Как решать задачи по геометрии 9 класс огэ – Материал для подготовки к ЕГЭ (ГИА) по геометрии (9 класс) на тему: Особенности решения геометрических задач при выполнении заданий ОГЭ

разборы экзамена 9 класса по каждому предмету

Что такое ОГЭ и  его значение?

Основной государственный экзамен (ОГЭ) – форма итоговой аттестации для выпускников 9 классов средней школы РФ. ОГЭ является обязательным условием перехода в 10 класс. Результат экзамена сказывается на аттестационных оценках.

Девятиклассники сдают два основных предмета (русский язык и математика) и два предмета по выбору (среди них: обществознание, история, литература, география, биология, химия, информатика, иностранный язык).

Учащимся 9-х классов предлагают единообразные задания, составленные в соответствии с образовательным стандартом РФ.

До 2016 года контрольно-измерительные материалы ОГЭ включали три части (А, В, С). Впоследствии задания части А, предлагающие выбор одного правильного ответа из нескольких предложенных, были исключены. Часть В представляет собой задания тестового типа, где учащийся должен дать краткий ответ. Часть С – это развернутый ответ в виде изложения, сочинения по поставленной проблеме или пошаговое решение математической, физической задачи.

Как проводится ОГЭ по различным предметам?

Процедура проведения ОГЭ очень напоминает проведение единого государственного экзамена в 11 классе. Место проведения должно быть оснащено системой видеонаблюдения и утверждено местным муниципалитетом и министерством образования.

В 9.00 выпускники распределяются по специальным пунктам проведения экзамена (ППЭ), в 10.00 начинается непосредственно экзамен.

Каждому учащемуся предоставляется свое место для выполнения КИМов. Перед началом экзамена для всех выпускников производится инструктаж по заполнению экзаменационных бланков, правилам проведения экзамена, о времени проведения аттестации по тому или иному предмету.

Экзамен по различным предметам имеет свои особенности. К примеру, экзамен по физике включает в себя экспериментальную часть. Химия предполагает выбор выпускника: использовать реальный эксперимент или нет. На экзамене по иностранному языку присутствует устная часть, где проверяется умение учащегося изъясняться на изучаемом языке. Экзамен по информатике предполагает применение компьютерных технологий.

Тесты по геометрии для подготовки к ОГЭ в 9 классе

Вариант 1

9. В тре­уголь­ни­ке ABC угол C равен 90°, AC = 10, tgA = 0,8. Най­ди­те BC.

10. Центр окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка ABC, лежит на сто­ро­не AB. Най­ди­те угол ABC, если угол BAC равен 53°. Ответ дайте в гра­ду­сах.

11. Вы­со­та рав­но­сто­рон­не­го тре­уголь­ни­ка равна 10. Най­ди­те его пло­щадь, делённую на  .

12. Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции, изоб­ражённой на ри­сун­ке.

13. Какие из сле­ду­ю­щих утвер­жде­ний верны?

  1) Если две сто­ро­ны од­но­го тре­уголь­ни­ка со­от­вет­ствен­но равны двум сто­ро­нам дру­го­го тре­уголь­ни­ка, то такие тре­уголь­ни­ки равны.

2) Сред­няя линия тра­пе­ции па­рал­лель­на её ос­но­ва­ни­ям.

3) Длина ги­по­те­ну­зы пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка мень­ше суммы длин его ка­те­тов.

17. Сколь­ко досок дли­ной 3,5 м, ши­ри­ной 20 см и тол­щи­ной 20 мм вый­дет из че­ты­рех­уголь­ной балки дли­ной 105 дм, име­ю­щей в се­че­нии пря­мо­уголь­ник раз­ме­ром 30 см х 40 см?

Вариант 2

9. В тра­пе­ции  АВСD  из­вест­но, что  AB=CD, ﮮBDC =28°  и . Най­ди­те угол  ABD. Ответ дайте в гра­ду­сах.

10. Пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник с ка­те­та­ми 5 см и 12 см впи­сан в окруж­ность. Чему равен ра­ди­ус этой окруж­но­сти?

11. Вы­со­та BH ромба ABCD делит его сто­ро­ну AD на от­рез­ки AH = 24 иHD = 2. Най­ди­те пло­щадь ромба.

12. 

На клет­ча­той бу­ма­ге с раз­ме­ром клет­ки 1×1 от­ме­че­ны три точки: AB иC. Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки A до пря­мой BC.

13. Какие из сле­ду­ю­щих утвер­жде­ний верны?

 

1) Окруж­ность имеет бес­ко­неч­но много цен­тров сим­мет­рии.

2) Пря­мая не имеет осей сим­мет­рии.

3) Пра­виль­ный пя­ти­уголь­ник имеет пять осей сим­мет­рии.

4) Квад­рат не имеет цен­тра сим­мет­рии.

 

17. Ко­рот­кое плечо шлаг­бау­ма имеет длину 1 м, а длин­ное плечо – 4 м. На какую вы­со­ту (в мет­рах) под­ни­ма­ет­ся конец длин­но­го плеча, когда конец ко­рот­ко­го опус­ка­ет­ся на 0,5 м?

Вариант 3.

9. Пря­мые m и n па­рал­лель­ны. Най­ди­те ∠3, если ∠1 = 88°, ∠2 = 16°. Ответ дайте в гра­ду­сах.

10.

 Ка­са­тель­ные в точ­ках A и B к окруж­но­сти с цен­тром O пе­ре­се­ка­ют­ся под углом 10°. Най­ди­те угол ABO. Ответ дайте в гра­ду­сах.

11. Вы­со­та ВH ромба ABCD делит его сто­ро­ну AD на от­рез­ки AH=21 и HD=54. Най­ди­те пло­щадь ромба.

12. На клет­ча­той бу­ма­ге с раз­ме­ром клет­ки 1 см × 1 см от­ме­че­ны точки AB и C. Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки A до се­ре­ди­ны от­рез­ка BC. Ответ вы­ра­зи­те в сан­ти­мет­рах.

13. Какое из сле­ду­ю­щих утвер­жде­ний верно?

1. Угол, впи­сан­ный в окруж­ность, равен со­от­вет­ству­ю­ще­му цен­траль­но­му углу, опи­ра­ю­ще­му­ся на ту же дугу.

2. Любой квад­рат яв­ля­ет­ся пря­мо­уголь­ни­ком.

3. Каж­дая из бис­сек­трис рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка яв­ля­ет­ся его вы­со­той.

17. Ди­зай­нер Павел по­лу­чи­л заказ на де­ко­ри­ро­ва­ние че­мо­да­на цвет­ной бу­ма­гой. По ри­сун­ку опре­де­ли­те, сколь­ко бу­ма­ги (в см2) не­об­хо­ди­мо за­ку­пить Павлу, чтобы окле­ить всю внеш­нюю по­верх­ность че­мо­да­на, если каж­дую грань он будет об­кле­и­вать от­дель­но (без за­ги­бов).

Вариант 4.

9. В ост­ро­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ABC вы­со­та AH равна 13 а сто­ро­на AB равна 52. Най­ди­те cosB.

10. На окруж­но­сти с цен­тром O от­ме­че­ны точки A и B так, что ﮮАОВ = 8° . Длина мень­шей дуги AB равна 37. Най­ди­те длину боль­шей дуги.

11. Ос­но­ва­ния тра­пе­ции равны 9 и 54, одна из бо­ко­вых сто­рон равна 27, а ко­си­нус угла между ней и одним из ос­но­ва­ний равен 

. Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции.

12. Най­ди­те тан­генс угла АОВ, изоб­ражённого на ри­сун­ке.

13. Какое из сле­ду­ю­щих утвер­жде­ний верно?

1. Каж­дая из бис­сек­трис рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка яв­ля­ет­ся его вы­со­той

2. Если диа­го­на­ли па­рал­ле­ло­грам­ма равны, то этот па­рал­ле­ло­грамм яв­ля­ет­ся ром­бом.

3. Су­ще­ству­ет пря­мо­уголь­ник, диа­го­на­ли ко­то­ро­го вза­им­но пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

17. От стол­ба к дому на­тя­нут про­вод дли­ной 10 м, ко­то­рый за­креплён на стене дома на вы­со­те 3 м от земли (см. ри­су­нок). Вы­чис­ли­те вы­со­ту стол­ба, если рас­сто­я­ние от дома до стол­ба равно 8 м.

Вариант №5

9. Точка O — центр окруж­но­сти, на ко­то­рой лежат точки S, T и V таким об­ра­зом, что OSTV — ромб. Най­ди­те угол STV. Ответ дайте в гра­ду­сах.

10. Ка­са­тель­ные в точ­ках A и B к окруж­но­сти с цен­тром O пе­ре­се­ка­ют­ся под углом 64°. Най­ди­те угол ABO. Ответ дайте в гра­ду­сах.

11. Най­ди­те пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка, если его пе­ри­метр равен 60, а от­но­ше­ние со­сед­них сто­рон равно 4:11.

12. На клет­ча­той бу­ма­ге с раз­ме­ром клет­ки 1 см × 1 см от­ме­че­ны точки AB и C. Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки A до се­ре­ди­ны от­рез­ка BC. Ответ вы­ра­зи­те в сан­ти­мет­рах.

13. Какое из сле­ду­ю­щих утвер­жде­ний верно?

1. Ка­са­тель­ная к окруж­но­сти па­рал­лель­на ра­ди­у­су, про­ведённому в точку ка­са­ния.

2. Диа­го­на­ли ромба точ­кой пе­ре­се­че­ния де­лят­ся по­по­лам.

3. Внеш­ний угол тре­уголь­ни­ка равен сумме его внут­рен­них углов.

17. Какое наи­боль­шее число ко­ро­бок в форме пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да раз­ме­ром 40×80×100 (см) можно по­ме­стить в кузов ма­ши­ны раз­ме­ром 3,2×3,2×8 (м)?

Вариант 6

9. В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке катет и ги­по­те­ну­за равны 8 и 17 со­от­вет­ствен­но. Най­ди­те дру­гой катет этого тре­уголь­ни­ка.

10. Ра­ди­ус окруж­но­сти с цен­тром в точке O равен 40, длина хорды AB равна 64 (см. ри­су­нок). Най­ди­те рас­сто­я­ние от хорды AB до па­рал­лель­ной ей ка­са­тель­ной k.

11. 

В тре­уголь­ни­ке ABC из­вест­но, что DE — сред­няя линия. Пло­щадь тре­уголь­ни­ка CDE равна 97. Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC.

12. Най­ди­те тан­генс угла АОВ, изоб­ражённого на ри­сун­ке.

13. Какое из сле­ду­ю­щих утвер­жде­ний верно?

1. Пло­щадь квад­ра­та равна про­из­ве­де­нию его диа­го­на­лей.

2. В па­рал­ле­ло­грам­ме есть два рав­ных угла.

3. Бо­ко­вые сто­ро­ны любой тра­пе­ции равны.

17. Ди­зай­нер Павел по­лу­чи­л заказ на де­ко­ри­ро­ва­ние че­мо­да­на цвет­ной бу­ма­гой. По ри­сун­ку опре­де­ли­те, сколь­ко бу­ма­ги (в см2) не­об­хо­ди­мо за­ку­пить Павлу, чтобы окле­ить всю внеш­нюю по­верх­ность че­мо­да­на, если каж­дую грань он будет об­кле­и­вать от­дель­но (без за­ги­бов).

Вариант 7

9. Най­ди­те угол АВС. Ответ дайте в гра­ду­сах.

10. В угол C ве­ли­чи­ной 118° впи­са­на окруж­ность, ко­то­рая ка­са­ет­ся сто­рон угла в точ­ках A и B, точка O - центр окруж­но­сти. Най­ди­те угол AOB. Ответ дайте в гра­ду­сах.

11. Вы­со­та рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции, про­ведённая из вер­ши­ны C, делит ос­но­ва­ние AD на от­рез­ки дли­ной 8 и 15. Най­ди­те длину ос­но­ва­ния BC.

12. Най­ди­те угол АВС

13. Какое из сле­ду­ю­щих утвер­жде­ний верно?

1. Пло­щадь тра­пе­ции равна про­из­ве­де­нию ос­но­ва­ния тра­пе­ции на вы­со­ту.

2. Если в тре­уголь­ни­ке есть один ост­рый угол, то этот тре­уголь­ник ост­ро­уголь­ный.

3. Диа­го­на­ли пря­мо­уголь­ни­ка точ­кой пе­ре­се­че­ния де­лят­ся по­по­лам.

17. Кар­тин­ка имеет форму пря­мо­уголь­ни­ка со сто­ро­на­ми 14 см и 18 см. Её на­кле­и­ли на белую бу­ма­гу так, что во­круг кар­тин­ки по­лу­чи­лась белая окан­тов­ка оди­на­ко­вой ши­ри­ны. Пло­щадь, ко­то­рую за­ни­ма­ет кар­тин­ка с окан­тов­кой, равна 480 см2. Ка­ко­ва ши­ри­на окан­тов­ки? Ответ дайте в сан­ти­мет­рах.

Вариант 8

9. В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке ABC катет AC = 70, а вы­со­та CH, опу­щен­ная на ги­по­те­ну­зу, равна 7 . Най­ди­те SinﮮАВС..

10. Най­ди­те длину хорды окруж­но­сти ра­ди­у­сом 13 см, если рас­сто­я­ние от цен­тра окруж­но­сти до хорды равно 5 см. Ответ дайте в см.

11. На сто­ро­не BC пря­мо­уголь­ни­ка ABCD, у ко­то­ро­го AB = 44 и AD = 77, от­ме­че­на точка E так, что ∠EAB = 45°. Най­ди­те ED.

12. На клет­ча­той бу­ма­ге с раз­ме­ром клет­ки 1 см × 1 см от­ме­че­ны точки AB и C. Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки A до се­ре­ди­ны от­рез­ка BC. Ответ вы­ра­зи­те в сан­ти­мет­рах.

13. Какие из сле­ду­ю­щих утвер­жде­ний верны?

 1) Сумма углов вы­пук­ло­го че­ты­рех­уголь­ни­ка равна 180°.

2) Если один из углов па­рал­ле­ло­грам­ма равен 60°, то про­ти­во­по­лож­ный ему угол равен 120°.

3) Диа­го­на­ли квад­ра­та делят его углы по­по­лам.

4) Если в че­ты­рех­уголь­ни­ке две про­ти­во­по­лож­ные сто­ро­ны равны, то этот че­ты­рех­уголь­ник — па­рал­ле­ло­грамм.

17. Ко­рот­кое плечо шлаг­бау­ма имеет длину 1 м, а длин­ное плечо – 4 м. На какую вы­со­ту (в мет­рах) под­ни­ма­ет­ся конец длин­но­го плеча, когда конец ко­рот­ко­го опус­ка­ет­ся на 0,5 м?

Вариант 9

9. В тре­уголь­ни­ке АВС из­вест­но, что АС=52, ВМ - ме­ди­а­на, ВМ= 36. Най­ди­те АМ.

10. Центр окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка АВС, лежит на сто­ро­не АВ. Ра­ди­ус окруж­но­сти равен 8,5. Най­ди­те ВС, если АС=8..

11. Пе­ри­метр ромба равен 24, а синус од­но­го из углов равен . Най­ди­те пло­щадь ромба.

12. На клет­ча­той бу­ма­ге с раз­ме­ром клет­ки 1х1 изоб­ражён тре­уголь­ник. Най­ди­те его пло­щадь.

13. Какие из сле­ду­ю­щих утвер­жде­ний верны?

1) Диа­го­на­ли тра­пе­ции пе­ре­се­ка­ют­ся и де­лят­ся точ­кой пе­ре­се­че­ния по­по­лам.

2) Все диа­мет­ры окруж­но­сти равны между собой.

3) Один из углов тре­уголь­ни­ка все­гда не пре­вы­ша­ет 60 гра­ду­сов.

17. Ме­ди­а­на рав­но­сто­рон­не­го тре­уголь­ни­ка равна 9. Най­ди­те сто­ро­ну этого тре­уголь­ни­ка.

Вариант 10

9. В тре­уголь­ни­ке ABC угол C равен 90°, AC = 3, tgA = . Най­ди­те AB.

10. AC и BD — диа­мет­ры окруж­но­сти с цен­тром O. Угол ACB равен 74°. Най­ди­те угол AOD. Ответ дайте в гра­ду­сах.

11. В тре­уголь­ни­ке ABC из­вест­но, что DE — сред­няя линия. Пло­щадь тре­уголь­ни­ка CDE равна 89. Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC.

12. На клет­ча­той бу­ма­ге с раз­ме­ром клет­ки 1см x 1см от­ме­че­ны точки АВ и С. Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки А до пря­мой ВС. Ответ вы­ра­зи­те в сан­ти­мет­рах.

13. Какое из сле­ду­ю­щих утвер­жде­ний верно?

1. Сред­няя линия тра­пе­ции па­рал­лель­на её ос­но­ва­ни­ям.

2. Если две сто­ро­ны од­но­го тре­уголь­ни­ка со­от­вет­ствен­но равны двум сто­ро­нам дру­го­го тре­уголь­ни­ка, то такие тре­уголь­ни­ки равны.

3. Центр опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка окруж­но­сти все­гда лежит внут­ри этого тре­уголь­ни­ка.

17. Точка креп­ле­ния троса, удер­жи­ва­ю­ще­го флаг­шток в вер­ти­каль­ном по­ло­же­нии, на­хо­дит­ся на вы­со­те 3,2 м от земли. Длина троса равна 4 м. Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки ос­но­ва­ния флаг­што­ка до места креп­ле­ния троса на земле. Ответ дайте в мет­рах.

Вариант 11

9. В вы­пук­лом четырёхуголь­ни­ке АВСД  из­вест­но, что АВ=ВС, СД=АД, , ﮮД=104°. Най­ди­те угол А. Ответ дайте в гра­ду­сах.

10. Тре­уголь­ник ABC впи­сан в окруж­ность с цен­тром в точке O. Най­ди­те гра­дус­ную меру угла C тре­уголь­ни­ка ABC, если угол AOB равен 51°.

11. Най­ди­те пло­щадь квад­ра­та, если его диа­го­наль равна 20.

12. Най­ди­те тан­генс угла АОВ, изоб­ражённого на ри­сун­ке.

13. Какое из сле­ду­ю­щих утвер­жде­ний верно?

1. Любой пря­мо­уголь­ник можно впи­сать в окруж­ность.

2. Все углы ромба равны.

3. Тре­уголь­ник со сто­ро­на­ми 1, 2, 4 су­ще­ству­ет.

7. На какой угол (в гра­ду­сах) по­во­ра­чи­ва­ет­ся ми­нут­ная стрел­ка, пока ча­со­вая про­хо­дит 24°?

Вариант 12

9. Пря­мые m и n па­рал­лель­ны. Най­ди­те ∠3, если

∠1 = 129°, ∠2 = 1°. Ответ дайте в гра­ду­сах.

10. Ка­са­тель­ные в точ­ках A и B к окруж­но­сти с цен­тром O пе­ре­се­ка­ют­ся под углом 86°. Най­ди­те угол ABO. Ответ дайте в гра­ду­сах.

11. В тра­пе­ции ABCD из­вест­но, что AD = 5, BC = 1, а её пло­щадь равна 12. Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции BCNM, где MN – сред­няя линия тра­пе­ции ABCD.

12. На клет­ча­той бу­ма­ге с раз­ме­ром клет­ки 1 см × 1 см от­ме­че­ны точки AB и C. Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки A до се­ре­ди­ны от­рез­ка BC. Ответ вы­ра­зи­те в сан­ти­мет­рах.

13. Какое из сле­ду­ю­щих утвер­жде­ний верно?

1. Пло­щадь лю­бо­го па­рал­ле­ло­грам­ма равна про­из­ве­де­нию длин его сто­рон.

2. Тре­уголь­ник со сто­ро­на­ми 1, 2, 4 су­ще­ству­ет.

3. Ос­но­ва­ния любой тра­пе­ции па­рал­лель­ны.

17. На пря­мой АВ взята точка М. Луч МД - бис­сек­три­са угла СМВ. Из­вест­но, что . Най­ди­те угол СМА. Ответ дайте в гра­ду­сах.

Вариант 13

9. Най­ди­те ве­ли­чи­ну остро­го угла па­рал­ле­ло­грам­ма АВСД, если бис­сек­три­са угла АС об­ра­зу­ет со сто­ро­ной ВС угол, рав­ный 1°. Ответ дайте в гра­ду­сах.

10. Тре­уголь­ник ABC впи­сан в окруж­ность с цен­тром в точке O. Точки O и Cлежат в одной по­лу­плос­ко­сти от­но­си­тель­но пря­мой AB Най­ди­те угол ACB, если угол AOB равен 59°. Ответ дайте в гра­ду­сах

11. Ос­но­ва­ния тра­пе­ции равны 5 и 45, одна из бо­ко­вых сто­рон равна 13, а си­нус угла между ней и одним из ос­но­ва­ний равен . Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции.

12. Най­ди­те тан­генс угла АОВ, изоб­ражённого на ри­сун­ке.

13. Какие из сле­ду­ю­щих утвер­жде­ний верны?

1. Две пря­мые, пер­пен­ди­ку­ляр­ные тре­тьей пря­мой, пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

2. В любой пря­мо­уголь­ной тра­пе­ции есть два рав­ных угла.

3. Все диа­мет­ры окруж­но­сти равны между собой.

17. Кар­тин­ка имеет форму пря­мо­уголь­ни­ка со сто­ро­на­ми 11 см и 33 см. Её на­кле­и­ли на белую бу­ма­гу так, что во­круг кар­тин­ки по­лу­чи­лась белая окан­тов­ка оди­на­ко­вой ши­ри­ны. Пло­щадь, ко­то­рую за­ни­ма­ет кар­тин­ка с окан­тов­кой, равна 779 см2. Ка­ко­ва ши­ри­на окан­тов­ки? Ответ дайте в сан­ти­мет­рах.

Вариант 14

9. Сто­ро­на рав­но­сто­рон­не­го тре­уголь­ни­ка равна 12. Най­ди­те вы­со­ту этого тре­уголь­ни­ка.

10. Цен­траль­ный угол AOB равен 60°. Най­ди­те длину хорды AB, на ко­то­рую он опи­ра­ет­ся, если ра­ди­ус окруж­но­сти равен 5.

11. Ос­но­ва­ния тра­пе­ции равны 3 и 16, одна из бо­ко­вых сто­рон равна 16, а угол между ней и одним из ос­но­ва­ний равен 135°. Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции.

12. На клет­ча­той бу­ма­ге с раз­ме­ром клет­ки 1 см × 1 см от­ме­че­ны точки АВ и С. Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки А до се­ре­ди­ны от­рез­ка ВС. Ответ вы­ра­зи­те в сан­ти­мет­рах.

13. Какое из сле­ду­ю­щих утвер­жде­ний верно?

1. Через точку, не ле­жа­щую на дан­ной пря­мой, можно про­ве­сти пря­мую, пер­пен­ди­ку­ляр­ную этой пря­мой.

2. В любой пря­мо­уголь­ник можно впи­сать окруж­ность.

3. Каж­дая из бис­сек­трис рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка яв­ля­ет­ся его ме­ди­а­ной.

17. Лест­ни­ца со­еди­ня­ет точки  А  и  В , рас­сто­я­ние между ко­то­ры­ми равно 25 м. Вы­со­та каж­дой сту­пе­ни равна 14 см, а длина — 48 см. Най­ди­те вы­со­ту  ВС (в мет­рах), на ко­то­рую под­ни­ма­ет­ся лест­ни­ца.

Методическая разработка по геометрии (9 класс): Разработка урока по геометрии в 9 классе по теме: " Решение задач ОГЭ"

Разработка  урока по геометрии в  9 классе по теме:

« Решение задач  ОГЭ »

Цель: Закрепить решение задач, составленных на квадратной решетке,     нахождение площадей многоугольников;                                                                прикладные задачи геометрии;

Развить самостоятельность в оценке и отборе полученных знаний;

Формировать познавательный интерес к математике.

Задачи: Усилить мотивацию изучения математики;

Развивать память, внимание, творческие способности;

Осуществлять взаимоконтроль и оказывать в сотрудничестве необходимую помощь.

Технологии: сотрудничества и группового взаимодействия.

Ход урока:

1.Организационный момент.

2. Анализ домашней работы.

3. Устная работа:

   А) Как найти площадь треугольника?

   Б) Как найти площадь квадрата?

   В) Как найти площадь параллелограмма, трапеции, прямоугольника?

4. Математический диктант (с взаимопроверкой):

 Задание: Укажите верные утверждения.

  1. Сумма смежных углов равна 90˚.
  2. Если высоты в параллелограмме равны, то этот параллелограмм является ромбом.
  3. Если в четырехугольнике суммы противоположных углов равны 180˚, то в этот четырехугольник можно вписать окружность.
  4. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны.
  5. В любой трапеции есть хотя бы один острый угол.

5. Решение задач ОГЭ    ( работа с проектором)

Фигуры на квадратной решётке

                                                                                      

     1. Найдите sin AOB, изображенного на рисунке.

                                                          

    2. Найдите tgА треугольника ABC, изображённого на рисунке.

        

      3.Найдите тангенс угла B треугольника ABC, изображённого на рисунке


4.На рисунке изображена трапеция  . Используя рисунок, найдите  площадь    трапеции АВСД.

 

5.На рисунке изображен ромб АВСД. Используя рисунок, найдите  площадь ромба АВСД

  

6.На рисунке изображен параллелограмм  АВСД . Используя рисунок, найдите  площадь параллелограмма.

 

7.На рисунке изображен параллелограмм  АВСД. Используя рисунок, найдите площадь АВСД.

 

8.На клетчатой бумаге с размером клетки 1см × 1см изображена трапеция. Найдите её площадь. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

 

9.На клетчатой бумаге с размером клетки 1см × 1см изображён параллелограмм. Найдите длину его большей высоты. Ответ дайте в сантиметрах.

10. На клетчатой бумаге с размером клетки 1см x 1см отмечены точки А, В и С. Найдите расстояние от точки А до прямой ВС. Ответ выразите в сантиметрах.

11.На клетчатой бумаге с размером клетки 1см x 1см отмечены точки А, В и С. Найдите расстояние от точки А до середины отрезка ВС. Ответ выразите в сантиметрах.

  

 12.На рисунке изображён прямоугольный треугольник. Найдите длину медианы треугольника, проведённую из вершины прямого угла.

                                                                            Д

                                                                

13. Найдите площадь четырехугольника  ABДC , изображённого на рисунке

6.  Решение задач:

1 На рисунке изображены параллелограмм АВСД  и трапеция АВСК. Найдите площадь треугольника ДСК.

                  В        5          С                                                                                                        

                                       В

            4                              6

        А            М     Д   7         К

2 В равнобедренном треугольнике АВС ( АВ=ВС), угол В=56˚. АК- биссектриса угла А, СМ- биссектриса угла С. О- точка пересечения биссектрис. Найдите величину угла АОС.

               В          

       М                 К

 

   А                        С

7.  Тестирование  ( приложение 1)

8.  Подведение итога урока.

                                                                                                         

  Приложение 1

               I вариант

        II вариант

1 Диагонали ромба равны 12 см и 16 см. Найдите площадь и сторону ромба.

1Диагонали ромба равны  6см и 8см.

Найдите площадь и сторону ромба.

2 Площадь прямоугольной трапеции равна 120 см2, а ее высота 8 см. Найдите все стороны трапеции, если одно из его оснований на 6см больше другого.

2 Площадь прямоугольной трапеции равна 140 см2, а ее высота 10 см. Найдите все стороны трапеции, если одно из его оснований на 2 см больше другого.

3 Площадь прямоугольного треугольника равна 168 см2 . найдите его катеты, если отношение их длин равны 7: 12.

3 Площадь прямоугольного треугольника равна 144 см2 . найдите его катеты, если отношение их длин равны 3:4.

4 Основание трапеции равно 7см, а другое в 3 раза больше. Высота равна средней линии. Найдите площадь трапеции.

4 Основание трапеции равно 3см, а другое в 5 раз больше. Высота равна средней линии. Найдите площадь трапеции.

5 Человек ростом 1,6м стоит на расстоянии от дерева высотой 10м. Тень, отбрасываемая человеком равна 3м. На каком расстоянии от дерева стоит человек?

5 Человек ростом 1,8м стоит на расстоянии 6м от дерева высотой 13,8м.

Определите длину тени, которую отбрасывает человек.  

Методическая разработка по геометрии (9 класс) на тему: Урок – практикум по решению задач части «Геометрия» ОГЭ по математике.

Слайд 1

ГИА - 2015 Открытый банк заданий по математике. Задача № 13

Слайд 2

Какие из следующих утверждений верны ? 1 2 3 4 Если угол равен 45 0 , то вертикальный с ним угол равен 45 0 . Любые две прямые имеют ровно одну общую точку. Через любые три точки проходит ровно одна прямая. Если расстояние от точки до прямой меньше 1, то и длина любой наклонной, проведенной из данной точки к прямой, меньше 1. Верно. Не верно! Не верно! Не верно!

Слайд 3

Какие из следующих утверждений верны ? 1 2 3 4 Если при пересечении двух прямых третьей прямой соответственные углы равны 65 0 , то эти две прямые параллельны. Любые две прямые имеют не менее одной общей точки. Через любую точку проходит не более одной прямой. Любые три прямые имеют не менее одной общей точки. Верно. Не верно! Не верно! Не верно!

Слайд 4

Какие из следующих утверждений верны ? 1 2 3 4 Если при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы составляют в сумме 90 0 , то эти две прямые параллельны. Если угол равен 60 0 , то смежный с ним равен 120 0 . Если при пересечении двух прямых секущей внутренние односторонние углы равны 70 0 и 110 0 , то эти две прямые параллельны. Через любые три точки проходит не более одной прямой . Не верно! Верно. Не верно! Верно.

Слайд 5

Какие из следующих утверждений верны ? 1 2 3 4 Каждая сторона треугольника меньше разности двух других сторон. В равнобедренном треугольнике имеется не более двух равных углов. Если сторона и угол одного треугольника соответственно равны стороне и углу другого треугольника, то такие треугольники равны. В треугольнике ABC , для которого АВ = 3, ВС = 4, АС = 5, угол С наименьший. Не верно! Не верно! Не верно! Верно.

Слайд 6

Какие из следующих утверждений верны ? 1 2 3 4 В треугольнике против меньшего угла лежит большая сторона. Если один угол треугольника больше 120 0 , то два других его угла меньше 30 0 . Если все стороны треугольника меньше 1, то и все его высоты меньше 1. Сумма острых углов прямоугольного треугольника не превосходит 90 0 . Не верно! Не верно! Верно. Не верно!

Слайд 7

Какие из следующих утверждений не верны ? 1 2 3 4 В треугольнике АВС, для которого угол А = 50 0 , угол В = 60 0 , угол С = 70 0 , сторона ВС — наименьшая. В треугольнике АВС, для которого АВ = 4, ВС = 5, АС = 6, угол В — наибольший. Внешний угол треугольника больше каждого внутреннего угла. Треугольник со сторонами 1, 2, 3 не существует. Верно. Верно. Не верно! Верно.

Слайд 8

Какие из следующих утверждений верны ? 1 2 3 4 Если расстояние между центрами двух окружностей равно сумме их диаметров, то эти окружности касаются. Вписанные углы окружности равны. Если вписанный угол равен 30 0 , то дуга окружности, на которую опирается этот угол, равна 60 0 . Через любые четыре точки, не принадлежащие одной прямой, проходит единственная окружность. Не верно! Не верно! Верно. Не верно!

Слайд 9

Какие из следующих утверждений верны ? 1 2 3 4 Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду окружности, равны. Если радиусы двух окружностей равны 5 и 7, а расстояние между их центрами равно 3, то эти окружности не имеют общих точек. Если радиус окружности равен 3, а расстояние от центра окружности до прямой равно 2, то эти прямая и окружность не пересекаются. Если вписанный угол равен 30 0 , то дуга окружности, на которую опирается этот угол, равна 60 0 . Верно. Не верно! Не верно! Верно.

Слайд 10

Какие из следующих утверждений верны ? 1 2 3 4 Сумма углов выпуклого четырехугольника равна 180 0 . Если один из углов параллелограмма равен 60 0 , то противоположный ему угол равен 120 0 . Диагонали квадрата делят его углы пополам. Если в четырехугольнике две противоположные стороны равны, то этот четырехугольник — параллелограмм. Не верно! Не верно! Верно. Не верно!

Слайд 11

Какие из следующих утверждений верны ? 1 2 3 4 Если противоположные углы выпуклого четырехугольника равны, то этот четырехугольник — параллелограмм. Если сумма трех углов выпуклого четырехугольника равна 200 0 , то его четвертый угол равен 160 0 . Сумма двух противоположных углов четырехугольника не превосходит 180 0 . Если основания трапеции равны 4 и 6, то средняя линия этой трапеции равна 10. Не верно! Верно. Не верно! Не верно!

Слайд 12

Какие из следующих утверждений верны ? 1 2 3 4 Около любого ромба можно описать окружность . В любой треугольник можно вписать окружность. Центром окружности, описанной около треугольника, является точка пересечения биссектрис . Центром окружности, вписанной в треугольник, является точка пересечения серединных перпендикуляров треугольника. Не верно! Верно! Не верно! Не верно!

Слайд 13

Какие из следующих утверждений верны ? 1 2 3 4 Около любого правильного многоугольника можно описать не более одной окружности. Центр окружности, описанной около треугольника со сторонами, равными 3, 4, 5, находится на стороне этого треугольника. Центром окружности, описанной около квадрата, является точка пересечения его диагоналей. Около любого ромба можно описать окружность. Верно. Верно. Верно. Не верно!

Слайд 14

Какие из следующих утверждений верны ? 1 2 3 4 Окружность имеет бесконечно много центров симметрии. Центром симметрии равнобедренной трапеции является точка пересечения ее диагоналей. Правильный пятиугольник имеет пять осей симметрии. Квадрат не имеет центра симметрии. Не верно! Не верно! Верно. Не верно!

Слайд 15

Какие из следующих утверждений верны ? 1 2 3 4 Правильный шестиугольник имеет двенадцать осей симметрии. Окружность имеет одну ось симметрии. Равнобедренный треугольник имеет три оси симметрии. Центром симметрии ромба является точка пересечения его диагоналей. Не верно! Не верно! Не верно! Верно.

Слайд 16

Какие из следующих утверждений верны ? 1 2 3 4 Если катет и гипотенуза прямоугольного треугольника равны соответственно 6 и 10, то второй катет этого треугольника равен 8. Любые два равнобедренных треугольника подобны. Любые два прямоугольных треугольника подобны. Треугольник ABC , у которого АВ=3, ВС=4, АС=5, является тупоугольным . Верно. Не верно! Не верно! Не верно!

Слайд 17

Какие из следующих утверждений верны ? 1 2 3 4 Квадрат любой стороны тр-ка равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произвед - ия этих сторон на sin угла между ними. Если катеты прямоугольного треугольника равны 5 и 12, то его гипотенуза равна 13. Треугольник ABC , у которого АВ=5, ВС=6, АС=7, является остроугольным. В прямоугольном треугольнике квадрат катета равен разности квадратов гипотенузы и другого катета. Не верно! Верно. Верно. Верно.

Методическая разработка по математике (9 класс) на тему: Подготовка к ОГЭ. Решение задач по геометрии 2 часть №24,25.

Практикум

по теме «Решение планиметрических задач из банка заданий ОГЭ № 24-25»

в 9 классе на 24.03.2018 г.

1. Приветствие.

2. Обзор модуля «Геометрия», часть 2, задания 24-25.

3. Примеры решение задач (№24-25) из Демо-версии 2018 года

4. Практикум по решению задач.

I часть. Задача №24:

А) Фронтальное решение 2-3-х задач.

Б) Самостоятельное решение задачи на выбор (с дальнейшим представлением решения 1-2-х задач на доске  учащимися по желанию, которое при необходимости  корректируется после обсуждения).

 II часть. Задача №25:

А) Фронтальное решение 2-3-х задач.

Б) Самостоятельное решение задачи на выбор (с дальнейшим представлением решения 1-2-х задач на доске  учащимися по желанию, которое при необходимости  корректируется после обсуждения).

 5.  Подведение итогов занятия. Рефлексия.

Примечание:

- на столах у учащихся лист с перечнем задач из открытого банка ОГЭ  по математике, из которых учащиеся выбирают те, которые будем решать и фронтально и самостоятельно,

- в ходе обсуждения представленного решения задачи педагог при необходимости задает вопросы, которые могли бы возникнуть у эксперта на проверке.

Перечень заданий для решения

Часть 1.

  1. В треугольнике угол равен 72°, угол равен 63°, . Найдите радиус описанной около этого треугольника окружности.

Решение:

‹А = 180 –(72°+ 63°) = 45°, используя расширенную т. синусов имеем:  2R = ВС/sinA,

2R = ВС/sin45, R = 4

  1. Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C. Найдите длину отрезка KP, если AK = 18, а сторона AC в 1,2 раза больше стороны BC.

Решение:

Рассмотрим четырехугольник PKBC. PKBC вписан в окружность, следовательно выполняется условие: сумма противоположных углов четырехугольника равна 180° (условие того, что четырехугольник можно вписать в окружность). Т.е. ∠PKB+∠BCP=180° ∠PKB+∠AKP=180° (т.к. это смежные углы). Следовательно, ∠AKP=∠BCP Рассмотрим треугольники ABC и AKP. ∠AKP=∠BCP (это мы выяснили чуть выше) ∠A - общий, тогда эти треугольники подобны (по признаку подобия). Следовательно, KP/BC=AK/AC=AP/AB (из определения подобных треугольников). Нас интересует равенство KP/BC=AP/AB KP/BC=18/(1,2BC) KP=18BC/(1,2BC)=15 Ответ: KP=15

3. Найдите угол АСО, если его сторона СА касается окружности, О — центр окружности, а дуга AD окружности, заключённая внутри этого угла, равна 100°.

Решение: 

Треугольник ACO прямоугольный по свойству касательной (радиус к   ней перперпендикулярен). Угол AOD центральный и равен 100 градусам (градусной мере дуги AD, на которую он опирается).

Он внешний угол треугольника ACO. Тогда 

Ответ 10.

  1.            4.В треугольнике АВС углы А и С равны 40° и 60° соответственно. Найдите угол между высотой ВН и биссектрисой BD.

BD - биссектриса  =>  угол СBD = 1/2 АВС = 1/2 *(180°  -  (20°+60°)) =

= 1/2 *(180°  -  80°) = 1/2 *100° =  50°

Рассм. треуг. ВСH  (угол СНВ  - прямой по условию).  По теореме о сумме острых углов прямоугольного треугольника  НСВ + НВС  = 90°.

По условию   НСВ  =  60°.  Значит угол НВС = 90° - 60° = 30°

Угол между высотой ВН и биссектрисой BD - это угол HВD.  Он равен:

угол HВD =  угол СBD  - угол НВС= 50°  -  30° = 20°.

Ответ: 20°.

     5. Биссектрисы углов A и D параллелограмма ABCD пересекаются в точке, лежащей на стороне       BC. Найдите BC, если AB = 34.

           

BC||AD (по определению параллелограмма) ∠BAE=∠EAD (т.к. AE - биссектриса) ∠EAD=∠BEA (т.к. это накрест-лежащие углы) Следовательно, ∠BAE=∠BEA Получается, что треугольник ABE - равнобедренный (по свойству), и AB=BE (по определению равнобедренного треугольника). Аналогично с треугольником ECD: ∠CED=∠CDE EC=CD Так как AB=CD (по свойству параллелограмма), то получается, что AB=BE=EC=CD = 34. Значит, ВС = 34 + 34 = 68

             Ответ 68

6. Высота AH ромба ABCD делит сторону CD на отрезки DH = 12 и CH = 3. Найдите высоту ромба.

             Решение.

           

  Поскольку ABCD — ромб, AD = DC = DH + HC = 15.

   Треугольник ADH прямоугольный, поэтому:  

          Ответ: 9.

7. Биссектрисы углов A и B при боковой стороне AB трапеции ABCD пересекаются в точке F. Найдите AB, если AF = 24, BF = 10.

               

Углы BAD и ABC — внутренние односторонние при прямых AD || BC и секущей AB,
следовательно, углы BAD+ABC =180°. AF и BF — биссектрисы углов BAD и ABC
Углы BAF и ABF будут равны половине суммы углов BAD+ABC =180°, то есть 180:2=90°.
Треугольник ∆AFB — прямоугольный, тогда по т. Пифагора находим AB:

AB2=BF2+AF2, AB2=102+242  AB2=100+576  AB2=676   AB=26

                  Ответ: 26.

8. Биссектрисы углов A и D параллелограмма ABCD пересекаются в точке, лежащей на стороне BC. Найдите AB, если BC = 34.

9. Точка H является основанием высоты, проведённой из вершины прямого угла B треугольника ABC к гипотенузе AC. Найдите AB, если AH = 5, AC = 20.

               

Решение:

Рассмотрим треугольники ABC и ABH. ∠A - общий ∠AHB=∠ABC Следовательно, эти треугольники подобны (по признаку подобия) Тогда AC/AB=AB/AH (гипотенуза большого треугольника относится к гипотенузе маленького как малый катет большого треугольника к малому катету маленького треугольника) 20/AB=AB/5 20*5=AB2, 100=AB2, AB=10

Ответ: AB=10

10. Прямая AD, перпендикулярная медиане ВМ треугольника АВС, делит её пополам. Найдите сторону АС, если сторона АВ равна 4.

           

Решение : AD для треугольника ABM является и медианой, и высотой. А это свойство медианы для равнобедренного треугольника. Следовательно, треугольник ABM - равнобедренный с основанием BM. По определению равнобедренного треугольника AB=AM. Т.к. BM - медиана для треугольника ABC, следовательно AM=MC (по определению медианы). Тогда AC=AM*2. Как мы выяснили ранее AM=AB => AC=AB*2=4*2=8.

Ответ: AC=8.

11. Точка H является основанием высоты BH, проведённой из вершины прямого угла B прямоугольного треугольника ABC. Окружность с диаметром BH пересекает стороны AB и CB в точках P и K соответственно. Найдите PK, если BH = 16.

            Решение:

Вписанный угол РВК - прямой по условию задачи. Так как  центральный угол равен двум прямым углам, т.е. 180°, отрезок РК - диаметр и равен другому  диаметру ВН. 

РК=16. 

    Если короче - вписанный угол, если он равен 90°, опирается на диаметр. Отсюда РК - диаметр.

Часть 2.

1. В окружности с центром О проведены две хорды АВ и CD так, что центральные углы АОВ и СОD равны. На эти хорды опущены перпендикуляры ОК и OL. Докажите, что ОК и OL равны.

Решение

Треугольники АОВ и СОD равны по двум сторонам и углу между ними (AO = BO = CO = DO как радиусы окружности, ∠AOB = ∠COD по условию). Следовательно, высоты OK и OL равны как соответственные элементы равных треугольников.

2. На стороне АС треугольника АВС выбраны точки D и E так, что отрезки AD и CE равны (см. рисунок). Оказалось, что отрезки BD и BE тоже равны. Докажите, что треугольник АВС — равнобедренный.

Решение:

1) По условию задачи BD=BE, следовательно треугольник BDE - равнобедренный (по определению). По свойству равнобедренного треугольника /BDE=/BED. Смежные им углы тоже равны, /BDA=/BEC. 2) Рассмотрим треугольники ABD и CBE. AD=CE (по условию), BD=BE (По условию), /BDA=/BEC (из п.1), следовательно эти треугольники равны (по первому признаку равенства треугольников), а это значит, что BA=BC. Следовательно треугольник ABC - равнобедренный (по определению).

3. В выпуклом четырёхугольнике ABCD углы ABD и ACD равны. Докажите, что углы DAC и DBC также равны.

     Решение:                                                                              

 ∠АBD и ∠ACD опираются на отрез AD и равны друг другу. Значит мы можем провести окружность через точки AD и вершины этих углов. Эти углы окажутся вписанными в окружность, опирающимися на одну дугу. Получится, что мы описали окружность вокруг четырехугольника. Заметим, что углы DAC и DBC тоже являются вписанными и опирающимися на одну и ту же дугу, т.е., используя теорему о вписанном угле, получаем, что они равны друг другу . ч.т.д.

  1. В треугольнике угол равен 36°,  — биссектриса. Докажите, что треугольник  — равнобедренный.

Доказательство:

АВ=ВС значит треугольник АВС равнобедренный значит угол А= углу С(по свойству)

угол В=36, т.к А+В+С= 180.Значит угол А+ угол С =144. угол А=углуС=72

АД-биссектриса значит угол ВАД равен 72 делить на 2=36 треугольник АВД равнобедренный так как угол ВАД = углу В

  1. В параллелограмме АВСD проведены перпендикуляры ВЕ и DF к диагонали АС 

Докажите, что ВFDЕ — параллелограмм.

       

1) Рассмотрим треугольники ABE и CDF. AB=CD (по свойству параллелограмма). /BAE=/DCF (т.к. это внутренние накрест-лежащие углы для параллельных BC и AD и секущей AC). /BEA=/DFC (т.к. оба эти угла прямые по условию).Значит прямоугольные треугольники равны по гтпотенузе и острому углу). Отсюда следует, что BE=FD

2) Рассмотрим треугольники BFE и DEF. BE=FD (из пункта 1), EF-общая сторона, /BEF=/DFE (т.к. это прямые углы по условию). Следовательно треугольники BFE и DEF равны (по второму признаку равенства треугольников). Отсюда следует, что BF=ED. 3) В итоге получаем, BF=ED и BE=FD, следовательно ВFDЕ — параллелограмм (по свойству параллелограмма).

6. В параллелограмме АВСD точки E, F, K и М лежат на его сторонах, как показано на рисунке, причём АЕ = CK, BF = DM. Докажите, что EFKM — параллелограмм.

7. В параллелограмме проведены высоты и . Докажите, что подобен .

Решение

Треугольники АВЕ и CBF подобны по первому признаку подобия: два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого. Углы ВЕА и BFC прямые, т.к. ВЕ и BF - высоты, а углы А и С равны как противоположные углы параллелограмма.

8. В параллелограмме проведены биссектрисы противоположных углов. Докажите, что отрезки биссектрис, заключенные внутри параллелограмма, равны.

  

Доказательство: рассмотрим треугольники ADN и CBM

  1. AD = DC  как противоположные стороны параллелограмма,
  2. угол DAN равен углу BCM как половины равных углов А и В параллелограмма
  3. угол AND равен углу CBM как противоположные углы параллелограмма

Треугольники равны по второму признаку, следовательно AN = MC как соответственные стороны в равных треугольника

9. Середины сторон параллелограмма является вершинами ромба. Докажите, что данный параллелограмм — прямоугольник.

 Доказательство: Рассмотрим треугольники AEH и BEF:

1.ВЕ = ВA так как Е – середина АВ

2. ВА = AH как половины равных сторон  параллелограмма

3. EF = EH  как стороны ромба. Отсюда следует, что данные треугольники равны по третьему признаку. Значит угол В = углу А,  а так как они являются внутренними односторонними и в сумме дают 180 градусов, то каждый из них равен 90 градусов. Аналогично доказываем, что угол С равен 90 грабусов и угол D = 90 градусов. По определению ABCD – прямоугольник.

 

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *