Как определить степень уравнения.
ЦЕЛЬ:1) Познакомить учащихся с понятием «уравнение с двумя переменными»;
2) Научить определять степень уравнения с двумя переменными;
3) Научить определять по заданной функции, какая фигура является графиком
данного уравнения;
4) Рассмотреть преобразования графиков с двумя переменными;
заданному уравнению с двумя переменными, используя программу Agrapher ;
6) Развивать логическое мышление учащихся.
I.Новый материал — объяснительная лекция с элементами беседы.
(лекцияпроводится с использованием авторских слайдов; построение графиков выполнено в программе Agrapher)
У: При изучении линий возникают две задачи:
По геометрическим свойствам данной линии найти её уравнение;
Обратная задача: по заданному уравнению линии исследовать её геометрические свойства.
Первую задачу мы рассматривали в курсе геометрии применительно к окружности и прямой.
Сегодня мы будем рассматривать обратную задачу.
Рассмотрим уравнения вида:
а) х(х-у)=4; б) 2у-х 2 =-2 ; в) х(х+у 2 ) = х +1 .
– это примеры уравнений с двумя переменными.
Уравнения с двумя переменными х и у имеет вид f(x,y)=(x,y) , где f и – выражения с переменными х и у.
Если в уравнении х(х-у)=4 подставить вместо переменной х её значение -1, а вместо у – значение 3, то получится верное равенство: 1*(-1-3)=4,
Пара (-1; 3) значений переменных х и у является решением уравнения х(х-у)=4 .
То есть решением уравнения с двумя переменными называют множество упорядоченных пар значений переменных, образующих это уравнение в верное равенство.
Уравнения с двумя переменными имеет, как правило, бесконечно много решений. Исключения составляют, например, такие уравнения, как х 2 +(у 2 — 4) 2 = 0 или
2х 2 + у 2 = 0 .
Первое из них имеет два решения (0; -2) и (0; 2), второе – одно решение (0;0).
Уравнение х 4 + у 4 +3 = 0 вообще не имеет решений. Представляет интерес, когда значениями переменных в уравнении служат целые числа. Решая такие уравнения с двумя переменными, находят пары целых чисел. В таких случаях говорят, что уравнения решено в целых числах.
Два уравнения, имеющие одно и тоже множество решений, называют равносильными уравнениями . Например, уравнение х(х + у 2) = х + 1 есть уравнение третьей степени, так как его можно преобразовать в уравнение ху 2 + х 2 — х-1 = 0, правая часть которого – многочлен стандартного вида третьей степени.
Степенью уравнения с двумя переменными, представленного в виде F(х, у) = 0, где F(х,у)-многочлен стандартного вида, называют степень многочлена F(х, у).
Если все решения уравнения с двумя переменными изобразить точками в координатной плоскости, то получится график уравнения с двумя переменными.
Графиком уравнения с двумя переменными называется множество точек, координаты которых служат решениями этого уравнения.
Так, график уравнения ax + by + c = 0 представляет собой прямую, если хотя бы один из коэффициентов a или b не равен нулю(рис.1) . Если a = b = c = 0 , то графиком этого уравнения является координатная плоскость(рис.2) , если же a = b = 0 , а c0 , то графиком является пустое множество(рис.3) .
График уравнения y = a х 2 + by + c представляет собой параболу(рис.4), график уравнения xy=k (k0) – гиперболу(рис.5) . Графиком уравнения х 2 + у 2 = r , где x и y – переменные, r – положительное число, является окружность с центром в начале координат и радиусом равнымr (рис.6). Графиком уравнения является эллипс , где a и b – большая и малая полуоси эллипса (рис.7).
Построение графиков некоторых уравнений облегчается использованием их преобразований. Рассмотрим преобразования графиков уравнений с двумя переменными и сформулируем правила, по которым выполняются простейшие преобразования графиков уравнений
1) График уравнения F (-x, y) = 0 получается из графика уравнения F (x, y) = 0 с помощью симметрии относительно оси у.
2) График уравнения F (x, -y) = 0 получается из графика уравнения F (x, y) = 0 с помощью симметрии относительно оси х .
3) График уравнения F (-x, -y) = 0 получается из графика уравнения F (x, y) = 0 с помощью центральной симметрии относительно начала координат.
4) График уравнения F (x-а, y) = 0 получается из графика уравнения F (x, y) = 0 с помощью перемещения параллельно оси х на |a| единиц (вправо, если a > 0, и влево, если а
5) Графи
Определите степень уравнения — математика, прочее
Степень уравнения — это максимальный или наибольший показатель степени переменной, присутствующей в уравнении. Чтобы ее определить, достаточно обратить внимание на значение степеней имеющихся переменных. Максимальная величина и определяет степень уравнения.
Просмотр содержимого документа
«Определите степень уравнения»
Как определить степень уравнения
Уравнение представляет собой математическое соотношение, которое отражает равенство двух алгебраических выражений. Чтобы определить его степень, необходимо внимательно посмотреть на все присутствующие в нем переменные.
Инструкция
1
Решение любого уравнения сводится к нахождению таких значений переменной х, которые после подстановки в исходное уравнение дают верное тождество — выражение, не вызывающее никаких сомнений.
2
Степень уравнения — это максимальный или наибольший показатель степени переменной, присутствующей в уравнении. Чтобы ее определить, достаточно обратить внимание на значение степеней имеющихся переменных. Максимальная величина и определяет степень уравнения.
3
Уравнения бывают разных степеней. К примеру, линейные уравнения вида ax+b=0 имеют первую степень. В них присутствуют только неизвестные в названной степени и числа. Важно отметить отсутствие дробей с неизвестной величиной в знаменателе. Любое линейное уравнение сводится к изначальному виду: ax+b=0, где b может являться любым числом, а a — любым, но не равным 0. Если вы привели запутанное и длинное выражение к надлежащему виду ax+b=0, можно с легкостью найти не более одного решения.
4
5
Существует также и третья группа уравнений, которая называется дробными рациональными уравнениями. Если в исследуемом уравнении присутствуют дроби с переменной в знаменателе, то это уравнение — дробное рациональное или же просто дробное. Чтобы найти решения таких уравнений, надо всего лишь уметь с помощью упрощений и преобразований сводить их к рассмотренным двум известным типам.
6
Все остальные уравнения составляют четвертую группу. Их больше всего. Сюда входят и кубические, и логарифмические, и показательные, и тригонометрические их разновидности.
7
Решение кубических уравнений состоит также в упрощении выражений и нахождении не более 3 корней. Уравнения, имеющие более высокую степень, решаются разными способами, в том числе и графическим, когда на основе известных данных рассматриваются построенные графики функций и отыскиваются точки пересечений линий графиков, координаты которых и являются их решениями.
Как определить степень уравнения
Уравнение представляет собой математическое соотношение, которое отражает равенство двух алгебраических выражений. Чтобы определить его степень, необходимо внимательно посмотреть на все присутствующие в нем переменные.
Решение любого уравнения сводится к нахождению таких значений переменной х, которые после подстановки в исходное уравнение дают верное тождество — выражение, не вызывающее никаких сомнений.
Степень уравнения — это максимальный или наибольший показатель степени переменной, присутствующей в уравнении. Чтобы ее определить, достаточно обратить внимание на значение степеней имеющихся переменных. Максимальная величина и определяет степень уравнения.
Уравнения бывают разных степеней. К примеру, линейные уравнения вида ax+b=0 имеют первую степень. В них присутствуют только неизвестные в названной степени и числа. Важно отметить отсутствие дробей с неизвестной величиной в знаменателе. Любое линейное уравнение сводится к изначальному виду: ax+b=0, где b может являться любым числом, а a — любым, но не равным 0. Если вы привели запутанное и длинное выражение к надлежащему виду ax+b=0, можно с легкостью найти не более одного решения.
Если в уравнении есть неизвестное во второй степени, оно является квадратным. Кроме того, в нем могут быть и неизвестные в первой степени, и числа, и коэффициенты. Но в таком уравнении отсутствуют дроби с переменной в знаменателе. Любое квадратное уравнение, подобно линейному, сводится к виду: ax^2+bx +c=0. Здесь a, b и с – любые числа, при этом число a не должно быть равным 0. Если, упрощая выражение, вы обнаружили уравнение вида ax^2+bx+c=0, дальнейшее решение довольно простое и предполагает не более двух корней. В 1591 году Франсуа Виет вывел формулы для нахождения корней квадратных уравнений. А Евклид и Диофант Александрийский, Аль-Хорезми и Омар Хайям использовали геометрические способы нахождения их решений.
Существует также и третья группа уравнений, которая называетсядробными рациональными уравнениями. Если в исследуемом уравнении присутствуют дроби с переменной в знаменателе, то это уравнение — дробное рациональное или же просто дробное. Чтобы найти решения таких уравнений, надо всего лишь уметь с помощью упрощений и преобразований сводить их к рассмотренным двум известным типам.
Все остальные уравнения составляют четвертую группу. Их больше всего. Сюда входят и кубические, и логарифмические, и показательные, и тригонометрические их разновидности.
Решение кубических уравнений состоит также в упрощении выражений и нахождении не более 3 корней. Уравнения, имеющие более высокую степень, решаются разными способами, в том числе и графическим, когда на основе известных данных рассматриваются построенные графики функций и отыскиваются точки пересечений линий графиков, координаты которых и являются их решениями.
ПОНЯТИЕ ЦЕЛОГО УРАВНЕНИЯ И ЕГО СТЕПЕНИ
Понятие целого уравнения и его степени
Цели: ввести понятие целого уравнения и его степени; формировать умение определять степень целого уравнения и решать целые уравнения не выше второй степени.
Ход урока
I. Организационный момент.
II. Устная работа.
Определите, сколько корней имеет уравнение:
а) 2х + 1 = 0; д) 3х + 1 = 5 + 3х;
б) х2 – 5 = 0; е) х2 + 2х + 1 = 0;
в) х5 + 1 = 0; ж) х2 + х + 10 = 0;
г) х6 + 2 = 0; з) 1 – 4х = 1 – 4х.
III. Объяснение нового материала.
На этом уроке достаточно ввести понятие целого уравнения и его степени; рассмотреть примеры приведения целого уравнения к виду Р (х) = 0, где Р (х) – многочлен; обратиться к решению целых уравнений первой и второй степени. Вопрос о методах решения целых уравнений выше второй степени целесообразно изучить на следующем уроке.
Объяснение проводится по следующей с х е м е:
1. В в е д е н и е п о н я т и я целого уравнения.
После формирования определения данного понятия необходимо дать учащимся задание на распознавание целых уравнений.
З а д а н и е. Какие из следующих уравнений являются целыми? Ответ объясните.
а) х4 + 2х3 – 7 = 0; г) 
– 5х3 = 0;
б) 4х10 = 0,7х8; д) 
;
в) (х – 1) (3х2 + 5) = х4 + 2; е) 
= 0.
2. В в е д е н и е п о н я т и я степени целого уравнения.
После введения данного понятия дать учащимся задание на определение степени целого уравнения.
З а д а н и е. Какова степень уравнения:
а) 2х5 + 4х – 3 = 0; г) 
– 5х = 7;
б) 
х7 + 5х = 0; д) (2х + 1) (х – 7) – х = 0;
в) 
х11 = х3; е) 5х2 – 4х2 (1 – х) = 0?
3. Р а с с м о т р е н и е р е ш е н и я линейных и квадратных уравнений как целых уравнений первой и второй степени соответственно.
Необходимо, чтобы учащиеся осознали следующее:
1) изученные ранее линейные и квадратные уравнения являются целыми уравнениями первой и второй степени соответственно;
2) уравнение первой степени может иметь не более одного корня;
3) уравнение второй степени может иметь не более двух корней.
IV. Формирование умений и навыков.
На этом уроке учащиеся выполняют задания на определение степени целого уравнения и приведение целых уравнений к виду Р (х) = 0. Для решения нужно предлагать им уравнения не выше второй степени.
Упражнения:
1. Приведите уравнение к виду Р (х) = 0 и определите его степень:
а) 2х (1 – 3х) + (х + 4) (х2 – 1) = 0;
б) (х3 – 2) (1 + 3х2) – 3 (х4 – 1) = 5;
в) (х – 1) (х + 2) (х – 3) = х – 4х2 (2 – х5).
2. Какие из следующих чисел –3; –2; –1; 0; 1; 2; 3 являются корнями уравнения:
а) х3 – 4х = 0;
б) х2 (х + 1) + (х + 4) = 4;
в) х4 – 5х2 + 4 = 0?
3. № 266 (а, в), № 267 (б, г).
4. № 268.
Р е ш е н и е
5х6 + 6х4 + х2 + 4 = 0.
Выражения 5х6, 6х4 и х2 могут принимать только неотрицательные значения при любых значениях х. Поэтому выражение 5х6 + 6х4 + х2 + 4 при любых значениях х принимает только положительные значения, а значит, не может быть равно нулю, то есть уравнение 5х6 + 6х4 + х2 + 4 = 0 не имеет решений.
Д о п о л н и т е л ь н о: № 270.
Р е ш е н и е
Пусть ребро куба равно х см, тогда его объем равен х3 см3. Если увеличить ребро куба на 3 см, то оно станет равно (х + 3) см, а объем куба будет равен (х + 3)3 см3.
Составим и решим уравнение:
(х + 3)3 = х3 + 513;
х3 + 9х2 + 27х + 27 = х3 + 513;
9х2 + 27х – 486 = 0;
х2 + 3 х – 54 = 0;
х = 6;
х = – 9 – не удовлетворяет условию задачи.
О т в е т: 6 см.
V. Итоги урока.
В о п р о с ы у ч а щ и м с я:
– Какое уравнение называется целым?
– Что такое степень целого уравнения?
– Какова степень уравнения 2х3 – 5 + х6 = 0?
– Сколько корней может иметь целое уравнение первой степени? второй степени?
Домашнее задание: № 266 (б ( 1 вариант), г(2 вариант)), № 267 (а, в), № 269.
Конспект урока по алгебре по теме Целое уравнение и его корни»
Урок изучения нового материала в 9 классе
Целое уравнение и его корни
1. Тип урока. Урок изучения нового материала
3. Задачи урока.
дать понятие целого уравнения и его степени;
научить приёму решения уравнений 3-й степени;
создать условия для самооценки своих возможностей, атмосферу заинтересованности каждого ученика в результатах деятельности;
развивать познавательную активность, навыки индивидуальной и самостоятельной работы.
Цели урока: углубить знания учащихся по решению уравнений с одной переменной, научить применять их в нестандартных ситуациях .
Оргмомент. Постановка целей и задач урока.
Ребята, уравнение- самая простая и распространённая задача математики, решение которых известно с древних времён, и у вас есть опыт решения уравнений разных типов, и нам нужно привести свои знания в порядок, разобраться в приёмах решения нестандартных уравнений.
Сегодняшняя цель нашего урока: систематизировать , обобщить, расширить, углубить ваши знания по решению уравнений с одной переменной, научиться применять их в нестандартных ситуациях .
И пусть девизом нашего урока служат слова:
«Чем больше я знаю, тем больше я умею»
II. Проверка домашнего задания.
Ребята, дома вы повторили тему : «Уравнение и способы их решения».
1) Ответить на вопрос: Что называется уравнением?
Что называется корнем уравнения?
Что значит решить уравнение?
2) найти корни следующих уравнений:
I вариант
II вариант
III вариант
x2-5x+6=0
y2-4y+7=0
x2-12x+36=0
Д=1, Д>0
Д=-12, Д<0
Д=0, 1 корень
x1=2, x2=3
нет корней
x=6
Определите признак, который объединяет эти уравнения? (целые)
III. Актуализация опорных знаний.
1) ответить на вопросы: какое уравнение называется целым?
Как определить степень уравнения?
Какие виды целых уравнений вам знакомы?
Вспомните способы решения этих уравнений?
Запишите стандартный вид линейного уравнения и его решения.
Запишите стандартный вид квадратного уравнения.
Таким образом, уравнения 1 и 2 степени мы решаем с помощью формул.
I
V. Изучение нового материала.
Уравнение 3 степени можно привести к виду , а
уравнение 4 степени к виду и т.д., где a, b. c, d, e –некоторые числа. Для этих уравнений тоже существуют формулы для вычисления корней, но они сложные и неудобные для практического применения, а для уравнений 5 и более высоких степеней общих формул корней не существует.
Поэтому встаёт вопрос о решении таких уравнений каким-то другим способом, без применения формул.
Попытаемся найти «ключики» к решению нестандартных уравнений
Найти корни уравнения
как бы вы начали решать это уравнение?
1)Разложить многочлен в левой части на множители
2) использовать свойство равенства произведения 0:
П
роизведение равно 0, если хотя бы один из множителей равен 0, т.е оформим решение уравнения:
2. Самостоятельно решить следующее уравнение:
3.А теперь внимательно посмотрим на такое уравнение:
В этом уравнении также можно левую часть разложить на множители, используя способ группировки.
Как же можно назвать метод решения этих уравнений?
(Метод разложения на множители)
4.Решить уравнение:
Ваши предложения по его решению?
(Предлагают раскрыть скобки).
Найти решение такого уравнения довольно сложно.
Каковы особенности данного уравнения?
(выражение 
встречается в уравнении дважды:, т.е. это выражение можно
обозначить другой переменной, например у, 
Получим новое уравнение:
Вернёмся к обозначению, получим:
1
) 2)
Корней нет ответ:-1;6
(Что мы сделали для решения?)
(Ввели новую переменную).
Поэтому этот метод и назовем метод введения новой переменной.
Метод введения новой переменной можно применять для многих типов уравнений.
5.Метод введения новой переменной позволяет легко решать трёхчленные уравнения четвёртой степени: вида
На какое известное уравнение похоже данное? (на квадратное, относительно 
)
Такие уравнения называются биквадратными.
Обозначим 
. Получаем уравнение 
Например:
6) Можно выделить целую группу уравнений, которые ни одним из рассмотренных методов не решаются.
И тогда на помощь приходят другие способы решения, которые мы будем рассматривать при дальнейшем изучении нашего предмета.
V. Релаксация.
Рисуй глазами треугольник.
Теперь его переверни
Вершиной вниз.
И вновь глазами
ты по периметру веди.
Рисуй восьмерку вертикально.
Ты головою не крути,
А лишь глазами осторожно
Ты вдоль по линиям води.
И на бочок ее клади.
Теперь следи горизонтально,
И в центре ты остановись.
Зажмурься крепко, не ленись.
Глаза открываем мы, наконец.
Зарядка окончилась.
Ты – молодец!
VI. Закрепление изученного материала №272(б), 276(а), 278(а) по учебнику
VII. Подведение итогов урока.
«Решение уравнений, содержащих степени с натуральным показателем»
В седьмом классе при изучении темы «Степень и ее свойства» можно один из уроков посвятить изучению показательных уравнений. Задания в учебнике, несмотря на их разнообразие, направлены в основном на механическую отработку свойств степени и о практическом применении нет речи. Познавательная активность в этом возрасте достаточно высока, и поэтому тема вводится легко. Разумеется, мы не будем называть уравнения показательными, а назовем урок «Решение уравнений, содержащих степени с натуральным показателем».
Ход урока
I. Ребята, сегодня вы сами определите тему урока, а для этого выполним следующее задание:
На доске записаны следующие степени:
Ребята, ответьте на вопрос: Какие свойства степени здесь перечислены?
Ученики называют свойства, которые параллельно оформляются на доске.
На доске появляется следующая таблица:
А теперь внимательно посмотрите на первую и вторую строку каждого столбца и назовите сходства и различия этих выражений.
Общее: в каждом из столбцов записано одно и то же свойство степени.
Различия: в первых строках переменная находится в показатели степени, во-вторых — в основании.
Вывод: при записи степени неизвестное может находиться как в показателе степени, так и в основании.
Ребята, ответьте на вопрос: что произойдет, если степень, содержащую переменную, прировнять к числу?
Получим равенство, содержащее переменную.
А как называют равенство, содержащее переменную?
Уравнение.
Рассмотрим следующие уравнения:
1). 4х = 42
Какое условие необходимо, чтобы равенство стало верным?
Чтобы показатели степени были равны.
Следовательно, х = 2.
2). х3 = 73
Когда такое равенство будет верным?
Когда основания степени равны.
Следовательно, х = 7.
На основании данных примеров, мы можем сделать вывод, что степени аm = bn, при условии, что основания этих степеней равны, т.е. a = b и показатели их тоже равны, т.е. m = n.
Ребята, открывайте тетради, записывайте число и оставьте строчку для записи темы.
Продолжаем работать с таблицей.
Используя свойства степени, решим каждое уравнение.
Решение уравнений происходит в форме соревнования: первый, правильно решивший уравнение, записывает его решение на доске.
Итак, ребята, чем мы занимались на этом уроке?
Решали уравнения, содержащие степень.
А теперь, давайте попробуем сформулировать тему сегодняшнего урока.
Запишем ее в тетрадь.
Решим следующие уравнения (с последующей проверкой на доске):
1. 2.
Ответ х=3; Ответ х=36.
Уравнения для самостоятельной работы учащихся:
х4=52·52;
(22)х=16;
ах=а4·а2;
(с2)х=с8:с2;
2n·3n=6;
(3n)2=36.
Подводится итог урока.
Домашнее задание дается в следующей форме: ребята получают работу с готовым решением и оценкой, они должны самостоятельно найти ошибку и исправить ее. Примеры заданий:
В – 1 |
В — 2 а)81к4=38 |
В – 3 а)120·5n-100·5n=500 |
б)х3·х2=32 |
||
|
оценка 3 |
в) 2n+7:2n+3=(2n+1)2 оценка 3 |
в)3m+1·243=3 оценка 3 |