Показательные неравенства

\(\blacktriangleright\) На ОДЗ верны следующие формулы:

\[\large{\begin{array}{|ll|} \hline a^0=1 &a^1=a\\ a^{nm}=(a^n)^m &a^n\cdot a^m=a^{n+m}\\ \dfrac{a^n}{a^m}=a^{n-m}&a^{-n}=\dfrac{1}{a^n}\\ a^n\cdot b^n=(a\cdot b)^n &\\ a^{\frac{k}{r}}=\sqrt[r]{a^k} \qquad \qquad \qquad \qquad& \dfrac{a^n}{b^n}=\left(\dfrac{a}{b}\right)^n\\&\\ a,b>0, \ \ a,b\ne 1, \ k\in \mathbb{Z},& r\in\mathbb{N}, \ m,n\in\mathbb{R}\\ \hline \end{array}}\]

 

\(\blacktriangleright\) Стандартное показательное неравенство: \[{\Large{a^{h(x)}\geqslant a^{g(x)} \ (*)}}\] где \(a>0,\ a\ne 1\)
(на месте знака \(\geqslant\) может стоять любой из знаков \(\leqslant,\ >,\ <\))

 

Показательная функция \(f(x)=a^x\) является возрастающей, если число \(a>1\), и убывающей, если \(0<a<1\), и определена при всех \(x\) (то есть ее область определения \(x\in\mathbb{R}\)).

 

На графике приведен пример возрастающей показательной функции \(f_1(x)=2^x\) и убывающей показательной функции \(f_2(x)=(0,5)^x\).

 

Напомним, что функция возрастает, если при увеличении \(x\) увеличивается и \(f(x)\). Функция убывает, если при увеличении \(x\) уменьшается \(f(x)\).

 

Действительно, для функции \(f_1(x)=2^x\), например, \(f_1(2)>f_1(3) \Leftrightarrow 4>8\), а для функции \(f_2(x)=0,5^x\), например, \(f_2(2)<f_2(3) \Leftrightarrow 0,25<0,125\).

 

Таким образом, неравенство \((*)\) есть не что иное, как сравнение \(f(h)\) и \(f(g)\). Если функция \(f\) — возрастает, то неравенство \(f(h)\geqslant f(g)\) равносильно неравенству \(h\geqslant g\), а если убывает — то неравенству \(h\leqslant g\).

 

Поэтому для того, чтобы решить неравенство \((*)\), нужно сравнить основание \(a\) с единицей:

 

если \({\large{a>1}}\), то данное неравенство равносильно \[{\Large{h(x)\geqslant g(x)}}\]

если \({\large{0<a<1}}\), то данное неравенство равносильно \[{\Large{h(x)\leqslant g(x)}}\]

 

\(\blacktriangleright\) Напомним, что область значений показательной функции — все положительные числа, т.е. \(a^x>0\) при всех возможных \(a\) и \(x\).

 

\(\blacktriangleright\) С помощью формулы \({\Large{b=a^{\log_ab}}}\) можно любое число \(b>0\) представить в виде степени необходимого нам числа \(a>0,\ a\ne 1\).

 

Пример 1. Решить неравенство \(2^x>3^{x-1}\).

 

Нужно представить левую и правую части неравенства как степени с одинаковым основанием. Воспользовавшись формулой, можно записать \(3=2^{\log_23}\). Тогда неравенство примет вид:

\(2^x>2^{\log_23\cdot (x-1)}\). Т.к. основания \(2>1\), то знак неравенства не будет меняться и данное неравенство равносильно неравенству

\(x>\log_23\cdot (x-1)\). Отсюда \((1-\log_23)x>-\log_23\). Т.к. \(\log_23>1\), то \((1-\log_23)<0\), значит, при делении правой и левой частей неравенства на \((1-\log_23)\) нужно изменить знак неравенства на противоположный, то есть \[x<-\dfrac{\log_23}{1-\log_23} \Leftrightarrow x<\dfrac{\log_23}{\log_23-1}\].

 

\(\blacktriangleright\) Рассмотрим неравенства вида \[{\Large{(f(x))^{h(x)}\lor(f(x))^{g(x)}}}\] то есть когда в основании находится не конкретное число, а функция, также зависящая от \(x\).

 

В таких неравенствах \(f(x)\) может быть равно единице, если знак неравенства нестрогий (т.е. \(\geqslant, \ \leqslant\)) и если это не противоречит ОДЗ неравенства. Действительно, тогда мы получаем, например, \(1^{h(x)}\geqslant 1^{g(x)}\), что верно, т.к. единица в любой степени дает единицу.

 

Таким образом, имеем: \[\textbf{I. }{\Large{(f(x))^{h(x)}> (f(x))^{g(x)} \quad \Leftrightarrow\quad \left[\begin{gathered} \begin{aligned} &\begin{cases} f(x)>1\\ h(x)> g(x) \end{cases}\\[2pt] &\begin{cases} 0<f(x)<1\\ h(x)< g(x) \end{cases} \end{aligned} \end{gathered} \right.}}\]

 

\[\textbf{II. }{\Large{(f(x))^{h(x)}\geqslant (f(x))^{g(x)} \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin{gathered} \begin{aligned} &\begin{cases} f(x)>1\\ h(x)\geqslant g(x) \end{cases}\\[2pt] &\begin{cases} 0<f(x)<1\\ h(x)\leqslant g(x) \end{cases}\\[2pt] &f(x)=1 \end{aligned} \end{gathered} \right.}}\]

 

Пример 2. Решить неравенство \(x^{\sqrt{x-0,5}}\geqslant x^2\)

 

Запишем ОДЗ: выражение под корнем должно быть неотрицательным, т.е. \(x-0,5\geqslant 0 \Leftrightarrow x\geqslant 0,5\). Тогда на ОДЗ данное неравенство равносильно:

 

\(\left[\begin{gathered} \begin{aligned} &\begin{cases} x>1\\ \sqrt{x-0,5}\geqslant 2 \end{cases}\\[2pt] &\begin{cases} 0<x<1\\ \sqrt{x-0,5}\leqslant 2 \end{cases}\\[2pt] &x=1 \end{aligned} \end{gathered} \right. \Rightarrow \left[\begin{gathered} \begin{aligned} &\begin{cases} x>1\\ x\geqslant 4,5 \end{cases}\\[2pt] &\begin{cases} 0<x<1\\ x\leqslant 4,5 \end{cases}\\[2pt] &x=1 \end{aligned} \end{gathered} \right. \Rightarrow x\in (0;1]\cup [4,5;+\infty)\)

 

Пересекая полученный ответ с ОДЗ, получим \[x\in [0,5;1]\cup [4,5;+\infty)\]

shkolkovo.net

Показательные неравенства на ЕГЭ по математике

Знакомство с этой темой мы начнем с самых простых показательных неравенств.

1. 2^x > 8

Так же, как и при решении простейших показательных уравнений, представим правую часть в виде степени числа 2:

2^x > 2³

Когда я спрашиваю школьников, что делать дальше, они обычно отвечают: «Убрать основания!» Я не против такой формулировки, просто надо четко представлять себе, почему мы так делаем. А для этого — вспомним, как выглядит график показательной функции y = 2^x.

Видим, что эта функция монотонно возрастает, то есть большему значению x отвечает большее значение y. И наоборот, если 2^x₁ > 2^x₂, то x₁ > x₂ . Итак, от неравенства 2^x > 2³ можно перейти к алгебраическому неравенству x > 3.

Ответ: .

2. Следующее неравенство:

2^x > 7

Так же, как и в предыдущем примере, представим правую часть в виде значения показательной функции. Как это сделать? С помощью логарифма, конечно:
7 = 2^log₂7.

Получаем:

2^x > 2^log₂7;

x > log₂7.

3. Еще одно неравенство:

Здесь правую часть удобно представить как .

.

Вспомним, как выглядит график функции :

Эта функция монотонно убывает (так как основание степени меньше единицы), поэтому большее значение функции соответствует меньшему значению аргумента. То есть из неравенства следует, что x < 4. Знак неравенства меняется!

4. Решите неравенство

Умножим обе части неравенства на

Сделаем замену Получили квадратичное неравенство относительно переменной t.

Внимание. Сначала решаем неравенство относительно переменной t. Только после этого возвращаемся к переменной х. Запомнили?

Разложим левую часть неравенства на множители.

где и — корни квадратного уравнения Получим:

Только теперь возвращаемся к переменной х.

«Отбрасываем» основания степеней и получаем ответ.

Ответ:

5. Решите неравенство:

Сделаем замену переменной:

Обратите внимание, что возвращаться к переменной х еще рано. Сначала решим неравенство с переменой t методом интервалов:

Поскольку получим:

Тогда

Обратите внимание, как мы представили 4 и 9 в виде степеней с основанием 7. Мы применили основное логарифмическое тождество.

Ответ:

6. 4^x − 2 · 5^2x − 10^x > 0.

Заметим, что 4^x = 2^2x, 10^x=5^x·2^x, и запишем неравенство в виде:
2^2x − 5^x·2^x − 2 · 5^2x > 0.

Разделим обе части на положительную величину 5^2x и обозначим . Получим квадратное неравенство:

t² − t − 2 > 0.

Кроме того, t > 0.

Графиком функции y = t² − t − 2 является парабола, ветви которой направлены вверх. Решая квадратное уравнение t² − t − 2 = 0, получим t₁ = −1, t₂ = 2. В этих точках наша парабола пересекает ось t.

Отметим на числовой прямой промежутки, являющиеся решениями неравенств t² − t − 2 > 0 и t > 0.

Видим, что обоим неравенствам удовлетворяют значения t > 2.

Но решение еще не закончено! Нам нужно вернуться к переменной x. Вспомним, что и получим:

Представим 2 в виде степени с основанием :

Получим: x <

7. Решите неравенство

Здесь присутствуют степени с основаниями 3 и 5. Поделим на 3 обе части неравенства:

Возьмем логарифмы от левой и правой частей неравенства по основанию 3.

Логарифм произведения запишем как сумму логарифмов.

Разложим на множители

Ответ:

8. Решите неравенство:

Эта задача составлена Анной Малковой для одного из вариантов Математических тренингов. Мы видим, что неравенство комбинированное. Надо уметь решать и иррациональные неравенства, и показательные.

Сделаем замену

Получим:

Запишем решение как цепочку равносильных переходов.

Мы получили, что

Значит, Это ответ.

Теперь подробно о каждом действии.

Посмотрим на неравенство Область его допустимых значений:

В левой его части — квадратный корень, величина неотрицательная. А вот правая часть может быть и больше нуля, и меньше, и равна нулю. Значит, возможны два случая:

1) Если правая часть неравенства тоже неотрицательна, обе части неравенства можно возвести в квадрат. Получим систему:

2) Если правая часть неравенства отрицательна, то неравенство выполняется для всех х, принадлежащих ОДЗ. Получим:

Вот откуда в решении взялась совокупность двух систем.

Квадратичное неравенство из первой системы решаем стандартным способом. Находим корни уравнения

Его дискриминант , корни

Объединяем решения обоих систем на числовой прямой.

Получаем, что значит,

Ответ:

Подведем итоги.

Каким бы ни было показательное неравенство — его надо упростить до неравенства Знак здесь может быть любой: . Важно, чтобы слева и справа в неравенстве находились степени с одинаковыми основаниями.

И после этого «отбрасываем» основания! При этом, если основание степени , знак неравенства остается тем же. Если основание такое, что , знак неравенства меняется на противоположный.

Смотри также: Логарифмические неравенства

 

Звоните нам: 8 (800) 775-06-82 (бесплатный звонок по России)                        +7 (495) 984-09-27 (бесплатный звонок по Москве)

Или нажмите на кнопку «Узнать больше», чтобы заполнить контактную форму. Мы обязательно Вам перезвоним.

ege-study.ru

Как решать С3. Урок 3. ЕГЭ по математике 2014. Показательные неравенства — решения.егэцентр.рф

Третий урок про то, как решать задание С3 из ЕГЭ по математике. Давайте разберем, как решать показательные неравенства.

Начнем с основ: разберем, например, как решать неравенство `a^x > a^b`, где `a` и `b` — фиксированные числа, а `x` — переменная.

В общем виде решение такого неравенства будет следующим.

Теоретическая часть, как решать простейшее показательное неравенство

Если `a>1`, то решение — `x > b`, если `0<a<1`, то решение — `x<b`. Эту фразу можно оформить в виде системы неравенств:

$$\left[ \begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l} a>1,\\ x>b; \end{array} \right. \\ \left\{\begin{array}{l} a<1,\\x < b. \end{array} \right.\end{array}\right.$$

Чтобы лучше запомнить эту, казалось бы, сложную систему, давайте поймем, откуда она взялась. (Если это вам не очень интересно, то можете пропустить и сразу перейти к решениям неравенств ЕГЭ)

Посмотрим, как ведет себя функция `f(x) = a^x`. В случае, если `a>1`, то в чем большую степень мы его возводим, тем большее число получаем (попробуйте возвести `2` в степени `1, 2, 3, \ldots`). Если `0<a<1`, то чем больше показатель степени — тем меньше будет результат (попробуйте так же возвести `\frac{1}{2}` в несколько разных степеней).

На графике функции при `a>1` это будет выглядеть так:

 

Видно, что чтобы значение `a^x` было больше (лежало выше), чем `a^b`, нужно взять `x` правее, чем `b`. Красным показано решение неравенства.

При `a<1` получаем такую картину:

Аналогично: чтобы значение `a^x` было больше (лежало выше), чем `a^b`, нужно взять `x` левее, чем `b`. Красным показано решение неравенства.

Таким образом, наша задача при решении показательных неравенств — привести их к виду простейших показательных неравенств и представить левую и правую часть в виде степеней с одинаковым основанием.

Закончим на этом о простейших показательных неравенствах.

Решение показательных неравенств. Метод замены переменной

Основной способ решения неравенств ЕГЭ, которые содержат показательную функцию, — замена этой функции на новую переменную.

Разберем такой пример:

$$4^{2x} — 5·4^x + 4 \geqslant 0.$$

Выполним замену `4^x= t`.

Используя свойства степеней, получим:

$$t^2 — 5t +4 \geqslant 0.$$

Такое неравенство мы решали в первом уроке про метод интервалов. Разложив на скобки, получим:

$$(t — 4)(t-1) \geqslant 0.$$

На оси решение отмечено красным, концы отрезка также удовлетворяют неравенству. Вернемся к замене:

 $$\left[\begin{array}{l}4^x \leqslant 1, \\ 4^x \geqslant 4; \end{array} \right.$$

Представим `1` и `4` в виде степеней с основанием `4`:

$$\left[\begin{array}{l}4^x \leqslant 4^0, \\ 4^x \geqslant 4^1; \end{array} \right.$$

$$\left[\begin{array}{l}x \leqslant  0, \\ x \geqslant 1; \end{array} \right.$$

Ответ получен. Двигаемся дальше.

Второй пример. Решение показательного неравенства, степени с разными основаниями

$$64·9^x — 84 · 12^x + 27·16^x \leqslant 0.$$

Для начала нужно разобраться, что мы будем заменять на `t`. Для этого приведем все степени с разными основаниями к одинаковым.

Заметим, что `9=3^2,  12 = 3·4,  16 = 4^2`. Расписав эти числа таким образом, получим:

$$64·3^{2x} — 84 · 3^x · 4^x + 27·4^{2x} \leqslant 0.$$

Левая часть неравенства очень похожа на однородное тригонометрическое выражение второй степени. Только вместо синусов и косинусов у нас `3^x` и `4^x`. Давайте поступим по аналогии с тригонометрией: поделим на `4^x` (слава богу, любая показательная функция, всегда строго больше нуля).

$$64· \frac{3^{2x}}{4^{2x}} — 84 · \frac{3^x}{4^x} + 27\leqslant 0.$$

Замена `t= \dfrac{3^x}{4^x}`.

$$64·t^2 — 84 · t + 27\leqslant 0.$$

Отсюда получим `t_1 = \frac{9}{16},  t_2 = \frac{3}{4}`.

Получили решение `\frac{9}{16} \leqslant t \leqslant \frac{3}{4}`. Обратная замена.

$$\frac{9}{16} \leqslant \left(\frac{3}{4}\right)^x \leqslant \frac{3}{4},$$

$$\left(\frac{3}{4}\right)^2 \leqslant \left(\frac{3}{4}\right)^x \leqslant \frac{3}{4}.$$

Поскольку основание степени меньше единицы, то избавившись от него, перевернем знаки неравенств:

$$2 \geqslant x \geqslant 1.$$

Приведем к привычному виду.

$$1 \leqslant x \leqslant 2.$$

Ответ получен. Разберем последнее неравенство в этом уроке.

Третий пример. Решение показательного неравенства

$$\frac{2^{1-x} — 2^x +1}{2^x -1 }\leqslant 0.$$

Все степени в этом неравенстве с основанием `2`. Две из них уже имеют удобны для замены на `t` вид `2^x`. Представим `2^{1-x} = 2 · \frac{1}{2^x}`. И выполним замену `2^x = t`.

$$\frac{2· \frac{1}{t} — t +1}{t-1 }\leqslant 0.$$

Приведем все слагаемые в числителе к общему знаменателю.

$$\left(\frac{2-t^2 +t }{t}\right) / (t-1)\leqslant 0,$$

$$\frac{-t^2 +t +2}{t·(t-1)}\leqslant 0,$$

$$\frac{-(t-2)(t+1)}{t·(t-1)}\leqslant 0,$$

Отрицательным `t` быть не может, поскольку это показательная функция. Значит, нам остается только два интервала: `(0,1) \cup [2,∞)`. Выполним обратную замену.

$$\left[\begin{array}{l} 0<2^x <1, \\2^x>2;\end{array} \right.$$

$$\left[\begin{array}{l} x <0, \\  x>1;\end{array} \right.$$

Ответ получен.

Задания для тренировки

Решите неравенства:

• `5^{x^2+6x+8}>1`,
• `2^{x+1}+2^{-x}-3\leqslant 0`,
• `5^{2x+1}+6^{x+1}>30+15^x·10^x`,
• `\dfrac{2·81^x +3^x — 87}{81^x — 3} \geqslant 2.`

 

На этом все. Если объяснение понятное, то ставьте лайки, а если остались вопросы, оставляйте их в комментариях.

Как обычно, видео с этим материалом прилагается.

 

xn--e1aajtm3cwc.xn--c1adb6aplz9c.xn--p1ai

Решение показательного неравенства с разными основаниями

В этой статье я покажу как решать показательное неравенство  вида  

Решим неравенство:

Запишем неравенство в таком виде:

Разделим обе части неравенства на 3:

Теперь возьмем от обеих частей неравенства логарифм по основанию 3. Мы имеем право это сделать, так как обе части неравенства больше нуля. Основание логарифма больше единицы, поэтому знак неравенства не изменится.

Получим:

Перенесем слагаемые, содержащие неизвестное влево, а не содержащие — вправо:

Разделим обе части неравенства на , предварительно исследовав знак этого выражения.

Т.к. , 

Получим:

Ответ: 

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

ege-ok.ru