А если да, читай дальше.
Давайте проверим: действительно ли надо выбросить корень ? Подставим его в исходное уравнение :
Мы читаем все.
Еще раз обращаю внимание: сама дробь в модуле И равно 8 Пожалуйста помогите
Принципиально это ничем не отличается от раскрытия одного модуля, просто будет больше комбинаций – 4 штуки, по 2 на каждый модуль: 1) x>=0, y>=x; 2) x =x; 3) . и так далее19. Уравнения с модулем | Контрольные работы по математике и другим пре
Модулем (Абсолютной величиной) Числа называется неотрицательное число:
(3.9)
Геометрическая интерпретация модуля: – это расстояние от точки А до точки Х на координатной оси, в частности, – это расстояние от точки 0 до точки Х.
Свойства модуля:
1) 2) 3)
4) 5) 6)
7) 8) 9)
Пусть – некоторое алгебраическое выражение. Тогда, используя определение модуля (3.9) при соответствующих предположениях, можно раскрыть знак абсолютной величины данного выражения:
Уравнение, содержащее выражение с неизвестной Х под знаком модуля, называется Уравнением с модулем.
Рассмотрим основные типы уравнений с модулем и методы их решения.
I тип: уравнение вида
(3.10)
Где А – число, – некоторое выражение с неизвестной Х.
1. Если уравнение (3.10) решений не имеет.
2. Если уравнение (3.10) равносильно уравнению
3. Если уравнение (3.10) равносильно совокупности уравнений:
II тип: Уравнение вида
Где – некоторые выражения с неизвестной Х.
Решать это уравнение можно несколькими способами.
1-й способ – используя определения модуля:
2-й способ – используя подход к решению, как к уравнениям I типа с дополнительным условием на знак выражения
З а м е ч а н и е. 1-й или 2-й способ решения таких уравнений выбирают в зависимости от того, какое из неравенств или решается легче.
3-й способ – метод интервалов. Необходимо:
1) найти те значения Х, для которых
2) нанести полученные значения Х на числовую ось;
3) определить знаки для каждого из полученных интервалов;
4) нарисовать кривую знаков;
5) решить уравнение на каждом промежутке в отдельности, раскрывая модуль согласно рисунку;
6) для каждого конкретного промежутка проверить, принадлежат ли полученные корни этому промежутку;
7) в ответе указать совокупность всех полученных корней.
III тип: Уравнения, содержащие несколько модулей. Если их два, то это уравнение вида
(3.11)
Где – некоторые выражения с неизвестной Х.
1-й способ – можно использовать определение модуля и рассматривать 4 случая возможных знаков Этот способ, как правило, не является рациональным.
2-й способ – Метод интервалов. Необходимо нарисовать столько числовых осей и кривых знаков, сколько модулей в уравнении. Для уравнения (3.11) рисуют две оси, располагая их одна под другой (одна ось для вторая – для ). Для каждого выражения и следует изобразить кривую знаков на соответствующей оси. Затем раскрывают модули, используя рисунок, и решают уравнение отдельно на каждом промежутке. Подходят только те корни, которые принадлежат рассматриваемому промежутку. В ответе необходимо указать совокупность полученных корней.
IV тип: Уравнение вида
(3.12)
Где – некоторые выражения с неизвестной Х;
1-й способ – решение уравнения (3.
12) сводится к решению совокупности уравнений:
2-й способ – метод интервалов (не рационально).
3-й способ – после возведения уравнения в квадрат и использования свойства модуля уравнение сводится к равносильному:
Полученное уравнение решается в зависимости от его типа.
V тип: Уравнения, решаемые заменой переменной, например:
Где – некоторые выражения с неизвестной Х;
По свойству модуля оно записывается в виде
Вводят замену и решают полученное квадратное уравнение относительно неизвестной У. Затем необходимо вернуться к старой переменной. В случае 2-х различных корней квадратного уравнения это будет совокупность уравнений I типа:
Если корень единственный, то остается решить уравнение
Необходимо помнить, что в случае отрицательного значения уравнение с модулем не имеет решений.
Пример 1. Решить уравнение
Решение.
Это уравнение I типа. Его ОДЗ:
Уравнение записывается в виде
На ОДЗ можно сократить и получаем
откуда т. е.
Получаем корни которые подходят по ОДЗ.
Пример 2. Решить уравнение
Решение. Это уравнение II типа. Его ОДЗ: Оно имеет решение, если т. е. при Таким образом, для получаем:
(3.13)
Решим отдельно полученные дробно-рациональные уравнения. Первое уравнение сводится к виду
откуда
Это квадратное уравнение решений не имеет, так как
Из второго уравнения совокупности (3.13) получаем
т. е.
Квадратное уравнение имеет корни:
Т. е. первый корень не принадлежит множеству на котором решали уравнение, следовательно, ответом является только
Пример 3. Решить уравнение
Решение. Имеем уравнение II типа, которое решим по определению модуля:
(3.14)
Решаем первую систему совокупности (3.
14):
Значение не подходит по условию Следовательно, корнем является
Решаем вторую систему совокупности (3.14):
Получили ответ
Пример 4. Решить уравнение
Решение. Поскольку то уравнение записывается в виде
Это уравнение относится к III типу уравнений.
Его ОДЗ: Решим методом интервалов.
Нулями выражений, стоящих под модулем, являются и Эти значения разбивают числовую ось на три промежутка (рис. 3.1).
Рис. 3.1
Раскрыв модули на каждом из полученных промежутков, с учетом их знаков, получим совокупность систем:
Решим отдельно системы:
III.
Решением данного уравнения являются значения и
Пример 5. Решить уравнение
Решение. Запишем уравнение в виде
Оно относится к IV типу.
Возведем обе его части в квадрат:
После упрощения имеем:
т. е.
Получаем – корень.
Пример 6. Решить уравнение
Решение. ОДЗ: т. е.
Преобразуем данное уравнение к виду
Заменяем
Уравнение приобретает вид
Решаем его как дробно-рациональное и получаем:
Последнее квадратное уравнение имеет корни:
Возвращаясь к переменной Х, получаем:
Второе уравнение совокупности решений не имеет, так как слева положительное выражение, а справа – отрицательное.
Первое уравнение совокупности сводится к I типу уравнений с модулем и равносильно совокупности при условии
Приходим к совокупности
т. е.
Решение имеет только второе уравнение совокупности, его корни:
Оба они подходят по ОДЗ.
Пришли к ответу:
Пример 7.
Решить уравнение
Решение. ОДЗ:
С учетом ОДЗ данное уравнение равносильно уравнению:
Используя свойства модуля (имеем сумму двух неотрицательных величин), получаем:
Т. е. – решение полученной системы, оно подходит по ОДЗ.
Получили ответ:
| < Предыдущая | Следующая > |
|---|
Как решать простые уравнения с модулем. Что такое модуль числа в математике. Основные понятия и свойства
Инструкция
Если модуль представлен в виде непрерывной функции, то значение ее аргумента может быть как положительным, так и отрицательным: |х| = х, х ≥ 0; |х| = — х, х
Модуль нулю, а модуль любого положительного числа – ему . Если аргумент отрицательный, то после раскрытия скобок его знак меняется с минуса на плюс. На основании этого вытекает вывод, что модули противоположных равны: |-х| = |х| = х.
Модуль комплексного числа находится по формуле: |a| = √b ² + c ², а |a + b| ≤ |a| + |b|. Если в аргументе присутствует в виде множителя положительное число, то его можно вынести за знак скобки, например: |4*b| = 4*|b|.
Если аргумент представлен в виде сложного числа, то для удобства вычислений допускается порядка членов выражения, заключенного в прямоугольные скобки: |2-3| = |3-2| = 3-2 = 1, поскольку (2-3) меньше нуля.
Возведенный в степень аргумент одновременно находится под знаком корня того же порядка – он решается при помощи : √a² = |a| = ±a.
Если перед вами задача, в которой не указано условие раскрытия скобок модуля, то избавляться от них не нужно – это и будет конечный результат. А если требуется их раскрыть, то необходимо указать знак ±. Например, нужно найти значение выражения √(2 * (4-b)) ². Его решение выглядит следующим образом: √(2 * (4-b)) ² = |2 * (4-b)| = 2 * |4-b|. Поскольку знак выражения 4-b неизвестен, то его нужно оставить в скобках. Если добавить дополнительное условие, например, |4-b| >
Модуль нуля равен нулю, а модуль любого положительного числа – ему самому.
Если аргумент отрицательный, то после раскрытия скобок его знак меняется с минуса на плюс. На основании этого вытекает вывод, что модули противоположных чисел равны: |-х| = |х| = х.
Модуль комплексного числа находится по формуле: |a| = √b ² + c ², а |a + b| ≤ |a| + |b|. Если в аргументе присутствует в виде множителя целое положительное число, то его можно вынести за знак скобки, например: |4*b| = 4*|b|.
Отрицательным модуль быть не может, поэтому любое отрицательное число преобразуется в положительное: |-x| = x, |-2| = 2, |-1/7| = 1/7, |-2,5| = 2,5.
Если аргумент представлен в виде сложного числа, то для удобства вычислений допускается изменение порядка членов выражения, заключенного в прямоугольные скобки: |2-3| = |3-2| = 3-2 = 1, поскольку (2-3) меньше нуля.
Если перед вами задача, в которой не указано условие раскрытия скобок модуля, то избавляться от них не нужно – это и будет конечный результат. А если требуется их раскрыть, то необходимо указать знак ±. Например, нужно найти значение выражения √(2 * (4-b)) ². Его решение выглядит следующим образом: √(2 * (4-b)) ² = |2 * (4-b)| = 2 * |4-b|. Поскольку знак выражения 4-b неизвестен, то его нужно оставить в скобках. Если добавить дополнительное условие, например, |4-b| > 0, то в итоге получится 2 * |4-b| = 2 *(4 — b). В качестве неизвестного элемента также может быть задано конкретное число, которое следует принимать во внимание, т.к. оно будет влиять на знак выражения.
Одна из самых сложных тем для учащихся – это решение уравнений, содержащих переменную под знаком модуля. Давайте разберемся для начала с чем же это связано? Почему, например, квадратные уравнения большинство детей щелкает как орешки, а с таким далеко не самым сложным понятием как модуль имеет столько проблем?
На мой взгляд, все эти сложности связаны с отсутствием четко сформулированных правил для решения уравнений с модулем. Так, решая квадратное уравнение, ученик точно знает, что ему нужно сначала применять формулу дискриминанта, а затем формулы корней квадратного уравнения. А что делать, если в уравнении встретился модуль? Постараемся четко описать необходимый план действий на случай, когда уравнение содержит неизвестную под знаком модуля. К каждому случаю приведем несколько примеров.
Но для начала вспомним определение модуля . Итак, модулем числа a называется само это число, если a неотрицательно и -a , если число a меньше нуля. Записать это можно так:
|a| = a, если a ≥ 0 и |a| = -a, если a
Говоря о геометрическом смысле модуля, следует помнить, что каждому действительному числу соответствует определенная точка на числовой оси – ее координата. Так вот, модулем или абсолютной величиной числа называется расстояние от этой точки до начала отсчета числовой оси. Расстояние всегда задается положительным числом. Таким образом, модуль любого отрицательного числа есть число положительное. Кстати, даже на этом этапе многие ученики начинают путаться. В модуле может стоять какое угодно число, а вот результат применения модуля всегда число положительное.
Теперь перейдем непосредственно к решению уравнений.
1. Рассмотрим уравнение вида |x| = с, где с – действительное число. Это уравнение можно решить с помощью определения модуля.
Все действительные числа разобьем на три группы: те, что больше нуля, те, что меньше нуля, и третья группа – это число 0. Запишем решение в виде схемы:
{±c, если с > 0
Если |x| = c, то x = {0, если с = 0
{нет корней, если с
1) |x| = 5, т.к. 5 > 0, то x = ±5;
2) |x| = -5, т.к. -5
3) |x| = 0, то x = 0.
2. Уравнение вида |f(x)| = b, где b > 0. Для решения данного уравнения необходимо избавиться от модуля. Делаем это так: f(x) = b или f(x) = -b. Теперь необходимо решить отдельно каждое из полученных уравнений. Если в исходном уравнении b
1) |x + 2| = 4, т.к. 4 > 0, то
x + 2 = 4 или x + 2 = -4
2) |x 2 – 5| = 11, т.к. 11 > 0, то
x 2 – 5 = 11 или x 2 – 5 = -11
x 2 = 16 x 2 = -6
x = ± 4 нет корней
3) |x 2 – 5x| = -8 , т.к. -8
3. Уравнение вида |f(x)| = g(x). По смыслу модуля такое уравнение будет иметь решения, если его правая часть больше или равна нулю, т.е. g(x) ≥ 0. Тогда будем иметь:
f(x) = g(x) или f(x) = -g(x) .
1) |2x – 1| = 5x – 10. Данное уравнение будет иметь корни, если 5x – 10 ≥ 0. Именно с этого и начинают решение таких уравнений.
1. О.Д.З. 5x – 10 ≥ 0
2. Решение:
2x – 1 = 5x – 10 или 2x – 1 = -(5x – 10)
3. Объединяем О.Д.З. и решение, получаем:
Корень x = 11/7 не подходит по О.Д.З., он меньше 2, а x = 3 этому условию удовлетворяет.
Ответ: x = 3
2) |x – 1| = 1 – x 2 .
1. О.Д.З. 1 – x 2 ≥ 0. Решим методом интервалов данное неравенство:
(1 – x)(1 + x) ≥ 0
2. Решение:
x – 1 = 1 – x 2 или x – 1 = -(1 – x 2)
x 2 + x – 2 = 0 x 2 – x = 0
x = -2 или x = 1 x = 0 или x = 1
3. Объединяем решение и О.Д.З.:
Подходят только корни x = 1 и x = 0.
Ответ: x = 0, x = 1.
4. Уравнение вида |f(x)| = |g(x)|. Такое уравнение равносильно двум следующим уравнениям f(x) = g(x) или f(x) = -g(x).
1) |x 2 – 5x + 7| = |2x – 5|. Данное уравнение равносильно двум следующим:
x 2 – 5x + 7 = 2x – 5 или x 2 – 5x +7 = -2x + 5
x 2 – 7x + 12 = 0 x 2 – 3x + 2 = 0
x = 3 или x = 4 x = 2 или x = 1
Ответ: x = 1, x = 2, x = 3, x = 4.
5. Уравнения, решаемые методом подстановки (замены переменной). Данный метод решения проще всего объяснить на конкретном примере. Так, пусть дано квадратное уравнение с модулем:
x 2 – 6|x| + 5 = 0. По свойству модуля x 2 = |x| 2 , поэтому уравнение можно переписать так:
|x| 2 – 6|x| + 5 = 0. Сделаем замену |x| = t ≥ 0, тогда будем иметь:
t 2 – 6t + 5 = 0. Решая данное уравнение, получаем, что t = 1 или t = 5. Вернемся к замене:
|x| = 1 или |x| = 5
x = ±1 x = ± 5
Ответ: x = -5, x = -1, x = 1, x = 5.
Рассмотрим еще один пример:
x 2 + |x| – 2 = 0. По свойству модуля x 2 = |x| 2 , поэтому
|x| 2 + |x| – 2 = 0. Сделаем замену |x| = t ≥ 0, тогда:
t 2 + t – 2 = 0. Решая данное уравнение, получаем, t = -2 или t = 1. Вернемся к замене:
|x| = -2 или |x| = 1
Нет корней x = ± 1
Ответ: x = -1, x = 1.
6. Еще один вид уравнений – уравнения со «сложным» модулем. К таким уравнениям относятся уравнения, в которых есть «модули в модуле». Уравнения данного вида можно решать, применяя свойства модуля.
1) |3 – |x|| = 4. Будем действовать так же, как и в уравнениях второго типа. Т.к. 4 > 0, то получим два уравнения:
3 – |x| = 4 или 3 – |x| = -4.
Теперь выразим в каждом уравнении модуль х, тогда |x| = -1 или |x| = 7.
Решаем каждое из полученных уравнений. В первом уравнении нет корней, т.к. -1
Ответ x = -7, x = 7.
2) |3 + |x + 1|| = 5. Решаем это уравнение аналогичным образом:
3 + |x + 1| = 5 или 3 + |x + 1| = -5
|x + 1| = 2 |x + 1| = -8
x + 1 = 2 или x + 1 = -2. Нет корней.
Ответ: x = -3, x = 1.
Существует еще и универсальный метод решения уравнений с модулем. Это метод интервалов. Но мы его рассмотрим в дальнейшем.
сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.
Термин (module) в буквальном переводе с латинского означает «мера». Это понятие было введено в математику английским учёным Р. Котесом. А немецкий математик К. Вейерштрасс ввёл в обращение знак модуля — символ, которым это понятие обозначается при написании.
Вконтакте
Впервые данное понятие изучается в математике по программе 6 класса средней школы. Согласно одному из определений, модуль — это абсолютное значение действительного числа. Другими словами, чтобы узнать модуль действительного числа, необходимо отбросить его знак.
Графически абсолютное значение а обозначается как |a| .
Основная отличительная черта этого понятия заключается в том, что он всегда является неотрицательной величиной.
Числа, которые отличаются друг от друга только знаком, называются противоположными. Если значение положительное, то противоположное ему будет отрицательным, а ноль является противоположным самому себе.
Геометрическое значение
Если рассматривать понятие модуля с позиций геометрии, то он будет обозначать расстояние, которое измеряется в единичных отрезках от начала координат до заданной точки. Это определение полностью раскрывает геометрический смысл изучаемого термина.
Графически это можно выразить следующим образом: |a| = OA.
Свойства абсолютной величины
Ниже будут рассмотрены все математические свойства этого понятия и способы записи в виде буквенных выражений:
Особенности решения уравнений с модулем
Если говорить о решении математических уравнений и неравенств, в которых содержится module, то необходимо помнить, что для их решения потребуется открыть этот знак.
К примеру, если знак абсолютной величины содержит в себе некоторое математическое выражение, то перед тем как раскрыть модуль, необходимо учитывать действующие математические определения.
|А + 5| = А + 5 , если, А больше или равняется нулю.
5-А , если, А значение меньше нуля.
В некоторых случаях знак может раскрываться однозначно при любых значениях переменной.
Рассмотрим ещё одни пример. Построим координатную прямую, на которой отметим все числовые значения абсолютной величиной которых будет 5.
Для начала необходимо начертить координатную прямую, обозначить на ней начало координат и задать размер единичного отрезка. Кроме того, прямая должна иметь направление. Теперь на этой прямой необходимо нанести разметки, которые будут равны величине единичного отрезка.
Таким образом, мы можем увидеть, что на этой координатной прямой будут две интересующие нас точки со значениями 5 и -5.
А вычисляется в соответствии с такими правилами:
Для краткости записи применяют |а| . Так, |10| = 10; — 1 / 3 = | 1 / 3 |; | -100| =100 и т. д.
Всякой величине х соответствует достаточно точная величина |х |. И значит тождество у = |х | устанавливает у как некоторую функцию аргумента х .
График этой функции представлен ниже.
Для x > 0 |x | = x , а для x x |= —x ; в связи с этим линия у = |x | при x > 0 совмещена с прямой у =х (биссектриса первого координатного угла), а при х у = -х (биссектриса второго координатного угла).
Отдельные уравнения включают в себя неизвестные под знаком модуля .
Произвольные примеры таких уравнений — |х — 1| = 2, |6 — 2х | =3х + 1 и т. д.
Решение уравнений содержащих неизвестную под знаком модуля базируется на том, что если абсолютная величина неизвестного числа х равняется положительному числу а, то само это число х равняется или а, или -а.
Например :, если |х | = 10, то или х =10, или х = -10.
Рассмотрим решение отдельных уравнений .
Проанализируем решение уравнения |х — 1| = 2.
Раскроем модуль тогда разность х — 1 может равняться или + 2, или — 2. Если х — 1 = 2, то х = 3; если же х — 1 = — 2, то х = — 1. Делаем подставновку и получаем, что оба эти значения удовлетворяют уравнению.
Ответ. Указанное уравнение имеет два корня: x 1 = 3, x 2 = — 1.
Проанализируем решение уравнения | 6 — 2х | = 3х + 1.
После раскрытия модуля получаем: или 6 — 2х = 3х + 1, или 6 — 2х = — (3х + 1).
В первом случае х = 1, а во втором х = — 7.
Проверка. При х = 1 |6 — 2х | = |4| = 4, 3x + 1 = 4; от суда следует, х = 1 — корен ь данного уравнения .
При x = — 7 |6 — 2x | = |20| = 20, 3x + 1= — 20; так как 20 ≠ -20, то х = — 7 не является корнем данного уравнения.
Ответ. У уравнения единственный корень: х = 1.
Уравнения такого типа можно решать и графически .
Так решим, например , графически уравнение |х- 1| = 2.
Первоначально выполним построение графика функции у = |x — 1|. Первым начертим график функции у =х- 1:
Ту часть этого графика , которая расположена выше оси х менять не будем. Для нее х — 1 > 0 и потому |х -1|=х -1.
Часть графика, которая расположена под осью х , изобразим симметрично относительно этой оси. Поскольку для этой части х — 1 х — 1|= — (х — 1). Образовавшаяся в результате линия (сплошная линия) и будет графиком функции у = |х —1|.
Эта линия пересечется с прямой у = 2 в двух точках: M 1 с абсциссой -1 и М 2 с абсциссой 3. И, соответственно, у уравнения |х — 1| =2 будет два корня: х 1 = — 1, х 2 = 3.
Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.
Сбор и использование персональной информации
Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.
От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.
Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.
Какую персональную информацию мы собираем:
- Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.
Как мы используем вашу персональную информацию:
- Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
- Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
- Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
- Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.
Раскрытие информации третьим лицам
Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.
Исключения:
- В случае если необходимо — в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ — раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
- В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.
Защита персональной информации
Мы предпринимаем меры предосторожности — включая административные, технические и физические — для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.
Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании
Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.
Как раскрыть модуль в модуле в уравнении. Уравнения с модулем. Решение неравенств с модулем
Инструкция
Если модуль представлен в виде непрерывной функции, то значение ее аргумента может быть как положительным, так и отрицательным: |х| = х, х ≥ 0; |х| = — х, х
Модуль нулю, а модуль любого положительного числа – ему . Если аргумент отрицательный, то после раскрытия скобок его знак меняется с минуса на плюс. На основании этого вытекает вывод, что модули противоположных равны: |-х| = |х| = х.
Модуль комплексного числа находится по формуле: |a| = √b ² + c ², а |a + b| ≤ |a| + |b|. Если в аргументе присутствует в виде множителя положительное число, то его можно вынести за знак скобки, например: |4*b| = 4*|b|.
Если аргумент представлен в виде сложного числа, то для удобства вычислений допускается порядка членов выражения, заключенного в прямоугольные скобки: |2-3| = |3-2| = 3-2 = 1, поскольку (2-3) меньше нуля.
Возведенный в степень аргумент одновременно находится под знаком корня того же порядка – он решается при помощи : √a² = |a| = ±a.
Если перед вами задача, в которой не указано условие раскрытия скобок модуля, то избавляться от них не нужно – это и будет конечный результат. А если требуется их раскрыть, то необходимо указать знак ±. Например, нужно найти значение выражения √(2 * (4-b)) ². Его решение выглядит следующим образом: √(2 * (4-b)) ² = |2 * (4-b)| = 2 * |4-b|. Поскольку знак выражения 4-b неизвестен, то его нужно оставить в скобках. Если добавить дополнительное условие, например, |4-b| >
Модуль нуля равен нулю, а модуль любого положительного числа – ему самому. Если аргумент отрицательный, то после раскрытия скобок его знак меняется с минуса на плюс. На основании этого вытекает вывод, что модули противоположных чисел равны: |-х| = |х| = х.
Модуль комплексного числа находится по формуле: |a| = √b ² + c ², а |a + b| ≤ |a| + |b|. Если в аргументе присутствует в виде множителя целое положительное число, то его можно вынести за знак скобки, например: |4*b| = 4*|b|.
Отрицательным модуль быть не может, поэтому любое отрицательное число преобразуется в положительное: |-x| = x, |-2| = 2, |-1/7| = 1/7, |-2,5| = 2,5.
Если аргумент представлен в виде сложного числа, то для удобства вычислений допускается изменение порядка членов выражения, заключенного в прямоугольные скобки: |2-3| = |3-2| = 3-2 = 1, поскольку (2-3) меньше нуля.
Если перед вами задача, в которой не указано условие раскрытия скобок модуля, то избавляться от них не нужно – это и будет конечный результат. А если требуется их раскрыть, то необходимо указать знак ±. Например, нужно найти значение выражения √(2 * (4-b)) ². Его решение выглядит следующим образом: √(2 * (4-b)) ² = |2 * (4-b)| = 2 * |4-b|. Поскольку знак выражения 4-b неизвестен, то его нужно оставить в скобках. Если добавить дополнительное условие, например, |4-b| > 0, то в итоге получится 2 * |4-b| = 2 *(4 — b). В качестве неизвестного элемента также может быть задано конкретное число, которое следует принимать во внимание, т.к. оно будет влиять на знак выражения.
Модуль – это абсолютная величина выражения. Чтобы хоть как-то обозначить модуль, принято использовать прямые скобки. То значение, которое заключено в ровных скобках, и является тем значением, которое взято по модулю. Процесс решения любого модуля заключается в раскрытии тех самых прямых скобок, которые математическим языком именуются модульными скобками. Их раскрытие происходит по определенному ряду правил. Также, в порядке решения модулей, находятся и множества значений тех выражений, которые находились в модульных скобках. В большей части всех случаев, модуль раскрывается таким способом, что выражение, которое было подмодульным, получает и положительные, и отрицательные значения, в числе которых также и значение ноль. Если отталкиваться от установленных свойств модуля, то в процессе составляются различные уравнения или же неравенства от исходного выражения, которые затем необходимо решить. Разберемся же с тем, как решать модули.
Процесс решения
Решение модуля начинается с записи исходного уравнения с модулем. Чтобы ответить на вопрос о том, как решать уравнения с модулем, нужно раскрыть его полностью. Для решения такого уравнения, модуль раскрывается. Все модульные выражения должны быть рассмотрены. Следует определить при каких значениях неизвестных величин, входящих в его состав, модульное выражение в скобках обращается в ноль. Для того чтобы это сделать, достаточно приравнять выражение в модульных скобках к нулю, а затем высчитать решение образовавшегося уравнения. Найденные значения нужно зафиксировать. Таким же способом нужно определить еще и значение всех неизвестных переменных для всех модулей в данном уравнении. Далее необходимо заняться определением и рассмотрением всех случаев существования переменных в выражениях, когда они отличны от значения ноль. Для этого нужно записать некоторую систему из неравенств соответственно всем модулям в исходном неравенстве. Неравенства должны быть составлены так, чтоб они охватывали все имеющиеся и возможные значения для переменной, которые находят на числовой прямой. Затем нужно начертить для визуализации эту самую числовую прямую, на которой в дальнейшем отложить все полученные значения.
Практически все сейчас можно сделать в интернете. Не является исключением из правил и модуль. Решить онлайн его можно на одном из многочисленных современных ресурсов. Все те значения переменной, которые находятся в нулевом модуле, будут особым ограничением, которое будет использовано в процессе решения модульного уравнения. В исходном уравнении требуется раскрыть все имеющиеся модульные скобки, при этом, изменяя знак выражения, таким образом, чтобы значения искомой переменной совпадали с теми значениями, которые видно на числовой прямой. Полученное уравнение необходимо решить. То значение переменной, которое будет получено в ходе решения уравнения, нужно проверять на ограничение, которое задано самим модулем. Если значение переменной полностью удовлетворяет условие, то оно является правильным. Все корни, которые будут получены в ходе решения уравнения, но не будут подходить по ограничениям, должны быть отброшены.
Одна из самых сложных тем для учащихся – это решение уравнений, содержащих переменную под знаком модуля. Давайте разберемся для начала с чем же это связано? Почему, например, квадратные уравнения большинство детей щелкает как орешки, а с таким далеко не самым сложным понятием как модуль имеет столько проблем?
На мой взгляд, все эти сложности связаны с отсутствием четко сформулированных правил для решения уравнений с модулем. Так, решая квадратное уравнение, ученик точно знает, что ему нужно сначала применять формулу дискриминанта, а затем формулы корней квадратного уравнения. А что делать, если в уравнении встретился модуль? Постараемся четко описать необходимый план действий на случай, когда уравнение содержит неизвестную под знаком модуля. К каждому случаю приведем несколько примеров.
Но для начала вспомним определение модуля . Итак, модулем числа a называется само это число, если a неотрицательно и -a , если число a меньше нуля. Записать это можно так:
|a| = a, если a ≥ 0 и |a| = -a, если a
Говоря о геометрическом смысле модуля, следует помнить, что каждому действительному числу соответствует определенная точка на числовой оси – ее координата. Так вот, модулем или абсолютной величиной числа называется расстояние от этой точки до начала отсчета числовой оси. Расстояние всегда задается положительным числом. Таким образом, модуль любого отрицательного числа есть число положительное. Кстати, даже на этом этапе многие ученики начинают путаться. В модуле может стоять какое угодно число, а вот результат применения модуля всегда число положительное.
Теперь перейдем непосредственно к решению уравнений.
1. Рассмотрим уравнение вида |x| = с, где с – действительное число. Это уравнение можно решить с помощью определения модуля.
Все действительные числа разобьем на три группы: те, что больше нуля, те, что меньше нуля, и третья группа – это число 0. Запишем решение в виде схемы:
{±c, если с > 0
Если |x| = c, то x = {0, если с = 0
{нет корней, если с
1) |x| = 5, т.к. 5 > 0, то x = ±5;
2) |x| = -5, т.к. -5
3) |x| = 0, то x = 0.
2. Уравнение вида |f(x)| = b, где b > 0. Для решения данного уравнения необходимо избавиться от модуля. Делаем это так: f(x) = b или f(x) = -b. Теперь необходимо решить отдельно каждое из полученных уравнений. Если в исходном уравнении b
1) |x + 2| = 4, т.к. 4 > 0, то
x + 2 = 4 или x + 2 = -4
2) |x 2 – 5| = 11, т.к. 11 > 0, то
x 2 – 5 = 11 или x 2 – 5 = -11
x 2 = 16 x 2 = -6
x = ± 4 нет корней
3) |x 2 – 5x| = -8 , т.к. -8
3. Уравнение вида |f(x)| = g(x). По смыслу модуля такое уравнение будет иметь решения, если его правая часть больше или равна нулю, т.е. g(x) ≥ 0. Тогда будем иметь:
f(x) = g(x) или f(x) = -g(x) .
1) |2x – 1| = 5x – 10. Данное уравнение будет иметь корни, если 5x – 10 ≥ 0. Именно с этого и начинают решение таких уравнений.
1. О.Д.З. 5x – 10 ≥ 0
2. Решение:
2x – 1 = 5x – 10 или 2x – 1 = -(5x – 10)
3. Объединяем О.Д.З. и решение, получаем:
Корень x = 11/7 не подходит по О.Д.З., он меньше 2, а x = 3 этому условию удовлетворяет.
Ответ: x = 3
2) |x – 1| = 1 – x 2 .
1. О.Д.З. 1 – x 2 ≥ 0. Решим методом интервалов данное неравенство:
(1 – x)(1 + x) ≥ 0
2. Решение:
x – 1 = 1 – x 2 или x – 1 = -(1 – x 2)
x 2 + x – 2 = 0 x 2 – x = 0
x = -2 или x = 1 x = 0 или x = 1
3. Объединяем решение и О.Д.З.:
Подходят только корни x = 1 и x = 0.
Ответ: x = 0, x = 1.
4. Уравнение вида |f(x)| = |g(x)|. Такое уравнение равносильно двум следующим уравнениям f(x) = g(x) или f(x) = -g(x).
1) |x 2 – 5x + 7| = |2x – 5|. Данное уравнение равносильно двум следующим:
x 2 – 5x + 7 = 2x – 5 или x 2 – 5x +7 = -2x + 5
x 2 – 7x + 12 = 0 x 2 – 3x + 2 = 0
x = 3 или x = 4 x = 2 или x = 1
Ответ: x = 1, x = 2, x = 3, x = 4.
5. Уравнения, решаемые методом подстановки (замены переменной). Данный метод решения проще всего объяснить на конкретном примере. Так, пусть дано квадратное уравнение с модулем:
x 2 – 6|x| + 5 = 0. По свойству модуля x 2 = |x| 2 , поэтому уравнение можно переписать так:
|x| 2 – 6|x| + 5 = 0. Сделаем замену |x| = t ≥ 0, тогда будем иметь:
t 2 – 6t + 5 = 0. Решая данное уравнение, получаем, что t = 1 или t = 5. Вернемся к замене:
|x| = 1 или |x| = 5
x = ±1 x = ± 5
Ответ: x = -5, x = -1, x = 1, x = 5.
Рассмотрим еще один пример:
x 2 + |x| – 2 = 0. По свойству модуля x 2 = |x| 2 , поэтому
|x| 2 + |x| – 2 = 0. Сделаем замену |x| = t ≥ 0, тогда:
t 2 + t – 2 = 0. Решая данное уравнение, получаем, t = -2 или t = 1. Вернемся к замене:
|x| = -2 или |x| = 1
Нет корней x = ± 1
Ответ: x = -1, x = 1.
6. Еще один вид уравнений – уравнения со «сложным» модулем. К таким уравнениям относятся уравнения, в которых есть «модули в модуле». Уравнения данного вида можно решать, применяя свойства модуля.
1) |3 – |x|| = 4. Будем действовать так же, как и в уравнениях второго типа. Т.к. 4 > 0, то получим два уравнения:
3 – |x| = 4 или 3 – |x| = -4.
Теперь выразим в каждом уравнении модуль х, тогда |x| = -1 или |x| = 7.
Решаем каждое из полученных уравнений. В первом уравнении нет корней, т.к. -1
Ответ x = -7, x = 7.
2) |3 + |x + 1|| = 5. Решаем это уравнение аналогичным образом:
3 + |x + 1| = 5 или 3 + |x + 1| = -5
|x + 1| = 2 |x + 1| = -8
x + 1 = 2 или x + 1 = -2. Нет корней.
Ответ: x = -3, x = 1.
Существует еще и универсальный метод решения уравнений с модулем. Это метод интервалов. Но мы его рассмотрим в дальнейшем.
сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.
Одна из самых сложных тем для учащихся – это решение уравнений, содержащих переменную под знаком модуля. Давайте разберемся для начала с чем же это связано? Почему, например, квадратные уравнения большинство детей щелкает как орешки, а с таким далеко не самым сложным понятием как модуль имеет столько проблем?
На мой взгляд, все эти сложности связаны с отсутствием четко сформулированных правил для решения уравнений с модулем. Так, решая квадратное уравнение, ученик точно знает, что ему нужно сначала применять формулу дискриминанта, а затем формулы корней квадратного уравнения. А что делать, если в уравнении встретился модуль? Постараемся четко описать необходимый план действий на случай, когда уравнение содержит неизвестную под знаком модуля. К каждому случаю приведем несколько примеров.
Но для начала вспомним определение модуля . Итак, модулем числа a называется само это число, если a неотрицательно и -a , если число a меньше нуля. Записать это можно так:
|a| = a, если a ≥ 0 и |a| = -a, если a
Говоря о геометрическом смысле модуля, следует помнить, что каждому действительному числу соответствует определенная точка на числовой оси – ее координата. Так вот, модулем или абсолютной величиной числа называется расстояние от этой точки до начала отсчета числовой оси. Расстояние всегда задается положительным числом. Таким образом, модуль любого отрицательного числа есть число положительное. Кстати, даже на этом этапе многие ученики начинают путаться. В модуле может стоять какое угодно число, а вот результат применения модуля всегда число положительное.
Теперь перейдем непосредственно к решению уравнений.
1. Рассмотрим уравнение вида |x| = с, где с – действительное число. Это уравнение можно решить с помощью определения модуля.
Все действительные числа разобьем на три группы: те, что больше нуля, те, что меньше нуля, и третья группа – это число 0. Запишем решение в виде схемы:
{±c, если с > 0
Если |x| = c, то x = {0, если с = 0
{нет корней, если с
1) |x| = 5, т.к. 5 > 0, то x = ±5;
2) |x| = -5, т.к. -5
3) |x| = 0, то x = 0.
2. Уравнение вида |f(x)| = b, где b > 0. Для решения данного уравнения необходимо избавиться от модуля. Делаем это так: f(x) = b или f(x) = -b. Теперь необходимо решить отдельно каждое из полученных уравнений. Если в исходном уравнении b
1) |x + 2| = 4, т.к. 4 > 0, то
x + 2 = 4 или x + 2 = -4
2) |x 2 – 5| = 11, т.к. 11 > 0, то
x 2 – 5 = 11 или x 2 – 5 = -11
x 2 = 16 x 2 = -6
x = ± 4 нет корней
3) |x 2 – 5x| = -8 , т.к. -8
3. Уравнение вида |f(x)| = g(x). По смыслу модуля такое уравнение будет иметь решения, если его правая часть больше или равна нулю, т.е. g(x) ≥ 0. Тогда будем иметь:
f(x) = g(x) или f(x) = -g(x) .
1) |2x – 1| = 5x – 10. Данное уравнение будет иметь корни, если 5x – 10 ≥ 0. Именно с этого и начинают решение таких уравнений.
1. О.Д.З. 5x – 10 ≥ 0
2. Решение:
2x – 1 = 5x – 10 или 2x – 1 = -(5x – 10)
3. Объединяем О.Д.З. и решение, получаем:
Корень x = 11/7 не подходит по О.Д.З., он меньше 2, а x = 3 этому условию удовлетворяет.
Ответ: x = 3
2) |x – 1| = 1 – x 2 .
1. О.Д.З. 1 – x 2 ≥ 0. Решим методом интервалов данное неравенство:
(1 – x)(1 + x) ≥ 0
2. Решение:
x – 1 = 1 – x 2 или x – 1 = -(1 – x 2)
x 2 + x – 2 = 0 x 2 – x = 0
x = -2 или x = 1 x = 0 или x = 1
3. Объединяем решение и О.Д.З.:
Подходят только корни x = 1 и x = 0.
Ответ: x = 0, x = 1.
4. Уравнение вида |f(x)| = |g(x)|. Такое уравнение равносильно двум следующим уравнениям f(x) = g(x) или f(x) = -g(x).
1) |x 2 – 5x + 7| = |2x – 5|. Данное уравнение равносильно двум следующим:
x 2 – 5x + 7 = 2x – 5 или x 2 – 5x +7 = -2x + 5
x 2 – 7x + 12 = 0 x 2 – 3x + 2 = 0
x = 3 или x = 4 x = 2 или x = 1
Ответ: x = 1, x = 2, x = 3, x = 4.
5. Уравнения, решаемые методом подстановки (замены переменной). Данный метод решения проще всего объяснить на конкретном примере. Так, пусть дано квадратное уравнение с модулем:
x 2 – 6|x| + 5 = 0. По свойству модуля x 2 = |x| 2 , поэтому уравнение можно переписать так:
|x| 2 – 6|x| + 5 = 0. Сделаем замену |x| = t ≥ 0, тогда будем иметь:
t 2 – 6t + 5 = 0. Решая данное уравнение, получаем, что t = 1 или t = 5. Вернемся к замене:
|x| = 1 или |x| = 5
x = ±1 x = ± 5
Ответ: x = -5, x = -1, x = 1, x = 5.
Рассмотрим еще один пример:
x 2 + |x| – 2 = 0. По свойству модуля x 2 = |x| 2 , поэтому
|x| 2 + |x| – 2 = 0. Сделаем замену |x| = t ≥ 0, тогда:
t 2 + t – 2 = 0. Решая данное уравнение, получаем, t = -2 или t = 1. Вернемся к замене:
|x| = -2 или |x| = 1
Нет корней x = ± 1
Ответ: x = -1, x = 1.
6. Еще один вид уравнений – уравнения со «сложным» модулем. К таким уравнениям относятся уравнения, в которых есть «модули в модуле». Уравнения данного вида можно решать, применяя свойства модуля.
1) |3 – |x|| = 4. Будем действовать так же, как и в уравнениях второго типа. Т.к. 4 > 0, то получим два уравнения:
3 – |x| = 4 или 3 – |x| = -4.
Теперь выразим в каждом уравнении модуль х, тогда |x| = -1 или |x| = 7.
Решаем каждое из полученных уравнений. В первом уравнении нет корней, т.к. -1
Ответ x = -7, x = 7.
2) |3 + |x + 1|| = 5. Решаем это уравнение аналогичным образом:
3 + |x + 1| = 5 или 3 + |x + 1| = -5
|x + 1| = 2 |x + 1| = -8
x + 1 = 2 или x + 1 = -2. Нет корней.
Ответ: x = -3, x = 1.
Существует еще и универсальный метод решения уравнений с модулем. Это метод интервалов. Но мы его рассмотрим в дальнейшем.
blog.сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.
Термин (module) в буквальном переводе с латинского означает «мера». Это понятие было введено в математику английским учёным Р. Котесом. А немецкий математик К. Вейерштрасс ввёл в обращение знак модуля — символ, которым это понятие обозначается при написании.
Вконтакте
Впервые данное понятие изучается в математике по программе 6 класса средней школы. Согласно одному из определений, модуль — это абсолютное значение действительного числа. Другими словами, чтобы узнать модуль действительного числа, необходимо отбросить его знак.
Графически абсолютное значение а обозначается как |a| .
Основная отличительная черта этого понятия заключается в том, что он всегда является неотрицательной величиной.
Числа, которые отличаются друг от друга только знаком, называются противоположными. Если значение положительное, то противоположное ему будет отрицательным, а ноль является противоположным самому себе.
Геометрическое значение
Если рассматривать понятие модуля с позиций геометрии, то он будет обозначать расстояние, которое измеряется в единичных отрезках от начала координат до заданной точки. Это определение полностью раскрывает геометрический смысл изучаемого термина.
Графически это можно выразить следующим образом: |a| = OA.
Свойства абсолютной величины
Ниже будут рассмотрены все математические свойства этого понятия и способы записи в виде буквенных выражений:
Особенности решения уравнений с модулем
Если говорить о решении математических уравнений и неравенств, в которых содержится module, то необходимо помнить, что для их решения потребуется открыть этот знак.
К примеру, если знак абсолютной величины содержит в себе некоторое математическое выражение, то перед тем как раскрыть модуль, необходимо учитывать действующие математические определения.
|А + 5| = А + 5 , если, А больше или равняется нулю.
5-А , если, А значение меньше нуля.
В некоторых случаях знак может раскрываться однозначно при любых значениях переменной.
Рассмотрим ещё одни пример. Построим координатную прямую, на которой отметим все числовые значения абсолютной величиной которых будет 5.
Для начала необходимо начертить координатную прямую, обозначить на ней начало координат и задать размер единичного отрезка. Кроме того, прямая должна иметь направление. Теперь на этой прямой необходимо нанести разметки, которые будут равны величине единичного отрезка.
Таким образом, мы можем увидеть, что на этой координатной прямой будут две интересующие нас точки со значениями 5 и -5.
Уравнения и неравенства, содержащие знак модуля
Е.П. Нелин, В.А. Лазарев
АЛГЕБРА
и начала математического
анализа
10 класс
Учебник для
общеобразовательных
учреждений. Базовый и
профильный уровень
§ 5. Уравнения и неравенства, содержащие знак модуля(Оформление и автор интерактивных технологий Морозова Е.)
Объяснение и обоснование
Решать любое уравнение или неравенство, содержащее знак модуля, можно одним из трех основных способов: по определению модуля, исходя из геометрического смысла модуля или по общей схеме. Некоторые уравнения или неравенства с модулем могут быть также решены с использованием специальных соотношений.
В зависимости от выбранного способа решения получаем разные записи решения.
Пример Решите уравнение | 2x – 4 | = 6.
I способ (по определению модуля)
II способ (использование геометрического смысла модуля)
Замечание. При решении уравнения с использованием геометрического смысла модуля знак модуля раскрывается неявно, то есть определение модуля в явном виде не применяется.
Общая схема решения уравнений и неравенств, содержащих знак модуля — это фактически немного измененный метод интервалов. Поясним содержание этой схемы на примере уравнения с двумя модулями вида
|f (x)| + |g (x)| = a (a > 0).
Чтобы решить это уравнение, необходимо раскрыть знаки модулей, а для этого необходимо знать, где функции f (x) и g (x) будут положительными, а где — отрицательными. То есть фактически мы должны решить неравенства
f (x) ≥ или ≤0, (1)
g (x) ≥ или ≤0. (2)
Каждое из этих неравенств мы умеем решать методом интервалов. Перестроим прием решения неравенств методом интервалов таким образом, чтобы он давал возможность одновременно решать каждое из последних неравенств. Как известно, решение неравенства (1) методом интервалов начинается с нахождения его ОДЗ (то есть области определения функции f (x)), а решение неравенства (2) — с нахождения его ОДЗ (то есть области определения функции g (x)). Чтобы начать одновременно решать оба неравенства, необходимо найти общую область определения для функций f (x) и g (x), то есть найти ОДЗ данного уравнения (это и есть первый из ориентиров необходимой схемы).
Чтобы продолжить решение неравенств f (x) ≥или≤0 и g (x) ≥или≤ 0 методом интервалов, необходимо найти нули функций f (x) и g (x), то есть найти нули всех подмодульных функций (это и есть второй ориентир).
Если далее применить схему метода интервалов одновременно для двух неравенств, необходимо на ОДЗ отметить нули подмодульных функций и разбить ОДЗ на промежутки (это третий ориентир).
В каждом из полученных промежутков знаки функций f (x) и g (x) не могут измениться. Тогда мы можем найти знаки подмодульных функций на каждом промежутке (в любой точке этого промежутка), раскрыть знаки модулей и найти решение данного уравнения в каждом из этих промежутков (это и есть четвертый ориентир общей схемы).
Обоснование возможности применения приведенной схемы к решению неравенств с модулями проводится аналогично.
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
Вопросы для контроля
- Объясните, какими способами можно решать уравнения и неравенства, содержащие знак модуля. Проиллюстрируйте эти способы на примерах.
- Обоснуйте специальные соотношения. Проиллюстрируйте их применение к решению уравнений и неравенств, содержащих знак модуля.
- Обоснуйте обобщения использования геометрического смысла модуля. Проиллюстрируйте их применение к решению уравнений и неравенств, содержащих знак модуля.
Упражнения
Решите уравнения и неравенства, содержащие знак модуля (1–15).
Постройте график функции
Как решать модуль
Модуль представляет собой абсолютную величину выражения. Для обозначения модуля применяют прямые скобки. Заключенные в них значения считаются взятыми по модулю. Решение модуля состоит в раскрытии модульных скобок по определенным правилам и нахождении множества значений выражения. В большинстве случаев модуль раскрывается таким образом, что подмодульное выражение получает ряд положительных и отрицательных значений с том числе и нулевое значение. Исходя из данных свойств модуля, составляются и решаются далее уравнения и неравенства исходного выражения.Запишите исходное уравнение с модулем. Для его решения раскройте модуль. Рассмотрите каждое подмодульное выражение. Определите, при каком значении входящих в него неизвестных величин выражение в модульных скобках обращается в ноль.
Для этого приравняйте подмодульное выражение к нулю и найдите решение получившегося уравнения. Запишите найденные значения. Таким же образом определите значения неизвестной переменной для каждого модуля в заданном уравнении.
Рассмотрите случаи существования переменных, когда они отличны от нуля. Для этого запишите систему неравенств для всех модулей исходного уравнения. Неравенства должны охватывать все возможные значения переменной на числовой прямой.
Нарисуйте числовую прямую и отложите на ней полученные значения. Значения переменной в нулевом модуле будут служить ограничениями при решении модульного уравнения.
В исходном уравнении нужно раскрыть модульные скобки, меняя знак выражения так, чтобы значения переменной соответствовали отображенным на числовой прямой. Решите полученное уравнение. Найденное значение переменной проверьте на ограничение, заданное модулем. Если решение удовлетворяет условию, значит оно истинно. Не удовлетворяющие ограничениям корни должны отбрасываться.
Аналогичным образом раскрывайте модули исходного выражения с учетом знака и высчитывайте корни получаемого уравнения. Запишите все полученные корни, удовлетворяющие неравенствам ограничения.
Решение уравнений и неравенств содержащие модули
Управление образования администрации г. Чебоксары
Муниципальное образовательное учреждение
«Средняя общеобразовательная школа №55»
Решение уравнений и неравенств, содержащие модули.
Учитель математики
Морозова Галина Сергеевна.
.
Чебоксары 2010 г
Пояснительная записка.
Существенной характеристикой числа, как в действительной, так и в комплексной области является понятие его абсолютной величины (модуля).
Это понятие имеет широкое распространение в различных отделах физико-математических наук. Так, в математическом анализе одно из первых и фундаментальных понятий – понятие предела – в своем определении содержит понятие абсолютной величины числа. В теории приближенных вычислений первым, важнейшим понятием, является понятие абсолютной погрешности приближенного числа. В механике основным первоначальным понятием является понятие вектора, важнейшей характеристикой которого служит его абсолютная величина (модуль).
С понятием модуля (абсолютной величины) действительного числа учащиеся знакомятся еще в 6 классе. Однако в программах общеобразовательных школ и соответствующих учебниках в дальнейшем это понятие ни в теоретических материалах, ни в задачах и упражнениях почти не применяется. Возможность решения уравнений и неравенств, содержащих неизвестные под знаком модуля, имеют учащиеся классов или школ с углубленным изучением математики и некоторых других альтернативных школ, однако и в учебниках для этих школ задач подобного рода до обидного мало. В то же время на ЕГЭ задачи с модулем предлагаются все чаще и чаще.
Несмотря на кажущуюся простоту определения модуля числа, решение уравнений и неравенств, содержащих неизвестные под знаком модуля, вызывает у учащихся определенные трудности. По-видимому, они связаны с тем, что решение задач подобного рода предполагает элементарные навыки исследования, логического мышления, заключающиеся в переборе различных возможных случаев, так как в подавляющем большинстве задач одно уравнение или неравенство с модулем равносильно совокупности или системе нескольких уравнений и неравенств, освобожденных от знака модуля.
Цели курса:
классификации способов решений уравнений и неравенств, содержащих неизвестную под знаком модуля;
систематизации и обобщении различной информации о модуле и решении задач с модулем, содержащихся в многочисленной литературе;
рассмотрение некоторых методов при решении задач с модулем.
Задачами данной методической разработки стали:
ввести определение модуля и показать геометрический смысл модуля; рассмотреть свойства модуля;
рассмотреть решения основных видов уравнений, содержащих переменную под знаком модуля;
показать решения основных видов неравенств, содержащих переменную под знаком модуля;
расширить сферу математических знаний, общекультурный кругозор у учащихся.
Методические рекомендации.
Разработанный курс может быть использован учителями математики при подготовке к математическим олимпиадам, ЕГЭ, централизованному тестированию и вступительным экзаменам в ВУЗ.
Для реализации целей и задач этого курса предполагаются следующие формы занятий: лекции учителя, доклады учеников, самостоятельная работа по разборке решенных уравнений и неравенств.
Успешность усвоения курса определяется преобладанием самостоятельной творческой работы ученика в содружестве с учителем.
Содержание
Введение
Определение модуля. Свойства модуля.
Определение модуля.
Геометрический смысл модуля.
Формула расстояния между двумя точками числовой прямой.
Свойства модуля.
Решение уравнений с модулем.
Уравнения вида |f(x)|=a.
Уравнения вида |f(x)|=|g(x)|
Уравнения вида |f(x)|= g(x)
Уравнения вида .
Решение неравенств с модулем.
Неравенства вида |f(x)|a
Неравенства вида
Неравенства вида и .
Метод интервалов.
План урока по теме «;Решение уравнений, содержащих знак абсолютной величины (модуля)»;(8 класс)
Примерные тесты для подготовки к ЕГЭ.
Заключение.
Литература
Урок по теме:
«;Решение уравнений, содержащих знак абсолютной величины (модуля)»;
(9 класс)
Цель урока: Обобщение и систематизация знаний учащихся , развитие навыка решения уравнений и логического мышления учащихся.
Оборудование урока: таблица “Модуль”, плакаты с изображением уравнений содержащих переменную под знаком модуля и с графическим способом решения уравнений.
План урока
Вступительное слово учителя.
Некоторые способы решения уравнений, содержащих переменную под знаком модуля. (Сообщения учащихся).
а)Метод интервалов.
б)Графический метод.
в)Раскрытие модуля по определению
Решение уравнения, в котором под знаком модуля находится выражение, тоже содержащее модуль. (Сообщение учителя).
Подведение итогов урока.
Ход урока.
Вступительное слово учителя. Сообщается план семинара и почему именно эта тема выбрана.
Вступительное слово учителя.
Математика за 2500 лет своего существования накопила богатейший инструмент для исследования окружающего нас мира. Однако, как заметил один из ведущих математиков, кораблестроителей академик Крылов, человек обращается к математике не затем, чтобы любоваться неисчислимыми сокровищами, ему, прежде всего, необходимо ознакомиться со столетними испытанными инструментами, научится ими искусно владеть.
Существенной характеристикой действительного числа является абсолютная величина. Это понятие имеет широкое распространение в различных отделах физико-математических и технических наук. Так в математическом анализе одно из первых и фундаментальных понятий – понятие предела – в своем определении содержит понятие абсолютной величины числа. В теории приближенных вычислений первым важнейшим понятием является понятие абсолютной погрешности приближенного числа. В механике основным первоначальным понятием является понятие вектора, важнейшей характеристикой которого служит его абсолютная величина.
При решении уравнений, содержащих переменную под знаком модуля, чаще всего применяются следующих методы: 1) раскрытие модуля по определению, 2) возведение обоих частей в квадрат, 3) метод разбиения на промежутки, 4) графический метод.
Сообщение №1 «Некоторые способы решения уравнений с модулями». Напомним сначала определение числа x:
Приведем также основные свойства модуля, часто применяемых в решение задач:
|ab|=|a||b|;
|a|n=|an|;
|a|=0, если a=0
Поговорим о некоторых способах решения задач с модулем. Среди них один занимает самое главное место, так как он является самым общим, однако, иногда не самым рациональным. Заключается он в следующем.
Метод интервалов.
Предположим, что имеется уравнение или неравенство, в которое входят один или несколько модулей.
Первым делом нужно отделить критические точки. Под этим мы понимаем все значения переменной, при которых один из модулей обращается в нуль.
Нанесите полученное множество значений на ось данной переменной, например Ox. Прямая разобьется на несколько конечных и два бесконечных интервала. Каждый интервал соответствует знакопостоянству подмодульных выражений.
Рассмотреть столько случаев решения, сколько получилось интервалов. При этом освобождаться от модулей нужно, проверяя знак подмодульного выражения. Т.е. изменять его на противоположный, если выражение отрицательно и оставлять его прежним в противном случае. Важно не забыть, что частным ответом в каждом из полученных случаев является пересечение интервала и найденного решения.
Объединить полученные в каждом интервале ответы в один.
Рассмотрим подробнее этот метод на следующем примере.
|x + 2| + |x — 3| = 5
Нанесем на числовую прямую значение x, при котором x + 2 = 0 и значение x, при котором x – 3 = 0. Числовая прямая разобьется на промежутки (-; -2), [-2; 3], (3; +).
Решим уравнений на каждом из этих интервалов.
х | (-; -2) | [-2;3] | (3; +) |
х+2 | — | + — + | + |
x-3 | — | — — | + |
Рассмотрим первый промежуток, чтобы определить знак подмодульного выражения, возьмем контрольную точку x = 3, подставим ее в наше уравнение –3 + 2
Решим уравнение на каждом из этих промежутков, т.е. решим равносильную уравнению совокупность смешанных систем:
1) –х – 2 – х + 3 = 5 х = –2 Не может быть корнем. | 2) х + 2 – х + 3 = 5 3) х + 2 + х – 3 = 5, x = 3 |
Вывод: Решение второй системы является объединением решений 3-х систем.
Ответ: x принадлежит [-2;3] или все значения сегмента [-2;3].
Сообщение №2 Графический метод.
Этот способ уже не столь универсален, но им нельзя пренебрегать, если он применим. Часто уравнение или неравенства с модулем содержит только линейные выражения относительно переменной. В этом случае существует очень простой рецепт построения графиков с модулями, что часто существенно облегчает решение задачи. Он базируется на простом замечании – графики таких выражений состоят из кусков линий, т.е. являются ломаными. Метод состоит в следующем:
Найти, как и раньше, все критические точки и нанести их на ось абсцисс. Найти непосредственно значения заданной функции в этих точках (это удобно делать с помощью отдельной таблицы) и нанести их на координатную плоскость.
В каждой из конечных интервалов, получаемых после разбиения критическими точками, график является прямой и может быть простым соединением нанесенных в предыдущем пункте точек на координатной плоскости.
Выбрать две удобные для вычисления точки, расположенные в левом и правом бесконечных интервалах и аналогично п.1 найти значения функций в них. Окончательно, соединяя построенный участок графика с оставшимися двумя точками, получим требуемый график.
Проиллюстрируем это на примере построения графика |x+2|+|x-3|=5. Построим график функции
у = |x + 2| + |x – 3| и y = 5
х + 2 = 0, x –3 = 0
x1 = –2 x2 = 3
Наносим на ось корни линейных функций стоящих под знаком модуля. На каждом из трех промежутков знаки этих линейных функций постоянны и мы можем избавиться от знака модуля.
если x если –2 если x > 3, то y = +(x + 2) + (x – 3) = 2x – 1
При построении графика провести вертикальные прямые x = –2 и x = 3, которые разобьют плоскость на три части. В левой части надо провести прямую y=–2x + 1, в центральной полосе y = 5 и в правой y = 2x – 1: (для контроля надо следить, чтобы ломаная была непрерывной, т.е. чтобы значения в разделяющих точках изломах, вычисленные по соседним формулам совпали). В нашем случае при x — 2 значение функции y = –2x + 1 совпадает со значением y = 5, точно так же при x=3 совпадают значения функции y = 5 и y=2x – 1
Строим график 1) y = –2x + 1 | 2) у = 5 | 3) y = 2x – 1 |
Графики и y = 5 пересекаются на промежутке, если .
Ответ
Сообщение №3 Раскрытие модуля по определению .
Решить уравнение
Решение.
.
Проверим справедливость неравенства для найденных значений х:
верное неравенство, значит 0 – корень данного уравнения.
неверное неравенство, значит — посторонний корень.
верное неравенство, значит – корень данного уравнения
Ответ: ; 0.
Решение уравнения, в котором под знаком модуля находится выражение содержащее модуль.
Решить уравнение
Решение.
.
Ответ: .
Итоги урока. Домашнее задание.
Всем учащимся даются задания для самостоятельного решения:
Записать в тетради решения уравнений вида:
1. |2x-3|=11
2. |2x-5|=5-4x
3. |4x-3|=4x-3
4. |x+2|+|x-3|=5
5. |x+1|-|x-2|+|3x+6|=5
6. 2u+v=7, |u-v|=2
7. 3|x+1|+2|y-2|=20, x+2y=4
8. x+1|+|y+1|=8, 2x-|y+1|=5
9. |x+1|-|x|+3|x-1|-2|x-2|=x+2
10. Найти все значения, при которых система уравнения ах+(а–1)y = 2+4а 3|x|+2у=а-5.
Имеет единственное решение. Найти это решение.
Примерные тесты для подготовки к ЕГЭ.
Тест №1
Тест №2
Заключение.
В практике преподавания математики в средней школе и других средних учебных заведениях понятие абсолютной величины числа (модуля числа) встречаются неоднократно.
В VI классе, в курсе приближенных вычислений, при уяснении понятия абсолютной погрешности приближенного числа формируется понятие абсолютной величины числа. Во втором полугодии VI класса вводится определение абсолютной величины числа, с помощью этого понятия формулируются правила действий над рациональными числами.
В VIII классе при рассмотрении свойств арифметического квадратного корня находит свое новое приложение понятие абсолютной величины числа.
В VIII классе при рассмотрении свойств арифметического квадратного корня находит свое новое приложение понятие абсолютной величины числа. Например: , и другие.
В IX классе в теме “Степень с рациональным показателем” рассматриваются свойства корней n – й степени, где также используется понятие абсолютной величины числа; так, например, , если m – нечетное.
В X классе понятие абсолютной величины числа встречается при изучении предела функций, при исследование функций на ограниченность и при изучение комплексных чисел, где понятие абсолютной величины получает свое дальнейшее развитие в более общей числовой области.
Таким образом, во всех классах, в соответствии с учебной программой, следует включать и рассматривать упражнения, содержащие знак абсолютной величины числа.
В VI классе можно решать уравнения вида:k · |x| + b = k1 · |x| + b1 и |k·x+b|=a.
В VII классе имеется возможность рассматривать решения уравнений вида |k·|x|+b|=c; |kx+b|=ax+c и т.п., систем уравнений вида:|2x-y|=1, |x+2y|=2x-4, а так же построение графиков функций вида: y=k·|x|+b; y=|k·x+b|; y=|k·|x|+b|; y=1/|x| и др.
В VIII классе приложения понятия абсолютной величины распространяются на квадратные уравнения, график квадратного трехчлена и др. Можно решать уравнения вида:
ax2+b·|x|+c=0;
Можно рассмотреть построение графиков функций:
y=ax2+b·|x|+c; y=|ax2+bx+c|; y=|ax2+b·|x|+c|;
; ;
y=||||x|-2|+1|-3| и др.
При построении графиков целесообразно пользоваться методом преобразования графиков (Параллельный перенос, симметрия и др.).
В IX-X классе решение уравнений, систем уравнений, неравенств и построение графиков функций, аналитические выражения которых содержат знак абсолютной величины, рассматриваются для трансцендентных функций и уравнений, изучаемых в школе.
Таким образом, поставленные и решённые задачи в данной методической разработке имеют большое значение при составлении промежуточного контроля и при подготовке к ЕГЭ.
Литература
Гайдуков И.И. Абсолютная величина. М., Просвещение, 1966.
Гусев В.А. и др. 300 задач. М., Просвещение, 1993.
Литвиненко В.Н, Мордкович А.Г. Практикум по решению задач. Алгебра. Тригонометрия. М., Просвещение, 1991.
Сидоров Н.Н. Модуль числа. Уравнения и неравенства: Учебное пособие. Чебоксары:1998.
Все, что вам нужно знать — настоящий Python
В этой статье вы узнаете все о модуле Python math . Математические вычисления — неотъемлемая часть большинства разработок Python. Независимо от того, работаете ли вы над научным проектом, финансовым приложением или каким-либо другим видом программирования, вам просто не избежать математики.
Для простых математических вычислений в Python вы можете использовать встроенные математические операторы , такие как сложение ( + ), вычитание (–), деление (/) и умножение ( * ). .Но более сложные операции, такие как экспоненциальные, логарифмические, тригонометрические или степенные функции, не встроены. Означает ли это, что вам нужно реализовать все эти функции с нуля?
К счастью, нет. Python предоставляет модуль, специально разработанный для математических операций более высокого уровня: модуль math .
К концу этой статьи вы узнаете:
- Что такое модуль Python
math - Как использовать функции модуля
mathдля решения реальных задач - Какие константы модуля
math, включая пи, тау и число Эйлера - В чем разница между встроенными функциями и функциями
math - В чем разница между
math,cmathи NumPy
Здесь вам пригодится математический опыт, но не волнуйтесь, если математика не ваша сильная сторона.Эта статья объяснит основы всего, что вам нужно знать.
Итак, приступим!
Знакомство с Python
math Модуль Модуль Python math — важная функция, предназначенная для работы с математическими операциями. Он поставляется в стандартной версии Python и был там с самого начала. Большинство функций модуля math представляют собой тонкие оболочки математических функций платформы C.Поскольку его основные функции написаны на CPython, модуль math эффективен и соответствует стандарту C.
Модуль Python math предлагает вам возможность выполнять общие и полезные математические вычисления в вашем приложении. Вот несколько практических применений модуля math :
- Вычисление комбинаций и перестановок с использованием факториалов
- Расчет высоты столба с помощью тригонометрических функций
- Расчет радиоактивного распада с использованием экспоненциальной функции
- Расчет кривой подвесного моста с использованием гиперболических функций
- Решение квадратных уравнений
- Моделирование периодических функций, таких как звуковые и световые волны, с использованием тригонометрических функций
Поскольку модуль math входит в состав версии Python, вам не нужно устанавливать его отдельно.Для использования достаточно импортировать модуль:
Вы можете импортировать модуль Python math , используя указанную выше команду. После импорта вы можете сразу использовать его.
Константы модуля
math Модуль Python math предлагает множество предопределенных констант . Доступ к этим константам дает несколько преимуществ. Во-первых, вам не нужно вручную жестко закодировать их в своем приложении, что сэкономит вам много времени.Кроме того, они обеспечивают согласованность всего кода. Модуль включает в себя несколько известных математических констант и важных значений:
- Пи
- Тау
- Число Эйлера
- бесконечность
- Не число (NaN)
В этом разделе вы узнаете о константах и о том, как их использовать в коде Python.
Пи
Пи (π) — это отношение длины окружности ( c ) к ее диаметру ( d ):
π = с / д
Это соотношение всегда одинаково для любого круга.
Пи — это иррациональное число , что означает, что его нельзя выразить простой дробью. Следовательно, у пи бесконечное количество десятичных знаков, но оно может быть приблизительно равно 22/7 или 3,141.
Интересный факт: Пи — самая признанная и известная математическая константа в мире. У него есть своя собственная дата празднования, называемая Днем Пи, которая приходится на 14 марта (3/14).
Вы можете получить доступ к pi следующим образом:
>>> >>> математ.Пи
3,141592653589793
Как видите, число пи в Python дается с точностью до пятнадцати десятичных знаков. Количество предоставленных цифр зависит от базового компилятора C. По умолчанию Python печатает первые пятнадцать цифр, а math.pi всегда возвращает значение с плавающей запятой.
Итак, каковы некоторые из способов, которыми пи может быть вам полезен? Вы можете рассчитать длину окружности, используя 2π r , где r — радиус окружности:
>>> >>> г = 3
>>> окружность = 2 * математика.пи * р
>>> f "Окружность круга = 2 * {math.pi: .4} * {r} = {окружность: .4}"
'Окружность круга = 2 * 3,142 * 3 = 18,85'
Вы можете использовать math.pi для вычисления длины окружности. Вы также можете рассчитать площадь круга по формуле π r ² следующим образом:
>>> г = 5
>>> площадь = math.pi * r * r
>>> f "Площадь круга = {math.pi: .4} * {r} * {r} = {area: .4}"
«Площадь круга = 3.142 * 5 * 5 = 78,54 '
Вы можете использовать math.pi для вычисления площади и длины окружности. Когда вы выполняете математические вычисления с помощью Python и сталкиваетесь с формулой, в которой используется π, рекомендуется использовать значение пи, заданное модулем math , вместо жесткого кодирования значения.
Тау
Тау (τ) — отношение длины окружности к ее радиусу. Эта константа равна 2π, или примерно 6,28. Как и пи, тау — иррациональное число, потому что оно просто пи умноженное на два.
Во многих математических выражениях используется 2π, и использование тау вместо этого может помочь упростить ваши уравнения. Например, вместо вычисления длины окружности с 2π r , мы можем подставить тау и использовать более простое уравнение τ r .
Однако использование тау в качестве постоянной окружности все еще обсуждается. Вы можете свободно использовать 2π или τ по мере необходимости.
Вы можете использовать тау, как показано ниже:
>>> >>> математ.тау
6,283185307179586
Подобно math.pi , math.tau возвращает пятнадцать цифр и является значением с плавающей запятой. Вы можете использовать тау для вычисления длины окружности с τ r , где r — радиус, следующим образом:
>>> г = 3
>>> окружность = math.tau * r
>>> f "Окружность круга = {math.tau: .4} * {r} = {окружность: .4}"
'Окружность круга = 6,283 * 3 = 18,85'
Вы можете использовать math.tau вместо 2 * math.pi , чтобы привести в порядок уравнения, содержащие выражение 2π.
Число Эйлера
Число Эйлера( e ) — это константа, являющаяся основанием натурального логарифма , математической функции, которая обычно используется для расчета скорости роста или убывания. Как и в случае с пи и тау, число Эйлера — иррациональное число с бесконечным числом десятичных знаков. Значение e часто приблизительно равно 2,718.
Число Эйлера является важной константой, поскольку оно имеет множество практических применений, таких как расчет роста населения с течением времени или определение скорости радиоактивного распада.Вы можете получить доступ к числу Эйлера из модуля math следующим образом:
>>> math.e
2,718281828459045
Как и math.pi и math.tau , значение math.e дается с точностью до пятнадцати десятичных знаков и возвращается как значение с плавающей запятой.
бесконечность
Бесконечность не может быть определена числом. Скорее, это математическая концепция, представляющая что-то бесконечное или безграничное.Бесконечность может идти в любом направлении, положительном или отрицательном.
Вы можете использовать бесконечность в алгоритмах , если вы хотите сравнить заданное значение с абсолютным максимальным или минимальным значением. Значения положительной и отрицательной бесконечности в Python следующие:
>>> >>> f "Положительная бесконечность = {math.inf}"
'Положительная бесконечность = бесконечность'
>>> f "Отрицательная бесконечность = {-math.inf}"
'Отрицательная бесконечность = -inf'
Бесконечность не является числовым значением.Вместо этого он определяется как math.inf . Python представил эту константу в версии 3.5 как эквивалент float ("inf") :
>>> float ("inf") == math.inf
Правда
И float ("inf") , и math.inf представляют концепцию бесконечности, в результате чего math.inf на больше любого числового значения:
>>> х = 1e308
>>> math.inf> x
Правда
В приведенном выше коде math.inf больше, чем значение x , 10 308 (максимальный размер числа с плавающей запятой), которое является числом с двойной точностью.
Аналогично, -math.inf меньше любого значения:
>>> y = -1e308
>>> y> -math.inf
Правда
Отрицательная бесконечность меньше значения y , что составляет -10 308 . Никакое число не может быть больше или меньше отрицательной бесконечности.Вот почему математические операции с math.inf не изменяют значение бесконечности:
>>> math.inf + 1e308
инф
>>> math.inf / 1e308
инф
Как видите, ни сложение, ни деление не изменяют значение math.inf .
Не число (NaN)
Не число или NaN, на самом деле не является математическим понятием. Он возник в области информатики как ссылка на значения, которые не являются числовыми.Значение NaN может быть связано с недопустимыми входными данными или может указывать на то, что переменная, в которой должно быть числовым, была повреждена текстовыми символами или символами.
Всегда рекомендуется проверять, является ли значение NaN. Если это так, то это может привести к недопустимым значениям в вашей программе. Python представил константу NaN в версии 3.5.
Вы можете увидеть значение math.nan ниже:
NaN не является числовым значением. Как видите, значение math.nan — это nan , то же значение, что и float ("nan") .
Арифметические функции
Теория чисел — это раздел чистой математики, изучающий натуральные числа. Теория чисел обычно имеет дело с положительными целыми числами или целыми числами.
Модуль Python math предоставляет функции, которые полезны в теории чисел, а также в теории представлений , связанной области. Эти функции позволяют рассчитать ряд важных значений, включая следующие:
- факториалов числа
- Наибольший общий делитель двух чисел
- Сумма итераций
Найдите факториалы с помощью Python
factorial () Вы могли видеть математические выражения вроде 7! или 4! перед.Восклицательные знаки не означают, что числа взволнованы. Скорее, «!» — это факториал , символ . Факториалы используются при поиске перестановок или комбинаций. Вы можете определить факториал числа, умножив все целые числа от выбранного числа до 1.
В следующей таблице показаны значения факториала для 4, 6 и 7:
| Символ | Словами | Выражение | Результат |
|---|---|---|---|
| 4! | Четыре факториала | 4 х 3 х 2 х 1 | 24 |
| 6! | Шесть факториалов | 6 х 5 х 4 х 3 х 2 х 1 | 720 |
| 7! | Семь факториал | 7 х 6 х 5 х 4 х 3 х 2 х 1 | 5040 |
Из таблицы видно, что 4 !, или четырехфакториал, дает значение 24 путем умножения диапазона целых чисел от 4 до 1.Аналогично 6! и 7! дают значения 720 и 5040 соответственно.
Вы можете реализовать факториальную функцию в Python, используя один из нескольких инструментов:
-
дляпетель - Рекурсивные функции
-
math.factorial ()
Сначала вы рассмотрим факториальную реализацию с использованием цикла для . Это относительно простой подход:
def fact_loop (число):
если число <0:
возврат 0
если num == 0:
возврат 1
факториал = 1
для i в диапазоне (1, num + 1):
факториал = факториал * я
возврат факториала
Вы также можете использовать рекурсивную функцию, чтобы найти факториал.Это более сложно, но и более элегантно, чем использование цикла для . Вы можете реализовать рекурсивную функцию следующим образом:
def fact_recursion (число):
если число <0:
возврат 0
если num == 0:
возврат 1
return num * fact_recursion (число - 1)
Примечание: В Python существует ограничение на глубину рекурсии, но эта тема выходит за рамки данной статьи.
В следующем примере показано, как можно использовать для циклических и рекурсивных функций :
>>> fact_loop (7)
5040
>>> fact_recursion (7)
5040
Несмотря на то, что их реализации различны, их возвращаемые значения одинаковы.
Однако реализация собственных функций только для получения факториала числа отнимает много времени и неэффективно. Лучше использовать math.factorial () . Вот как можно найти факториал числа с помощью math.factorial () :
>>> math.factorial (7)
5040
Этот подход возвращает желаемый результат с минимальным объемом кода.
factorial () принимает только положительные целые числа.Если вы попытаетесь ввести отрицательное значение, вы получите ValueError :
>>> math.factorial (-5)
Отслеживание (последний вызов последний):
Файл "", строка 1, в
ValueError: factorial () не определен для отрицательных значений
Ввод отрицательного значения приведет к ошибке ValueError при чтении factorial (), не определенного для отрицательных значений .
factorial () также не принимает десятичные числа.Это даст вам ValueError :
>>> math.factorial (4.3)
Отслеживание (последний вызов последний):
Файл "", строка 1, в
ValueError: factorial () принимает только целые значения
Ввод десятичного значения приводит к ошибке ValueError при чтении factorial () принимает только целые значения .
Вы можете сравнить время выполнения для каждого из методов факториала, используя timeit () :
>>> импортное время
>>> timeit.timeit ("fact_loop (10)", globals = globals ())
1,063997201999996
>>> timeit.timeit ("fact_recursion (10)", globals = globals ())
1,815312818999928
>>> timeit.timeit ("math.factorial (10)", setup = "import math")
0,10671788000001925
Пример выше иллюстрирует результаты timeit () для каждого из трех факторных методов.
timeit () при каждом запуске выполняет один миллион циклов. В следующей таблице сравнивается время выполнения трех факториальных методов:
| Тип | Время выполнения |
|---|---|
| С петлями | 1.0640 с |
| С рекурсией | 1,8153 с |
С факториалом () | 0,1067 с |
Как видно из времени выполнения, factorial () быстрее, чем другие методы. Это из-за его базовой реализации C. Метод, основанный на рекурсии, самый медленный из трех. Хотя вы можете получить разные тайминги в зависимости от вашего CPU , порядок функций должен быть одинаковым.
factorial () не только быстрее, чем другие методы, но и более стабилен. Когда вы реализуете свою собственную функцию, вы должны явно кодировать случаев бедствия , например, обработку отрицательных или десятичных чисел. Одна ошибка в реализации может привести к ошибкам. Но при использовании factorial () вам не нужно беспокоиться о случаях катастрофы, потому что функция обрабатывает их все. Поэтому рекомендуется по возможности использовать factorial () .
Найдите максимальное значение с помощью
ceil () math.ceil () вернет наименьшее целочисленное значение, которое больше или равно заданному числу. Если число является положительным или отрицательным десятичным числом, функция вернет следующее целочисленное значение, превышающее данное значение.
Например, вход 5,43 вернет значение 6, а вход -12,43 вернет значение -12. math.ceil () может принимать положительные или отрицательные действительные числа в качестве входных значений и всегда будет возвращать целочисленное значение.
Когда вы вводите целое число в ceil () , оно вернет то же число:
>>> math.ceil (6)
6
>>> math.ceil (-11)
-11
math.ceil () всегда возвращает одно и то же значение, если на входе задано целое число. Чтобы увидеть истинную природу ceil () , вы должны ввести десятичные значения:
>>> math.ceil (4.23)
5
>>> math.ceil (-11,453)
-11
Если значение положительное (4.23), функция возвращает следующее целое число, большее значения (5). Когда значение отрицательное (-11,453), функция также возвращает следующее целое число, большее значения (-11).
Функция вернет TypeError , если вы введете значение, которое не является числом:
>>> math.ceil ("x")
Отслеживание (последний вызов последний):
Файл "", строка 1, в
TypeError: должно быть действительное число, а не str
Вы должны ввести число в функцию.Если вы попытаетесь ввести любое другое значение, вы получите TypeError .
Найдите минимальную стоимость с
этажом () floor () вернет ближайшее целое значение, которое меньше или равно заданному числу. Эта функция ведет себя противоположно ceil () . Например, ввод 8,72 вернет 8, а ввод -12,34 вернет -13. floor () может принимать как положительные, так и отрицательные числа в качестве входных данных и возвращает целочисленное значение.
Если ввести целочисленное значение, функция вернет то же значение:
>>> >>> math.floor (4)
4
>>> math.floor (-17)
-17
Как и в случае ceil () , когда вход для floor () является целым числом, результат будет таким же, как входное число. Вывод отличается от ввода только при вводе десятичных значений:
>>> math.floor (5.532)
5
>>> math.floor (-6.432)
-7
Когда вы вводите положительное десятичное значение (5.532), оно возвращает ближайшее целое число, которое меньше введенного числа (5). Если вы введете отрицательное число (-6,432), оно вернет следующее наименьшее целочисленное значение (-7).
Если вы попытаетесь ввести значение, которое не является числом, функция вернет TypeError :
>>> math.floor ("x")
Отслеживание (последний вызов последний):
Файл "", строка 1, в
TypeError: должно быть действительное число, а не str
Вы не можете вводить нечисловые значения в качестве входных данных для ceil () .Это приведет к ошибке TypeError .
Усечение чисел с усечением
() Когда вы получаете число с десятичной точкой, вы можете оставить только целую часть и исключить десятичную часть. В модуле math есть функция trunc () , которая позволяет вам делать именно это.
Удаление десятичного значения - это тип округления. При использовании trunc () отрицательные числа всегда округляются в большую сторону до нуля, а положительные числа всегда округляются в меньшую сторону до нуля.
Вот как функция trunc () округляет положительные или отрицательные числа:
>>> math.trunc (12.32)
12
>>> math.trunc (-43,24)
-43
Как видите, 12,32 округляется вниз до 0, что дает результат 12. Таким же образом -43,24 округляется вверх до 0, что дает значение -43. trunc () всегда округляется до нуля независимо от того, положительное или отрицательное число.
При работе с положительными числами trunc () ведет себя так же, как floor () :
>>> математ.trunc (12.32) == math.floor (12.32)
Правда
trunc () ведет себя так же, как floor () для положительных чисел. Как видите, возвращаемое значение обеих функций одинаково.
При работе с отрицательными числами trunc () ведет себя так же, как ceil () :
>>> math.trunc (-43.24) == math.ceil (-43.24)
Правда
Если число отрицательное, floor () ведет себя так же, как ceil () .Возвращаемые значения обеих функций одинаковы.
Найдите близость чисел с помощью Python
isclose () В определенных ситуациях - особенно в области науки о данных - вам может потребоваться определить, близки ли два числа друг к другу. Но для этого сначала нужно ответить на важный вопрос: насколько близко, , близко, ? Другими словами, каково определение слова «закрыть»?
Что ж, Мерриам-Вебстер скажет вам, что близость означает «близость во времени, пространстве, эффекте или градусе».«Не очень-то полезно, правда?
Например, возьмите следующий набор чисел: 2.32, 2.33 и 2.331. Когда вы измеряете близость по двум десятичным знакам, 2,32 и 2,33 близки. Но на самом деле 2.33 и 2.331 ближе. Таким образом, близость - понятие относительное. Невозможно определить близость без какого-то порога.
К счастью, модуль math предоставляет функцию под названием isclose () , которая позволяет вам установить собственный порог или допуск для близости.Он возвращает True , если два числа находятся в пределах установленного вами допуска близости, и в противном случае возвращает False .
Давайте посмотрим, как сравнить два числа, используя допуски по умолчанию:
- Относительный допуск или rel_tol - это максимальная разница, которая считается «близкой» по отношению к величине входных значений. Это процент толерантности. Значение по умолчанию - 1e-09 или 0,000000001.
- Абсолютный допуск или abs_tol - это максимальная разница, которая считается «близкой» независимо от величины входных значений.Значение по умолчанию - 0,0.
isclose () вернет True , если выполняется следующее условие:
абс (a-b) <= max (rel_tol * max (abs (a), abs (b)), abs_tol).
isclose использует приведенное выше выражение для определения близости двух чисел. Вы можете подставить свои собственные значения и посмотреть, близки ли какие-либо два числа.
В следующем случае 6 и 7 не близки к :
>>> >>> математ.isclose (6, 7)
Ложь
Числа 6 и 7 не считаются близкими, поскольку относительный допуск установлен для девяти десятичных знаков. Но если вы введете 6,999999999 и 7 с одинаковым допуском, тогда они будут считаться близкими:
>>> >>> math.isclose (6.999999999, 7)
Правда
Вы можете видеть, что значение 6.999999999 находится в пределах девяти десятичных знаков 7. Следовательно, исходя из относительного допуска по умолчанию, 6.999999999 и 7 считаются близкими.
Вы можете отрегулировать относительный допуск, как хотите, в зависимости от ваших потребностей. Если установить для rel_tol значение 0,2, то 6 и 7 считаются близкими:
>>> math.isclose (6, 7, rel_tol = 0.2)
Правда
Вы можете заметить, что 6 и 7 сейчас близки. Это потому, что они находятся в пределах 20% друг от друга.
Как и в случае с rel_tol , вы можете настроить значение abs_tol в соответствии с вашими потребностями. Чтобы считаться близкими, разница между входными значениями должна быть меньше или равна значению абсолютного допуска.Вы можете установить abs_tol следующим образом:
>>> math.isclose (6, 7, abs_tol = 1.0)
Правда
>>> math.isclose (6, 7, abs_tol = 0,2)
Ложь
Когда вы устанавливаете абсолютный допуск на 1, числа 6 и 7 близки, потому что разница между ними равна абсолютному допуску. Однако во втором случае разница между 6 и 7 не меньше или равна установленному абсолютному допуску 0,2.
Вы можете использовать abs_tol для очень малых значений:
>>> математ.isclose (1, 1.0000001, abs_tol = 1e-08)
Ложь
>>> math.isclose (1, 1.00000001, abs_tol = 1e-08)
Правда
Как видите, вы можете определить близость очень маленьких чисел с помощью isclose . Несколько особых случаев, касающихся близости, можно проиллюстрировать с использованием значений nan и inf :
>>> math.isclose (math.nan, 1e308)
Ложь
>>> math.isclose (math.nan, math.nan)
Ложь
>>> math.isclose (math.inf, 1e308)
Ложь
>>> math.isclose (math.inf, math.inf)
Правда
Из приведенных выше примеров видно, что nan не близко ни к какому значению, даже самому себе. С другой стороны, inf не близок ни к каким числовым значениям, даже к очень большим, а близко к себе .
Функции питания
Степенная функция принимает любое число x в качестве входных данных, увеличивает x до некоторой степени n и возвращает x n в качестве выходных данных.Модуль Python math предоставляет несколько функций, связанных с питанием. В этом разделе вы узнаете о степенных функциях, экспоненциальных функциях и функциях извлечения квадратного корня.
Вычислить степень числа с помощью
pow () Степенные функции имеют следующую формулу, где переменная x является основанием , переменная n является степенью , а a может быть любой константой :
Степенная функцияВ приведенной выше формуле значение основания x возведено в степень n .
Вы можете использовать math.pow () , чтобы получить степень числа. Имеется встроенная функция pow () , которая отличается от math.pow () . Вы узнаете разницу позже в этом разделе.
math.pow () принимает два следующих параметра:
>>> math.pow (2, 5)
32,0
>>> math.pow (5, 2.4)
47,546789696
Первый аргумент - это базовое значение, а второй аргумент - это значение мощности.В качестве входных данных можно указать целое или десятичное значение, и функция всегда возвращает значение с плавающей запятой. Есть несколько особых случаев, определенных в math.pow () .
Когда основание 1 возводится в степень любого числа n, это дает результат 1.0:
>>> >>> math.pow (1.0, 3)
1.0
Когда вы увеличиваете базовое значение 1 до любого значения мощности, вы всегда получите 1,0 в качестве результата. Точно так же любое базовое число, возведенное в степень 0, дает результат 1.0:
>>> >>> math.pow (4, 0,0)
1.0
>>> math.pow (-4, 0,0)
1.0
Как видите, любое число, возведенное в степень 0, даст в результате 1.0. Вы можете увидеть этот результат, даже если база равна нан :
>>> math.pow (math.nan, 0,0)
1.0
Возведение нуля в степень любого положительного числа даст в результате 0,0:
>>> >>> math.pow (0.0, 2)
0,0
>>> math.pow (0,0, 2,3)
0,0
Но если вы попытаетесь возвести 0,0 в отрицательную степень, результатом будет ValueError :
>>> math.pow (0,0, -2)
Отслеживание (последний вызов последний):
Файл "", строка 1, в
ValueError: ошибка математического домена
ValueError возникает только тогда, когда основание равно 0. Если основание - любое другое число, кроме 0, тогда функция вернет допустимое значение мощности.
Помимо math.pow () , в Python есть два встроенных способа определения степени числа:
-
х ** у -
pow ()
Первый вариант прост. Возможно, вы уже использовали его раз или два. Тип возвращаемого значения определяется входными данными:
>>> >>> 3 ** 2
9
>>> 2 ** 3,3
9,8406759329
Когда вы используете целые числа, вы получаете целочисленное значение.Когда вы используете десятичные значения, тип возвращаемого значения изменяется на десятичное значение.
Второй вариант - универсальная встроенная функция. Вам не нужно использовать импорт, чтобы использовать его. Встроенный метод pow () имеет три параметра:
- База номер
- мощность номер
- Модуль упругости число
Первые два параметра являются обязательными, а третий - необязательным. Вы можете ввести целые или десятичные числа, и функция вернет соответствующий результат на основе ввода:
>>> >>> pow (3, 2)
9
>>> pow (2, 3.3)
9,8406759329
Встроенная функция pow () имеет два обязательных аргумента, которые работают так же, как base и power в синтаксисе x ** y . pow () также имеет третий необязательный параметр: модуль . Этот параметр часто используется в криптографии. Встроенный pow () с дополнительным параметром модуля эквивалентен уравнению (x ** y)% z . Синтаксис Python выглядит так:
>>> pow (32, 6, 5)
4
>>> (32 ** 6)% 5 == pow (32, 6, 5)
Правда
pow () возводит основание (32) в степень (6), а затем результат делится по модулю на число модуля (5).В этом случае результат равен 4. Вы можете подставить свои собственные значения и увидеть, что и pow () , и данное уравнение дают одинаковые результаты.
Несмотря на то, что все три метода расчета мощности делают одно и то же, между ними есть некоторые различия в реализации. Время выполнения для каждого метода следующее:
>>> >>> timeit.timeit ("10 ** 308")
1,0078728999942541
>>> timeit.timeit ("pow (10, 308)")
1.047615700008464
>>> timeit.timeit ("math.pow (10, 308)", setup = "import math")
0,1837239999877056
В следующей таблице сравнивается время выполнения трех методов, измеренное с помощью timeit () :
| Тип | Время выполнения |
|---|---|
x ** y | 1.0079 с |
pow (x, y) | 1.0476 с |
math.pow (x, y) | 0.1837 с |
Из таблицы видно, что math.pow () быстрее, чем другие методы, а встроенный pow () - самый медленный.
Причина эффективности math.pow () заключается в том, как она реализована. Он полагается на базовый язык C. С другой стороны, pow () и x ** y используют собственную реализацию объекта ввода оператора ** . Однако math.pow () не может обрабатывать комплексные числа (что будет объяснено в следующем разделе), тогда как pow () и ** могут.
Найдите натуральную экспоненту с помощью
exp () Вы узнали о силовых функциях в предыдущем разделе. С экспоненциальными функциями дело обстоит немного иначе. Вместо основания, являющегося переменной, переменной становится мощность. Выглядит это примерно так:
Общая экспоненциальная функцияЗдесь a может быть любой константой, а x , которое является значением мощности, становится переменной.
Так что же такого особенного в экспоненциальных функциях? Значение функции быстро растет по мере увеличения значения x .Если основание больше 1, тогда значение функции непрерывно увеличивается по мере увеличения x . Особое свойство экспоненциальных функций состоит в том, что наклон функции также непрерывно увеличивается по мере увеличения x .
Вы узнали о числе Эйлера в предыдущем разделе. Это основание натурального логарифма. Он также играет роль с экспоненциальной функцией. Когда число Эйлера включается в экспоненциальную функцию, оно становится естественной экспоненциальной функцией :
Естественная экспоненциальная функцияЭта функция используется во многих реальных ситуациях.Возможно, вы слышали о термине экспоненциальный рост , который часто используется в отношении роста человеческой популяции или скорости радиоактивного распада. Оба они могут быть вычислены с использованием естественной экспоненциальной функции.
Модуль Python math предоставляет функцию exp () , которая позволяет вычислять натуральную экспоненту числа. Вы можете найти значение следующим образом:
>>> math.exp (21)
1318815734,4832146
>>> математика.ехр (-1,2)
0,301194211214
Входное число может быть положительным или отрицательным, и функция всегда возвращает значение с плавающей запятой. Если число не является числовым значением, метод вернет TypeError :
>>> math.exp ("x")
Отслеживание (последний вызов последний):
Файл "", строка 1, в
TypeError: должно быть действительное число, а не str
Как видите, если ввод является строковым значением, тогда функция возвращает TypeError , чтение должно быть действительным числом, а не str .
Вы также можете рассчитать показатель степени, используя выражение math.e ** x или используя pow (math.e, x) . Время выполнения этих трех методов следующее:
>>> timeit.timeit ("math.e ** 308", setup = "import math")
0,17853009998701513
>>> timeit.timeit ("pow (math.e, 308)", setup = "import math")
0,21040189999621361
>>> timeit.timeit ("math.exp (308)", setup = "import math")
0,125878200007719
В следующей таблице сравнивается время выполнения вышеуказанных методов, измеренное с помощью timeit () :
| Тип | Время выполнения |
|---|---|
e ** x | 0.1785 с |
pow (e, x) | 0,2104 с |
math.exp (x) | 0,1259 с |
Вы можете видеть, что math.exp () быстрее, чем другие методы, а pow (e, x) - самый медленный. Это ожидаемое поведение из-за базовой реализации C модуля math .
Также стоит отметить, что e ** x и pow (e, x) возвращают одинаковые значения, но exp () возвращает немного другое значение.Это связано с различиями в реализации. В документации Python отмечается, что exp () более точен, чем два других метода.
Практический пример с
exp () Радиоактивный распад происходит, когда нестабильный атом теряет энергию из-за испускания ионизирующего излучения. Скорость радиоактивного распада измеряется с помощью периода полураспада, который представляет собой время, необходимое для распада половины количества родительского ядра. Вы можете рассчитать процесс распада по следующей формуле:
Уравнение радиоактивного распадаВы можете использовать приведенную выше формулу для расчета оставшегося количества радиоактивного элемента через определенное количество лет.Переменные данной формулы следующие:
- N (0) - исходное количество вещества.
- N (t) - это количество, которое еще остается и еще не разложилось по прошествии некоторого времени ( t ).
- T - период полураспада распадающегося количества.
- e - число Эйлера.
Научные исследования определили период полураспада всех радиоактивных элементов.Вы можете подставить значения в уравнение, чтобы рассчитать оставшееся количество любого радиоактивного вещества. Давай попробуем сейчас.
Радиоизотоп стронций-90 имеет период полураспада 38,1 года. В пробе содержится 100 мг Sr-90. Вы можете рассчитать оставшиеся миллиграммы Sr-90 через 100 лет:
>>> >>> half_life = 38,1
>>> начальный = 100
>>> время = 100
>>> оставшийся = начальный * math.exp (-0,693 * время / период полураспада)
>>> f "Оставшееся количество Sr-90: {осталось}"
«Оставшееся количество Sr-90: 16.22044604811303 '
Как видите, период полураспада установлен на 38,1, а продолжительность установлена на 100 лет. Вы можете использовать math.exp , чтобы упростить уравнение. Подставляя значения в уравнение, вы можете обнаружить, что через 100 лет остается 16,22 мг Sr-90.
Логарифмические функции
Логарифмические функции можно рассматривать как инверсию экспоненциальных функций. Они обозначаются в следующей форме:
Общая логарифмическая функцияЗдесь a - основание логарифма, которое может быть любым числом.Вы узнали об экспоненциальных функциях в предыдущем разделе. Экспоненциальные функции могут быть выражены в виде логарифмических функций и наоборот.
Python Natural Log с
журналом () Натуральный логарифм числа - это его логарифм по основанию математической константы e , или числа Эйлера:
Натуральная логарифмическая функцияКак и экспоненциальная функция, натуральный логарифм использует константу e . Обычно это обозначается как f (x) = ln (x), где e неявно.
Вы можете использовать натуральный логарифм так же, как экспоненциальную функцию. Он используется для расчета таких величин, как скорость роста населения или скорость радиоактивного распада элементов.
log () имеет два аргумента. Первый является обязательным, а второй - необязательным. С одним аргументом вы можете получить натуральный логарифм (с основанием e ) входного числа:
>>> math.log (4)
1,3862943611198906
>>> математика.журнал (3.4)
1,2237754316221157
Однако функция возвращает ValueError , если вы вводите неположительное число:
>>> math.log (-3)
Отслеживание (последний вызов последний):
Файл "", строка 1, в
ValueError: ошибка математического домена
Как видите, в log () нельзя ввести отрицательное значение. Это связано с тем, что значения журнала не определены для отрицательных чисел и нуля.
С двумя аргументами вы можете вычислить логарифм от первого аргумента до основания второго аргумента:
>>> >>> математ.журнал (math.pi, 2)
1.651496129472319
>>> math.log (math.pi, 5)
0,711260668712669
Вы можете увидеть, как значение изменяется при изменении базы журнала.
Понять
log2 () и log10 () Модуль Python math также предоставляет две отдельные функции, которые позволяют вычислять значения журнала с основанием 2 и 10:
-
log2 ()используется для вычисления значения журнала по основанию 2. -
log10 ()используется для вычисления значения журнала по основанию 10.
С помощью log2 () вы можете получить значение журнала с основанием 2:
>>> math.log2 (math.pi)
1.6514961294723187
>>> math.log (math.pi, 2)
1.651496129472319
Обе функции преследуют одну и ту же цель, но в документации Python отмечается, что log2 () более точен, чем использование log (x, 2) .
Вы можете вычислить логарифмическое значение числа по основанию 10 с помощью log10 () :
>>> математ.log10 (math.pi)
0,4971498726941338
>>> math.log (math.pi, 10)
0,4971498726941338
В документации Python также упоминается, что log10 () более точен, чем log (x, 10) , хотя обе функции преследуют одну и ту же цель.
Практический пример с натуральным бревном
В предыдущем разделе вы видели, как использовать math.exp () для вычисления оставшегося количества радиоактивного элемента через определенный период времени. С математ.log () , вы можете определить период полураспада неизвестного радиоактивного элемента, измерив массу через определенный интервал. Следующее уравнение можно использовать для расчета периода полураспада радиоактивного элемента:
Переставив формулу радиоактивного распада, вы можете сделать период полураспада ( T ) предметом формулы. Переменные данной формулы следующие:
- T - период полураспада распадающегося количества.
- N (0) - исходное количество вещества.
- N (t) - это количество, которое остается и еще не разложилось по прошествии определенного периода времени ( t ).
- ln - натуральное бревно.
Вы можете подставить известные значения в уравнение для расчета периода полураспада радиоактивного вещества.
Например, представьте, что вы изучаете образец неопознанного радиоактивного элемента.Когда это было обнаружено 100 лет назад, размер образца составлял 100 мг. После 100 лет распада осталось всего 16,22 мг. Используя формулу выше, вы можете рассчитать период полураспада этого неизвестного элемента:
>>> >>> начальное = 100
>>> Осталось = 16,22
>>> время = 100
>>> half_life = (-0,693 * время) / math.log (оставшееся / начальное)
>>> f "Период полураспада неизвестного элемента: {half_life}"
'Период полураспада неизвестного элемента: 38.09942398335152'
Как видите, неизвестный элемент имеет период полураспада примерно 38.1 год. Основываясь на этой информации, вы можете идентифицировать неизвестный элемент как стронций-90.
Прочие важные
math Функции модуля Модуль Python math имеет множество полезных функций для математических вычислений, и в этой статье подробно рассмотрены только некоторые из них. В этом разделе вы кратко узнаете о некоторых других важных функциях, доступных в модуле math .
Вычислить наибольший общий делитель
Наибольший общий делитель (НОД) двух положительных чисел - это наибольшее положительное целое число, которое делит оба числа без остатка.
Например, НОД 15 и 25 равно 5. Вы можете разделить 15 и 25 на 5 без остатка. Нет большего числа, делающего то же самое. Если взять 15 и 30, то НОД будет 15, потому что и 15, и 30 можно разделить на 15 без остатка.
Для расчета GCD не нужно реализовывать собственные функции. Модуль Python math предоставляет функцию под названием math.gcd () , которая позволяет вычислить НОД двух чисел.В качестве входных данных можно указать положительные или отрицательные числа, и он вернет соответствующее значение НОД. Однако вы не можете ввести десятичное число.
Вычислить сумму итераций
Если вы когда-нибудь захотите найти сумму значений итерируемого объекта без использования цикла, то, вероятно, самый простой способ сделать это - math.fsum () . Вы можете использовать итерации, такие как массивы, кортежи или списки, в качестве входных данных, и функция возвращает сумму значений. Встроенная функция sum () также позволяет вычислять сумму итераций, но fsum () более точна, чем sum () .Подробнее об этом можно прочитать в документации.
Вычислить квадратный корень
Квадратный корень числа - это значение, которое при умножении само на себя дает число. Вы можете использовать math.sqrt () , чтобы найти квадратный корень из любого положительного действительного числа (целого или десятичного). Возвращаемое значение всегда является значением с плавающей запятой. Функция выдаст ValueError , если вы попытаетесь ввести отрицательное число.
Преобразование значений углов
В реальных сценариях, а также в математике, вы часто сталкиваетесь со случаями, когда вам нужно измерять углы для выполнения вычислений.Углы можно измерять в градусах или радианах. Иногда приходится переводить градусы в радианы и наоборот. Модуль math предоставляет функции, которые позволяют это делать.
Если вы хотите преобразовать градусы в радианы, вы можете использовать math.radians () . Он возвращает значение введенного градуса в радианах. Аналогичным образом, если вы хотите преобразовать радианы в градусы, вы можете использовать math.degrees () .
Расчет тригонометрических значений
Тригонометрия - это изучение треугольников.Он касается отношения между углами и сторонами треугольника. Тригонометрия в основном интересует прямоугольные треугольники (в которых один внутренний угол равен 90 градусам), но ее также можно применить к другим типам треугольников. Модуль Python math предоставляет очень полезные функции, которые позволяют выполнять тригонометрические вычисления.
Вы можете рассчитать значение синуса угла с помощью math.sin () , значение косинуса с помощью math.cos () и значение тангенса с помощью math.загар () . Модуль math также предоставляет функции для вычисления арксинуса с math.asin () , арккосинуса с math.acos () и арктангенса с math.atan () . Наконец, вы можете вычислить гипотенузу треугольника, используя math.hypot () .
Новые дополнения к модулю
math в Python 3.8 С выпуском Python версии 3.8 в модуль math было внесено несколько новых дополнений и изменений.Новые дополнения и изменения заключаются в следующем:
comb (n, k)возвращает количество способов выбора k элементов из n элементов без повторения и без определенного порядка .perm (n, k)возвращает количество способов выбора k элементов из n элементов без повторения и с заказом .isqrt ()возвращает целочисленный квадратный корень неотрицательного целого числа.prod ()вычисляет произведение всех элементов во входной итерации. Как иfsum (), этот метод может принимать итерации, такие как массивы, списки или кортежи.dist ()возвращает евклидово расстояние между двумя точками p и q , каждая из которых задана как последовательность (или итерация) координат. Две точки должны иметь одинаковый размер.hypot ()теперь обрабатывает более двух измерений.Ранее он поддерживал максимум два измерения.
cmath и math Комплексное число - это комбинация действительного и мнимого числа. Он имеет формулу a + bi , где a - действительное число, а bi - мнимое число. Действительные и мнимые числа можно объяснить следующим образом:
- Действительное число - это буквально любое число, которое вы можете придумать.
- Мнимое число - это число, возведение которого в квадрат дает отрицательный результат.
Действительным числом может быть любое число. Например, 12, 4,3, -19,0 - все действительные числа. Мнимые числа отображаются как i . На следующем изображении показан пример комплексного числа:
. Комплексное числоВ приведенном выше примере 7 - действительное число, а 3i - мнимое число. Комплексные числа в основном используются в геометрии, исчислении, научных расчетах и особенно в электронике.
Функции модуля Python math не приспособлены для обработки комплексных чисел. Однако Python предоставляет другой модуль, который может специально работать с комплексными числами, модуль cmath . Модуль Python math дополняется модулем cmath , который реализует многие из тех же функций, но для комплексных чисел.
Вы можете импортировать модуль cmath следующим образом:
Поскольку модуль cmath также входит в пакет Python, вы можете импортировать его так же, как импортировали модуль math .Прежде чем работать с модулем cmath , вы должны знать, как определить комплексное число. Вы можете определить комплексное число следующим образом:
>>> c = 2 + 3j
>>> c
(2 + 3j)
>>> тип (c)
<класс 'сложный'>
Как видите, вы можете определить, что число действительно сложное, используя type () .
Примечание: В математике мнимая единица обычно обозначается i . В некоторых полях более привычно использовать j для того же самого.В Python вы используете j для обозначения мнимых чисел.
Python также предоставляет специальную встроенную функцию под названием complex () , которая позволяет создавать комплексные числа. Вы можете использовать complex () следующим образом:
>>> c = комплекс (2, 3)
>>> c
(2 + 3j)
>>> тип (c)
<класс 'сложный'>
Вы можете использовать любой метод для создания комплексных чисел. Вы также можете использовать модуль cmath для вычисления математических функций для комплексных чисел следующим образом:
>>> cmath.sqrt (с)
(1.8581072140693775 + 0.6727275964137814j)
>>> cmath.log (c)
(1,3622897515267103 + 0,6947382761967031j)
>>> cmath.exp (c)
(-16.0670844 + 12.02063434789931j)
В этом примере показано, как вычислить квадратный корень, логарифмическое значение и экспоненциальное значение комплексного числа. Вы можете прочитать документацию, если хотите узнать больше о модуле cmath .
NumPy против
math Для математических вычислений можно использовать несколько известных библиотек Python.Одна из самых известных библиотек - Numerical Python или NumPy. Он в основном используется в научных вычислениях и в областях науки о данных. В отличие от модуля math , который является частью стандартной версии Python, вам необходимо установить NumPy для работы с ним.
Сердце NumPy - это высокопроизводительная структура данных N -мерного (многомерного) массива. Этот массив позволяет выполнять математические операции со всем массивом без циклического перебора элементов.Все функции библиотеки оптимизированы для работы с объектами N-мерного массива.
И модуль math , и библиотека NumPy могут использоваться для математических вычислений. NumPy имеет несколько общих черт с модулем math . NumPy имеет подмножество функций, аналогичных функциям модуля math , которые имеют дело с математическими вычислениями. И NumPy, и math предоставляют функции, которые имеют дело с тригонометрическими, экспоненциальными, логарифмическими, гиперболическими и арифметическими вычислениями.
Есть также несколько фундаментальных различий между math и NumPy. Модуль Python math больше ориентирован на работу со скалярными значениями, тогда как NumPy лучше подходит для работы с массивами, векторами и даже матрицами.
При работе со скалярными значениями функции модуля math могут быть быстрее, чем их аналоги в NumPy. Это связано с тем, что функции NumPy преобразуют значения в массивы под капотом, чтобы выполнять над ними вычисления.NumPy работает намного быстрее при работе с размерными массивами N из-за оптимизации для них. За исключением fsum () и prod () , функции модуля math не могут обрабатывать массивы.
Заключение
Из этой статьи вы узнали о модуле Python math . Модуль предоставляет полезные функции для выполнения математических вычислений, которые имеют множество практических приложений.
Из этой статьи вы узнали:
- Что такое модуль Python
math - Как использовать
mathфункций с практическими примерами - Какие константы модуля
math, включая пи, тау и число Эйлера, равны - В чем разница между встроенными функциями и функциями
math - В чем разница между
math,cmathи NumPy
Понимание того, как использовать математические функции , - это первый шаг.Пришло время применить полученные знания в реальных жизненных ситуациях. Если у вас есть какие-либо вопросы или комментарии, оставьте их в разделе комментариев ниже.
Модуль 5: Процесс решения проблемы
Исходя из информации, полученной на этапах 1 и 2 (см. Таблица 1: Процесс решения проблем ), вы должны быть готовы выбрать подход к разрешению жалобы, действовать и оценивать результат. Помните о потенциальных препятствиях, выявленных на этапе 2, и будьте достаточно гибкими, чтобы использовать другой подход, если ваш первоначальный выбор не дает ожидаемых результатов.
Разрешение означает просто найти решение. Иногда вы будете разрабатывать решение, чтобы попытаться «продать» соответствующим сторонам; в других случаях вам, возможно, придется объединить людей и помочь им выработать значимые решения. Важным моментом является то, что решение должно «исправлять» проблему. Например, помощь жителю в поиске утерянной одежды может быть приятным делом, но это не обеспечивает длительного решения проблемы неправильного обращения со стиркой или личными вещами.В другом случае у вас может быть помощница медсестры, которая согласится позволить ординатору не ложиться спать допоздна, что является обычным делом ординатора. Для достижения долгосрочного решения, возможно, потребуется пересмотреть план ухода за жильцом или сделать отметку в ее записях о том, что она предпочитает более поздний отход ко сну. Об этом изменении необходимо уведомить весь персонал, работающий в ночное время с этим резидентом. Без этих дополнительных шагов более позднее время отхода ко сну могло бы быть только достижением на одну ночь; тогда вам придется столкнуться с той же проблемой во второй раз.
Важно распознать, когда было достигнуто решение проблемы или соглашение . Некоторые люди настолько вовлекаются в расследование или переговоры, что не понимают, что они добились своего или решили проблему. С другой стороны, вы также должны распознавать, когда удовлетворительное решение не было достигнуто, и проблема продолжает повторяться. Если удовлетворительное соглашение не достигнуто, пора обсудить проблему с вашим руководителем LTCO или с омбудсменом штата по долгосрочному уходу (SLTCO).
ВИДЕО: Устранение проблем до разрешения
Проследите за решением проблемы Мэри до разрешения в видеоролике ниже.
Страница не найдена - PHI
НовостиМнениеРазработка государстваРесурсКейсыИстория воздействияЭкспертКлиент / Партнер / Сторонник / Система города Нью-ЙоркаОткрытие вакансииСтраница
Расширенные роли Дизайн учебной программыМодели домохозяйстваОрганизационная деятельность и развитие лидерских качествPHI Coaching Approach® Общественное образование и обмен сообщениямиНабор и удержаниеИсследования и анализ политикиОбучение
Эллисон Кук, Стивен Кэмпбелл, Мария, Елена Дель Валле, Роберт Эспиноза, Пегги Пауэлл, Кезия Скейлс, доктор философии, Джоди М.SturgeonAngelina Del Rio DrakeSandra E. SmithErica Brown-MyrieMartha MedinaIrma RiveraAbigail BarriosMichael ElsasDonna CalameDenise ClarkAnne GeggieKaren KulpJerry PhilipAdria PowellEmily DieppaLois MorganArielle AltmanKathleen GrahamCassandra Мартин-Himmons, LMSWYarissa SorianoBrian DiPaoloMandy TownsendSweta AdhikariBettyRose GreenAmy SohnJenny Фридлер
AlabamaAlaskaArizonaArkansasCaliforniaColoradoConnecticutDelawareDistrict из ColumbiaFloridaGeorgiaHawaiiIllinoisIndianaIowaKansasKentuckyLouisianaMaineMarylandMassachusettsMichiganMinnesotaMississippiMissouriMontanaNevadaNew HampshireNew JerseyNew MexicoNew YorkNorth CarolinaOhioOklahomaOregonPennsylvaniaRhode IslandSouth CarolinaTennesseeTexasUnited StatesUtahVermontVirginiaWashingtonWest VirginiaWisconsinWyoming
Сбор и качество данных Расширенный доступ и культурная компетентностьУход в семьеУход за персоналомОбучение и повышенные роли Заработная плата и льготы
Ресурсный центр по болезни АльцгеймераCaledonian House at Scottish HomeЦентры для Medicare и Medicaid Центр общественной политики в области жизниЦентр еврейской реабилитацииLorettoПартнеры в CareTrinity Health Сообщества пожилых людейWestminster Canterbury
1199SEIU и 1199SEIU Фонд обучения и образованияАмериканское общество по проблемам старенияАспенский институтЗабота о разных поколенияхЦентр по продвижению паллиативной помощиАльянс сотрудников по уходу за престарелымиСотрудники по уходу за домомВакансии
Решение проблем с помощью алгоритмов - CO383 - Модули
Обзор
Этот модуль направлен на укрепление у студентов основополагающих способностей к программированию в малом за счет сильной практической ориентации на решение проблем.Конкретные темы будут включать вводные алгоритмы, правильность алгоритма, время выполнения алгоритма, а также нотацию большого O. Будут рассмотрены основные структуры данных и навыки алгоритмического программирования, такие как массивы, списки и деревья, поиск и сортировка, рекурсия и разделяй и властвуй.
Детали
Часы работы
Общее количество часов: 32
Часы индивидуального обучения: 118
Общее количество часов: 150
Метод оценки
Основные методы оценки
100% Курсовая работа
Методы повторной оценки
аналогичный
Ориентировочное значение
Скиена, Стивен С., «Руководство по разработке алгоритмов», Springer, 2008 г.
См. Список чтения библиотеки для этого модуля (Кентербери)
Результаты обучения
Предполагаемые результаты обучения по конкретному предмету.
После успешного завершения модуля студенты смогут:
1 Прочтите описание проблемы и примените соответствующий алгоритм для решения этой проблемы.
2 Сформулируйте решение проблемы в алгоритмической форме с использованием псевдокода.
3 Причина правильности алгоритма.
4 Причина времени выполнения алгоритма.
5 Реализуйте алгоритм как часть исполняемой программы.
6 Реализуйте базовые структуры данных (например, массивы, списки, деревья) и используйте алгоритмические методы (рекурсия и разделяй и властвуй) для решения хорошо известных проблем (поиск и сортировка), а также как применять их принципы к вновь возникшим проблемам.
Предполагаемые общие результаты обучения.
После успешного завершения модуля студенты смогут:
1 Работа в командах.
2 Сообщите о своем понимании технических проблем и их решениях.
3 Эффективно используйте ИТ-возможности.
4 Эффективно распоряжайтесь своим временем и ресурсами.
Банкноты
Уровень кредита 4 . Модуль уровня сертификата обычно берется на первом этапе бакалавриата.
- Кредиты ECTS признаны во всем ЕС и позволяют легко переводить кредиты из одного университета в другой.
- Названный организатор является организатором текущей академической сессии.
Университет Кента прилагает все усилия для обеспечения точности информации модуля для соответствующей академической сессии и для предоставления образовательных услуг, как описано. Однако курсы, услуги и другие вопросы могут быть изменены. Пожалуйста, прочтите наш полный отказ от ответственности.
Каталог модулей- Университет Ньюкасла
MAS1801: Решение проблем и вычисления I (неактивный)
- Неактивен в течение года: 2020/21
- Руководители модуля: Доктор Эндрю Флетчер
- Лектор: Доктор Крис Грэм, доктор Стюарт Холл
- Собственная школа: Математика, статистика и физика
- Место преподавания: Кампус Ньюкасл-Сити
Семестр
| Стоимость кредита за семестр 1: | 10 |
| Кредиты ECTS: | 5.0 |
Цели
Цель модуля - помочь учащимся задуматься и решить проблемы, которые не были им непосредственно продемонстрированы и которые можно сформулировать математически
Краткое описание модуля
Хотя формально следует рассматривать два отдельных модуля, MAS1801 и MAS1802 как пара. Цель состоит в том, чтобы позволить учащимся испытать независимое мышление и критическую оценку, а не более традиционное преподавание и изучение математики.Это будет достигнуто путем представления незнакомых проблем для решения с минимальным указанием методов или без них. Некоторые проблемы могут быть выражены уже на математическом языке, тогда как другие будут основаны на сценариях реального мира, и первая задача будет заключаться в том, чтобы логически осмыслить смысл проблемы и то, как выразить ее таким образом, чтобы это можно было решить. Студенты будут работать над разными задачами в одиночку или в группах, модуль будет побуждать студентов писать и представлять математику ясно и точно, а также потребуется использование компьютеров для поддержки обучения и решения задач.
План программы
Использование Python для математических вычислений. Начало работы, ввод и вывод, типы данных, построение графиков и простые вычисления, управляющие операторы, функции.
Индивидуальные и групповые задачи, основанные на существующих математических знаниях (например, исчисление, последовательности и серии, функции с одним значением, построение кривых и простой численный анализ, линейная алгебра, матричные манипуляции, перестановки и комбинации).
Математические задачи и головоломки из логики, теории чисел, геометрии, алгебры, вероятности, стратегии.
Методы обучения
Обратите внимание, , что руководители модулей пересматривают методы обучения и оценивания модулей для модулей 2 семестра в свете ограничений Covid-19. Также могут быть внесены некоторые дальнейшие изменения в модули семестра 1. Окончательная информация будет доступна к концу августа 2020 года для модулей 1-го семестра и к концу октября 2020 г. для модулей 2-го семестра.
Преподавательская деятельность
| Категория | Действия | Число | Длина | Студенческие часы | Комментарий |
|---|---|---|---|---|---|
| Запланированные учебные и преподавательские мероприятия | Лекция | 13 | 1:00 | 13:00 | Официальные лекции |
| Запланированные учебные и преподавательские мероприятия 9037 280 | 20:00 | Классы задач | |||
| Управляемое независимое исследование | Подготовка и завершение оценки | 1 | 1:30 | 1:30 | Невидимый экзамен |
| Подготовка к независимому тестированию | и завершение | 1 | 13:00 | 13:00 | Пересмотр для невидимого экзамена |
| Управляемое независимое исследование | Подготовка и завершение аттестации | 1 | 7:30 | 7:30 | проекта |
| Плановая учебно-педагогическая деятельность | D rop-in / хирургия | 12 | 0:10 | 2:00 | Приемные часы |
| Независимое управляемое исследование | Независимое исследование | 1 | 43:00 | 43:00 | Обучение, практика и понимание материала курса |
| Итого | 100: 00 |
Обоснование преподавания и взаимосвязь
После первой недели лекций, посвященных модулю, объясняющему ожидания студентов, организацию модуля, распределение студентов по командам и распространение материалов курса, будет одна часовая лекция и одна две -часовые проблемные занятия в неделю в течение десяти недель.Лекции будут адресованы всем студентам, в то время как каждый проблемный класс будет включать группы примерно из пяти студентов. Каждую неделю лекция предоставляет материал для недельного изучения, и студенты будут работать в группах в проблемном классе. На 2–6 неделях студенты представят свои работы в конце каждого проблемного класса, а на 7–11 неделях они представят командный проект по этому материалу. Кроме того, рабочие часы (два в неделю) предоставят возможность для более прямого контакта между отдельными студентами и лекцией: типичный студент может потратить в общей сложности один или два часа в течение модуля, индивидуально или как часть лекции. группа.
Методы оценки
Обратите внимание, , что руководители модулей пересматривают методы обучения и оценивания модулей для модулей семестра 2 в свете ограничений Covid-19. Также могут быть внесены некоторые дальнейшие изменения в модули семестра 1. Окончательная информация будет доступна к концу августа 2020 года для модулей 1-го семестра и к концу октября 2020 г. для модулей 2-го семестра.
Формат повторных экзаменов определяется экзаменационной комиссией
Экзамены
| Описание | Длина | семестр | при установке | В процентах | Комментарий |
|---|---|---|---|---|---|
| Письменный экзамен | 90 | 1 | A | 40 | Н / Д |
Другая оценка
| Описание | семестр | при установке | В процентах | Комментарий | ||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Упражнения вероятностного решения | 1 | M | 10 | Решение вычислительных задач | ||||
| Упражнения вероятностного решения | 1 | M | 20 | письменных задач1 | M | 30 | Групповой проект (максимум восемь страниц) |
Обоснование оценки и взаимосвязь
Для сдачи модуля необходимо будет сдать и экзамен, и командный проект (не более 34 баллов будет выставлен студенту, который не сдал экзамен и / или командный проект ).
Формальный невидимый экзамен важен для проверки индивидуального понимания.
На 2–6 неделях еженедельные оценки будут поощрять участие и поощрять командную работу; каждая еженедельная оценка проблемного класса составляет примерно 4%. В течение недель с 7 по 11 будет примерно четыре вычислительных упражнения примерно одинакового веса и командный проект; командный проект представляет собой письменный отчет, который будет отмечен лектором модуля одной третью балла, выставленной путем экспертной оценки.
Списки чтения
Расписание
Wellness Module 4: Решение проблем | Здесь, чтобы помочь
Автор: CMHA BC и Anxiety Canada
Столкнулись с непростой проблемой в жизни? Нужна помощь в поиске решения? |
Мы решаем проблемы почти каждый день.
К счастью, мы можем решить большинство наших повседневных проблем, придумав решение на месте или используя стратегию, которая работала в прошлом.
Верх
Почему умение решать проблемы так важно для психического здоровья?
Постоянные проблемы могут сказаться на нашем благополучии. Оставшись нерешенным, небольшая проблема может стать большой проблемой. В конечном итоге мы чувствуем разочарование, стресс или, может быть, даже депрессию и безнадежность. Решение проблем помогает более эффективно справляться со стрессорами в вашей жизни.
Решение проблем может иметь ряд дополнительных преимуществ, в том числе:
Лучшее функционирование на работе или в школе
Более приятные отношения с друзьями, семьей и коллегами
Более высокая самооценка
Повышение удовлетворенности жизнью
Верх
А как насчет проблем, которые не так легко исправить?
Проблемы такого рода могут вызвать стресс и повлиять на наше здоровье.Мы часто справляемся, делая то, что делали в прошлом. Пока мы не найдем решение, которое действительно работает, проблема никогда не исчезнет и продолжает создавать стресс в нашей жизни.
Верх
Решение сложных задач
Шаги для решения сложных проблем просты, но большинству из нас никогда не учили этим навыкам.
Шаг 1. Как узнать, есть ли у меня проблема?
Обратите внимание на свои чувства
Негативные чувства часто указывают на проблемы.Когда вы обращаете внимание на эти чувства, вы часто быстрее узнаете проблемы. Например, чувство гнева при разговоре с начальником может быть признаком того, что на работе возникла проблема.
Ищите возможности
Не зацикливайтесь на отрицательных сторонах ситуации. Вместо этого ищите любые возможности или проблемы. Если проблема кажется менее пугающей, вы с большей вероятностью попытаетесь ее решить. Например, вы можете рассматривать проблему с начальником как шанс улучшить вашу рабочую среду.
Шаг 2: В чем проблема?
Вы не можете решить проблему, пока не узнаете, в чем проблема. Для этого задайте себе следующие вопросы:
Какая сейчас ситуация? Что меня расстраивает?
Какой должна быть ситуация? Как бы все было, если бы я не расстроился?
Какие препятствия? Что стоит между мной и моей идеальной ситуацией? Что я могу изменить?
Подсказки
Будьте как можно более конкретными
Если ваше определение проблемы расплывчато, трудно понять, с чего следует начинать решение.Например, может быть трудно даже начать решать проблему, если вы скажете: «Я ненавижу свой дом!» Более точное определение может быть таким: «Моя поездка на работу слишком долгая, и я всегда прихожу домой уставшим и уставшим».
Придерживайтесь фактов
Не включайте мнения в свое определение, только факты. Если вы расстроены тем, что ваши соседи устраивают шумные вечеринки каждые выходные, бесполезно говорить: «Мои соседи - придурки!» Даже если это правда, это не поможет решить проблему - вы не можете просто превратить их в более хороших людей!
Не будь слишком узким
Когда вы определяете проблемы слишком узко, труднее находить решения.Например, вы хотите поехать этим летом, но у вас нет машины. Узкое определение может быть таким: «Как я могу получить достаточно денег, чтобы купить машину за месяц?» Лучшее определение может быть таким: «Как я могу путешествовать этим летом в рамках моего бюджета?» Когда вы так определяете свою проблему, покупка автомобиля - лишь одно из многих решений. Ваши решения также могут включать в себя покупку билета на самолет, поездку на автобусе или поездку с друзьями.
Шаг 3: Как я узнаю, когда приеду?
Выберите цель для вашей проблемы.Принцип SMART может помочь вам установить цели:
Целей должно быть
Специальная
Измерение
Приемная
Реалистик и
Ограничено по времени
Например, «Я буду ходить в спортзал каждый день» может быть нереальной целью, если вы не занимаетесь спортом регулярно. Более полезным было бы утверждение: «Я пойду в спортзал по понедельникам, средам и пятницам с 16:30 до 17:30.«
Шаг 4. Какие возможные решения?
Легко придумывать одни и те же идеи снова и снова. Когда дело доходит до сложных задач, первые идеи не всегда самые лучшие!
Мозговой штурм
Легче найти хорошее решение, когда есть из чего выбирать. Постарайтесь придумать как можно больше различных решений. Если вас расстраивает долгая поездка между домом и работой, вы можете составить список районов, в которые вы могли бы переехать.Однако все эти решения включают одно и то же: перемещение. Вы также можете рассмотреть различные решения, такие как работа из дома несколько дней в неделю, изменение рабочего времени, чтобы вам не приходилось добираться до работы в час пик, или изучение вариантов транспорта, таких как общественный транспорт или совместное использование автомобилей с коллегами.
Не судите!
Старайтесь не увлекаться поиском «правильного» решения во время мозгового штурма. Сейчас не время решать, хороши ли ваши решения или нет.Вы с большей вероятностью подумаете о новых решениях, если включите в них несколько диких.
Шаг 5. Какое лучшее решение?
Когда у вас есть список возможных решений, просмотрите свои идеи и выберите лучшее для вас - идеальное решение существует редко. Главное - выбрать решение, которое имеет наибольшие преимущества и наименьшие затраты. Наверное, у любого решения будут свои минусы. Используйте следующие вопросы как руководство для выбора наилучшего решения.
Поможет ли это решение достичь моих целей и решить мою проблему?
Если решение не решает проблему, вероятно, это не лучший выбор.
Насколько хорошо или плохо я буду себя чувствовать, если выберу это решение?
Вы можете придумать решения, которые могут очень хорошо решить проблему. Однако, если вы думаете, что это решение вызовет у вас ужасное чувство, возможно, это не лучший выбор в настоящее время.
Сколько времени и сил требует это решение?
Решения, отнимающие слишком много времени и энергии, могут быть не лучшим выбором, особенно если вы не можете их реализовать.
Имеет ли это решение больше преимуществ, чем затрат?
Когда вы смотрите на затраты и выгоды, неплохо подумать о том, как решение повлияет на вас и других - как сейчас, так и в будущем. Если это создаст другие проблемы или стресс для вас или окружающих, это, вероятно, не лучшее решение.
Дополнительные советы по поиску возможных решений
Обратитесь за помощью к другим!
Получите новые идеи от друзей, семьи или профессионалов. Это важный аспект социальной поддержки, который помогает снизить стресс.Дополнительную информацию о социальной поддержке см. В Модуле здоровья 3: Социальная поддержка на сайте www.heretohelp.bc.ca.
Комбинированные решения
Некоторые решения, которые кажутся глупыми, могут работать в сочетании с другими идеями. Например, родителям часто приходится решать проблемы, что им делать со своими детьми все лето. Комбинируя «отправить их на Луну» с «попросить кого-нибудь позаботиться о них», можно было бы одним решением: «записать детей в летний лагерь на две недели».
Шаг 6. Реализация решения
После того, как вы выбрали решение, вам нужно составить план действий! Запишите конкретные шаги, которые необходимо предпринять для реализации вашего решения.Вы с большей вероятностью примете меры, если точно знаете, что вам нужно делать.
Шаг 7. Следите за своими успехами
Рекомендуется отслеживать, насколько хорошо ваше решение действительно работает. Если ваша проблема решается сама собой, подумайте, что вы узнали из ситуации. Никогда не знаешь, столкнешься ли ты с подобной проблемой в будущем. Обязательно вознаградите себя за хорошо выполненную работу.
Если ваше решение не работает, будьте добры к себе. Помните, что даже самые лучшие планы не всегда работают так, как ожидалось.Вы можете переоценить, чтобы увидеть, где вы можете внести изменения в свой план.
Если ваше решение не работает, задайте себе следующие вопросы:
Возможно, вам придется повторить эти шаги несколько раз, пока вы не получите удовлетворительное решение. Это нормально, особенно для более сложных задач.
Рабочий лист для решения проблем
Практикуйтесь в решении задач на листе решения проблем!
Об авторах
Канадская ассоциация психического здоровья BC Отдел помогает людям получить доступ к ресурсам сообщества, которые им необходимы для поддержания и улучшения психического здоровья, повышения устойчивости и поддержки выздоровления от психических заболеваний.CMHA BC служит Британской Колумбии более 60 лет.
Anxiety Canada способствует повышению осведомленности о тревожных расстройствах и расширяет доступ к проверенным ресурсам. Посетите www.anxietycanada.com.
© 2019 | Вернуться к началу | Скачать PDF | PDF-файл для фотокопирования | Дополнительные оздоровительные модули | Дополнительные информационные листы
(PDF) Эффективность модуля на основе решения проблем для улучшения аналитического мышления
Международная конференция по естественнонаучному образованию и технологиям
Journal of Physics: Conference Series 1511 (2020) 012093
IOP Publishing
doi: 10 .Модуль на основе 1088 / 1742-6596 / 1511/1/012093
5
показывает, что решение задач побуждает студентов определить цели проблемы, решаемой
в соответствии с целями атрибуции.
Организация - это деятельность по идентификации элементов коммуникации или события и осознанию
того, что они взаимно поддерживают друг друга для создания логической структуры [39]. Хорошая организация может повысить способность
учащихся распознавать проблемы [40], связывать знания с решениями для решения проблем [33],
объединять идеи и находить правильное решение для решения проблем [41]; определить влияние выбранного решения
на задачу [42] и определить взаимосвязь между результатами решения задачи
и эффективностью используемого решения [43].Слабая организация вызывает ошибки в выборе
решений для решения проблем [44], которые влияют на проблемы, которые не могут быть решены [45]. Способ
повысить оценку организации - это практика глубокого понимания содержания посредством действий в модуле
[19]. Оценки организации в двух исследовательских классах увеличиваются за счет использования модуля, основанного на решении задачи
, но это самый низкий рост. Повышение низкого показателя организации составляет
, вызванное ошибками в распознавании проблем, выбором неподходящих решений и недостатком знаний до
, соединяющих идеи, которые не соответствуют целям организации [14].
Повышение баллов за идентификацию, организацию и атрибуцию с использованием вопросов с множественным выбором и
метакогнитивных типов вопросов связано с модулем, основанным на решении задач, который используется в соответствии с характеристиками учащихся
. Вопросы с множественным выбором и метакогнитивные вопросы представляют собой аналитическое мышление, которое
обучает студентов контролировать свои собственные учебные процессы, соответствующие их потребностям, необходимым для жизни в 21 веке
[46].
Эффективные модули, основанные на решении проблем, улучшают аналитическое мышление на основе вопросов с множественным выбором
, поскольку они могут повлиять на способ рассмотрения проблемы и способ ее решения.
Аналитическое мышление усиливается на основе типа метакогнитивных вопросов, потому что модуль
, основанный на решении, может повлиять на осведомленность учащихся и регулирование их знаний о проблеме
, которую необходимо решить, и о том, как управлять этим осознанием, чтобы получить правильное решение в решении
задач [47].[48] доказывают, что хорошие навыки метапознания могут поддержать 90% академического успеха учащегося
, поэтому метакогнитивные вопросы в проблемных модулях важно использовать для улучшения аналитического мышления
.
Исследование [27] показывает, что обучение с использованием обучающих моделей значительно улучшает аналитическое мышление.
Модуль, основанный на решении задач, может помочь студентам получить знания в процессе обучения
, потому что он содержит учебные действия, которые побуждают студентов анализировать проблему и способы ее решения
[16], так что их аналитическое мышление усиливается.Повышенное аналитическое мышление показывает, что
студентов обладают знаниями, которые могут быть использованы для решения задач плановым, независимым образом, а
- полным образом. Наличие высокого аналитического мышления положительно влияет на достижение учащимся
учебных целей в соответствии с ожидаемой учебной программой [49,50].
4. Заключение
Обучение с использованием модуля, основанного на решении задач, эффективно для улучшения аналитического мышления учащихся
, о чем свидетельствует тест Анкова на вопросы с множественным выбором и метакогнитивные типы вопросов.Проблема -
аспекты решения, которые включают в себя выявление проблемы, определение и представление проблемы,
изучение возможных стратегий, действие на стратегии, осмотр и оценку эффекта ваших
действий являются структурной единицей, которая может развивать способности учащихся. для дифференциации, организации и
атрибуции. Улучшение аналитического мышления положительно влияет на знания учащихся, которые можно использовать
для правильного решения задач.Аналитическое мышление и решение проблем могут быть использованы в качестве альтернативы
для дальнейшего исследования, а именно применения темы, отличной от дыхательной системы человека
. В качестве альтернативы будущие исследователи могут объединить аналитическое мышление с
другими навыками в теме респираторной системы человека.