Как избавиться от корня в уравнении – Иррациональные уравнения. Подробная теория с примерами.

Решение иррациональных уравнений

Решение  иррациональных уравнений.

В этой статье мы поговорим о способах решения простейших иррациональных уравнений.

Иррациональным  уравнением  называется уравнение, которое содержит неизвестное под знаком корня.

Давайте рассмотрим два вида иррациональных уравнений, которые очень похожи на первый взгляд, но по сути  сильно друг от друга отличаются.

root{3}{f(x)}=g(x)  (1)

и

sqrt{f(x)}=g(x)   (2)

В первом уравнении root{3}{f(x)}=g(x)

  мы видим, что  неизвестное стоит под знаком корня третьей степени. Мы можем извлекать корень нечетной степени из отрицательного числа, поэтому в этом уравнении нет никаких ограничений ни на выражение, стоящее под знаком корня, ни на выражение, стоящее в правой части уравнения.  Мы можем возвести обе части уравнения в третью степень, чтобы избавиться от корня. Получим равносильное уравнение:

f(x)=g^3{(x)}

При возведении правой и левой части уравнения в нечетную степень  мы можем не опасаться  получить посторонние корни.

Пример 1. Решим уравнение root{3}{3x^2-2x}=x

Возведем обе части уравнения в третью степень. Получим равносильное уравнение:

3x^2-2x=x^3

Перенесем все слагаемые в одну сторону и вынесем за скобки х:

x^3-3x^2+2 x=0

x(x^2-3x+2)=0

Приравняем каждый множитель к нулю, получим:

x_1=0,   x_2=1,    x_3=2

Ответ: {0;1;2}

Посмотрим внимательно на второе  уравнение: sqrt{f(x)}=g(x). В левой части уравнения стоит квадратный корень, который принимает только  неотрицательные значения. Поэтому, чтобы уравнение имело решения, правая часть тоже должна быть неотрицательной. Поэтому на правую часть уравнения накладывается условие:

g(x)>=0g(x)>=0 - это условие существования корней.

Чтобы решить уравнение такого вида, нужно обе части уравнения возвести в квадрат:

f(x)=g^2{(x)}  (3)

Возведение в квадрат может привести к появлению посторонних корней, поэтому нам надо учесть ОДЗ уравнения:

f(x)>=0g(x)>=0  (4)

Однако, неравенство (4) следует из условия (3): если в правой части равенства стоит квадрат какого-то выражения, а квадрат любого выражения может принимать только неотрицательные значения, следовательно левая часть тоже должна быть неотрицательна. Поэтому условие (4) автоматически следует из условия (3) и наше уравнение sqrt{f(x)}=g(x) равносильно системе:

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{f(x)=g^2{(x)}} {g(x)>=0} }}{ }  g(x)>=0

Пример 2. Решим уравнение:

sqrt{2x^2-7x+5}=1-x.

Перейдем к равносильной системе:

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{2x^2-7x+5={(1-x)}^2} {1-x>=0} }}{ }  g(x)>=0

Решим первое уравнение системы и проверим, какие корни удовлетворяют неравеству.

2x^2-7x+5={(1-x)}^2

2x^2-7x+5=x^2-2x+1

x^2-5x+4=0

x_1=1,   x_2=4

Неравеству 1-x>=0g(x)>=0удовлетворяет только корень x=1

Ответ: x=1

Внимание! Если мы в процессе решения  возводим обе части уравнения в квадрат, то нужно помнить, что могут появиться посторонние корни. Поэтому либо нужно переходить к равносильной системе, либо в конце решения СДЕЛАТЬ ПРОВЕРКУ: найти корни и подставить их в исходное уравнение.

Пример 3. Решим уравнение:

sqrt{2x+5}=8-sqrt{x-1}

Чтобы решить это уравнение, нам также нужно возвести обе части в квадрат. Давайте в этом уравнении не будем заморачиваться с ОДЗ и условием существования корней, а просто в конце решения сделаем проверку.

Воозведем обе части уравнения в квадрат:

2x+5=64-16sqrt{x-1}+(x-1)

Перенесем слагаемое, содержащее корень влево, а все остальные слагаемые вправо:

16sqrt{x-1}=64+x-1-2x-5

16sqrt{x-1}=58-x

Еще раз возведем обе части уравнения в квадрат:

16sqrt{x-1}={(58-x)}^2

256(x-1)=3364-116x+x^2

x^2-372x+3620=0

По тереме Виета:

x_1=10,   x_2=362

Сделаем проверку. Для этого подставим найденные  корни в исходное уравнение. Очевидно, что при  x=362 правая часть исходного уравнения отрицательна, а левая положительна.

При x=10 получаем верное равенство.

Ответ: x=10

g(x)>=0

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

ege-ok.ru

Как избавиться от корня в уравнении. Решение иррациональных уравнений

После того, как мы изучили понятие равенств, а именно один из их видов – числовые равенства, можно перейти к еще одному важному виду – уравнениям. В рамках данного материала мы объясним, что такое уравнение и его корень, сформулируем основные определения и приведем различные примеры уравнений и нахождения их корней.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Понятие уравнения

Обычно понятие уравнения изучается в самом начале школьного курса алгебры. Тогда оно определяется так:

Определение 1

Уравнением называется равенство с неизвестным числом, которое нужно найти.

Принято обозначать неизвестные маленькими латинскими буквами, например, t , r , m др., но чаще всего используются x , y , z . Иными словами, уравнение определяет форма его записи, то есть равенство будет уравнением только тогда, когда будет приведен к определенному виду – в нем должна быть буква, значение которое надо найти.

Приведем несколько примеров простейших уравнений. Это могут быть равенства вида x = 5 , y = 6 и т.д., а также те, что включают в себя арифметические действия, к примеру, x + 7 = 38 , z − 4 = 2 , 8 · t = 4 , 6: x = 3 .

После того, как изучено понятие скобок, появляется понятие уравнений со скобками. К ним относятся 7 · (x − 1) = 19 , x + 6 · (x + 6 · (x − 8)) = 3 и др. Буква, которую надо найти, может встречаться не один раз, а несколько, как, например, в уравнении x + 2 + 4 · x − 2 − x = 10 . Также неизвестные могут быть расположены не только слева, но и справа или в обеих частях одновременно, например, x · (8 + 1) − 7 = 8 , 3 − 3 = z + 3 или 8 · x − 9 = 2 · (x + 17) .

Далее, после того, как ученики знакомятся с понятием целых, действительных, рациональных, натуральных чисел, а также логарифмами, корнями и степенями, появляются новые уравнения, включающие в себя все эти объекты. Примерам таких выражений мы посвятили отдельную статью.

В программе за 7 класс впервые возникает понятие переменных. Это такие буквы, которые могут принимать разные значения (подробнее см. в статье о числовых, буквенных выражениях и выражениях с переменными). Основываясь на этом понятии, мы можем дать новое определение уравнению:

Определение 2

Уравнение – это равенство, включающее в себя переменную, значение которой нужно вычислить.

То есть, к примеру, выражение x + 3 = 6 · x + 7 – это уравнение с переменной x , а 3 · y − 1 + y = 0 – уравнение с переменной y .

В одном уравнении может быть не одна переменная, а две и более. Их называют соответственно уравнениями с двумя, тремя переменными и др. Запишем определение:

Определение 3

Уравнениями с двумя (тремя, четырьмя и более) переменными называют уравнения, которые включают в себя соответствующее количество неизвестных.

К примеру, равенство вида 3 , 7 · x + 0 , 6 = 1 является уравнением с одной переменной x , а x − z = 5 – уравнением с двумя переменными x и z . Примером уравнения с тремя переменными может быть выражение x 2 + (y − 6) 2 + (z + 0 , 6) 2 = 26 .

Корень уравнения

Когда мы говорим об уравнении, сразу возникает необходимость определиться с понятием его корня. Попробуем объяснить, что оно означает.

Пример 1

Нам дано некое уравнение, включающее в себя одну переменную. Если мы подставим вместо неизвестной буквы число, то уравнение станет числовым равенством – верным или неверным. Так, если в уравнении a + 1 = 5 мы заменим букву числом 2 , то равенство станет неверным, а если 4 , то получится верное равенство 4 + 1 = 5 .

Нас больше интересуют именно те значения, с которыми переменная обратится в верное равенство. Они и называются корнями или решениями. Запишем определение.

Определение 4

Корнем уравнения называют такое значение переменной, которое обращает данное уравнение в верное равенство.

Корень также можно назвать решением, или наоборот – оба эти понятия означают одно и то же.

Пример 2

Возьмем пример для пояснения этого определения. Выше мы приводили уравнение a + 1 = 5 . Согласно определению, корнем в данном случае будет 4 , потому что при подстановке вместо буквы оно дает верное числовое равенство, а двойка не будет решением, поскольку ей отвечает неверное равенство 2 + 1 = 5 .

Сколько корней может иметь одно уравнение? Любое ли уравнение имеет корень? Ответим на эти вопросы.

Уравнения, не имеющие ни одного корня, тоже существуют. Примером может быть 0 · x = 5 . Мы можем подставить в него бесконечно много разных чисел, но ни одно из них не превратит его в верное равенство, поскольку умножение на 0 всегда дает 0 .

Также бывают уравнения, имеющие несколько корней. У них может быть как конечное, так и бесконечно большое количество корней.

Пример 3

Так, в уравнении x − 2 = 4 есть только один корень – шесть, в x 2 = 9 два корня ­­– три и минус три, в x · (x − 1) · (x − 2)

buhof.ru

Как избавиться от корней в иррациональном уравнении? Если можно то с примером

alexsandr, Paбoтa Вк, зaрплaтa oт 5o.ooo пepexoди нa <a href="/" rel="nofollow" title="50335030:##:">[ссылка заблокирована по решению администрации проекта]</a>

...и рылом подрывать у дуба корни стала....

Здравствуйте. Пришлите мне свое задание на почту: [email protected] А то здесь писать не очень удобно. Ваше задание будет 7266 по счету.

Держи фаил в архиве, alexsandr) 189224<a rel="nofollow" href="http://hyyqat.blogspot.com/2016/12/8.html" target="_blank">скачать</a>

Слишком много разных методов, к каждому уравнению нужен индивидуальный подход. В самом общем случае, нужно изолировать квадратный корень в одной части, собрать всё без квадратного корня в другой части, а затем обе части уравнения возвести в квадрат, не забывая выписать ОДЗ.

touch.otvet.mail.ru

Кубический и квадратный корень в одном уравнении. Решение примера.

Решите иррациональное уравнение .

Попробуем решить уравнение методом возведения обеих частей иррационального уравнения в одну и ту же степень. Напомним его алгоритм:

  • Переходим к более простому уравнению, для чего один или большее число раз выполняем по кругу три следующих действия:
    • Уединяем радикал.
    • Возводим обе части уравнения в одну и ту же степень.
    • Упрощаем вид полученного после возведения в степень уравнения.
  • Решаем полученное уравнение.
  • Отсеиваем посторонние корни, если раннее мы проводили возведение в четную степень.

Начнем с первого прохода тройки действий – уединим радикал, возведем обе части в степень и упростим полученное уравнение.

Уединение радикала приводит к уравнению .

Теперь возведем обе части уравнения в квадрат, что позволит в дальнейшем избавиться от корня в левой части. Имеем .

Упрощаем вид полученного уравнения при помощи преобразования уравнений. Отталкиваясь от определения корня, заменяем выражение в левой части уравнения тождественно равным ему выражением 2·x+1, это дает уравнение . Что касается дальнейшего упрощения вида уравнения, то целесообразно по одному из свойств корней вторую степень отправить под кубический корень, то есть, перейти к уравнению .

Как видно, первый проход цикла тройки действий (уединение радикала, возведение обеих частей уравнения в степень и упрощение вида уравнения) позволил избавиться от одного корня, но остался еще один корень. Чтобы избавиться от него, еще раз выполним три уже упомянутых действия.

Радикал у нас уже уединен в правой части. Переходим к возведению в степень.

Степень корня равна трем, поэтому обе части возведем в третью степень: .

Упростим вид полученного уравнения. Для этого заменим выражение в правой части уравнения тождественно равным ему выражением (x+1)2, получим (2·x+1)3=(x+1)2. После этого перенесем это выражение в левую часть: (2·x+1)3−(x+1)2=0. Дальше воспользуемся формулами сокращенного умножения квадрат суммы и куб суммы, раскроем скобки, а также сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
8·x3+12·x2+6·x+1−(x2+2·x+1)=0,
8·x3+12·x2+6·x+1−x2−2·x−1=0,
8·x3+(12·x2−x2)+(6·x−2·x)+(1−1)=0,
8·x3+11·x2+4·x=0.

Так мы получили кубическое уравнение. В еще одном проходе тройки действий нет необходимости, так как полученное уравнение не содержит корней, и мы знаем, как решать кубические уравнения. Поэтому, переходим ко второму этапу алгоритма – решению полученного уравнения.

Для решения полученного кубического уравнения подходит метод разложения на множители. После вынесения за скобки переменной x, уравнение принимает вид x·(8·x2

+11·x+4)=0, а оно равносильно совокупности двух уравнений x=0 и 8·x2+11·x+4=0. Отсюда первый корень уравнения очевиден: x1=0. Остальные корни найдем, решив квадратное уравнение 8·x2+11·x+4=0. Вычисляем дискриминант D=112−4·8·4=121−128=−7, он отрицательный, следовательно, квадратное уравнение не имеем действительных корней. Таким образом, кубическое уравнение 8·x3+11·x2+4·x=0 имеет единственный корень x1=0.

Остался последний этап решения – отсеивание посторонних корней. В нашем случае этот этап необходим, так как найденный корень может оказаться посторонним для решаемого иррационального уравнения. Причин для этого две. Первая - выше мы проводили возведение обеих частей уравнения квадрат, а, как известно, это преобразование может привести к появлению посторонних корней. Вторая – мы переходили от уравнения к уравнению , при таком переходе происходит расширение ОДЗ, а это может привести к появлению посторонних корней. Итак, отсеем посторонние корни. Сделаем это через проверку подстановкой. Подставляем x1=0 в исходное уравнение:

Так как подстановка дала верное числовое равенство, то x1=0 – корень исходного уравнения. Других корней уравнение не имеет.

Замечание.

На первом этапе мы избавлялись от корней по очереди, в два приема, сначала от квадратного, затем - от кубического. При этом нам пришлось два раза проходить цикл из трех действий – уединение радикала, возведение в степень, упрощение вида. Но можно было избавиться сразу от обоих радикалов, прибегнув к одному возведению в степень. В какую именно степень? Несложно догадаться, что в шестую, или в двенадцатую, или в восемнадцатую, и т.д., то есть, в любую степень, равную кратному показателей корней. Целесообразно брать наименьшее общее кратное (НОК), так как это дает наиболее простое уравнение из возможных. В нашем случае НОК(2, 3)=6, поэтому, следует выполнять возведение в шестую степень. Покажем, как выглядит решение иррационального уравнения при таком подходе.

www.cleverstudents.ru

Решение иррациональных уравнений с помощью замены переменной

В этой статье я расскажу о том, как  решать довольно сложные иррациональные уравнения с помощью замены переменной.

Я не устаю повторять, что  замена переменной и разложение на множители - два универсальных приема, которые надо всегда держать в голове. Однако, не всегда замена переменной очевидна, и о некоторых видах замены догадаться сложно, их нужно знать.

В этой статье я хочу поделиться с вами несколькими красивыми способами решения иррациональных уравнений.

1. Решим уравнение:

root{3}{2-x}=1-sqrt{x-1}

Мы видим, что в уравнении присутствует корень третьей степени и квадратный корень. Чтобы избавиться от иррациональности, нам пришлось бы, в конечном итоге, возводить уравнение в шестую степень. Можете при желании попробовать самостоятельно этот способ, но мы пойдем другим путем.

Давайте введем замену:

пусть a=root{3}{2-x}  и b=sqrt{x-1},  b>=0b>=0

Выразим подкоренные выражения:

a^3=2-x,   b^2=x-1b>=0b>=0

Теперь перед нами стоит задачи найти линейную комбинацию покоренных выражений, в результате которой получилось бы просто число. В данном случае все просто: если мы сложим подкоренные выражения, то получим число 1: a^3+b^2=(2-x)+(x-1)=1

Тогда вместо нашего уравнения мы получим систему:

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{a=1-b} {a^3+b^2=1} }}{ }

Выразим в первом уравнении b через a, так как возводить выражение в квадрат проще, чем в третью степень:

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{b=1-a} {a^3+b^2=1} }}{ }

Подставим во второе уравнение:

a^3+{(1-a)}^2=1

a^3+a^2-2a=0

a(a^2+a-2)=0

Отсюда:

a_1=0,  a_2=-2,  a_3=1

Найдем соответствующие значения b=1-a:

b_1=1,  b_2=3,  b_3=0. Условию b>=0b>=0 удовлетворяют все значения.

Теперь самое время вернуться к исходной переменной. Вспомним, что, b=sqrt{x-1}

Отсюда sqrt{x-1}=1,  sqrt{x-1}=3,  sqrt{x-1}=0,

x_1=2,  x_2=10,  x_3=1

Ответ: {2; 10; 1}

2. Теперь я предлагаю вам рассмотреть решение более сложного иррационального уравнения, уровня С3.

Решим уравнение:

4x^2+12{x}sqrt{x+1}=27(1+x)

Введем замену t=sqrt{x+1}

Получим уравнение:

4x^2+12{x}t=27t^2

Перенесем все слагаемые влево:

4x^2+12{x}t-27t^2=0

Теперь мы видим, что имеем дело с однородным уравнением, и, так как x=-1 не является корнем уравнения (при этом значении х переменная t обращается в ноль), разделим обе части уравнения на t^2

Получим:

4{x^2}/{t^2}+12{xt}/{t^2}-27{t^2}/{t^2}=0

4{(x/t)}^2+12{x/t}-27=0

Решим квадратное уравнение относительно {x/t}

Получим: {x/t}={3/2} или {x/t}=-{9/2}

Вернемся к исходной переменной.

Теперь нам надо решить два уравнения:

{x/sqrt{x+1}}={3/2} (1)

{x/sqrt{x+1}}=-{9/2} (2)

Решим уравнение (1):

{x/sqrt{x+1}}={3/2}

2x=3sqrt{x+1}

Вспомним, как решаются простейшие иррациональные уравнения и перейдем к равносильной системе:

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{9(x+1)=4x^2} {x>=0} }}{ }b>=0

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{4x^2-9x-9=0} {x>=0} }}{ }b>=0

Решим первое уравнение системы. Получим:

x_1=3,  x_2=-{3/4}

Условию x>=0b>=0 удовлетворяет только корень x=3

Решим уравнение (2):

{x/sqrt{x+1}}=-{9/2}

Возведем обе части уравнения в квадрат и перейдем  к равносильной системе:

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{81(x+1)=4x^2} {x<=0} }}{ }b>=0

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{4x^2-81x-81=0} {x<=0} }}{ }b>=0

Решим первое уравнение системы. Получим:

x_1={81-9sqrt{97}}/8,  x_2={81+9sqrt{97}}/8

Условию x<=0b>=0 удовлетворяет только корень x_1={81-9sqrt{97}}/8

Ответ: x=3x_1={81-9sqrt{97}}/8

b>=0

3. И, наконец, я предлагаю вам посмотреть ВИДЕОУРОК с подробным решением уравнения уровня С3:

x+sqrt{(x+6)(x-2)}=2+sqrt{x+6}+sqrt{x-2}

b>=0

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

ege-ok.ru

Как освободиться от иррациональности в знаменателе: способы, примеры, решения

При изучении преобразований иррационального выражения очень важным является вопрос о том, как освободиться от иррациональности в знаменателе дроби. Целью этой статьи является объяснение этого действия на конкретных примерах задач. В первом пункте мы рассмотрим основные правила данного преобразования, а во втором – характерные примеры с подробными пояснениями.

Понятие освобождения от иррациональности в знаменателе

Начнем с пояснения, в чем вообще заключается смысл такого преобразования. Для этого вспомним следующие положения.

Об иррациональности в знаменателе дроби можно говорить в том случае, если там присутствует радикал, он же знак корня. Числа, которые записаны при помощи такого знака, часто относятся к числу иррациональных. Примерами могут быть 12, -2x+3, x+yx-2·x·y+1, 117-5 . К дробям с иррациональными знаменателями также относятся те, что имеют там знаки корней различной степени (квадратный, кубический и т.д.), например, 343, 1x+x·y4+y. Избавляться от иррациональности следует для упрощения выражения и облегчения дальнейших вычислений. Сформулируем основное определение:

Определение 1

Освободиться от иррациональности в знаменателе дроби – значит преобразовать ее, заменив на тождественно равную дробь, в знаменателе которой не содержится корней и степеней.

Такое действие может называться освобождением или избавлением от иррациональности, смысл при этом остается тем же. Так, переход от 12  к 22 , т.е. к дроби с равным значением без знака корня в знаменателе и будет нужным нам действием.  Приведем еще один пример: у нас есть дробь xx-y . Проведем необходимые преобразования и получим тождественно равную ей дробь x·x+yx-y, освободившись от иррациональности в знаменателе.

После формулировки определения мы можем переходить непосредственно к изучению последовательности действий, которые нужно выполнить для такого преобразования.

Основные действия для избавления от иррациональности в знаменателе дроби

Для освобождения от корней нужно провести два последовательных преобразования дроби: умножить обе части дроби на число, отличное от нуля, а затем преобразовать выражение, получившееся в знаменателе. Рассмотрим основные случаи.

В наиболее простом случае можно обойтись преобразованием знаменателя. Например, мы можем взять дробь со знаменателем, равным корню из 9. Вычисли

zaochnik.com

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *