Решение пропорций | Математика

Рассмотрим решение пропорций на конкретных примерах. 

Решить уравнения с пропорцией:

 1)  25 : x = 10 : 18

Здесь x — неизвестный средний член пропорции. Чтобы найти неизвестный средний член пропорции, произведение крайних членов разделим на известный средний член:

   

25 и 10 сокращаем на 5. Затем 18 и 2 сокращаем на 2.

   

Ответ: 45.

   

Здесь y — неизвестный крайний член пропорции. Чтобы найти неизвестный крайний член пропорции, произведение средних членов делим на известный крайний член:

   

   

   

Ответ: 13,5.

При решении пропорций с десятичными дробями удобно для упрощения вычислений использовать основное свойство дроби.

   

Чтобы найти неизвестный средний член пропорции, произведение крайних членов делим на известный средний член пропорции:

   

В числителе после запятой в общей сложности два знака, в знаменателе — один.

Поэтому, умножив и числитель, и знаменатель на 100,  мы получим дробь, равную данной. В числителе умножение на 100 распределим так: каждый из множителей умножим на 10. В знаменателе 0,6 умножим на 10 и результат умножим на 10: 

   

Сокращаем 24 и 6 на 6, 10 и 45 — на 5:

   

Еще раз сокращаем 4 и 2 на 2:

   

   

Ответ: 18.

Решение пропорций с обыкновенными дробями и смешанными числами удобнее записывать в строчку.

   

Чтобы найти неизвестный крайний член пропорции, произведение средних членов разделим на известный крайний член:

   

Смешанные числа переводим в неправильные дроби:

   

   

   

Ответ: 28.

При решении более сложных пропорций удобно использовать непосредственно основное свойство пропорции.

   

Произведение крайних членов пропорции равно произведению средних членов:

   

Здесь удобно упростить уравнение, разделив обе части на 5:

   

   

   

   

   

   

Ответ: 10,5.

   

Произведение крайних членов пропорции равно произведению ее средних членов:

   

Для упрощения вычислений удобно умножить каждую часть уравнения на 10:

   

   

   

Это — линейное уравнение. Неизвестные — в одну сторону, известные — в другую, изменив при этом их знаки:

   

   

Обе части уравнения делим на число, стоящее перед иксом:

   

   

Ответ: 1,12.

Урок 5. пропорции — Математика — 6 класс

Математика

6 класс

Урок № 5

Пропорции

Перечень рассматриваемых вопросов:

• Понятие пропорции.
• Основное свойство пропорции.
• Как правильно составить пропорцию.
• Как найти неизвестный член пропорции.

Тезаурус

Равенство двух отношений называют пропорцией.

Основное свойство пропорции: произведение крайних членов пропорции равно произведению её средних членов.

Основная литература

1. Никольский С. М. Математика. 6 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений // С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников и др. — М.: Просвещение, 2017. — 258 с.

Дополнительная литература

1. Чулков П. В. Математика: тематические тесты. 5-6 кл. // П. В. Чулков, Е. Ф. Шершнёв, О. Ф. Зарапина — М.: Просвещение, 2009. — 142 с.
2. Шарыгин И. Ф. Задачи на смекалку: 5-6 кл. // И. Ф. Шарыгин, А. В. Шевкин — М.: Просвещение, 2014. — 95 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Основное свойство пропорции: произведение крайних членов пропорции равно произведению её средних членов.

Если один член пропорции неизвестен и необходимо его определить, то говорят, что нужно решить пропорцию.

Рассмотрим 3 способа нахождения неизвестного члена пропорции.

1 способ.

2 способ.

Способ 3.

Задача.

Решение:

Ответ:

1) можно;

2) можно;

3) нельзя;

4) нельзя.

Разбор решения заданий тренировочного модуля

№1. Тип задания: сортировка элементов по категориям.

№2. Тип задания: Подстановка элементов в пропуски в тексте.

Найдите неизвестный член пропорции.

Для нахождения неизвестного члена пропорции воспользуемся основным свойством пропорции, из которого следует: чтобы найти неизвестный средний член пропорции, надо произведение крайних членов разделить на известный средний член пропорции.

Ответ: 3.

стандартный расчет с помощью пропорций

12 ноября 2013

Сегодня мы продолжаем серию видеоуроков, посвященных задачам на проценты из ЕГЭ по математике. В частности, разберем две вполне реальных задачи из ЕГЭ и еще раз убедимся, насколько важно внимательно читать условие задачи и правильно его интерпретировать.

Итак, первая задача:

Задача. Только 95% и 37 500 выпускников города правильно решили задачу B1. Сколько человек правильно решили задачу B1?

На первый взгляд кажется, что это какая-то задача для кэпов. Наподобие:

Задача. На дереве сидело 7 птичек. 3 из них улетело. Сколько птичек улетело?

Тем не менее, давай все-таки сосчитаем. Решать будем методом пропорций. Итак, у нас есть 37 500 учеников — это 100%. А также есть некое число x учеников, которое составляет 95% тех самых счастливчиков, которые правильно решили задачу B1. Записываем это:

37 500 — 100%
X — 95%

Нужно составить пропорцию и найти x. Получаем:

Перед нами классическая пропорция, но прежде чем воспользоваться основным свойством и перемножить ее крест-накрест, предлагаю разделить обе части уравнения на 100. Другими словами, зачеркнем в числителе каждой дроби по два нуля. Перепишем полученное уравнение:

По основному свойству пропорции, произведение крайних членов равно произведению средних членов.

Другими словами:

x = 375 · 95

Это довольно большие числа, поэтому придется умножать их столбиком. Напоминаю, что пользоваться калькулятором на ЕГЭ по математике категорически запрещено. Получим:

x = 35 625

Итого ответ: 35 625. Именно столько человек из исходных 37 500 решили задачу B1 правильно. Как видите, эти числа довольно близки, что вполне логично, потому что 95% тоже очень близки к 100%. В общем, первая задача решена. Переходим к второй.

Задача на проценты №2

Задача. Только 80% из 45 000 выпускников города правильно решили задачу B9. Сколько человек решили задачу B9 неправильно?

Решаем по той же самой схеме. Изначально было 45 000 выпускников — это 100%. Затем из этого количества надо выбрать x выпускников, которые должны составить 80% от исходного количества. Составляем пропорцию и решаем:

45 000 — 100%
x — 80%

Давайте сократим по одному нулю в числителе и знаменателе 2-й дроби. Еще раз перепишем полученную конструкцию:

Основное свойство пропорции: произведение крайних членов равно произведению средних. Получаем:

45 000 · 8 = x · 10

Это простейшее линейное уравнение. Выразим из него переменную x:

x = 45 000 · 8 : 10

Сокращаем по одному нулю у 45 000 и у 10, в знаменателе остается единица, поэтому все, что нам нужно — это найти значение выражения:

x = 4500 · 8

Можно, конечно, поступить так же, как в прошлый раз, и перемножить эти числа столбиком. Но давайте не будем сами себе усложнять жизнь, и вместо умножения столбиком разложим восьмерку на множители:

x = 4500 · 2 · 2 · 2 = 9000 · 2 · 2 = 36 000

А теперь — самое главное, о чем я говорил в самом начале урока. Нужно внимательно читать условие задачи!

Что от нас требуется узнать? Сколько человек решили задачу B9 неправильно. А мы только что нашли тех людей, которые решили правильно. Таких оказалось 80% от исходного числа, т. е. 36 000. Это значит, что для получения окончательного ответа надо вычесть из исходной численности учеников наши 80%. Получим:

45 000 − 36 000 = 9000

Полученное число 9000 — это и есть ответ к задаче. Итого в этом городе из 45 000 выпускников 9000 человек решили задачу B9 неправильно. Все, задача решена.

Я надеюсь, что этот ролик поможет тем, кто самостоятельно готовится к ЕГЭ по математике. А у меня на этом все. С вами был Павел Бердов. До новых встреч!:)

Смотрите также:

1. Процент: налоги и зарплата. Считаем с помощью коэффициентов
2. Задачи на проценты: считаем проценты с помощью пропорции
3. Как решать квадратные уравнения
4. Пробный ЕГЭ 2012. Вариант 11 (без логарифмов)
5. Пробный ЕГЭ по математике 2015: 3 вариант
6. Проценты в задачах на наибольшее-наименьшее значение используем пропорции

Задачи и задания на пропорции: примеры и решение

Решение заданий на пропорции

Если один из членов пропорции неизвестен и надо его найти, то говорят, что надо решить пропорцию. Решение пропорций всегда выполняется с помощью свойства пропорции.

Задание 1. Найдите неизвестный член пропорции:

a)	x	=	3	;     б)	1	=	5	.
	2		1		3		x

Решение: Так как неизвестны крайние члены пропорции, то для их нахождения надо умножить средние члены и разделить полученный результат на известный крайний член:

a) x =	2 · 3	,   x = 6.
	1

б) x =	3 · 5	,   x = 15.
	1

Ответ:  а) x = 6,   б) x = 15.

Задание 2. Решите пропорции:

a)	30	=	5	;     б)	7	=	x	.
	x		8		5		10

Решение: Так как неизвестны средние члены пропорции, то для их нахождения надо умножить крайние члены и разделить полученный результат на известный средний член:

a) x =	30 · 8	,   x = 48.
	5

б) x =	7 · 10	,   x = 14.
	5

Ответ:  а) x = 48,   б) x = 14.

Задание 3. Известно, что  21x = 14y.   Найдите отношение  x  к  y.

Решение: Сначала сократим обе части равенства на общий множитель  7:

получим:

3x = 2y.

Теперь разделим обе части на  3y,  чтобы в левой части у  x  убрать множитель  3,  а в правой части избавиться от  y:

После сокращения отношений у нас остаётся:

Ответ:  2 к 3.

Задачи на пропорции с решением

Задача 1. Из  300  читателей библиотеки  108  человек — студенты. Какой процент всех читателей составляют студенты?

Решение: Примем всех читателей библиотеки за  100%  и запишем условие задачи кратко:

300 — 100%

108 — ?%

Составим пропорцию:

Найдём  x:

x =	108 · 100	= 36.
	300

Ответ:  36%  всех читателей составляют студенты.

Задача 2. При варке варенья используют ягоды и сахар в отношении  5:2.  Сколько надо ягод, если взяли  450  грамм сахара?

Решение: Составим пропорцию:

Найдём  x:

x =	5 · 450	= 1125.
	2

Ответ:  На  450  гр сахара надо взять  1125  гр ягод.

Решение уравнений с дробями — как решать дробные уравнения

Понятие дроби

Прежде чем отвечать на вопрос, как найти десятичную дробь, разберемся в основных определениях, видах дробей и разницей между ними.

Дробь — это запись числа в математике, в которой a и b — числа или выражения. По сути, это всего лишь одна из форм, в которое можно представить число. Есть два формата записи:

    
• обыкновенный вид — ½ или a/b,
    
• десятичный вид — 0,5.

Над чертой принято писать делимое (число, которое делим) — числитель. А под чертой всегда находится делитель (на сколько делим), его называют знаменателем. Черта между числителем и знаменателем означает деление.

Дроби бывают двух видов:

    
1. Числовые — состоят из чисел. Например, 2/7 или (1,8 — 0,3)/5.
    
2. Алгебраические — состоят из переменных. Например, (x + y)/(x — y). Значение дроби зависит от данных значений букв.

Дробь называют правильной, когда ее числитель меньше знаменателя. Например, 4/9 и 23/57.

Неправильная дробь — та, у которой числитель больше знаменателя или равен ему. Например, 13/5. Такое число называют смешанным — читается так: «две целых три пятых», а записывается — 2 3\5.

                                                                       

Основные свойства дробей
Дробь не имеет значения, при условии, если делитель равен нулю.                  Дробь равна нулю, если числитель равен нулю, а знаменатель — нет.                  Две дроби a/b и c/d называются равными, если a * d = b * c.                  Если числитель и знаменатель умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится равная ей дробь

Действия с дробями можно выполнять те же, что и с обычными числами: складывать, вычитать, умножать и делить. Также, дроби можно сравнивать между собой и возводить в степень.

Понятие уравнения

Уравнение — это математическое равенство, в котором неизвестна одна или несколько величин. Наша задача — найти неизвестные числа так, чтобы при их подстановке в пример получилось верное числовое равенство. Давайте на примере:

    
• Возьмем выражение 4 + 5 = 9. Это верное равенство, потому что 4+5 действительно 9. Если бы вместо 9 стояло любое другое число — мы бы сказали, что числовое равенство неверное.
    
• Уравнением можно назвать выражение 4 + x = 9, с неизвестной переменной x, значение которой нужно найти. Результат должен быть таким, чтобы знак равенства был оправдан, и левая часть равнялась правой.

Корень уравнения — то самое число, которое уравнивает выражения справа и слева, когда мы подставляем его на место неизвестной. В таком случае афоризм «зри в корень» — очень кстати при усердном решении уравнений.

Равносильные уравнения — это те, в которых совпадают множества решений. Другими словами, у них одни и те же корни.

Решить уравнение значит найти все его корни или убедиться, что корней нет.

Алгебраические уравнения могут быть разными, самые часто встречающиеся — линейные и квадратные. Расскажем и про них.

                                                                                                 

Линейное уравнение выглядит так	ах + b = 0, где a и b — действительные числа.              Что поможет в решении:                               если а не равно нулю, то у уравнения единственный корень: х = -b : а;                  если а равно нулю — у уравнения нет корней;                  если а и b равны нулю, то корень уравнения — любое число.
Квадратное уравнение выглядит так:	ax2 + bx + c = 0, где коэффициенты a, b и c — произвольные числа, a ≠ 0.

Приходите решать увлекательные задачки по математике в детскую школу Skysmart. Поможем разобраться в сложной теме, подтянем оценки и покажем, что математика может быть захватывающим приключением.

Запишите ребенка на бесплатный вводный урок: познакомим с форматом, выявим пробелы и наметим индивидуальную программу обучения.

Ты можешь записаться на онлайн-уроки по математике для учеников 1-11 классов!

Понятие дробного уравнения

Дробное уравнение — это уравнение с дробями. Да, вот так просто. Но это еще не все. Чаще всего неизвестная стоит в знаменателе. Например, вот так:

Такие уравнения еще называют дробно-рациональными. В них всегда есть хотя бы одна дробь с переменной в знаменателе.

Если вы видите в знаменателях числа, то это уравнения либо линейные, либо квадратные. Решать все равно нужно, поэтому идем дальше. Примеры:

На алгебре в 8 классе можно встретить такое понятие, как область допустимых значений — это множество значений переменной, при которых это уравнение имеет смысл. Его используют, чтобы проверить корни и убедиться, что решение правильное.

Мы уже знаем все важные термины, их определения и наконец подошли к самому главному — сейчас узнаем как решить дробное уравнение.

 

Как решать уравнения с дробями

                                                                       

Универсальный алгоритм решения

Определить область допустимых значений.                  Найти общий знаменатель.                  Умножить каждый член уравнения на общий знаменатель и сократить полученные дроби. Знаменатели при этом пропадут.                  Раскрыть скобки, если нужно и привести подобные слагаемые.                  Решить полученное уравнение.                  Сравнить полученные корни с областью допустимых значений.                  Записать ответ, который прошел проверку.

А теперь еще несколько способов, которые пригодятся ребенку на уроках математики.

1. Метод пропорции

Чтобы решить уравнение методом пропорции, нужно привести дроби к общему знаменателю. А само правило звучит так: произведение крайних членов пропорции равно произведению средних. Проверим, как это работает.

Итак, у нас есть линейное уравнение с дробями:

В левой части стоит одна дробь — оставим без преобразований. В правой части видим сумму, которую нужно упростить так, чтобы осталась одна дробь.

Как решаем:

После того, как в левой и правой части осталась одна дробь, можно применить метод пропорции и перемножить крест-накрест числители и знаменатели.

2. Метод избавления от дробей

Возьмем то же самое уравнение, но попробуем решить его по-другому.

В уравнении есть две дроби, от которых мы очень хотим избавиться. Вот, как это сделать:

    
• подобрать число, которое можно разделить на каждый из знаменателей без остатка;
    
• умножить на это число каждый член уравнения.

Ищем самое маленькое число, которое делится на 5 и 9 и без остатка — 45 как раз подходит. Умножаем каждый член уравнения на 45 и избавляемся от знаменателей. Вуаля!

Вот так просто мы получили тот же ответ, что и в прошлый раз.

                                                                       

Что еще важно учитывать при решении
если значение переменной обращает знаменатель в 0, значит это неверное значение;                  делить и умножать уравнение на 0 нельзя.

А вот и полезные видео для закрепления материала:

Примеры решения дробных уравнений

Чтобы стать успешным в любом деле, нужно чаще практиковаться. Мы уже знаем, как решаются дробные уравнения — давайте перейдем к решению задачек.

Пример 1. Решить дробное уравнение: 1/x + 2 = 5.

Как решаем:

    
1. Вспомним правило х ≠ 0. Это значит, что область допустимых значений: х — любое число, кроме нуля.
    
2. Отсчитываем справа налево в числителе дробной части три знака и ставим запятую.
    
3. Избавимся от знаменателя. Умножим каждый член уравнения на х.     

   1 + 2x = 5х

       
    
4. Решим обычное уравнение.     

   5x — 2х = 1

       

   3x = 1

       

   х = 1/3

       

Ответ: х = 1/3.

Пример 2. Найти корень уравнения

Как решаем:

    
1. Область допустимых значений: х ≠ −2.
    
2. Умножим обе части уравнения на выражение, которое сократит оба знаменателя: 2(х+2)
    
3. Избавимся от знаменателя. Умножим каждый член уравнения на х.     
       
    
4. Переведем новый множитель в числитель..     
       
    
5. Сократим левую часть на (х+2), а правую на 2.     

   4 = х + 2

       

   х = 4 — 2 = 2

       

Ответ: х = 2.

Пример 3. Решить дробное уравнение:

Как решаем:

    
1. Найти общий знаменатель:     

   3(x-3)(x+3)

       
    
2. Умножим обе части уравнения на общий знаменатель. Сократим. Получилось:     

   3(x+3)(x+3)+3(x-3)(x-3)=10(x-3)(x+3)+3*36

       
    
3. Выполним возможные преобразования. Получилось квадратное уравнение:     

   x²-9=0

       
    
4. Решим полученное квадратное уравнение:     

   x²=9

       
    
5. Получили два возможных корня:     

   x₁=−3, x₂=3

       

   х = 4 — 2 = 2

       
    
6. Если x = −3, то знаменатель равен нулю:     

   3(x-3)(x+3)=0

       

   Если x = 3 — знаменатель тоже равен нулю.

       
    
7. Вывод: числа −3 и 3 не являются корнями уравнения, значит у данного уравнения нет решения.

Ответ: нет решения.

Если нужно решить уравнение с дробями быстро — поможет онлайн-калькулятор дробей. Пользуйтесь им, если уже разобрались с темой и щелкаете задачки легко и без помощников:

примеры и способы решения математических задач для родителей

На протяжении всего обучения школьникам приходится решать задачи — в начальной школе по математике, а затем по алгебре, геометрии, физике и химии. И хотя условия задач в разных науках отличаются, способы решения основаны на одних и тех же логических принципах. Понимание того, как устроена простая задача по математике, поможет ребёнку разработать алгоритмы для решения задач из других областей науки. Поэтому учить ребёнка решать задачи необходимо уже с первого класса. 

Нередки случаи, когда точные науки вызывают у детей сопротивление. Видя это, учителя и родители записывают таких детей в «гуманитарии», из-за чего они только укрепляются во мнении, что точные науки — это не для них. Преподаватель математики Анна Эккерман уверена, что проблемы с математикой часто имеют исключительно психологический характер:

‍Детям вбивают в голову, что математика — это сложно. К длинным нудным параграфам в учебнике сложно подступиться. Учитель ставит на ребёнке клеймо «троечника» или «двоечника». Если не внушать детям, что они глупые и у них ничего не получится, у них получится ровно всё.

Чтобы ребёнку было интересно учить математику, он должен понимать, как эти знания пригодятся ему, даже если он не собирается становиться программистом или инженером.

Математика ежедневно помогает нам считать деньги, без умения вычислять периметр и площадь невозможно сделать ремонт, а навык составления пропорций незаменим в кулинарии — используйте это. Превращайте ежедневные бытовые вопросы в математические задачи для ребёнка: пусть польза математики станет для него очевидна. 

Конечно, найти в быту применение иррациональным числам или квадратным уравнениям не так просто. И если польза этих знаний вызывает у подростка вопросы, объясните ему, что с их помощью мы тренируем память, развиваем логическое мышление и остроту ума — навыки, в равной степени необходимые как «технарям», так и «гуманитариям».  

Как правильно научить ребёнка решать задачи

Если ребёнок только начинает осваивать навык решения задач, приучите его придерживаться определённого алгоритма.   

1. Внимательно читаем условия  

Лучше вслух и несколько раз. После того как ребёнок прочитал задачу, задайте ему вопросы по тексту и убедитесь, что ему понятно, что вычислять нужно количество грибов, а не огурцов. Старайтесь не нервничать, если ребёнок упустил что-то из вида. Дайте ему разобраться самостоятельно. Если в условиях упоминаются неизвестные ребёнку реалии — объясните, о чём идёт речь.

Особую сложность представляют задачи с косвенным вопросом, например:

«Один динозавр съел 16 деревьев, это на 3 меньше, чем съел второй динозавр. Сколько деревьев съел второй динозавр?». Невнимательно прочитав условия, ребёнок посчитает 16−3, и получит неправильный ответ, ведь эта задача на самом деле требует не вычитания, а сложения.        

2. Делаем описание задачи

В решении некоторых задач поможет представление данных в виде схемы, графика или рисунка. Чем ярче сложится образ, тем проще будет его осмыслить. Наглядная запись позволит ребёнку не только быстро разобраться в условиях задачи, но и поможет увидеть связь между ними. Часто план решения возникает уже на этом этапе. 

Ребёнок должен чётко понимать значения словесных формул и знать, какие математические действия им соответствуют.  

Формы краткой записи условий задач / shkola4nm.ru
‍

3. Выбор способа решения

Наглядно записанное условие должно подтолкнуть ребёнка к нахождению решения. Если этого не произошло, попробуйте задать наводящие вопросы, проиллюстрировать задачу при помощи окружающих предметов или разыграть сценку. Если один из способов объяснения не сработал — придумайте другой. Многократное повторение одного и того же вопроса неэффективно. 

Все, даже самые сложные, математические задачи сводятся к принципу «из двух известных получаем неизвестное». Но для нахождения этой пары чисел часто требуется выполнить несколько действий, то есть разложить задачу на несколько более простых.  

Ребёнок должен знать способы получения неизвестных данных из двух известных:

• слагаемое = сумма − слагаемое
• вычитаемое = уменьшаемое − разность
• уменьшаемое = вычитаемое + разность
• множитель = произведение ÷ множитель
• делитель = делимое ÷ частное
• делимое = делитель × частное
  

После того как план действий найден, подробно запишите решение. Оно должно отражать всю последовательность действий — так ребёнок сможет запомнить принцип и пользоваться им в дальнейшем. 

4. Формулировка ответа

Ответ должен быть полным и точным. Это не просто формальность: обдумывая ответ, ребёнок привыкает серьёзно относиться к результатам своего труда. А главное — из описания должна быть понятна логика решения.

Задание из базового курса алгебры домашней онлайн-школы «Фоксфорда», 7 класс
‍

Одна из самых распространённых ошибок — представление в ответе не тех данных, о которых спрашивалось изначально. Если такая проблема возникает, нужно вернуться к первому пункту.   

5. Закрепление результата

Не стоит думать, что выполнив задание один раз, ребёнок сразу научится решать задачи. Полученный результат нужно зафиксировать. Для этого подумайте над решённой задачей ещё немного: предложите ребёнку поискать другой способ решения или спросите, как изменится ответ при изменении того или иного параметра в условии.

Важно, чтобы у ребёнка сложился чёткий алгоритм рассуждений и действий в каждом из вариантов. 

В нашей онлайн-школе, помимо уроков, ученики могут закреплять  свои знания на консультациях в формате открытых часов, где учителя разбирают темы, вызвавшие затруднения, показывают необычные задачи и различные способы их решения. 

Что поможет ребёнку решать задачи  

В заключение расскажем о том, как сделать процесс решения задач проще и интереснее:

• Для того чтобы решать задачи, необходимо уметь считать. Следует выучить с ребёнком таблицу умножения, освоить примеры с дробями и простые уравнения.
• Чтобы решение задач не превратилось для ребёнка в рутину, проявите фантазию. Меняйте текст задания в соответствии с интересами ребёнка. Например, решать задачи на движение будет куда интереснее, если заменить банальные поезда трансформерами, летящими навстречу друг другу в эпической схватке. 
• Дети с развитой логикой учатся решать задачи быстрее. Советуем разбавлять чисто математические задания логическими. Задачи «с подвохом» избавят ребёнка от шаблонного мышления, а задания с большим количеством лишних данных научат выделять главное из большого количества условий.   

<<Блок перелинковки>>

После того как ребёнок решит достаточно задач одного типа, предложите ему самому придумать задачу. Это позволит ему не только закрепить материал, но и проявить творческие способности.

Пропорции и соотношения в физических задачах

Пропорции и соотношения в физических задачах.

Автор: Аметова Эльмас Зеккиевна, учитель физики высшей категории МБОУ «Вилинская СОШ №2 с русским и крымскотатарским языками обучения» Бахчисарайского района Республики Крым.

Знания по физике становятся необходимыми в различных сферах деятельности человека. Решение физических задач — едва ли не главная часть физических знаний. Профессор Лев Давидович Ландау сказал: “Учебник физики должен состоять из одних задач. При их решении происходит усвоение физических знаний”. Но есть проблемы, одна из которых: неумение учащимися применять математические знания для решения физических задач. Практически все задачи по физике можно легко решать, используя математический аппарат. Но иногда то, что допустимо при решении задач по физике, недопустимо в общей математической практике.

Мне хотелось бы разобрать решения задач с использованием пропорций, отношений и соотношений из следующих физических тем: “Равновесие рычага”, “Уравнение Менделеева-Клапейрона. Внутренняя энергия идеального газа”, “Закон всемирного тяготения”, “Закон прямолинейного распространения света” и “Механические колебания. Математический маятник”.

Впервые интерес к пропорции, возникающей при делении отрезка в крайнем и среднем отношении, возникает в античной науке. Об этом свидетельствуют древнеегипетские храмы, знаменитые пирамиды (III тысячелетие до н.э.), также гробницы Менеса, дворцы в Персии и другое множество архитектурных сооружений древности. Необходимость возникновения и развития понятий пропорциональности и отношения отрезков, площадей и других величин появилась при построении упомянутых памятников древности.

Важную роль в создании понятия “пропорция” сыграл древнегреческий математик, астроном и механик Евдокс ( IV век до нашей эры). Слово «пропорция» ввел в употребление Цицерон в 1 веке до н.э., который буквально означал аналогия, соотношение.

Пропорция (от лат. proportio – «соотношение») – это отношение между двумя или более соразмерными величинами. Термин «пропорция» используется в математике, архитектуре, медицине, кулинарии, строительстве, химии, физике, природе, музыке и других областях науки и искусства. В создании образной выразительности в костюме огромную роль играют отношения и пропорции частей формы одежды. Пропорция-это равенство двух отношений. Если это равенство содержит переменную, значение которой надо найти, то оно является уравнением.

Запись пропорции.

Пропорцию с помощью букв записывают так: a:b=с:d или .

Хочется упомянуть о так называемом «золотом сечением». Золотым сечением называли математики древности и средневековья деление отрезка, при котором длина всего отрезка так относится к длине его большей части, как длина большей части к меньшей, и это отношение равно 8:5=5:3 =1,6. (8=5+3).

Основное свойство пропорции гласит, что в правильной пропорции произведение крайних членов равно произведению средних членов.

Отличным примером применения пропорции является задача на использование правила равновесия рычага (Архимеда).

Рассмотрим задачу на рычаг.

На концах рычага действуют силы 2 и 18 Н. Длина рычага 1 м. Где находится точка опоры, если рычаг — в равновесии? (Весом рычага пренебречь).

Преобразовав пропорцию и используя ее новый вид (уравнение), определили длины плеч рычага.

Еще есть соотношение (или просто отношением). Это некоторая взаимосвязь между сущностями нашего мира. Это могут быть числа, физические величины, предметы, продукты, явления, действия и даже люди.

В математике соотношение чаще употребляется как «отношение того-то к тому-то». Например, соотношение четырёх цилиндров и двух кубов в математике будет читаться как «отношение четырех кубов к двум цилиндрам»

Рассмотрим задачу из геометрической оптики.

На какой высоте H находится лампа над горизонтальной поверхностью стола, если тень от вертикально поставленного на стол карандаша высотой h= 0,15 м оказалась равной x= 0,1м при расстоянии от основания карандаша до основания перпендикуляра, опущенного из центра лампы на поверхность стола ℓ= 0,9 м?

Как видим, чтобы измерить высоту потолка или столба не обязательно лезть на него, достаточно построить правильное соотношение.

В 10-м классе мы решали задачу на закон всемирного тяготения. Оказалось, что у этой задачи есть 2 способа решения. Остановимся на них.

Задача про космонавта.

Космонавт, находясь на Земле, притягивается к ней с силой 700 Н. С какой силой он будет притягиваться к Марсу, находясь на его поверхности, если радиус Марса примерно в 2 раза, а масса в 10 раз меньше чем у Земли?

Видно, что гораздо проще и интересней использовать не метод подстановки, а метод составления отношения величин друг к другу. Столько сокращений сразу! Главное: не перепутать основную дробь с другими! И ведь опять – пропорция!

Подобным образом можно решить задачу про маятники.

За одно и то же время один математический маятник делает 50 колебаний, а второй 30. Найти их длины, если один из них на 0, 32 м короче другого.

Как видно, можно без измерительных приборов и с помощью пропорций определить длину математического маятника. Здесь была использована формула периода колебаний математического маятника (через его длину ускорение свободного падения) и зависимость периода от числа колебаний и времени.

Во многих задачах, на первый взгляд, слишком много неизвестных. Кажется, что такая задача не может быть решена. Но если в задаче стоит вопрос о том, во сколько раз одна величина больше или меньше другой, то, скорее всего, все вспомогательные величины, которые мы введем для того, чтобы было проще, рассуждать на заключительном этапе, когда мы будем рассчитывать отношение, сократятся.

Уравнения с одним неизвестным во время решения задач по физике появляются при использовании законов, правил, определений или непосредственно выведенных применительно к той или иной задаче формул. В школьной физике большинство уравнений могут быть сведены к уравнениям, которые содержат неизвестные величины в первой степени. Достаточно редко встречаются уравнения второй степени и крайне редко третьей. Другое дело, что записанные в своем первоначальном виде, уравнения часто являются довольно громоздкими, и требуется большой опыт для того, чтобы выразить из них неизвестные величины. К сожалению, именно неумение выполнить тождественные преобразования уравнений, очень часто не позволяет школьникам правильно решить задачу и получить удовольствие от изучения физики. Из ошибок, которые наиболее часто делаются школьниками, следует особо сказать о тех, которые связаны с неумением производить операции с алгебраическими дробями. При решении уравнения допускается выполнять только тождественные преобразования, т.е. такие, которые не приводят к изменению решений первоначального уравнения.

Применение отношения при решении задач молекулярной физики.

Рассмотрим пример. Дано уравнение PV = m/µ RT, нужно вычислить неизвестную µ. Более половины учащихся самостоятельно сделать это не могут, хотя на математике долго изучают делитель, делимое, частное. Самый простой способ выражения неизвестной – это метод пропорций (крест на крест) т. е. при переносе из одной части уравнения в другую меняем расположение µ = mRT/PV. Такой способ успешно используется многими учителями.

До сих пор мы рассмотрели все случаи, когда делятся друг на друга одинаковые величины. В следующей же задаче мы будем делить друг на друга разные величины.

При ее решении образуется система уравнений, причем ее можно решить двумя методами.

Первый метод – это метод подстановки, при котором неизвестная величина, входящая в одно из уравнений, выражается, так как при решении уравнения с одним неизвестным. Затем полученное выражение для этой неизвестной величины подставляется вместо нее во второе уравнение. Этот метод часто приводит к громоздким выражениям. При этом можно совершить множество ошибок.

Суть второго метода в том, что уравнения системы складываются, вычитаются, умножаются или делятся друг на друга. То есть над правыми и над левыми частями уравнений производятся одинаковые действия. Это нужно для сокращения неизвестных величин после выполнения некоторых действий над ними. Этот метод является более эффективным, но в данном случае требуется сообразительность и опыт.

Рассмотрим применение этих методов в следующей задаче.

В баллоне объемом 2 л находится гелий. Внутренняя энергия гелия равна 300 Дж. Определите давление в сосуде.

Здесь важно было определить, что на что делить и заметить одинаковые величины в уравнении Менделеева — Клапейрона и формуле внутренней энергии газа! Кстати, можно делить импульс на кинетическую энергию, даже силу Кулона взаимодействия электрических зарядов на силу всемирного тяготения, то есть фактически один закон на другой! В «многоэтажных» выражениях, когда одна дробь делится на другую, необходимо различать основную дробь и дополнительные, знак равенства следует ставить точно напротив основной дроби. При решении уравнения допускается выполнять только тождественные преобразования, т.е. такие, которые не приводят к изменению решений первоначального уравнения.

И еще. Умение построить правильное отношение— важный навык при решении задач.

Использовать математику в физике – это настоящее искусство! Но, чем заниматься методом подстановки, проще делить одно выражение на другое, причем можно делить и разные физические величины. Мои материалы могут пригодиться школьникам и молодым учителям на уроках физики. А сколько еще тем мы не рассмотрели! Описанные алгоритмы, при их активном использовании на уроках позволяют существенно сократить время на приобретения учащимися навыка решения задач. Алгоритмы универсальны и могут применяться в любой теме курса физики. Можно один раз затратить учебное время на обучение решению задач, а затем вводить только новые законы и закономерности. И еще: все-таки, есть своя красота в физических задачах!

Список использованных источников:

1. Поль Дирак http://dmpokrov.livejournal.com/403285.html

2. Лев Давидович Ландау: Обучение студентов Майя Бессараб. Москва. «Октопус» 2008 г. 61 с.

3. Глава из книги И.И.Гарина «Ангелы библиотек». 2017 г. 660с. Автор И.И.Гарин. https://www.proza.ru/2017/03/10/804

4. Книга «Начала», автор Евклид, издательство «Лириком» год 2012. 446 страниц

5. «Теория отношений Евдокса и теория сечений Дедекинда» Струнилина К. teh—krasina.ru›…NSO…teorija_otnoshenij…i_teorija…

6. Никольский. С.М. Математика -6 класс. С.М.Никольский, М.К.Потапов, Н.Н.Решетникова Москва: «Просвещение» 2014 год, 256 с.

7. Сборник задач по физике для 7-9 классов – Лукашик В.И., Иванова Е.В. Москва «Просвещение» 2011:

8. Исаков Александр Яковлевич. И 85 Физика. Решение задач ЕГЭ. Часть 8. Оптические явления. Кам-чат ГТУ, 2013. 195 с.7

9. Мякишев Г.Я., Буховцев Б.Б., Сотский Н.Н. (Под ред. Николаева В.И., Парфентьевой Н.А). Физика-10: учебник для общеобразовательных учреждений с приложением на электронном носителе: базовый и профильный уровни М.: Просвещение, 2014, 416 с.

10. Сборник задач и упражнений по физике под ред. Рымкевич -2011 г. 158 с.

11. Демидова М.Ю., Грибов В.А., Лукашева Е.В., Чистякова Н.И. «Физика ЕГЭ 2016». Издательство «Экзамен», 2016 г. 294 с.

Соотношения и пропорции — Пропорции

Пропорция просто утверждение, что два соотношения равны. Это можно записать двумя способами: как две равные дроби a / b = c / d; или используя двоеточие, a: b = c: d. Следующие пропорция читается как «двадцать равно двадцати пяти, как четыре — пяти».

В проблемах включая пропорции, мы можем использовать перекрестные произведения, чтобы проверить, равны и образуют пропорцию.Чтобы найти перекрестные произведения пропорции, мы умножаем внешние члены, называемые крайними, и средние члены, называемые значение.

Здесь 20 и 5 — крайности, а 25 и 4 — средние. Поскольку кросс-продукты оба равны сотне, мы знаем, что эти отношения равны и что это это верная пропорция.

Мы также можем используйте перекрестные произведения, чтобы найти пропущенный член в пропорции.Вот пример. В фильме ужасов с участием гигантского жука он выглядел на 50 футов выше. длинный. Однако для жука использовалась модель, которая на самом деле была всего 20 дюймов. длинный. В фильме также использовалась модель здания высотой 30 дюймов. Какого роста здание кажется в фильме?

Сначала напишите пропорция, в которой пропущенный член заменяется буквой. Мы находим произведите перекрестное произведение, умножив 20 на x и 50 на 30.Затем разделите на найти х. Внимательно изучите этот шаг, потому что это метод, который мы будем часто использовать. по алгебре. Мы пытаемся найти неизвестное нам число x в левой части уравнение само по себе. Поскольку x умножается на 20, мы можем использовать «обратный» умножения, то есть деления, чтобы избавиться от 20. Мы можем разделить и то, и другое. стороны уравнения на одно и то же число, не меняя смысла уравнение. Когда мы разделим обе стороны на 20, мы обнаружим, что здание будет кажутся 75 футов высотой.

Обратите внимание, что мы используя обратное умножение на 20, то есть деление на 20, чтобы получить только x на одной стороне.

назад наверх

Соотношения и пропорции и способы их решения (Алгебра 1, Как решать линейные уравнения) — Mathplanet

Давайте поговорим о пропорциях и пропорциях. Когда мы говорим о скорости автомобиля или самолета, мы измеряем ее в милях в час. Это называется ставкой и является разновидностью соотношения.Отношение — это способ сравнения двух величин с использованием деления в милях в час, где мы сравниваем мили и часы.

Отношение можно записать тремя разными способами, и все они читаются как «отношение x к y»

$$ x \: to \: y $$

$$ x: y $$

$$ \ frac {x} {y} $$

С другой стороны, пропорция — это уравнение, которое говорит, что два отношения эквивалентны. Например, если один пакет смеси файлов cookie приводит к созданию 20 файлов cookie, это будет равносильно тому, что два пакета приведут к созданию 40 файлов cookie.

$$ \ frac {20} {1} = \ frac {40} {2} $$

Пропорция читается как «x относится к y, как z относится к w»

$$ \ frac {x} {y} = \ frac {z} {w} \: где \: y, w \ neq 0 $$

Если одно число в пропорции неизвестно, вы можете найти это число, решив пропорцию.

---

Пример

Вы знаете, что для приготовления 20 блинов нужно использовать 2 яйца. Сколько яиц нужно для приготовления 100 блинов?

	Яйца	блины
Небольшое количество	2	20
Большое количество	х	100

$$ \ frac {яйца} {блины} = \ frac {яйца} {блины} \: \: или \: \: \ frac {блины} {яйца} = \ frac {блины} {яйца} $ $

Если мы напишем неизвестное число в номинаторе, то мы сможем решить это, как любое другое уравнение

$$ \ frac {x} {100} = \ frac {2} {20} $$

Умножаем обе стороны на 100

$$ {\ color {зеленый} {100 \, \ cdot}} \, \ frac {x} {100} = {\ color {зеленый} {100 \, \ cdot}} \, \ frac {2} { 20} $$

$$ x = \ frac {200} {20} $$

$$ x = 10 $$

Если в знаменателе стоит неизвестное число, мы можем использовать другой метод, включающий перекрестное произведение.Перекрестное произведение — это произведение числителя одного из соотношений и знаменателя второго отношения. Произведения пропорции всегда равны

.

Если мы снова воспользуемся примером с смесью печенья, использованной выше

$$ \ frac {{\ color {green} {20}}} {{\ color {blue} {1}}} = \ frac {{\ color {blue} {40}}} {{\ color {зеленый } {2}}} $$

$$ {\ color {blue} {1}} \ cdot {\ color {blue} {40}} = {\ color {green} {2}} \ cdot {\ color {green} {20}} = 40

$

Говорят, что в пропорции, если

$$ \ frac {x} {y} = \ frac {z} {w} \: где \: y, w \ neq 0 $$

$$ xw = yz $$

Если вы посмотрите на карту, она всегда говорит вам в одном из углов, что 1 дюйм карты соответствует гораздо большему расстоянию в реальности.Это называется масштабированием. Мы часто используем масштабирование для изображения различных объектов. Масштабирование подразумевает воссоздание модели объекта и передачу его пропорций, но с разным размером. Можно увеличить (увеличить) или уменьшить (уменьшить). Например, масштаб 1: 4 представляет четвертую часть. Таким образом, любое измерение, которое мы видим в модели, будет составлять 1/4 от реального измерения. Если мы хотим вычислить обратное, где у нас есть стена высотой 20 футов и мы хотим воспроизвести ее в масштабе 1: 4, мы просто вычисляем:

$$ 20 \ cdot 1: 4 = 20 \ cdot \ frac {1} {4} = 5 $$

В масштабной модели 1: X, где X — постоянная величина, все измерения становятся 1 / X — от реального измерения.Та же математика применима, когда мы хотим увеличить. При изображении чего-либо в масштабе 2: 1 все измерения становятся в два раза больше, чем на самом деле. Мы делим на 2, когда хотим найти фактическое измерение.

---

Видеоурок

Найти x

$$ \ frac {x} {x + 20} = \ frac {24} {54} $$

Базовые или простые пропорции — ChiliMath

Предположим, есть два отношения a: b и c: d. Их можно записать в виде дробей \ Large {a \ over b} и \ Large {c \ over d} соответственно.Теперь, если мы установим эти два отношения равными друг другу , то получится соотношение .

---

Способы записать пропорции

Пропорция — это утверждение, показывающее, что два соотношения равны. Пропорцию можно записать двумя способами:

И то, и другое можно прочитать как «a is to b as c is to d».

---

Теперь давайте определим частей пропорции . Эта концепция понадобится нам для решения проблем в дальнейшем.

В форме двоеточия крайние значения — это два самых внешних значения, а средние — два самых внутренних значения.

• ФОРМА ФРАКЦИИ (стандартная форма)

В дробной форме крайние значения — это значения, попадающие в диагональ, проведенную сверху слева направо, в то время как средние значения — это значения, попадающие в диагональ, проведенную снизу слева направо.

---

После знакомства с определением и частями пропорции, мы можем теперь поговорить о свойствах пропорций . Это два полезных свойства, которые можно использовать для решения проблем.

Свойства пропорций

1) Взаимная собственность

Если два отношения равны, то их обратные величины также должны быть равны, пока они существуют.

2) Совместная собственность продуктов

Произведение крайностей равно произведению средних.

---

Примеры применения концепции пропорций

Пример 1: Покажите, что указанная ниже пропорция верна.

Чтобы пропорция была верной, дроби в обеих частях уравнения должны быть уменьшены до одного и того же значения.Дробь в левой части уравнения имеет наибольший общий делитель 5. В то время как дробь справа имеет наибольший общий делитель 6.

Поскольку две дроби с обеих сторон равны после сокращения до наименьшего члена, мы можем утверждать, что данная пропорция равна истинному !

---

Пример 2: Покажите, что указанная ниже пропорция верна.

Мы также можем показать, верна ли пропорция, используя свойство Cross Product. Проще говоря, если произведение их крайностей (внешних ценностей) равно произведению средних (внутренних значений), то пропорция верна.

Это показывает, что данная пропорция равна истинным !

---

Пример 3: Решите пропорцию ниже.

Эта проблема — пропорция с неизвестным значением. Наша цель — найти значение «х», при котором пропорция станет истинной. Мы можем легко решить эту проблему, используя свойство Cross Product.

Вы можете снова подставить x = 2 в исходную пропорцию и убедиться, что это действительно правильный ответ.

---

Пример 4: Решите пропорцию ниже.

Единственное отличие этой задачи от примера № 3 состоит в том, что неизвестная переменная «x» находится в знаменателе. Решить эту пропорцию так же просто, как применить свойство перекрестного произведения, а затем решить простое уравнение, которое получается из него.

В качестве альтернативы вы можете сначала применить Взаимное свойство, чтобы переместить переменную «x» снизу вверх, прежде чем использовать свойство «Перекрестное произведение». Ответ должен быть таким же.

---

Пример 5: Решите пропорцию ниже.

Это еще один тип проблем, с которыми вы можете столкнуться при решении пропорций. Формат пропорции использует двоеточие вместо дроби. Чтобы решить эту проблему, нам нужно переписать пропорцию в дробной форме, а затем решить ее как обычно.

Так как a: b = c: d можно записать как \ Large {a \ over b} = {c \ over d}, то наша исходная задача становится \ Large {{12} \ over x} = {4 \ over 3 }.

Давайте решим эту проблему…

Замените x = 9 на исходную пропорцию, чтобы проверить свой ответ.

---

Пример 6: Обменный курс между долларом США и индийской рупией составляет 2 к 106 . Сколько у вас было бы по этому курсу доллара США, если бы вы обменяли 901 индийскую рупию?

Мы хотим установить пропорцию, которую мы можем решить. Мы можем сделать это двумя способами. Один из способов — поместить долларовые значения в числители, а рупии — в знаменатели пропорции. А другой способ — поменяться местами. Любая из настроек должна дать нам одинаковый ответ.

В этом упражнении мы поместим информацию о долларах вверху.

Решите неизвестное значение «x», чтобы получить требуемое значение в долларах.

Это означает, что на момент обмена 17 долларов США эквивалентны 901 индийской рупии .

---

⚠️ Следующий пример представляет собой сложную задачу, потому что он потребует от вас критического мышления и решения многоступенчатых линейных уравнений с переменными на обеих сторонах уравнения.

Пример 7: Вы хотите разрезать брусок длиной 72 фута на две части так, чтобы отношение более короткой части к более длинной составляло 2: 7.Какова их длина?

Пусть «x» будет длиной более короткого отрезка. Это означает, что «72 — x» будет более длинной фигурой. См. Диаграмму ниже.

Принято, что отношение более короткого к более длинному фрагменту составляет 2: 7. Используя всю эту информацию, мы можем теперь установить пропорцию для определения длины как коротких, так и более длинных частей.

Решение указанной выше пропорции с использованием свойства пропорциональности перекрестного произведения…

Поскольку более короткая часть имеет размер x = 16 футов , это означает, что более длинная часть имеет размер 72 — x = 72 — 16 = 56 футов .

Чтобы выполнить проверку, нам сказали в задаче, что отношение более короткого отрезка к более длинному составляет 2 к 7. Обратите внимание, что когда мы уменьшаем дробь \ Large {{16} \ over {56}} до наименьшего члена, получим желаемое соотношение.

---

Практика с рабочими листами

Пропорции

Пропорция означает, что два соотношения (или дроби) равны.

Пример:

Итак, 1 из 3 равно 2 из 6

Коэффициенты одинаковы, поэтому они пропорциональны.

Пример: веревка

Длина веревки и вес пропорциональны.

Если 20 м каната весит 1 кг , тогда:

• 40 м веревки весит 2 кг
• 200 м из этой веревки весит 10 кг
• и т. Д.

Итак:

20 1 знак равно 40 2

Размеры

Когда формы «пропорциональны», их относительные размеры одинаковы.

Здесь мы видим, что отношения длины головы к длине тела одинаковы на обоих рисунках. Значит они пропорциональны . Слишком длинная или короткая голова будет выглядеть плохо!

Пример. Международные форматы бумаги (например, A3, A4, A5 и т. Д.) Имеют одинаковые пропорции:

Таким образом, любой рисунок или документ можно изменить, чтобы он поместился на любом листе.Очень аккуратный.

Работа с пропорциями

ТЕПЕРЬ, как нам это использовать?

Пример: вы хотите нарисовать голову собаки … какой длины она должна быть?

Запишем пропорцию с помощью соотношения 10/20 сверху:

? 42 знак равно 10 20

Сейчас решаем специальным методом:

Умножьте на известные углы,
затем разделите на третье число

И получаем это:

? = (42 × 10) / 20
= 420/20
= 21

Итак, вам следует нарисовать голову 21 длиной .

Использование пропорций для вычисления процентов

Процент — это на самом деле соотношение! Сказать «25%» на самом деле означает «25 на 100»:

25% = 25 100

Мы можем использовать пропорции для решения вопросов, связанных с процентами.

Уловка состоит в том, чтобы поместить то, что мы знаем, в эту форму:

Часть Целая = Процент 100

Пример: что составляет 25% от 160?

Процент 25, целое 160, и мы хотим найти «часть»:

Деталь 160 = 25 100

Умножьте на известные углы, затем разделите на третье число:

Часть = (160 × 25) / 100
= 4000/100
= 40

Ответ: 25% от 160 это 40.

Примечание: мы также могли бы решить эту проблему, выполнив сначала разделение, например:

Часть = 160 × (25/100)
= 160 × 0,25
= 40

Любой метод работает нормально.

Мы также можем найти процент:

Пример: сколько 12 долларов в процентах от 80 долларов?

Укажите, что мы знаем:

$ 12 $ 80 = % 100

Умножьте на известные углы, затем разделите на третье число.На этот раз известные углы — верхний левый и нижний правый:

.

Процент = (12 долларов США × 100) / 80 долларов США 90 402 = 1200/80
= 15%

Ответ: 12 долларов — это 15% из 80 долларов

Или найдите все:

Пример: продажная цена телефона составляла 150 долларов, что составляло только 80% от нормальной цены. Какая была нормальная цена?

Укажите, что мы знаем:

$ 150 Всего = 80 100

Умножьте на известные углы, затем разделите на третье число:

Всего = (150 $ × 100) / 80
= 15000/80
= 187.50

Ответ: нормальная цена телефона была 187,50 $

Использование пропорций для решения треугольников

Мы можем использовать пропорции для решения подобных треугольников.

Пример: Какой высоты у дерева?

Сэм попытался использовать лестницу, рулетку, веревки и другие вещи, но так и не смог определить, насколько высоким было дерево.

Но тут Сэму пришла в голову умная идея … похожие треугольники!

Сэм измеряет палку и ее тень (в метрах), а также тень от дерева, и вот что он получает:

Теперь Сэм делает набросок треугольников и записывает соотношение «высота к длине» для обоих треугольников:

Высота: Длина тени: h 2.9 мес. = 2,4 м 1,3 м

Умножьте на известные углы, затем разделите на третье число:

h = (2,9 × 2,4) / 1,3
= 6,96 / 1,3
= 5,4 м (с точностью до 0,1)

Ответ: дерево 5,4 м высотой.

И ему даже лестница не понадобилась!

«Высота» могла быть внизу, если она была внизу для ОБОИХ соотношений, например:

Попробуем соотношение «Длина тени к высоте»:

Длина тени: Высота: 2.9 м ч = 1,3 м 2,4 м

Умножьте на известные углы, затем разделите на третье число:

h = (2,9 × 2,4) / 1,3
= 6,96 / 1,3
= 5,4 м (с точностью до 0,1)

Это тот же расчет, что и раньше.

A Пример «Бетон»

Коэффициенты могут иметь более двух чисел !

Например, бетон получают путем смешивания цемента, песка, камней и воды.

Типичная смесь цемента, песка и камней записывается как соотношение, например 1: 2: 6.

Мы можем умножить все значения на одну и ту же величину и получить то же соотношение.

10:20:60 совпадает с 1: 2: 6

Итак, когда мы используем 10 ведер цемента, мы должны использовать 20 ведер песка и 60 камней.

Пример: вы только что загрузили в миксер 12 ведер камней, сколько цемента и сколько песка нужно добавить, чтобы получилась смесь 1: 2: 6?

Разложим в таблице для наглядности:

	Цемент	Песок	Камни
Необходимое соотношение:	1	2	6
У вас:			12

У вас 12 ведер с камнями, но в соотношении 6.

Это нормально, у вас просто вдвое больше камней, чем число в соотношении … так что вам нужно в два раза больше из всего , чтобы сохранить соотношение.

Вот решение:

	Цемент	Песок	Камни
Необходимое соотношение:	1	2	6
У вас:	2	4	12

И соотношение 2: 4: 12 такое же, как 1: 2: 6 (потому что они показывают те же относительных размеров )

Итак, ответ: добавьте 2 ведра цемента и 4 ведра песка. (Вам также понадобится вода и много перемешивания ….)

Почему у них одинаковое соотношение? Ну, соотношение 1: 2: 6 говорит о :

• в два раза больше песка, чем цемента (1: 2: 6)
• Камней в 6 раз больше, чем цемента (1: 2: 6)

В нашем миксе:

• в два раза больше песка, чем цемента (2: 4: 12)
• Камней в 6 раз больше, чем цемента (2: 4: 12)

Так должно быть в самый раз!

Это хорошая вещь о соотношениях.Вы можете увеличивать или уменьшать суммы, и если относительные размеры совпадают, тогда соотношение будет таким же.

Пропорции — Объяснение и примеры

Трудно представить, какой была бы наша жизнь без математических понятий, таких как пропорции. В нашей повседневной жизни мы часто сталкиваемся с пропорциями и соотношениями, когда идем за покупками, готовим еду, путешествуем по профессии и т. Д.

Соотношения и пропорции необходимы для — эффективной работы. В этой статье мы узнаем, как рассчитывать пропорции и применять полученные знания для решения типовых задач, но перед этим давайте начнем с определения соотношений.

Коэффициент — это способ сравнения двух или более величин. Знак, используемый для обозначения отношения, — двоеточие «: » Предположим, что a и b — две разные величины или числа, тогда отношение a к b можно записать как a / b или a: b.Точно так же отношение b к a также может быть представлено как b: a или b / a. Первая величина в соотношении называется антецедентом, а вторая величина — как следствие.

Примеры соотношений: : ¾ или 3: 4, 1/5 или 1: 5, 199/389 или 199: 389 и т. Д. Из этого примера очевидно, что соотношение — это просто дробь, где антецедент — это числитель, а консеквент — знаменатель.

Знаменитый рисунок Леонардо да Винчи «Витрувианский человек» основан на идеальных пропорциях человеческого тела.Каждая часть тела занимает разное соотношение, например, лицо занимает около 1/10 от общей высоты, а голова занимает около 1/8 от общей высоты. Средневековые писатели впервые использовали слово proportio (пропорция). В 1948 году Ле Корбюзье дал систему пропорций.

Что такое пропорция?

Пропорция — это выражение, которое говорит нам, что два соотношения эквивалентны. Два отношения называются пропорциональными, если они эквивалентны. Пропорции обозначаются знаком «:» или «=».Например, если a, b, c и d — целые числа, тогда пропорция записывается как a: b = c: d или a / b = c / d или b: a = d: c. Например, отношения 3: 5 и 15:25 пропорциональны и записываются как 3: 5 = 15: 25

.

Четыре числа a, b, c и d известны как члены пропорции. Первый a и последний член d называются крайними членами, а второй и третий члены в пропорциональном выражении называются средними членами.

Как решить пропорции?

Легко вычислить, пропорциональны ли соотношения.Чтобы проверить, пропорционально ли соотношение a: b и c: d.

• Умножьте первый член на последний член: a x d
• Умножьте второй член на третий член: b x c
• Если произведение крайних членов равно произведению средних членов, то отношения пропорциональны: a x d = b x c

Продолжение пропорции

Говорят, что два отношения a: b и b: c находятся в непрерывной пропорции, если a: b = b: c. В этом случае член c называется третьей пропорцией a и b, тогда как b называется средней пропорцией между членами a и c.

Когда члены a, b и c находятся в непрерывной пропорции, получается следующая формула:

а / б = б / ц

Перекрестное умножение членов дает; a x c = b x b, следовательно,

b² = ac

Пример 1

Узнайте, пропорциональны ли следующие соотношения: 8:10 и 12:15.

Пояснение

• Умножьте первое и четвертое члены отношений.

8 × 15 = 120

• Теперь умножьте второй и третий член.

10 × 12 = 120

• Поскольку произведение крайностей равно произведению средних,
• Поскольку, произведение средних (120) = произведение крайностей (120),
• Следовательно, 8: 10 и 12:15 пропорциональны.

Пример 2

Убедитесь, что соотношение 6: 12 :: 12: 24 является пропорцией.

Пояснение

• Это случай непрерывной пропорции, поэтому примените формулу a x c = b x b,
• В данном случае a: b: c = 6: 12: 24, следовательно, a = 6, b = 12 и c = 24
• Умножьте первое и третье слагаемые:

6 × 24 = 144

• Квадрат средних членов:

(12) ² = 12 × 12 = 144

• Следовательно, соотношение 6:12:24 является пропорциональным.

Пример 3

Если 12: 18 :: 20: стр.Найдите значение x, чтобы соотношения были пропорциональными?

Пояснение

Дано: 12: 18 :: 20: p

Приравняйте произведение крайностей к произведению средств;
⇒ 12 × p = 20 × 18
⇒ p = (20 × 18) / 12

Решить относительно p;
⇒ p = 30
Следовательно, значение p = 30

Пример 4

Найдите третью пропорцию 3 и 6.

Пояснение

• Пусть третий пропорциональный будет c.
• Тогда b² = ac
  6 x 6 = 3 x c

С = 36/3

= 12

Таким образом, третье число, пропорциональное 3 и 6, равно 12

Пример 5

Вычислить среднее пропорциональное от 3 до 27

Пояснение

• Пусть среднее значение, пропорциональное от 3 до 27, равно m.
• Применяя формулу b² = ac; ‘

Следовательно, m x m = 27 x 3 = 81

м ² = 81
⇒ m = √81
⇒ m = 9
Следовательно, среднее значение, пропорциональное между 3 и 27, равно 9

Пример 6

Учитывая отношения a: b = 4: 5 и b: c = 6: 7, определите соотношение a: b: c.

Пояснение

• Поскольку b является общим членом между двумя отношениями;
• Умножьте каждый член первого отношения на значение b второго отношения;

a: b = 4: 5 = 24:30,

• Также умножьте каждый член второго отношения на значение b первого отношения;

б: с = 6: 7 = 30: 35

Следовательно, соотношение a: b: c = 24:30:35

Золотое сечение

Самым большим применением пропорции является золотое сечение , которое очень помогло в анализе пропорций различных объектов и созданных руками человека систем, таких как финансовые рынки.Считается, что эти две величины находятся в золотом сечении, если их отношение равно отношению их суммы к большей из двух величин, то есть (a + b) / a = a / b, где a> b> 0.

Это соотношение обозначается греческой буквой φ. Дальнейшее упрощение этого уравнения дает φ ² — φ — 1 = 0. Решая это по формуле корней квадратного уравнения, мы получаем φ = 1.6180339887…

Евклид и многие математики после него работали над золотым сечением и нашли его существование в правильном пятиугольнике и золотом прямоугольнике.

Практические вопросы

1. Определите значение пропущенной буквы в каждой из следующих пропорций.

а. 6: 9 = час: 15

г. т: 7 = 12: 21

г. 4: у = 8: 14

г. г: 3 = 0,4: 0,5

e. 1/3 ∶ 1/4 = 1/9:

ф. 9: к = 6: 10

г. 2: 7 = м: 42

ч. 30: 25 = 42: r

и. х: 1,5 = 6,3: 4,5

2. Учитывая первый, второй и четвертый члены в пропорции 9, 21 и 77 соответственно.Вычислите значение третьего члена.

3. Стоимость 4 кг риса 28 долларов. Найдите стоимость 20 кг риса.

4. Отношение длины цветника к ширине 3/2. Рассчитайте длину цветника, если ширина 36 м.

5. В церковном хоре должны быть сформированы группы из мужчин и женщин. Если каждая группа должна состоять из 6 женщин и 4 мужчин. Сколько мужчин нужно, если в церкви 102 женщины?

ответы

1.

а. 10

г. 4

г. 7

г. 2,4

e. 1/12

ф. 15

г. 12

ч. 35

и. 2,1

2. 33

3. 140 долларов США

4. 54 м

5. 68

Предыдущий урок | Главная страница | Следующий урок

Написание и решение процентных пропорций

Результаты обучения

• Перевести выражение в пропорцию
• Решите процентную долю

Ранее мы решали процентные уравнения, применяя свойства равенства, которые мы использовали для решения уравнений по всему тексту.Некоторые люди предпочитают решать процентные уравнения, используя метод пропорций. Метод пропорции для решения процентных задач предполагает процентное соотношение. Пропорция процентов — это уравнение, в котором процент равен эквивалентному соотношению.

Например, [latex] \ text {60%} = \ frac {60} {100} [/ latex], и мы можем упростить [latex] \ frac {60} {100} = \ frac {3} {5} [/латекс]. Поскольку уравнение [латекс] \ frac {60} {100} = \ frac {3} {5} [/ latex] показывает процент, равный эквивалентному соотношению, мы называем это процентным соотношением.Используя словарь, который мы использовали ранее:

[латекс] \ frac {\ text {amount}} {\ text {base}} = \ frac {\ text {percent}} {100} [/ latex]
[латекс] \ frac {3} {5} = \ frac {60} {100} [/ латекс]

Процентная доля

Сумма дана в процентах к [латексу] 100 [/ латексу].

[латекс] \ frac {\ text {amount}} {\ text {base}} = \ frac {\ text {percent}} {100} [/ latex]

Если мы переформулируем проблему словами пропорции, может быть проще установить пропорцию:

[латекс] \ mathit {\ text {Сумма отнесена к основанию, как процент к сотне.}} [/ latex]
Можно также сказать:

[латекс] \ mathit {\ text {Сумма вне основы такая же, как и процент из ста.}} [/ Latex]
Сначала мы попрактикуемся в переводе в процентную пропорцию. Позже мы решим пропорцию.

пример

Перевести в пропорции. Какое число [латекс] \ text {75%} [/ latex] из [latex] 90? [/ Latex]

Решение
Если вы ищете слово «из», оно может помочь вам определить базу.

Определите части процентной доли.
Вычислить в пропорции.	Какое число из [латекса] 90 [/ латекса] совпадает с [латексом] 75 [/ латексом] из [латекса] 100 [/ латексом]?
Настройте пропорцию. Пусть [latex] n = \ text {number} [/ latex].	[латекс] \ frac {n} {90} = \ frac {75} {100} [/ латекс]

пример

Перевести в пропорции. [латекс] 19 [/ латекс] это [латекс] \ текст {25%} [/ латекс] какого числа?

Показать решение

Решение

Определите части процентной доли.
Вычислить в пропорции.	[латекс] 19 [/ латекс] из какого числа совпадает с [латексом] 25 [/ латексом] из [латексом] 100 [/ латексом]?
Настройте пропорцию. Пусть [latex] n = \ text {number} [/ latex].	[латекс] \ frac {19} {n} = \ frac {25} {100} [/ латекс]

пример

Перевести в пропорции. Какой процент [латекса] 27 [/ латекса] составляет [латекс] 9? [/ Latex]

Показать решение

Решение

Определите части процентной доли.
Вычислить в пропорции.	[латекс] 9 [/ латекс] из [латекса] 27 [/ латекс] совпадает с каким числом из [латекса] 100 [/ латекса]?
Настройте пропорцию. Пусть [latex] p = \ text {percent} [/ latex].	[латекс] \ frac {9} {27} = \ frac {p} {100} [/ латекс]

Теперь, когда мы записали процентные уравнения как пропорции, мы готовы решать уравнения.

пример

Переведите и решите, используя пропорции: Какое число [latex] \ text {45%} [/ latex] of [latex] 80? [/ Latex]

Показать решение

Решение

Определите части процентной доли.
Вычислить в пропорции.	Какое число из [латекса] 80 [/ латекса] совпадает с [латексом] 45 [/ латексом] из [латекса] 100 [/ латексом]?
Настройте пропорцию. Пусть [latex] n = [/ latex] число.	[латекс] \ frac {n} {80} = \ frac {45} {100} [/ латекс]
Найдите перекрестные произведения и приравняйте их.	[латекс] 100 \ cdot {n} = 80 \ cdot {45} [/ латекс]
Упростить.	[латекс] 100n = 3,600 [/ латекс]
Разделите обе стороны на [латекс] 100 [/ латекс].	[латекс] \ frac {100n} {100} = \ frac {3,600} {100} [/ латекс]
Упростить.	[латекс] n = 36 [/ латекс]
Проверьте, разумен ли ответ.
Да. [латекс] 45 [/ латекс] чуть меньше половины [латекса] 100 [/ латекса], а [латекс] 36 [/ латекс] чуть меньше половины [латекса] 80 [/ латекса].
Напишите полное предложение, которое отвечает на вопрос.	[латекс] 36 [/ латекс] — это [латекс] 45 \ text {%} [/ латекс] из [латекса] 80 [/ латекс].

В следующем видео показан аналогичный пример решения процентной доли.

В следующем примере процент больше, чем [латекс] 100 [/ латекс], что больше, чем одно целое. Так что неизвестное число будет больше, чем базовое.

пример

Переведите и решите, используя пропорции: [latex] \ text {125%} [/ latex] of [latex] 25 [/ latex] — это какое число?

Показать решение

Решение

Определите части процентной доли.
Вычислить в пропорции.	Какое число из [латекса] 25 [/ латекса] совпадает с [латексом] 125 [/ латексом] из [латекса] 100 [/ латексом]?
Настройте пропорцию. Пусть [latex] n = [/ latex] число.	[латекс] \ frac {n} {25} = \ frac {125} {100} [/ латекс]
Найдите перекрестные произведения и приравняйте их.	[латекс] 100 \ cdot {n} = 25 \ cdot {125} [/ латекс]
Упростить.	[латекс] 100n = 3,125 [/ латекс]
Разделите обе стороны на [латекс] 100 [/ латекс].	[латекс] \ frac {100n} {100} = \ frac {3,125} {100} [/ латекс]
Упростить.	[латекс] n = 31,25 [/ латекс]
Проверьте, разумен ли ответ.
Да. [латекс] 125 [/ латекс] больше, чем [латекс] 100 [/ латекс], и [латекс] 31,25 [/ латекс] больше, чем [латекс] 25 [/ латекс].
Напишите полное предложение, которое отвечает на вопрос.	[латекс] 125 \ text {%} [/ latex] из [latex] 25 [/ latex] is [latex] 31.25 [/ латекс].

Проценты с десятичными знаками и деньги также используются в пропорциях.

пример

Переведите и решите: [latex] \ text {6.5%} [/ latex] из какого числа [latex] \ text {\ $ 1.56}? [/ Latex]

Показать решение

Решение

Определите части процентной доли.
Вычислить в пропорции.	[латекс] \ text {\ $ 1.56} [/ латекс] из какого числа совпадает с [латексом] 6,5 [/ латексом] из [латексом] 100 [/ латексом]?
Настройте пропорцию. Пусть [latex] n = [/ latex] число.	[латекс] \ frac {1.56} {n} = \ frac {6.5} {100} [/ латекс]
Найдите перекрестные произведения и приравняйте их.	[латекс] 100 \ cdot {1.56} = n \ cdot {6.5} [/ латекс]
Упростить.	[латекс] 156 = 6.5n [/ латекс]
Разделите обе стороны на [латекс] 6,5 [/ латекс], чтобы изолировать переменную.	[латекс] \ frac {156} {6.5} = \ frac {6.5n} {6.5} [/ латекс]
Упростить.	[латекс] 24 = n [/ латекс]
Проверьте, разумен ли ответ.
Да. [latex] 6.5 \ text {%} [/ latex] — это небольшое количество, а [latex] \ text {\ $ 1.56} [/ latex] намного меньше, чем [latex] \ text {\ $ 24} [/ latex].
Напишите полное предложение, которое отвечает на вопрос.	[латекс] 6.5 \ text {%} [/ latex] из [latex] \ text {\ $ 24} [/ latex] is [latex] \ text {\ $ 1.56} [/ латекс].

В следующем видео мы показываем аналогичную проблему, обратите внимание на другую формулировку, которая приводит к тому же уравнению.

пример

Переведите и решите, используя пропорции: Какой процент [latex] 72 [/ latex] составляет [latex] 9? [/ Latex]

Показать решение

Решение

Определите части процентной доли.
Вычислить в пропорции.	[латекс] 9 [/ латекс] из [латекса] 72 [/ латекс] совпадает с каким числом из [латекса] 100 [/ латекс]?
Настройте пропорцию. Пусть [latex] n = [/ latex] число.	[латекс] \ frac {9} {72} = \ frac {n} {100} [/ латекс]
Найдите перекрестные произведения и приравняйте их.	[латекс] 72 \ cdot {n} = 100 \ cdot {9} [/ латекс]
Упростить.	[латекс] 72n = 900 [/ латекс]
Разделите обе стороны на [латекс] 72 [/ латекс].	[латекс] \ frac {72n} {72} = \ frac {900} {72} [/ латекс]
Упростить.	[латекс] n = 12,5 [/ латекс]
Проверьте, разумен ли ответ.
Да. [latex] 9 [/ latex] — это [latex] \ frac {1} {8} [/ latex] из [latex] 72 [/ latex] и [latex] \ frac {1} {8} [/ latex] это [латекс] 12,5 \ текст {%} [/ латекс].
Напишите полное предложение, которое отвечает на вопрос.	[латекс] 12,5 \ text {%} [/ latex] из [latex] 72 [/ latex] is [latex] 9 [/ latex].

Посмотрите следующее видео, чтобы увидеть аналогичную проблему.

Решающие пропорции | Предалгебра

Результаты обучения

• Решите уравнение пропорции
• Решение пропорции приложения

Чтобы решить пропорцию, содержащую переменную, мы помним, что пропорция — это уравнение. Все методы, которые мы использовали до сих пор для решения уравнений, по-прежнему применимы.В следующем примере мы решим пропорцию путем умножения на наименьший общий знаменатель (LCD), используя свойство умножения равенства.

пример

Решение: [latex] \ frac {x} {63} = \ frac {4} {7} [/ latex].

Решение

		[латекс] \ frac {x} {63} = \ frac {4} {7} [/ латекс]
Чтобы выделить [латекс] x [/ латекс], умножьте обе стороны на ЖК-дисплей, [латекс] 63 [/ латекс].		[латекс] \ color {red} {63} (\ frac {x} {63}) = \ color {red} {63} (\ frac {4} {7}) [/ latex]
Упростить.		[латекс] x = \ frac {9 \ cdot \ color {red} {7} \ cdot4} {\ color {red} {7}} [/ latex]
Разделите общие множители.		[латекс] x = 36 [/ латекс]
Проверить: Чтобы проверить наш ответ, подставляем исходную пропорцию.
	[латекс] \ frac {x} {63} = \ frac {4} {7} [/ латекс]
Заменитель [латекс] x = \ color {красный} {36} [/ latex]	[латекс] \ frac {\ color {red} {36}} {63} \ stackrel {?} {=} \ Frac {4} {7} [/ latex]
Показать общие множители.	[латекс] \ frac {4 \ cdot9} {7 \ cdot9} \ stackrel {?} {=} \ Frac {4} {7} [/ latex]
Упростить.	[латекс] \ frac {4} {7} = \ frac {4} {7} [/ латекс]

В следующем видео мы покажем еще один пример решения уравнения пропорции с помощью ЖК-дисплея.

Когда переменная находится в знаменателе, мы будем использовать тот факт, что перекрестные произведения пропорции равны, чтобы решить пропорции.

Мы можем найти перекрестные произведения пропорции и затем приравнять их. Затем мы решаем получившееся уравнение, используя знакомые нам методы.

пример

Решение: [latex] \ frac {144} {a} = \ frac {9} {4} [/ latex].

Показать решение

Решение
Обратите внимание, что переменная находится в знаменателе, поэтому мы будем решать, найдя перекрестные произведения и установив их равными.

Найдите перекрестные произведения и приравняйте их.		[латекс] 4 \ cdot144 = a \ cdot9 [/ латекс]
Упростить.		[латекс] 576 = 9a [/ латекс]
Разделите обе стороны на [латекс] 9 [/ латекс].		[латекс] \ frac {576} {9} = \ frac {9a} {9} [/ латекс]
Упростить.		[латекс] 64 = а [/ латекс]
Проверьте свой ответ.
	[латекс] \ frac {144} {a} = \ frac {9} {4} [/ латекс]
Заменитель [латекс] a = \ color {красный} {64} [/ latex]	[латекс] \ frac {144} {\ color {red} {64}} \ stackrel {?} {=} \ Frac {9} {4} [/ latex]
Показать общие множители..	[латекс] \ frac {9 \ cdot16} {4 \ cdot16} \ stackrel {?} {=} \ Frac {9} {4} [/ latex]
Упростить.	[латекс] \ frac {9} {4} = \ frac {9} {4} \ quad \ checkmark [/ latex]

Другой способ решить эту проблему — умножить обе стороны на ЖК-дисплей, [латекс] 4a [/ латекс]. Попробуйте и убедитесь, что вы получили такое же решение.

В следующем видео показан пример решения аналогичной проблемы с помощью ЖК-дисплея.

пример

Решение: [латекс] \ frac {52} {91} = \ frac {-4} {y} [/ latex].

Показать решение

Решение

Найдите перекрестные произведения и приравняйте их.
		[латекс] y \ cdot52 = 91 (-4) [/ латекс]
Упростить.		[латекс] 52y = -364 [/ латекс]
Разделите обе стороны на [латекс] 52 [/ латекс].		[латекс] \ frac {52y} {52} = \ frac {-364} {52} [/ латекс]
Упростить.		[латекс] y = -7 [/ латекс]
Чек:
	[латекс] \ frac {52} {91} = \ frac {-4} {y} [/ latex]
Заменитель [латекс] y = \ color {красный} {- 7} [/ latex]	[латекс] \ frac {52} {91} \ stackrel {?} {=} \ Frac {-4} {\ color {red} {- 7}} [/ латекс]
Показать общие множители.	[латекс] \ frac {13 \ cdot4} {13 \ cdot4} \ stackrel {?} {=} \ Frac {-4} {\ color {красный} {- 7}} [/ латекс]
Упростить.	[латекс] \ frac {4} {7} = \ frac {4} {7} \ quad \ checkmark [/ latex]

Решение приложений с использованием пропорций

Стратегия решения приложений, которую мы использовали ранее в этой главе, также работает для пропорций, поскольку пропорции являются уравнениями. Когда мы устанавливаем пропорцию, мы должны убедиться, что единицы измерения верны — единицы в числителях совпадают, а единицы в знаменателях совпадают.

пример

Когда педиатры прописывают детям ацетаминофен, они назначают [латекс] 5 [/ латекс] миллилитров (мл) ацетаминофена на каждые [латекс] 25 [/ латекс] фунтов веса ребенка.Если Зоя весит [латекс] 80 [/ латекс] фунтов, сколько миллилитров парацетамола пропишет ее врач?

Показать решение

Решение

Укажите, что вас просят найти.	Сколько мл парацетамола пропишет врач
Выберите переменную для ее представления.	Пусть [латекс] а = [/ латекс] мл ацетаминофена.
Напишите предложение, которое дает информацию, чтобы найти его.	Если [латекс] 5 [/ латекс] мл прописан на каждые [латекс] 25 [/ латекс] фунтов, сколько будет прописано для [латекса] 80 [/ латекс] фунтов?
Перевести в пропорции.
Замените приведенные значения — будьте осторожны с единицами измерения.	[латекс] \ frac {5} {25} = \ frac {a} {80} [/ латекс]
Умножьте обе стороны на [латекс] 80 [/ латекс].	[латекс] 80 \ cdot \ frac {5} {25} = 80 \ cdot \ frac {a} {80} [/ латекс]
Умножьте и покажите общие множители.	[латекс] \ frac {16 \ cdot5 \ cdot5} {5 \ cdot5} = \ frac {80a} {80} [/ латекс]
Упростить.	[латекс] 16 = а [/ латекс]
Проверьте, разумен ли ответ.
Да. Поскольку [латекс] 80 [/ латекс] примерно [латекс] 3 [/ латекс] раз [латекс] 25 [/ латекс], лекарство должно быть примерно [латекс] 3 [/ латекс] раз [латекс] 5 [/ латекс] ].
Напишите полное предложение.	Педиатр прописал Зое [латекс] 16 [латекс] мл парацетамола.

Вы также можете решить эту пропорцию, установив равные перекрестные произведения.

пример

Одна марка попкорна для микроволновой печи содержит [латекс] 120 [/ латекс] калорий на порцию.В целой сумке этого попкорна [латекс] 3,5 [/ латекс] порции. Сколько калорий в целой упаковке этого попкорна для микроволновки?

Показать решение

Решение

Укажите, что вас просят найти.	Сколько калорий в целой упаковке попкорна для микроволновки?
Выберите переменную для ее представления.	Пусть [latex] c = [/ latex] количество калорий.
Напишите предложение, которое дает информацию, чтобы найти его.	Если на порцию [латекса] 120 [/ latex] калорий, сколько калорий в целом пакете с 3,5 порциями [/ latex]?
Перевести в пропорции.
Заменить заданные значения.	[латекс] \ frac {120} {1} = \ frac {c} {3.5} [/ латекс]
Умножить обе стороны на [латекс] 3,5 [/ латекс].	[латекс] (3.5) (\ frac {120} {1}) = (3.5) (\ frac {c} {3.5}) [/ латекс]
Умножить.	[латекс] 420 = c [/ латекс]
Проверьте, разумен ли ответ.
Да. Поскольку [латекс] 3,5 [/ латекс] находится между [латексом] 3 [/ латексом] и [латексом] 4 [/ латексом], общее количество калорий должно быть между [латексом] 360 (3–120) [/ латекс] и [ латекс] 480 (4⋅120) [/ латекс].
Напишите полное предложение.	Целый пакет с попкорном для микроволновки содержит 420 [латексных] калорий.

пример

Джозия отправился в Мексику на весенние каникулы и обменял 325 [латексных] долларов на мексиканские песо.В то время обменный курс доллара США [латекс] 1 [/ латекс] равнялся [латексу] 12,54 [/ латексу] мексиканских песо. Сколько мексиканских песо он получил за поездку?

Показать решение

Решение

Укажите, что вас просят найти.	Сколько мексиканских песо получил Иосия?
Выберите переменную для ее представления.	Пусть [latex] p = [/ latex] количество песо.
Напишите предложение, которое дает информацию, чтобы найти его.	Если [latex] \ text {\ $ 1} [/ latex] US равно [latex] 12,54 [/ latex] мексиканских песо, то сколько песо равно [latex] \ text {\ $ 325} [/ latex]?
Перевести в пропорции.
Заменить заданные значения.	[латекс] \ frac {1} {12.54} = \ frac {325} {p} [/ latex]
Переменная находится в знаменателе, поэтому найдите перекрестные произведения и установите их равными.	[латекс] p \ cdot {1} = 12,54 (325) [/ латекс]
Упростить.	[латекс] c = 4 075,5 [/ латекс]
Проверьте, разумен ли ответ.
Да, [latex] \ text {\ $ 100} [/ latex] будет [latex] \ text {\ $ 1,254} [/ latex] песо. [latex] \ text {\ $ 325} [/ latex] немного больше, чем [latex] в 3 [/ latex] раз больше этой суммы.
Напишите полное предложение.	У Джозии [латексные] 4075,5 [/ latex] песо для поездки на весенние каникулы.

В следующем видео мы показываем еще один пример решения приложения, в котором используются пропорции.