Как решать выражения с корнями – Выражения с квадратными корнями — урок. Алгебра, 8 класс.

Posted on by alexxlab

Подкоренные выражения: как решать

Понятие корня

Тема о подкоренных выражениях относится к курсу алгебры. Будем считать, что понятие степени читателю уже известно. Понятие корня актуально, когда речь идёт примерах с иррациональными числами. Такие примеры встречаются и в курсе геометрии и даже могут описывать длины. Но перейдём к определениям.

Решение подкоренных выражений строится на знании и применении свойств корня. Для начала, приведём определение корня.

Определение 1

Корень $n$-ой степени из числа $a$, то есть $\sqrt[n]a$ — это число, которое будучи возведено в степень $n$, даёт $a$.

Из данного определения следует свойство $(\sqrt[n]a)^n=a$.

Свойства корня с примерами

Основное свойство корня: величина корня не изменится, если показатель корня и показатель подкоренного выражения умножить или разделить на одно и то же число. Отсюда следует, что корни разных степеней можно привести к одинаковым показателям.

Приведём простой пример.

Пример 2

Рисунок 1. Пример. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Также имеются следующее свойства:

Рисунок 2. Свойства. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рисунок 3. Свойства. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рисунок 4. Свойства. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Решим простые примеры.

Пример 3

Рисунок 5. Пример. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Пример 4

Рисунок 6. Пример. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Преобразования корней

При решении корней кроме вышеуказанных свойств применяют простейшие преобразования, такие как

  • вынесение множителей за знак корня

Рисунок 7. Вынесение множителей за знак корня. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

  • подведение множителей под знак корня

Рисунок 8. Подведение множителей под знак корня. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

  • освобождение подкоренного выражения от знаменателей.

Для последнего случая приведём пример с числами:

Рисунок 9. Освобождение подкоренного выражения от знаменателей. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Рассмотрим пример, в котором показывается как происходит освобождение знаменателя дроби от корней.

Пример 5

Имеем:

Рисунок 10. Пример. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Произведём умножение членов дробей на $\sqrt5$:

Рисунок 11. Пример. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Пример решения

На практике необходимо помнить все перечисленные свойства и преобразования корней, а также свойства степеней, которые, как мы условились, читателю уже известны. Решим типичный пример, который встречается, например, в ЕГЭ.

Пример 6

Нужно вычислить выражение: $9+\sqrt[6]{2\sqrt5-3\sqrt3}\cdot\sqrt[6]{47+12\sqrt{15}}\cdot\sqrt[3]{49}$.

$9+\sqrt[6]{(2\sqrt5-3\sqrt3)^2\cdot(47+12\sqrt{15})}\cdot\sqrt[3]{7^2}=9+\sqrt[6]{(20-12\sqrt{15}+27)\cdot(47+12\sqrt{15})\cdot7^4}=9+\sqrt[6]{(2209-2160)}\cdot\sqrt[3]{7^2}=9+\sqrt[6]{7^2}\cdot\sqrt[3]{7^2}=9+\sqrt[3]{7\cdot7^2}=9+7=16.$

spravochnick.ru

Преобразование выражений, содержащих квадратные корни

Ранее с вами научились преобразовывать рациональные выражения. Тождественные преобразования, которые умеем выполнять: это приведение подобных слагаемых; раскрытие скобок; разложение на множители; приведение рациональных дробей к общему знаменателю. Также для преобразования рациональных выражений используют формулы сокращённого умножения.

Теперь же мы ввели новую операцию – операцию извлечения квадратного корня. Вы уже знаете, что арифметическим квадратным корнем из числа а называют неотрицательное число, квадрат которого равен а.

Используя эти формулы,  можно выполнять различные преобразования выражений, содержащих операцию извлечения квадратного корня. Давайте рассмотрим примеры преобразований выражений, которые содержат квадратные корни.

Задание: упростите выражение.

Задание: преобразуйте выражения.

Задание: сократите дробь.

Очень важное место в преобразовании выражений, содержащих квадратные корни, занимает избавление от иррациональности в знаменателе или числителе дроби. Можно рассмотреть это на простом примере.

Например: преобразуем дробь так, чтобы знаменатель не содержал квадратного корня.

Как сделать так, чтобы знаменатель дроби не содержал квадратный корень? Следует вспомнить основное свойство дроби: если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же  число, не равное нулю, то значение дроби не изменится

Обратите внимание, дробь

 мы заменили тождественно равной ей дробью . Причем, в знаменателе второй дроби нет знака корня. В таких случаях говорят, что мы освободились от иррациональности в знаменателе дроби.

Задание: освободиться от иррациональности в знаменателе дроби.

videouroki.net

Как упростить сложный радикал

Жёлтый калькулятор поможет упростить сложный радикал

В 8 классе школьники на уроках математики знакомятся с таким понятием, как «радикал» или, попросту говоря, «корень». Тогда же они впервые сталкиваются с такой проблемой, как упрощение сложных радикалов. Сложные радикалы – это такие выражения, в которых один корень находится под другим. Поэтому их ещё иногда называют вложенными радикалами. В данной статье репетитор по математике и физике подробно рассказывает о том, как упростить сложный радикал.


Методы упрощения сложных радикалов

Упростить сложный радикал — значит избавиться от внешнего корня. Правильнее всего начать изучение этой темы с упрощения двойных радикалов. Ведь если мы научимся упрощать двойные радикалы, то и более сложные тоже сумеем.

Пример 1. Упростить сложный радикал:

    \[ \sqrt{9-4\sqrt{5}}. \]

Как нам избавиться от внешнего корня? Понятно, что для этого нужно преобразовать подкоренное выражение, представив его в виде полного квадрата. Для этого воспользуемся известной формулой «Квадрат разности»:

    \[ (a-b)^2=a^2-2ab+b^2. \]

Здесь, как видите, справа у отрицательного члена есть множитель 2. Поэтому и под корнем давайте получим этот множитель. Для этого 4 представим в виде произведения 2 на 2:

    \[ \sqrt{9-4\sqrt{5}} = \sqrt{9-2\cdot 2\cdot\sqrt{5}} . \]

Тогда a=2 и b=\sqrt{5}. Осталось только обратить внимание на то, что 9=2^2+\left(\sqrt{5}\right)^2. Теперь видно, что под корнем у нас получился квадрат разности:

    \[ \sqrt{9-4\sqrt{5}} = \sqrt{2-2\cdot 2\cdot\sqrt{5}+\left(\sqrt{5}\right)^2} = \sqrt{(2-\sqrt{5})^2}. \]

Теперь вспоминаем, что \sqrt{a^2} = . Именно модулю. Здесь это очень важно, потому что квадратный корень – положительное число. Тогда получаем:

    \[ \sqrt{(2-\sqrt{5})^2} =

Ну а поскольку \sqrt{5}>2, модуль раскрывается со знаком минус. В результате в ответе получаем:

    \[ \sqrt{(2-\sqrt{5})^2} =

Вот так просто нам удалось упростить этот радикал. Но есть и более сложные случаи, когда не сразу удаётся догадаться, как представить подкоренное выражение в виде полного квадрата. Например, в следующем примере.

Пример 2. Упростите сложный радикал:

    \[ \sqrt{75+12\sqrt{21}}. \]

Чтобы долго не ломать голову, можно воспользоваться следующим способом.

Напоминаю, что наша цель состоит в том, чтобы представить выражение под корнем в виде полного квадрата. Конкретно в этом примере в виде квадрата суммы:

    \[ \sqrt{75+12\sqrt{21}} =\sqrt{(a+b)^2}. \]

Ну а квадрат суммы раскрывается по известной формуле, которую мы сегодня уже писали:

    \[ \sqrt{75+12\sqrt{21}} =\sqrt{(a+b)^2} = \sqrt{a^2+2ab+b^2} . \]

Так вот, идея, собственно, состоит в том, чтобы за 2ab взять иррациональную часть подкоренного выражения, а за a^2+b^2 – рациональную. Тогда получается следующая система уравнений:

    \[ \begin{cases} a^2+b^2 = 75 \\ 2ab = 12\sqrt{21}. \end{cases} \]

Понятно, что a\ne 0 и b\ne 0. Иначе не выполняется второе уравнение системы. Тогда выражаем коэффициент b из второго уравнения:

    \[ b=\frac{6\sqrt{21}}{a}. \]

Далее подставляем получившееся выражение в первое уравнение. В результате приходим к следующему уравнению:

    \[ a^2+\frac{756}{a^2} = 75\Leftrightarrow \frac{a^4-75a^2+756}{a^2} = 0. \]

Знаменатель этой дроби не равен нулю, значит нулю равен её числитель. Получаем биквадратное уравнение, которое решается стандартным способом (подробнее смотрите в приложенном видео). Решая его, мы получаем аж 4 корня. Можно взять любой. Мне больше нравится a=2\sqrt{3}. Тогда b = 3\sqrt{7}. Итак, получаем окончательно:

    \[ \sqrt{75+12\sqrt{21}} = \sqrt{\left(2\sqrt{3}+3\sqrt{7}\right)^2} = \]

    \[ =

Вот такой способ, как упростить сложный радикал. Есть ещё один. Для любителей запоминать сложные формулы, коим я не являюсь. Но для полноты описания расскажу и о нём тоже.

Формула сложных радикалов

Вот так выглядит эта формула:

    \[ \sqrt{a\pm\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}}\pm\sqrt{\frac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}}. \]

Довольно страшная, не правда ли? Но не бойтесь, её действительно можно успешно применять в некоторых случаях. Разберём на примере:

Пример 3. Упростить выражение, используя формулу сложных радикалов:

    \[ \sqrt{57-24\sqrt{3}}. \]

Подставляем в формулу соответствующие значения:

    \[ \sqrt{57-24\sqrt{3}} = \sqrt{57-\sqrt{1728}} = \]

    \[ \sqrt{\frac{57+\sqrt{57^2-1728}}{2}}-\sqrt{\frac{57-\sqrt{57^2-1728}}{2}} = \]

    \[ =\sqrt{\frac{57+39}{2}}-\sqrt{\frac{57-39}{2}} = \sqrt{48}-\sqrt{9} = 4\sqrt{3}-3. \]

Вот такой получается ответ.

Итак, сегодня на занятии я рассказал о том, как упростить сложный радикал. Если вы не знали ранее методы, о которых сегодня шла речь, то скорее всего вам еще нужно очень многому научиться, чтобы чувствовать себя уверенным на ЕГЭ или на вступительном экзамене по математике. Но не переживайте, я могу вас всему этому научить. Вся необходимая информация о моих занятиях находится на этой странице. Удачи вам!

Материал подготовил репетитор по математике и физике, Сергей Валерьевич

yourtutor.info

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *