Алгебра 7 класс «Решение задач с помощью уравнений»

Цели урока:
1. Образовательные:
— закрепить умения и навыки решать линейные уравнения  и задачи с помощью составления уравнений;
— формировать умения самостоятельно решать задачи.
2. Развивающие:
— посредством решения заданий развивать логическое мышление, культуру устного счета и речь учащихся;
— дать возможность каждому ребенку определить для себя уровень сложности в выполнении заданий, тем самым развивать самостоятельность, умение критически относиться к своей работе.
3.  Воспитательные:
— используя игру как  здоровьесберегающую технологию, содействовать воспитанию интереса к математике, активности.
Записи на доске:
— название банка;
— тема урока;
— высказывание Конфуция;
— задания для устного счета;
— задания для практической части.

План и ход урока.

1. Организационный момент.
2. Проверка знаний теоретического материала по теме: «Уравнения с одной переменной».

3. Устная работа.
4. Решение заданий разного уровня.
5. Дифференцированная самостоятельная работа.
6. Подведение итогов.
7. Индивидуальное домашнее задание.
     Сегодня мы с вами проведем необыкновенный урок:  Урок- игру «Банк знаний».
     Тема нашего урока: «Решение задач с помощью уравнений».
     На уроке мы повторим определения, свойства линейного уравнения с одной переменной, закрепим навыки и умения решения линейных уравнений с одной переменной, решения задач с помощью составления уравнений.

Китайский мудрец Конфуций, живший, 500 лет до нашей эры сказал:
«Те, кто обладают врожденными знаниями — богаче всех. За ними следуют те, кто приобретают знания благодаря учению».

     Так давайте же будем приобретать знания, и в конце урока мы выясним, сможем ли мы себя назвать богатыми.
     В городе Когалым есть сберегательный банк, банк «Петрокоммерц», Ханты-Мансийский банк и сегодня открывается еще один банк: «Банк знаний». Туда я и предлагаю вам вложить сегодня деньги, заработанные во время урока, за свои знания. Для того, чтобы сделать первый вклад вы должны ответить на мои вопросы и получить за это первоначальный капитал. За каждый правильный ответ вы получаете одну медную монету достоинством в « 1 тугрик». 1.Устный счёт.

x = 9

x = 35

y = 57

нет корней

c = 17

p = 80

b = 3

x = 4

x = 9

y = 2

2.В одном бидоне x л, а в другом y л молока.

1. Что означает выражение?

а)

x + y

б) x + 5

в) y — 3

г) x — y

2. 2. Что означает равенство?

а) x+ y = 28

б) x + 5 = y

в) 4x = y

г) x – 12 = y + 24

3. Составьте выражение для решения задачи

2x + 18

• Вася решил несколько примеров, а Петя в 2 раза больше. Сколько примеров решил Петя? Сколько примеров решили они вместе?

2x; x + 2x

• Антон прочитал несколько страниц книги, осталось ему прочитать на 32 страницы больше, чем уже прочитано. Сколько страниц в книге?

x + x + 32

3x — x _ что их связывает?

_ сформулируйте тему урока.

4.Разминка

1. Дайте определение корня уравнения.

2. Является ли число 7 корнем уравнения  2х — 5 = х + 2 ?

3. Что значит решить уравнение?

4. Какие уравнения называются равносильными?

5. Сформулируйте свойства уравнений.

6. Приведите пример уравнения, равносильного уравнению 5х — 4 = 6.

7. Дайте определение линейного уравнения с одной переменной.

8. Приведите примеры.

9. В каком случае уравнение  ах = в  имеет:
— единственный корень,
— множество корней,
— не имеет решения ?
Итак, вы имеете определенный капитал.
     Продолжим пополнять свой капитал. Вам предстоит выполнить задания. За каждое верное решение вы получаете одну медную монету достоинством один тугрик, которую вы можете поместить в разные вклады:

     I. Вклад «Легкий»
      Решите уравнение:
      а) 2х = 0                  г) 6х = 3
      б) 3х = 1                 д) 3х + 9 = 0
      в)  х — 2 = 0             е) 7х — 4 = х — 16
II. Вклад «Занимательный»
       На доске было написано решение линейного уравнения, но правую часть данного  уравнения стерли. Восстановите ее:
       а) 3х = ….       б) 5х = ….         в) 0,2х =….
           х = -11            х = 0                   х = 14
III. Вклад «Поисковый»
       Какое из чисел 3 или -2, является корнем уравнения
       а) 3х = — 6                        в) 4х — 4 = х + 5
       б) х + 3 = 6                     г) 5х — 8 = 2х + 4
             
IV. Вклад «Универсальный»
       При каких значениях а уравнение
       ах = 8
       а) имеет корень, равный -4; 0,5;
       б) не имеет корней;
       в) имеет отрицательный корень.
5.Решение задач. Вы получили информацию об основных вкладах нашего банка. А теперь каждому из вас предстоит выполнить задания, за решение которых вы будете также получать тугрики.
         В банке работают кассиры, которые будут за правильные решения выдавать монеты:
              а — медная монета достоинством в 1 тугрик
              в — серебряная монета достоинством в 2 тугрика
              с — золотая монета достоинством в 3 тугрика
          После выполнения всех заданий у каждого из вас образуется накопительный фонд.
           Итак, приступайте, перед вами на столах лежат задания для различных вкладов. Самостоятельно выбирайте вклад, решайте, сдавайте кассиру банка и получайте тугрики.
               а   Папе и дедушке вместе 111 лет. Сколько лет каждому, если папа в два раза моложе дедушки?

               в За 3 часа мотоциклист проезжает то же расстояние, что велосипедист за 5 часов. Скорость мотоциклиста на 12 км/ч больше скорости велосипедиста. Определите скорость каждого.
               с   В двух сараях сложено сено, причем в первом сарае сена в 3 раза больше, чем во втором. После того, как из первого сарая увезли 20 т., а во второй привезли 10 т. В обоих сараях сена стало поровну. Сколько сена было во втором сарае первоначально.

Купили 2 кг 100 г крупы и высыпали ее в три банки. В первую банку крупы вошло в 3 раза больше, чем во вторую, а в третью банку насыпали 500 г крупы. Сколько крупы насыпали в первую и сколько во вторую банки?

Решение.

Пусть во вторую банку насыпали x г крупы, тогда в первую – 3x г крупы. Всего в три банки насыпали (3x + x + 500) г, что по условию составляет 2100 г. Составим и решим уравнение.

3x + x + 500= 2100;

4x + 500 = 2100;

4x = 2100 — 500;

4x = 1600;

x = 1600 : 4;

x = 400.

400 г – насыпали во вторую банку.

400 × 3 = 1200 (г) – в первой банке.

Задача для слабых. с   В первом мешке в 3раза больше картофеля, чем во втором. После того, как из одного мешка взяли 30 кг. картофеля, а во второй насыпали ещё 10 кг., в обоих мешках картофеля стало поровну. Сколько килограммов картофеля было во втором мешке.
Задача для сильных. Подготовка к ГИА. Решение задач из сборника заданий ГИА-2010.В.В. Кочагина, М.Н. Кочагиной .Алгебра. Москва. Эксмо, 2009.

1. Велосипедист собирался преодолеть расстояние от поселка до станции за 5 часов. Выехав из поселка, он увеличил свою скорость на 3 км/ч и проехал расстояние до станции за 4 часа. Чему равно расстояние от поселка до станции?

Ну вот и наступило время подвести итог, сейчас каждый из вас подсчитает сколько тугриков сможет внести в «Банк Знаний»

1.      Считаем медные монеты достоинством в 1 тугрик, вы получаете столько тугриков, сколько у вас монет.

2. Считаем серебряные монеты достоинством в 2 тугрика. Умножьте количество серебряных монет на два и получите количество тугриков.

3. Считаем золотые монеты достоинством в три тугрика. Умножьте количество монет на три, получите количество заработанных тугриков.

4. Сложите все полученные тугрики.
     Вы получили «5», если набрали 15 тугриков и более, «4», если набрали 10-14 тугриков, «3», если набрали 5-9 тугриков.
     Поставьте оценку в дневник, запишите  число набранных тугриков на квитанции банка, вложите квитанцию и тугрики (монеты) в пакет и сдайте кассирам банка.
     Увеличить свой капитал вы можете дома, выполнив индивидуальные задания, которые лежат у каждого на столе. Выбирайте любой вклад и продолжайте зарабатывать тугрики в «Банке Знаний»

     Положите задания в дневник.
     Задание на дом:
     Вклад «Поисковый»
     Решить уравнение:
     а   1/5х = 5
           3х — 11,4 = 0
           4х + 5,5 = 2х — 2,5
     в    2х — (6х+1) = 9
            5х — 12,5 = 0
            3х — 0,6 = х + 4,4
     с     4х — (7х — 2) = 17
            8х — (2х + 4) = 2(3х — 2)
            3х — (9х — 3) = 3 (4 — 2х)
     Вклад «Творческий»
а  В двух седьмых классах 47 учеников, причем в одном на 3 ученика больше, чем в другом. Сколько учеников в каждом классе?
в  Саша решил две задачи за 35 минут. Первую задачу он решал на 7 минут дольше, чем вторую. Сколько минут Саша решал вторую задачу?
с   В первом мешке в 3раза больше картофеля, чем во втором. После того, как из одного мешка взяли 30 кг. картофеля, а во второй насыпали ещё 10 кг., в обоих мешках картофеля стало поровну. Сколько килограммов картофеля было во втором мешке.
Квитанция «Банка Знаний» к домашнему заданию.
     Решить уравнение:
     а    одно задание 1 тугрик
     в    одно задание 2 тугрика
     с    одно задание 3 тугрика
     Решить задачу:
     а   1 тугрик
     в   2 тугрика
     с    3 тугрика,
     чтобы получить
     «5» нужно набрать 12 тугриков
     «4» нужно набрать 8-11 тугриков
     «3» нужно набрать 4-7 тугриков
     Кто же сегодня у нас самые богатые? Те, кто заработал 15 тугриков и более, могут позволить  себе делать большие капиталловложения: строить заводы, фабрики, нефтяные вышки. Те,  кто заработал 10-14 тугриков, смогут отправиться в путешествие. Ну, а те, кто заработал 5-9 тугриков, вы можете посетить фитобар нашей школьной столовой и купить коктейль.  Итак, сегодня банк закрывается. До свидания! До новых встреч в «Банке Знаний».

Желаю вам цвести, расти,

Копить, крепить здоровье,

Оно для дальнего пути –

Главнейшее условие.

Пусть каждый день и каждый час

Вам новое добудет,

Пусть добрым будет ум у вас,

А сердце умным будет.

Вам от души желаю я,

Друзья, всего хорошего.

А всё хорошее, друзья,

Даётся нам недешево.

С.Я.Маршак

infourok.ru

Линейное уравнение с одной переменной (В.А. Тарасов). Видеоурок. Алгебра 7 Класс

На данном уроке мы начнем изучение темы «Уравнения». Мы рассмотрим линейное уравнение с одной переменной в общем виде, а также на конкретных примерах. Кроме того, решим текстовые задачи.

Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть урок «Уравнения и неравенства»

Определение

Линейным уравнением с одной неизвестной называется уравнение вида:

.

Здесь  – искомая неизвестная,  и  – коэффициенты, параметры.

Решить уравнение – значит найти все его корни или убедиться в том, что решений нет.

Определение

Корень уравнения – это такое значение , при котором уравнение превращается в верное числовое равенство.

Линейное уравнение  описывает равномерное прямолинейное движение с постоянной скоростью:

 – путь равен произведению скорости и времени.

Если перенести все слагаемые в одну сторону, получим:

.

Выполним переобозначение:

.

Получим изучаемое линейное уравнение.

Пример 1:

Прибавим три к обеим частям уравнения – при этом равенство не изменится:

.

Разделим обе части на два:

.

Ответ: .

Комментарий: наша главная цель – найти , для этого мы выполняем одинаковые преобразования над обеими частями уравнения.

Решим уравнение в общем виде:

.

Отнимем в обеих частях число :

.

Поскольку  имеем право обе части поделить на :

.

Вывод: при  линейное уравнение имеет единственный корень: .

Рассмотрим случай, когда :

.

Уравнение имеет бесчисленное множество решений, любое действительное  удовлетворяет уравнению

.

Решений нет.

Так, в общем случае уравнение  имеет решение:

При .

При   – любое число, бесчисленное множество решений.

При  решений нет.

В рассматриваемое линейное уравнение неизвестное  входит в первой степени, поэтому такое уравнение носит название уравнения первой степени, к нему сводятся многие другие уравнения.

Пример 2:

.

Используя свойства уравнения, имеем право перенести слагаемое из правой части урвнения в левую с противоположным знаком или слагаемое из левой части — в правую тоже с противоположным знаком. Перенесем все члены с  влево, а числа вправо:

.

Поделим обе части на два:

.

Ответ: .

Пример 3:

.

Раскроем скобки:

.

Прибавим пять к обеим частям уравнения:

.

Поделим обе части на два:

.

Очевидно, что решением данного уравнения может быть любое число.

Ответ: уравнение имеет бесчисленное множество решений.

Пример 4:

.

Раскроем скобки:

Перенесем все члены с  влево, а числа вправо:

.

Получено неверное числовое равенство.

Ответ: решений нет.

Пример 5: решить задачу.

Папе и дедушке вместе 111 лет. Сколько лет каждому, если папа в два раза моложе дедушки?

Решение: пусть папе  лет. Поскольку дедушка в два раза его старше, ему  лет. Тогда имеем уравнение:

.

Поделим обе части на три:

.

Так, папе 37 лет. Тогда дедушке  года.

Ответ: папе 37 лет, дедушке 74 года.

Пример 6

При каком значении  значение выражения  в три раза больше значения выражения ?

Решение

Если первое выражение в три раза больше второго, имеем право второе умножить на три и приравнять:

.

Раскроем скобки:

.

Перенесем все члены с  влево, а числа вправо:

.

Поделим обе части на минус семь:

.

Ответ: при  первое заданное выражение в три раза больше второго.

Вывод: на данном уроке мы рассмотрели линейное уравнение с одной переменной и выяснили его специфику. Такое уравнение может иметь одно решение, бесчисленное множество решений или вовсе не иметь решений.

 

Список литературы

1. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 7. 6 издание. – М.: Просвещение, 2010.
2. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебра 7. – М.: ВЕНТАНА-ГРАФ. 
3. Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е. и др. Алгебра 7 – М.: Просвещение, 2006.

 

Домашнее задание

1. Решить уравнения:
   а) ; б) ; в) ; г) .
2. Решить уравнения:
   а)
3. в) ; г) .
4. Первое число в пять раз больше второго и два раза меньше третьего. Сумма чисел составляет 80. Найдите заданные числа.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Школьный помощник (Источник).
2. Фестиваль педагогических идей «Открытый урок» (Источник).
3. Социальная сеть работников образования (Источник).

interneturok.ru

«Решение уравнений с применением приемов разложения многочлена на множители»

ХОД УРОКА

Ребята, достаточно долго овладевая приёмами разложения многочлена на множители, подошли к моменту, когда необходимо систематизировать и обобщить изученные способы, попытаться сделать новые открытия и самое главное: найти интересное применение разнообразных приёмов разложения на множители к решению порой одинаковых по смыслу уравнений.

Вопросы учащимся:

1. Что, значит, разложить многочлен на множители?

2. В каком случае произведение множителей равно 0?

3. Степень, какого числа равна нулю? 1??

4. Какие приёмы разложения на множители вам известны? (Вынесение общего множителя за скобки, группировка слагаемых с последующем вынесением общего множителя, с помощью формул сокращенного умножения).

5. Чему равны квадрат суммы, разности двух слагаемых?

6. Чему равна разность квадратов двух слагаемых?

На доске записаны уравнения:

По какому признаку можно разбить эти уравнения в группы? (Уравнения, содержащие многочлен второй степени. Уравнения, содержащие многочлен выше второй степени. Уравнение, содержащее многочлен второй степени, коэффициенты которого периодические дроби).

Нам предстоит решить эти уравнения, подбирая непохожие способы решения, несмотря порой на похожесть уравнений.

Предлагаю учащимся решить уравнение двумя способами. Вызываю к доске двух учеников.

Один ученик решает уравнение разбиением одночлена 6х на сумму двух одночленов, а другой – применением формулы сокращённого умножения – квадрата суммы:

Вопрос: Какой способ оказался более рациональным? (Конечно второй). Как его можно назвать?

(Выделение полного квадрата суммы)

Обсуждаем решение уравнения .

Можно ли решить уравнение, разбивая одно из слагаемых на два?

(да,)

А выделением полного квадрата суммы?

(затруднительно, так как, число 3 не является квадратом никакого рационального числа)

И всё-таки попробуем выделить полный квадрат суммы: дополните сумму первых двух слагаемых до квадрата суммы.

Как можно разложить многочлен в левой части уравнения на множители? (По формуле разности квадратов).

Ответ: -3; -1.

Сообразите, можно ли рассуждая аналогично решить уравнение ?

(Неудобное в данном случае число 5).

И все-таки, попробуем строго следовать формуле квадрата суммы при выделении полного квадрата:

Ответ: 1; -6

Обратите внимание на коэффициенты уравнения . Какую закономерность можно заметить?

(Одинаково читаются слева направо)

Что происходит с показателями переменной x?

(Уменьшаются на один)

Выскажите предположение для многочлена в левой части уравнения.

(Многочлен х⁴+4х³+6х²+4х+1 есть (х+1)⁴). Обоснуйте это.

(Построим треугольник Паскаля

11

121

1331

14641 4-ая строка содержит коэффициенты возведения в 4-ую степень двучлена (х+1)

Итак, какой вид примет уравнение? Решите его устно.

( (х+1)⁴=0, х=-1).

Решите устно уравнение

((х+1)³=0,х=-1).

Какими числами являются коэффициенты уравнения

(Периодическими десятичными дробями)

Обратите периодические дроби в обыкновенные и решите, получившееся уравнение.

(Правило обращения периодической десятичной дроби в обыкновенную: чтобы периодическую десятичную дробь обратить в обыкновенную, надо из числа, стоящего до второго периода, вычесть число, стоящее до первого периода, и сделать эту разность числителем, а в знаменателе написать цифру 9 столько раз, сколько цифр в периоде и после девятки дописать столько нулей, сколько цифр между запятой и первым периодом)

(Подберите рациональный способ решения и найдите корни уравнения, х=1 или )

Вновь обратимся к уравнению . Решим это уравнение методом неопределённых коэффициентов:

Сравните значения найденных корней со значениями переменных b и d. (Они противоположны)

Найденные корни подтверждают мысль о том, что независимо от способа решения корни не меняются.

Чем уравнение похоже на предыдущее?

(Коэффициент при х² равен 1)

Попробуем решить это уравнение устно, не применяя ни один из рассмотренных приёмов, но

принимая во внимание некоторые рассуждения в предыдущем случае:

Запишите разложение многочлена в виде произведения двучленов:

Тогда, скажите чему, будут равны значения выражений и по аналогии с предыдущими рассуждениями?

( Легко догадаться, что или наоборот).

Сообразите, чему будут равны корни уравнения?

(х=2 или х=6).

Устно решите уравнения:

ПОДВЕДЕНИЕ ИТОГОВ

Вопросы:

1. С каким новым способом решения квадратных уравнений вы познакомились?

(Выделение полного квадрата суммы или разности)

2. Как вы думаете, почему этот способ не всегда удобен?

(Например, в уравнении 3х²-2х-1=0 3х² не является квадратом рационального выражения)

3. Какое открытие вы сделали, применяя метод неопределённых коэффициентов для

решения квадратных уравнений, если коэффициент при равен 1?

(Чтобы найти корни, надо сначала найти два таких числа в и с, чтобы их сумма была равна второму коэффициенту, а произведение – третьему слагаемому. А корни будут равны числам, противоположным числам .

В 8 классе вы познакомитесь с ещё одним способом решения квадратных уравнений – по формулам. Узнаете, кто такой Франсуа Виет и какое отношение он имеет к нашему открытию.

urok.1sept.ru

Интернет школа Interneturok — бесплатные школьные уроки по алгебре в 7 классе онлайн, видео уроки по алгебре

Вторым разделом математики, который в 7 классе преподается в качестве отдельной образовательной дисциплины, является алгебра. Если вы видите необходимость в том, чтобы ваш ребенок ознакомился с этим предметом предварительно, видеоматериалы из раздела алгебра 7 класс онлайн к вашим услугам. С их помощью вы можете помочь своему ребенку-школьнику подготовиться к изучению этой дисциплины, а также сделать ее максимально понятной для него.

Анонс курса алгебры 7 класса

 

Знакомство с этим новым разделом математической науки начнется с освоения ее особого языка. Первое, что предстоит узнать учащимся в этом курсе: что такое математическая модель, числовые и алгебраические выражения, какие действия можно выполнять с натуральными и дробными числами. Это очень важные аспекты, без понимания которых невозможно будет продвинуться в дальнейшем усвоении этой сложной дисциплины.

Несколько уроков будут посвящены тому, как связана математическая модель с решением текстовых задач и как в ней использовать числовые и алгебраические выражения. Изучая многочлены и одночлены, каждый пользователь сможет научиться выполнять различные арифметические операции над ними. Знакомясь с тем, что такое линейная функция, учащиеся не только усвоят терминологию, но и научатся решать линейные уравнения с двумя переменными.

 

Школьные уроки алгебры в 7 классе подразумевают под собой обучение составлению буквенных выражений и формул по условиям задач, а также осуществление в формулах и выражениях числовых подстановок и выполнение соответствующих вычислений. Помимо этого, учебник алгебры за 7 класс содержит образовательные материалы по осуществлению подстановки одного выражения в другое, выражению из формул одной переменной через остальные, выполнение действий со степенями с целыми показателями, многочленами , алгебраическими дробями и многое другое. Раздел нашего сайта алгебра 7 класс – бесплатен и содержит множество информации, поясняющей трудные темы в формате видео.

 

Последовательность видеоуроков полностью повторяет учебник алгебры за 7 класс, поэтому вы всегда можете легко контролировать процесс усвоения материала, заранее готовясь к сложным темам и стремясь углубить их понимание. Огромным подспорьем в этом станет сервис онлайн-репетитора, которым снабжен каждый урок этого курса.

Видеоуроки по алгебре 7 класса

Если у вашего ребенка-семиклассника появляются проблемы, связанные с усвоением школьного курса математики, посетите наш сайт вместе с ним. Если темы алгебраических выражений, уравнений с одним неизвестным, алгебраических дробей, уравнений с двумя неизвестными, одночленов и многочленов, разложения на множители, линейных функций и их графиков сложны и он не успевает вовремя усвоить школьный материал,  наш портал поможет ему, поскольку в видеоуроках, снятых с участием опытных педагогов, даже самые сложные темы раскрываются максимально просто и понятно. За довольно небольшое время можно не только сократить отставание по школьной программе, но даже опередить ее, изучая темы, которые только предстоит пройти одноклассникам. В качестве дополнительного самостоятельного образования видеоуроки нашего образовательного портала – это то, что нужно!

interneturok.ru