Как разложить число на простые множители
Любое составное число можно разложить на простые множители. Способов разложения может быть несколько. При любом способе получается один и тот же результат.
Как разложить число на простые множители наиболее удобным способом? Рассмотрим, как это лучше сделать, на конкретных примерах.
Примеры. 1) Разложить число 1400 на простые множители.
1400 делится на 2. 2 — простое число, раскладывать его на множители не нужно. Получаем 700. Делим его на 2. Получаем 350. 350 тоже делим на 2. Полученное число 175 можно разделить на 5. Результат — з5 — еще раз делим на 5. Итого — 7. Его можно разделить только на 7. Получили 1, деление окончено.
Это же число можно разложить на простые множители иначе:
1400 удобно разделить на 10. 10 не является простым числом, поэтому его нужно разложить на простые множители: 10=2∙5. Результат — 140. Его снова делим на 10=2∙5. Получаем 14. Если 14 разделить на 14, то его тоже следует разложить на произведение простых множителей: 14=2∙7.
Таким образом, снова пришли к такому же, как и в первом случае, разложению, но быстрее.
Вывод: не обязательно при разложении числа делить его только на простые делители. Делим на то, что удобнее, например, на 10. Надо только составные делители не забыть разложить на простые множители.
2) Разложить число 1620 на простые множители.
Число 1620 удобнее всего разделить на 10. Поскольку 10 простым числом не является, представляем его в виде произведения простых множителей: 10=2∙5. Получили 162. Его удобно разделить на 2. Результат — 81. Число 81 можно разделить на 3, но на 9 — удобнее. Так как 9 — не простое число, раскладываем его как 9=3∙3. Получили 9. Его также делим на 9 и раскладываем на произведение простых множителей.
Онлайн урок: Разложение на простые множители по предмету Математика 6 класс
Закономерность между расположением простых чисел на числовой прямой так и остается загадкой с древнейших времён.
Уже точно известно, что простых чисел бесчисленное множество и никто не знает точное их количество.
При Эратосфене появился первый алгоритм того, как можно определить, простое перед нами число или нет.
Начиная с работ известных математиков Эйлера и Ферма, множество других ученых до сих пор пытаются разгадать тайну простых чисел.
Придумано и описано несколько алгоритмов, закономерностей, но они работают только для небольшого количества простых чисел. А для всех сразу уже возникают проблемы.
К числу таких проблем относится так называемая гипотеза Римана. За её решение, а так же за решение других шести проблем тысячелетия предлагается премия в размере одного миллиона долларов.
На сегодняшний день ученые уже говорят о 23 проблемах, которые появились в более позднее время и тоже относятся к неразрешенным.
Рассмотрим 2 проблемы по изучаемой нами теме.
Первая проблема Ландау.
Каждое чётное число, большее 2, записывается как сумма двух простых чисел, а каждое нечётное число, большее 5, записывается как сумма трёх простых чисел.
Примеры:
14 = 7 + 7
17 = 5 + 5 + 7
22 = 11 + 11
23 = 11+5+7
51 = 1 + 13 + 37
Вторая проблема Ландау.
Бесконечно ли множество «простых близнецов» — простых чисел, разность между которыми равна 2?
1. Среди чисел нашлись «близнецы»:
3 и 5; 5 и 7; 7 и 9; 11 и 13, 17 и 19; 41 и 43;
2. Пары близнецов состоят из двойников с общим элементом. Математики смогли найти такие пары близнецов-«двойников» (3, 5) и ( 5, 7).
Мы знаем, что число простых чисел неограничено, но бесконечность количества пар близнецов не была доказана или опровергнута.
Mathway | Популярные задачи
Mathway | Популярные задачиПопулярные задачи
Элементарная математика Основы алгебры Алгебра Тригонометрия Основы мат. анализа Математический анализ Конечная математика Линейная алгебра ХимияЭтот веб-сайт использует cookie файлы, чтобы сделать использование нашего ресурса максимально удобным для вас.
Убедитесь, что ваш пароль содержит не менее 8 символов и как минимум один из следующих символов:
- число
- буква
- специальный символ: @$#!%*?&
| 1 | Вычислить | 6^3-4^3-7^2 | |
| 2 | Найти медиану | 11 , 13 , 5 , 15 , 14 | , , , , |
| 3 | Найти объем | сфера (5) | |
| 4 | Оценить с использованием заданного значения | квадратный корень 12 | |
| 5 | Преобразовать в десятичную форму | 3/8 | |
| 6 | Преобразовать в десятичную форму | 5/8 | |
| 7 | Найти длину окружности | окружность (5) | |
| 8 | Вычислить | 10^2 | |
| 9 | Оценить с использованием заданного значения | квадратный корень 75 | |
| 10 | График | y=2x | |
| 11 | Оценить с использованием заданного значения | квадратный корень 48 | |
| 12 | Найти площадь | окружность (5) | |
| 13 | Найти площадь | окружность (6) | |
| 14 | Вычислить | 3^4 | |
| 15 | Вычислить | 5^3 | |
| 16 | Вычислить | 2^4 | |
| 17 | Оценить с использованием заданного значения | квадратный корень 32 | |
| 18 | Оценить с использованием заданного значения | квадратный корень 18 | |
| 19 | Оценить с использованием заданного значения | квадратный корень 2 | |
| 20 | Оценить с использованием заданного значения | квадратный корень 25 | |
| 21 | Оценить с использованием заданного значения | квадратный корень 8 | |
| 22 | Найти площадь | окружность (4) | |
| 23 | Разложить на простые множители | 360 | |
| 24 | Вычислить | 3^-2 | |
| 25 | Вычислить | 2+2 | |
| 26 | Преобразовать в десятичную форму | 1/3 | |
| 27 | Оценить с использованием заданного значения | квадратный корень 9 | |
| 28 | Оценить с использованием заданного значения | квадратный корень 64 | |
| 29 | Преобразовать в десятичную форму | 3/5 | |
| 30 | Оценить с использованием заданного значения | квадратный корень 20 | |
| 31 | Вычислить | pi | |
| 32 | Вычислить | -3^2 | |
| 33 | Вычислить | 2^3 | |
| 34 | Вычислить | (-3)^3 | |
| 35 | Оценить с использованием заданного значения | квадратный корень 27 | |
| 36 | Оценить с использованием заданного значения | квадратный корень 5 | |
| 37 | Оценить с использованием заданного значения | квадратный корень 50 | |
| 38 | Оценить с использованием заданного значения | квадратный корень 16 | |
| 39 | Преобразовать в десятичную форму | 3/4 | |
| 40 | Преобразовать в десятичную форму | 2/3 | |
| 41 | Найти площадь | окружность (3) | |
| 42 | Вычислить | 3^2 | |
| 43 | Вычислить | -9^2 | |
| 44 | Оценить с использованием заданного значения | квадратный корень 72 | |
| 45 | Преобразовать в десятичную форму | 2/5 | |
| 46 | Оценить с использованием заданного значения | квадратный корень 100 | |
| 47 | Найти объем | сфера (3) | |
| 48 | Вычислить | 2^5 | |
| 49 | Множитель | x^2-4 | |
| 50 | Вычислить | -8^2 | |
| 51 | Вычислить | -6^2 | |
| 52 | Вычислить | -7^2 | |
| 53 | Вычислить | -3^4 | |
| 54 | Вычислить | (-2)^3 | |
| 55 | Множитель | x^2-9 | |
| 56 | Найти объем | сфера (6) | |
| 57 | Найти площадь | окружность (8) | |
| 58 | Оценить с использованием заданного значения | квадратный корень 81 | |
| 59 | Оценить с использованием заданного значения | кубический корень 64 | |
| 60 | Оценить с использованием заданного значения | кубический корень 125 | |
| 61 | Оценить с использованием заданного значения | квадратный корень 169 | |
| 62 | Оценить с использованием заданного значения | квадратный корень 225 | |
| 63 | Оценить с использованием заданного значения | квадратный корень 3 | |
| 64 | Преобразовать в десятичную форму | 1/4 | |
| 65 | Преобразовать в смешанную дробь | 5/2 | |
| 66 | Преобразовать в десятичную форму | 1/2 | |
| 67 | Множитель | x^2-16 | |
| 68 | Вычислить | 5^2 | |
| 69 | Вычислить | 4^-2 | |
| 70 | Вычислить | 8^2 | |
| 71 | Преобразовать в смешанную дробь | 13/4 | |
| 72 | Оценить с использованием заданного значения | квадратный корень 24 | |
| 73 | Оценить с использованием заданного значения | квадратный корень 28 | |
| 74 | Оценить с использованием заданного значения | кубический корень 27 | |
| 75 | Найти длину окружности | окружность (4) | |
| 76 | Найти площадь | окружность (7) | |
| 77 | Найти объем | сфера (2) | |
| 78 | График | y=3x | |
| 79 | Найти объем | сфера (4) | |
| 80 | Найти длину окружности | окружность (6) | |
| 81 | Оценить с использованием заданного значения | квадратный корень 150 | |
| 82 | Оценить с использованием заданного значения | квадратный корень 45 | |
| 83 | Вычислить | 4^3 | |
| 84 | Вычислить | 2^-3 | |
| 85 | Вычислить | 2^2 | |
| 86 | Вычислить | -(-3)^3 | |
| 87 | Вычислить | 3^3 | |
| 88 | Оценить с использованием заданного значения | квадратный корень 54 | |
| 89 | Оценить с использованием заданного значения | квадратный корень 10 | |
| 90 | Найти длину окружности | окружность (3) | |
| 91 | Преобразовать в смешанную дробь | 10/3 | |
| 92 | Преобразовать в десятичную форму | 2/5 | |
| 93 | Разложить на простые множители | 36 | |
| 94 | Оценить с использованием заданного значения | квадратный корень 144 | |
| 95 | Вычислить | (-7)^2 | |
| 96 | Множитель | x^2+5x+6 | |
| 97 | Вычислить | (-4)^3 | |
| 98 | Вычислить | (-5)^3 | |
| 99 | Вычислить | 10^2 | |
| 100 | Вычислить | 6^2 |
Mathway | Популярные задачи
Mathway | Популярные задачиПопулярные задачи
Элементарная математика Основы алгебры Алгебра Тригонометрия Основы мат. анализа Математический анализ Конечная математика Линейная алгебра ХимияДля функционирования Mathway необходим javascript и современный браузер.
Этот веб-сайт использует cookie файлы, чтобы сделать использование нашего ресурса максимально удобным для вас.
Убедитесь, что ваш пароль содержит не менее 8 символов и как минимум один из следующих символов:
- число
- буква
- специальный символ: @$#!%*?&
Как разложить число на простые множители
- Образование
- Математика
- Предалгебра
- Как разложить число на простые множители
Марк Зегарелли
Каждое число является произведением уникального набора из простых множителей, — группы простых чисел (включая повторы), которые при умножении равняются этому числу. Вы можете найти эти простые множители для данного числа с помощью процесса, называемого разложением .
Самый простой способ разложить число — создать дерево факторизации. Вот как это сделать:
Найдите два числа, которые умножаются, чтобы получить исходное число; запишите их как числа, ответвляющиеся от исходного.
Знание таблицы умножения часто может вам здесь помочь.
Если любое из чисел является простым, обведите его и завершите ветвь.
Продолжить разделение непростых чисел на два множителя; всякий раз, когда ветка достигает простого числа, обведите его и закройте ветвь.
Когда каждая ветка заканчивается обведенным числом, все готово — просто соберите обведенные числа.
Пример вопроса
Разложите число 48 на простые множители.
48 = 2 x 2 x 2 x 2 x 3. Начните создание дерева факторизации с поиска двух чисел, которые умножаются на 48:
Продолжайте делать ветви дерева, делая то же самое для 6 и 8:
Обведите простые числа и закройте эти ветви.На данный момент единственная открытая ветка — 4. Разбейте ее на 2 и 2:
Каждая ветка оканчивается цифрой в кружке, так что все готово. Простые множители: 2, 2, 2, 2 и 3.
Практические вопросы
Разложите 18 на простые множители.
Разложите 42 на простые множители.
Разложите 81 на простые множители.
Разложите 120 на простые множители.
Ниже приведены ответы на вопросы практики:
18 = 2 x 3 x 3. Вот одно возможное дерево факторинга:
42 = 2 x 3 x 7. Вот одно возможное дерево факторинга:
81 = 3 x 3 x 3 x 3. Вот одно возможное дерево факторинга:
120 = 2 x 2 x 2 x 3 x 5. Вот одно возможное дерево факторинга:
Об авторе книги
Марк Зегарелли — учитель математики и подготовки к экзаменам, написавший большое количество книг по основам математики и предварительной алгебры из серии Для чайников серии .
,c # — разложить число на 2 простых кофактора
Переполнение стека- Около
- Товары
- Для команд
- Переполнение стека Общественные вопросы и ответы
- Переполнение стека для команд Где разработчики и технологи делятся частными знаниями с коллегами
- работы Программирование и связанные с ним технические возможности карьерного роста
- Талант Нанимайте технических специалистов и создавайте свой бренд работодателя
- реклама Обратитесь к разработчикам и технологам со всего мира
- О компании
Калькулятор простой факторизации
Использование калькулятора
Используйте этот калькулятор простых чисел, чтобы найти все простые множители заданного целого числа до 1 триллиона. В этом калькуляторе представлены:
- Основные множители числа
- Разложение на простые числа в экспоненциальной форме
- CSV (значения, разделенные запятыми) список простых множителей
- Факторизация в дереве простых факторов
Для первых 5000 простых чисел этот калькулятор указывает индекс простого числа.
Ограничение на вводимое число для факторизации меньше 10 000 000 000 000 (менее 10 триллионов или максимум 13 цифр).
Что такое первичная факторизация?
Разложение на простые множители или целочисленное разложение числа — это разбиение числа на набор простых чисел, которые умножаются вместе, чтобы получить исходное число.Это также известно как разложение на простые числа.
Как найти простую факторизацию числа
Мы рассматриваем два метода факторизации простых чисел: поиск простых чисел путем пробного деления и использование простых чисел для создания дерева простых множителей.
Основная факторизация, проведенная испытательным отделом
Предположим, вы хотите найти простые множители 100 с помощью пробного деления. Начните с проверки каждого целого числа, чтобы увидеть, как часто оно делит 100 и последующие частные поровну.Результирующий набор множителей будет простым, поскольку, например, когда исчерпывается 2, также исчерпываются все кратные 2.
Найдите простые множители 100:
- 100 ÷ 2 = 50; экономия 2
- 50 ÷ 2 = 25; экономия 2
- 25 ÷ 2 = 12,5, неравномерно разделить на следующее наибольшее число, 3
- 25 ÷ 3 = 8,333, неравномерно, так что делим на следующее наибольшее число, 4
- 25 ÷ 4 = 6.25, не равномерно, так что делим на следующее наибольшее число, 5
- 25 ÷ 5 = 5; экономия 5
- 5 ÷ 5 = 1; экономия 5
Перечислите полученные простые множители в виде последовательности кратных 2 x 2 x 5 x 5 или множителей с показателями степени 2
Примеры разложения на простые числа: факторы и показатели
- Разложение 100 на простые множители равно 2 x 2 x 5 x 5 или 2 2 x 5 2
- Разложение на простые множители 76 равно 2 x 2 x 19 или 2 2 x 19 1
- Разложение на простые множители 50 равно 2 x 5 x 5 или 2 x 5 2
- Разложение 48 на простые множители равно 2 x 2 x 2 x 2 x 3 или 2 4 x 3 1
- Разложение 36 на простые множители равно 2 x 2 x 3 x 3 или 2 2 x 3 2
- Разложение на простые множители 20 равно 2 x 2 x 5 или 2 2 x 5 1
- Разложение на простые множители 10 равно 2 x 5 или 2 1 x 5 1
Дерево основных факторов
Используя дерево разложения на простые множители, чтобы увидеть работу, разложение на простые числа 100 = 2 x 2 x 5 x 5 выглядит так:
Связанные калькуляторы
Список первых 1000 простых чисел см. Таблица 1000 простых чисел.
Ссылки и дополнительная литература
Math is Fun: Prime Factorization.
Вайсштейн, Эрик В. «Простое число». Из MathWorld — Интернет-ресурс Wolfram.
Вайсштейн, Эрик У. «Факторизация прямого поиска». Из MathWorld — Интернет-ресурс Wolfram.
Вайсштейн, Эрик В. «Алгоритмы простой факторизации.»Из MathWorld — Интернет-ресурс Wolfram.
Колдуэлл, Крис К. Основные страницы.
,Основная факторизация
Простые числа
Простое число:
целое число больше 1, которое может быть получено путем умножения других целых чисел , а не
Первые несколько простых чисел: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 и 23, и у нас есть таблица простых чисел, если вам нужно больше.
Если мы можем получить , умножив другие целые числа, получится , это будет составное число .
Как это:
2 — простое число, 3 — простое, 4 — составное (= 2 × 2), 5 — простое и т. Д…
Факторы
«Факторы» — это числа, которые вы умножаете, чтобы получить другой номер:
Основная факторизация
«Простая факторизация» — это нахождение , из которого простые числа умножаются вместе, чтобы получить исходное число.
Вот несколько примеров:
Пример 1: Каковы простые делители 12?
Лучше всего начинать работу с наименьшего простого числа, которое равно 2, поэтому давайте проверим:
12 ÷ 2 = 6
Да, делится ровно на 2.Мы сделали первый шаг!
Но 6 — не простое число, поэтому нам нужно пойти дальше. Попробуем еще раз 2:
6 ÷ 2 = 3
Да, это тоже сработало. 3 — это простое число , поэтому у нас есть ответ:
.12 = 2 × 2 × 3
Как видите, , каждый множитель является простым числом , поэтому ответ должен быть правильным.
Примечание: 12 = 2 × 2 × 3 также может быть записано с использованием экспонент как 12 = 2 2 × 3
Пример 2: Что такое разложение на простые множители 147?
Можно ли 147 разделить точно на 2?
147 ÷ 2 = 73½
Нет, не может.Ответ должен быть целым числом, а 73½ — нет.
Давайте попробуем следующее простое число номер, 3:
147 ÷ 3 = 49
Сработало, попробуем факторинг 49.
Следующее простое число 5 не работает. Но 7 делает, поэтому получаем:
49 ÷ 7 = 7
И это все, что нам нужно, потому что все факторы простые числа.
147 = 3 × 7 × 7
(или 147 = 3 × 7 2 в экспонентах)
Пример 3: Что такое факторизация 17 на простые множители?
Подожди… 17 — простое число .
Так что это все, что мы можем.
17 = 17
Другой метод
Мы показали вам, как выполнить факторизацию, начиная с наименьшего простого числа и двигаясь вверх.
Но иногда проще разбить число на с любыми множителями , которые вы можете … затем преобразовать эти множители в простые числа.
Пример: Каковы основные делители числа 90?
Разбить 90 на 9 × 10
- Простые множители 9 равны 3 и 3
- Простые множители 10 равны 2 и 5
Таким образом, простые множители 90 равны 3, 3, 2 и 5
Дерево факторов
И «дерево множителей» может помочь: найдите любых множителей числа, затем множители этих чисел и т. Д., Пока мы больше не сможем множить множители.
Пример: 48
48 = 8 × 6 , поэтому запишем «8» и «6» под 48
Теперь продолжим и разложим 8 на 4 × 2
Затем 4 в 2 × 2
И, наконец, 6 в 3 × 2
Мы больше не можем множить множители, поэтому мы нашли простые множители.
Что показывает, что 48 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3
(или 48 = 2 4 × 3 с использованием экспонент)
Зачем нужны основные факторы?
Простое число можно разделить только на 1 или само на себя, поэтому оно не может учитываться дальше!
Любое другое целое число можно разбить на множители простых чисел.
Это похоже на то, что простые числа — это основных строительных блоков всех чисел. |
Эта идея может быть очень полезной при работе с большими числами, например, в криптографии.
Криптография
Криптография — это изучение секретных кодов. Прайм-факторизация очень важна для людей, которые пытаются создавать (или взламывать) секретные коды на основе чисел.
Это потому, что разложение очень больших чисел на множители очень сложно, и на это у компьютеров может уйти много времени.
Если хотите подробнее, тема — «шифрование» или «криптография».
Уникальный
А вот еще:
Для любого числа существует только один (уникальный!) Набор простых множителей.
Пример. Простыми множителями 330 являются 2, 3, 5 и 11:
.330 = 2 × 3 × 5 × 11
Нет другого возможного набора простых чисел, который можно было бы умножить до 330.
На самом деле эта идея настолько важна, что называется Фундаментальная арифметическая теорема .
Инструмент первичной факторизации
Хорошо, у нас есть еще один метод … используйте наш инструмент первичной факторизации, который может вычислить простые множители для чисел до 4294967296.
,