Как решать квадратное уравнение через дискриминант – решение полных квадратных уравнений. как решать полные квадратные уравнения без дискриминанта?

Как решить квадратное уравнение через дискриминант

Понятие квадратного уравнения.

Рассмотрим задачу. Основание прямоугольника больше высоты на 10 см., а его площадь равна 24 см². Найти высоту прямоугольника. Пусть х сантиметров — высота прямоугольника, тогда его основание равно (х +10) см. Площадь этого прямоугольника равна х (х + 10) см². По условию задачи х (х + 10) = 24. Раскрывая скобки и перенося число 24 с противоположным знаком в левую часть уравнения, получаем: х² + 10х -24 = 0. При решении этой задачи было получено уравнение, которое называют квадратным.

Квадратным уравнением называется уравнение вида

                                                                                    ax²+bx+c=0

где a, b, c — заданные числа, причем а ≠ 0, а х — неизвестное.

Коэффициенты a, b, c квадратного уравнения обычно называют так: a — первым или старшим коэффициентом, b — вторым коэффициентом, c — свободным членом. Например в нашей задаче старший коэффициент равен 1, второй коэффициент 10, свободный член -24. Решение многих задач математики и физики сводится к решению квадратных уравнений.

Решение квадратных уравнений

Полные квадратные уравнения. Первым делом надо заданное уравнение привести к стандартному виду  ax²+ bx c = 0. Вернемся к нашей задаче, в которой уравнение может быть записано как х (х + 10) = 24 приведем его к стандартному виду, раскроем скобки  х² + 10х — 24 = 0,  решим это уравнение с помощью формулы корней квадратного уравнения общего вида.

Выражение под знаком корня в этой формуле называется дискриминант D = b² — 4ac

Если D>0, то квадратное уравнение имеет два различных корня, которые можно найти по формуле корней квадратного уравнения.

Если D=0, то квадратное уравнение имеет один корень.

Если D<0, то квадратное уравнение не имеет действительных корней, т. е. не имеет решения.

Подставим значения в нашу формулу а = 1, = 10, = -24.

получаем D>0, следовательно у нас получится два корня.

Рассмотрим пример где D=0, при этом условии должен получится один корень.

25x² — 30+ 9 = 0

Рассмотрим пример где D<0, при этом условии решения не должно быть.

2x² + 3+ 4 = 0

Число, стоящее под знаком корня (дискриминант) отрицательное, ответ запишем так: уравнение не имеет действительных корней.

Решение неполных квадратных уравнений

Квадратное уравнение ax² + bx = 0 называют неполным, если хотя бы один из коэффициентов b или c равен нулю. Неполное квадратное уравнение, есть уравнение одного из следующих видов:

                                                                        ax² = 0,

                                                                   ax² + = 0, ≠ 0,

                                                                  ax² + bx = 0, ≠ 0.

Рассмотрим несколько примеров, решим уравнение

5x² =0

Разделив обе части уравнения на 5, получим уравнение х² = 0, в ответе будет один корень х = 0.

Рассмотрим уравнение вида

3х² — 27 = 0

Разделив обе части на 3, получим уравнение х² — 9 = 0, или его можно записать х² = 9, в ответе будет два корня х = 3 и х = -3.

Рассмотрим уравнение вида

2х² + 7 = 0

Разделив обе части на 2, получим уравнение х² = -7/2. Это уравнение действительных корней не имеет, так как х² ≥ 0 для любого действительного числа х.

Рассмотрим уравнение вида

3х² + 5х = 0

Разложив левую часть уравнения на множители, получим х 

(3х + 5) = 0, в ответе будет два корня х = 0,  х =-5/3.

Самое главное при решении квадратных уравнений, привести квадратное уравнение к стандартному виду, выучить наизусть формулу корней квадратного уравнения общего вида и не запутаться в знаках.

Автор публикации

0 Комментарии: 3Публикации: 84Регистрация: 04-09-2015

prostoi-sovet.ru

Дискриминант квадратного уравнения

Квадратное уравнение это уравнение которое выглядит как ax2 + dx + c = 0. В нем значение а,в и с любые числа, при этом а не равно нулю.

Все квадратные уравнения разделяются на несколько видов, а именно:

-Уравнения в которых только один корень.
-Уравнения с двумя разными корнями.
-Уравнения в которых корней нет совсем.

Это и различает линейные уравнения в которых корень всегда единый, от квадратных. Для того что бы понять какое количество корней в выражении и нужен Дискриминант квадратного уравнения.

Допустим наше уравнение ax2 + dx + c =0. Значит дискриминант квадратного уравнения -

D = b2 - 4 ac

И это нужно запомнить навсегда. С помощью этого уравнения мы и определяем количество корней в квадратном уравнении. И делаем мы это следующим образом:

- Когда D меньше нуля, в уравнении нет корней.
- Когда D равно нулю, имеется только один корень.
- Когда D больше нуля, соответственно, в уравнении два корня.
Запомните что дискриминант показывает сколько корней в уравнении, не меняя знаков.

Рассмотрим для наглядности:

Нужно выяснить какое количество корней в данном квадратном уравнении.

1) х2 - 8х + 12 = 0
2 )5х2 + 3х + 7 = 0
3) х2-6х + 9 = 0

Вписываем значения в первое уравнение, находим дискриминант.
а = 1, b = -8, c = 12
D = (-8)2 - 4 * 1 * 12 = 64 - 48 = 16

Дискриминант со знаком плюс, значит в данном равенстве два корня.

Делаем тоже самое со вторым уравнением
a = 1, b = 3, c = 7
D = 32 - 4 * 5 * 7 = 9 - 140 = - 131
Значение минусовое, значит корней в данном равенстве нет.

Следующее уравнение разложим по аналогии.
а = 1, b = -6, с = 9
D = (-6)2- 4 * 1 * 9 = 36 - 36 = 0
как следствие имеем один корень в уравнении.

Важно что в каждом уравнении мы выписывали коэффициенты. Конечно это не много длительный процесс, но это помогло нам не запутаться и предотвратило появление ошибок. Если очень часто решать подобные уравнения, то вычисления сможете производить мысленно и заранее знать сколько у уравнения корней.

Рассмотрим еще один пример:

1) х2 - 2х - 3 = 0
2) 15 - 2х - х2 = 0
3) х2 + 12х + 36 = 0

Раскладываем первое
а = 1, b = -2, с = -3
D =(-2) 2 - 4 * 1 * (-3) = 16, что больше нуля, значит два корня, выведем их
х1 = 2+?16/2 * 1 = 3, х2 = 2-?16/2 * 1 = -1.

Раскладываем второе
а = -1, b = -2, с = 15

D = (-2)2 - 4 * 4 * (-1) * 15 = 64, что больше нуля и так же имеет два корня. Выведем их:
х1 = 2+?64/2 * (-1) = -5, х2 = 2-?64/2 *(-1) = 3.

Раскладываем третье
а = 1, b = 12, с = 36
D = 12 2 - 4 * 1 * 36 =0, что равно нулю и имеет один корень
х = -12 + ?0/2 * 1 = -6.
Решать данные уравнения не сложно.

Если нам дано неполное квадратное уравнение. Такое как

2 + 9х = 0
2 - 16 = 0

Данные уравнения отличаются от тех что были выше, так как оно не полное, в нем нет третьего значения. Но не смотря на это оно проще чем полное квадратное уравнение и в нем дискриминант искать не нужно.

Что делать когда срочно нужна дипломная работа или реферат, а времени на его написание нет? Всё это и многое другое можно заказать на сайте Deeplom.by (http://deeplom.by/) и получить высший балл.


Если материал был полезен, вы можете отправить донат или поделиться данным материалом в социальных сетях:

reshit.ru

решение полных квадратных уравнений. как решать полные квадратные уравнения без дискриминанта?

Поработаем с квадратными уравнениями. Это очень популярные уравнения! В самом общем виде квадратное уравнение выглядит так: Например: Здесь а =1; b = 3; c = -4 Или: Здесь а =2; b = -0,5; c = 2,2 Или: Здесь а =-3; b = 6; c = -18 Ну, вы поняли… Как решать квадратные уравнения? Если перед вами квадратное уравнение именно в таком виде, дальше уже всё просто. Вспоминаем волшебное слово дискриминант. Редкий старшеклассник не слышал этого слова! Фраза «решаем через дискриминант» вселяет уверенность и обнадёживает. Потому что ждать подвохов от дискриминанта не приходится! Он прост и безотказен в обращении. Итак, формула для нахождения корней квадратного уравнения выглядит так: Выражение под знаком корня – и есть тот самый дискриминант. Как видим, для нахождения икса, мы используем только a, b и с. Т. е. коэффициенты из квадратного уравнения. Просто аккуратно подставляем значения a, b и с в это формулу и считаем. Подставляем со своими знаками! Например, для первого уравнения а =1; b = 3; c = -4. Вот и записываем: Пример практически решён: Вот и всё. Какие случаи возможны при использовании этой формулы? Всего три случая. 1. Дискриминант положительный. Это значит, из него можно извлечь корень. Хорошо корень извлекается, или плохо – вопрос другой. Важно, что извлекается в принципе. Тогда у вашего квадратного уравнения – два корня. Два различных решения. 2. Дискриминант равен нулю. Тогда у вас одно решение. Строго говоря, это не один корень, а два одинаковых. Но это играет роль в неравенствах, там мы поподробнее вопрос изучим. 3. Дискриминант отрицательный. Из отрицательного числа квадратный корень не извлекается. Ну и ладно. Это означает, что решений нет. Всё очень просто. И что, думаете, ошибиться нельзя? Ну да, как же… Самые распространённые ошибки – путаница со знаками значений a, b и с. Вернее, не с их знаками (где там путаться?) , а с подстановкой отрицательных значений в формулу для вычисления корней. Здесь спасает подробная запись формулы с конкретными числами. Если есть проблемы с вычислениями, так и делайте! Предположим, надо вот такой примерчик решить: Здесь a = -6; b = -5; c = -1 Допустим, вы знаете, что ответы у вас редко с первого раза получаются. Ну и не ленитесь. Написать лишнюю строчку займёт секунд 30. А количество ошибок резко сократится. Вот и пишем подробно, со всеми скобочками и знаками: Это кажется невероятно трудным, так тщательно расписывать. Но это только кажется. Попробуйте. Ну, или выбирайте. Что лучше, быстро, или правильно? Кроме того, я вас обрадую. Через некоторое время отпадёт нужда так тщательно всё расписывать. Само будет правильно получаться. Особенно, если будете применять практические приёмы, что описаны чуть ниже. Этот злой пример с кучей минусов решится запросто и без ошибок! Итак, как решать квадратные уравнения через дискриминант мы вспомнили. Или научились, что тоже неплохо. Умеете правильно определять a, b и с. Умеете внимательно подставлять их в формулу корней и внимательно считать результат. Вы поняли, что ключевое слово здесь – внимательно?

первый способ по теореме Виета например 1 х^2-8х+12=0 х1+х2=8 и х1*х2=12==&gt; х1=2 и х2=6 второй способ выделение полного квадрата по формулам пример 2 х^2-8х+12=0 (х^2-8х+16)-4=0 (х-4)^2=4 х-4=2 или х-4=-2 х1=6 или х2=2

<a rel="nofollow" href="http://www.egesdam.ru/page221.html" target="_blank">http://www.egesdam.ru/page221.html</a> хорошо написанный материал по решению квадратных уравнений. не пропущен ни один возможный случай полных и неполных квадратных уравнений. способ выделения полного квадрата трудоемкий. . к сожалению. часто не видит решающий ПОЛНОГО Квадрата двучлена. вот на это себя потренируйте.

touch.otvet.mail.ru

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

2015-2019 © Игровая комната «Волшебный лес», Челябинск
тел.:+7 351 724-05-51, +7 351 777-22-55 игровая комната челябинск, праздник детям челябинск