Как решаются дифференциальные уравнения: примеры решения диффуров (ДУ) в математике

Posted on by alexxlab

Содержание

примеры решения диффуров (ДУ) в математике

Часто одно лишь упоминание дифференциальных уравнений вызывает у студентов неприятное чувство. Почему так происходит? Чаще всего потому, что при изучении основ материала возникает пробел в знаниях, из-за которого дальнейшее изучение диффуров становиться просто пыткой. Ничего не понятно, что делать, как решать, с чего начать?

Однако мы постараемся вам показать, что диффуры – это не так сложно, как кажется.

Основные понятия теории дифференциальных уравнений

Со школы нам известны простейшие уравнения, в которых нужно найти неизвестную x. По сути дифференциальные уравнения лишь чуточку отличаются от них – вместо переменной х в них нужно найти функцию y(х), которая обратит уравнение в тождество.

Дифференциальные уравнения имеют огромное прикладное значение. Это не абстрактная математика, которая не имеет отношения к окружающему нас миру. С помощью дифференциальных  уравнений описываются многие реальные природные процессы. Например, колебания струны, движение гармонического осциллятора, посредством дифференциальных уравнений в задачах механики находят скорость и ускорение тела. Также

ДУ находят широкое применение в биологии, химии, экономике и многих других науках.

Дифференциальное уравнение (ДУ) – это уравнение, содержащее производные функции y(х), саму функцию, независимые переменные и иные параметры в различных комбинациях.

Существует множество видов дифференциальных уравнений: обыкновенные дифференциальные уравнения, линейные и нелинейные, однородные и неоднородные, дифференциальные уравнения первого и высших порядков, дифуры в частных производных и так далее.

Решением дифференциального уравнения является функция, которая обращает его в тождество.

Существуют общие и частные решения ДУ.

Общим решением ДУ является общее множество решений, обращающих уравнение в тождество. Частным решением дифференциального уравнения называется решение, удовлетворяющее дополнительным условиям, заданным изначально.

Порядок дифференциального уравнения  определяется наивысшим порядком производных, входящих в него.

 

Решение уравнений

 

Обыкновенные дифференциальные уравнения

Обыкновенные дифференциальные уравнения – это уравнения, содержащие одну независимую переменную.

Рассмотрим простейшее обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка. Оно имеет вид:

Решить такое уравнение можно, просто проинтегрировав его правую часть.

Примеры таких уравнений:

Уравнения с разделяющимися переменными

В общем виде этот тип уравнений выглядит так:

Приведем пример:

Решая такое уравнение, нужно разделить переменные, приведя его к виду:

После этого останется проинтегрировать обе части и получить решение.

 

Математика

 

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Такие уравнения имеют вид:

Здесь p(x) и q(x) – некоторые функции независимой переменной, а y=y(x) – искомая функция. Приведем пример такого уравнения:

Решая такое уравнение, чаще всего используют метод вариации произвольной постоянной либо представляют искомую функцию в виде произведения двух других функций y(x)=u(x)v(x).

Для решения таких уравнений необходима определенная подготовка и  взять их “с наскока” будет довольно сложно.

Пример решения ДУ с разделяющимися переменными

Вот мы и рассмотрели простейшие типы ДУ. Теперь разберем решение одного из них. Пусть это будет уравнение с разделяющимися переменными.

Сначала  перепишем производную в более привычном виде:

Затем разделим переменные, то есть в одной части уравнения соберем все «игреки», а в другой – «иксы»:

Теперь осталось проинтегрировать обе части:

Интегрируем и получаем общее решение данного уравнения:

Конечно, решение дифференциальных уравнений – своего рода искусство. Нужно уметь понимать, к какому типу относится уравнение, а также научиться видеть, какие преобразования нужно с ним совершить, чтобы привести к тому или иному виду, не говоря уже просто об умении дифференцировать и интегрировать. И чтобы преуспеть в решении ДУ, нужна практика (как и во всем). А если у Вас в данный момент нет времени разбираться с тем, как решаются дифференциальные уравнения или задача Коши встала как кость в горле или вы не знаете, как правильно оформить презентацию, обратитесь к нашим авторам. В сжатые сроки мы предоставим Вам готовое и подробное решение, разобраться в подробностях которого Вы сможете в любое удобное для Вас время. А пока предлагаем посмотреть видео на тему «Как решать дифференциальные уравнения»:

 

Однородные дифференциальные уравнения 1 порядка

Готовые ответы к примерам на однородные дифференциальные уравнения первого порядка ищут многие студенты (ДУ 1 порядка самые распространенные в обучении), далее Вы их сможете подробно разобрать. Но прежде чем перейти к рассмотрению примеров рекомендуем внимательно прочитать краткий теоретический материал.
Уравнения вида P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0, где функции P(x,y) і Q(x,y) являются однородными функциями одного порядка называют однородным дифференциальным уравнением (ОДР).

Схема решения однородного дифференциального уравнения

1. Сначала нужно применить подстановку y=z*x, где z=z(x) – новая неизвестная функция (таким образом исходное уравнение сводится к дифференциальному уравнению с разделяющимися переменными.
2. Производная произведения равна y’=(z*x)’=z’*x+z*x’=z’*x+z или в дифференциалах dy=d(zx)=z*dx+x*dz.
3. Далее подставляем новую функцию у и ее производную y’ (или dy) в ДУ с разделяющимися переменными относительно x та z.
4. Решив дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными, сделаем обратную замену y=z*x, поэтому z= y/х, и получим общее решение (общий интеграл) дифференциального уравнения.
5. Если задано начальное условие y(x0)=y0, то находим частное решение задачи Коши. В теории все звучит легко, однако на практике не у всех так весело получается решать дифференциальные уравнения. Поэтому для углубления знаний рассмотрим распространенные примеры. На легких задачах нет особо Вас научить, поэтому сразу перейдем к более сложным.

Вычисления однородных дифференциальных уравнений первого порядка

Пример 1. Решить дифференциальное уравнение

Решение: Делим правую сторону уравнения на переменную, которая стоит множителем возле производной. В результате придем к однородного дифференциального уравнения 0 порядка

И здесь многим пожалуй стало интересно, как определить порядок функции однородного уравнения?
Вопрос достаточно уместен, а ответ на него следующий:
в правую сторону подставляем вместо функции и аргумента значение t*x, t*y. При упрощении получают параметр «t» в определенном степени k, его и называют порядком уравнения. В нашем случае «t» сократится, что равносильно 0-м степени или нулевом порядке однородного уравнения.
Далее в правой стороне можем перейти к новой переменной y=zx; z=y/x .
При этом не забываем выразить производную «y» через производную новой переменной. По правилу части находим

Уравнения в дифференциалах примет вид

Совместные слагаемые в правой и левой части сокращаем и переходим к дифференциальному уравнению с разделенными переменными.

Проинтегрируем обе части ДУ

Для удобства дальнейших преобразований постоянную сразу вносим под логарифм

По свойствам логарифмов полученное логарифмическое уравнение эквивалентно следующему

Эта запись еще не решение (ответ), необходимо вернуться к выполненной замене переменных

Таким образом находят общее решение дифференциальных уравнений. Если Вы внимательно читали предыдущие уроки, то мы говорили, что схему вычисления уравнений с разделенными переменными Вы должны уметь применять свободно и такого рода уравнения придется вычислять для более сложных типов ДУ.

Пример 2. Найти интеграл дифференциального уравнения

Решение:Схема вычислений однородных и сводных к ним ДУ Вам тепер знакома. Переносим переменную в правую сторону уравнения, а также в числителе и знаменателе выносим x2, как общий множитель

Таким образом получим однородное ДУ нулевого порядка.
Следующим шагом вводим замену переменных z=y/x, y=z*x, о которой постоянно будем напоминать, чтобы Вы ее заучили

После этого ДУ записываем в дифференциалах

Далее преобразуем зависимость к дифференциальному уравнению с отделенными переменными

и интегрированием решаем его.

Интегралы несложные, остальные преобразования выполнены на основе свойств логарифма. Последнее действие включает экспонирования логарифма. Наконец возвращаемся к исходной замене и записываем решение дифференциального уравнения в форме

Константа «C» принимает любое значение. Все кто учится заочно имеют проблемы на экзаменах с данным типом уравнений, поэтому просьба внимательно посмотреть и запомнить схему вычислений.

 

Пример 3. Решить дифференциальное уравнение

Решение:Как следует из приведенной выше методики, дифференциальные уравнения такого типа решают методом введения новой переменной. Перепишем зависимость так, чтобы производная была без переменной

Далее по анализу правой части видим, что везде присутствует частка -ее и обозначаем за новую неизвестную
z=y/x, y=z*x.
Находим производную от y

С учетом замены первоначальное ДУ перепишем в виде

Одинаковые слагаемые упрощаем, а все получившие сводим к ДУ с отделенными переменными

Интегрированием обеих частей равенства

приходим к решению в виде логарифмов

Экспонируя зависимости находим общее решение дифференциального уравнения

которое после подстановки в него начальной замены переменных примет вид

Здесь С — постоянная, которую можно доопределить из условия Коши. Если не задана задача Коши то стала принимает произвольное действительное значение.
Вот и вся мудрость в исчислении однородных дифференциальных уравнений.

Автономные дифференциальные уравнения на прямой

Итак, давайте научимся решать какие-нибудь дифференциальные уравнения. Для начала — очень простые.

В этой главе мы будем рассматривать дифференциальные уравнения вида

˙x=f(t,x),(2.1)

где x:D→R — неизвестная функция, D — связное подмножество прямой (вся прямая, луч, отрезок, полуинтервал, интервал), f:D×R→R — некоторая по меньшей мере непрерывная (а лучше бы гладкая, как мы увидим чуть позже) функция от двух переменных.

Напомним, что решением уравнения (2.1) называется дифференцируемая функция φ, такая, что выполнено тождество

˙φ(t)=f(t,φ(t))∀t∈D

Обсудим для начала, как можно было бы находить значение функции φ, не пытаясь выписать решение в виде явной формулы. Оказывается, с помощью компьютера это довольно несложно сделать — правда, решение будет не точным, а приближённым. Обсуждение этого метода окажется полезным и для наших дальнейших аналитических построений.

2.1Численное решение дифференциальных уравнений. Метод Эйлера

Пусть поставлена задача Коши:

˙x=f(t,x),x(t0)=x0.(2.2)

Мы можем приблизительно решать её таким образом. Возьмём произвольную точку (t0,x0) расширенного фазового пространства. Интегральная кривая, проходящая через эту точку, имеет в ней касательную с угловым коэффициентом f(t0,x0). Касательная — это прямая, которая хорошо приближает график функции. Давайте на секундочку представим, что интегральная кривая в точности совпадает с касательной на некотором небольшом промежутке времени — начиная с момента t0 и заканчивая t0+Δt, где Δt — некоторое маленькое число. Иными словами, мы считаем, что на этом промежутке двигаемся с постоянной скоростью — той, которая была в момент времени t0, то есть f(t0,x0). В этом случае к моменту времени t0+Δt мы пройдём расстояние, равное f(t0,x0)⋅Δt и попадём в точку (t1,x1), задаваемую следующим образом: x1=x0+f(t0,x0)⋅Δtt1=t0+Δt Точка (t1,x1) лежит на касательной, проходящей через точку (t0,x0).
Если Δt мало, эта точка должна лежать близко к графику настоящего решения. Теперь мы можем взять точку (t1,x1) за стартовую, построить в ней уже новую касательную и пройти по этой касательной ещё на Δt вправо. Действуя таким образом, получим набор точек, связанных соотношением: xn+1=xn+f(tn,xn)⋅Δttn+1=tn+Δt=t0+(n+1)Δt Если соединить эти точки отрезками прямых, они будут проходить близко к касательным к графику решения, и сама получающаяся ломаная будет приближаться к настоящему решению. Естественно, с уменьшением шага точность приближения увеличивается.

Этот метод приближённого нахождения решений называется методом Эйлера. Он даёт представление о том, как можно использовать компьютер для исследования дифференциальных уравнений. На практике, впрочем, используются более сложные методы, хотя принцип их работы в целом очень схож.

На рис. 2.1 синим изображено истинное решение уравнения ˙x=t с начальным условием x(−3)=4, а красным, розовым, фиолетовым и зеленым изображены численные решения уравнения методом Эйлера 5, 10, 20 и 100 шагами соответственно. Заметим, что уже сто шагов дает достаточно хорошее приближение решения.

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import qqmbr.odebook as ob
# see https://github.com/ischurov/qqmbr/blob/master/qqmbr/odebook.py

ob.axes4x4()
ob.eulersplot(lambda t, x: t, -3, 4, 4, 5, color='red')
ob.eulersplot(lambda t, x: t, -3, 4, 4, 10, color='pink')
ob.eulersplot(lambda t, x: t, -3, 4, 4, 20, color='purple')
ob.eulersplot(lambda t, x: t, -3, 4, 4, 100, color='green')
ob.mplot(np.linspace(-4,4),lambda x: x**2 / 2 - 0.5, 
    color='steelblue')

Упражнение 1. Используя метод Эйлера (но не используя компьютер), найти решение дифференциального уравнения ˙x=x, удовлетворяюее начальному условию x(0)=1. Отсюда найти одну из известных формул для числа e.

2.2Аналитическое решение автономных дифференциальных уравнений на прямой

Вернёмся к аналитическому поиску решений.
В отличие от численных методов, даже для уравнений в размерности 1 найти решение аналитически не всегда возможно — а чаще так и невозможно. Но если несколько сузить класс рассматриваемых уравнений, то у нас всё получится. Определение 1. Автономным называется дифференциальное уравнение, правая часть которого не зависит от времени явно. Такое уравнение имеет вид

˙x=f(x)(2.3)

Рассмотрим задачу Коши для автономного дифференциального уравнения (2.3) с начальным условием x(t0)=x0. Пусть f(x0)≠0. В этом случае решение задаётся явной формулой (она называется формулой Барроу). Мы обсудим несколько способов её вывода и интерпретации.

2.2.1Геометрические соображения

В предыдущей главе мы обсуждали, что существует специальный класс дифференциальных уравнений, которые очень просто решаются: это уравнения вида ˙x=f(t), мгновенно сводящиеся к интегрированию (см. параграф 1.2.4). Мы будем называть такие уравнения
простейшими, хотя это не общепринятый термин.

Рассмотрим поля направлений двух уравнений: первое является простейшим, а второе автономным, см. рис. 2.2.

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import qqmbr.odebook as ob
# see https://github.com/ischurov/qqmbr/blob/master/qqmbr/odebook.py

plt.figure(figsize=(8, 4))
plt.subplot(121)
ob.axes4x4()
ob.normdirfield(np.arange(-4, 4, 0.5),
                np.arange(-4, 4, 0.5),
                lambda t, x: t,
                color='red',
                linewidth=1,
                length=0.6)
plt.subplot(122)
ob.axes4x4()
ob.normdirfield(np.arange(-4, 4, 0.5),
                np.arange(-4, 4, 0.5),
                lambda t, x: x,
                color='red',
                linewidth=1,
                length=0.6)
Рис. 2.2: Поля направлений для уравнения ˙x=t (слева) и ˙x=x (справа) Это совсем разные уравнения, но их поля направлений обладают неким сходством: они не меняются при сдвигах. Разница в том, что первое поле направлений не меняется при
вертикальных сдвигах, а второе — при горизонтальных. Нетрудно понять, что аналогичными свойствами обладают все уравнения этих двух классов.

Напомним, что задача отыскания решения дифференциального уравнения имеет простую геометрическую интерпретацию: нужно найти кривую, касающуюся в каждой своей точке соответствующего поля направлений. Вместе со сходством полей направлений это даёт надежду, что нам удастся придумать метод решения автономных уравнений, сводящий их к некоторым простейшим.

Оказывается, сделать это довольно просто: достаточно поменять роль осей и считать независимой переменной x, а неизвестной функцией — время. Ниже мы обсудим два способа реализации этого замысла.

2.2.2Механический подход

Решить дифференциальное уравнение — это значит научиться отвечать на вопрос о том, где окажется решение в произвольный момент времени t, если в момент времени t0 оно находилось в точке x0. В соответствии с выводами предыдущего пункта, поменяем роли переменных и зададим другой вопрос: сколько времени потребуется, чтобы добраться из точки x0 до некоторой другой точки x?

Попробуем ответить на этот вопрос (хотя бы приближённо) с помощью аналога метода Эйлера (см. раздел 2.1). Предположим для определённости, что x>x0 и f(x0)>0 (вблизи x0 движение происходит вправо; обратный случай рассматривается полностью аналогично). Предположим также, что на всём отрезке [x0,x] функция f принимает только положительные значения (чуть ниже мы обсудим, что это вполне разумное предположение). Разобьем отрезок [x0,x] на n равных маленьких отрезочков длины Δx. Пусть xk=x0+k⋅Δx — концы наших отрезочков. Сколько времени нужно, чтобы попасть из точки xk в точку xk+1? Для этого нам придётся пройти расстояние, равное Δx. Мгновенная скорость движения в точке xk равна f(xk). Поскольку Δx мало, а функция f непрерывна, можно ожидать, что её значение не слишком сильно изменится, по крайней мере, пока мы находимся на том же отрезочке. Значит, можно считать (совершая некоторую ошибку, малую при малых Δx), что движение на всём отрезочке происходит с постоянной скоростью, равной f(xk). Тогда время движения вычисляется по школьной формуле: нужно расстояние Δx поделить на скорость f(xk). Обозначим вычисленное таким образом время прохождения k-го отрезочка через Δtk. Имеем:

Δtk=Δxf(xk)(2.4)

Пусть мы оказались в точке x в момент времени t. Тогда время прохождения всего отрезка от x0 до x равна t−t0 и получается сложением всех Δtk для k=0,…,n−1:

t−t0≈n−1∑k=0Δtk=n−1∑k=01f(xk)Δx(2.5)

Ну-ка, что у нас тут в правой части? Это же интегральные суммы для функции 1f(x)! Равенство (2.5) является приближённым, но когда мы перейдём к пределу при Δx→0 (или, что то же самое, при n→∞), оно превратится в точное:

t−t0=∫xx0dyf(y).(2.6)

Это соотношение и называется формулой Барроу. Его можно понимать как неявное выражение x через t. В некоторых ситуациях из него можно выразить функцию x(t) явно.

2.2.3Аналитический подход

Приведём более формальный вывод формулы Барроу, опирающийся на математический анализ. Пусть функция x=φ(t) является решением уравнения (2.3) и удовлетворяет начальному условию φ(t0)=x0. Рассмотрим функцию t=ψ(x), обратную к функции x=φ(t). Рассмотрим произвольную точку (t1,x1), лежащую на графике решения: для неё выполняются соотношения x1=φ(t1), t1=ψ(x1) и ˙φ(t1)=f(x1) (поскольку φ является решением уравнения). Тогда по теореме о производной сложной функции

ψ′(x1)=1˙φ(t1)=1f(x1)

Это равенство выполняется в любой точке x1. Значит, функция ψ является решением дифференциального уравнения

ψ′(x)=1f(x),

где x выступает в роли независимой переменной. Правая часть теперь не зависит от неизвестной функции и такое уравнение мы умеем решать:

ψ(x)=∫xx0dyf(y)+t0

Вспоминая, что t=ψ(x) — обратная функция к решению x=φ(t), имеем:

t−t0=∫φ(t)x0dyf(y)

Мы снова получили формулу Барроу.

2.2.4Магия

Часто для вывода формулы Барроу используют такую символическую запись: ˙x=f(x)dxdt=f(x)dt=dxf(x)∫tt0dt=∫xx0dxf(x)(2.7)(2.8)(2.9)(2.10) Это может показаться некоторой магией — особенно загадочно выглядит уравнение (2. 9). Чуть позже мы дадим определение дифференциальной 1-формы, с помощью которого можно придать этим формулам аккуратный смысл, а пока обратим внимание, что уравнение (2.9) очень похоже на уравнение (2.4). В целом, эта формальная запись фактически повторяет наш вывод в параграфе 2.2.2. Пример 1. Решим уравнение ˙x=x с начальным условием x(t0)=x0. Пусть x=φ(t) — решение и t=φ−1(x) — обратная функция к решению. Имеем: (φ−1(x))′=1xφ−1(x)=ψ(x)ψ′(x)=1xψ(x)=∫dxx=ln|x|+Ct=ln|x|+Cx=±e−Cet=C1et Заметим, что если бы мы забыли модуль под логарифмом при интегрировании, то константа C1=e−C принимала бы только положительные значения. Но из-за модуля она может принимать и отрицательные значения.

Заметим также, что в ходе преобразований (деления на x) мы «потеряли» решение x=0. Если в ответ подставить значение C1=0, получим как раз его. Таким образом, формула x(t)=Cet, C∈R даёт все известные нам решения. Мы пока не доказали, что других нет — на следующей лекции мы обсудим этот вопрос.

← Предыдущая глава Следующая глава →

Дифференциальное уравнение — Differential equation

Математическое уравнение с производными неизвестной функции

В математике дифференциальное уравнение — это уравнение, которое связывает одну или несколько функций и их производные . В приложениях функции обычно представляют физические величины, производные представляют скорость их изменения, а дифференциальное уравнение определяет взаимосвязь между ними. Такие отношения обычны; поэтому дифференциальные уравнения играют важную роль во многих дисциплинах, включая инженерию , физику , экономику и биологию .

В основном изучение дифференциальных уравнений состоит из изучения их решений (набора функций, удовлетворяющих каждому уравнению) и свойств их решений. Только простейшие дифференциальные уравнения разрешимы по явным формулам; однако многие свойства решений данного дифференциального уравнения могут быть определены без их точного вычисления. {п} \,}

для которой в следующем году Лейбниц получил решения, упростив ее.

Исторически проблема вибрирующей струны, такой как струна музыкального инструмента, изучалась Жаном ле Рондом Даламбером , Леонардом Эйлером , Даниэлем Бернулли и Жозефом-Луи Лагранжем . В 1746 году Даламбер открыл одномерное волновое уравнение , а через десять лет Эйлер открыл трехмерное волновое уравнение.

Уравнение Эйлера – Лагранжа было разработано в 1750-х годах Эйлером и Лагранжем в связи с их исследованиями проблемы таутохрон . Это проблема определения кривой, на которой взвешенная частица упадет в фиксированную точку за фиксированный промежуток времени, независимо от начальной точки. Лагранж решил эту проблему в 1755 году и отправил решение Эйлеру. Оба далее развили метод Лагранжа и применили его к механике , что привело к формулировке лагранжевой механики .

В 1822 году Фурье опубликовал свою работу о тепловом потоке в Théorie analytique de la chaleur (Аналитическая теория тепла), в которой он основывал свои рассуждения на законе охлаждения Ньютона , а именно, что поток тепла между двумя соседними молекулами пропорционален крайне малая разница их температур. В этой книге содержится предложение Фурье о его уравнении теплопроводности для кондуктивной диффузии тепла. Это уравнение в частных производных теперь преподается каждому студенту математической физики.

Пример

В классической механике движение тела описывается его положением и скоростью при изменении значения времени. Законы Ньютона позволяют динамически выражать эти переменные (с учетом положения, скорости, ускорения и различных сил, действующих на тело) в виде дифференциального уравнения для неизвестного положения тела как функции времени.

В некоторых случаях это дифференциальное уравнение (называемое уравнением движения ) может быть решено явно.

Примером моделирования реальной проблемы с использованием дифференциальных уравнений является определение скорости шара, падающего в воздухе, с учетом только силы тяжести и сопротивления воздуха. Ускорение мяча по направлению к земле — это ускорение свободного падения за вычетом замедления из-за сопротивления воздуха. Сила тяжести считается постоянной, а сопротивление воздуха можно моделировать пропорционально скорости мяча. Это означает, что ускорение мяча, которое является производной от его скорости, зависит от скорости (а скорость зависит от времени). Для определения скорости как функции времени необходимо решить дифференциальное уравнение и проверить его справедливость.

Типы

Дифференциальные уравнения можно разделить на несколько типов. Помимо описания свойств самого уравнения, эти классы дифференциальных уравнений могут помочь в выборе подхода к решению. Обычно используемые различия включают в себя то, является ли уравнение обычным или частным, линейным или нелинейным, однородным или неоднородным. Этот список далеко не исчерпывающий; существует множество других свойств и подклассов дифференциальных уравнений, которые могут быть очень полезны в определенных контекстах.

Обыкновенные дифференциальные уравнения

Обыкновенное дифференциальное уравнение ( ОДУ ) представляет собой уравнение , содержащее неизвестную функцию одной действительной или комплексной переменной х , его производных, а также некоторые заданные функции х . Неизвестная функция обычно представлена переменной (часто обозначаемой y ), которая, следовательно, зависит от x . Таким образом, x часто называют независимой переменной уравнения. Термин « обыкновенный » используется в отличие от термина « уравнение в частных производных» , которое может относиться к более чем одной независимой переменной.

Линейные дифференциальные уравнения — это дифференциальные уравнения, линейные относительно неизвестной функции и ее производных. Их теория хорошо разработана, и во многих случаях их решения можно выразить в терминах интегралов .

Большинство ОДУ, встречающихся в физике, являются линейными. Следовательно, большинство специальных функций могут быть определены как решения линейных дифференциальных уравнений (см. Голономная функция ).

Поскольку, как правило, решения дифференциального уравнения не могут быть выражены выражением в замкнутой форме , численные методы обычно используются для решения дифференциальных уравнений на компьютере.

Уравнения с частными производными

Парциальное дифференциальное уравнение ( ФДЭ ) представляет собой дифференциальное уравнение , которое содержит неизвестные многомерные функции и их частные производные . (В этом отличие от обычных дифференциальных уравнений , которые имеют дело с функциями одной переменной и их производными.) УЧП используются для формулирования задач, включающих функции нескольких переменных, и либо решаются в замкнутой форме, либо используются для создания соответствующего компьютера. модель .

PDE могут использоваться для описания широкого спектра явлений в природе, таких как звук , тепло , электростатика , электродинамика , поток жидкости , упругость или квантовая механика . Эти, казалось бы, различные физические явления можно формализовать аналогичным образом в терминах PDE. Так же, как обыкновенные дифференциальные уравнения часто моделируют одномерные динамические системы , уравнения в частных производных часто моделируют многомерные системы . Стохастические дифференциальные уравнения в частных производных обобщают уравнения в частных производных для моделирования случайности .

Нелинейные дифференциальные уравнения

Нелинейный дифференциальное уравнение представляет собой дифференциальное уравнение , которое не является линейным уравнением относительно неизвестной функции и ее производных (линейность или нелинейность в аргументах функции не рассматривается здесь). Существует очень мало методов точного решения нелинейных дифференциальных уравнений; те, которые известны, обычно зависят от уравнения, имеющего определенные симметрии . Нелинейные дифференциальные уравнения могут демонстрировать очень сложное поведение на длительных временных интервалах, характерное для хаоса . Даже фундаментальные вопросы существования, единственности и расширяемости решений нелинейных дифференциальных уравнений, а также корректности начальных и краевых задач для нелинейных уравнений в частных производных являются сложными задачами, и их разрешение в частных случаях считается значительным достижением в математике. теория (ср. существование и гладкость Навье – Стокса ). Однако, если дифференциальное уравнение является правильно сформулированным представлением значимого физического процесса, то можно ожидать, что оно имеет решение.

Линейные дифференциальные уравнения часто появляются как приближения к нелинейным уравнениям. Эти приближения действительны только при ограниченных условиях. Например, уравнение гармонического осциллятора является приближением к уравнению нелинейного маятника, которое справедливо для колебаний малой амплитуды (см. Ниже).

Порядок уравнения

Дифференциальные уравнения описываются их порядком, определяемым слагаемым с старшими производными . Уравнение, содержащее только первые производные, является дифференциальным уравнением первого порядка, уравнение , содержащее вторую производную, является дифференциальным уравнением второго порядка и т. Д. Дифференциальные уравнения, описывающие природные явления, почти всегда содержат только производные первого и второго порядка, но есть некоторые исключения, такие как уравнение тонкой пленки , которое является уравнением в частных производных четвертого порядка.

Примеры

В первой группе примеров u — неизвестная функция от x , а c и ω — константы, которые предполагается известными. Две широкие классификации как обыкновенных дифференциальных уравнений, так и уравнений в частных производных состоят из различения линейных и нелинейных дифференциальных уравнений, а также однородных дифференциальных уравнений и неоднородных . {n}}} + \ cdots + f_ {1} (x) {\ frac {dy} {dx}} + f_ {0} (x) y = g (x)}

такой, что

y ( Икс 0 ) знак равно y 0 , y ′ ( Икс 0 ) знак равно y 0 ′ , y ″ ( Икс 0 ) знак равно y 0 ″ , … {\ displaystyle y (x_ {0}) = y_ {0}, y ‘(x_ {0}) = y’ _ {0}, y » (x_ {0}) = y » _ {0}, \ ldots}

Для любого ненулевого , если и непрерывны на некотором интервале, содержащем , единственно и существует. ж п ( Икс ) {\ displaystyle f_ {n} (x)} { ж 0 , ж 1 , … } {\ Displaystyle \ {е_ {0}, е_ {1}, \ ldots \}} грамм {\ displaystyle g} Икс 0 {\ displaystyle x_ {0}} y {\ displaystyle y}

Связанные понятия

  • Дифференциальное уравнение задержки (DDE) представляет собой уравнение для функции одной переменной, обычно называют время , в котором производная функции в определенный момент времени дается в терминах значений функции в прежние времена.
  • Интегро-дифференциальное уравнение (IDE) представляет собой уравнение , которое сочетает в себе аспекты дифференциального уравнения и к интегральному уравнению .
  • Стохастическое дифференциальное уравнение (СД) является уравнением , в котором искомая величина является случайным процессом и уравнение включает некоторые известные случайные процессы, например, процесс Винер в случае уравнений диффузии.
  • Стохастическое дифференциальное уравнение (SPDE) представляет собой уравнение , которое обобщает СДУ , чтобы включать в себя процессы шума пространства-времени, с приложениями в квантовой теории поля и статистической механики .
  • Дифференциальное алгебраическое уравнение (ДАЭ) представляет собой дифференциальное уравнение , содержащее дифференциальные и алгебраические термины, приведенные в неявном виде.

Связь с разностными уравнениями

Теория дифференциальных уравнений тесно связана с теорией разностных уравнений , в которой координаты принимают только дискретные значения, а взаимосвязь включает значения неизвестной функции или функций и значения в близких координатах. Многие методы вычисления численных решений дифференциальных уравнений или изучения свойств дифференциальных уравнений включают аппроксимацию решения дифференциального уравнения решением соответствующего разностного уравнения.

Приложения

Изучение дифференциальных уравнений — обширная область чистой и прикладной математики , физики и техники . Все эти дисциплины связаны со свойствами дифференциальных уравнений различных типов. Чистая математика фокусируется на существовании и единственности решений, в то время как прикладная математика подчеркивает строгое обоснование методов приближения решений. Дифференциальные уравнения играют важную роль в моделировании практически всех физических, технических или биологических процессов, от движения небесных тел до конструкции мостов и взаимодействий между нейронами. Дифференциальные уравнения, такие как те, которые используются для решения реальных задач, не обязательно могут быть решаемы напрямую, т. Е. Не имеют решений в замкнутой форме . Вместо этого решения можно аппроксимировать численными методами .

Многие фундаментальные законы физики и химии можно сформулировать в виде дифференциальных уравнений. В биологии и экономике дифференциальные уравнения используются для моделирования поведения сложных систем. Математическая теория дифференциальных уравнений впервые развивалась вместе с науками, в которых эти уравнения возникли и где результаты нашли применение. Однако различные проблемы, иногда возникающие в совершенно разных областях науки, могут привести к идентичным дифференциальным уравнениям. Когда бы это ни происходило, математическую теорию, лежащую в основе уравнений, можно рассматривать как объединяющий принцип, лежащий в основе различных явлений. В качестве примера рассмотрим распространение света и звука в атмосфере и волн на поверхности пруда. Все они могут быть описаны одним и тем же уравнением в частных производных второго порядка , волновым уравнением , которое позволяет нам думать о свете и звуке как о формах волн, очень похожих на знакомые волны в воде. Теплопроводность, теория которой была разработана Джозефом Фурье , регулируется другим уравнением в частных производных второго порядка — уравнением теплопроводности . Оказывается, многие диффузионные процессы, хотя и кажутся разными, описываются одним и тем же уравнением; Блэка-Шоулза уравнение финансов, например, связанные с уравнением теплопроводности.

Количество дифференциальных уравнений, получивших название, в различных областях науки свидетельствует о важности данной темы. См. Список названных дифференциальных уравнений .

Программное обеспечение

Некоторые программы CAS могут решать дифференциальные уравнения. Стоит упомянуть эти программы CAS и их команды:

Смотрите также

Рекомендации

дальнейшее чтение

  • Abbott, P .; Нил, Х. (2003). Научитесь исчислению . С. 266–277.
  • Blanchard, P .; Девани, Р.Л . ; Холл, GR (2006). Дифференциальные уравнения . Томпсон.
  • Boyce, W .; DiPrima, R .; Мид, Д. (2017). Элементарные дифференциальные уравнения и краевые задачи . Вайли.
  • Коддингтон, EA; Левинсон, Н. (1955). Теория обыкновенных дифференциальных уравнений . Макгроу-Хилл.
  • Инс, Э.Л. (1956). Обыкновенные дифференциальные уравнения . Дувр.
  • Джонсон, В. (1913). Трактат об обыкновенных и дифференциальных уравнениях с частными производными . Джон Вили и сыновья. В исторической математической коллекции Мичиганского университета
  • Полянин А.Д .; Зайцев, В. Ф. (2003). Справочник точных решений обыкновенных дифференциальных уравнений (2-е изд.). Бока-Ратон: Chapman & Hall / CRC Press. ISBN   1-58488-297-2 .
  • Портер, Р.И. (1978). «XIX Дифференциальные уравнения». Дальнейший элементарный анализ .
  • Тешл, Джеральд (2012). Обыкновенные дифференциальные уравнения и динамические системы . Провиденс : Американское математическое общество . ISBN   978-0-8218-8328-0 .
  • Даниэль Цвиллинджер (12 мая 2014 г.). Справочник по дифференциальным уравнениям . Elsevier Science. ISBN   978-1-4832-6396-0 .

Внешние ссылки

Откуда берутся дифференциальные уравнения? // Владимир Побережный ≪ ∀ x, y, z


Математик Владимир Побережный об экспонентах, источниках дифференциальных уравнений и векторном пространстве функций.

Что такое дифференциальные уравнения? Это уравнения на какую-то неизвестную функцию или соотношения, которым должна удовлетворять эта функция и какие-то ее производные (если функция одной переменной, то просто производные, если функция многих переменных, то частные производные). Это обобщение наших обычных уравнений, например алгебраических. Мы сначала учим в школе линейные уравнения, их графики дают прямые на плоскости — бывают квадратичные, кубические и так далее. Это все алгебраические уравнения. Можно брать более сложные функции и более сложные уравнения, они дают какие-то более сложные графики. Объекты, которые они описывают, становятся более сложными, то есть линейные уравнения рисуют прямые, квадратичные — параболы, это все какие-то графики на плоскости или в более общем случае в большой размерности, какие-то поверхности в пространстве той или другой размерности. Поверхности или более сложные объекты, сделанные из поверхностей, — так называемые многообразия и так далее.

Дифференциальные уравнения — это следующий шаг. Уравнения, которые мы сейчас перечислили, задают в пространстве какие-то точки, подмножества точек. Уравнение задает множество точек на плоскости, и мы знаем, что эти точки выглядят как прямая. Это и есть график. Дифференциальные уравнения тоже задают какие-то подмножества, но они заданы уже в пространстве функций, то есть это соотношения, которым удовлетворяют функции. Решение дифференциального уравнения — это какой-то набор подмножества точек в пространстве функций. Пространство функций является бесконечномерным.

Возникает нужда в анализе: как это все устроено и почему мы вообще на это так смотрим? Такой взгляд действительно имеет вполне разумное содержание и смысл. Если мы рассматриваем линейные дифференциальные уравнения, то у нас возникает аналогия с обычными линейными уравнениями. Например, мы знаем, что линейные уравнения на плоскости — это прямая, в пространстве — какая-то гиперплоскость. То есть это какой-то плоский объект. Оказывается, что множество функций, удовлетворяющих линейному дифференциальному уравнению, устроено примерно так же, это в каком-то смысле плоскость, или прямая, или плоскость какой-то размерности, но уже в бесконечномерном пространстве функций (официально это называется векторным пространством). Множество решений линейного дифференциального уравнения образует векторное пространство во множестве всех функций.

Откуда берутся дифференциальные уравнения? Конечно, основной поставщик дифференциальных уравнений (это мы тоже со школы знаем) — это физика и механика. Законы Ньютона, например, ускорение материальной точки (силе, которая на нее действует). Но ускорение — это вторая производная. Вот у вас получилось дифференциальное уравнение (вторая производная координаты) равна какой-то силе . Свойство классической механики состоит в том, что, как правило, уравнения там второго порядка. Видимо, оттуда это возникло, причем, как принято у физиков (это не редкость), дифференциальные уравнения возникли чуть ли не раньше дифференциального исчисления, и решать их тоже (конечно, без построения общей теории) люди начали раньше, чем все эти понятия вообще были определены, и добивались каких-то успехов. Мы знаем, что введение основ дифференциального исчисления произошло как раз во времена Ньютона и Лейбница, то есть практически одновременно с законом Ньютона, в котором уже есть дифференцирование.

Физика не единственный источник этих уравнений. Практически любая околоестественная наука является таким источником. Например, в химии происходят какие-то реакции, скорость реакций зависит от количества и пропорций компонентов. Два вещества смешиваются и как-то превращаются в третье с какой-то скоростью, пропорциональной чему-то. Это дифференциальные уравнения. В биологии тоже есть дифференциальные уравнения.

Конечно, это не биология, а какой-то детский пример. Есть стандартная задача о размножении кроликов. У вас есть парочка кроликов, они с какой-то периодичностью рожают еще пару. У вас была пара кроликов, она родила — стало две пары. Каждая пара еще родила — стало четыре и так далее. Как устроен закон? Видно, что число растет очень быстро, это экспоненциальный рост. Здесь возникает очень интересный, но уже не совсем математический вопрос моделестроительства или адекватного построения модели. Вот мы хотим описать размножение кроликов. Если мы его описываем таким образом, то легко подсчитать, что если уравнение устроено так, что (это из физики идет такое стандартное обозначение; вообще производные функций обычно обозначаются , но если производная по времени, то ее удобно обозначать ) равняется , то есть скорость роста равна числу уже имеющихся пар. Такие уравнения мы умеем решать, это экспонента.

Эта модель, очевидно, не дает нам правильного приближения к жизни, на маленьких порядках немножко дает. С другой стороны, если бы все было в жизни устроено так, то кролики очень быстро бы захватили всю землю во много слоев, некуда было бы между ними наступить. Значит, надо как-то менять наше уравнение, подстраивать свойства модели под картинку, которую мы наблюдаем в жизни, и то, чему хотим быть адекватными. Например, чем больше кроликов, чем чаще они встречаются, тем больше вероятность, что у них возникнет какая-нибудь болезнь, которая будет заразной и будет передаваться от одного к другому, то есть надо вычесть какое-то слагаемое, пропорциональное частоте встреч. А как устроена частота встреч? Если кролики живут в каком-то лесу, каждый кролик занимает какое-то место, надо поделить площадь леса на площадь кроликов и так далее.

Стандартное, вполне обозримое и разумное приближение. Например, добавление в модель волков. У нас есть волки, есть кролики. Кролики как-то размножаются, и волки как-то размножаются. Кроликам для размножения нужен только лес и другие кролики, а волкам нужно что-то есть, им нужны, собственно, кролики. Поэтому скорость роста кроликов (), с одной стороны, равна числу пар (какому-то слагаемому ). С другой стороны, вычитается какое-то неудобство из-за перенаселенности, из-за ограниченности площади. С третьей стороны, вычитается какая-то пропорциональность числу волков, каждый волк кого-то съедает. А волки, в свою очередь, размножаются пропорционально своему имеющемуся числу (не как кролики, но все-таки), к тому же им надо что-то кушать, к тому же они тоже болеют. У нас получается набор, система уравнений. — это наши кролики, а , допустим, волки. Эти два уравнения должны выполняться одновременно, так модель усложняется и усложняется.

Даже в классической механике мы знаем, что если бросаем камень, то вблизи Земли у него ускорение постоянно . Но мы можем, например, добавлять сопротивление воздуха, оно уже зависит от скорости камня, то есть вторая производная будет не , а минус еще какое-то слагаемое, пропорциональное скорости . Например, падает дождевая капля. Во-первых, она падает из-за силы тяжести, во-вторых, тормозится воздухом, в-третьих, если воздух влажный, то она еще и конденсируется, растет, вбирает влажность из окружающего воздуха, то есть у нее меняется масса.

Можно строить разные модели, как-то их усложнять, исследовать те интересные вопросы, которые возникают почти в любом приложении, где как-то используется математика. Но математика ради математики здесь тоже имеется: дифференциальные уравнения — это очень большой отдельный разнообразный раздел со множеством вариаций. Он настолько большой, что даже практически не бывает конференций по дифференциальным уравнениям, потому что нужно более тонкое деление: качественная теория, асимптотические методы, интегрируемые системы, уравнения в частных производных и так далее. Это вполне большая развитая наука, продолжающая развиваться.

Какие основные свойства и характеристики есть у дифференциальных уравнений? Что можно о них сказать? Во-первых, краеугольный камень для обыкновенных дифференциальных уравнений для одной переменной (неважно, вещественной или комплексной, комплексной даже лучше, как всегда это устроено в анализе) — это теорема существования и единственности. Если у вас есть дифференциальное уравнение с достаточно разумными коэффициентами (эти слова формализуются разными способами, например гладкие) и есть начальные данные, то всегда есть локальное решение. Например, вы знаете, что ваш камень как-то падает, знаете, где он был в начальный момент времени и какая у него была в начальный момент времени скорость. После этого у него траектория считается по крайней мере локально, в окрестности этого положения.

Это очень сильный результат, опять-таки похожий на то, что у нас было с обычными уравнениями: мы знаем, что алгебраическое уравнение -того порядка имеет корней. В школе, конечно, учат, что бывает меньше, а потом если кто доучивается дальше, то учит, что нет, на самом деле столько же. Здесь есть аналогия: если уравнение -того порядка, то у него не решений, конечно, их бесконечно много, но множество решений параметризуется параметрами . Если есть уравнение второго порядка (наш камень), надо задать начальное положение и начальную скорость. И вообще, для уравнения -того порядка надо задать начальных данных, и тогда будет всегда существовать решение. Если уравнение линейное, то эти начальных данных — это просто его координаты в -мерном конечномерном векторном пространстве решений.

Это специфика обыкновенных уравнений от одной переменной, но при этом все-таки уравнение локально решается, то есть мы знаем, что решение существует, а вот найти его мы в явном виде можем не всегда. Мы можем использовать какие-то приближенные методы, как-то бороться, но гарантий, что мы напишем какое-то конечное выражение и оно будет решать наше уравнение, нет.

Это была деятельность XIX века, когда люди активно занимались этой областью и изучали уравнения математической физики, из этого возникла целая наука про классические многочленные специальные функции Лежандра, Лагерра, Чебышева. Это была попытка как-то решать уравнения, которые возникали при тогдашнем развитии науки. В явном и конечном виде решения не выписывались, но это совершенно не мешало заниматься их анализом: исследовать свойства, связи, асимптотики. Современная наука занимается более сложными уравнениями. Сейчас, например, вполне популярная деятельность — исследование уравнений Пенлеве. Это такие новые специальные функции — решения уравнений Пенлеве, сейчас занимаются их исследованиями, асимптотикой, связями, геометрическим смыслом, содержанием и так далее по аналогии с физикой XIX века.

Владимир Побережный, кандидат физико-математических наук, научный сотрудник международной лаборатории теории представлений и математической физики, доцент факультета математики НИУ ВШЭ
ПостНаука

Однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

  • Главная
  • Справочник
  • Алгебра
  • Однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Однородные линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами имеют вид

\[y» + py’ + q = 0,\]

где p и q — действительные числа. Рассмотрим на примерах, как решаются однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Решение линейного однородного однородного дифференциального уравнения второго порядка зависит от корней характеристического уравнения. Характеристическое уравнение — это уравнение k²+pk+q=0.

1) Если корни характеристического уравнения — различные действительные числа:

\[{k_1} \in R,{k_2} \in R,{k_1} \ne {k_2},\]

то общее решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид

\[y = {C_1}{e^{{k_1}x}} + {C_2}{e^{{k_2}x}}\]

2) Если корни характеристического уравнения — равные действительные числа

\[{k_1} \in R,{k_2} \in R,{k_1} = {k_2}\]

(например, при дискриминанте, равном нулю), то общее решение однородного дифференциального уравнения второго порядка есть

\[y = {e^{{k_1}x}}({C_1} + {C_2}x)\]

3) Если корни характеристического уравнения — комплексные числа

\[{k_{1,2}} = \alpha \pm \beta i\]

(например, при дискриминанте, равном отрицательному числу), то общее решение однородного дифференциального уравнения второго порядка записывается в виде

\[y = {e^{\alpha x}}({C_1}\cos \beta x + {C_2}\sin \beta x). \]

В вашем браузере отключен Javascript.
Чтобы произвести расчеты, необходимо разрешить элементы ActiveX!