Как решать системы уравнений квадратные – Решение систем квадратных уравнений

Урок в 9-м классе "Система уравнений, сводящихся к квадратным"

Цели урока:

  1. Повторить ранее изученные различные способы решения уравнений, сводящихся к квадратным.
  2. Научить сотрудничеству учеников посредством работы в малых группах, а так же взаимопомощи в процессе обучения. 3. Развитие познавательного интереса, интереса к педагогической деятельности.

Форма проведения: Работа в малых группах, с участием консультантов.

ХОД УРОКА

I. Организация начала урока.

Деление на группы

II. Сообщение учащимся цели предстоящей работы. Мотивация учения.

III. Интеллектуальная разминка. (Приложение 1)

Разминка в форме тестовых заданий. Подготовка к ЕГЭ.

IV. Проверка индивидуального домашнего задания, направленного на повторение основных понятий, основополагающих знаний, умений, способов действий. У доски работают консультанты. На предыдущем уроке им было задано индивидуальное домашнее задание.

Системы нелинейных уравнений, сводящихся к квадратным. (Приложение 2)

Решить систему уравнений

Решение: Если вычесть второе уравнение из первого, получим Значит надо решить систему уравнений

Из первого уравнения находим, что Подставляя х во второе уравнение, получаем

откуда . Корнями этого квадратного уравнения служат . Если y1=3, то из находим х1=1. Если же .

Ответ:

Возможный способ оформления

Решим второе уравнение

Ответ:

Метод введения новых неизвестных при решении систем уравнений. (Приложение 3)

Решить систему уравнений

Решение. Обозначим через u, а через v. Тогда система примет вид

То есть получится система двух линейных уравнений с двумя неизвестными u и v. Из первого уравнения выражаем u через v: и подставляя во второе уравнение, получим , откуда v=2. Теперь находим u=1 и решаем уравнения

Ответ:

Возможный способ оформления

Пусть , тогда

Возвращаемся к переменным х и у.

Ответ:

Однородные уравнения. (Приложение 4)

Решить систему уравнений

Решение. Заметим, что для решений системы выполняется условие . В самом деле, из первого уравнения системы следует, что если , а числа не удовлетворяют второму уравнению системы. Разделим первое уравнение на . Получится уравнение

Введем вспомогательное неизвестное . Уравнение примет вид . Это квадратное уравнение, имеющее корни . Таким образом, из первого уравнения мы получаем, что либо либо . Осталось подставить выражения и (рассмотрев оба случая) во второе уравнение системы. В первом случае получится уравнение , откуда ; соответственно . Во втором случае получается уравнение , откуда ; соответственно

Ответ:

Возможный способ оформления

разделим первое уравнение на , получим

Пусть , тогда

Вернемся к переменным х и у.

Ответ:

V. Работа в малых группах.

Учащиеся получают задания на карточках и начинают работать в группах, обращаясь к консультантам за помощью при затруднениях.

    Задания группам

Вариант 1

Решите систему уравнений

    Задания группам

Вариант 2

Решите систему уравнений

VI. Подведение итогов урока.

VII. Задание на дом.

Задание по группам. Группа консультантов выполняет № 624 (4, 6, 8).

Для остальных № 623 (1, 3), № 624 (1, 3).

urok.1sept.ru

как решать систему квадратных уравнений

Вы искали как решать систему квадратных уравнений? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь. Подробное решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и как решать систему уравнений с двумя переменными с квадратом, не исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению в вуз. И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели - у нас уже есть решение. Например, «как решать систему квадратных уравнений».

как решать систему квадратных уравнений

Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который может решить задачи, такие, как как решать систему квадратных уравнений,как решать систему уравнений с двумя переменными с квадратом,как решать системы уравнений квадратные,как решить систему уравнений с двумя переменными в квадрате,решение квадратных систем уравнений,решение квадратных систем уравнений с двумя переменными,решение систем квадратных уравнений,решение систем квадратных уравнений с двумя переменными,решение систем уравнений квадратных,решение системы квадратных уравнений,система квадратных уравнений,система квадратных уравнений с двумя неизвестными,система квадратов,система уравнений квадратная,системы квадратных уравнений,системы уравнений квадратных. На этой странице вы найдёте калькулятор, который поможет решить любой вопрос, в том числе и как решать систему квадратных уравнений. Просто введите задачу в окошко и нажмите «решить» здесь (например, как решать системы уравнений квадратные).

Где можно решить любую задачу по математике, а так же как решать систему квадратных уравнений Онлайн?

Решить задачу как решать систему квадратных уравнений вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать - это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице калькулятора.

www.pocketteacher.ru

Квадратная система уравнений Википедия

Система линейных уравнений от трёх переменных определяет набор плоскостей. Точка пересечения является решением.

Система линейных алгебраических уравнений (линейная система, также употребляются аббревиатуры СЛАУ, СЛУ) — система уравнений, каждое уравнение в которой является линейным — алгебраическим уравнением первой степени.

В классическом варианте коэффициенты при переменных, свободные члены и неизвестные считаются вещественными числами, но все методы и результаты сохраняются (либо естественным образом обобщаются) на случай любых полей, например, комплексных чисел.

Решение систем линейных алгебраических уравнений — одна из классических задач линейной алгебры, во многом определившая её объекты и методы. Кроме того, линейные алгебраические уравнения и методы их решения играют важную роль во многих прикладных направлениях, в том числе в линейном программировании, эконометрике.

Соглашения и определения[ | ]

Общий вид системы линейных алгебраических уравнений:

{a11x1+a12x2+⋯+a1nxn=b1a21x1+a22x2+⋯+a2nxn=b2…am1x1+am2x2+⋯+amnxn=bm{\displaystyle {\begin{cases}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\dots +a_{1n}x_{n}=b_{1}\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\dots +a_{2n}x_{n}=b_{2}\\\dots \\a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\dots +a_{mn}x_{n}=b_{m}\\\end{cases}}}

Здесь m{\displaystyle m} — количество уравнений, а n{\displaystyle n} — количество переменных, x1,x2,…,xn{\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}} — неизвестные, которые надо определить, коэффициенты a11,a12,…

ru-wiki.ru

Тема 2. Системы линейных алгебраических уравнений

2.1 Основные определения

Матрицы и определители широко используются при записи и решении СЛАУ, т.е. систем вида

(1)

где - заданные действительные числа, а– неизвестные, подлежащие определению.

Определение 2.1Набор чисел, обращающий каждое из уравнений системы (1) в верное числовое равенство, называется решением системы.

Систему (1) можно записать в матричном виде

,

где - матрица коэффициентов;

- матрица - столбец неизвестных;

- матрица - столбец свободных членов.

Расширенной матрицей системыназывается матрица системы, до­полненная столбцом свободных членов:

Система уравнений называется совместной,если имеет хотя бы одно решение, инесовместной, если не имеет ни одного решения.

Совместная система называется определенной,если она имеет единственное решение, инеопределенной,если имеет более одного решения.

В случае неопределенной системы каждое ее решение называется частным решением.Совокупность всех частных решений системы называется ееобщим решением.

Решить системузначит выяснить, совместна она или несовместна, и в случае совместности системы, найти все ее решения.

Ответ на вопрос о совместности системы mлинейных уравнений сnнеизвестными дает следующая теорема.

Теорема Кронекера–Капелли: Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг расширенной матрицы системы равен рангу основной матрицы, т. е.

.

При этом:

– если ранг совместной системы равен числу неизвестных , то система имеет единственное решение;

– если ранг совместной системы меньше числа неизвестных , то система имеет бесчисленное множество решений.

Замечание 1.Если то числоназываетсярангом системы.

Ранг системы r равен максимальному числу линейно независимых уравнений системы.

Замечание 2. Если ,то система несовместна.

2.2 Решение невырожденных линейных систем матричным методом

Пусть дана система nлинейных уравнений сnнеизвестными, т. е.квадратная система

,

или в матричной форме АХ=В.

Основная матрица А такой системы квадратная. Определитель этой матрицы

называется определителем системы

.

Если определитель системы отличен от нуля, то система называется невырожденной.

Найдем решение данной системы уравнений в случае . Умножив обе части уравнения АХ=В слева на матрицу А-1, получим А-1АХ=А-1В. Поскольку А-1А=Е и ЕХ=Х, то справедливо равенство

Х=А-1В.

Отыскание решения системы по приведенной формуле называют матричным способомрешения системы.

Пример. Решить систему уравнений:

Решение. По условию задачи

Х = ;B= ;A= .

Найдем обратную матрицу А-1.

=5(4–9) + 1(2 – 12) – 1(3 – 8) = –25 – 10 +5 = –30.

А11== –5; А21=; А31==–1;

А122232=

А1323= А33=

A-1=.

Найдем решение системы.

Х = = А-1В = =

.

2.2 Решение квадратных систем линейных уравнений методом Крамера

Пусть требуется решить квадратную систему nуравнений. Согласно приведенному матричному способу решения таких систем можем записать

.

Можно заметить, что есть разложение определителяпо элементам первого столбца. Вспомогательный определительполучается из определителяпутем замены первого столбца коэффициентов столбцом из свободных членов. Итак,

Аналогично где определительполучен изпутем замены второго столбца коэффициентов столбцом из свободных членов;

Таким образом, правило Крамерарешения системыnлинейных уравнений сnнеизвестными можно сформулировать так:

– если определитель системы не равен нулю (0), то система имеет единственное решение, причем;

– если определитель системы равен нулю (=0) и все вспомогательные определители,, то система имеет бесчисленное множество решений;

– если определитель системы равен нулю (=0) и найдется какой либо вспомогательный определитель, то система является несовместной, т. е. не имеет ни одного решения.

Пример. Решить систему

Решение. Найдем определитель системыТак как он не равен нулю, то можем сделать вывод, что система имеет единственное решение, причем.

Вычислим вспомогательные определители:

.-

Тогда

studfile.net

Отправить ответ

avatar
  Подписаться  
Уведомление о
2015-2019 © Игровая комната «Волшебный лес», Челябинск
тел.:+7 351 724-05-51, +7 351 777-22-55 игровая комната челябинск, праздник детям челябинск