углы — это типы углов, измерения которых производятся против часовой стрелки от основания.

Отрицательные углы

Отрицательные углы измеряются по часовой стрелке от основания.

Уголки прочие

Помимо упомянутых выше углов, существуют другие типы углов, известные как парные углы. Их называют парными углами, потому что они появляются парами, чтобы показать определенное свойство. Это:

• Соседние углы имеют одинаковую вершину и плечо.
• Дополнительные углы: парные углы, которые в сумме составляют 90 °.
• Дополнительные углы: Парные углы, сумма углов которых равна 180 °.
• Вертикально противоположные углы.Вертикально противоположные углы равны.
• Альтернативные внутренние углы: Альтернативные внутренние углы — это парные углы, образующиеся, когда линия пересекает две параллельные линии. Чередующиеся внутренние углы всегда равны друг другу.
• Альтернативные внешние углы : Альтернативные внешние углы — это просто вертикальные углы альтернативных внутренних углов. Альтернативные внешние углы эквивалентны.
• Соответствующие углы : Соответствующие углы — это парные углы, образующиеся, когда прямая пересекает пару параллельных прямых.Соответствующие углы также равны друг другу.

Мы видели краткий обзор различных типов углов. Далее мы увидим подробные статьи о наиболее распространенных типах углов (Дополнительные углы, Дополнительные углы и т. Д.).

Как найти измерения углов треугольника

Сумма трех углов в треугольнике всегда равна 180 градусам. Треугольник может быть прямым, равнобедренным, острым, тупым, равносторонним или разносторонним, но сумма всех углов по-прежнему составляет 180 градусов.

Используйте свойства треугольников каждого типа для решения вопроса об измерении углов. Когда вы помните об этих конкретных характеристиках, это вопрос точного вычисления углового измерения для определения углов по градусам.

Определение углов по градусам: два известных угла

Нарисуйте треугольник, если изображение не предоставлено. Обозначьте каждый известный угол соответствующими размерами.

Сложите два измерения вместе.

30 градусов + 45 градусов = 75 градусов

Найдите величину угла C, вычтя сумму двух измерений из 180 градусов, чтобы найти величину третьего угла.

Добавьте ответ и два предоставленных угловых измерения, чтобы проверить точность. Сумма всех трех углов должна равняться 180 градусам.

30 градусов + 45 градусов + 105 градусов = 180 градусов

Определение углов по градусам: один известный угол

Нарисуйте треугольник, если изображение не предоставлено. Равнобедренный и прямоугольный треугольники являются общими треугольниками, которые используются при измерении одного угла. Пометьте каждый известный угол прилагаемым размером.

Сформируйте уравнение, используя свойства типа треугольника, представленного в задаче, который равен 180 градусам. Равнобедренные треугольники содержат равные углы, прилегающие к сторонам равной длины, а прямоугольные треугольники содержат один угол в 90 градусов.

Угол A (рядом с равным боковым углом) = x

Угол B (рядом с равным боковым углом) = x

x + x + 80 градусов = 180 градусов

Угол A = прямой угол = 90 градусов

90 градусов + 15 градусов + x = 180 градусов

Решите уравнение для значения «x», вычитая цифры из 180 градусов.

90 + 15 + x = 180 градусов

Добавьте вычисленные и предоставленные угловые измерения, чтобы убедиться, что он равен 180 градусам.

Пример равнобедренного сустава: 50 + 50 + 80 = 180 градусов

Пример прямоугольного треугольника: 90 + 15 + 75 = 180 градусов

Определение углов по градусам: без известных углов

Нарисуйте равносторонний треугольник, который представляет собой многоугольник с тремя равными сторонами и тремя равными углами. Обозначьте каждое измерение угла знаком «x», представляющим неизвестное измерение, поскольку равносторонние треугольники имеют три угла, которые эквивалентны друг другу (отсюда и название).

Сформируйте уравнение, складывающее три неизвестных измерения, равных 180 градусам, которые являются суммой всех трех углов в треугольнике любого типа.

Решите уравнение для «x», объединив три значения в «3x». А затем разделите каждую сторону знака «равно» на три.

Проверьте свою работу, сложив каждое измерение угла вместе, и убедитесь, что сумма этих трех углов равна 180 градусам.

60 + 60 + 60 = 180 градусов

Что такое угол 45 градусов? — Определение, факты и пример

Когда два луча пересекаются в одной конечной точке, они образуют угол.Общая конечная точка называется вершиной, а лучи — плечами угла.

Угол измеряется в ° или радианах. Если два плеча угла проходят в противоположных направлениях, это прямой угол. Прямой угол составляет 180 °. Угол можно измерить с помощью транспортира, а угол измерения 90 градусов называется прямым углом. Под прямым углом две руки перпендикулярны друг другу.

Если прямой угол разделен на две равные части, каждый угол составляет 45 °.

Построение угла с помощью транспортира

Шаг 1 : Нарисуйте луч и назовите его AB.

Шаг 2 : Держите центральную точку транспортира в положении A. Поскольку угол открывается вправо, выберите 45 ° в списке, который начинается справа и перемещается против часовой стрелки. Отметьте точку C.

Шаг 3 : Соедините A и C.Здесь меры.

Углы 45 градусов в реальной жизни:

Дополнительные знания:

Построение угла с помощью циркуля

Шаг 1 : Нарисуйте отрезок прямой и серединный перпендикуляр, пересекая дуги с радиусом более половины длины MN. Пусть серединный перпендикуляр пересекает отрезок прямой в точке О.

Шаг 2 : Нарисуйте дугу с центром в точке O и радиусом OM, разрезая серединный перпендикуляр в точке P.

Шаг 3 : Соедините M и P прямой линией. меры .

Градус измерения также можно построить, построив биссектрису прямого угла.

Измерение углов транспортиром

На этом уроке геометрии для 4-го класса объясняется, как измерять углы с помощью транспортира, а также предлагаются различные упражнения для учеников.

Видео ниже объясняет, что такое угловая мера, как измерять углы с помощью транспортира и как рисовать углы с помощью транспортира.

1. Измерьте углы.

2. Измерьте углы. Обозначьте каждый угол острый или тупой.

3. Таша измерила острый угол, получилось 146 °. Учитель указал
что она прочитала неправильный набор цифр на транспортире.
Какой угол является правильным для измеренного ею угла?

4.Измерьте следующие углы самостоятельно. транспортир. Если нужно, сделайте стороны уголков
дольше с линейкой.

6. Нарисуйте четыре точки и соедините их так, чтобы получился четырехугольник.
Измерьте все углы своего четырехугольника. Затем добавьте меры углов.
Вы получили 360 градусов или близко?

Этот урок взят из книги Марии Миллер Math Mammoth Geometry 1 и размещен на сайте www.HomeschoolMath.net с разрешения автора. Авторские права © Мария Миллер.

Использование свойств углов для решения задач

Результаты обучения

• Найдите дополнение угла
• Найти дополнение к углу

Вам знакома фраза «сделать [латекс] 180 [/ латекс]?» Она означает сделать полный поворот, чтобы вы смотрели в противоположном направлении. Это происходит из-за того, что угол, образующий прямую линию, составляет [латекс] 180 [/ латекс] градусов.См. Изображение ниже.

Угол образован двумя лучами, имеющими общую конечную точку. Каждый луч называется стороной угла, а общая конечная точка — вершиной. Угол назван по его вершине. На изображении ниже [latex] \ angle A [/ latex] — это угол с вершиной в точке [latex] A [/ latex]. Мера [латекс] \ угол А [/ латекс] записывается [латекс] м \ угол А [/ латекс].

[латекс] \ angle A [/ latex] — угол с вершиной в [latex] \ text {point} A [/ latex]. \ circ [/ latex] для обозначения градусов.\ circ [/ латекс].

В этом и следующем разделах вы познакомитесь с некоторыми общими геометрическими формулами. Мы адаптируем нашу стратегию решения проблем для геометрических приложений. Формула геометрии назовет переменные и даст нам уравнение для решения.

Кроме того, поскольку все эти приложения будут включать геометрические фигуры, будет полезно нарисовать фигуру, а затем пометить ее информацией из проблемы. Мы включим этот шаг в стратегию решения проблем для геометрических приложений.

Используйте стратегию решения проблем для геометрических приложений.

1. Прочтите задачу и убедитесь, что вы понимаете все слова и идеи. Нарисуйте фигуру и напишите на ней указанную информацию.
2. Определите то, что вы ищете.
3. Назовите то, что вы ищете, и выберите переменную для его представления.
4. Переведите в уравнение, написав соответствующую формулу или модель для ситуации. \ circ [/ latex].

   1. Найдите его приложение

   2. Найдите его дополнение

   Решение

   1.
   Шаг 1. Прочтите о проблеме. Нарисуйте фигуру и напишите на ней указанную информацию.
   Шаг 2. Определите , что вы ищете.	Дополнение угол [латекс] 40 ° [/ латекс].
   Шаг 3. Имя. Выберите переменную для ее представления.	Пусть [latex] s = [/ latex] мера дополнения.
   Шаг 4. Translate. Напишите соответствующую формулу для ситуации и подставьте ее в данную информацию.	[латекс] м \ угол А + м \ угол В = 180 ° [/ латекс] [латекс] s + 40 ° = 180 ° [/ латекс]
   Шаг 5. Решите уравнение.	[латекс] s = 140 ° [/ латекс]
   Шаг 6. Проверка: [латекс] 140 ° + 40 ° \ stackrel {?} {=} 180 ° [/ латекс] [латекс] 180 ° = 180 ° \ галочка [/ латекс]
   Шаг 7. Ответьте на вопрос.	Угол [латекс] 40 ° [/ латекс] составляет [латекс] 140 ° [/ латекс].

   2.
   Шаг 1. Прочтите о проблеме. Нарисуйте фигуру и напишите на ней указанную информацию.
   Шаг 2. Определите , что вы ищете.	Дополнение угла [латекс] 40 ° [/ латекс].
   Шаг 3. Имя. Выберите переменную для ее представления.	Пусть [latex] c = [/ latex] мера дополнения.
   Шаг 4. Translate. Напишите соответствующую формулу для ситуации и подставьте ее в данную информацию.	[латекс] м \ угол A + м \ угол B = 90 ° [/ латекс]
   Шаг 5. Решите уравнение.	[латекс] c + 40 ° = 90 ° [/ латекс] [латекс] c = 50 ° [/ латекс]
   Шаг 6. Чек: [латекс] 50 ° + 40 ° \ stackrel {?} {=} 90 ° [/ латекс] [латекс] 90 ° = 90 ° \ квадратик \ галочка [/ латекс]
   Шаг 7. Ответьте на вопрос.	Дополнительный угол [латекс] 40 ° [/ латекс] составляет [латекс] 50 ° [/ латекс].

   В следующем видео мы покажем больше примеров того, как найти дополнение и дополнение угла.

   Вы обратили внимание, что слова «дополнительный» и «дополнительный» расположены в алфавитном порядке, как [latex] 90 [/ latex] и [latex] 180 [/ latex] в порядке номеров?

   Упражнения

   Два угла являются дополнительными.\ circ [/ latex] больше меньшего угла. Найдите размер обоих углов.

   Показать решение

   Решение:

   Шаг 1. Прочтите о проблеме. Нарисуйте фигуру и напишите на ней указанную информацию.
   Шаг 2. Определите , что вы ищете.	Меры обоих углов.
   Шаг 3. Имя. Выберите переменную для ее представления. Больший угол на 30 ° больше меньшего.	Пусть [latex] a = [/ latex] измеряет меньший угол [латекс] a + 30 = [/ латекс] мера большего угла
   Шаг 4. Translate. Напишите соответствующую формулу и замените ее.	[латекс] м \ угол A + м \ угол B = 180 [/ латекс]
   Шаг 5. Решите уравнение.	[латекс] (a + 30) + a = 180 [/ латекс] [латекс] 2a + 30 = 180 [/ латекс] [латекс] 2a = 150 [/ латекс] [латекс] a = 75 = [/ латекс] мера меньшего угла. [латекс] a + 30 = [/ латекс] мера большего угла. [латекс] 75 + 30 [/ латекс] [латекс] 105 [/ латекс]
   Шаг 6. Проверка: [латекс] m \ угол A + m \ угол B = 180 ° [/ латекс] [латекс] 75 ° + 105 ° \ stackrel {?} {=} 180 ° [/ латекс] [латекс] 180 ° = 180 ° \ четырехугольник \ галочка [/ латекс]
   Шаг 7. Ответьте на вопрос.	Размеры угла: [латекс] 75 ° [/ латекс] и [латекс] 105 ° [/ латекс].

   Внесите свой вклад!

   У вас была идея улучшить этот контент? Нам очень понравится ваш вклад.

   Улучшить эту страницуПодробнее

   Угол — Определение слова в математике

   Угол — Определение слова в математике — Открытый справочник по математике

   Определение: фигура, образованная двумя линиями или лучами, расходящимися от общей точки (вершины).

   Попробуй это Отрегулируйте угол ниже, перетащив оранжевую точку.

   Атрибуты

   Вершина	Вершина это общая точка, в которой соединяются две прямые или лучи. Точка B — это фигура выше — это вершина угла ∠ABC.
   Ножки	Ножки (по бокам) угла — две линии, составляющие его. На рисунке выше отрезки AB и BC — стороны угла ∠ABC.
   Интерьер	Внутренняя часть угла — это пространство в «губках» угла, простирающееся до бесконечности.Видеть Интерьер угла
   Внешний вид	Все пространство в самолете, кроме интерьера. Видеть Интерьер угла

   Определение угла

   Угол можно определить двумя способами.

   1. Как это: ∠ABC

      Символ угла, за которым следуют три точки, определяющие угол, при этом средняя буква является вершиной, а две другие — ногами. Таким образом, на рисунке выше угол будет ABC или ∠CBA.Пока вершина — это средняя буква, порядок не важен. Как стенография мы можем использовать символ «угол». Например, «ABC» будет читаться как «угол ABC».

   2. Или так: ∠B

      Просто по вершине, если это не неоднозначно. Таким образом, на рисунке выше угол можно было бы назвать просто ‘∠B’

   Измерение угла

   Размер угла измеряется в градусах (см. Угловые измерения). Когда мы говорим «угол ABC», мы имеем в виду фактический угловой объект.Если мы хотим говорить о размере или измерении угла в градусах, мы должны сказать «мера угла ABC» — часто пишется m∠ABC.

   Однако много раз мы будем видеть «ABC = 34 °». Собственно говоря, это ошибка. Должно быть написано m∠ABC = 34 °.

   Типы уголков

   Всего существует шесть типов углов, перечисленных ниже. Щелкните изображение, чтобы получить полное описание этого типа и соответствующего интерактивного апплета.

   Тригонометрия

   При использовании в тригонометрии углы обладают некоторыми дополнительными свойствами: Они могут иметь размер более 360 °, могут быть положительными и отрицательными и располагаться на координатной сетке с осями x и y.Обычно они измеряются в радианах, а не в градусов. Подробнее об этом см. Определение и свойства угла (тригонометрия).