свойства, как найти, способы решения задач на построение

У равнобедренного треугольника 2 равных по длине стороны. Каждая из них — боковая сторона равнобедренного треугольника, а третья будет основанием. Их часто просят найти при решении различных задач в геометрии. Зная основные способы решения, формулы, теоремы и свойства геометрической фигуры, учащийся может легко справиться с предложенным заданием.

Основные свойства

Свойства основания равнобокого треугольника применяются на практике. Фигуру будет проще воспринимать визуально, если расположить чертеж таким образом, чтобы основание располагалось снизу.

Принято считать, что равносторонний треугольник — это частный случай равнобедренного. Каждая его сторона может считаться и основанием, и боковой.

Помимо равенства боковых сторон, при решении задач используют совпадение биссектрисы с высотой. Решить задание, как найти основание равнобедренного треугольника, зная боковые стороны,

невозможно в следующих случаях:

1. Известно лишь основание или углы.
2. По условию дана только величина характеризующих отрезков — биссектрисы, высоты.

А также решение задачи невозможно, если заданы только две боковые стороны. В остальных случаях найти решение можно, даже если известен только один угол или площадь.

Важная теорема

Для решения задач на построение, когда задана боковая сторона треугольника, используется теорема, связанная с высотой. Применяется она и для медианы с биссектрисой.

Ее суть в следующем:

1. Биссектриса, которая проведена к основанию, будет не только высотой. Она считается и медианой.
2. Высота, проведенная к основанию, не только медиана. А также она может быть названа биссектрисой.
3. Медиана, которая проведена к основанию, будет не только высотой, но и биссектрисой.

Теорема доказывается следующим образом: если в заданном треугольнике ABC из точки B провести высоту BD, он будет разделен на треугольники ABD и CBD. Помимо общего катета, у них равны гипотенузы. Что касается прямых AC и BD, они будут перпендикуляром.

Получается, что в ABD и CBD углы BAD и BCD, а также AB и BC равны. А также — AD и CD. Следовательно, фигуры равны, а BD считается как высотой, так и медианой и биссектрисой.

Полезные формулы

Когда по условию не даны углы, но известны все стороны, поможет формула для косинусов: cos A = (b² + с² — а²)/ 2bc = (b² + a² — а²)/2ba = b²/2ba = b/2a. При этом cos В = (а² + а² — b²)/ 2bc = (b² + a² — а²)/2а² = (2 a² — b²)/2а².

Медиана вычисляется по следующей формуле: √(2 a² + 2b² — а²)/2 = √(a² + 2b²)/2. Биссектрису можно вычислить с помощью формулы √ ab (2a+b)(a+b-a)/(a+b) = b√ a (2a+b)/(a+b).

Средняя линия, параллельная основанию равнобедренного треугольника, считается равной его половине. Равны между собой и средние линии, которые параллельны его боковым сторонам.

Если необходимо вычислить радиус описанной вокруг равнобедренного треугольника окружности, используется формула R = a²/√(4а² — b²). Когда окружность вписана в фигуру действует формула r= b/2√(2a-b)/(2a+b).

Примеры решения задач

Вот примеры заданий, как узнать боковую сторону равнобедренного треугольника АВС. Так, если основание АС = 8 см, а опущенная на его середину высота (являющаяся медианой) BH =3 см, то AH = AC = 4 см. По теореме Пифагора боковая сторона AB = √ AH ² + BH ² = √ 16+9 = √25 = 5 см.

Можно привести и следующий пример задачи. Если площадь равнобедренного треугольника АВС = 40√ 3 см², а углы при основании (A и C) = 30°, угол B будет равен 180° — 2 * ∠АС = 180° — 2 * 30° = 120°.

В этом случае действует формула S = ½ АВ*АС * sin ∠B = ½ * AB ² * sin 120° = 40√ 3 см². Значит, AB ² = 2*40√ 3/ sin 120 = 80 √ 3:√ 3/2 = 160. Тогда АВ = 4√ 10 см.

Еще пример задачи — если боковая сторона равна 1, а угол при вершине 120°, диаметр окружности, описанной вокруг него, можно найти так: угол при основании будет равен (180−120)/2, то есть 30°. В таком случае диаметр будет 1/sin 30° = 2 см.

Задачи, связанные с нахождением боковой стороны треугольника, часто встречаются в геометрии. Для их решения необходимо знать перечисленные формулы и свойства.

Как найти основание в равнобедренном прямоугольном треугольнике?

Если известны катеты равнобедренного прямоугольного треугольника, то по теореме Пифагора с^2=a^2+в^2, а=в с^2=2*a^2 с=а*(корень из 2) То есть в прямоугольном равнобедренном треугольнике гипотенуза больше катета всегда в корень из 2 раз. Катет, соответственно, меньше гипотенузы тоже в корень из двух раз. Гипотенуза и является основанием в таком треугольнике.

Легко. У равнобедренного треугольника две стороны равны. ТРетья сторона и будет основанием. Если же равны все три стороны, то основанием может быть любая из сторон.

Бооольшая сторона=))

В равнобедренном прямоугольном треугольнике катеты равны. А основанием может являться любая сторона ( по вашему выбору!) . Другое дело, найти гипотенузу : c=(a^2+b^2)^0,5. a=b; c=a*(2^0,5).

если прямой угол будет в вершине 🙂 то основание есть две высоты

Смотря какие условия даны в задаче. Основанием в равнобедренном прямоугольном треугольнике является гипотенуза с. Которую можно найти из теоремы Пифагора, если известна длина катета а : с^2=2*a^2.

В равнобедренном прямоугольном треугольнике основанием может являться только гипотенуза. Определение равнобедренного треугольника: Треугольник называется равнобедренным, если у него две стороны равны. Эти стороны называются боковыми, а третья сторона – основанием . В прямоугольном треугольнике равными могут быть только катеты, поэтому основание это гипотенуза. А найти ее можно исходя из того что тебе дано. Если два катета, то по теореме Пифагора, если катет и острый угол, то через соотношения в прямоугольном треугольнике.

как найти боковую сторону равнобедренного треугольника, зная что его основание=8200 и углы при основании=45градусов?

Запросто. Во-первых, треугольник прямоугольный, так как углы при основании равны 45 градусам. Стало быть боковая сторона — это катет, а основание — гипотенуза. длина катета равна cos (45) * 8200 = sqrt(2)*8200/2 = sqrt(2)*4200, тк 8200 — длина гипотенузы. sqrt — квадратный корень Мое решение станет нагляднее если все нарисовать на бумаге. Вуаля, задача решена!

попробуй через тригонометрические функции

Проведи высоту треугольник . Она будет медианой и бисектрисой. Медиана делит основу пополам 4100- половина медианы. Теперь рассмотрим треугольни что получился . Он равнобедреный (углы по 45 градусов равные) Значит высота рона половине основы . теперь за теоремой Пифагора

Как найти стороны равнобедренного треугольника если известно его основание (оно равно 6) ?

По основному свойству треугольника (сумма углов любого треугольника равна 180 градусов) определяем третий угол. Он равен 180 — (45 + 45) = 90 градусов. Треугольник прямоугольный. Известная сторона лежит против прямого угла — это гипотенуза. Длины двух других сторон — катетов. Каждый катет равен гипотенузе, умноженной на синус противолежащего угла, т.е. по 6*sqrt(2)/2 = 3sqrt(2). Задача решена — стороны найдены. В общем случае тут следует использовать теорему синусов: стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов. Это помогает и в случае, если треугольник не является ни прямоугольным, ни равнобедренным (если известны только сторона и два прилежащих к ней угла).

При углах 45 град= это уже равноБЕДРЕННЫЙ треугольник.. . у которого верхний угол= 90 градусов… т. е. -ПРЯМОугольный… и РАВНОбедренный….

вопрос неполный. В условиях должнен присутствовать ещё один параметр-высота либо угол-иначе задача нерешаема