Подготовка школьников к ЕГЭ и ОГЭ (Справочник по математике — Алгебра

Концентрация (процентное содержание) вещества
Рассмотрим смесь (сплав, раствор) из нескольких веществ.
Определение 1. Концентрацией (процентной концентрацией, процентным содержанием) вещества A в смеси (сплаве, растворе) называют число процентов pA , выраженное формулой
![]() | (1) |
где MA – масса вещества A в смеси (сплаве, растворе), а M – масса всей смеси (сплава, раствора).
Часто в задачах на растворы указаны не массы входящих в них веществ, а их объёмы. В этом случае вместо формулы (1) для концентрации (процентной концентрации, процентного содержания) вещества A в растворе используется формула
![]() | (2) |
где VA , – объём вещества А в растворе, а V – объем всего раствора.
Определение 2. Формулу (1) называют формулой для массовой концентрации вещества A в смеси (сплаве, растворе), а формулу (2) – формулой для объёмной концентрации вещества A в растворе.
При решении задач считается, что при слиянии нескольких растворов (сплавов) масса и объем полученной смеси равны сумме масс и объемов смешиваемых компонентов соответственно.
Приёмы, используемые при решении задач на массовые концентрации смесей (сплавов, растворов), а также при решении задач на объёмные концентрации растворов, являются общими, что мы и увидим при решении следующих типовых задач
Примеры решения задач на смеси, сплавы и растворы
Задача 1. Смешали 16 литров 30% раствора кислоты в воде с 9 литрами 80% раствора кислоты в воде. Найти концентрацию полученного раствора кислоты в воде.
Решение. В 16 литрах 30% раствора кислоты в воде содержится
литров кислоты. В 9 литрах 80% раствора кислоты в воде содержится
литров кислоты. Поэтому в смеси этих растворов содержится
4,8 + 7,2 = 12
литров кислоты. Поскольку полученный в результате смешивания раствор имеет объем
16 + 9 = 25
литров, то концентрация кислоты в этом растворе равна
Ответ. 48% .
Задача 2. Имеется 27 килограммов смеси цемента с песком с 40% содержанием цемента. Сколько килограммов песка нужно добавить в эту смесь, чтобы процентное содержание цемента в ней стало 30% ?
Решение. Обозначим буквой x количество килограммов песка, которые нужно добавить в смесь. Поскольку в 27 килограммах смеси с 40% содержанием цемента содержится
килограммов цемента, а после добавления x килограммов песка масса смеси станет равной
27 + x
килограммов, то после добавления песка процентное содержание цемента в получившейся смеси будет составлять
По условию задачи
Следовательно,


Ответ. 9 килограммов.
Задача 3. Смешав 8% и 13% растворы соли и добавив 200 миллилитров 5% раствора соли, получили 7% раствор соли. Если бы вместо 200 миллилитров 5% раствора соли добавили 300 миллилитров 17% раствора соли, то получили бы 15% раствор соли. Сколько миллилитров 8% и 13% растворов соли использовали для получения раствора?
Решение. Обозначив буквой x массу 8% раствора соли, а буквой y – массу 13% раствора соли, рассмотрим рисунки 1 и 2.
x мл | |
+ | y мл |
+ | 200 мл |
= | (x + y + 200) мл |
Рис. 1
На рисунке 1 изображена структура раствора, полученного при смешении x миллилитров 8% раствора соли, y миллилитров 13% раствора соли и 200 миллилитров 9% раствора соли. Объем этого раствора равен (x + y + 200) миллилитров.
x мл | |
+ | y мл |
+ | 300 мл |
= | (x + y + 300) мл |
Рис.2
На рисунке 2 изображена структура раствора, полученного при смешении x миллилитров 8% раствора соли, y миллилитров 13% раствора соли и 300 миллилитров 17% раствора соли. Объем этого раствора равен (x + y + 300) миллилитров.
Записывая баланс соли в растворе, структура которого изображена на рисунке 1, а также баланс соли в растворе, структура которого изображена на рисунке 2, получим систему из двух уравнений с двумя неизвестными x и y :
Раскрывая скобки и приводя подобные члены, получаем



Ответ. Смешали 70 мл 8% раствора и 55 мл 13% раствора.
Задача 4. Имеются два сплава меди с цинком. Если сплавить 1 килограмм первого сплава с 2 килограммами второго сплава, то получится сплав с 50% содержанием меди. Если же сплавить 4 килограмма первого сплава с 1 килограммом второго сплава, то получится сплав с 36% содержанием меди. Найти процентное содержание меди в первом и во втором сплавах.
Решение. Обозначим x % и y % — процентные содержания меди в первом и во втором сплавах соответственно и рассмотрим рисунки 3 и 4.
1 кг | 2 кг | |||||||||
Медь x % | Цинк | + | Медь y % | Цинк | ||||||
|
Рис. 3
На рисунке 3 изображена структура сплава, состоящего из 1 килограмма первого сплава и 2 килограммов второго сплава. Масса этого сплава – 3 килограмма.
4 кг | 1 кг | |||||||||
Медь x % | Цинк | + | Медь y % | Цинк | ||||||
|
Рис.4
На рисунке 4 изображена структура сплава, состоящего из 4 килограммов первого сплава и 1 килограмма второго сплава. Масса этого сплава – 5 килограммов.
Записывая баланс меди в сплаве, структура которого изображена на рисунке 3, а также баланс меди в сплаве, структура которого изображена на рисунке 4, получим систему из двух уравнений с двумя неизвестными x и y :
Далее получаем



Ответ. В первом сплаве содержание меди 30% , во втором сплаве содержание меди 60% .

Желающие ознакомиться с примерами решения различных задач по теме «Проценты» и применением процентов в экономике и финансовой математике могут посмотреть раздел нашего справочника «Проценты. Решение задач на проценты», «Простые и сложные проценты. Предоставление кредитов на основе процентной ставки», а также наши учебные пособия «Задачи на проценты» и «Финансовая математика».
Приемы, используемые для решения задач на выполнение работ, представлены в разделе нашего справочника «Задачи на выполнение работ».
С примерами решения задач на движение можно ознакомиться в разделе нашего справочника «Задачи на движение».
С методами решения систем уравнений можно ознакомиться в разделах нашего справочника «Системы линейных уравнений», «Системы с нелинейными уравнениями» и в нашем учебном пособии «Системы уравнений».
На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.
С демонстрационными вариантами ЕГЭ и ОГЭ, опубликованными на официальном информационном портале Единого Государственного Экзамена, можно ознакомиться на специальной страничке нашего сайта.
www.resolventa.ru
Решение задач на сплавы, смеси, работу, движение, проценты с использованием таблиц
Цель: научить учащихся, используя таблицу, быстро решать “трудные” задачи.
При решении многих задач можно использовать таблицу, которая мобилизует, упрощает, помогает решению задач. Для начала введем стандартную таблицу.3 на 3 (Три линии по горизонтали и три по вертикали)
Схема таблицы:
Данная таблица приемлема при решении задач на движение, на работу, на сплавы, растворы и проценты. При решении многих задач в столбцах рекомендую детям следующее обозначение (См. презентацию):
Рассмотрим задачи.
1. Имеется руда из двух пластов с содержанием меди (1 вещество) в 6% и 11%.Сколько надо взять “бедной” руды, чтобы получить при смешивании с “богатой” (2 вещество), 20 тонн с содержанием меди 8% (1+2 вещество)?
Возможны наводящие вопросы:
- Если первое вещество 6%, то второе сколько %?
- Медь первого куска и второго составляет медь сплава.
Заполним таблицу:
1-ое вещество (медь) | 2-ое вещество | Вес (т) | |
1. | 6% | 94% | х |
2. | 11% | 89% | 20-х |
1. + 2. | 8% | 92% | 20 |
Составим уравнение с использованием 1-го или 2-го столбца и обязательно 3-го. Получаем линейное уравнение. Решение не вызывает трудности.
1столбец и 3 столбец | или | 2столбец и 3 столбец |
6х+11(20-х)=8*20 | 94х+89(20-х)=92*20 | |
х=12 |
Ответ 12т
2.Раствор 18% соли (1 вещество) массой 2 кг разбавили стаканом воды (2 вещество)0,25 кг. Какой концентрации раствор (1+2 вещество) в процентах в результате был получен?
Возможны наводящие вопросы:
Добавляем чистую воду, тогда сколько % соли?
1 в-во (соль) | вес | ||
1 | 18% | 82% | 2 кг |
2 | 0% | 100% | 0,25 кг |
1+2 | х% | (100-х)% | 2,25 кг |
Составим уравнение с использованием 1-го или 2-го столбца и обязательно 3-го. Получаем линейное уравнение. Решение не вызывает трудности.
1столбец и 3 столбец 2столбец и 3 столбец.
18*2=х*2,25 или 82*2+100*0,25=2,25(100-х)
х=16
Ответ 16%
3.Цену товара первоначально снизили на 20%, затем еще на 15%. На сколько процентов всего снижена цена?
При решении задач на проценты меняется точка отсчета, “стало” из первой строки переходит в “было” второй строки т.д. (См. презентацию)
Было | Изменение | Стало | |
1 | х | -20% | х-0,2х=0,8х |
2 | 0,8х | -15% | 0,8х(1-0.15)=0,68х |
0,68х |
Составляем уравнение, отвечая на вопрос задачи:
х-0,68х=0,32х 32%
Ответ 32%
4.Цену на автомобиль подняли сначала на 45%, а затем ещё на 20%,и после перерасчета повысили на 10%. На сколько процентов всего повысилась цена?
Было | Изменение | Стало | |
1 | х | +45% | х+0,45х=1,45х |
2 | 1,45х | +20% | 1,45х(1+0,2)=1,74х |
3 | 1,74х | +10% | 1,74х(1+0,1)=1,914х |
Составляем уравнение, отвечая на вопрос задачи:
1,914х-1=0,914х 91,4%
Ответ:91,4%
5.Два комбайна убирали поле за 4 дня. За сколько дней мог убрать поле каждый комбайн, если одному из них для выполнения этой работы потребовалось бы на 6 дней меньше, чем другому?
v | t | A | |
1 | 1\х | х | 1 |
2 | 1\(х-6) | х-6 | 1 |
1+2 | 1\4 | 4 | 1 |
1\х+1\(х-6)=1\4
4(х-6)+4х=х(х-6)
х=12
Ответ:12 дней
6.Один завод может выполнить некоторый заказ на 4 дня быстрее, чем другой. За какое время может выполнить этот заказ каждый завод, если известно, что при совместной работе за 24 дня они выполнили заказ, в пять раз больший?
v | t | A | |
1. | 1\х | х | 1 |
2. | 1\(х+4) | х+4 | 2 |
1.+2. | 5\24 | 24 | 5 |
1\х+1\(х+4)=5\24
5х2-28х-96=0
х=8, 8 дней и 12 дней.
Ответ: 8 дней; 12 дней.
7.Две бригады работниц пропололи по 280 грядок каждая, причем первая бригада, пропалывая в день на 30 грядок меньше, чем вторая работала на 3 дня больше. Сколько дней работала каждая бригада?
v | t | Vраб | |
1 | х | 280\х | 280 |
2 | х+30 | 280\(х+30) | 280 |
t1-3=t2 |
280\х-3=280\(х+30)
x=40 (грядок), 7 дней и 4 дня.
Ответ: 7 дней, 4 дня.
8.Свежие грибы содержат по массе 90% воды сухие-12% воды. Сколько получиться сухих грибов из 22 кг свежих?
Что происходит с водой? (испаряется)
Какой компонент не меняется? (Вещество)
Воды | Вещество | Вес | |
Сухое | 12% | 88% | х |
Свежее | 90% | 10% | 22 кг |
Одинаково |
На основании этого составим уравнение:
0,88х=0,1*22
х=2,5
Ответ: 2,5 кг.
Примеры задач для самостоятельного решения:
- В результате очистки сырья количество примесей в нём уменьшилось от 20% в исходном сырье до 5% в очищенном. Сколько надо взять исходного сырья, чтобы получить 160 кг очищенного?
- Имеется лом стали двух сортов с содержанием никеля 5% и 40%.Сколько нужно взять металла каждого сорта, чтобы получить 140 тонн стали с содержанием никеля 30%?
- Цену на столовый сервиз повысили сначала на 25%, а потом ещё на 20%. Во сколько раз увеличилась цена сервиза?
- Морская вода содержит 5% (по весу) соли: Сколько кг пресной воды надо добавить к 40 кг морской воды, чтобы концентрация соли в последней стала 2%?
- Применить этот метод можно к разным типам задач. Научившись решать не трудные задачи постепенно возможно и усложнение текста. Главное экономия времени. Рассматривая Кимы ЕГЭ задачи такого содержания очень популярны.
Литература:
- Система тренировочных задач и упражнений по математике. Симонов А.Я. Бакаев Д.С. Эпельман А.Г. и др.
- Задания для проведения письменного экзамена по математике в 9 классе. Под ред. Звавич Л.И., и под ред. Л.В.Кузнецовой.
- ДВГТУ центр довузовской подготовки Математика (задачи на сплавы, растворы, на проценты) г. Владивосток 1998 г.
Презентация
urok.1sept.ru
Задачи ЕГЭ на сплавы, смеси, растворы.
Задачи на сплавы, смеси, растворы встречаются и в математике, и в химии. У химиков сложнее – там вещества еще и взаимодействуют, превращаясь во что-то новое. А в задачах по математике мы просто смешиваем растворы различной концентрации. Покажем правила решения на примере задач на растворы. Для сплавов и смесей – действуем аналогично.
. В сосуд, содержащий литров -процентного водного раствора некоторого вещества, добавили литров воды. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?
В решении подобных задач помогает картинка. Изобразим сосуд с раствором схематично — так, как будто вещество и вода в нем не перемешаны между собой, а отделены друг от друга, как в коктейле. И подпишем, сколько литров содержат сосуды и сколько в них процентов вещества. Концентрацию получившегося раствора обозначим .
Первый сосуд содержал литра вещества. Во втором сосуде была только вода. Значит, в третьем сосуде столько же литров вещества, сколько и в первом:
.
. Смешали некоторое количество -процентного раствора некоторого вещества с таким же количеством -процентного раствора этого вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?
Пусть масса первого раствора равна . Масса второго — тоже . В результате получили раствор массой . Рисуем картинку.
Получаем:
Ответ: .
. Виноград содержит влаги, а изюм — . Сколько килограммов винограда требуется для получения килограммов изюма?
Внимание! Если вам встретилась задача «о продуктах», то есть такая, где из винограда получается изюм, из абрикосов урюк, из хлеба сухари или из молока творог — знайте, что на самом деле это задача на растворы. Виноград мы тоже можем условно изобразить как раствор. В нем есть вода и «сухое вещество». У «сухого вещества» сложный химический состав, а по его вкусу, цвету и запаху мы могли бы понять, что это именно виноград, а не картошка. Изюм получается, когда из винограда испаряется вода. При этом количество «сухого вещества» остается постоянным. В винограде содержалось воды, значит, «сухого вещества» было . В изюме воды и «сухого вещества». Пусть из кг винограда получилось кг изюма. Тогда
от от
Составим уравнение:
и найдем .
Ответ: .
. Имеется два сплава. Первый сплав содержит никеля, второй — никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой кг, содержащий никеля. На сколько килограммов масса первого сплава меньше массы второго?
Пусть масса первого сплава равна x, а масса второго равна y. В результате получили сплав массой .
Запишем простую систему уравнений:
Первое уравнение — масса получившегося сплава, второе — масса никеля.
Решая, получим, что .
Ответ: .
. Смешав -процентный и -процентный растворы кислоты и добавив кг чистой воды, получили -процентный раствор кислоты. Если бы вместо кг воды добавили кг -процентного раствора той же кислоты, то получили бы -процентный раствор кислоты. Сколько килограммов -процентного раствора использовали для получения смеси?
Пусть масса первого раствора , масса второго равна . Масса получившегося раствора равна . Запишем два уравнения, для количества кислоты.
Решаем получившуюся систему. Сразу умножим обе части уравнений на , поскольку с целыми коэффициентами удобнее работать, чем с дробными. Раскроем скобки.
Ответ: .
Звоните нам: 8 (800) 775-06-82 (бесплатный звонок по России) +7 (495) 984-09-27 (бесплатный звонок по Москве)
Или нажмите на кнопку «Узнать больше», чтобы заполнить контактную форму. Мы обязательно Вам перезвоним.
ege-study.ru
Решение задач на сплавы, смеси и растворы
Текстовые задачи входят в ОГЭ и ЕГЭ. Поэтому, данная тема имеет важнейшее значение в обучении математике. Хорошее преподавание текстовых задач играет неоценимую роль в этот период, для того, чтобы при встрече текстовых задач в заданиях ОГЭ и ЕГЭ они не вызывали затруднений.
Хочу поделиться уже опробованным и получившим положительный отзыв от учителей, работающих в 9-11-х классах, и самих учащихся, приемом для решения задач на «смеси и сплавы».
По моему опыту, научить решать большинство текстовых задач, содержащихся в открытом банке, можно практически любого выпускника. Конечно, при этом определяющими факторами являются желание и стремление ученика, и владение простыми вычислительными навыками. В данной статье хотела бы показать простое решение задач на растворы, смеси и сплавы. Мне кажется, что именно такой тип задач вызывают основные трудности.
В качестве практического материала мною были использованы задачи «от составителей» из «открытого банка заданий».
Существует много способов решения задач на растворы, смеси и сплавы. Но я бы хотела остановится на одном из них, который, по моему мнению, самый простой для усвоения решения таких задач.
При решении этих задач полезно применить очень удобную модель и научить школьников пользоваться ею. Изображаем каждую смесь (сплав) в виде римских цифр (I – первый сплав, II – второй сплав и т.п.), количество которых соответствует количеству составляющих эту смесь (этот сплав) элементов. Данная модель позволяет компактно и наглядно представить процессы сплавления, смешивания, и упрощает составление уравнения.
Вначале решения данных задач необходимо напомнить, что процентом называется его сотая часть и три основные задачи на проценты:
1. Найти 15% от числа 40.
Решение: 40•0,15=6.
2. Найти число, 15% которого равны 30.
Решение: 30:0,15=200.
3. Сколько процентов составляет число 180 от 600?
Решение: 180:600•100%=30%.
Рассмотрим задачу.
Имеется два сплава. Первый сплав содержит 10% меди, второй — 40% меди. Масса второго сплава больше массы первого на 3 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 30% меди. Найдите массу третьего сплава. Ответ дайте в килограммах.
Изобразим каждый из сплавов в виде римских цифр I, II и получившийся сплав после сплавления III (то есть по числу составляющих элементов). Кроме того, на модели отобразим характер операции – сплавление, поставим знак «+» между первым и вторым числом. Поставив знак «=» между вторым и третьим числом, мы тем самым показываем, что третий сплав получен в результате сплавления первых двух.
Полученная схема имеет следующий вид:
I + II = III
Теперь заполняем в соответствии с условием задачи:
Сверху над числом будем отмечать массу соответствующего сплава, а снизу процентное содержание чистого вещества.
Решение. Пусть х кг – масса первого сплава. Тогда, (х+3) кг – масса второго сплава. Дополним последнюю схему этими выражениями.
Получим следующую схему:
Необходимо учащимся объяснить, основное правило смешивания смесей или сплавления сплавов:
- Масса раствора (смеси, сплава) равна сумме масс всех составляющих.
- При смешивании нескольких растворов (смесей, сплавов) масса нового раствора становится равной сумме всех смешанных растворов.
- Масса растворенного вещества при смешивании двух растворов суммируется.
Сумма масс меди в двух первых сплавах (то есть слева от знака равенства) равна массе меди в полученном третьем сплаве (справа от знака равенства):
Решив это уравнение, получаем х=3. При этом значении х выражение 2х+3=9. Таким образом, масса третьего сплава равна 9 кг.
Ответ: 9 кг.
Рассмотрим сложнее задачу. Для данной задачи провожу аналогичные рассуждения только ведем записи совместно для двух случаем, которые описываются в этой задачи.
Смешав 30-процентный и 60-процентный растворы кислоты и добавив 10 кг чистой воды, получили 36-процентный раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50-процентного раствора той же кислоты, то получили бы 41-процентный раствор кислоты. Сколько килограммов 30-процентного раствора использовали для получения смеси?
Пусть масса 30-процентного раствора кислоты – х кг, а масса 60-процентного – у кг.
Упрощая каждое по отдельности уравнение, затем эти уравнение запишем в систему уравнений и решим
Получим х=60, у=30. Таким образом масса 30-процентного раствора кислоты 60 кг.
Ответ: 60 кг.
Такую визуализацию удобно использовать в задачах на растворы, смеси и сплавы. Такая модель помогает зрительно воспринимать задачу.
Таким способом можно решать задачи на проценты на «сушку». Только необходимо учащимся объяснить, что при высыхании из абрикоса испаряется вода, количество сухого вещества не меняется. Для начала найти процентное содержание сухого вещества в свежих фруктах, а потом в сушенных. Потом составить аналогичную схема для решения такой задачи.
Из моего опыта очень много ребят после этого объяснения стали решать такие задачи.
urok.1sept.ru
Метод Пирсона в решении задач на сплавы и смеси
В этой статье я расскажу о методе Пирсона, применяемом для решения задач на растворы, сплавы и смеси. Метод этот может сильно облегчить жизнь многим школьникам, однако применять его надо не бездумно. Поэтому давайте разберемся, как это работает.
Пусть требуется приготовить раствор определенной концентрации. В нашем распоряжении имеется два раствора: один с более высокой, чем требуемая, другой с менее высокой концентрацией, чем нужно.
Если обозначить массу первого раствора через , а второго – через
, то при смешивании общая масса смеси будет складываться из суммы этих масс:
Пусть массовая доля растворённого вещества в первом растворе – , во втором –
, а в их смеси –
.
При решении задач на сплавы-смеси мы обычно составляем таблицу и пользуемся ею для получения уравнения или системы уравнений. Сделаем так и в этот раз:
Массы растворов | Массовая доля вещества в растворе | Процентное содержание вещества в растворе | ||
1раствор или сплав | m1 | q1 | q1*100 | m1*q1 |
2 раствор или сплав | m2 | q2 | q2*100 | m2*q2 |
Смесь | m1+m2 | q | m1*q1+m2*q2 |
Тогда общая масса растворённого вещества в смеси будет складываться из масс растворённого вещества в исходных растворах:
Или
Далее находим отношение масс:
Очевидно, что отношение массы первого раствора к массе второго раствора есть отношение разности массовых долей растворённого вещества в смеси и во втором растворе к разности соответствующих величин в первом растворе и в смеси.
При решении задач на растворы с разными концентрациями чаще всего применяют диагональную схему правила смешения, или квадрат Пирсона.
При расчётах записывают одну над другой массовые доли растворённого вещества в исходных растворах, справа между ними – его массовую долю в растворе, который нужно приготовить, и вычитают по диагонали из большего меньшее значение.
Эти разности и показывают массовые доли для первого и второго растворов, необходимые для приготовления нужного раствора.
Задача 1. В сосуд, содержащий 5 литров 12-процентного водного раствора некоторого вещества, добавили 7 литров воды. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?
Делаем такой рисунок: в первой строке концентрация первого раствора, а под ней – второго. Посередине, между известными концентрациями растворов, расположим неизвестную нам концентрацию смеси, обозначив ее за . Теперь проводим стрелки, как показано на рисунке, и на конце стрелочек записываем разности. При записи разностей правило простое: надо вычитать из большего меньшее. В конце каждой строчки впишем массу растворов 1 и 2.

Рисунок 1
Теперь обратимся к этой части рисунка. Чтобы составить пропорцию, надо провести черточки дробей и поставить знак равно, как показано рыжим цветом.

Рисунок 2
Решаем полученную пропорцию:
Ответ: концентрация смеси равна %.
Задача 2. Смешали некоторое количество 15-процентного раствора некоторого вещества с таким же количеством 19-процентного раствора этого вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

Рисунок 3
Снова записываем концентрации растворов 1 и 2 друг под другом, затем правее посерединке неизвестную нам концентрацию смеси (пусть снова будет ), а дальше проводим стрелки и записываем разности концентраций, только не забываем: надо вычитать из большего меньшее. Концентрация смеси никак не может быть больше 19 %, и не может быть меньше 15 %. То есть
и
, следовательно, первая разность будет
, а вторая –
(вычли из большего меньшее).
Еще правее надо записать массы растворов. Они нам неизвестны, но одинаковы, поэтому просто обозначим их за . В правой части рисунка проводим дробные черты и ставим знак равно, как показано здесь:

Рисунок 4
Тогда полученная пропорция:
Ответ: концентрация смеси равна %.
Задача 3. Имеется два сплава. Первый содержит 10% никеля, второй — 30% никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 200 кг, содержащий 25% никеля. На сколько килограммов масса первого сплава меньше массы второго?
Проделываем все те же операции, и снова составляем пропорцию.

Рисунок 5
Известно также, что , поэтому
Тогда и масса первого меньше массы второго на 100 кг.
Ответ: 100 кг.

Рисунок 6
Задача 4. Первый сплав содержит 10% меди, второй — 40% меди. Масса второго сплава больше массы первого на 3 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 30% меди. Найдите массу третьего сплава. Ответ дайте
Глядя на рисунок, составляем пропорцию. Причем сразу вместо давайте запишем
:
Масса третьего сплава, очевидно, сумма первых двух: .
Ответ: 9 кг.
easy-physic.ru
Задача B14: смеси и сплавы
Многие ученики ненавидят эту задачу и даже не пытаются ее решать. И совершенно зря, потому что смеси и сплавы — одни из самых легких задач B14.
Для решения требуется выполнить три простых шага:
- Составляем таблицу, в которой указываем общую массу и массу «чистого» вещества для каждой смеси или сплава. Все данные берутся прямо из условия задачи. Например, 50 литров кислоты с концентрацией 15% — это m 0 = 50 литров общей массы и m 1 = 0,15 · 50 = 7,5 литров «чистого» вещества;
- Если какие-то ячейки таблицы остались не заполненными, обозначаем их переменными x, y и т.д. Чаще всего в качестве неизвестной величины выступает масса, реже — концентрация;
- Составить уравнения по правилу: при объединении двух смесей/сплавов их массы складываются. Другими словами, масса полученной смеси равна сумме масс исходных смесей. Аналогично, складываются массы «чистых» веществ.
Если все сделать правильно, то получится одно-два линейных уравнения. Решаем их — получаем ответ. А вот фиг! После того, как решите уравнение, никогда (слышите, никогда!) не записывайте ответ. Запомните:
Прежде чем записать ответ, вернитесь к задаче и еще раз прочитайте, что требуется найти. Потому что решить уравнение — это еще не значит решить текстовую задачу.
Это правило работает для всех текстовых задач, а не только для B14. Многие ученики сосредотачиваются на решении уравнения, но совершенно забывают, что, собственно, требовалось найти. Получается, что по существу задача решена верно, а ответ — неправильный.
Задача. Смешали 4 литра 15-процентного водного раствора некоторого вещества с 6 литрами 25-процентного водного раствора того же вещества. Сколько процентов составляет концентрация полученного раствора?
Итак, у нас есть три вещества:
- 4 литра 15-процентного раствора;
- 6 литров 25-процентного раствора;
- Третий раствор с неизвестной концентрацией.
Составим таблицу:
Смесь | Общая масса, кг | Масса чистого вещества, кг |
Раствор 1 (15%) | 4 | 0,15 · 4 = 0,6 |
Раствор 2 (25%) | 6 | 0,25 · 6 = 1,5 |
Раствор 3 | x | y |
По условию, нам не дана ни масса нового раствора, ни масса чистого вещества в нем. Поэтому обозначим общую массу x, а массу основного вещества y.
Поскольку при смешивании все массы складываются, получаем уравнения:
4 + 6 = x ⇒ x = 10;
0,6 + 1,5 = y ⇒ y = 2,1.
Уравнения получились настолько простыми, что даже не пришлось составлять систему. Но это еще не ответ! В задаче требуется найти концентрацию нового раствора. Чтобы найти ее, разделим массу чистого вещества на общую массу раствора:
y : x = 2,1 : 10 = 0,21
Итак, доля чистого вещества равна 0,21. Чтобы перевести долю в проценты, умножим на сто:
0,21 · 100 = 21
Задача. Смешав 30-процентный и 60-процентный растворы кислоты и добавив 10 кг чистой воды, получили 36-процентный раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50-процентного раствора той же кислоты, то получили бы 41-процентный раствор кислоты. Сколько килограммов 30-процентного раствора использовали для получения смеси?
Обозначим массу 30-процентного раствора x, а массу 60-процентного раствора y. Получим таблицу:
Смесь | Общая масса, кг | Масса чистого вещества, кг |
Раствор 1 (30%) | x | 0,3x |
Раствор 2 (60%) | y | 0,6y |
Чистая вода | 10 | 0 |
Раствор 3 (50%) | 10 | 0,5 · 10 = 5 |
Смесь «30% + 60% + вода» | x + y + 10 | 0,3x + 0,6y + 0 |
Смесь «30% + 60% + 50%» | x + y + 10 | 0,3x + 0,6y + 5 |
По условию, концентрация смеси «30% + 60% + вода» равна 36%. Получаем уравнение:
0,3x + 0,6y + 0 = 0,36 · (x + y + 10)
Аналогично, концентрация смеси «30% + 60% + 50%» равна 41%. Отсюда получаем еще одно уравнение:
0,3x + 0,6y + 5 = 0,41 · (x + y + 10)
Решаем полученную систему, вычитая первое уравнение из второго:
Теперь вспомним, что надо найти. А нужна масса 30-процентного раствора. Та самая, которую мы обозначили за x. Следовательно, x = 60 — это и есть ответ.
В заключение — два слова об уравнениях. Взгляните на задачи, приведенные выше: все уравнения — линейные. Никаких квадратов, никаких дискриминантов и тем более дробно-рациональных выражений. Вот почему задачи на смеси и сплавы считаются очень легкими.
Смотрите также:
- Простая задача B14 на смеси и сплавы
- Сложная задача B14 на смеси и сплавы
- Тест к уроку «Что такое логарифм» (средний)
- Знаки тригонометрических функций
- Однородные тригонометрические уравнения: общая схема решения
- Задача 7: касательная и уравнение с параметром
www.berdov.com
Нестандартные способы решения задач на смеси и сплавы
Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.
Математика, давно став языком науки и техники, в настоящее время всё шире проникает в повседневную жизнь и обиходный язык, всё более внедряется в традиционно далекие от неё области.
Основная задача обучения математике в школе заключается в обеспечении прочного и сознательного овладения учащимися системой математических знаний и умений, необходимых в повседневной жизни и трудовой деятельности каждому члену современного общества, достаточных для изучения смежных дисциплин и продолжения образования, а также в профессиональной деятельности, требующей достаточно высокой математической культуры. Для жизни в современном обществе важным является формирование математического стиля мышления, проявляющего в определённых умственных навыках.
Тема «Проценты» является универсальной в том смысле, что она связывает между собой многие точные и естественные науки, бытовые и производственные сферы жизни. Обучающиеся встречаются с процентами на уроках физики, химии, при чтении газет, просмотре телепередач. Умением грамотно и экономно проводить элементарные процентные вычисления обладают далеко не все обучающиеся. Практика показывает, что очень многие окончившие школу не только не имеют прочных навыков обращения с процентами в повседневной жизни, но даже не понимают смысла процентов, как доли от некоторой заданной величины. Происходит это потому, что проценты изучаются на первом этапе основной школы, в 5-6 классах, когда учащиеся в силу возрастных особенностей ещё не могут получить полноценные представления о процентах, об их роли в повседневной жизни.
В последнее же время в контрольно-измерительные материалы экзамена по математике, проводящегося в форме ЕГЭ, включают и задачи на проценты, смеси и сплавы.
ЗАДАНИЯ ИЗ ВАРИАНТОВ ЕГЭ
- В сосуд, содержащий 5 литров 12% водного раствора некоторого вещества, добавили 7 литров воды. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?
- Смешали некоторое количество 15% раствора некоторого вещества с таким же количеством 19% раствора этого вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?
- Смешали 4 литра 15% водного раствора некоторого вещества с 6 литрами 25% водного раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?
- Имеется два сплава. Первый содержит 10% никеля, второй — 30% никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 200 кг, содержащий 25% никеля. На сколько килограммов масса первого сплава меньше массы второго?
- Первый сплав содержит 10% меди, второй — 40% меди. Масса второго сплава больше массы первого на 3 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 30% меди. Найдите массу третьего сплава. Ответ дайте в килограммах.
- Смешав 30% и 60% растворы кислоты и добавив 10 кг чистой воды, получили 36% раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50% раствора той же кислоты, то получили бы 41% раствор кислоты. Сколько килограммов 30% раствора использовали для получения смеси?
- Имеются два сосуда. Первый содержит 30 кг, а второй — 20 кг раствора кислоты различной концентрации. Если эти растворы смешать, то получится раствор, содержащий 68% кислоты. Если же смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 70% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом сосуде?
ЗАДАНИЯ ИЗ ВСТУПИТЕЛЬНЫХ ЭКЗАМЕНОВ В МГУ
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ. Имеются три металлических слитка. Первый весит 5 кг, второй – 3 кг, и каждый из этих двух слитков содержит 30% меди. Если первый слиток сплавить с третьим, то получится слиток, содержащий 56% меди, а если второй слиток сплавить с третьим, то получится слиток, содержащий 60% меди. Найти вес третьего слитка и процент содержания меди в нём.
ХИМИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ. Сосуд вместимостью 8 л наполнен смесью кислорода и азота. На долю кислорода приходится 16% вместимости сосуда. Из сосуда выпускают некоторое количество смеси и впускают такое же количество азота, после чего опять выпускают такое же, как в первый раз, количество смеси и опять добавляют столько же азота. В новой смеси кислорода оказалось 9%. Какое количество смеси каждый раз выпускалось из сосуда?
ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ. Банк планирует вложить на 1 год 40% имеющихся у него средств клиентов в проект Х, а остальные 60% – в проект Y. В зависимости от обстоятельств проект Х может принести прибыль в размере от 19 до 24% годовых, а проект Y – от 29 до 34% годовых. В конце года банк обязан вернуть деньги клиентам и выплатить им проценты по заранее установленной ставке. Определить наименьший и наибольший возможный уровень %-ой ставки по вкладам, при которых чистая прибыль банка составит не менее 10 и не более 15% годовых от суммарных вложений в проекты Х и Y.
СОЦИОЛОГИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ. В дошкольном учреждении провели опрос. На вопрос: «Что Вы предпочитаете, кашу или компот?» – большая часть ответила: «Кашу», меньшая: «Компот», а один респондент: «Затрудняюсь ответить». Далее выяснили, что среди любителей компота 30% предпочитают абрикосовый, а 70% – грушевый. У любителей каши уточнили, какую именно кашу они предпочитают. Оказалось, что 56,25% выбрали манную кашу, 37,5% – рисовую, и лишь один ответил: «Затрудняюсь ответить». Сколько детей было опрошено?
В связи с этим появилась необходимость в усилении практической направленности обучения, включении в работу с учащимися соответствующих заданий на проценты, пропорции, графики реальных зависимостей, текстовые задачи с построением математических моделей реальных ситуаций. В процессе подготовки приходится искать различные пути решения таких типов задач как задачи «на движение», «на работу», «процентное содержание», «смеси и сплавы»…
Тема «Проценты» на самом деле достаточно обширна и сегодня я хотела бы остановиться на одном из ее разделов – задачах на смеси и сплавы, тем более что при решении задач на смеси и сплавы очевидны межпредметные связи с химией, физикой и экономикой, знание этого повышает учебную мотивацию учащихся по всем предметам.
Ведь, если человек талантлив в одном, он обычно талантлив во многом.
В частности хочу поделиться уже опробованным приёмом для решения задач на «смеси и сплавы». По отзывам школьников, рассматриваемая модель соответствует их представлениям о процессе сплавления, выпаривания и др., позволяет компактно и наглядно представить эти процессы, упрощает составление уравнения. Он появился и нашел свое применение после знакомства с различной литературой.
Но первым делом необходимо вспомнить некоторые теоретические основы решения задач на смеси и сплавы (Слайд 5).
В процессе поиска решения этих задач полезно применить очень удобную модель и научить школьников пользоваться ею. Изображаем каждую смесь (сплав) в виде прямоугольника разбитого на фрагменты, количество которых соответствует количеству составляющих эту смесь (этот сплав) элементов.
В качестве примера рассмотрим следующую задачу.
Задача 1. Имеется два сплава меди и олова. Один сплав содержит 72% меди, а другой 80% меди. Сколько нужно взять каждого сплава, чтобы получилось 800г сплава, содержащего 75% меди?
Изобразим каждый из сплавов в виде прямоугольника, разбитого на два фрагмента по количеству входящих элементов. Кроме того на модели отобразим характер операции – сплавление. Для этого между первым и вторым прямоугольниками поставим знак «+», а между вторым и третьим прямоугольниками поставим знак «=». Этим мы показываем, что третий сплав получен в результате сплавления первых двух. Полученная схема имеет следующий вид:
Теперь заполним получившиеся прямоугольники в соответствии с условием задачи.
Над каждым прямоугольником укажем соответствующие компоненты сплава. При этом обычно бывает достаточно использовать первые буквы их названия (если они различны). Удобно сохранять порядок соответствующих букв.
Внутри прямоугольников впишем процентное содержание (или часть) соответствующего компонента. Если сплав состоит из двух компонентов, то достаточно указать процентное содержание одного из них. В этом случае процентное содержание второго равно разности 100% и процентного содержания первого.
Под прямоугольником запишем массу (или объем) соответствующего сплава (или компонента).
Рассматриваемый в задаче процесс можно представить в виде следующей модели-схемы:
Решение.
1-й способ. Пусть х г – масса первого сплава. Тогда, (800 – х) г – масса второго сплава. Дополним последнюю схему этими выражениями. Получим следующую схему:
Сумма масс меди в двух первых сплавах (то есть слева от знака равенства) равна массе меди в полученном третьем сплаве (справа от знака равенства): .
Решив это уравнение, получаем При этом значении х выражение . Это означает, что первого сплава надо взять 500 г, а второго – 300 г.
Ответ:500 г, 300 г.
2-й способ. Пусть х г и у г – масса соответственно первого и второго сплавов, то есть пусть исходная схема имеет вид:
Легко устанавливается каждое из уравнений системы двух линейных уравнений с двумя переменными:
Решение системы приводит к результату: Значит, первого сплава надо взять 500 г, а второго – 300 г.
Ответ:500 г, 300 г.
Рассмотренная модель облегчает учащимся процесс перехода от условия задачи к ее непосредственной реализации стандартными путями: в виде уравнений или систем уравнений.
Особый интерес представляют два других способа, сводящие решение этих задач к тривиальному варианту, опирающемуся на арифметику и понятие пропорции.
Старинный способ решения
Таким способом можно решать задачи на смешивание (сплавление) любого числа веществ. Задачам подобного типа уделялось значительное внимание в старинных рукописях и «Арифметике» Леонтия Филипповича Магницкого (1703 г). (Лео́нтий Фили́ппович Магни́цкий (при рождении Телятин; 9 (19) июня 1669, Осташков — 19 (30) октября 1739, Москва) — русский математик, педагог. Преподаватель математики в Школе математических и навигацких наук в Москве (с 1701 по 1739), автор первой в России учебной энциклопедии по математике).
Данный способ позволяет получить правильный ответ за очень короткое время и с минимальными усилиями.
Решим предыдущую задачу 1 старинным способом.
Друг под другом пишутся процентные содержания меди в имеющихся сплавах, слева от них и примерно посередине – процентное содержание меди в сплаве, который должен получиться после сплавления. Соединив написанные числа черточками, получим такую схему:
Рассмотрим пары 75 и 72; 75 и 80. В каждой паре из большего числа вычтем меньшее, и результат запишем в конце соответствующей стрелочки. Получится такая схема:
Из нее делается заключение, что 72%-ного сплава следует взять 5 частей, а 80%-ного – 3 части (800:(5 + 3) = 100 г приходится на одну часть.) Таким образом, для получения 800 г 75%-ного сплава нужно взять 72%-ного сплава 100·5 = 500 г, а 80%-ного – 100·3 = 300 г.
Ответ:500г, 300г.
Задача 2. В каких пропорциях нужно сплавить золото 375-й пробы с золотом 750-й пробы, чтобы получить золото 500-й пробы?
Ответ: Нужно взять две части 375-й пробы и одну часть 750-й пробы.
Правило креста или квадрат Пирсона
(Карл (Чарлз) Пирсон (27 марта 1857, Лондон — 27 апреля 1936, там же) — выдающийся английский математик, статистик, биолог и философ; основатель математической статистики, автор свыше 650 опубликованных научных работ).
Очень часто при решении задач приходится встречаться со случаями приготовления растворов с определенной массовой долей растворенного вещества, смешением двух растворов разной концентрации или разбавлением крепкого раствора водой. В некоторых случаях можно провести достаточно сложный арифметический расчёт. Однако это малопродуктивно. Чаще для этого лучше применить правило смешения (диагональную модель «квадрата Пирсона», или, что тоже самое, правило креста).
Допустим, нужно приготовить раствор определенной концентрации, имея в распоряжении два раствора с более высокой и менее высокой концентрацией, чем нужно нам. Тогда, если обозначить массу первого раствора через m1, а второго – через m2, то при смешивании общая масса смеси будет складываться из суммы этих масс. Пусть массовая доля растворённого вещества в первом растворе – 1, во втором – 2, а в их смеси – 3. Тогда общая масса растворённого вещества в смеси будет складываться из масс растворённого вещества в исходных растворах:
m1∙1 + m2∙2 = 3(m1 + m2). Отсюда m1(1 – 3) = m2(3 – 2), .
Видно, что отношение массы первого раствора к массе второго раствора есть отношение разности массовых долей растворённого вещества в смеси и во втором растворе к разности соответствующих величин в первом растворе и в смеси.
При решении задач на растворы с разными концентрациями чаще всего применяют диагональную схему правила смешения. При расчётах записывают одну над другой массовые доли растворённого вещества в исходных растворах, справа между ними – его массовую долю в растворе, который нужно приготовить, и вычитают по диагонали из большего меньшее значение. Разности их вычитаний показывают массовые доли для первого и второго растворов, необходимые для приготовления нужного раствора.
ω1, ω2 – массовые части первого и второго растворов соответственно.
Для пояснения этого правила сначала решим простейшую задачу.
Задача 3. Морская вода содержит 5% соли (по массе). Сколько пресной воды нужно добавить к 30 кг морской воды, чтобы концентрация соли составила 1,5%?
Отве
urok.1sept.ru