Эскиз графика функции (на примере дробно-квадратичной функции)
Тема: Повторение
Урок: Эскиз графика функции (на примере дробно-квадратичной функции)
Наша цель – построить эскиз графика дробно-квадратичной функции. Для примера возьмем уже знакомую нам функцию:
Задана дробная функция, в числителе и знаменателе которой стоят квадратичные функции.
Методика построения эскиза такова:
1. Выделим интервалы знакопостоянства и определим на каждом знак функции (рисунок 1)
Мы подробно рассматривали и выяснили, что функция, непрерывная в ОДЗ, может сменить знак только при переходе аргумента через корни и точки разрыва ОДЗ.
Заданная функция у непрерывна в своей ОДЗ, укажем ОДЗ:
Найдем корни:
Выделим интервалы знакопостоянства. Мы нашли корни функции и точки разрыва области определения – корни знаменателя. Важно отметить, что внутри каждого интервала функция сохраняет знак.
Рис. 1. Интервалы знакопостоянства функции
Чтобы определить знак функции на каждом интервале, можно взять любую точку, принадлежащую интервалу, подставить ее в функцию и определить ее знак. Например:
На интервале 
На интервале 
функция имеет знак минус.
В этом преимущество метода интервалов: мы определяем знак в единственной пробной точке и заключаем, что функция будет иметь такой же знак на всем выбранном интервале.
Однако можно выставлять знаки автоматически, не высчитывая значений функции, для этого определить знак на крайнем интервале, а далее чередовать знаки.
1. Построим график в окрестности каждого корня. Напомним, что корни данной функции 
и 
Рис. 2. График в окрестностях корней
Поскольку в точке знак функции меняется с плюса на минус, то кривая сначала находится над осью, потом проходит через ноль и далее расположена под осью х. В точке наоборот.
2. Построим график в окрестности каждого разрыва ОДЗ. Напомним, что корни знаменателя данной функции 
и 
Рис. 3. График функции в окрестностях точек разрыва ОДЗ
Когда или знаменатель дроби практически равен нулю, значит, когда значение аргумента стремится к этим числам, значение дроби стремится к бесконечности. В данном случае, когда аргумент подходит к тройке слева функция положительна и стремится к плюс бесконечности, справа функция отрицательна и выходит из минус бесконечности. Около четверки наоборот, слева функция стремится к минус бесконечности, а справа выходит из плюс бесконечности.
Согласно построенному эскизу мы можем в некоторых промежутках угадать характер поведения функции.
Рис. 4. Эскиз графика функции
Рассмотрим следующую важную задачу – построить эскиз графика функции в окрестностях бесконечно удаленных точек, т.е. когда аргумент стремится к плюс или минус бесконечности. Постоянными слагаемыми при этом можно пренебречь. Имеем:
Иногда можно встретить такую запись данного факта:
Рис. 5. Эскиз графика функции в окрестностях бесконечно удаленных точек
Мы получили приблизительный характер поведения функции на всей ее области определения, далее нужно уточнять построения с применением производной.
Пример 1 – построить эскиз графика функции:
Строим эскиз графика функции без использования производной.
Сначала исследуем заданную функцию:
ОДЗ: 
Корень: 
Имеем три точки, при переходе аргумента через которые функция может менять знак.
Отметим, что заданная функция нечетная.
Определяем знаки функции на каждом интервале. Имеем плюс на крайнем правом интервале, далее знаки чередуются, так как все корни имеют первую степень.
Строим эскиз графика в окрестностях корней и точек разрыва ОДЗ. Имеем: поскольку в точке знак функции меняется с плюса на минус, то кривая сначала находится над осью, потом проходит через ноль и далее расположена под осью х. Когда 
или знаменатель дроби практически равен нулю, значит, когда значение аргумента стремится к этим числам, значение дроби стремится к бесконечности. В данном случае, когда аргумент подходит к минус двум слева функция отрицательна и стремится к минус бесконечности, справа функция положительна и выходит из плюс бесконечности. Около двойки аналогично.
Теперь строим эскиз графика функции в окрестностях бесконечно удаленных точек, т.е. когда аргумент стремится к плюс или минус бесконечности. Постоянными слагаемыми при этом можно пренебречь. Имеем:
После выполнения вышеперечисленных действий мы уже представляем себе график функции, но требуется уточнить его с помощью производной.
Найдем производную функции:
Очевидно, что производная всегда меньше нуля, следовательно, функция убывает на всех участках. Так, на участке от минус бесконечности до минус двух функция убывает от нуля до минус бесконечности; на участке от минус двух до нуля функция убывает от плюс бесконечности до нуля; на участке от нуля до двух функция убывает от нуля до минус бесконечности; на участке от двух до плюс бесконечности функция убывает от плюс бесконечности до нуля.
Проиллюстрируем:
Рис. 6. Эскиз графика функции к примеру 1
Пример 2 – построить эскиз графика функции:
Строим эскиз графика функции без использования производной.
Сначала исследуем заданную функцию:
ОДЗ: 
Корень:
Имеем единственную точку, при переходе аргумента через которую функция может менять знак.
Отметим, что заданная функция нечетная.
Определяем знаки функции на каждом интервале. Имеем плюс на крайнем правом интервале, далее знак меняется, так как корень имеет первую степень.
Строим эскиз графика в окрестностях корня. Имеем: поскольку в точке знак функции меняется с минуса на плюс, то кривая сначала находится под осью, потом проходит через ноль и далее расположена над осью х.
Теперь строим эскиз графика функции в окрестностях бесконечно удаленных точек, т.е. когда аргумент стремится к плюс или минус бесконечности. Постоянными слагаемыми при этом можно пренебречь. Имеем:
После выполнения вышеперечисленных действий мы уже представляем себе график функции, но требуется уточнить его с помощью производной.
Найдем производную функции:
Выделяем интервалы знакопостоянства производной: 
при 
. ОДЗ здесь . Таким образом, имеем три интервала знакопостоянства производной и три участка монотонности исходной функции. Определим знаки производной на каждом интервале. Когда 
производная положительна, функция возрастает; когда 
производная отрицательна, функция убывает. При этом 
– точка минимум, т.к. производная меняет знак с минуса на плюс; наоборот, точка максимума.
Таким образом, функция меняется в пределах 
Проиллюстрируем:
Рис. 7. Эскиз графика функции к примеру 2
Итак, мы рассмотрели построение графика дробно-квадратичной функции, далее будем рассматривать график дробно-линейной функции.
Список рекомендованной литературы:
1. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. М.: Мнемозина
2. Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. М.: Дрофа.
3. Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. М.: Просвещение.
Рекомендованные ссылки на ресурсы интернет:
1. Terver.ru (Источник).
2. Егэ по математике (Источник).
3. Институт менеджмента, маркетинга и финансов (Источник).
Рекомендованное домашнее задание:
1. Построить эскизы графиков функций:
interneturok.ru
Как построить график функции у = f (x + t) + m, если известен график функции у = f(x)
На этом уроке вы узнаете, как построить график функции у = f (x + t) + m, если известен график функции у = f(x)
Мы умеем строить график функции y = f(x+t), если известен график функции y = f(x).
Правило построения графиков функции y = f(x+t):
y = f(x+t)
y = f(х) сдвигаем:
— при 
на 
единиц 
— при 
на единиц 
Правило построения графиков функции y = f(x) + m:
y = f(x) + m
y = f(х) сдвигаем:
— при 
на 
единиц 
— при 
на единиц 
Пример. Построить график функции 
Дано:
Решение. 1. Сначала мы должны построить график функции вида 
в нашем случае это 
.
Так как -1 < 0, то, соответственно, график сдвигается вдоль оси Ох вправо на 1 единицу (рис. 1).
Рис. 1. График функции 
2. Теперь построим 
:
Так как 
, а 2 > 0, то график, полученный в предыдущем действии, мы сдвигаем вверх 2 единицы (рис. 2).
Рис. 2. График функции
Этот график и будет графиком требуемой функции. Точка пересечения с осями – (0; 3).
Пример решен.
В данном примере числа -1 и 2 можно заменить на параметры t и m соответственно.
Функцию также можно заменить на любую другую функцию. В результате можно сформулировать правило построения графика функции у = f (x + t) + m:
Чтобы получить кривую 
, надо кривую 
сдвинуть:
— при на |t| единиц 
— при на |t| единиц 
— при на |m| единиц 
— при на |m| единиц 
Построить:1.
; 2. 
; 3. 
Решение.
1. Сначала мы должны построить график первой функции:
; 
Ее графиком является гипербола (рис. 3):
Рис. 3. Иллюстрация к задаче 1
2. Теперь построим график второй функции:
; 
На данном графике х не должен равняться 2.
Так как t в этом уравнении равен -2, то, исходя из правила, сдвигаем график функции 
на 2 единицы вправо и получаем (рис. 4):
Рис. 4. Иллюстрация к задаче 2
Точка пересечения с осью 
.
3. Теперь же построим график третьей функции:
Так как m = 1 (1 > 0), то график предыдущей функции (полученной в действии 2), исходя из правила, мы сдвигаем на 1 единицу вверх (рис. 5).
Рис. 5. Иллюстрация к задаче 3
Теперь найдем точки пересечения с осями: с осью 
с осью 
.
Рассмотрим выражение:
Приведя к общему знаменателю, мы получим:
Такая функция (которая выделена красным цветом) называется дробно-линейная.
Если бы задача была задана: «Построить график функции 
», то как построить график такой функции?
Поступим следующим образом:
1. Знаменатель оставим без изменений, а в числителе выделим знаменатель. Таким образом, мы добавим +2 и -2.
2. Почленное деление даст 
. То есть графиком заданной функции будет гипербола.
Построитьграфик функции
Решение:
1. Сначала выделим полный квадрат в данном выражении с помощью прибавления 22 и вычитания 22. Получаем:
2. Шаблон для данной функции есть функция 
. Так как 
, а 
, то сначала мы сдвигаем график на 2 единицы вправо, а затем вверх на 1 единицу (согласно правилу) (рис. 6).
Рис. 6. Иллюстрация к задаче
Точка пересечения с осью Оу – (0; 5).
Задача решена.
Мы изучили правило построения кривой у = f (x + t) + m, если известен график функции у = f(x). Применили это правило для конкретных задач.
Список литературы
- Башмаков М.И. Алгебра 8 класс. – М.: Просвещение, 2004.
- Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 8. – 5 издание. – М.: Просвещение, 2010.
- Никольский С.М., Потапов М.А., Решетников Н.Н., Шевкин А.В. Алгебра 8 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2006.
Домашнее задание
- Построить график функции
; - Построить график функции
;
Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет
- Интернет-портал Festival.1september.ru (Источник).
- Интернет-портал Sh6-krkam.edusite.ru (Источник).
interneturok.ru
Как построить график функции y=f(kx), если известен график функции y=f(x). Примеры построения
На этом уроке мы продолжим рассмотрение построения графиков вида у = f(k∙x). Вначале вспомним, как строится график данного вида при k>0 на примере функции косинуса. Далее рассмотрим построение модификации графика функции для k<0 и сформулируем правило для построения. В конце урока решим пример на построение графика с использованием всех изученных модификаций.
Тема: Тригонометрические функции
Урок: Как построить график функции y=f(kx) если известен график функции y=f(x). Примеры построения
На предыдущем уроке мы вывели правило построения графика функции 
по известному графику 
для 
Точку пересечения с осью y мы оставляли без изменения, остальные точки кривой сжимали или растягивали в k раз вдоль оси x. Приведем пример и распространим правило на случай 
Задача 1. Построить график функции 
если известен график функции 
Решение:
Рис. 1.
Происходит сжатие кривой 
к оси y в 2 раза. Если на участке 
исходная функция укладывается ровно в одну полную волну, то новая функция, имеющая период 
, уложится 2 раза.
График функции 
можно построить и другим способом. Возьмем участок графика
на промежутке 
и произведем сжатие к оси y в 2 раза. Получим точки 
которые ограничивают полуволну новой кривой (рис. 2).
С помощью полученной полуволны несложно построить график функции на всей области определения.
Мы привели пример построения графика функции при 
Получим кривую 
из кривой 
Возьмем точку 
на графике, и противоположную ей точку 
В точке 
значение функции
равно 
Таким образом, точка A переходит в точку B:
(рис. 3).
Графики функций 
и симметричны относительно оси y.
Перейдем к построению графика функции 
Если 
то 
Необходимо сделать следующее:
1. Сжать исходную кривую 
к оси y с коэффициентом 
Получим кривую 
2. Отобразить симметрично кривую 
относительно оси y. Получаем искомую кривую 
Пример: Построить график функции 
Решение.
Функция косинус – четная, значит, выполняется равенство:
Нам необходимо построить график функции 
Построим одну полуволну графика (рис. 4):
a) 
b) 
растяжение в 3 раза вдоль оси y.
c) 
симметричное отображение относительно оси x.
d) 
сжатие к оси y в 2 раза.
Мы получили одну полуволну графика, с ее помощью строим график функции 
на всей области определения (рис. 5).
Мы рассмотрели правило получения графика функции по известному графику Преобразования графиков будут использованы на следующем уроке при изучении гармонических колебаний.
Список литературы
1. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2009.
2. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.
3. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики).-М.: Просвещение, 1996.
4. Галицкий М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.И. Углубленное изучение алгебры и математического анализа.-М.: Просвещение, 1997.
5. Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы (под ред. М.И.Сканави).-М.:Высшая школа, 1992.
6. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебраический тренажер.-К.: А.С.К., 1997.
7. Саакян С.М., Гольдман А.М., Денисов Д.В. Задачи по алгебре и началам анализа (пособие для учащихся 10-11 классов общеобразов. учреждений).-М.: Просвещение, 2003.
8. Карп А.П. Сборник задач по алгебре и началам анализа : учеб. пособие для 10-11 кл. с углубл. изуч. математики.-М.: Просвещение, 2006.
Домашнее задание
Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. . Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.
№№ 17.7 – 17.9, 18.7.
Дополнительные веб-ресурсы
1. Математика (Источник).
2. Интернет-портал Problems.ru (Источник).
3. Образовательный портал для подготовки к экзаменам (Источник).
interneturok.ru
Как построить график функции y=m*f(x), если известен график функции y=f(x)
На этом уроке мы обсудим построение модификаций графиков вида у = m*f(x). Вначале мы вспомним, как строятся ранее изучаемые модификации графиков вида у = f(x±k) и у = f(x)±k. Далее мы рассмотрим построение графика функции вида у = m*f(x) на примере функции синуса и сформулируем общее правило для подобных преобразований. В конце урока мы решим несколько примеров на построение схематического графика.
Тема: Тригонометрические функции
Урок: Как построить график функции y=m∙f(x), если известен график функции y=f(x)
Вспомним известные нам правила преобразования графиков.
1) Построить графики функций
Например: 
получаем сдвигом кривой 
на 1 вправо по оси x;
получаем сдвигом кривой на 1 влево по оси x.
2) Построить графики функций 
Например: 
получаем сдвигом кривой на 1 вверх по оси y;
получаем сдвигом кривой на 1 вниз по оси y.
3) Построить график функции 
Например:
Поместим значения функций в основных точках в таблицу.
И построим графики функций 
(рис. 3).
Исходную кривую необходимо растянуть или сжать в m раз. При 
точки графика остаются без изменения.
Рассмотрим значения функций в основных точках при 
И построим графики функций 
График функции 
симметричен графику функции 
относительно оси x.
Правило получения кривой 
из кривой 
1. Точки пересечения кривой 
c осью x сохраняются без изменений.
2. В остальных точках области определения ордината изменяется в m раз (рис. 5).
Используя правило, построим графики функций:
1) 
2) 
Мы вспомнили известные ранее правила преобразования графиков функций и вывели новое правило, по которому из графика функции можно получить график функции 
, привели несколько примеров.
Правило будет использоваться и в дальнейшем, в частности, при исследовании гармонических колебаний.
Список литературы
1. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2009.
2. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.
3. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики).-М.: Просвещение, 1996.
4. Галицкий М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.И. Углубленное изучение алгебры и математического анализа.-М.: Просвещение, 1997.
5. Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы (под ред. М.И.Сканави).-М.:Высшая школа, 1992.
6. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебраический тренажер.-К.: А.С.К., 1997.
7. Саакян С.М., Гольдман А.М., Денисов Д.В. Задачи по алгебре и началам анализа (пособие для учащихся 10-11 классов общеобразов. учреждений).-М.: Просвещение, 2003.
8. Карп А.П. Сборник задач по алгебре и началам анализа : учеб. пособие для 10-11 кл. с углубл. изуч. математики.-М.: Просвещение, 2006.
Домашнее задание
Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.
№№ 17.1 – 17.6.
Дополнительные веб-ресурсы
1. Математика (Источник).
2. Интернет-портал Problems.ru (Источник).
3. Образовательный портал для подготовки к экзаменам (Источник).
interneturok.ru