Системы двух линейных уравнений с двумя переменными

03.06.17

• Сформировать представление о математической модели система уравнений.
• Познакомиться с понятием системы двух линейных уравнений и ее решении.
• Изучить графический способ решения систем двух уравнений.
• Решить вопрос о количестве решений системы двух линейных уравнений с двумя переменными.
• Решение более сложных систем двух уравнений с двумя неизвестными.

03.06.17

Вспомним!

• Что называется линейным уравнением с двумя неизвестными?
• Что значит решить уравнение с двумя неизвестными?
• Сколько может быть решений у линейного уравнения?
• Что называется графиком линейного уравнения с двумя переменными?
• Сколько точек определяет прямую?
• Когда две прямые на плоскости пересекаются?
• Когда две прямые на плоскости параллельны? 
• Когда две прямые на плоскости совпадают?

03.06.17

Вспомним!

Решением уравнения с двумя неизвестными называется пара переменных, при подстановке которых уравнение становится верным числовым равенством.

03.06.17

Решить линейное уравнение –

это значит найти те значения

переменной, при каждом из которых

уравнение обращается в верное

числовое равенство.

Таких решений бесконечно много.

03.06.17

4

03.06.17

4

5 x — 8 = 0

2х² + 3х + 7 = 0

03.06.17

4

х + у – 8 = 0

Реальная ситуация (словесная модель)

Алгебраическая модель

Сумма двух чисел равна 8.

Геометрическая модель

х + у = 8

(линейное уравнение с двумя переменными)

прямая

(график линейного уравнения с двумя переменными)

Для построения графика достаточно найти координаты двух точек.

03.06.17

Вспомним!

• Придать переменной х конкретное значение х ₁; найти

из уравнения

ах + b у + c = 0 соответствующее значение у ₁. Получим (х₁;у₁).

2. Придать переменной х конкретное значение х ₂; найти

из уравнения

ах + b

Получим (х ₂ ;у ₂ ).

3. Построим на координатной плоскости точки (х₁; у₁),

(х ₂ ; у₂) и соединим прямой.

4. Прямая – есть график уравнения.

03.06.17

Количество болезнетворных микробов в организме описывается по формуле y -50000=5000 t . Человек начинает принимать лекарство. Количество микробов, уничтожаемых лекарством, y =15000 t ( t – время в сутках). Какое время человек должен принимать лекарство?

03.06.17

9

Часто приходится рассматривать математическую модель

состоящую из двух линейных уравнений с двумя переменными.

Решение системы уравнений с двумя неизвестными называется пара переменных, при подстановке которых уравнения становятся верными числовыми равенствами.

Решить систему — это значит найти все ее решения

или доказать, что их нет.

03.06.17

9

Как определить сколько решений имеет система уравнений

без построения графиков?

у = 3х + 1

у = 3х + 1

K 1 ≠ K 2 , значит прямые пересекаются.

Система имеет одно решение!

K 1 = K 2 , значит прямые параллельны.

Система не имеет решения(она несовместимая)!

прямые совпадают.

Система имеет бесконечно много решений (она неопределённая)!

y

y

y

x

x

x

03.06.17

12

y

у = 2х — 3

у = (-х +4):2

Пример 1

Пример 1

Решить систему уравнений:

Графический способ

решения систем

1. Построим график уравнения

2х – у – 3 = 0 , у = 2х – 3.

Получим точки:

х

1

у

2

-1

1

2

А

(0; 2)

(1; -1), (2; 1)

1

(2; 1)

O

x

2

1

2. Построим график уравнения

х + 2у – 4 = 0 , 2у = -х + 4,

у = (-х + 4) : 2.

-1

(1; -1)

-3

х

у

0

2

2

1

Получим точки:

(0; 2), (2; 1)

3 . Прямые пересекаются в

единственной точке А(2;1)

Ответ: (2; 1)

12

03.06.17

Устно:

Совместное задание для двоих (в парах): составить алгоритм решения системы линейных уравнений с двумя переменными графическим способом

• № 11.1,
• 11.2,
• 11.4,
• 11.5,
• 11.6,
• 11.7

03.06.17

13

Алгоритм решения системы уравнений графическим способом

1 . Приводим оба уравнения к виду линейной функции y = k x + m.

2. Составляем расчётные таблицы для каждой функции.

3. Строим графики функций в одной координатной плоскости.

4. Определяем число решений:

• Если прямые пересекаются, то одно решение пара чисел (х ; у) – координаты точки пересечения;
• Если прямые параллельны, то нет решений;
• Если прямые совпадают, то бесконечно много решений.

5. Записываем ответ.

У доски:

• № 11.8,
• 11.9,
• 11.14;
• 11.10‒11.13(а)

03.06.17

13

03.06.17

13

Количество решений двух линейных уравнений с

двумя переменными.

то прямые пересекаются и система

имеет единственное решение.

то прямые параллельны и система не

имеет решений. Система называется

несовместной.

то прямые совпадают и система

имеет бесконечно много решений.

Система называется

неопределенной.

03.06.17

13

y

у = (5 – х):2

у = — (2х + 3):4

Пример 2

Пример 1

Решить систему уравнений:

Графический способ

1. Построим график уравнения

х + 2у – 5 = 0 , у = (5 — х):2.

(1; 2)

Получим точки:

2

х

1

у

3

2

1

(3; 1)

(1; 2), (3; 1)

1

O

x

-1,5

3

(-1,5; 0)

2. Построим график уравнения

2 х + 4у + 3 = 0 , 4у = -2х — 3,

у = -(2х + 3) : 4.

1

(2,5; -2)

-2

х

у

-1,5

2,5

0

-2

Получим точки:

(-1,5; 0), (2,5; -2)

Ответ:

система не имеет решений

3 . Прямые параллельны.

03.06.17

18

Пример 3

При каких значениях а система уравнений имеет единственное решение:

Условие при которых система уравнений имеет единственное решение:

Используем свойство пропорции:

03.06.17

19

Пример 4

При каких значениях а система уравнений несовместна

(т.е. не имеет решений):

Условие при которых система уравнений несовместна (не имеет решений):

1) Сначала рассмотрим равенство

Используем свойство пропорции:

03.06.17

19

При подстановке значения а = 2 имеем:

— верное неравенство

03.06.17

19

Пример 5

При каких значениях а система уравнений неопределенна:

Укажите решения системы.

Условие при которых система уравнений неопределенна:

1) Сначала рассмотрим равенство

Используем свойство пропорции:

19

03.06.17

2) Теперь проверим равенство:

При подстановке значения а = 1 имеем:

— верное равенство

При подстановке значения а = 1 в данную систему имеем:

Поделим второе уравнение на 2, имеем:

03.06.17

19

• Что собой представляют графики обоих уравнений системы?
• В каком случае система имеет единственное решение?
• Какая система является несовместимой?
• О какой системе говорят, что она неопределенна?
• Что называется решением системы уравнений с двумя переменными?
• Что значит решить систему уравнений?

03.06.17

19

• Урок привлек меня тем…
• Для меня было открытие то, что…

03.06.17

19

• Учебник: прочитать § 11, с. 65‒70;
• Задачник: № 11.3, 11.10‒11.13 (б)

03.06.17

19

Системы уравнений. Простейшие системы уравнений с двумя неизвестными

Напомним, что любое конечное множество уравнений называется системой уравнений.

Систему уравнений принято записывать с помощью фигурной скобки.

Общий вид системы двух уравнений с двумя переменными:

Решением системы двух уравнений с двумя переменными называется пара чисел , при подстановке которых вместо соответствующих переменных  оба уравнения системы обращаются в верные числовые равенства.

Решить систему уравнений – значит найти все её решения или доказать, что решений нет.

Две системы уравнений называются равносильными, если они имеют одно и то же множество решений. Если обе системы не имеют решений, то они также считаются равносильными.

Теоремы о равносильности систем уравнений.

1. Пусть дана система двух уравнений с двумя переменными. Если одно уравнение системы оставить без изменения, а второе уравнение заменить равносильным, то полученная система будет равносильна заданной.

2. Пусть дана система двух уравнений с двумя переменными. Если одно уравнение системы оставить без изменения, а второе заменить суммой или разностью обоих уравнений системы, то полученная система будет равносильна заданной.

3. Если обе части уравнения  ни при каких ,  одновременно не обращаются в нуль, то следующие системы равносильны:

Вспомним основные методы решения систем уравнений. Итак, основными методами решения систем уравнений являются метод алгебраического сложения, метод подстановки и метод введения новых переменных.

Метод алгебраического сложения. Сущность этого метода заключается в следующем:

1. обе части первого уравнения умножают на некоторый множитель, обе части второго уравнения умножают на другой множитель (если это требуется). Эти множители подбираются так, чтобы коэффициенты при одной из переменных в обоих уравнениях стали противоположными числами;

2. уравнения почленно складывают и решают полученное уравнение с одной переменной;

3. вторую переменную находят подстановкой найденного значения первой переменной в одно из уравнений системы.

Решите систему уравнений .

Решение.

Решите систему уравнений .

Решение.

Метод подстановки. Сущность этого метода заключается в следующем:

1) выражают из какого-либо уравнения системы одну переменную через другую;

2) подставляют в другое уравнение системы вместо этой переменной полученное выражение;

3) решают получившееся уравнение с одной переменной;

4) находят соответствующие значения второй переменной.

Решите систему уравнений .

Решение.

Решите систему уравнений .

Решение.

Метод введения новых переменных. При сопутствующем выборе вспомогательных переменных иногда решение исходной системы можно свести к решению более простой системы уравнений, чем исходная.

Решите систему уравнений .

Решение.

Решите систему уравнений .

Решение.

Рассмотренные методы решения систем уравнений применяются и к решению систем, содержащих показательную и логарифмическую функции.

Решите систему уравнений .

Решение.

Решите систему уравнений .

Решение.

Презентация «Системы двух линейных уравнений с двумя переменными»

100 ballov.kz образовательный портал для подготовки к ЕНТ и КТА

Системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными

1. Системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными

2. Содержание:

3. Повторим:

4. Задача

5. Сформулируем определения:

6. Способы решения систем уравнений:

7. Решение системы уравнений способом подстановки

8. Алгоритм решения систем уравнений способом подстановки:

9. Решение системы уравнений способом сложения

10. Алгоритм решения систем уравнений способом сложения:

11. Потренируемся!

12. Рефлексия

13. Удачи в решении!

14. Список источников:

Abitur

   Способы решения систем уравнений.
   1. Метод сложения:
   Данный метод решения систем уравнений первой степени с двумя неизвестными состоит в том, что путем сложения двух уравнений мы получаем третье, в котором отсутствует одна из переменных.
   2. Метод подстановки:
   Данный метод решения систем уравнений первой степени с двумя неизвестными состоит в том, что из одного из уравнений выражаем любую переменную и подставляем это выражение во второе уравнение. Решаем его. Найденное значение подставляем в любое уравнение и находим другую переменную.

   Решение примеров.
   1. Решите систему уравнения методом сложения:

   2. Решите систему уравнения методом подстановки:

   Задания.
   1. Решите систему уравнений:

Система уравнений с двумя переменными, урок в 9 классе по алгебре, презентация

Дата публикации: 09 апреля 2017.

Системы уравнений с двумя переменными

Определение. Если нужно найти пару чисел (x;y), таких, что они одновременно удовлетворяют рациональным уравнениям: $p(x;y)=0$ и $u(x;y)=0$, то принято говорить, что они образуют систему уравнений:
$\begin{cases}p(x;y)=0, \\u(x;y)=0\end{cases}$.2\\yx=1\end{cases}$.
Решение.
Давайте также построим два графика. Оба графика мы с вами прекрасно знаем. Первый график – парабола, а второй гипербола.
Как видно, наши графики пересекаются в точке (1;0), это и будет ответом.

Графический метод является не самым лучшим методом решения систем уравнений. Не всегда можно построить график уравнения, и не всегда два графика пересекаются в хороших точках, то есть решение может получится дробным, тогда точность решения уже будет зависеть от масштаба.

Неравенства с двумя переменными. Графический метод решения

Решением рационального неравенства $u(x;y)>0$ называется пара чисел (x;y), такая, что неравенство становится верным числовым выражением.

Система неравенств с двумя переменными

Пример.
Решить систему неравенств: $\begin{cases}2x-y-2\end{cases}$.
Решение: Давайте решим это неравенство графическим методом, для этого построим два графика уравнений.
Построим график первого неравенства: $2x-y $y>2x-3$ Нам необходимо выбрать область выше или ниже прямой, проходящей через точки (0;-3) и (1;-1). Проверим точку (2;2) которая выше нашей прямой. $2>1$ – значит, нам надо выбрать область выше прямой. Построим график второго неравенства: $4x+2y>-2$.2\\yx=4\end{cases}$.

2. Решить неравенство графическим методом: $y 3. Решить систему неравенств графическим методом:$\begin{cases}24x-6y-4\end{cases}$.

Решение систем линейных уравнений с использованием подстановки

Системы линейных уравнений:

А система линейные уравнения представляет собой просто набор из двух или более линейных уравнений.

В двух переменных ( Икс а также у ) , график системы двух уравнений представляет собой пару прямых на плоскости.

Есть три возможности:

• Линии пересекаются в нулевых точках.(Линии параллельны.)
• Линии пересекаются ровно в одной точке. (Большинство случаев.)
• Прямые пересекаются в бесконечном множестве точек. (Два уравнения представляют собой одну и ту же линию.)

Как решить систему с помощью Метод замены

• Шаг 1 : Сначала решите одно линейное уравнение относительно у с точки зрения Икс .
• Шаг 2 : Затем замените это выражение на у в другом линейном уравнении. Вы получите уравнение в Икс .
• Шаг 3 : Решите это, и у вас будет Икс -координата перекрестка.
• Шаг 4 : Затем подключите Икс к любому уравнению, чтобы найти соответствующее у -координат.

Примечание 1 : Если это проще, вы можете начать с решения уравнения для Икс с точки зрения у , и — такая же разница!

Пример:

Решите систему { 3 Икс + 2 у знак равно 16 7 Икс + у знак равно 19

Решите второе уравнение относительно у .

у знак равно 19 — 7 Икс

Заменять 19 — 7 Икс для у в первом уравнении и решите относительно Икс .

3 Икс + 2 ( 19 — 7 Икс ) знак равно 16 3 Икс + 38 — 14 Икс знак равно 16 — 11 Икс знак равно — 22 Икс знак равно 2

Заменять 2 для Икс в у знак равно 19 — 7 Икс и решить для у .

у знак равно 19 — 7 ( 2 ) у знак равно 5

Решение ( 2 , 5 ) .

Примечание 2 : Если линии параллельны, ваш Икс -условия будут отменены в шаге 2 , и вы получите невозможное уравнение, что-то вроде 0 знак равно 3 .

Примечание 3 : Если два уравнения представляют одну и ту же строку, все будет отменено на шаге 2 , и вы получите избыточное уравнение, 0 знак равно 0 .

Система 2-х линейных уравнений с 2-мя переменными Калькулятор

[1] 2021.01.28 10:36 Мужчина / До 20 лет / Начальная школа / Ученик неполной средней школы / Очень /

Цель использования

Учеба Руководство

Комментарий / запрос

Очень полезно для быстрых ответов на 2 уравнения.

[2] 2021.01.20 20:31 Женский / 20-летний уровень / Средняя школа / Университет / аспирант / Полезно /

Цель использования

, чтобы научиться пользоваться им.

[3] 2020/12/01 19:17 Мужчина / 60 лет и старше / Инженер / Полезно /

Цель использования

Для проекта строительства моста

Комментарий / Запрос

полезно для инженеры

[4] 2020/07/23 14:40 Мужчина / Моложе 20 лет / Высшая школа / Университет / аспирант / Очень /

Цель использования

Решение статистики

Комментарий / запрос

Довольно хорошо

[5] 2020/06/23 12:09 Женский / Моложе 20 лет / Начальная школа / Младший школьник / Немного /

Комментарий / Запрос

Невозможно вычислить с корневыми значениями

[6] 2020/03/21 05:46 Женский / Моложе 20 лет / Начальная школа / Неполный средний класс / Полезно /

Цель использования

Математическое представление / застрял на двух линейных уравнениях

[7] 2019/11/23 21:00 Мужчины / До 20 лет ars old / Высшая школа / ВУЗ / Аспирант / Очень /

Назначение

Не терять время.

[8] 2019/10/15 20:25 Женский / Моложе 20 лет / Высшая школа / Университет / аспирант / Не совсем /

Цель использования

Не хочу решать

Комментарий / запрос

просто оставьте его дробями НЕ НУЖНО РЕШИТЬ в десятичных дробях

[9] 26.05.2019 04:43 Женщина / До 20 лет / Инженер / Немного /

Цель используйте

домашнее задание

Комментарий / запрос

нет необходимости в графике, просто скажите

[10] 2018/12/01 18:21 Мужчина / Моложе 20 лет / Старшая школа / Университет / Аспирант / A little /

Цель использования

ЧТОБЫ ПРОВЕРИТЬ МОЙ ОТВЕТ

Комментарий / запрос

ЭТО ТОЛЬКО ДОЛЖНО БЫТЬ НЕКОТОРЫМ СЛУЧАЙНЫМ НОМЕРОМ.ОТВЕТ НЕ СООТВЕТСТВУЕТ МОИМ РАСЧЕТАМ ИЛИ ОТВЕТАМ В МОЕМ ТЕКСТЕ … Я ХОТЕЛ ПРОВЕРИТЬ, ОТЧАСЫВАЕТ ЛИ ДЕВУШКА ОТ ЛЮБВИ … ДАЙТЕ МНЕ УЗНАТЬ НА ЭТОМ САЙТЕ

algebra prealculus — Как решить систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными?

Сеть обмена стеков

Сеть Stack Exchange состоит из 177 сообществ вопросов и ответов, включая Stack Overflow, крупнейшее и пользующееся наибольшим доверием онлайн-сообщество, где разработчики могут учиться, делиться своими знаниями и строить свою карьеру.

2. 0
3. +0
6. Авторизоваться Зарегистрироваться

Mathematics Stack Exchange — это сайт вопросов и ответов для людей, изучающих математику на любом уровне, и профессионалов в смежных областях.Регистрация займет всего минуту.

Кто угодно может задать вопрос

Кто угодно может ответить

Лучшие ответы голосуются и поднимаются наверх

Спросил 6 лет, 10 мес назад

Просмотрено 781 раз

Как решить эту систему уравнений?

$$ \ begin {case} 7 (a + b) = b-a \\ 4 (3a + 2b) = b-8 \ end {cases} $$

Прогресс

Я пробовал и замену, и исключение, но когда я освобождаю $ a $ или $ b $ с одной стороны, я продолжаю получать $ a $ или $ b $ также и с другой стороны.

Создан 06 сен.

$$ 7 \ cdot (a + b) = b — a \ Rightarrow a = — \ dfrac {6} {8} b $$

Заменить a во втором уравнении

$$ 4 \ cdot (3a + 2b) = b-8 \ Rightarrow 12a + 7b = -8 $$

$$ 7b + 12 \ cdot \ left (- \ dfrac {6} {8} b \ right) = -8 $$

В этом уравнении есть только $ b $ неизвестных, поэтому решите для $ b $, затем используйте $ b $, чтобы найти $ a $

  A <- матрица (c (2, 1, -1,
             -3, -1, 2,
             -2, 1, 2), 3, 3, byrow = ИСТИНА)
colnames (A) <- paste0 ('x', 1: 3)
b <- c (8, -11, -3)
showEqn (A, b)  

  ## 2 * x1 + 1 * x2 - 1 * x3 = 8
## -3 * x1 - 1 * x2 + 2 * x3 = -11
## -2 * x1 + 1 * x2 + 2 * x3 = -3  

  ## [1] 3 3  

  ## [1] ИСТИНА  

  ## x1 x2 x3
## [1,] 1 0 0 2
## [2,] 0 1 0 3
## [3,] 0 0 1 -1  

  ##
## Исходная матрица:
## x1 x2 x3
## [1,] 2 1 -1 8
## [2,] -3 -1 2 -11
## [3,] -2 1 2 -3
##
## row: 1
##
## поменять местами строки 1 и 2
## x1 x2 x3
## [1,] -3 -1 2 -11
## [2,] 2 1 -1 8
## [3,] -2 1 2 -3
##
## умножить строку 1 на -1/3
## x1 x2 x3
## [1,] 1 1/3 -2/3 11/3
## [2,] 2 1 -1 8
## [3,] -2 1 2 -3
##
## умножить строку 1 на 2 и вычесть из строки 2
## x1 x2 x3
## [1,] 1 1/3 -2/3 11/3
## [2,] 0 1/3 1/3 2/3
## [3,] -2 1 2 -3
##
## умножить строку 1 на 2 и прибавить к строке 3
## x1 x2 x3
## [1,] 1 1/3 -2/3 11/3
## [2,] 0 1/3 1/3 2/3
## [3,] 0 5/3 2/3 13/3
##
## строка: 2
##
## поменяйте местами строки 2 и 3
## x1 x2 x3
## [1,] 1 1/3 -2/3 11/3
## [2,] 0 5/3 2/3 13/3
## [3,] 0 1/3 1/3 2/3
##
## умножить строку 2 на 3/5
## x1 x2 x3
## [1,] 1 1/3 -2/3 11/3
## [2,] 0 1 2/5 13/5
## [3,] 0 1/3 1/3 2/3
##
## умножить строку 2 на 1/3 и вычесть из строки 1
## x1 x2 x3
## [1,] 1 0 -4/5 14/5
## [2,] 0 1 2/5 13/5
## [3,] 0 1/3 1/3 2/3
##
## умножить строку 2 на 1/3 и вычесть из строки 3
## x1 x2 x3
## [1,] 1 0 -4/5 14/5
## [2,] 0 1 2/5 13/5
## [3,] 0 0 1/5 -1/5
##
## строка: 3
##
## умножить строку 3 на 5
## x1 x2 x3
## [1,] 1 0 -4/5 14/5
## [2,] 0 1 2/5 13/5
## [3,] 0 0 1 -1
##
## умножить строку 3 на 4/5 и прибавить к строке 1
## x1 x2 x3
## [1,] 1 0 0 2
## [2,] 0 1 2/5 13/5
## [3,] 0 0 1 -1
##
## умножьте строку 3 на 2/5 и вычтите из строки 2
## x1 x2 x3
## [1,] 1 0 0 2
## [2,] 0 1 0 3
## [3,] 0 0 1 -1