Как решать по теореме пифагора: формула, доказательство и примеры решений – Теорема Пифагора — урок. Геометрия, 8 класс. — Детская игровая комната «Волшебный лес»

Posted on 15.08.202004.02.2020 by alexxlab

Содержание

Задачи на применение теоремы Пифагора

Когда вы только начинали изучать квадратные корни и способы решения иррациональных уравнений (равенств, содержащих неизвестную под знаком корня), вы, вероятно, получили первое представление об их практическом использовании. Умение извлекать квадратный корень из чисел также необходимо для решения задач на применение теоремы Пифагора. Эта теорема связывает длины сторон любого прямоугольного треугольника.

Пусть длины катетов прямоугольного треугольника (тех двух сторон, которые сходятся под прямым углом) будут обозначены буквами и , а длина гипотенузы (самой длинной стороны треугольника, расположенной напротив прямого угла) будет обозначена буквой

. Тогда соответствующие длины связаны следующим соотношением:

(сумма квадратов длин катетов прямоугольного треугольника равна квадрату длины его гипотенузы).

Данное уравнение позволяет найти длину стороны прямоугольного треугольника в том случае, когда известна длина двух других его сторон. Кроме того, оно позволяет определить, является ли рассматриваемый треугольник прямоугольным, при условии, что длины всех трёх сторон заранее известны.

Решение задач с использованием теоремы Пифагора

Для закрепления материала решим следующие задачи на применение теоремы Пифагора.

Задача 1. Используя приведённые ниже данные о длинах сторон прямоугольных треугольников, вычислите длины других сторон.

Итак, дано:

Длина одного из катетов равняется 48, гипотенузы – 80.
Длина катета равняется 84, гипотенузы – 91.

Приступим к решению:

a) Подстановка данных в приведённое выше уравнение даёт следующие результаты:

48²+ b² = 80²

2304 + b² = 6400

b² = 4096

b = 64 или b = -64

Поскольку длина стороны треугольника не может быть выражена отрицательным числом, второй вариант автоматически отбрасывается.

Ответ к первому рисунку: b = 64.

b) Длина катета второго треугольника находится тем же способом:

84²+ b²= 91²

7056 + b²= 8281

b² = 1225

b = 35 или b = -35

Как и в предыдущем случае, отрицательное решение отбрасывается.

Ответ ко второму рисунку: b = 35

Задача 2. Используя приведённые ниже данные о длинах сторон треугольников, определите, являются ли они прямоугольными.

Нам дано:

Длины меньших сторон треугольника равны 45 и 55 соответственно, большей – 75.
Длины меньших сторон треугольника равны 28 и 45 соответственно, большей – 53.

Решаем задачу:

a) Необходимо проверить, равна ли сумма квадратов длин меньших сторон данного треугольника квадрату длины большей:

75²= 5625

45²+ 55² = 2025 + 3025 = 5050

5625 ≠ 5050

Следовательно, первый треугольник не является прямоугольным.

b) Выполняется та же самая операция:

53²= 2809

28²+ 45² = 784 + 2025 = 2809

2809 = 2809

Следовательно, второй треугольник является прямоугольным.

Задача 3. Даны точки (-2, -3), (2, 1), (5, -2) в прямоугольной системе координат на плоскости. Выясните, являются ли они вершинами прямоугольного треугольника.

Сперва найдем длину наибольшего отрезка, образованного точками с координатами (-2, -3) и (5, -2). Для этого используем известную формулу для нахождения расстояния между точками в прямоугольной системе координат:

$\sqrt{(5-(-2))^2+(-2-(-3))^2} = \sqrt{50}.$

Аналогично находим длину отрезка, заключенного между точками с координатами (-2, -3) и (2, 1):

$\sqrt{(2-(-2))^2+(1-(-3))^2} = \sqrt{32}.$

Наконец, определяем длину отрезка между точками с координатами (2, 1) и (5, -2):

$\sqrt{(5-2)^2+(-2-1)^2} = \sqrt{18}.$

Поскольку имеет место равенство:

$\left(\sqrt{32}\right)^2+\left(\sqrt{18}\right)^2 = \left(\sqrt{50}\right)^2,$

то соответствующий треугольник является прямоугольным.

Таким образом, можно сформулировать ответ к задаче: поскольку сумма квадратов сторон с наименьшей длиной равняется квадрату стороны с наибольшей длиной, точки являются вершинами прямоугольного треугольника.

Задача 4. Мальчик Ваня строит ворота. В высоту они должны достигать двух метров, в ширину – трёх. Если допустить, что углы, образованные косяками, окажутся прямыми, то какова будет длина троса, протянутой по диагонали от одного угла к другому?

Основание (расположенное строго горизонтально), косяк (расположенный строго вертикально) и трос (протянутый по диагонали) формируют прямоугольный треугольник, соответственно, для нахождения длины троса может использоваться теорема Пифагора:

$\sqrt{2^2+3^2} = \sqrt{13} \approx 3,6.$

Таким образом, длина троса будет составлять приблизительно 3,6 метра.

Задача 5. Мальчику Вите требуется измерить ширину пруда. Он нашёл расстояния от пункта R до пунктов P и Q, расположенных по разным сторонам пруда, как показано на рисунке ниже, и уверился в том, что угол P – прямой. Если допустить, что расчёты верны, какова протяжённость пруда с запада на восток?

Дано: расстояние от точки R до точки P (катет треугольника) равняется 24, от точки R до точки Q (гипотенуза) – 26.

Итак, помогаем Вите решить задачу. Поскольку стороны треугольника, изображённого на рисунке, предположительно образуют прямоугольный треугольник, для нахождения длины третьей стороны можно использовать теорему Пифагора:

$\sqrt{26^2-24^2} = \sqrt{676 - 576} = \sqrt{100} = 10.$

Итак, ширина пруда составляет 10 метров.

Репетитор по математике на Юго-Западной, Сергей Валерьевич

Задачи с фантазией — 18: теорема Пифагора.

Вы думаете, что теорема Пифагора – это совсем несложно? Ну, в общем, да. Но интересные задачи все же иногда можно встретить. В основном мы столкнемся здесь с отношениями и сравнением чисел.

Задача 1. Один из катетов прямоугольного треугольника на 10 больше другого и на 10 меньше гипотенузы. Найдите гипотенузу этого треугольника.

Решение. Показать

Запишем для этого треугольника теорему Пифагора. Для этого обозначим катеты и x-10 , а гипотенузу x+10 . Тогда

$x^2+(x-10)^2=(x+10)^2$

$x^2+x^2-20x+100=x^2+20x+100$

$x(x-40)=0$

Откуда x=40 . Тогда гипотенуза на 10 больше – 50.

Ответ: 50.

Задача 2. В треугольнике ABC угол BAC прямой, длины сторон AB и BC равны соответственно 1 и 3. Точка K делит сторону AC в отношении 7:1, считая от точки A. Что больше: длина AC или длина BK?

Решение. Показать

Задача 3. В прямоугольнике ABCD длины отрезков AB и BD равны соответственно 2 и $\sqrt{7}$ . Точка M делит отрезок CD в отношении 1:2, считая от точки C, K – середина AD. Что больше: длина BK или длина AM?

Решение. Показать

Задача 4. В треугольнике ABC угол BAC прямой, длины сторон AB и BC равны соответственно 5 и 6. Точка K делит сторону AC в отношении 3:1, считая от точки A, AH – высота треугольника ABC. Что больше: 2 или отношение длины BK к длине AH?

Решение. Показать

Рисунок 3

Чтобы найти высоту треугольника , определим его удвоенную площадь, так как

$2S=BC\cdot AH=AB\cdot AC$

$AH=\frac{ AB\cdot AC }{BC}$

определим по теореме Пифагора:

$BC=\sqrtAB^2+AC^2}=\sqrt{5^2+6^2}=\sqrt{61}$

$AH=\frac{ AB\cdot AC }{BC}=\frac{ 5\cdot 6 }{\sqrt{61}}=\frac{30\sqrt{61}}{61}$

Теперь найдем , чтобы найти :

$AK=\frac{3}{4}AC=4,5$

Тогда

$BK=\sqrt{AB^2+AK^2}=\sqrt{25+20,25}=\sqrt{45,25}=\sqrt{\frac{181}{4}}$

Отношение

$\frac{BK}{AH}=\frac{\sqrt{181}}{2}\cdot\frac{\sqrt{61}}{30}=\frac{\sqrt{181\cdot61}}{60}$

Сравним теперь $\frac{\sqrt{181\cdot61}}{60}$ и .

$\frac{BK}{AH}=\sqrt{\frac{11041}{3600}}$

$2=\frac{120}{60}=\sqrt{\frac{120^2}{60^2}}=\sqrt{\frac{14400}{3600}}$

Таким образом, $2>\frac{BK}{AH}$ .

Задача 5. В равнобедренном треугольнике ABC длина основания AC равна 2 $\sqrt{7}$ , длина боковой стороны равна 8. Точка K делит высоту BD треугольника в отношении 2:3, считая от точки B. Что больше: длина CK или длина AC?

Решение. Показать

Рисунок 4

Длина высоты :

$BD=\sqrt{BC^2-DC^2}=\sqrt{64-7}=\sqrt{57}$

Длина отрезка :

$DK=\frac{3}{5}BD=\frac{3\sqrt{57}}{5}$

По теореме Пифагора определяем :

$CK=\sqrt{DK^2+DC^2}=\sqrt{\frac{9\cdot57}{25}+7}=\sqrt{\frac{688}{25}}$

$AC=2\sqrt{7}=\sqrt{28}=\sqrt{\frac{28\cdot25}{25}}=\sqrt{\frac{700}{25}}$

Таким образом, AC>CK .

Задача 6. Найдите радиусы вписанной и вневписанных окружностей треугольника со сторонами 3, 4, 5.

Решение. Показать

Треугольник подчиняется теореме Пифагора, он прямоугольный. Гипотенуза его AB=5 . Пусть катеты BC=3 , AC=4 .

Сначала вписанная окружность.

Рисунок 5

Пусть D, E, F – точки касания окружности. Тогда по теореме об отрезках касательных, проведенных из одной точки, CF=CE . Но длины этих отрезков равны радиусу . Тогда

$AB=AD+DB=AF+BE$

$AF=AC-r$

$BE=BC-r$

$AB= AC-r+ BC-r$

Откуда

$r=\frac{AC+BC-AB}{2}=\frac{3+4-5}{2}=1$

Теперь вневписанные окружности: рассмотрим сначала зеленую.

Рисунок 6

По теореме об отрезках касательных, проведенных из одной точки, , BK=BN .

Но . Тогда AM+AK=P

(периметру треугольника ABC

). Но

, опять же, по свойству касательных. Тогда AM=p

Так как , то

$R_1=p-AC=\frac{3+4+5}{2}-4=2$

Теперь рассмотрим фиолетовую окружность.

, AP=AQ .

Но . Тогда BT+BP=P (периметру треугольника ABC ). Но BT=BP

, опять же, по свойству касательных. Тогда BT=p

Так как , то

$R_2=p-BC=\frac{3+4+5}{2}-3=3$

Наконец, последняя, самая большая.

$CV=CW=R_3$

$AV=AH, BW=BH$

$AB=AV+BW$

$CV+CW=2R_3=AC+BC+AB$

$R_3=p=6$

Ответ: r=1 , R_1=2

Задача 7. Из одной точки проведены к данной прямой перпендикуляр и две наклонные. Найдите длину перпендикуляра, если наклонные равны 41 и 50, а их проекции на данную прямую относятся как 3 : 10.

Решение. Показать

Рисунок 7

По теореме Пифагора

$y^2=41^2-9x^2=50^2-100x^2$

Тогда

$91x^2=50^2-41^2=9\cdot91$

Откуда x=3 , 10x=30 , следовательно, y=40 .

Ответ: 40.

Задача 8. В прямоугольном треугольнике медианы, проведённые из вершин острых углов, равны $\sqrt{52}$ и $\sqrt{73}$ . Найдите гипотенузу треугольника.

Решение. Показать

Рисунок 8

Составим теорему Пифагора для треугольников BEC и ACF . Пусть $BE=\sqrt{52}$ , тогда

$y^2+4x^2=52$

Если $AF=\sqrt{73}$ , то

$4y^2+x^2=73$

Первое уравнение умножаем на 4, чтобы уравнять коэффициенты:

$4y^2+16x^2=208$

Вычитаем из него второе уравнение:

$15x^2=208-73=135$

$x=3$

Следовательно, y=4 , катеты треугольника 6 и 8, гипотенуза, следовательно, 10.

Ответ: 10.

Задача 9. В прямоугольном треугольнике точка касания вписанной окружности делит гипотенузу на отрезки, равные 5 и 12. Найдите катеты треугольника.

Решение. Показать

Рисунок 9

По свойству касательных, проведенных к окружности из одной точки, имеем: , AM=AK=5 , CK=CN=x . Тогда

$AC^2+BC^2=AB^2$

$(5+x)^2+(12+x)^2=17^2$

$x^2+17x-60=0$

По теореме Виета получаем корни: 3 и (-20). По условию устраивает положительный корень. Катеты равны тогда 8 и 15.

Ответ: 8 и 15.

Теорема Пифагора и ее применение при решении алгебраических систем

Теорема Пифагора

Выполнила: Даниличева Ксения

Основополагающий вопрос

В чем уникальность Пифагора?

Проблемные вопросы:

Пифагор – кто он?

Какие способы доказательства теоремы Пифагора существуют?

Как теорема Пифагора применяется в жизни?

Как применяется эта теорема при решении практических задач?

Теорема Пифагора:

Биография Пифагора

Доказательство теоремы Пифагора
Геометрические приёмы решения систем уравнений
Практическое применение теоремы Пифагора

Пифагор

С оздатель древнегреческой религиозно-философской школы, которая впоследствии получила название пиф а горейства

Основой всего существования считал числа, которые образовывали порядок во Вселенной

Пифагору приписывают формулировку так называемой Пифагоровой теоремы (квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов) Создал учение о противоположностях, которое состояло в том, что все вещи представляют собой противоположности.

Пифагору приписывают формулировку так называемой Пифагоровой теоремы (квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов)

Создал учение о противоположностях, которое состояло в том, что все вещи представляют собой противоположности.

Доказательство теоремы Пифагора

Древнекитайское доказательство:

На чертеже четыре равных прямоугольных треугольника с катетами а, b и гипотенузой с уложены так, что их внешний контур образует квадрат со стороной а + b, а внутренний — квадрат со стороной с, построенный на гипотенузе (рис. б). Если квадрат со стороной с вырезать и оставшиеся 4 затушеванных треугольника уложить в два прямоугольника (рис. в), то ясно, что образовавшаяся пустота, с одной стороны, равна с ² , а с другой — а ² + b ² , т.е. с ² = а ² + b ² . Теорема доказана.

Простейшее доказательство

Простейшее доказательство теоремы получается в простейшем случае равнобедренного прямоугольного треугольника. Вероятно, с него и начиналась теорема.

В самом деле, достаточно просто посмотреть на мозаику равнобедренных прямоугольных треугольников, чтобы убедиться в справедливости теоремы. Например, для треугольника ABC: квадрат, построенный на гипотенузе АС, содержит 4 исходных треугольника, а квадраты, построенные на катетах, — по два. Теорема доказана.

Простейшее доказательство:

Доказательство с использованием признака подобия:

На основе утверждения о том, что катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное для гипотенузы и отрезка гипотенузы, заключённого между катетом и высотой, проведённого из вершины прямого угла, имеем АС =

, или AC ² = AD * AB .

Аналогично BC ² = BD * AB . Складывая эти равенства почленно и, учитывая, что

AD+BD=AB, получаем:

AC² + BC² = AD* AB + BD*AB = (AD + BD)*AB = AB².

Доказательство Евклида:

На гипотенузе и катетах прямоугольного треугольника АВС строятся соответствующие квадраты и доказывается, что прямоугольник BJLD равновелик квадрату ABFH, а прямоугольник ICEL — квадрату АСКС. Тогда сумма квадратов на катетах будет равна квадрату на гипотенузе. В самом деле, затушеванные на рисунке треугольники ABD и BFC равны по двум сторонам и углу между ними: FB = AB, BC = BD и Р FBC = d + Р ABC = Р ABD . Но S ABD = 1/2 S BJLD , так как у треугольника ABD и прямоугольника BJLD общее основание BD и общая высота LD. Аналогично S FBC = 1/2 S ABFH (BF-общее основание, АВ. — общая высота).

Отсюда, имеем S BJLD = S ABFH . Аналогично, используя равенство треугольников ВСК и АСЕ, доказывается, что S JCEL = S ACKG . Итак, S ABFH + S ACKG = S BJLD + S JCEL = S BCED , что и требовалось доказать.

Древнеиндийское доказательство

Математики Древней Индии заметили, что для доказательства теоремы Пифагора достаточно использовать внутреннюю часть древнекитайского чертежа.

Как видим, прямоугольные треугольники уложены здесь гипотенузой наружу и квадрат с ² перекладывается в «кресло невесты» а ² — b ²

Классическое доказательство:

(a + b ) ² = 4( ab ) + с ²

Рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами a , b и гипотенузой с .

Докажем, что b ² + a ² = c ²

Достроим треугольник до квадрата со стороной a + b так, как показано на рисунке.

Площадь S этого квадрата равна ( a + b )².

С другой стороны, этот квадрат составлен из четырёх равных прямоугольных треугольных, площадь каждого из которых равна

ab , и квадрат со стороной с, поэтому

S = 4 *

ab + c ² = 2 ab + c ².

Таким образом, ( a + b )² = 2 ab + c ²,

откуда

b ² + a ² = c ².

Геометрические приёмы решения систем уравнений.

1.Из условий x ² + y ² = 9, y ² + z ² = 16 и y ² = xz для положительных x , y и z , не вычисляя их значений, укажите значение выражения xy + yz .

Привычное задание «Решите систему уравнений» затруднений не вызывает:

х ² + у ² = 9,

у ² + z² = 16,

у ² = xz

Требуется, не решая систему, ответить на вопрос, чему равно значение выражения xy + yz . Так как x , y и z – положительные числа, следовательно, задачу можно решить геометрически.

По теореме, обратной теореме Пифагора, числа x , у и 3 являются длинами соответственно катетов и гипотенузы треугольника АВ D (угол D – прямой).

Числа y , z и 4 являются соответственно длинами катетов и гипотенузы треугольника BCD .

Число у есть среднее пропорциональное чисел x и z . Тогда по теореме, обратной теореме о пропорциональных отрезках в прямоугольном треугольнике, угол АВС – прямой. Теперь, чтобы ответить на главный вопрос задачи, рассмотрим выражение xy + yz .

х ² + у ² = 9,

у ² + z² = 16,

у ² = xz

xy + yz = (x + z) y = 2S АВС = 2 * 0,5 * 3 * 4 = 12.

Ответ: 12

2. Для положительных x , y , z из условий x ² + xy + = 169.

y ² + z ² = 50, x² + xz + =144 , не находя значений выражения xy + yz + zx .

Запишем три условия задачи в виде системы уравнений .

x² + xy + = 169,

= 25 ,

x² + xz + = 144.

По теореме, обратной теореме Пифагора, числа , и 5

являются длинами соответствующих катетов и гипотенузы треугольника АОС с прямым углом АОС, а числа х, и 13

есть длины сторон треугольника АОВ с углом АОВ, равным 135°. Этот вывод можно сделать, используя теорему, обратную теореме косинусов. Аналогично х, и 12

есть длины сторон треугольника ВОС с углом ВОС, равным 135°.

Так как 5² + 12² = 13², то в треугольнике АВС угол АСВ = 90°.

S AOB =

xy;

x *

sin 135° =

yz;

S AOC =

xz;

S BOC =

sin 135° =

x *

S А BC =

* 5 * 12 = 30.

Отвечая на главный вопрос задачи, заметим, что значение выражения xy + yz + xz равно учетверённой площади треугольника АВС. Итак, xy + yz + zx = 120.

Ответ: 120.

Практическое применение теоремы Пифагора.

Задача индийского математика XII века Бхаскары, записанная в стихотворной форме.

« На берегу реки рос тополь одинокий.

Вдруг порыв ветра его стол надломил.

Бедный тополь упал. И угол прямой

С теченьем реки его ствол составлял.

Запомни теперь, что в том месте река

В четыре лишь фута была широка.

Верхушка склонилась у края реки.

Осталось три фута всего от ствола.

Прошу тебя, скоро теперь мне скажи.

У тополя как велика высота? »

Дано: АС D – прямоугольный

АС = 3 фута

А D = 4 фута

Найти: АВ -?

Решение: АВ = АС + CD ;

BC = CD;

CD² = AC² + AD²

По теореме Пифагора:

CD ² = 3² + 4², CD ² = 25, CD = 5 футов

AB = 3 + 5 = 8 футов

1 фут = 30,5 см.

АВ = 244 см.

Ответ: 8 футов или 244 см.

Заключение

1. Я узнала много новых интересных фактов о жизни Пифагора.

2. Познакомилась с множеством новых доказательств теоремы.

3. Научилась решать алгебраические системы уравнений и практические задачи с помощью неё.

Литература:

В.Н. Виноградов, И.А.Ройтман «Элементы начертательной геометрии»

Москва «Просвещение» 1978 год

2. И.Ф.Шарыгин «Геометрия 7-9 класс»

Москва Издательский дом «Дрофа» 1997 год

3. С.В. Бахвалов, Л.И.Бабушкин, В.П.Иваницкая «Аналитическая геометрия»

Москва «Просвещение» 1976 год

4. Л.С.Атанасян, Г.Б.Гуревич «Геометрия»

Москва «Просвещение» 1970 год

5. М.Б.Балк, В.Г. Болтянский «Геометрия масс»

Москва «Наука» 1978 год

6. М.Комацу «Многообразие геометрии»

Издательство «Знание» 1981 год

7. Г.С.М. Кокстер, С.Л. Грейтцер «Новые встречи с геометрией»

Москва «Наука» 1978 год

8. Л.С.Атанасян, В.Ф. Бутузов, И.И. Юдина, С.Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк

«Геометрия 7-9 класс»

«Специальная литература» Москва «Просвещение» 2003 год

Теорема Пифагора в решении задач

Как символ вечного союза
Как вечной дружбы знак простой
Связала ты, гипотенуза,
Навеки катеты с собой.
Скрывала тайну ты,
Не скоро явился некий мудрый грек
И теоремой Пифагора
Тебя прославил он навек.

Цели:

систематизировать, обобщить знания и умения по применению теоремы Пифагора при решении задач, показать их практическое применение;
содействовать развитию математического мышления;
воспитывать познавательный интерес.

Оборудование: потрет Пифагора, рисунок и макет телевизионной башни, таблицы для устного счета.

ХОД УРОКА

1. Организационный момент

2. Работа по готовым чертежам

– Можно ли по этим условиям найти площадь треугольника?
– Какой еще вопрос можно поставить к данным задачам?
– Найдите площади треугольников.
– Какую теорему вы применяли для нахождения сторон треугольников?
– Как называются треугольники 1, 4 и 3? (Пифагоровые)
– Приведите еще примеры таких треугольников.
– Является ли прямоугольным треугольник со сторонами 6, 29 и 25? Какую теорему вы использовали для доказательства?

В это время 4 ученика работают самостоятельно.

1. Найдите площадь прямоугольника, если его диагональ 10 см и образует со стороной угол равный 30^о. (25√3 см²)

2. В прямоугольной трапеции основания равны 22 см и 6 см, большая боковая сторона – 20 см. Найдите площадь трапеции. (224 см²)

3. Самостоятельная работа 3-х уровней по готовым чертежам.

1 вариант

1) а = 3 см в = 4 см с – ?	2) с = 10 см в = 8 см а – ?	3) а =10 см в = 5 см SΔ – ?

2 вариант

а = 0,3 см
с = 0,5 см
в – ?

AD = 3 см
ВD – ?

BD = 10 см
AD = 8 см
Sпр. – ?

3 вариант

МР = 10 м
МК = 8 м
РК ┴ МК
S – ?

АВ = 6 см
АМ = 5 см
S – ?

АС = 6 √2 см
АD – ?

Таблица ответов

	1	2	3
1 вариант	5 см	6 см	25 см²
2 вариант	0,4 см	3 2 см	48 м²
3 вариант	48 м²	12 см²	6 см

Самопроверка работ с помощью таблицы ответов.

4. Решение задач

№ 493.

Найдите сторону и площадь ромба, если его диагонали равны 10 см и 24 см.

Дано: АВСD – ромб, ВD = 10 cм, АС = 24 см
Найти: АВ и S ромба

Решение:

1. ВD перпендикулярна АС по свойству диагоналей ромба.
2. Рассмотрим треугольник АВО: О = 90, ВО = 5 см, АО = 12 см. По теореме Пифагора АВ = ВО² + АО² АВ = 13 см
3. S = 1/2 * 10 * 24 = 120 см².

Ответ: АВ = 13 см, S = 120 см²

№ 495.

Найдите площадь трапеции АВСD с основаниями АВ и СD, если АВ = 10 см, ВС = DА = 13 см, СD = 20 см.

Дано: АВСD – трапеция, АВ и СD основания, АВ = 10
СD = 20 см, ВС = DA = 13 см
Найти: S?

Решение:

1. Проведем высоту АН и рассмотрим треугольник АDН : Н = 90, АD = 13 cм,
DН = (20 – 10) : 2 = 5 см.
АН = 13² – 5² = 12 см

2. S = (20 + 10) : 2 * 12 = 180 см²

Ответ: S = 180cм².

– Какие формулы вы использовали при решении задач? А какие формулы для вычисления площади треугольника вы знаете?

Сегодня Маша Л. познакомит вас с формулой для вычисления площади равностороннего треугольника по его стороне. (Ученица самостоятельно готовила задание дом.)

S = а² * √3/4, где а – сторона треугольника.

Решение задачи на применение данной формулы.

Треугольник состоит из 4-х треугольников со стороной 1см. Сколько равносторонних треугольников вы видите? Чему равна площадь данного треугольника?

Решение задачи: 5 равносторонних треугольников, а = 2 см, тогда S = √3 кв.ед.

5. Практическое задание

Отчет учеников о проделанной работе: В нашем поселке есть телевышка, высота которой 124 м. Чтобы она стояла вертикально, требуются растяжки, они несколько уровневые. Нам была поставлена задача выяснить, сколько метров троса потребуется для 4 нижних растяжек.

Так как растяжки одинаковой длины, то задача свелась к нахождению длины одной растяжки. Для этого мы выделили прямоугольный треугольник, катетами которого являются расстояния АС и СВ. Мы узнали, что трос крепится на высоте 40 м (АС = 40 м) и измерили расстояние от основания вышки до крепления троса на поверхности (СВ = 24 м). По теореме Пифагора АВ = 46,7 м, значит троса потребуется не менее 186,8 м.

Во время отчета демонстрируется макет телевышки и ее рисунок.

6. Итог урока

7. Домашнее задание

Закончить урок словами: Говорят, что наука отличается от искусства тем ,что в то время как создания искусства вечны, великие творения науки безнадежно стареют. К счастью это не так, теорема Пифагора этому пример, мы применяли и будем применять ее при решении задач.

Теорема Пифагора. Обратная теорема. Решение задач

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Суть, истины вся в том, что нам она – навечно,
Когда хоть раз в прозрении её увидим свет,
И теорема Пифагора через столько лет
Для нас, как для него, бесспорна, безупречна.
Шамиссо

Цели урока:

Закрепить умение применять теорему Пифагора и теорему, обратную теореме Пифагора, при решении задач, решение индийских задач.
Развитие логического мышления, навыков самоконтроля.
Воспитание культуры математической речи, уважительного отношения к мнению окружающих.

Тип урока: урок закрепления полученных знаний.

Формы работы: фронтальная, индивидуальная, самостоятельная.

Оборудование:

Раскладушка: «Легенды о Пифагоре. Нравственные заповеди пифагорейцев. Пентаграмма. Задачи».
Персональный компьютер.
Мультимедийный проектор.
Экран.
Презентация, подготовленная с помощью Microsoft Power Point.
Карточки с заданиями.

Структура урока:

Организационный момент. Актуализация имеющихся знаний обучающихся по теме (решение задач по готовым чертежам).
Сообщения учащихся (историческая справка, рассмотрение других способов доказательства теоремы Пифагора).
Решение практических и древних задач.
Проверочная работа с самоконтролем.
Домашнее задание.

Ход урока

I. Актуализация опорных знаний.

Формулировка теоремы Пифагора;

Формулировка теоремы, обратной теореме Пифагора.

Решение задач по готовым чертежам.

№1. Найдите х.

№2. Решите задачу:

Дано: ABCD – ромб,

АС = 12 см,

BD = 16 см.

Найти: P_ABCD.

№3. Какой треугольник является прямоугольным?

13 м; 5 м; 12 м;
0,6 дм; 0,8 дм; 1,2 дм.

II. Исторический экскурс.

Сообщения учащихся. (Слайд 11-18).

Еще один алгебраический способ доказательства теоремы. Доказательство Бхаскари (XII в.)

III. Решение практических и древних задач.

Задача древних индусов.

Над озером тихим,
С полфута размером, высился лотоса цвет.
Он рос одиноко. И ветер порывом
Отнес его в сторону. Нет
Боле цветка над водой,
Нашел же рыбак его ранней весной
В двух футах от места, где рос
Итак, предложу я вопрос:
Как озера вода
Здесь глубока?

Задача индийского математика XII века Бхаскари:

На берегу реки рос тополь одинокий.
Вдруг ветра порыв его ствол надломал.
Бедный тополь упал. И угол прямой
С теченьем реки его ствол составлял.
Запомни теперь, что в том месте река
В четыре лишь фута была широка.
Верхушка склонилась у края реки.
Осталось три фута всего от ствола,
Прошу тебя, скоро теперь мне скажи:
У тополя как велика высота?

Космическая задача.

12 апреля 1961 года Ю.А. Гагарин на космическом корабле “Восток” был поднят над землёй на максимальную высоту 327 километров. На каком расстоянии от корабля находились в это время наиболее удалённые от него и видимые космонавтом участки поверхности Земли? (Радиус Земли ≈6400 км).

IV. Самостоятельная работа с самоконтролем.

Карточки. (Слайд 28-30)

V. Домашнее задание.

Фронтон Большого театра в Москве имеет форму равнобедренного треугольника с боковыми сторонами по 21,5 м и основанием 42 м (размеры приближены). Вычислите площадь фронтона.

Даны 3 отрезки a и b, а = 5 см, b = 7 см. Постройте отрезок

Найдите ещё одно доказательство теоремы Пифагора ( по выбору). 4.495(б.в )

VI. Итог урока.

« Я повторил…», «Я узнал…», « Я научился решать …», «Мне понравилось…», «Теорема Пифагора звучит так…»

Задачи на применение теоремы Пифагора

Решение задач с использованием теоремы Пифагора

Задачи с фантазией — 18: теорема Пифагора.

Теорема Пифагора и ее применение при решении алгебраических систем

Теорема Пифагора в решении задач

Теорема Пифагора. Обратная теорема. Решение задач

Ход урока

I. Актуализация опорных знаний.

II. Исторический экскурс.

III. Решение практических и древних задач.

IV. Самостоятельная работа с самоконтролем.

V. Домашнее задание.

VI. Итог урока.

Добавить комментарий Отменить ответ