Как решать системы двух уравнений с двумя переменными: Способ подстановки — урок. Алгебра, 7 класс.

Содержание

Системы двух линейных уравнений с двумя переменными

03.06.17

  • Сформировать представление о математической модели система уравнений.
  • Познакомиться с понятием системы двух линейных уравнений и ее решении.
  • Изучить графический способ решения систем двух уравнений.
  • Решить вопрос о количестве решений системы двух линейных уравнений с двумя переменными.
  • Решение более сложных систем двух уравнений с двумя неизвестными.

03.06.17

Вспомним!

  • Что называется линейным уравнением с двумя неизвестными?
  • Что значит решить уравнение с двумя неизвестными?
  • Сколько может быть решений у линейного уравнения?
  • Что называется графиком линейного уравнения с двумя переменными?
  • Сколько точек определяет прямую?
  • Когда две прямые на плоскости пересекаются?
  • Когда две прямые на плоскости параллельны? 
  • Когда две прямые на плоскости совпадают?

03.06.17

Вспомним!

Решением уравнения с двумя неизвестными называется пара переменных, при подстановке которых уравнение становится верным числовым равенством.

03.06.17

Решить линейное уравнение –

это значит найти те значения

переменной, при каждом из которых

уравнение обращается в верное

числовое равенство.

Таких решений бесконечно много.

03.06.17

4

03.06.17

4

5 x - 8 = 0

2х² + 3х + 7 = 0

03.06.17

4

Вспомним!

х + у – 8 = 0

Реальная ситуация (словесная модель)

Алгебраическая модель

Сумма двух чисел равна 8.

Геометрическая модель

х + у = 8

(линейное уравнение с двумя переменными)

прямая

(график линейного уравнения с двумя переменными)

Для построения графика достаточно найти координаты двух точек.

03.06.17

Вспомним!

  • Придать переменной х конкретное значение х ₁; найти

из уравнения

ах + b у + c = 0 соответствующее значение у ₁. Получим (х₁;у₁).

2. Придать переменной х конкретное значение х ₂; найти

из уравнения

ах + b у + c = 0 соответствующее значение у ₂.

Получим ).

3. Построим на координатной плоскости точки (х₁; у₁),

; у₂) и соединим прямой.

4. Прямая – есть график уравнения.

03.06.17

Количество болезнетворных микробов в организме описывается по формуле

y -50000=5000 t . Человек начинает принимать лекарство. Количество микробов, уничтожаемых лекарством, y =15000 t ( t – время в сутках). Какое время человек должен принимать лекарство?

03.06.17

9

Часто приходится рассматривать математическую модель

состоящую из двух линейных уравнений с двумя переменными.

Решение системы уравнений с двумя неизвестными называется пара переменных, при подстановке которых уравнения становятся верными числовыми равенствами.

Решить систему - это значит найти все ее решения

или доказать, что их нет.

03.06.17

9

Как определить сколько решений имеет система уравнений

без построения графиков?

у = 3х + 1

у = 3х + 1

K 1 K 2

, значит прямые пересекаются.

Система имеет одно решение!

K 1 = K 2 , значит прямые параллельны.

Система не имеет решения(она несовместимая)!

прямые совпадают.

Система имеет бесконечно много решений (она неопределённая)!

y

y

y

x

x

x

03.06.17

12

y

у = 2х - 3

у = (-х +4):2

Пример 1

Пример 1

Решить систему уравнений:

Графический способ

решения систем

1. Построим график уравнения

2х – у – 3 = 0 , у = 2х – 3.

Получим точки:

х

1

у

2

-1

1

2

А

(0; 2)

(1; -1), (2; 1)

1

(2; 1)

O

x

2

1

2. Построим график уравнения

х + 2у – 4 = 0 , 2у = -х + 4,

у = (-х + 4) : 2.

-1

(1; -1)

-3

х

у

0

2

2

1

Получим точки:

(0; 2), (2; 1)

3 . Прямые пересекаются в

единственной точке А(2;1)

Ответ: (2; 1)

12

03.06.17

Устно:

Совместное задание для двоих (в парах): составить алгоритм решения системы линейных уравнений с двумя переменными графическим способом

  • 11.1,
  • 11.2,
  • 11.4,
  • 11.5,
  • 11.6,
  • 11.7

03.06.17

13

Алгоритм решения системы уравнений графическим способом

1 . Приводим оба уравнения к виду линейной функции y = k x + m.

2. Составляем расчётные таблицы для каждой функции.

3. Строим графики функций в одной координатной плоскости.

4. Определяем число решений:

  • Если прямые пересекаются, то одно решение пара чисел (х ; у) – координаты точки пересечения;
  • Если прямые параллельны, то нет решений;
  • Если прямые совпадают, то бесконечно много решений.

5. Записываем ответ.

У доски:

  • 11.8,
  • 11.9,
  • 11.14;
  • 11.10‒11.13(а)

03.06.17

13

03.06.17

13

Количество решений двух линейных уравнений с

двумя переменными.

то прямые пересекаются и система

имеет единственное решение.

то прямые параллельны

и система не

имеет решений. Система называется

несовместной.

то прямые совпадают и система

имеет бесконечно много решений.

Система называется

неопределенной.

03.06.17

13

y

у = (5 – х):2

у = - (2х + 3):4

Пример 2

Пример 1

Решить систему уравнений:

Графический способ

решения систем

1. Построим график уравнения

х + 2у – 5 = 0 , у = (5 - х):2.

(1; 2)

Получим точки:

2

х

1

у

3

2

1

(3; 1)

(1; 2), (3; 1)

1

O

x

-1,5

3

(-1,5; 0)

2. Построим график уравнения

2 х + 4у + 3 = 0 , 4у = -2х - 3,

у = -(2х + 3) : 4.

1

(2,5; -2)

-2

х

у

-1,5

2,5

0

-2

Получим точки:

(-1,5; 0), (2,5; -2)

Ответ:

система не имеет решений

3 . Прямые параллельны.

03.06.17

18

Пример 3

При каких значениях а система уравнений имеет единственное решение:

Условие при которых система уравнений имеет единственное решение:

Используем свойство пропорции:

03.06.17

19

Пример 4

При каких значениях а система уравнений несовместна

(т.е. не имеет решений):

Условие при которых система уравнений несовместна (не имеет решений):

1) Сначала рассмотрим равенство

Используем свойство пропорции:

03.06.17

19

2) Теперь проверим неравенство:

При подстановке значения а = 2 имеем:

- верное неравенство

03.06.17

19

Пример 5

При каких значениях а система уравнений неопределенна:

Укажите решения системы.

Условие при которых система уравнений неопределенна:

1) Сначала рассмотрим равенство

Используем свойство пропорции:

19

03.06.17

2) Теперь проверим равенство:

При подстановке значения а = 1 имеем:

- верное равенство

При подстановке значения а = 1 в данную систему имеем:

Поделим второе уравнение на 2, имеем:

03.06.17

19

  • Что собой представляют графики обоих уравнений системы?
  • В каком случае система имеет единственное решение?
  • Какая система является несовместимой?
  • О какой системе говорят, что она неопределенна?
  • Что называется решением системы уравнений с двумя переменными?
  • Что значит решить систему уравнений?

03.06.17

19

  • Урок привлек меня тем…
  • Для меня было открытие то, что…

03.06.17

19

  • Учебник: прочитать § 11, с. 65‒70;
  • Задачник: № 11.3, 11.10‒11.13 (б)

03.06.17

19

Системы уравнений. Простейшие системы уравнений с двумя неизвестными

Напомним, что любое конечное множество уравнений называется системой уравнений.

Систему уравнений принято записывать с помощью фигурной скобки.

Общий вид системы двух уравнений с двумя переменными:

Решением системы двух уравнений с двумя переменными называется пара чисел , при подстановке которых вместо соответствующих переменных  оба уравнения системы обращаются в верные числовые равенства.

Решить систему уравнений – значит найти все её решения или доказать, что решений нет.

Две системы уравнений называются равносильными, если они имеют одно и то же множество решений. Если обе системы не имеют решений, то они также считаются равносильными.

Теоремы о равносильности систем уравнений.

1. Пусть дана система двух уравнений с двумя переменными. Если одно уравнение системы оставить без изменения, а второе уравнение заменить равносильным, то полученная система будет равносильна заданной.

2. Пусть дана система двух уравнений с двумя переменными. Если одно уравнение системы оставить без изменения, а второе заменить суммой или разностью обоих уравнений системы, то полученная система будет равносильна заданной.

3. Если обе части уравнения  ни при каких ,  одновременно не обращаются в нуль, то следующие системы равносильны:

  

Вспомним основные методы решения систем уравнений. Итак, основными методами решения систем уравнений являются метод алгебраического сложения, метод подстановки и метод введения новых переменных.

Метод алгебраического сложения. Сущность этого метода заключается в следующем:

1. обе части первого уравнения умножают на некоторый множитель, обе части второго уравнения умножают на другой множитель (если это требуется). Эти множители подбираются так, чтобы коэффициенты при одной из переменных в обоих уравнениях стали противоположными числами;

2. уравнения почленно складывают и решают полученное уравнение с одной переменной;

3. вторую переменную находят подстановкой найденного значения первой переменной в одно из уравнений системы.

Решите систему уравнений .

Решение.

Решите систему уравнений .

Решение.

Метод подстановки. Сущность этого метода заключается в следующем:

1) выражают из какого-либо уравнения системы одну переменную через другую;

2) подставляют в другое уравнение системы вместо этой переменной полученное выражение;

3) решают получившееся уравнение с одной переменной;

4) находят соответствующие значения второй переменной.

Решите систему уравнений .

Решение.

Решите систему уравнений .

Решение.

Метод введения новых переменных. При сопутствующем выборе вспомогательных переменных иногда решение исходной системы можно свести к решению более простой системы уравнений, чем исходная.

Решите систему уравнений .

Решение.

Решите систему уравнений .

Решение.

Рассмотренные методы решения систем уравнений применяются и к решению систем, содержащих показательную и логарифмическую функции.

Решите систему уравнений .

Решение.

Решите систему уравнений .

Решение.

Презентация "Системы двух линейных уравнений с двумя переменными"

Слайд №2
Цели:
12.09.2012
Сформировать представление о математической модели система уравнений.
Познакомиться с понятием системы двух линейных уравнений и ее решении.
Изучить графический способ решения систем двух уравнений.
Вопрос о количестве решений системы двух линейных уравнений с двумя переменными.
Решение более сложных систем двух уравнений с двумя неизвестными.
2
www.konspekturoka.ru
Слайд №3
12.09.2012
www.konspekturoka.ru
3
Уравнение вида:
aх + b = 0
называется линейным уравнением
с одной переменной (где х – переменная,
а и b некоторые числа).
Внимание!
х – переменная входит в уравнение
обязательно в первой степени.
Вспомним!
Слайд №4
ах + by + c = 0
Линейное уравнение с двумя переменными
12.09.2012
4
www.konspekturoka.ru
Решением уравнения с двумя неизвестными называется пара переменных, при подстановке которых уравнение становится верным числовым равенством.
Уравнение вида:
называется линейным уравнением с
двумя переменными (где х, у — переменные,
а, b и с — некоторые числа).
(х;y)
Вспомним!
Слайд №5
12.09.2012
www.konspekturoka.ru
5
Решить линейное уравнение –
это значит найти те значения
переменной, при каждом из которых
уравнение обращается в верное
числовое равенство.
(х;y)- ?
Таких решений бесконечно много.
Вспомним!
Слайд №6
12.09.2012
www.konspekturoka.ru
6
Для построения графика достаточно найти координаты двух точек.
х + у – 3 = 0
Вспомним!
Слайд №7
12.09.2012
www.konspekturoka.ru
7
Алгоритм построения графика
уравнения ах + bу + c = 0
3. Построим на координатной плоскости точки (х?; у?),
(х?; у?) и соединим прямой.
4. Прямая – есть график уравнения.
Вспомним!
Слайд №8
12.09.2012
www.konspekturoka.ru
8
Часто приходится рассматривать математическую модель
состоящую из двух линейных уравнений с двумя переменными.
(х;y)
Решение системы уравнений с двумя неизвестными называется пара переменных, при подстановке которых уравнения становятся верными числовыми равенствами.
Решить систему — это значит найти все ее решения
или доказать, что их нет.
Слайд №9
12.09.2012
www.konspekturoka.ru
9
Пример 1
1. Построим график уравнения
2х – у – 3 = 0 , у = 2х – 3.
-1
(1; -1)
2
(2; 1)
1
у = 2х — 3
-3
2. Построим график уравнения
х + 2у – 4 = 0 , 2у = -х + 4,
у = (-х + 4) : 2.
2
(0; 2)
у = (-х +4):2
3. Прямые пересекаются в
единственной точке А(2;1)
Ответ: (2; 1)
А
Графический способ
решения систем
Слайд №10
12.09.2012
www.konspekturoka.ru
10
Количество решений двух линейных уравнений с
двумя переменными.
Слайд №11
12.09.2012
www.konspekturoka.ru
11
Пример 1
1. Построим график уравнения
х + 2у – 5 = 0 , у = (5 — х):2.
1
(1; 2)
3
(3; 1)
2
у = (5 – х):2
-2
2. Построим график уравнения
2 х + 4у + 3 = 0 , 4у = -2х — 3,
у = -(2х + 3) : 4.
-1,5
(-1,5; 0)
у = — (2х + 3):4
3. Прямые параллельны.
Ответ:
система не имеет решений
Графический способ
решения систем
(2,5; -2)
Слайд №12
12.09.2012
www.konspekturoka.ru
12
Пример 3
При каких значениях а система уравнений имеет единственное решение:
Решение
Условие при которых система уравнений имеет единственное решение:
Используем свойство пропорции:
Ответ: при всех значениях а, кроме а = 8, данная функция имеет единственное решение.
Слайд №13
12.09.2012
www.konspekturoka.ru
13
Пример 4
При каких значениях а система уравнений несовместна:
Решение
Условие при которых система уравнений несовместна:
1) Сначала рассмотрим равенство
Используем свойство пропорции:
Слайд №14
12.09.2012
www.konspekturoka.ru
14
Ответ: при а = 2, данная система несовместна.
2) Теперь проверим неравенство:
При подстановке значения а = 2 имеем:
— верное неравенство
Слайд №15
12.09.2012
www.konspekturoka.ru
15
Пример 5
При каких значениях а система уравнений неопределенна:
Решение
Условие при которых система уравнений неопределенна:
1) Сначала рассмотрим равенство
Используем свойство пропорции:
Укажите решения системы.
Слайд №16
12.09.2012
www.konspekturoka.ru
16
Итак при а = 1, данная система неопределенна.
2) Теперь проверим равенство:
При подстановке значения а = 1 имеем:
— верное равенство
При подстановке значения а = 1 в данную систему имеем:
Поделим второе уравнение на 2, имеем:
Ответ: решением системы будет любая пара чисел х и у, в которой х = 8 – 3у, а у – произвольное число.
Слайд №17
12.09.2012
www.konspekturoka.ru
17
Ответить на вопросы
а) что собой представляют графики обоих уравнений системы?
б) в каком случае система имеет единственное решение?
в) какая система является несовместимой?
г) о какой системе говорят, что она неопределенна?
д) что называется решением системы уравнений с двумя переменными?
е) что значит решить систему уравнений?
Слайд №18
12.09.2012
18
www.konspekturoka.ru
Спасибо за внимание!

100 ballov.kz образовательный портал для подготовки к ЕНТ и КТА

Код и классификация направлений подготовки Код группы образовательной программы Наименование групп образовательных программ Количество мест
8D01 Педагогические науки   
8D011 Педагогика и психология D001 Педагогика и психология 45
8D012 Педагогика дошкольного воспитания и обучения D002 Дошкольное обучение и воспитание 5
8D013 Подготовка педагогов без предметной специализации D003 Подготовка педагогов без предметной специализации 22
8D014 Подготовка педагогов с предметной специализацией общего развития D005 Подготовка педагогов физической культуры 7
8D015 Подготовка педагогов по естественнонаучным предметам D010 Подготовка педагогов математики 30
D011 Подготовка педагогов физики (казахский, русский, английский языки) 23
D012 Подготовка педагогов информатики (казахский, русский, английский языки) 35
D013 Подготовка педагогов химии (казахский, русский, английский языки) 22
D014 Подготовка педагогов биологии (казахский, русский, английский языки) 18
D015 Подготовка педагогов географии 18
8D016 Подготовка педагогов по гуманитарным предметам D016 Подготовка педагогов истории 17
8D017 Подготовка педагогов по языкам и литературе D017 Подготовка педагогов казахского языка и литературы 37
D018 Подготовка педагогов русского языка и литературы 24
D019 Подготовка педагогов иностранного языка 37
8D018 Подготовка специалистов по социальной педагогике и самопознанию D020 Подготовка кадров по социальной педагогике и самопознанию 10
8D019 Cпециальная педагогика D021 Cпециальная педагогика 20
    Всего 370
8D02 Искусство и гуманитарные науки   
8D022 Гуманитарные науки D050 Философия и этика 20
D051 Религия и теология 11
D052 Исламоведение 6
D053 История и археология 33
D054 Тюркология 7
D055 Востоковедение 10
8D023 Языки и литература D056 Переводческое дело, синхронный перевод 16
D057 Лингвистика 15
D058 Литература 26
D059 Иностранная филология 19
D060 Филология 42
    Всего 205
8D03 Социальные науки, журналистика и информация   
8D031 Социальные науки D061 Социология 20
D062 Культурология 12
D063 Политология и конфликтология 25
D064 Международные отношения 13
D065 Регионоведение 16
D066 Психология 17
8D032 Журналистика и информация D067 Журналистика и репортерское дело 12
D069 Библиотечное дело, обработка информации и архивное дело 3
    Всего 118
8D04 Бизнес, управление и право   
8D041 Бизнес и управление D070 Экономика 39
D071 Государственное и местное управление 28
D072 Менеджмент и управление 12
D073 Аудит и налогообложение 8
D074 Финансы, банковское и страховое дело 21
D075 Маркетинг и реклама 7
8D042 Право D078 Право 30
    Всего 145
8D05 Естественные науки, математика и статистика      
8D051 Биологические и смежные науки D080 Биология 40
D081 Генетика 4
D082 Биотехнология 19
D083 Геоботаника 10
8D052 Окружающая среда D084 География 10
D085 Гидрология 8
D086 Метеорология 5
D087 Технология охраны окружающей среды 15
D088 Гидрогеология и инженерная геология 7
8D053 Физические и химические науки D089 Химия 50
D090 Физика 70
8D054 Математика и статистика D092 Математика и статистика 50
D093 Механика 4
    Всего 292
8D06 Информационно-коммуникационные технологии   
8D061 Информационно-коммуникационные технологии D094 Информационные технологии 80
8D062 Телекоммуникации D096 Коммуникации и коммуникационные технологии 14
8D063 Информационная безопасность D095 Информационная безопасность 26
    Всего 120
8D07 Инженерные, обрабатывающие и строительные отрасли   
8D071 Инженерия и инженерное дело D097 Химическая инженерия и процессы 46
D098 Теплоэнергетика 22
D099 Энергетика и электротехника 28
D100 Автоматизация и управление 32
D101 Материаловедение и технология новых материалов 10
D102 Робототехника и мехатроника 13
D103 Механика и металлообработка 35
D104 Транспорт, транспортная техника и технологии 18
D105 Авиационная техника и технологии 3
D107 Космическая инженерия 6
D108 Наноматериалы и нанотехнологии 21
D109 Нефтяная и рудная геофизика 6
8D072 Производственные и обрабатывающие отрасли D111 Производство продуктов питания 20
D114 Текстиль: одежда, обувь и кожаные изделия 9
D115 Нефтяная инженерия 15
D116 Горная инженерия 19
D117 Металлургическая инженерия 20
D119 Технология фармацевтического производства 13
D121 Геология 24
8D073 Архитектура и строительство D122 Архитектура 15
D123 Геодезия 16
D124 Строительство 12
D125 Производство строительных материалов, изделий и конструкций 13
D128 Землеустройство 14
8D074 Водное хозяйство D129 Гидротехническое строительство 5
8D075 Стандартизация, сертификация и метрология (по отраслям) D130 Стандартизация, сертификация и метрология (по отраслям) 11
    Всего 446
8D08 Сельское хозяйство и биоресурсы   
8D081 Агрономия D131 Растениеводство 22
8D082 Животноводство D132 Животноводство 12
8D083 Лесное хозяйство D133 Лесное хозяйство 6
8D084 Рыбное хозяйство D134 Рыбное хозяйство 4
8D087 Агроинженерия D135 Энергообеспечение сельского хозяйства 5
D136 Автотранспортные средства 3
8D086 Водные ресурсы и водопользование D137 Водные ресурсы и водопользования 11
    Всего 63
8D09 Ветеринария   
8D091 Ветеринария D138 Ветеринария 21
    Всего 21
8D11 Услуги   
8D111 Сфера обслуживания D143 Туризм 11
8D112 Гигиена и охрана труда на производстве D146 Санитарно-профилактические мероприятия 5
8D113 Транспортные услуги D147 Транспортные услуги 5
D148 Логистика (по отраслям) 4
8D114 Социальное обеспечение D142 Социальная работа 10
    Всего 35
    Итого 1815
    АОО "Назарбаев Университет" 65
    Стипендиальная программа на обучение иностранных граждан, в том числе лиц казахской национальности, не являющихся гражданами Республики Казахстан 10
    Всего 1890

Системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными

1. Системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными

Автор:
Вдовина Евгения Сергеевна,
студентка Волгоградского
государственного социальнопедагогического университета

2. Содержание:

Повторим
Задача, приводящая к определению системы
уравнений
Сформулируем определения
Способы решения систем уравнений
Решение системы уравнений способом
подстановки
Алгоритм решения систем уравнений способом
подстановки
Решение системы уравнений способом сложения
Алгоритм решения систем уравнений способом
сложения
Потренируемся
Рефлексия

3. Повторим:

Что такое уравнение?
Уравнение – это равенство, содержащее неизвестное
число, обозначенное буквой.
Что такое корень уравнения?
Корень уравнения – это значение неизвестной, при
котором уравнение обращается в верное равенство.
Что значит «решить уравнение»?
Решить уравнение – значит найти все его корни или
установить, что их нет.

4. Задача

Систему
записывать
с помощью
Ученикуравнений
задумалпринято
два числа
и сказал,
что
фигурной
скобки.
Составленную
систему
уравнений
сумма этих
чисел
равна 12,
а их разность
можно записать так:
равна 2. Какие числа задумал ученик?
х + у = 12
х–у=2
Обозначим первое число буквой х, а второе буквой у.
Мы
составили
два уравнения с двумя
неизвестными.
Пара
значений
х=7, 12,
у=5
По условию
задачи переменных
сумма чисел равна
т.е. служит
Чтобы
ответить
на вопрос
задачи,
надо так
найти
решением
каждого
уравнения
системы,
кактакие
оба
х
+
у
=
12.
значения
равенстванеизвестных,
7+5=12 и 7-5=2которые
являютсяобращают
верными. в верное
числовое
равенство
Так как разность
чиселкаждое
равна 2,изтоуравнений х+у=12 и
х-у=2,
найти
общиерешением
решения системы
этих уравнений.
Такую т.е.
пару
называют
уравнений.
х - у = 2.
В таких случаях говорят, что требуется решить
систему уравнений.

5. Сформулируем определения:

Что называется решением системы двух
уравнений с двумя неизвестными?
Решением системы двух уравнений с двумя
неизвестными называется пара значений
переменных, обращающая каждое уравнение
системы в верное числовое равенство.
Что значит «решить систему уравнений»?
Решить систему уравнений – значит найти все
её решения или установить, что решений нет.

6. Способы решения систем уравнений:

способ
подстановки
способ
сложения

7. Решение системы уравнений способом подстановки

Решим систему уравнений:
3х + 2у = 4
х - 4у = 6
Выразим из второго уравнения х через у:
х = 4у + 6 (1)
Пара (2;-1) является решением системы.
Подставим выражение 4у + 6 вместо х в первое
уравнение:
3(4у+6) + 2у = 4
Ответ: (2;-1)
Раскроем скобки: 12у + 18 + 2у = 4
Приведем подобные и перенесем в правую часть
уравнения число 18 : 14у = -14
у = -1
Из равенства (1) найдем х:
х = 4*(-1) + 6
х=2
Решение системы уравнений
способом подстановки

8. Алгоритм решения систем уравнений способом подстановки:

выразим из какого-нибудь уравнения
системы одну переменную через другую;
2. подставим в другое уравнение системы
вместо этой переменной полученное
выражение;
3. решим получившееся уравнение с одной
переменной;
4. найдем соответствующее значение второй
переменной.
1.

9. Решение системы уравнений способом сложения

Решим систему уравнений:
2х + 3у = -5
х - 3у = 38
В уравнениях этой системы коэффициенты при у
являются противоположными числами. Поэтому
будет удобно сложить почленно левые и правые
части уравнений: (2х+х) + (3у-3у) = -5+38
3х = 33
х = 11
Подставим полученное значение х во второе
уравнение системы и найдем у:
11 – 3у = 38
-3у = 27
у = -9
Ответ: (11;-9)
Решение системы
уравнений способом
сложения

10. Алгоритм решения систем уравнений способом сложения:

умножим почленно уравнения системы,
подбирая
множители
так,
чтобы
коэффициенты при одной из переменных
стали противоположными числами;
2. сложим почленно левые и правые части
уравнений системы;
3. решим получившееся уравнение с одной
переменной;
4. найдем соответствующие значения второй
переменной.
1.

11. Потренируемся!

Решите системы уравнений:
а) способом подстановки
х + 2у = 12
Ответ: (0;6)
2х – 3у = -18
б) способом сложения
7х – 2у = 27
5х + 2у = 33
Ответ: (5;4)

12. Рефлексия

Продолжите предложения:
• На уроке мне понравилось…
• На уроке мне не понравилось…
• Я узнал о…
• Я научился…
Ответьте на вопросы:
Что такое система уравнений?
Какие существуют способы решения
систем уравнений?
Расскажите кратко о каждом способе.

13. Удачи в решении!

14. Список источников:

Алгебра. 7 класс: учеб. Для общеобразоват.
учреждений/[Ш.А.Алимов, Ю.М.Колягин,
Ю.В.Сидоров и др.] – 18 изд. – М.:Просвещение,
2011.
http://tana.ucoz.ru/_ld/11/08764.gif
http://animo2.ucoz.ru/_ph/56/1/320200767.jpg
http://animo2.ucoz.ru/_ph/14/1/549836932.jpg
http://animo2.ucoz.ru/_ph/56/1/824359680.jpg
http://www.tochkagif.ru/_ph/89/2/5061539.gif

Abitur

Системы уравнений первой степени с двумя неизвестными

   Способы решения систем уравнений.
   1. Метод сложения:
   Данный метод решения систем уравнений первой степени с двумя неизвестными состоит в том, что путем сложения двух уравнений мы получаем третье, в котором отсутствует одна из переменных.
   2. Метод подстановки:
   Данный метод решения систем уравнений первой степени с двумя неизвестными состоит в том, что из одного из уравнений выражаем любую переменную и подставляем это выражение во второе уравнение. Решаем его. Найденное значение подставляем в любое уравнение и находим другую переменную.

   Решение примеров.
   1. Решите систему уравнения методом сложения:

a).
1).
2). Сложим 2 уравнения и получим: 6y=12
4). Подставим это число в первое уравнение и найдем х: x=7-4.2=-1

   2. Решите систему уравнения методом подстановки:

a).
1). Из второго уравнения выражаем х: x=3y-6
2). Подставляем полученное выражение в первое уравнение: 2(3y-6)+y=-5
5). Подставим это число во второе уравнение и найдем х: x-3.1=-6

   Задания.
   1. Решите систему уравнений:

a). b).
c). d).
e).

Система уравнений с двумя переменными, урок в 9 классе по алгебре, презентация

Дата публикации: .

Системы уравнений с двумя переменными


Ребята, сегодня мы с вами изучим тему: "Системы уравнений".

Определение. Если нужно найти пару чисел (x;y), таких, что они одновременно удовлетворяют рациональным уравнениям: $p(x;y)=0$ и $u(x;y)=0$, то принято говорить, что они образуют систему уравнений:
$\begin{cases}p(x;y)=0, \\u(x;y)=0\end{cases}$.2\\yx=1\end{cases}$.
Решение.
Давайте также построим два графика. Оба графика мы с вами прекрасно знаем. Первый график – парабола, а второй гипербола.
Как видно, наши графики пересекаются в точке (1;0), это и будет ответом.

Графический метод является не самым лучшим методом решения систем уравнений. Не всегда можно построить график уравнения, и не всегда два графика пересекаются в хороших точках, то есть решение может получится дробным, тогда точность решения уже будет зависеть от масштаба.

Неравенства с двумя переменными. Графический метод решения


Ребята, теперь давайте перейдем к теме неравенства и их системы.

Решением рационального неравенства $u(x;y)>0$ называется пара чисел (x;y), такая, что неравенство становится верным числовым выражением.

Например, рассмотрим неравенство $2х+2y>0$, при $х=1$ и $y=1$ наше неравенство верно. Тогда пара чисел (1;1) являются решение нашего неравенства. Однако, наша пара чисел является частным решением, а как же найти общее решение?
Для решения неравенств с двумя переменными, также удобно строить графики.2 Наше неравенство не выполняется.
Тогда очевидно, что решением будет область выше графика. Убедимся в этом, подставим точку (1;4).
$4>3$ – получим верное числовое выражение.

Система неравенств с двумя переменными


Если требуется найти два числа x и y, которые удовлетворяют сразу двум неравенствам, то говорят, что надо решить систему неравенств с двумя переменными:
$\begin{cases}p(x;y)>0\\u(x;y)>0\end{cases}$.
Решение системы – это пара чисел, которая удовлетворяет сразу двум нашим неравенствам.

Пример.
Решить систему неравенств: $\begin{cases}2x-y-2\end{cases}$.
Решение: Давайте решим это неравенство графическим методом, для этого построим два графика уравнений.
Построим график первого неравенства: $2x-y $y>2x-3$ Нам необходимо выбрать область выше или ниже прямой, проходящей через точки (0;-3) и (1;-1). Проверим точку (2;2) которая выше нашей прямой. $2>1$ – значит, нам надо выбрать область выше прямой. Построим график второго неравенства: $4x+2y>-2$.2\\yx=4\end{cases}$.

2. Решить неравенство графическим методом: $y 3. Решить систему неравенств графическим методом:$\begin{cases}24x-6y-4\end{cases}$.

Решение систем линейных уравнений с использованием подстановки

Системы линейных уравнений:

А система линейные уравнения представляет собой просто набор из двух или более линейных уравнений.

В двух переменных ( Икс а также у ) , график системы двух уравнений представляет собой пару прямых на плоскости.

Есть три возможности:

  • Линии пересекаются в нулевых точках.(Линии параллельны.)
  • Линии пересекаются ровно в одной точке. (Большинство случаев.)
  • Прямые пересекаются в бесконечном множестве точек. (Два уравнения представляют собой одну и ту же линию.)

Как решить систему с помощью Метод замены

  • Шаг 1 : Сначала решите одно линейное уравнение относительно у с точки зрения Икс .
  • Шаг 2 : Затем замените это выражение на у в другом линейном уравнении. Вы получите уравнение в Икс .
  • Шаг 3 : Решите это, и у вас будет Икс -координата перекрестка.
  • Шаг 4 : Затем подключите Икс к любому уравнению, чтобы найти соответствующее у -координат.

Примечание 1 : Если это проще, вы можете начать с решения уравнения для Икс с точки зрения у , и - такая же разница!

Пример:

Решите систему { 3 Икс + 2 у знак равно 16 7 Икс + у знак равно 19

    Решите второе уравнение относительно у .

    у знак равно 19 - 7 Икс

    Заменять 19 - 7 Икс для у в первом уравнении и решите относительно Икс .

    3 Икс + 2 ( 19 - 7 Икс ) знак равно 16 3 Икс + 38 - 14 Икс знак равно 16 - 11 Икс знак равно - 22 Икс знак равно 2

    Заменять 2 для Икс в у знак равно 19 - 7 Икс и решить для у .

    у знак равно 19 - 7 ( 2 ) у знак равно 5

    Решение ( 2 , 5 ) .

Примечание 2 : Если линии параллельны, ваш Икс -условия будут отменены в шаге 2 , и вы получите невозможное уравнение, что-то вроде 0 знак равно 3 .

Примечание 3 : Если два уравнения представляют одну и ту же строку, все будет отменено на шаге 2 , и вы получите избыточное уравнение, 0 знак равно 0 .

Система 2-х линейных уравнений с 2-мя переменными Калькулятор

[1] 2021.01.28 10:36 Мужчина / До 20 лет / Начальная школа / Ученик неполной средней школы / Очень /

Цель использования
Учеба Руководство
Комментарий / запрос
Очень полезно для быстрых ответов на 2 уравнения.

[2] 2021.01.20 20:31 Женский / 20-летний уровень / Средняя школа / Университет / аспирант / Полезно /

Цель использования
, чтобы научиться пользоваться им.

[3] 2020/12/01 19:17 Мужчина / 60 лет и старше / Инженер / Полезно /

Цель использования
Для проекта строительства моста
Комментарий / Запрос
полезно для инженеры

[4] 2020/07/23 14:40 Мужчина / Моложе 20 лет / Высшая школа / Университет / аспирант / Очень /

Цель использования
Решение статистики
Комментарий / запрос
Довольно хорошо

[5] 2020/06/23 12:09 Женский / Моложе 20 лет / Начальная школа / Младший школьник / Немного /

Комментарий / Запрос
Невозможно вычислить с корневыми значениями

[6] 2020/03/21 05:46 Женский / Моложе 20 лет / Начальная школа / Неполный средний класс / Полезно /

Цель использования
Математическое представление / застрял на двух линейных уравнениях

[7] 2019/11/23 21:00 Мужчины / До 20 лет ars old / Высшая школа / ВУЗ / Аспирант / Очень /

Назначение
Не терять время.

[8] 2019/10/15 20:25 Женский / Моложе 20 лет / Высшая школа / Университет / аспирант / Не совсем /

Цель использования
Не хочу решать
Комментарий / запрос
просто оставьте его дробями НЕ НУЖНО РЕШИТЬ в десятичных дробях

[9] 26.05.2019 04:43 Женщина / До 20 лет / Инженер / Немного /

Цель используйте
домашнее задание
Комментарий / запрос
нет необходимости в графике, просто скажите

[10] 2018/12/01 18:21 Мужчина / Моложе 20 лет / Старшая школа / Университет / Аспирант / A little /

Цель использования
ЧТОБЫ ПРОВЕРИТЬ МОЙ ОТВЕТ
Комментарий / запрос
ЭТО ТОЛЬКО ДОЛЖНО БЫТЬ НЕКОТОРЫМ СЛУЧАЙНЫМ НОМЕРОМ.ОТВЕТ НЕ СООТВЕТСТВУЕТ МОИМ РАСЧЕТАМ ИЛИ ОТВЕТАМ В МОЕМ ТЕКСТЕ ... Я ХОТЕЛ ПРОВЕРИТЬ, ОТЧАСЫВАЕТ ЛИ ДЕВУШКА ОТ ЛЮБВИ ... ДАЙТЕ МНЕ УЗНАТЬ НА ЭТОМ САЙТЕ

algebra prealculus - Как решить систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными?

предварительное вычисление алгебры - Как решить систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными? - Обмен стеками математики
Сеть обмена стеков

Сеть Stack Exchange состоит из 177 сообществ вопросов и ответов, включая Stack Overflow, крупнейшее и пользующееся наибольшим доверием онлайн-сообщество, где разработчики могут учиться, делиться своими знаниями и строить свою карьеру.

Посетить Stack Exchange
  1. 0
  2. +0
  3. Авторизоваться Зарегистрироваться

Mathematics Stack Exchange - это сайт вопросов и ответов для людей, изучающих математику на любом уровне, и профессионалов в смежных областях.Регистрация займет всего минуту.

Зарегистрируйтесь, чтобы присоединиться к этому сообществу

Кто угодно может задать вопрос

Кто угодно может ответить

Лучшие ответы голосуются и поднимаются наверх

Спросил

Просмотрено 781 раз

$ \ begingroup $

Как решить эту систему уравнений?

$$ \ begin {case} 7 (a + b) = b-a \\ 4 (3a + 2b) = b-8 \ end {cases} $$

Прогресс

Я пробовал и замену, и исключение, но когда я освобождаю $ a $ или $ b $ с одной стороны, я продолжаю получать $ a $ или $ b $ также и с другой стороны.

Создан 06 сен.

$ \ endgroup $ 3 $ \ begingroup $

$$ 7 \ cdot (a + b) = b - a \ Rightarrow a = - \ dfrac {6} {8} b $$

Заменить a во втором уравнении

$$ 4 \ cdot (3a + 2b) = b-8 \ Rightarrow 12a + 7b = -8 $$

$$ 7b + 12 \ cdot \ left (- \ dfrac {6} {8} b \ right) = -8 $$

В этом уравнении есть только $ b $ неизвестных, поэтому решите для $ b $, затем используйте $ b $, чтобы найти $ a $

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *