3.2.4. Неравенства с модулем

Глава 3. Решение уравнений и неравенств

3.2.

3.2.4.

Основные способы решений неравенств с модулем во многом совпадают с методами решения аналогичных уравнений. Единственное отличие, пожалуй, связано с тем, что, решая неравенства с модулем (как, впрочем, и неравенства вообще), нужно очень внимательно совершать равносильные переходы и следить не только за тем, чтобы не приобрести новые решения, но и за тем, чтобы не потерять уже имеющиеся.

Стандартный путь решения неравенств с модулем заключается в том, что координатная прямая разбивается на промежутки (границами этих промежутков являются нули подмодульных выражений), а затем неравенство решается на каждом из промежутков.

Этот метод работает всегда. Правда, в отдельных случаях может быть затруднена его техническая реализация, например, очень тяжело или невозможно найти корни подмодульных выражений и пр. Однако, это сложности иного плана. Нужно понимать, что раскрытие модуля по определению неизменно приводит к цели. Конечно же, этот метод не является оптимальным: в условиях конкурсного экзамена важен не только результат, но и то время, которое потрачено на его получение.

Рассмотрим методы, не связанные с поиском нулей функций, стоящих под знаком модуля.

Рассмотрим неравенство Очевидно, что те x, для которых g (x) < 0, не являются решениями. Значит, если x является решением, то для него g (x) ≥ 0, и согласно геометрическому смыслу модуля, как расстоянию на координатной оси, данное неравенство равносильно системе Таким образом, имеем

Аналогично можно рассмотреть неравенство Неравенство выполнено для тех x, для которых g (x) < 0 и функции f (x) и g (x) определены. Для тех x, для которых g (x) ≥ 0, имеем равносильную совокупность

Заметим, что последняя совокупность является равносильной нашему неравенству и при g (x) ≤ 0. В этом можно непосредственно убедиться, учтя g (x) ≤ 0 и вспомнив определение знака совокупности.

Как видно, в простых случаях особых преимуществ метод перехода к равносильной системе не имеет, но иногда его преимущества весьма заметны.

Пример 2

Решите неравенство

Как видно, найти значения x, при которых подмодульное выражение обращается в нуль, чрезвычайно затруднительно. Однако переход к равносильной системе значительно упрощает дело. Имеем: Ответ.



25. Неравенства с модулем | Контрольные работы по математике и другим п

I тип: Неравенство содержит некоторое выражение под модулем и число вне модуля:

где (3.27)

Решение зависит от знака числа А.

1. Если то неравенство (3.27) не имеет решений.

2. Если то неравенство (3.27) равносильно системе неравенств

где (3.28)

1. Если то неравенство (3.28) не имеет решений.

2. Если то неравенство (3.28) равносильно уравнению

3. Если , то неравенство (3.28) равносильно системе неравенств

где (3.29)

1. Если то решением неравенства (3.29) является множество всех значений Х из ОДЗ выражения

2. Если то решением неравенства (3.29) является множество всех значений Х из ОДЗ выражения таких, что

3. Если то неравенство (3.29) равносильно совокупности

где (3.30)

1. Если то решением неравенства (3.30) является множество всех значений

Х из ОДЗ выражения

2. Если то неравенство (3.30) равносильно совокупности

II тип: Неравенство, которое содержит выражение с переменной под знаком модуля и вне его:

(3.31)

Где – некоторые выражения с переменной Х.

Для решения неравенств типа (3.31) можно использовать следующие способы.

1-й способ: используя определение модуля, получаем равносильную совокупность систем:

2-й способ: Решаем аналогично решению неравенства (3.29) при дополнительном ограничении на знак выражения

1. Если

(3.32)

То решением является множество всех значений Х из ОДЗ выражения которые удовлетворяют условию (3. 32).

2. Если

То решением является множество всех значений Х, которые удовлетворяют системе

3. Если решение определяется системой

Ответом в решении неравенства (3.31) является объединение всех решений, полученных на этапах 1–3.

3-й способ: метод интервалов.

Для решения необходимо:

1) найти значения Х, для которых

2) найденные значения Х нанести на числовую ось;

3) определить знак выражения на всех полученных промежутках;

4) нарисовать кривую знаков;

5) раскрыть модуль, пользуясь рисунком, и получить соответствующее неравенство, которое следует решить вместе с условием принадлежности переменной Х определенному промежутку;

6) в ответе неравенства указать совокупность полученных решений.

III тип: Неравенство содержит несколько модулей и решается двумя способами:

1-й способ: Можно использовать определение модуля и решать совокупность систем неравенств.

Этот способ, как правило, не является рациональным.

2-й способ: использовать метод интервалов. Необходимо нарисовать столько числовых осей и кривых знаков, сколько модулей содержится в неравенстве. Для каждого промежутка следует решать полученное после раскрытия модулей неравенство при условии, что переменная Х принадлежит конкретному промежутку. В ответе указывают объединение всех полученных решений.

IV тип: Неравенство вида

где (3.33)

Решается двумя способами:

1-й способ: метод интервалов.

2-й способ: согласно теореме равносильности (см. свойства равносильности неравенств (3.22) и (3.23)) неравенство (3.33) можно возводить в квадрат:

Решение неравенства (3.33) сводится к решению неравенства

Аналогично решают неравенства IV типа (3.33), если они заданы со знаками

V тип: Неравенства, решаемые заменой переменной.

В таком случае выражение с модулем обозначают новой переменной. Неравенство с новой переменной решают до конца (т. е. до возможного получения промежутков решения для новой переменной). Затем возвращаются к старой переменной и решают полученные неравенства с модулем как неравенства I типа.

Пример 1. Решить неравенства:

1) 2)

3) 4)

5) 6)

Решение. 1) Решаем как неравенство I типа:

Получаем ответ:

2) Решаем как неравенство I типа:

Второе неравенство совокупности не имеет решения (соответствующая парабола лежит над осью Ох). Первое неравенство сводится к виду

Его решение: это и есть ответ.

3) Решаем как неравенство II типа. Оно имеет решение, если Поэтому получаем равносильную систему:

Получаем ответ:

4) Заданное неравенство может быть записано в виде

Заменим переменную Решаем неравенство

Его решение

Возвращаемся к переменной Х и решаем совокупность

Получаем

Т.  е. приходим к ответу

5) Для решения неравенства используем метод интервалов. Запишем неравенство в виде

Построим числовые прямые и определим знаки выражений, стоящих под модулем (рис. 3.10).

ОДЗ:

Рис. 3.10

А) рассмотрим неравенство на 1-м промежутке. Получаем систему

(3.34)

Решаем неравенство

Получаем

Система (3.34) сводится к системе

На данном промежутке решений нет.

Б)

Если , то С учетом рассматриваемого промежутка имеем:

Получаем

В)

Решением является промежуток:

Объединим полученные решения и приходим к ответу:

6)

ОДЗ:

Введем новую переменную:

тогда и приходим к неравенству вида

Решаем его

Используем метод интервалов (рис. 3.11).

Рис. 3.11

Запишем полученное решение в виде совокупности:

Вернемся к переменной Х:

(3.35)

– выполняется при любых

С учетом ОДЗ второе неравенство системы (3.35) равносильно системе

Получаем ответ:

< Предыдущая		Следующая >

8 класс неравенства с модулем

Вы искали 8 класс неравенства с модулем? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь. Подробное решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и алгоритм решения неравенств с модулем, не исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению в вуз. И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели — у нас уже есть решение. Например, «8 класс неравенства с модулем».

Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который может решить задачи, такие, как 8 класс неравенства с модулем,алгоритм решения неравенств с модулем,дробные неравенства с модулем,дробные неравенства с модулем как решать,как раскрывается модуль в неравенствах,как раскрывать модуль в неравенствах,как раскрыть модуль в неравенстве,как решать дробные неравенства с модулем,как решать модульные неравенства,как решать неравенства с двумя модулями,как решать неравенства с модулем,как решать неравенства с модулем 10 класс,как решать неравенства с модулем 8 класс,как решать неравенства с модулем 9 класс,как решать неравенства с модулем дробные,как решать неравенства с модулями,как решать неравенство с двумя модулями,как решаются неравенства с модулем,как решить неравенства с модулем,как решить неравенство с модулем,как решить неравенство с модулем 9 класс,как решить систему неравенств с модулем,калькулятор неравенств с модулем,квадратное неравенство с модулем,квадратные неравенства с модулем,квадратные неравенства с модулем примеры решения,линейные неравенства с модулем,линейные неравенства с модулем примеры решения,методы решения неравенств с модулем,модули неравенства,модуль больше модуля,модуль в неравенствах,модуль неравенства,модульное неравенство,модульные неравенства,модульные неравенства как решать,модульные неравенства решение,неравенств с модулем,неравенства дробные с модулем,неравенства модули,неравенства модуль,неравенства онлайн с модулем,неравенства с двумя модулями как решать,неравенства с двумя модулями решение,неравенства с модулем,неравенства с модулем 10 класс,неравенства с модулем 10 класс как решать,неравенства с модулем 10 класс примеры,неравенства с модулем 8 класс примеры решения,неравенства с модулем 9 класс,неравенства с модулем 9 класс как решать,неравенства с модулем 9 класс примеры решения,неравенства с модулем дробные,неравенства с модулем как решать,неравенства с модулем как решать 8 класс,неравенства с модулем как решать 9 класс,неравенства с модулем квадратные,неравенства с модулем онлайн,неравенства с модулем онлайн решение,неравенства с модулем примеры,неравенства с модулем примеры 10 класс,неравенства с модулем примеры решения,неравенства с модулем примеры решения 10 класс,неравенства с модулем примеры решения 8 класс,неравенства с модулем примеры решения 9 класс,неравенства с модулем решение,неравенства с модулем решение онлайн,неравенства с модулем сложные,неравенства с модулем теория,неравенства с модулями,неравенства с модулями как решать,неравенства с модулями онлайн,неравенства с модулями примеры,неравенства содержащие модуль,неравенство с двумя модулями,неравенство с двумя модулями как решать,неравенство с модулем,неравенство с модулем квадратное,неравенство с модулем примеры,неравенство с модулем решение,неравенство с модулем решение онлайн,неравенство с модулем решить онлайн,онлайн неравенства с модулем,онлайн решение неравенств с модулем,онлайн решение неравенств с модулями,онлайн решение неравенства с модулем,примеры неравенств с модулем,примеры неравенства с модулем,примеры неравенства с модулями,примеры решение неравенств с модулем,примеры с модулем неравенства,простейшие неравенства с модулем,раскрытие модуля в неравенствах,решение квадратных неравенств с модулем,решение модулей неравенства,решение модульных неравенств,решение неравенств методом интервалов с модулем,решение неравенств онлайн с модулем,решение неравенств онлайн с модулями,решение неравенств с двумя модулями,решение неравенств с модулем,решение неравенств с модулем 10 класс примеры,решение неравенств с модулем калькулятор онлайн,решение неравенств с модулем методом интервалов,решение неравенств с модулем онлайн,решение неравенств с модулем онлайн с подробным решением,решение неравенств с модулем примеры,решение неравенств с модулем примеры 10 класс,решение неравенств с модулем решение онлайн,решение неравенств с модулем с подробным решением,решение неравенств с модулями,решение неравенств с модулями 10 класс,решение неравенств с модулями онлайн,решение неравенств содержащих модуль,решение неравенства модулей,решение неравенства онлайн с модулем,решение неравенства с двумя модулями,решение неравенства с модулем,решение неравенства с модулем онлайн,решение неравенство с модулем онлайн,решение онлайн модульных неравенств,решение онлайн неравенства с модулем,решения неравенств с модулем,решите неравенство с модулем,решить неравенства с модулем онлайн с решением,решить неравенство онлайн с модулем,решить неравенство онлайн с модулем с подробным решением,решить неравенство онлайн с подробным решением с модулем,решить неравенство с модулем,решить неравенство с модулем онлайн с подробным решением,решить неравенство с модулем онлайн с решением,решить онлайн неравенство с модулем,системы неравенств с модулем,сложные неравенства с модулем,способы решения неравенств с модулем,способы решения неравенств с модулями,теория неравенства с модулем,уравнения и неравенства с модулем 8 класс,уравнения и неравенства с модулем примеры с решением. На этой странице вы найдёте калькулятор, который поможет решить любой вопрос, в том числе и 8 класс неравенства с модулем. Просто введите задачу в окошко и нажмите «решить» здесь (например, дробные неравенства с модулем).

Где можно решить любую задачу по математике, а так же 8 класс неравенства с модулем Онлайн?

Решить задачу 8 класс неравенства с модулем вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице калькулятора.

Неравенства с модулем. Новый взгляд на решение

Математика является символом мудрости науки,

эталоном совершенства и красоты в науке.

Российский философ, профессор   А.В. Волошинов

    Наиболее сложно решаемыми задачами школьной математики являются неравенства, содержащие переменные под знаком модуля. Для успешного решения таких неравенств необходимо хорошо знать свойства модуля и иметь навыки их использования.

Основные понятия и свойства

    Модуль (абсолютная величина) действительного числа обозначается и определяется следующим образом:

    К простым свойствам модуля относятся следующие соотношения:

,  ,    и  .

    Отметим, что последние два свойства справедливы для любой четной степени.

    Кроме того, если  , где  , то    и  

    Более сложные свойства модуля, которые можно эффективно использовать при  решении уравнений и неравенств с модулями, формулируются посредством следующих теорем:  

    Теорема 1. Для любых аналитических функций  и    справедливо неравенство  .   

    Теорема 2. Равенство равносильно неравенству  .

   

    Теорема 3. Равенство равносильно неравенству .

    Наиболее распространенными в школьной математике неравенствами, содержащие неизвестные переменные под знаком модуля, являются неравенства вида и  , где  некоторая положительная константа.

    Теорема 4. Неравенство равносильно двойному неравенству , а решение неравенства    сводится к решению совокупности неравенств    и  .                                         

    Данная теорема является частным случаем теорем 6 и 7.   

    Более сложными неравенствами, содержащие модуль, являются неравенства вида  ,  и  .

    Методы решения таких неравенств можно сформулировать посредством следующих трех теорем.   

    Теорема 5. Неравенство равносильно совокупности двух систем неравенств  

  и                  (1)

    Доказательство.  Так как  , то

,      или   .

    Отсюда вытекает справедливость (1).   

    Теорема 6. Неравенство равносильно системе неравенств  

               (2)

    Доказательство.  Так как  , то из неравенства   следует, что  . При таком условии неравенство   будет равносильно неравенству   и при этом вторая система неравенств (1) окажется несовместной.

    Теорема доказана.   

    Теорема 7. Неравенство равносильно совокупности одного неравенства и двух систем неравенств   

,        и                    (3)  

    Доказательство.  Поскольку , то неравенство всегда выполняется, если  .

    Пусть  , тогда неравенство будет равносильно неравенству  , из которого вытекает совокупность двух неравенств    и .

    Теорема доказана.

    Рассмотрим типовые примеры решения задач на тему «Неравенства, содержащие переменные под знаком модуля».

Решение неравенств с модулем

    Наиболее простым  методом решения неравенств с модулем является метод, основанный на раскрытии модулей. Этот метод является универсальным, однако в общем случае его применение может привести к весьма громоздким вычислениям. Поэтому учащиеся должны знать и другие (более эффективные) методы и приемы решения таких неравенств. В частности, необходимо иметь навыки применения теорем, приведенных в настоящей статье. 

Пример 1. Решить неравенство

.               (4) 

Решение. Неравенство (4) будем решать «классическим» методом – методом раскрытия модулей. С этой целью разобьем числовую ось точками    и    на интервалы и рассмотрим три случая.

1.  Если , то , , , и неравенство (4) принимает вид    или  .

Так как здесь  рассматривается случай , то является решением неравенства (4).

2. Если  , то из неравенства (4) получаем   или  . Так как  пересечение интервалов    и   является пустым, то на рассматриваемом интервале решений неравенства (4) нет.

3. Если  , то неравенство (4) принимает вид   или . Очевидно, что   также является решением неравенства (4).

Ответ:  ,  .   

Пример 2. Решить неравенство  .  

Решение. Положим, что  . Так как  , то заданное неравенство принимает вид    или   . Поскольку  , то    и отсюда следует    или  .                                         

Однако  , поэтому    или .

Ответ:  .

Пример 3. Решить неравенство

.               (5) 

Решение.      Так как  , то неравенство (5) равносильно неравенствам    или  . Отсюда, согласно теореме 4, имеем совокупность неравенств     и  .

Ответ:  ,  .

Пример 4. Решить неравенство

.               (6)

Решение. Обозначим  . Тогда из неравенства (6) получаем неравенства    ,  ,    или  .

Отсюда, используя метод интервалов, получаем  . Так как , то здесь имеем систему неравенств

               (7)

Решением первого неравенства системы (7) является объединение двух интервалов    и  , а решением второго неравенства – двойное неравенство  . Отсюда следует, что решение системы неравенств (7) представляет собой объединение двух интервалов  и  .

Ответ:  ,

Пример 5. Решить неравенство

.               (8)

 

Решение. Преобразуем неравенство (8) следующим образом:

,   ,

  или   .

Применяя метод интервалов, получаем решение неравенства (8).

Ответ: .

Примечание. Если в условии теоремы 5 положить  и , то получим .

Пример 6. Решить неравенство

.               (9)

Решение. Из неравенства (9) следует  . Преобразуем неравенство (9) следующим образом:

,  ,

,    или   

.

Так как  , то    или  .

Ответ:  .

 

Пример 7. Решить неравенство 

.               (10)

Решение. Так как    и  , то      или  .

В этой связи   и неравенство (10) принимает вид

  или

.               (11)

Отсюда  следует, что  или  . Так как  , то   и из неравенства (11) вытекает    или  .

Ответ: .

Примечание.  Если к левой части неравенства (10) применить теорему 1, то получим . Отсюда и из неравенства (10) следует, что    или  . Так как  , то неравенство (10) принимает вид    или  . 

   

Пример 8. Решить неравенство

.               (12)   

Решение.  Так как , то и из неравенства (12) следует  или . Однако , поэтому    или  . Отсюда получаем    или  .

Ответ:  .

    

Пример 9. Решить неравенство

 

                                                     .                                        (13)

Решение.  Согласно теореме 7 решением неравенства (13) являются    или  .

Пусть теперь  .  В таком случае   и неравенство (13) принимает вид    или  .

Если объединить интервалы и  , то получим решение неравенства (13) вида  .

Ответ:  .

 

Пример 10. Решить неравенство

.                (14)

Решение.    Перепишем неравенство (14) в равносильном виде: . Если к левой части данного неравенства применить теорему 1, то получим неравенство  .

Отсюда и из теоремы 1 следует, что неравенство (14) выполняется для любых значений  .

Ответ:  любое число.

   

Пример 11. Решить неравенство

.               (15)

Решение. Применяя теорему 1 к левой части неравенства (15), получаем . Отсюда и из неравенства (15) вытекает уравнение , которое имеет вид  .

Согласно теореме 3, уравнение равносильно неравенству . Отсюда получаем .

Ответ:  .

Пример 12. Решить неравенство

.               (16)

Решение. Из неравенства (16), согласно теореме 4, получаем систему неравенств  

    или      

При решении неравенства воспользуемся теоремой 6 и получим систему неравенств    из которой следует .  

Рассмотрим неравенство . Согласно теореме 7, получаем совокупность неравенств   и .  Второе неравенство совокупности справедливо для любого действительного  .

Следовательно, решением неравенства (16) являются  .

Ответ:  .

Пример 13. Решить неравенство

.               (17)

Решение.  Согласно теореме 1 можно записать

               (18)

Принимая во внимание неравенство (17), делаем вывод о том, что оба неравенства (18) обращаются в равенства, т.е. имеет место система уравнений

По теореме 3 данная система уравнений равносильна системе неравенств

   или    

Ответ:  .

   

Пример 14. Решить неравенство

.               (19)

Решение. Так как , то .  Умножим обе части неравенства (19) на выражение , которое для любых значений  принимает только положительные значения. Тогда получим неравенство, которое равносильно неравенству (19), вида    

.

Отсюда получаем    или , где .  Так как  и ,  то решением неравенства (19) являются   и .

Ответ: , .

    Для более глубокого изучения методов решения неравенств с модулем можно посоветовать обратиться к учебным пособиям, приведенных в списке рекомендованной литературы.

Рекомендуемая литература

1. Сборник задач по математике для поступающих во втузы / Под ред. М.И. Сканави. – М.: Мир и Образование, 2013. – 608 с.

2. Супрун В.П. Математика для старшеклассников: методы решения и доказательства неравенств. – М.: Ленанд / URSS, 2018. – 264 с.

3. Супрун В.П. Математика для старшеклассников: нестандартные методы решения задач. – М.: КД «Либроком» / URSS, 2017. – 296 с. 

Остались вопросы? 

Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь.

© blog.tutoronline.ru, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Урок «Решение неравенств с модулем, содержащих параметр»

Тема: Решение неравенств с модулем, содержащих параметр.

Цели урока:

Обучающая — познакомить с методом решения неравенств с модулем, содержащих параметр.
Развивающая — развитие познавательной активности, логического мышления.
Воспитательная — воспитание организованности, внимания, математической наблюдательности.

ТСО: Проектор, компьютер. Дискета со приложениями №1,№2. Переносная доска.

Наглядность: таблица с формулами

Ход урока:

I. Актуализация знаний и проверка домашнего задания.

Вступительное слово учителя.

Задачи  с параметром встречаются на ЕГЭ в группе «С» под номерами 3 и 5.
Так как среди вас есть те, кто претендует на высокий балл, то тема важна для изучения. Начнем с повторения ключевых задач по теме «Решение  неравенств с модулем».
Назовите идею решения  неравенств, записанных на доске и решите их:

Ответы.	Ученик.
	Фёдоров С. Свиршевская М. Васильева А. Михеев А.

На переносной доске работает Клинов А.
Решить неравенство:              
Приходилось ли вам встречать и другие способы решения неравенств?

Ответ: графический. Приложение 1.
Рассмотрим, в чем заключается графический способ решения.
Решить неравенство : 
Соловцов:  – строим графики функций   
Отмечаем точку пересечения графиков А.
Знак  >  понимаем так, что 1 график выше графика 2 и пишем ответ: X < 2

Приложение 1.

Повторим алгоритм решения линейных неравенств с параметром: 
Клинов А. объясняет решение на переносной доске. 
x(a+1)<a
если  
если
если

II. Изучение новой темы:

Учитель: рассмотрим  методы решения типовых примеров.

В числовых неравенствах заменив число  на букву,  получим неравенство с параметром.
Рассмотрим методы решения  этих неравенств. Они аналогичны рассмотренным способам решения неравенств с модулем.

Т.к. знак модуля определён, т.е.    
Решение зависит от выражения  а+1

Учитель: решим следующее неравенство:

Ответ:
Если ;

Учитель: Решим 3 пример.

Какими способами можно решить неравенство, если бы вместо буквы а  стояло число?
Ответ: возведение обеих частей неравенства в квадрат, методом «промежутков».
Те же способы применяются и для неравенства с параметром.
Методом «промежутков» пойдет решать Семенова Д.
Методом возведения в квадрат- Федоров С.
,
,

Проверили решения данного примера.
Каким еще способом можно решить данное неравенство?
Ответ:  графический.
Показывается приложение 2.
1.Строим графики функций
Найдем те значения переменной Х, когда  первый график лежит выше второго.

Приложение 2.
Возможны варианты,  когда а < 5  и а > 5

Рассмотрев различные способы решения, сделаем вывод- какой метод наиболее рациональный? Какими методами можно решить неравенства с параметром?

Вывод:
Методы решения неравенств с модулем, содержащие параметр, аналогичны тем, что применяются при решении числовых неравенств с модулем: по определению модуля, возведение обеих частей в квадрат, метод интервалов, графический. Необходимо выбирать наиболее рациональный.

Домашнее задание:
Подобрать и решить 3 уравнения с модулем, 3 неравенства  с модулем и 3 неравенства с модулем, содержащие параметр. Можно придумать самим.

Комплексные неравенства с модулем. Калькулятор онлайн.Решение уравнений и неравенств с модулями

решение неравенства в режиме онлайн решение почти любого заданного неравенства онлайн . Математические неравенства онлайн для решения математики. Быстро найти решение неравенства в режиме онлайн . Сайт www.сайт позволяет найти решение почти любого заданного алгебраического , тригонометрического или трансцендентного неравенства онлайн . При изучении практически любого раздела математики на разных этапах приходится решать неравенства онлайн . Чтобы получить ответ сразу, а главное точный ответ, необходим ресурс, позволяющий это сделать. Благодаря сайту www.сайт решение неравенства онлайн займет несколько минут. Основное преимущество www.сайт при решении математических неравенства онлайн — это скорость и точность выдаваемого ответа. Сайт способен решать любые алгебраические неравенства онлайн , тригонометрические неравенства онлайн , трансцендентные неравенства онлайн , а также неравенства с неизвестными параметрами в режиме онлайн . Неравенства служат мощным математическим аппаратом решения практических задач. C помощью математических неравенств можно выразить факты и соотношения, которые могут показаться на первый взгляд запутанными и сложными. Неизвестные величины неравенств можно найти, сформулировав задачу на математическом языке в виде неравенств и решить полученную задачу в режиме онлайн на сайте www.сайт. Любое алгебраическое неравенство , тригонометрическое неравенство или неравенства содержащие трансцендентные функции Вы легко решите онлайн и получите точный ответ. Изучая естественные науки, неизбежно сталкиваешься с необходимостью решения неравенств . При этом ответ должен быть точным и получить его необходимо сразу в режиме онлайн . Поэтому для решения математических неравенств онлайн мы рекомендуем сайт www.сайт, который станет вашим незаменимым калькулятором для решения алгебраических неравенств онлайн , тригонометрических неравенств онлайн , а также трансцендентных неравенств онлайн или неравенств с неизвестными параметрами. Для практических задач по нахождению инетравол решений различных математических неравенств ресурса www.. Решая неравенства онлайн самостоятельно, полезно проверить полученный ответ, используя онлайн решение неравенств на сайте www.сайт. Необходимо правильно записать неравенство и моментально получите онлайн решение , после чего останется только сравнить ответ с Вашим решением неравенства. Проверка ответа займет не более минуты, достаточно решить неравенство онлайн и сравнить ответы. Это поможет Вам избежать ошибок в решении и вовремя скорректировать ответ при решении неравенств онлайн будь то алгебраическое , тригонометрическое , трансцендентное или неравенство с неизвестными параметрами.

Приложение

Решение неравенств онлайн на Math34.biz для закрепления студентами и школьниками пройденного материала. И тренировки своих практических навыков. Неравенство в математике — утверждение об относительной величине или порядке двух объектов (один из объектов меньше или не больше другого), или о том, что два объекта не одинаковы (отрицание равенства). В элементарной математике изучают числовые неравенства, в общей алгебре, анализе, геометрии рассматриваются неравенства также и между объектами нечисловой природы. Для решения неравенства обязательно должны быть определены обе его части с одним из знаков неравенства между ними. Строгие неравенства подразумевают неравенство двух объектов. В отличие от строгих, нестрогие неравенства допускают равенство входящих в него объектов. Линейные неравенства представляют собой простейшие с точки зрения начала изучения выражения, и для решения таких неравенств используются самые простые методики. Главная ошибка учеников в решении неравенств онлайн в том, что они не различают особенность строгого и нестрогого неравенства, от чего зависит войдут или нет граничные значения в конечный ответ. Несколько неравенств, связанных между собой несколькими неизвестными, называют системой неравенств. Решением неравенств из системы является некая область на плоскости, либо объемная фигура в трехмерном пространстве. Наряду с этим абстрагируются n-мерными пространствами, однако при решении таких неравенств зачастую не обойтись без специальных вычислительных машин. Для каждого неравенства в отдельности нужно найти значения неизвестного на границах области решения. Множество всех решений неравенства и является его ответом. Замена одного неравенства равносильным ему другим неравенством называется равносильным переходом от одного неравенства к другому. Аналогичный подход встречается и в других дисциплинах, потому что помогает привести выражения к стандартному виду. Вы оцените по достоинству все преимущества решение неравенств онлайн на нашем сайте. Неравенство — это выражение, содержащее один из знаков = >. По сути это логическое выражение. Оно может быть либо верным, либо нет — в зависимости от того, что стоит справа и слева в этом неравенстве. Разъяснение смысла неравенства и основные приемы решения неравенств изучаются на разных курсах, а также в школе. Решение любых неравенств онлайн — неравенства с модулем, алгебраические, тригонометрические, трансцендентные неравенства онлайн. Тождественное неравенство, как строгие и нестрогие неравенства, упрощают процесс достижения конечного результата, являются вспомогательным инструментом для разрешения поставленной задачи. Решение любых неравенств и систем неравенств, будь то логарифмические, показательные, тригонометрические или квадратных неравенства, обеспечивается с помощью изначально правильного подхода к этому важному процессу. Решение неравенств онлайн на сайте сайт всегда доступно всем пользователям и абсолютно бесплатно. Решениями неравенства с одной переменной называются значения переменной, которые обращают его в верное числовое выражение. Уравнения и неравенства с модулем: модуль действительного числа — это абсолютная величина этого числа. Стандартный метод решения этих неравенств заключается в возведении обеих частей неравенства в нужную степень. Неравенства – это выражения, указывающие на сравнение чисел, поэтому грамотное решение неравенств обеспечивает точность таких сравнений. Они бывают строгими (больше, меньше) и нестрогими (больше или равно, меньше или равно). Решить неравенство – значит найти все те значения переменных, которые при подстановке в исходное выражение обращают его в верное числовое представление.. Понятие неравенства, его сущность и особенности, классификация и разновидности — вот что определяет специфику данного математического раздела. Основные свойства числовых неравенств, применимые ко всем объектам данного класса, обязательно должны быть изучены учениками на начальном этапе ознакомления с данной темой. Неравенства и промежутки числовой прямой очень тесно связаны, когда речь идет о решении неравенств онлайн. Графическое обозначение решения неравенства наглядно показывает суть такого выражения, становится понятно к чему следует стремиться при решении какой-либо поставленной задачи. В основу понятия неравенства входит сравнение двух или нескольких объектов. Неравенства, содержащие переменную, решаются как аналогично составленные уравнения, после чего делается выборка интервалов, которые будут приняты за ответ. Любое алгебраическое неравенство, тригонометрическое неравенство или неравенства содержащие трансцендентные функции, вы с легкостью и мгновенно сможете решить, используя наш бесплатный сервис. Число является решением неравенства, если при подстановке этого числа вместо переменной получаем верное выражение, то есть знак неравенства показывает истинное понятие.. Решение неравенств онлайн на сайт каждый день для полноценного изучения студентами пройденного материала и закрепления своих практических навыков. Зачастую тема неравенства онлайн в математике изучается школьниками после прохождения раздела уравнений. Как и положено применяются все принципы при решении, чтобы определить интервалы решений. Найти в аналитическом виде ответ бывает сложнее, чем сделать то же самое, но в числовом виде. Однако такой подход дает более наглядное и полное представление об целостности решения неравенства. Сложность может возникнуть на этапе построения линии абсцисс и нанесения точек решения однотипного уравнения. После этого решение неравенств сводится к определению знака функции на каждом выявленном интервале с целью определения возрастания или убывания функции. Для этого необходимо поочередно подставлять к значениям, заключенных внутри каждого интервала, в исходную функцию и проверять её значение на положительность или отрицательность. В этом есть суть нахождения всех решений, в том числе интервалов решений. Когда вы сами решите неравенство и увидите все интервалы с решениями, то поймете, насколько применим такой подход для дальнейших действий. Сайт сайт предлагает вам перепроверить свои результаты вычислений с помощью мощного современного калькулятора на этой странице. Вы сможете с легкостью выявить неточности и недочеты в своих расчетах, использую уникальный решебник неравенств. Студенты часто задаются вопросом, где найти такой полезный ресурс? Благодаря инновационному подходу к возможности определения потребностей инженеров, калькулятор создан на базе мощных вычислительных серверов с использованием только новых технологий. По сути решение неравенств онлайн заключается в решении уравнения с вычислением всех возможных корней. Полученные решения отмечаются на прямой, а далее производится стандартная операция по определению значения функции на каждом промежутке. А что же делать, если корни уравнения получаются комплексные, как в этом случае решить неравенство в полной форме, которое бы удовлетворяло всем правилам написания результата? Ответ на этот и многие другие вопросы с легкость даст наш сервис сайт, для которого нет ничего невозможного в решении математических задач онлайн. В пользу вышесказанного добавим следующее: каждый, кто всерьез занимается изучением такой дисциплиной как математика, обязан изучить тему неравенств. Неравенства бывают разных типов и решить неравенство онлайн порой сделать непросто, так как необходимо знать принципы подходов к каждому из них. На этом базируется основа успеха и стабильности. Для примера можно рассмотреть такие типы, как логарифмические неравенства или трансцендентные неравенства. Это вообще особый вид таких, сложных на первый взгляд, задач для студентов, тем более для школьников. Преподаватели институтов уделяют немало времени из подготовки практикантов для достижения профессиональных навыков в работе. К таким же типам отнесем тригонометрические неравенства и обозначим общий подход при решении множества практических примеров из постановочной задачи. В ряде случаев сначала нужно привести все к уравнению, упростить его, разложить на разные множители, короче говоря, привести к вполне наглядному виду. Во все времена человечество стремилось найти оптимальный подход в любых начинаниях. Благодаря современным технологиям, человечество сделало просто огромный прорыв в будущее свое развитие. Инновации все чаще и чаще, день за днем вливаются в нашу жизнь. В основу вычислительной техники легла, разумеется, математика со своим принципами и строгим подходом к делу. сайт представляет собой общий математический ресурс, в котором имеется разработанный калькулятор неравенств и многие другие полезные сервисы. Используйте наш сайт и у вас будет уверенность в правильности решенных задач. Из теории известно, что объекты нечисловой природы также изучаются неравенствами онлайн, только этот подход представляет собой особый способ изучения данного раздела в алгебре, геометрии и других направлениях математики. Решать неравенства можно по-разному, неизменным остается конечная проверка решений и лучше всего это делать прямой подстановкой значений в само неравенство. Во многих случаях полученный ответ очевиден и его легко проверить в уме. Предположим нам задано решить дробное неравенство, в котором присутствуют искомые переменные в знаменателях дробных выражений. Тогда решение неравенств сведется к приведению всех слагаемых к общему знаменателю, предварительно переместив все в левую и правую часть неравенства. Далее нужно решить однородное уравнение, полученное в знаменателе дроби. Эти числовые корни будут точками, не включенными в интервалы общего решения неравенства, или ка их еще называют — проколотые точки, в которых функция обращается в бесконечность, то есть функция не определена, а можно только получить ее предельное значение в данной точке. Решив полученное в числителе уравнение, все точки нанесем на числовую ось. Заштрихуем те точки, в которых числитель дроби обращаемся в ноль. Соответственно все остальные точки оставляем пустыми или проколотыми. Найдем знак дроби на каждом интервале и после этого выпишем окончательный ответ. Если на границах интервала будут заштрихованные точки, то тогда включаем эти значения в решение. Если на границах интервала будут проколотые точки — эти значения в решение не включаем. После того, как решите неравенство, вам потребуется в обязательном порядке проверить полученный результат. Можно это сделать руками, каждое значение из интервалов ответа поочередно подставить в начальное выражение и выявить ошибки. Сайт сайт с легкостью выдаст вам все решения неравенства, и вы сразу сравните полученные вами и калькулятором ответы. Если все-таки ошибка будет иметь место, то на нашем ресурсе решение неравенств онлайн окажется вам очень полезным. Рекомендуем всем студентам вначале приступать не к решению напрямую неравенства, а сначала получить результат на сайт, потому что в дальнейшем будет намного проще самому сделать правильный расчет. В текстовых задачах практически всегда решение сводится к составлению системы неравенств с несколькими неизвестными. Решить неравенство онлайн в считанные секунды поможет наш ресурс. При этом решение будет произведено мощной вычислительной программой с высокой точностью и без всяких погрешностей в конечном ответе. Тем самым вы сможете сэкономить колоссальное количество времени на решении данным калькулятором примеров. В ряде случаев школьники испытывают затруднения, когда на практике или в лабораторных работах встречают логарифмические неравенства, а еще хуже, когда видят перед собой тригонометрические неравенства со сложными дробными выражениями с синусами, косинусами или вообще с обратными тригонометрическими функциями. Как ни крути, но без помощи калькулятора неравенств справиться будет очень сложно и не исключены ошибки на любом этапе решения задачи. Пользуйтесь ресурсом сайт совершенно бесплатно, он доступен каждому пользователю каждый день. Начинать действовать с нашего сервиса-помощника очень хорошая идея, поскольку аналогов существует множество, а по-настоящему качественных сервисов единицы. Мы гарантируем точность вычислений при длительности поиска ответа в несколько секунд. От вас требуется только записать неравенства онлайн, а мы в свою очередь сразу предоставим вам точный результат решения неравенства. Искать подобный ресурс может оказаться бессмысленным занятием, так как вряд ли вы встретите такой же качественный сервис как у нас. Можно обойтись без теории про решение неравенств онлайн, но без качественного и быстрого калькулятора вам не обойтись. Желаем вам успехов в учебе! По-настоящему выбрать оптимальное решение неравенства онлайн зачастую связано с логическим подходом для случайной величины. Если пренебречь малым отклонением замкнутого поля, то вектор нарастающего значения пропорционален наименьшему значению на промежутке убывания линии ординат. Инвариант пропорционален двукратному увеличению отображаемым функциям наряду с исходящим ненулевым вектором. Лучший ответ всегда содержит точность вычислений. Наше решение неравенств примет вид однородной функции последовательно сопряженных числовых подмножеств главного направления. За первый интервал возьмем как раз наихудшее по точности значение нашего представления переменной. Вычислим на максимальное отклонение предыдущее выражение. Будем пользоваться сервисом на усмотрение предложенных вариантов по мере необходимости. Будет ли найдено решение неравенств онлайн с помощью хорошего в своем классе калькулятора — это риторический вопрос, разумеется, студентам такой инструмент пойдет только на пользу и принесет огромный успех в математике. Наложим ограничение на область с множеством, которое сведем к элементам с восприятием импульсов по напряжению. Физические значения таких экстремумов математически описывают возрастание и убывание кусочно-непрерывных функций. На протяжении всего пути ученые находили доказательства существования элементов на разных уровнях изучения. Расположим все последовательно идущие подмножества одного комплексного пространства в один ряд с такими объектами, как шар, куб или цилиндр. Из нашего результата можно сделать однозначный вывод и когда решите неравенство, то на выходе, безусловно, прольется свет на высказанное математическое предположение об интеграции метода на практике. В текущем положении вещей необходимое условие будет также являться и достаточным условием. Критерии неопределенности зачастую вызывают у студентов разногласия по причине недостоверных данных. Это упущение должны взять на себя преподаватели ВУЗов, а также учителя в школах, так как на начальном этапе обучения необходимо это тоже учитывать. Из вышесказанного вывода на взгляд опытных людей можно делать выводы, что решить неравенство онлайн очень сложное задание при вхождении в неравенство неизвестных разного типа данных. Об этом сказано на научной конференции в западном округе, на которой выдвигали самые различные обоснования по поводу научных открытий в области математики и физики, а также молекулярного анализа биологически устроенных систем. В нахождении оптимального решения абсолютно все логарифмические неравенства представляют научную ценность для всего человечества. Исследуем данный подход на предмет логических заключений по ряду несовпадений на высшем уровне понятий о существующем объекте. Логика подсказывает иное, чем видно на первый взгляд неопытному студенту. По причине возникновения масштабных аналогий, будет рационально сначала приравнять отношения к разности предметов исследуемой области, а затем показать на практике наличие общего аналитического результата. Решение неравенств абсолютным образом завязано на применении теории и будет важно для каждого изучить такой необходимый для дальнейших исследований раздел математики. Однако, при решении неравенств вам нужно найти все корни составленного уравнения, а уже затем нанести все точки на ось ординат. Некоторые точки будут проколоты, а остальные войдут в интервалы с общим решением. Начнем изучать раздел математики с азов важнейшей дисциплины школьной программы. Если тригонометрические неравенства являются неотъемлемой частью текстовой задачи, то, как раз применять ресурс для вычисления ответа просто необходимо. Введите левую и правую части неравенства корректно, нажмите на кнопу и получите результат в течение нескольких секунд. Для быстрых и точных математических вычислений с числовыми или символьными коэффициентами перед неизвестными, вам как всегда понадобится универсальный калькулятор неравенств и уравнений, который сможет в считанные секунды предоставить ответ на поставленную вами задачку. Если у вас нет времени на написание целого ряда письменных упражнений, то обоснованность сервиса неоспорима даже невооруженным глазом. Для студентов такой подход является более оптимальным и оправданным с точки зрения экономии материальных ресурсов и времени. Напротив катета лежит угол, а для его измерения необходим циркуль, но вы сможете в любо момент воспользоваться подсказками и решите неравенство не применяя никаких формул приведения. Означает ли это успешное завершение начатого действия? Однозначно ответ будет положительным.

Модулем числа называется само это число, если оно неотрицательное, или это же число с противоположным знаком, если оно отрицательное.

Например, модулем числа 6 является 6, модулем числа -6 тоже является 6.

То есть под модулем числа понимается абсолютная величина, абсолютное значение этого числа без учета его знака.

Обозначается так: |6|, |х |, |а | и т.д.

(Подробнее — в разделе «Модуль числа»).

Уравнения с модулем.

Пример 1 . Решить уравнение |10 х — 5| = 15.

Решение .

В соответствии с правилом, уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

10х — 5 = 15
10х — 5 = -15

Решаем:

10х = 15 + 5 = 20
10х = -15 + 5 = -10

х = 20: 10
х = -10: 10

х = 2
х = -1

Ответ : х 1 = 2, х 2 = -1.

Пример 2 . Решить уравнение |2 х + 1| = х + 2.

Решение .

Поскольку модуль — число неотрицательное, то х + 2 ≥ 0. Соответственно:

х ≥ -2.

Составляем два уравнения:

2х + 1 = х + 2
2х + 1 = -(х + 2)

Решаем:

2х + 1 = х + 2
2х + 1 = —х — 2

2х — х = 2 — 1
2х + х = -2 — 1

х = 1
х = -1

Оба числа больше -2. Значит, оба являются корнями уравнения.

Ответ : х 1 = -1, х 2 = 1.

Пример 3 . Решить уравнение

|х + 3| — 1
————— = 4
х — 1

Решение .

Уравнение имеет смысл, если знаменатель не равен нулю — значит, если х ≠ 1. Учтем это условие. Наше первое действие простое — не просто освобождаемся от дроби, а преобрахуем ее так, чтобы получить модуль в чистом виде:

|х + 3| — 1 = 4 · (х — 1),

|х + 3| — 1 = 4х — 4,

|х + 3| = 4х — 4 + 1,

|х + 3| = 4х — 3.

Теперь у нас в левой части уравнения только выражение под модулем. Идем дальше.
Модуль числа есть неотрицательное число — то есть он должен быть больше нуля или равен нулю. Соответственно, решаем неравенство:

4х — 3 ≥ 0

4х ≥ 3

х ≥ 3/4

Таким образом, у нас появилось второе условие: корень уравнения должен быть не меньше 3/4.

В соответствии с правилом, составляем совокупность двух уравнений и решаем их:

х + 3 = 4х — 3
х + 3 = -(4х — 3)

х + 3 = 4х — 3
х + 3 = -4х + 3

х — 4х = -3 — 3
х + 4х = 3 — 3

х = 2
х = 0

Мы получили два ответа. Проверим, являются ли они корнями исходного уравнения.

У нас было два условия: корень уравнения не может быть равен 1, и он должен быть не меньше 3/4. То есть х ≠ 1, х ≥ 3/4. Обоим этим условиям соответствует только один из двух полученных ответов — число 2. Значит, только оно и является корнем исходного уравнения.

Ответ : х = 2.

Неравенства с модулем.

Пример 1 . Решить неравенство | х — 3|

Решение .

Правило модуля гласит:

|а | = а , если а ≥ 0.

|а | = —а , если а

Модуль может иметь и неотрицательное, и отрицательное число. Значит, мы должны рассмотреть оба случая: х — 3 ≥ 0 и х — 3

1) При х — 3 ≥ 0 наше исходное неравенство остается как есть, только без знака модуля:
х — 3

2) При х — 3

-(х — 3)

Раскрыв скобки, получаем:

—х + 3

Таким образом, от этих двух условий мы пришли к объединению двух систем неравенств:

х — 3 ≥ 0
х — 3

х — 3 —х + 3

Решим их:

х ≥ 3
х

х х > -1

Итак, у нас в ответе объединение двух множеств:

3 ≤ х х

Определяем наименьшее и наибольшее значения. Это -1 и 7. При этом х больше -1, но меньше 7.
Кроме того, х ≥ 3. Значит, решением неравенства является все множество чисел от -1 до 7, исключая эти крайние числа.

Ответ : -1 х

Или: х ∈ (-1; 7).

Дополнения .

1) Есть более простой и короткий способ решения нашего неравенства — графический. Для этого надо нарисовать горизонтальную ось (рис.1).

Выражение |х — 3| х до точки 3 меньше четырех единиц. Отмечаем на оси число 3 и отсчитываем влево и вправо от от него 4 деления. Слева мы придем к точке -1, справа — к точке 7. Таким образом, точки х мы просто увидели, не вычисляя их.

При этом, согласно условию неравенства, сами -1 и 7 не включены во множество решений. Таким образом, получаем ответ:

1 х

2) Но есть еще одно решение, которое проще даже графического способа. Для этого наше неравенство надо представить в следующем виде:

4 х — 3

Ведь так оно и есть по правилу модуля. Неотрицательное число 4 и аналогичное отрицательное число -4 являются границами решения неравенства.

4 + 3 х

1 х

Пример 2 . Решить неравенство | х — 2| ≥ 5

Решение .

Этот пример существенно отличается от предыдущего. Левая часть больше 5 либо равна 5. С геометрической точки зрения, решением неравенства являются все числа, которые от точки 2 отстоят на расстоянии 5 единиц и больше (рис.2). По графику видно, что это все числа, которые меньше или равны -3 и больше или равны 7. А значит, мы уже получили ответ.

Ответ : -3 ≥ х ≥ 7.

Попутно решим это же неравенство способом перестановки свободного члена влево и вправо с противоположным знаком:

5 ≥ х — 2 ≥ 5

5 + 2 ≥ х ≥ 5 + 2

Ответ тот же: -3 ≥ х ≥ 7.

Или: х ∈ [-3; 7]

Пример решен.

Пример 3 . Решить неравенство 6 х 2 — | х | — 2 ≤ 0

Решение .

Число х может быть и положительным числом, и отрицательным, и нулем. Поэтому нам надо учесть все три обстоятельства. Как вы знаете, они учитываются в двух неравенствах: х ≥ 0 и х х ≥ 0 мы просто переписываем наше исходное неравенство как есть, только без знака модуля:

6х 2 — х — 2 ≤ 0.

Теперь о втором случае: если х

6х 2 — (-х ) — 2 ≤ 0.

Раскрываем скобки:

6х 2 + х — 2 ≤ 0.

Таким образом, мы получили две системы уравнений:

6х 2 — х — 2 ≤ 0
х ≥ 0

6х 2 + х — 2 ≤ 0
х

Надо решить неравенства в системах — а это значит, надо найти корни двух квадратных уравнений. Для этого приравняем левые части неравенств к нулю.

Начнем с первого:

6х 2 — х — 2 = 0.

Как решается квадратное уравнение — см. раздел «Квадратное уравнение». Мы же сразу назовем ответ:

х 1 = -1/2, х 2 = 2/3.

Из первой системы неравенств мы получаем, что решением исходного неравенства является все множество чисел от -1/2 до 2/3. Пишем объединение решений при х ≥ 0:
[-1/2; 2/3].

Теперь решим второе квадратное уравнение:

6х 2 + х — 2 = 0.

Его корни:

х 1 = -2/3, х 2 = 1/2.

Вывод: при х

Объединим два ответа и получим итоговый ответ: решением является все множество чисел от -2/3 до 2/3, включая и эти крайние числа.

Ответ : -2/3 ≤ х ≤ 2/3.

Или: х ∈ [-2/3; 2/3].

Существует несколько способов решения неравенств, содержащих модуль. Рассмотрим некоторые из них.

1) Решение неравенства с помощью геометрического свойства модуля.

Напомню, что такое геометрическое свойство модуля: модуль числа x – это расстояние от начала координат до точки с координатой x.

В ходе решения неравенств этим способом может возникнуть 2 случая:

1. |x| ≤ b,

И неравенство с модулем очевидно сводится к системе двух неравенств. Тут знак может быть и строгим, в этом случае точки на картинке будут «выколотыми».

2. |x| ≥ b, тогда картинка решения выглядит так:

И неравенство с модулем очевидно сводится к совокупности двух неравенств. Тут знак может быть и строгим, в этом случае точки на картинке будут «выколотыми».

Пример 1.

Решить неравенство |4 – |x|| ≥ 3.

Решение.

Данное неравенство равносильно следующей совокупности:

U [-1;1] U

Пример 2.

Решить неравенство ||x+2| – 3| ≤ 2.

Решение.

Данное неравенство равносильно следующей системе.

{|x + 2| – 3 ≥ -2
{|x + 2| – 3 ≤ 2,
{|x + 2| ≥ 1
{|x + 2| ≤ 5.

Решим отдельно первое неравенство системы. Оно эквивалентно следующей совокупности:

U [-1; 3].

2) Решение неравенств, используя определение модуля.

Напомню для начала определение модуля.

|a| = a, если a ≥ 0 и |a| = -a, если a

Например, |34| = 34, |-21| = -(-21) = 21.

Пример 1.

Решить неравенство 3|x – 1| ≤ x + 3.

Решение.

Используя определение модуля получим две системы:

{x – 1 ≥ 0
{3(x – 1) ≤ x + 3

{x – 1 {-3(x – 1) ≤ x + 3.

Решая первую вторую системы в отдельности, получим:

{x ≥ 1
{x ≤ 3,

{x {x ≥ 0.

Решением исходного неравенства будут все решения первой системы и все решения второй системы.

Ответ: x € .

3) Решение неравенств методом возведения в квадрат.

Пример 1.

Решить неравенство |x 2 – 1|

Решение.

Возведем обе части неравенства в квадрат. Замечу, что возводить обе части неравенства в квадрат можно только в том случае, когда они обе положительные. В данном случае у нас и слева и справа стоят модули, поэтому мы можем это сделать.

(|x 2 – 1|) 2

Теперь воспользуемся следующим свойством модуля: (|x|) 2 = x 2 .

(x 2 – 1) 2

(x 2 – 1) 2 – (x 2 – x + 1) 2

(x 2 – 1 – x 2 + x – 1)(x 2 – 1 + x 2 – x + 1)

(x – 2)(2x 2 – x)

x(x – 2)(2x – 1)

Решаем методом интервалов.

Ответ: x € (-∞; 0) U (1/2; 2)

4) Решение неравенств методом замены переменных.

Пример.

Решить неравенство (2x + 3) 2 – |2x + 3| ≤ 30.

Решение.

Заметим, что (2x + 3) 2 = (|2x + 3|) 2 . Тогда получим неравенство

(|2x + 3|) 2 – |2x + 3| ≤ 30.

Сделаем замену y = |2x + 3|.

Перепишем наше неравенство с учетом замены.

y 2 – y ≤ 30,

y 2 – y – 30 ≤ 0.

Разложим квадратный трехчлен, стоящий слева, на множители.

y1 = (1 + 11) / 2,

y2 = (1 – 11) / 2,

(y – 6)(y + 5) ≤ 0.

Решим методом интервалов и получим:

Вернемся к замене:

5 ≤ |2x + 3| ≤ 6.

Данное двойное неравенство равносильно системе неравенств:

{|2x + 3| ≤ 6
{|2x + 3| ≥ -5.

Решим каждое из неравенств в отдельности.

Первое равносильно системе

{2x + 3 ≤ 6
{2x + 3 ≥ -6.

Решим ее.

{x ≤ 1.5
{x ≥ -4.5.

Второе неравенство очевидно выполняется для всех x, так как модуль по определению число положительное. Так как решение системы – это все x, которые удовлетворяют одновременно и первому и второму неравенству системы, то решением исходной системы будет решение ее первого двойного неравенства (ведь второе верно для всех x).

Ответ: x € [-4,5; 1,5].

blog.сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Конспекты уроков в 9 физико-математическом классе по теме «Неравенства с модулем»

Итак, нам сегодня понадобится определение модуля. 1). А в каких темах мы уже встречались с этим понятием? 2). Значит, у нас уже есть опыт работы с этим понятием. Давайте вспомним определение модуля. 3).Каков геометрический смысл модуля ? 4). Вспомним, как мы решали простейшие линейные уравнения с модулем вида │f(x)│= а. 5). Как вы думаете, можем ли мы при решении линейных неравенств указанного в теме урока вида применить аналогичный подход?

Ответы учащихся : 1). С определением модуля мы познакомились еще в 6 классе, затем мы встречались с ним в теме « Арифметический квадратный корень», а также решали линейные уравнения с модулем. 2). Абсолютной величиной ( или модулем) │а│ действительного числа а называется : само это число, если а – неотрицательное число; число, противоположное числу а, если а – отрицательное число. (На доске один из учеников делает запись ) │а│= а, если а ≥ 0, │а│= — а. если а 3). Геометрически │а│ есть расстояние от точки 0 до точки, изображающей число а. 4). При а При а = 0 мы решали уравнение f(x) = 0. При а > 0 мы использовали определение модуля рассматривали следующие уравнения : f(x) = a или f(x) = — a. 5). Наверное, да, так как в этих неравенствах также встречается модуль. Но как это сделать ?

Рассмотрим неравенство вида │f(x)│ 1). Если а Верно. Запишем это в теоретических тетрадях и приведем примеры таких неравенств. 2). Каким будет следующий случай ? При рассмотрении этой ситуации нам поможет геометрический смысл модуля. Итак, при а > 0 неравенству │f(x)│ Каким другим способом можно описать полученное множество чисел – промежуток ( -а; а)? 3). Попробуем обобщить эти выводы : Неравенство │f(x)│ 0 равносильно двойному неравенству вида : — а f(x) > — a, f(x) 4). Приведем пример решения такого неравенства: Решить неравенство │5 – 3х │ Данное неравенство равносильно двойному неравенству – 8 — 8, 5 – 3х Выполняя равносильные преобразования, получаем : — 3х > — 8 – 5, — 3х > — 13, х , — 3х — 1. Решением системы, а значит, и исходного неравенства, является числовой промежуток ( -1; 4). Ответ : ( -1; 4). 5). Рассмотрим неравенство вида : │f(x) │ а). Как вы думаете, будет ли отличаться способ решения такого неравенства от ранее рассмотренного? б). Но какие – то отличия будут? в). Используя опыт решения предыдущего типа неравенств, попробуем определить, в каком случае данное неравенство будет иметь решения ? г). Как вы думаете, удобно ли при решении такого неравенства переходить к двойному неравенству? д). Значит, при решении такого неравенства удобнее сразу перейти к … Совершенно верно. Давайте запишем этот ввод в общем виде : Неравенство вида │f(x) │ — g(x), f(x) 6). Приведем пример решения такого неравенства : Решить неравенство : │х — 1│ Данное неравенство равносильно следующей системе неравенств : х – 1 х – 1 > — ( 2х – 4). Выполняя равносильные преобразования, получаем : х – 2х 3, х + 2х > 4 + 1. 3х > 5. х > 1. Решением данной системы, а значит, и исходного неравенства, является множество чисел, удовлетворяющих условию : х > 3. Ответ : х > 3.

Ответы учащихся : 1). В этом случае неравенство не имеет решений, так как левая часть этого неравенства положительна, а правая отрицательна. Положительное число не может быть меньше отрицательного. Учащиеся записывают следующие неравенства : │3х — 5│ 2). Рассматриваем исходное неравенство при а > 0. Учащиеся делают в теоретической тетради соответствующие записи и выполняют вместе с учителем иллюстрацию : Промежуток ( -а; а) – это множество чисел, удовлетворяющих двойному неравенству : — а 3). Учащиеся делают записи в теоретических тетрадях. 4). Пример : Решить неравенство │5 – 3х │ Данное неравенство равносильно двойному неравенству – 8 — 8, 5 – 3х Выполняя равносильные преобразования, получаем : — 3х > — 8 – 5, — 3х > — 13, х , — 3х — 1. Решением системы, а значит, и исходного неравенства, является числовой промежуток ( -1; 4). Ответ : ( -1; 4). 5). Ответы учащихся : а). Скорей всего, нет. б). Да, так как теперь в правой части неравенства мы встречаем не конкретное число, а некоторую функцию. в). Неравенство │f(x) │ 0. г). Нет, это неудобно, так как при переходе к двойному неравенству неизвестное будет находиться сразу в трех частях двойного неравенства. д). … равносильной ему системе неравенств. Учащиеся делают соответствующие записи в теоретических тетрадях. 6). Пример : Решить неравенство : │х — 1│ Данное неравенство равносильно следующей системе неравенств : х – 1 х – 1 > — ( 2х – 4). Выполняя равносильные преобразования, получаем : х – 2х 3, х + 2х > 4 + 1. 3х > 5. х > 1. Решением данной системы, а значит, и исходного неравенства, является множество чисел, удовлетворяющих условию : х > 3. Ответ : х > 3.

Сборник задач по алгебре 8 – 9 класс, М.Л.Галицкий, А.М. Гольдман, Л.И. Звавич, стр. 78. Решить неравенства : № 6. 203 (а) │х — 3│ На что обращаем внимание при решении этого неравенства? № 6. 202 ( в, г). в). │2х — 1│ Имеет ли решения это неравенство ? Как будем решать это неравенство ? Есть ли необходимость переходить к системе? г). │3 – 2х│ Имеет ли решения это неравенство ? Как будем решать неравенство ? Что будем делать дальше ? Сделаем этот переход. Какие трудности возникли при решении этого неравенства? Какой шаг неясен? № 6.211 ( б, г). б). │ х — 3│ К какому типу изученных сегодня неравенств мы отнесем это ? Как будем решать это неравенство ? Выполним это. Есть ли у вас вопросы по ходу решения этого неравенства? Какие моменты вызывают затруднения ? г). │2х + 5│ Решите это неравенство самостоятельно. Давайте проверим, правильно ли каждый из вас решил неравенство ? У кого были трудности с решением этого неравенства? На каком этапе решения они возникли? Какие вопросы у вас есть по решению данного неравенства?

Учащиеся записывают в рабочих тетрадях, обращаясь при необходимости к теоретической. Решить неравенства : ( Учащиеся по одному работают у доски) № 6. 203 (а) │х — 3│ Решение : Данное неравенство не имеет решения, так как а = — 2, а Ответ : решений нет. № 6. 202 ( в, г). в). │2х — 1│ Решение : Это неравенство имеет решения, так как а = 3, а > 0. Перейдем к равносильному двойному неравенству : — 3 Можно этого не делать, а найти решения, применяя свойства двойных неравенств : — 3 + 1 — 2 — 1 Значит, решением исходного неравенства является числовой промежуток ( -1; 2). Ответ : ( -1; 2). г). │3 – 2х│ Решение : Да, имеет, так как а = 7, а > 0. Сначала перейдем к равносильному двойному неравенству : — 7 От этого неравенства удобнее перейти к равносильной ему системе, так как коэффициент при х отрицателен. 3 – 2х > — 7, — 2х > — 7 – 3, — 2х > — 10, х 3 – 2х -2 Решением этой системы, а значит, и решением исходного неравенства, является числовой промежуток ( -2; 5). Ответ : ( -2; 5). № 6.211 ( б, г). б). │ х — 3│ ко второму типу неравенств, у которых в правой части содержится некоторая функция. С помощью перехода от него к равносильной ему системе неравенств. Решение : х – 3 > 3х – 6, х – 3х > — 6 + 3, — 2х > — 3, х – 3 х х Ответ : х г). │2х + 5│ Ученик работает на закрытой доске, решая неравенство, чтобы затем учащиеся класса проверили свои решения по предложенному образцу. Решение : 2х + 5 > — х – 4, 2х + х > — 4 – 5, 3х > — 9, 2х + 5 х > — 3, х Ответ : ( — 3; -1). Учащиеся проверяют собственные решения. Учащиеся рассказывают о своих трудностях, если они были.

Итак, подведем итог сегодняшнего урока. 1). С какими неравенствами мы познакомились сегодня на уроке? 2). Сколько видов таких неравенств мы сегодня узнали ? 3). Всегда ли такие неравенства имеют решения ? 4). Как в таком случае мы поступаем?

Ответы учащихся : 1). Мы познакомились с линейными неравенствами, содержащими неизвестное под знаком модуля. 2). Два вида : │f(x)│ 3). Такие неравенства имеют решения, если правая часть положительна. 4). Мы переходим к равносильному двойному неравенству ( в первом случае), и можем найти решение исходного, решая полученное двойное неравенство, или далее перейдем к равносильной ему системе. В случае решений неравенств второго типа переходим к равносильной системе, решаем ее, и находим решения исходного неравенства.

абсолютных неравенств | Purplemath

Purplemath

Существует много возможностей для ошибок с абсолютным неравенством, поэтому давайте рассмотрим эту тему медленно и попутно рассмотрим несколько полезных картинок. Когда мы закончим, я надеюсь, что у вас в голове будет хорошее представление о том, что происходит, и вы не сделаете некоторые из наиболее распространенных ошибок. Как только вы поймете, как работает это неравенство, это действительно не так уж и плохо.

MathHelp.com

Давайте сначала вернемся к исходному определению абсолютного значения: «| x | — это расстояние x от нуля.»Например, и –2, и & плюс; 2 — это две единицы от нуля, как вы можете видеть на изображении ниже:

Это означает, что их абсолютные значения будут равны 2; то есть имеем:

| –2 | = | +2 | = 2

Имея в виду это определение и картинку, давайте рассмотрим некоторые неравенства в абсолютных ценностях.

• Решить |

  x | <3 и изобразите его решение.

Это неравенство. Если решением уравнения абсолютного значения являются точки (как на приведенном выше рисунке), то решением неравенства (или «неравенства») абсолютного значения будут интервалы.

В этом неравенстве они просят меня найти все значения x , которые находятся менее чем на три единицы от нуля в любом направлении , поэтому решением будет набор всех точек, которые меньше чем на три единицы от нуля.Сначала я нарисую числовую линию:

Глядя на неравенство, я вижу, что число 1 будет работать как решение, как и –1, потому что каждое из них меньше трех единиц от нуля. Число 2 будет работать, как и –2. Но 4 не сработает, равно как и –4, потому что они слишком далеки от нуля. Даже 3 и –3 не будут работать (хотя они на грани), потому что это неравенство «меньше» (но не равно).

Однако число 2,99 будет работать, как и –2,99. Другими словами, все точки между –3 и 3, но фактически не включая –3 или 3, будут работать как решения этого неравенства. Итак, графически решение выглядит так:

(Незакрашенные кружки на концах синей линии указывают «до этих точек, но не включая их». В вашей книге могут использоваться круглые скобки вместо кружков.)

Переводя эту картинку в алгебраические символы, я получаю следующее решение:

Этот шаблон для неравенства «меньше» по абсолютной величине всегда верен:

Дано неравенство в виде | x | < a , решение всегда будет иметь вид — a < x < a .

Между прочим, правильная комбинация для неравенства «меньше» по абсолютной величине — «и». Почему? Потому что переменная содержится в одном интервале. В приведенном выше примере x было одновременно «больше –3» и «меньше +3». x находится в интервале, который одновременно удовлетворяет обоим неравенствам. Итак, «и» — правильное соединение.

Даже когда упражнения станут более сложными, вышеприведенная схема все равно будет действовать.

---

• Решить | 2

  x + 3 | <6.

Поскольку это неравенство «меньше чем» по абсолютному значению, мой первый шаг — очистить абсолютное значение в соответствии с шаблоном «меньше». Потом решу линейное неравенство.

| 2 x + 3 | <6

–6 <2 x + 3 <6

Это образец для «меньше чем».Продолжая, я вычту 3 из всех трех «сторон» неравенства:

–6 — 3 <2 x 900 10 + 3 — 3 <6 - 3

–9 <2 x <3

–9/2 < x <3/2

Решение исходного неравенства по модулю, | 2 x + 3 | <6, это интервал:

---

Другой случай неравенства абсолютных значений — это случай «больше чем».

• Решить |

  x | > 2 и график.

Сначала я начну с числовой строки.

Решением данного неравенства будет набор всех точек, отстоящих от нуля более чем на две единицы. Например, –3 будет работать, как и +3; –4 будет работать, как и +4. Но –1 не сработает, равно как и +1, потому что они слишком близки к нулю.Даже –2 не будет работать, как и +2 (хотя они на грани), потому что это неравенство «больше» (но не равно).

Однако +2.01 будет работать, как и –2.01. Другими словами, решением будет , две отдельные секции : одна секция будет содержать все точки более чем на две единицы от нуля слева , а другая секция будет содержать все точки более чем на две единицы от нуля до правый . Графически решение выглядит так:

Переводя это графическое решение в символы, я получаю:

Обратите внимание! Решением этого неравенства «больше чем» по модулю являются ДВА регулярных неравенства, а не одно.НЕ пытайтесь записать это как одно неравенство. Если вы попытаетесь записать это решение как «–2> x > 2», ваш ответ будет засчитан неверно. Почему? Потому что, если вы вытащите x посередине, вы увидите, что скажете «–2> 2», что определенно будет , а не истинным. Потратьте лишние полсекунды и напишите решение правильно.

Этот шаблон для неравенства «больше чем» по абсолютной величине всегда верен:

Учитывая неравенство | x | > a , решение всегда начинается с разделения неравенства на две части: x <- a или x > a .

И, кстати, правильное союз — «или», а не «и». Почему? Потому что переменная не может находиться в обоих интервалах решения и в одно и то же время. В приведенном выше примере x не может одновременно быть «меньше –2» и «больше +2» . Поэтому мы используем «или» для таких решений.

---

Партнер

---

Даже когда неравенства усложняются, вышеупомянутая картина все еще сохраняется.

• Решить | 2

  x — 3 | > 5.

Первое, что мне нужно сделать, это очистить полосы абсолютного значения, разделив неравенство на две части. Затем я решу два регулярных неравенства.

| 2 x — 3 | > 5

2 x — 3 <–5 или 2 x — 3> 5

Это модель неравенства «больше чем» по абсолютной величине.

2 x <–2 или 2 x > 8

x <–1 или x > 4

Эта ПАРА неравенств является решением исходного неравенства по абсолютной величине.

---

Есть еще одна ситуация, с которой вы можете столкнуться: вам будет дана пара неравенств, и вам будет предложено найти соответствующее неравенство по абсолютным значениям.Этот процесс может показаться немного странным, поэтому я приведу пару примеров того, как он работает.

• Найдите утверждение о неравенстве абсолютного значения, которое соответствует –2

  < x <4.

Чтобы понять это, я сначала смотрю на конечные точки. Минус два и плюс четыре — это шесть единиц. Половина шести — это три. Это говорит мне, что я хочу скорректировать это неравенство так, чтобы оно относилось к –3 и +3, а не к –2 и +4.Для этого я вижу, что могу отрегулировать значения на левом и правом концах, вычтя 1 из всех трех «сторон» неравенства:

–2 < x <4

–2 — 1 < x — 1 <4 - 1

–3 < x — 1 <3

Поскольку последняя строка выше находится в формате «меньше чем» для неравенств абсолютных значений, мое неравенство решения будет иметь форму «абсолютное значение (чего-то) меньше 3».(Что-то) — это кусок посередине, где находится переменная. Поэтому я могу преобразовать мою последнюю строку выше в следующее:

---

• Найдите утверждение о неравенстве абсолютного значения, которое соответствует неравенствам

  x ≤ 19 или x ≥ 24

То, что они дали мне, состоит из двух частей, соединенных знаком «или», поэтому я знаю, что это будет неравенство «больше, чем» по абсолютной величине.

Для начала смотрю на конечные точки. Девятнадцать и 24 — это пять единиц. Половина из пяти — 2,5. Поэтому я хочу скорректировать неравенство, чтобы оно относилось к –2,5 и +2,5, а не к +19 и +24. Поскольку 19 — (–2,5) = 21,5 и 24 — 2,5 = 21,5, я вижу, что мне нужно вычесть всего 21,5:

x ≤ 19 или x ≥ 24

x — 21,5 ≤ 19 — 21,5 или x — 21.5 ≥ 24 — 21,5

x — 21,5 ≤ –2,5 или x — 21,5 ≥ 2,5

Поскольку последняя строка выше является форматом «больше чем», неравенство абсолютных значений будет иметь форму «абсолютное значение (чего-то) больше или равно 2,5». (Что-то) будет частью с переменной в нем. Итак, я могу преобразовать мою последнюю строку выше в:

---

Предупреждение: есть один вопрос типа «уловка» для такого рода задач, когда они попытаются сбить вас с толку при выполнении домашнего задания или тестов.Они попросят вас решить что-то вроде «| x + 2 | <–1». Но может ли абсолютное значение когда-либо быть отрицательным, не говоря уже о том, чтобы было меньше, чем отрицательным? Нет! Таким образом, это неравенство не имеет решения; это даже не имеет смысла. Не тратьте много времени на то, чтобы «решить» эту проблему; просто напишите «нет решения».

Точно так же, если вам дано что-то вроде «| x — 2 |> –3», первое, что следует отметить, это то, что все абсолютные значения равны нулю или положительны.В частности, они никогда не отрицательные. Они просят вас ввести значения x , которые сделают выражение абсолютного значения больше отрицательного числа. Поскольку абсолютное значение всегда будет больше , чем , любое отрицательное число , решение должно быть «все x » или «все действительные числа».

---

Вы можете использовать виджет Mathway ниже, чтобы попрактиковаться в решении абсолютных неравенств. Попробуйте выполнить указанное упражнение или введите свое собственное.Затем нажмите кнопку и выберите «Решить для x», чтобы сравнить свой ответ с ответом Матвея.

(Нажмите «Нажмите, чтобы просмотреть шаги», чтобы перейти непосредственно на сайт Mathway для платного обновления.)

---

URL: https://www.purplemath.com/modules/absineq.htm

Неравенства абсолютного значения

— объяснение и примеры

Абсолютное значение неравенств подчиняется тем же правилам, что и абсолютное значение чисел . Разница в том, что у нас есть переменная в априорном и константа во втором.

В этой статье будет показан краткий обзор неравенств по абсолютным значениям, за которым будет следовать пошаговый метод для решения неравенств по абсолютным значениям .

Наконец, есть примеры различных сценариев для лучшего понимания.

Что такое абсолютное неравенство?

Прежде чем мы сможем научиться решать неравенства по абсолютным значениям, давайте напомним себе об абсолютном значении числа.

По определению, абсолютное значение числа — это расстояние значения от начала координат, независимо от направления. Абсолютное значение обозначается двумя вертикальными линиями, охватывающими число или выражение.

Например, , абсолютное значение x выражается как | х | = a, откуда следует, что x = + a и -a. Теперь давайте посмотрим, что влечет за собой неравенство абсолютных ценностей.

Абсолютное неравенство — это выражение с абсолютными функциями, а также со знаками неравенства.Например, выражение | x + 3 | > 1 — неравенство по абсолютной величине, содержащее символ «больше».

Можно выбрать один из четырех различных символов неравенства. Они меньше ( <), больше (> ), меньше или равны ( ≤ ) и больше или равны ( ≥ ). Таким образом, неравенства по абсолютной величине могут иметь любой из этих четырех символов.

Как решить проблему абсолютного неравенства?

Этапы решения неравенств абсолютных значений очень похожи на решение уравнений абсолютных значений.Однако есть некоторая дополнительная информация, которую вам необходимо иметь в виду при решении вопросов неравенства абсолютных значений.

Ниже приведены общие правила, которые следует учитывать при решении неравенств абсолютных значений:

• Выделите слева выражение абсолютного значения.
• Решите положительную и отрицательную версии неравенства абсолютных значений.
• Когда число по другую сторону знака неравенства отрицательное, мы либо заключаем, что все действительные числа являются решениями, либо неравенство не имеет решения.
• Когда число на другой стороне положительное, мы устанавливаем составное неравенство, удаляя столбцы абсолютных значений.
• Тип знака неравенства определяет формат формируемого сложного неравенства. Например, если проблема содержит знак больше или больше / равно, настройте составное неравенство, которое имеет следующую форму:

(значения в столбцах абсолютных значений) <- (число на другой стороне) ИЛИ (Значения в полосах абсолютных значений)> (Число на другой стороне).

• Точно так же, если проблема содержит знак меньше или меньше / равно, задайте составное трехчастное неравенство в следующей форме:

— (Число по другую сторону знака неравенства) <( количество в столбцах абсолютных значений) <(Число с другой стороны знака неравенства)

Пример 1

Решите неравенство для x: | 5 + 5x | — 3> 2.

Решение

Выделите выражение абсолютного значения, добавив 3 к обеим сторонам неравенства;

=> | 5 + 5x | — 3 (+ 3)> 2 (+ 3)

=> | 5 + 5x | > 5.

Теперь решите как положительную, так и отрицательную «версии» неравенства следующим образом;

Мы примем символы абсолютного значения, решив уравнение обычным способом.

=> | 5 + 5x | > 5 → 5 + 5x> 5.

=> 5 + 5_x_> 5

Вычтем 5 с обеих сторон

5 + 5x (- 5)> 5 (- 5) 5x> 0

Теперь разделим обе стороны на 5

5x / 5> 0/5

x > 0.

Таким образом, x > 0 является одним из возможных решений.

Чтобы найти отрицательную версию неравенства абсолютного значения, умножьте число с другой стороны знака неравенства на -1 и переверните знак неравенства:

| 5 + 5x | > 5 → 5 + 5x <- 5 => 5 + 5x <-5 Вычтем 5 с обеих сторон => 5 + 5x (−5) <−5 (- 5) => 5x <−10 => 5x / 5 < −10/5 => х <−2.

x > 0 или x <−2 - два возможных решения неравенства. В качестве альтернативы мы можем решить | 5 + 5x | > 5 по формуле:

(значения в столбцах абсолютных значений) <- (число на другой стороне) ИЛИ (значения в столбцах абсолютных значений)> (число на другой стороне).

Иллюстрация:

(5 + 5x) <- 5 OR (5 + 5x)> 5

Решите приведенное выше выражение, чтобы получить;

x <−2 или x > 0

Пример 2

Решить | x + 4 | — 6 <9

Решение

Выделите абсолютное значение.

| x + 4 | — 6 <9 → | x + 4 | <15

Так как в нашем выражении абсолютного значения знак неравенства меньше, мы задаем трехкомпонентное решение для составного неравенства как:

-15

-19

Пример 3

Решить | 2x — 1 | — 7 ≥ -3

Решение

Сначала выделите переменную

| 2x — 1 | — 7≥-3 → | 2x — 1 | ≥4

Мы установим составное неравенство «или» из-за знака «больше или равно» в нашем уравнении.

2 — 1≤ — 4 или 2x — 1 ≥ 4

Теперь решим неравенства;

2x — 1 ≤ -4 или 2x — 1 ≥ 4

2x ≤ -3 или 2x ≥ 5

x ≤ -3/2 или x ≥ 5/2

Пример 4

Решить | 5x + 6 | + 4 <1

Решение

Выделите абсолютное значение.

| 5x + 6 | + 4 <1 → | 5x + 6 | <-3

Поскольку число на другой стороне отрицательное, проверьте также противоположное, чтобы определить решение.

| 5x + 6 | <-3

Положительный <отрицательный (ложный). Следовательно, это абсолютное неравенство не имеет решения.

Пример 5

Решить | 3x — 4 | + 9> 5

Решение

Выделите абсолютное значение.

| 3x — 4 | + 9> 5 → | 3x — 4 | > -4

| 5x + 6 | <-3

Поскольку, положительное <отрицательное (истина). Следовательно, все решения этого неравенства по абсолютной величине - действительные числа.

Предыдущий урок | Главная страница | Следующий урок

Абсолютное неравенство значений — ChiliMath

В этом уроке мы узнаем, как решать неравенства абсолютных значений, используя стандартный подход, который обычно преподают на уроках алгебры. То есть выучите правила и правильно их применяйте. При решении неравенств по абсолютным значениям используются четыре случая .

ВНИМАНИЕ: Во всех случаях предполагается, что значение «a» положительное, то есть a> 0.

---

Четыре (4) случая, которые следует учитывать при решении абсолютных неравенств

КОРПУС 1 :

КОРПУС 2 :

КОРПУС 3 :

Абсолютное значение любого числа — либо ноль (0), либо положительное значение, которое никогда не может быть меньше или равно отрицательному числу.

Ответ в этом случае всегда нет решения .

КОРПУС 4 :

Абсолютное значение любого числа либо ноль (0), либо положительное.Имеет смысл, что оно всегда должно быть больше любого отрицательного числа.

Ответ в этом случае всегда , все действительные числа .

---

Примеры решения абсолютных неравенств

Пример 1 : Решите неравенство абсолютных значений.

Если вы еще не знакомы с различными случаями, я предлагаю вам сохранить копию приведенного выше списка случаев для справки. Это определенно поможет вам легко решить проблемы.

Проблема предполагает, что существует значение «x», которое может сделать утверждение истинным. Что ж, абсолютное значение чего-либо всегда равно нулю или положительному значению, которое никогда не бывает меньше отрицательного числа. Это утверждение должно быть ложным, следовательно, нет решения . Это пример case 3 .

Выберите несколько тестовых значений для проверки:

• Если x положительный, скажем, x = 5;

• Если x отрицательно, скажем, x = -5;

---

Пример 2 : Решите неравенство абсолютных значений.

Если задуматься, любое значение «x» может сделать утверждение истинным. Проверьте несколько чисел, включая ноль, а также любые отрицательные или положительные числа. Что вы получаете?

Помните, что выражение абсолютного значения даст нулевой или положительный ответ, который всегда больше отрицательного числа. Следовательно, ответ , все действительные числа . Это корпус 4 .

---

Пример 3 : Решите неравенство абсолютных значений.

Это неравенство «меньше чем» по абсолютной величине, которое является примером случая , случай 1 .Избавьтесь от символа абсолютного значения, применив правило. Затем решите возникшее линейное неравенство.

Цель состоит в том, чтобы изолировать переменную «x» посередине. Для этого вычтем левую, среднюю и правую части неравенства на 6.

Ответ в виде символа неравенства утверждает, что решения — это все значения x от -8 до -4, но не включая сами значения -8 и -4.

Мы также можем записать ответ в интервальной нотации, используя круглые скобки, чтобы обозначить, что -8 и -4 не являются частью решений.

Или напишите ответ в числовой строке, где мы используем белые кружки, чтобы исключить -8 и -4 из решения.

---

Пример 4 : Решите неравенство абсолютных значений.

Это неравенство «меньше или равно» по абсолютной величине, которое все еще подпадает под случай 1 . Очистите символ абсолютного значения с помощью правила и решите линейное неравенство.

Выделите переменную «x» посередине, сложив все стороны на 6, а затем разделив на 3 (коэффициент при x).

Символ неравенства предполагает, что решением являются все значения x от -3 до 7, а также включая конечные точки -3 и 7. Мы включаем конечные точки, потому что мы используем символ «≤».

Чтобы записать ответ в виде интервалов, мы будем использовать квадратные скобки вместо обычных скобок, чтобы обозначить, что -3 и 7 являются частью решения.

И, наконец, мы будем использовать закрашенные или заштрихованные кружки, чтобы показать, что включены -3 и 7.

---

Пример 5 : Решите неравенство абсолютных значений.

Это пример неравенства «больше чем» по абсолютному значению, который является примером случая , случай 2 . Давайте удалим выражение абсолютного значения, используя приведенное ниже правило.

Как видите, мы решаем два отдельных линейных неравенства.

В обозначении интервалов слово « или » заменяется символом «\ чашка», означающим « объединение ». Объединение наборов означает, что мы собираем неперекрывающиеся элементы двух или более наборов решений.

Ответ в интервальной нотации станет более понятным, если вы посмотрите, как он выглядит на числовой строке. В случае 2 стрелки всегда будут в противоположных направлениях. Белые кружки означают, что -3 и 7 не включены в решения, которые являются следствием символа «>«.

---

Пример 6 : Решите неравенство абсолютных значений.

Разбейте это на два линейных неравенства и решите каждое отдельно. Вот правило для case 2 .

Вот решение.

Для обозначения интервалов мы используем квадратные скобки, чтобы включить в решение -2 и 3.

Закрашенные или закрашенные кружки означают, что -2 и 3 являются частью решения. В случае 2 стрелки всегда будут указывать в противоположных направлениях.

---

Вас также может заинтересовать:

Решение уравнений абсолютных значений

Функции построения графиков абсолютных значений

Как решить неравенства с модулем упругости

Как решить неравенства с модулем:

В этом разделе мы узнаем, как решить неравенство с модулем.

Решение неравенств с помощью модуля — Концепция

Если данный вопрос имеет любую из следующих форм, мы должны следовать указанным методам, чтобы решить для x.

Вопросы в форме	Первый шаг, который необходимо сделать	Решение
| х — а |	-r	(-r + а, г + а)
| х — а | ≤ r	-r ≤ x — a ≤ r	[a- r, a + r]
| х — а | > Р	x — a <-r и x — a> r	(∞, a-r) U (a + r, ∞)
| х — а | ≥ г	x — a ≤ -r и x — a ≥ r	(∞, a-r] U [a + r, ∞)

Решение неравенств с помощью модуля — Примеры

Пример 1:

Решите неравенство абсолютных значений, приведенное ниже

| x — 9 | <2

и выразите решение в интервальной записи.

Решение:

-2

Добавьте 9 по всему уравнению

-2 + 9

7

Следовательно, Множество решений указанного выше абсолютного неравенства равно (7, 11).

Пример 2:

Решите неравенство абсолютных значений, приведенное ниже

| 2 / (x — 4) | > 1, x ≠ 4

и выразим решение в интервальной записи.

Решение:

Из данного неравенства получаем, что 2> (x — 4)

-2

Добавьте 4 по всему неравенству

-2 + 4

2

Мы не можем выразить решение как (2, 6).Потому что в середине 2 и 6 у нас есть значение 4.

Итак, мы должны разделить его на два интервала.

(2, 4) U (4, 6)

Пример 3:

Решите неравенство абсолютных значений, приведенное ниже

| 3 — (3x / 4) | ≤ 1/4

и выразим решение в интервальной записи.

Решение:

(-1/4) ≤ 3 — (3x / 4) ≤ (1/4)

(-1/4) ≤ (12 — 3x) / 4 ≤ (1/4)

Умножьте на 4 во всем уравнении

-1 ≤ (12 — 3x) ≤ 1

Вычтите 12 во всем уравнении

-1 — 12 ≤ 12 — 3x — 12 ≤ 1-12

-13 ≤ — 3x ≤ -11

Делится на (-3) по всему уравнению

-13 / (- 3) ≤ — 3x ≤ -11

13/3 ≤ x ≤ 11/3

11/3 ≤ x ≤ 13 / 3

Следовательно, набор решений вышеуказанного абсолютного неравенства равен [11/3, 13/3].

Пример 4:

Решите неравенство абсолютных значений, приведенное ниже

| 6x + 10 | ≥ 3

и выразим решение в интервальной записи.

Решение:

6x + 10 ≤ -3 и 6x + 10 ≥ 3

6x + 10 ≤ -3 Вычесть 10 с обеих сторон 6x + 10 — 10 ≤ -3 — 10 6x ≤ -13 Разделить на 6 с обеих сторон x ≤ -13/6

6x + 10 ≥ 3 Вычесть 10 с обеих сторон 6x + 10-10 ≥ 3-10 6x ≥ -7 Разделить на 6 с обеих сторон x ≥ -7/6

Следовательно, множество решений вышеуказанного абсолютного неравенства равно (-∞, -13/6] U [-7/6, ∞).

Пройдя все, что было сказано выше, мы надеемся, что студенты поняли, как решать неравенства по модулю.

Кроме того, что описано в этом разделе, если вам нужны другие математические данные, воспользуйтесь нашим пользовательским поиском Google здесь.

Если у вас есть отзывы о наших математических материалах, напишите нам:

[email protected]

Мы всегда ценим ваши отзывы.

Вы также можете посетить следующие веб-страницы, посвященные различным вопросам математики.

ЗАДАЧИ СО СЛОВАМИ

Задачи со словами HCF и LCM

Задачи со словами на простых уравнениях

Задачи со словами на линейных уравнениях

Задачи со словами на квадратных уравнениях

Проблемы со словами в поездах

Проблемы со словами по площади и периметру

Проблемы со словами при прямом и обратном изменении

Проблемы со словами по цене за единицу

Проблемы со словом при скорости единицы

задачи по сравнению ставок

Преобразование обычных единиц в текстовые задачи

Преобразование метрических единиц в текстовые задачи

Word задачи по простому проценту

Word по сложным процентам

ngles

Проблемы с дополнительными и дополнительными углами в словах

Проблемы со словами с двойными фактами

Проблемы со словами тригонометрии

Проблемы со словами в процентах

Проблемы со словами в виде прибыли и убытков 9704 9709 Задачи

Задачи с десятичными словами

Задачи со словами о дробях

Задачи со словами о смешанных фракциях

Одношаговые задачи с уравнениями со словами

Проблемы со словами о линейных неравенствах и пропорциях 9

Задачи

Проблемы со временем и рабочими словами

Проблемы со словами на множествах и диаграммах Венна

Проблемы со словами на возрастах

Проблемы со словами из теоремы Пифагора

Процент числового слова проблемы

Проблемы со словами при постоянной скорости

Проблемы со словами при средней скорости

Проблемы со словами при сумме углов треугольника 180 градусов

ДРУГИЕ ТЕМЫ

Сокращения прибыли и убытков

Сокращения в процентах

Сокращения в таблице времен

Сокращения времени, скорости и расстояния

Сокращения соотношения и пропорции

000 Домен и диапазон рациональных функций 9705 9704 функции с отверстиями

График рациональных функций

График рациональных функций с отверстиями

Преобразование повторяющихся десятичных знаков в дроби

Десятичное представление рациональных чисел

видение

Л.Метод CM для решения временных и рабочих задач

Преобразование словесных задач в алгебраические выражения

Остаток при делении 2 в степени 256 на 17

Остаток при делении степени 17 на 16 на 16

Сумма всех трехзначных чисел, делимых на 6

Сумма всех трехзначных чисел, делимых на 7

Сумма всех трехзначных чисел, делимых на 8

Сумма всех трехзначных чисел, образованных с использованием 1, 3 , 4

Сумма всех трех четырехзначных чисел, образованных ненулевыми цифрами

Сумма всех трех четырехзначных чисел, образованных с использованием 0, 1, 2, 3

Сумма всех трех четырехзначных чисел числа, образованные с использованием 1, 2, 5, 6

Алгебра — Абсолютные неравенства

Показать мобильное уведомление Показать все заметки Скрыть все заметки

Похоже, вы используете устройство с «узкой» шириной экрана ( i.е. вы, вероятно, пользуетесь мобильным телефоном). Из-за характера математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. Если ваше устройство не находится в альбомном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку от вашего устройства (должна быть возможность прокручивать, чтобы увидеть их), а некоторые элементы меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

Раздел 2-15: Неравенства абсолютных значений

В предыдущем разделе мы решили уравнения, содержащие абсолютные значения.В этом разделе мы хотим рассмотреть неравенства, содержащие абсолютные значения. Нам нужно будет рассмотреть два отдельных случая.

Неравенства с участием

<и \ (\ le \)

Как и в случае с уравнениями, давайте начнем с довольно простого случая.

\ [\ left | п \ право | \ le 4 \]

Это говорит о том, что независимо от того, что такое \ (p \), оно должно находиться на расстоянии не более 4 от начала координат. Это означает, что \ (p \) должно быть где-то в диапазоне

. \ [- 4 \ le p \ le 4 \]

Мы могли бы получить аналогичное неравенство с <и получить аналогичный результат.

В общем, здесь используются следующие формулы:

\ [\ require {bbox} \ bbox [2pt, border: 1px сплошной черный] {\ begin {align *} {\ mbox {If}} \ left | п \ право | \ le b, \, \, \, b> 0 \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, {\ mbox {then}} — b \ le p \ le b \\ {\ mbox {If}} \ left | п \ право | 0 \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, {\ mbox {then}} — b

Обратите внимание, что для этого требует, чтобы \ (b \) был положительным, так же как мы сделали с уравнениями.

Давайте взглянем на пару примеров.

Пример 1 Решите каждую из следующих задач.

1. \ (\ влево | {2x — 4} \ вправо | <10 \)
2. \ (\ слева | {9m + 2} \ справа | \ le 1 \)
3. \ (\ left | {3 — 2z} \ right | \ le 5 \)

Показать все решения Скрыть все решения a \ (\ left | {2x — 4} \ right | Показать решение

На самом деле особо нечего делать, кроме как ввести формулу. Как и в случае с уравнениями, \ (p \) просто представляет все, что находится внутри столбцов абсолютных значений.Итак, с первым у нас есть

\ [- 10

Итак, это не что иное, как довольно простое двойное неравенство, которое нужно решить, так что давайте сделаем это.

\ [\ begin {array} {c} — 6

Обозначение интервала для этого решения — \ (\ left ({- 3,7} \ right) \).

b \ (\ left | {9m + 2} \ right | \ le 1 \) Показать решение

Здесь особо нечего делать.

\ [\ begin {array} {c} — 1 \ le 9m + 2 \ le 1 \\ — 3 \ le 9m \ le — 1 \\ \ displaystyle — \ frac {1} {3} \ le m \ le — \ frac {1} {9} \ end {array} \]

Обозначение интервала: \ (\ left [{- \ frac {1} {3}, — \ frac {1} {9}} \ right] \).

c \ (\ left | {3 — 2z} \ right | \ le 5 \) Показать решение

Нам нужно быть немного осторожнее с решением двойного неравенства с этим, но в остальном оно почти идентично предыдущим двум частям.

\ [\ begin {array} {c} -5 \ le 3 — 2z \ le 5 \\ — 8 \ le — 2z \ le 2 \\ 4 \ ge z \ ge — 1 \ end {array} \]

На последнем этапе не забудьте изменить направление неравенств, так как мы разделили все на отрицательное число.Обозначение интервала для этого решения \ (\ left [{- 1,4} \ right] \).

Неравенства с участием> и \ (\ ge \)

Еще раз давайте начнем с простого числового примера.

\ [\ left | п \ право | \ ge 4 \]

Это говорит о том, что каким бы ни был \ (p \), он должен находиться на расстоянии не менее 4 от начала координат, и поэтому \ (p \) должен находиться в одном из следующих двух диапазонов:

\ [p \ le — 4 \ hspace {0,25 дюйма} {\ mbox {или}} \ hspace {0.25 дюймов} п \ г 4 \]

Перед тем, как дать общее решение, нам нужно разобраться с типичной ошибкой, которую допускают учащиеся при решении задач такого типа. Многие студенты пытаются объединить их в одно двойное неравенство следующим образом:

\ [- 4 \ ge p \ ge 4 \]

Хотя может показаться, что это имеет смысл, мы не можем достаточно подчеркнуть, что ЭТО НЕПРАВИЛЬНО !! Вспомните, что говорит двойное неравенство. В двойном неравенстве требуется, чтобы оба неравенства выполнялись одновременно. Двойное неравенство выше означало бы, что \ (p \) — это число, которое одновременно меньше -4 и больше 4.Это просто не имеет смысла. Нет числа, которое бы этому соответствовало.

Эти решения нужно записать в виде двух неравенств.

Вот их общая формула.

\ [\ require {bbox} \ bbox [2pt, border: 1px сплошной черный] {\ begin {align *} {\ mbox {If}} \ left | п \ право | \ ge b, \, \, \, b> 0 \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, {\ mbox {then}} p \ le — b {\ mbox {или}} p \ ge b \\ {\ mbox {If}} \ left | п \ право | > b, \, \, \, b> 0 \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, {\ mbox {then}} pb \ end {align *}} \ ]

Опять же, требует, чтобы было положительным числом \ (b \).Приведем пару примеров.

Пример 2 Решите каждую из следующих задач.

1. \ (\ влево | {2x — 3} \ вправо |> 7 \)
2. \ (\ слева | {6t + 10} \ справа | \ ge 3 \)
3. \ (\ влево | {2 — 6y} \ вправо |> 10 \)

Показать все решения Скрыть все решения a \ (\ left | {2x — 3} \ right |> 7 \) Показать решение

Опять же, \ (p \) представляет количество внутри столбцов абсолютных значений, поэтому все, что нам нужно сделать здесь, это вставить формулу, а затем решить два линейных неравенства.

\ [\ begin {align *} 2x — 3 & 7 \\ 2x & 10 \\ x & 5 \ end {align *} \]

Интервальные обозначения для них \ (\ left ({- \ infty, — 2} \ right) \) или \ (\ left ({5, \ infty} \ right) \).

b \ (\ left | {6t + 10} \ right | \ ge 3 \) Показать решение

Давайте просто подключим формулы и перейдем сюда,

\ [\ begin {align *} 6t + 10 & \ le — 3 & \ hspace {0,25 дюйма} & {\ mbox {or}} & \ hspace {0.25 дюймов} 6t + 10 & \ ge 3 \\ 6t & \ le — 13 & \ hspace {0,25 дюйма} & {\ mbox {or}} & \ hspace {0,25 дюйма} 6t & \ ge — 7 \\ t & \ le — \ frac {{13}} {6} & \ hspace {0,25 дюйма} & {\ mbox {или}} & \ hspace {0,25 дюйма} t & \ ge — \ frac {7} {6} \ end { выровнять*}\]

Интервальные обозначения для них \ (\ left ({- \ infty, — \ frac {{13}} {6}} \ right] \) или \ (\ left [{- \ frac {7} {6} , \ infty} \ right) \).

c \ (\ left | {2 — 6y} \ right |> 10 \) Показать решение

Опять же, здесь особо нечего делать.

\ [\ begin {align *} 2 — 6y & 10 \\ — 6y & 8 \\ y &> 2 & \ hspace {0,25 дюйма} & {\ mbox {or}} & \ hspace {0,25in} y &

Обратите внимание, что нам пришлось изменить направление неравенств при делении на отрицательное число! Обозначение интервалов для этих решений — \ (\ left ({2, \ infty} \ right) \) или \ (\ left ({- \ infty, — \ frac {4} {3}} \ right) \).

Хорошо, теперь нам нужно быстро взглянуть, что происходит, если \ (b \) равно нулю или отрицательно.Мы сделаем это с помощью набора примеров и начнем с нуля.

Пример 3 Решите каждую из следующих задач.

1. \ (\ влево | {3x + 2} \ вправо | <0 \)
2. \ (\ слева | {x — 9} \ справа | \ le 0 \)
3. \ (\ влево | {2x — 4} \ вправо | \ ge 0 \)
4. \ (\ влево | {3x — 9} \ вправо |> 0 \)

Показать все решения Скрыть все решения Показать обсуждение

Эти четыре примера, кажется, охватывают все наши базы.

a \ (\ left | {3x + 2} \ right | Показать решение

Теперь мы знаем, что \ (\ left | p \ right | \ ge 0 \) и поэтому не может быть меньше нуля. Следовательно, в этом случае нет решения, поскольку невозможно, чтобы абсолютное значение было строго меньше нуля (, т.е. отрицательное значение).

b \ (\ left | {x — 9} \ right | \ le 0 \) Показать решение

Это почти то же самое, что и предыдущая часть. Мы по-прежнему не можем иметь абсолютное значение меньше нуля, однако оно может быть равно нулю.Так что решение будет только в том случае, если

\ [\ left | {x — 9} \ right | = 0 \]

, и мы знаем, как решить эту проблему из предыдущего раздела.

\ [x — 9 = 0 \ hspace {0,25 дюйма} \ Rightarrow \ hspace {0,25 дюйма} x = 9 \]
c \ (\ left | {2x — 4} \ right | \ ge 0 \) Показать решение

В этом случае давайте еще раз напомним, что независимо от того, что такое \ (p \), у нас гарантированно будет \ (\ left | p \ right | \ ge 0 \). Это означает, что независимо от того, что такое \ (x \), мы можем быть уверены, что \ (\ left | {2x — 4} \ right | \ ge 0 \) будет истинным, поскольку абсолютные значения всегда будут положительными или нулевыми.

Решением в этом случае являются все действительные числа или все возможные значения \ (x \). В обозначении неравенства это будет \ (- \ infty
d \ (\ left | {3x — 9} \ right |> 0 \) Показать решение

Эта часть почти идентична предыдущей, за исключением того, что на этот раз обратите внимание, что мы не хотим, чтобы абсолютное значение когда-либо было нулевым. Итак, нас не волнует, какое значение принимает абсолютное значение, если оно не равно нулю. Это означает, что нам просто нужно избегать значений \ (x \), для которых мы получаем

\ [\ left | {3x — 9} \ right | = 0 \ hspace {0.25 дюймов} \ Rightarrow \ hspace {0,25 дюйма} 3x — 9 = 0 \ hspace {0,25 дюйма} \ Rightarrow \ hspace {0,25 дюйма} x = 3 \]

Решением в этом случае являются все действительные числа, кроме \ (x = 3 \).

А теперь давайте быстро разберем примеры с отрицательными числами.

Пример 4 Постановка задачи.

1. \ (\ left | {4x + 15} \ right | <- 2 \) и \ (\ left | {4x + 15} \ right | \ le - 2 \)
2. \ (\ left | {2x — 9} \ right | \ ge — 8 \) и \ (\ left | {2x — 9} \ right |> — 8 \)

Показать все решения Скрыть все решения Показать обсуждение

Обратите внимание, что мы работаем с ними парами, потому что на этот раз, в отличие от предыдущего набора примеров, решения будут одинаковыми для каждого.

Оба (все четыре?) Из них будут использовать тот факт, что независимо от того, что такое \ (p \), у нас гарантированно будет \ (\ left | p \ right | \ ge 0 \). Другими словами, абсолютные значения всегда положительны или равны нулю.

a \ (\ left | {4x + 15} \ right | Показать решение

Хорошо, если абсолютные значения всегда положительны или равны нулю, они не могут быть меньше или равны отрицательному числу.

Следовательно, для любого из них нет решения.

b \ (\ left | {2x — 9} \ right | \ ge — 8 \) и \ (\ left | {2x — 9} \ right |> — 8 \) Показать решение

В этом случае, если абсолютное значение положительное или нулевое, оно всегда будет больше или равно отрицательному числу.

Тогда решением для каждого из них будут все действительные числа.

2.8: Устранение неравенств абсолютных значений

Цели обучения

К концу этого раздела вы сможете:

• Решите уравнения абсолютных значений
• Решите неравенства по абсолютным значениям с «меньше чем»
• Решите неравенства абсолютных значений с помощью «больше чем»
• Решить приложения с абсолютным значением

Прежде чем начать, пройдите тест на готовность.

1. Вычислить: \ (- | 7 | \).
   Если вы пропустили эту проблему, просмотрите [ссылка] .
2. Введите \ (<,>, <,>, \) или \ (= \) для каждой из следующих пар чисел.
   ⓐ \ (| −8 | \ text {___} — | −8 | \) ⓑ \ (12 \ text {___} — | −12 | \) ⓒ \ (| −6 | \ text {___} — 6 \) Ⓓ \ (- (- 15) \ text {___} — | −15 | \)
   Если вы пропустили эту проблему, просмотрите [ссылка] .
3. Упростить: \ (14−2 | 8−3 (4−1) | \).
   Если вы пропустили эту проблему, просмотрите [ссылка] .

Решите уравнения абсолютных значений

Готовясь решить уравнения абсолютных значений, мы пересматриваем наше определение абсолютного значения .

АБСОЛЮТНОЕ ЗНАЧЕНИЕ

Абсолютное значение числа — это его расстояние от нуля на числовой прямой.

Абсолютное значение числа n записывается как \ (| n | \) и \ (| n | \ geq 0 \) для всех чисел.

Абсолютные значения всегда больше или равны нулю.

Мы узнали, что число и его противоположность находятся на одинаковом расстоянии от нуля на числовой прямой. Поскольку они находятся на одинаковом расстоянии от нуля, они имеют одинаковое абсолютное значение.Например:

• \ (- 5 \) на 5 единиц от 0, поэтому \ (| −5 | = 5 \).
• \ (5 \) находится на расстоянии 5 единиц от 0, поэтому \ (| 5 | = 5 \).

Рисунок \ (\ PageIndex {1} \) иллюстрирует эту идею.

Рисунок \ (\ PageIndex {1} \): числа 5 и \ (- 5 \) отстоят на пять единиц от нуля.

Для уравнения | x | = 5, | x | = 5 мы ищем все числа, которые делают это утверждение истинным. Мы ищем числа, расстояние от которых до нуля равно 5. Мы только что видели, что и 5, и −5−5 — это пять единиц от нуля на числовой прямой.Они являются решениями уравнения.

\ (\ begin {array} {ll} {\ text {If}} & {| x | = 5} \\ {\ text {then}} & {x = −5 \ text {или} x = 5} \\ \ end {array} \)

Решение можно упростить до одного оператора, написав \ (x = \ pm 5 \). Это читается так: « x равно положительному или отрицательному 5».

Мы можем обобщить это на следующее свойство для уравнений абсолютного значения.

УРАВНЕНИЯ АБСОЛЮТНОЙ СТОИМОСТИ

Для любого алгебраического выражения u и любого положительного действительного числа a ,

\ [\ begin {array} {ll} {\ text {if}} & {| u | = a} \\ {\ text {then}} & {u = −a \ text {или} u = a} \\ \ nonumber \ end {array} \]

Помните, что абсолютное значение не может быть отрицательным числом.

Пример \ (\ PageIndex {1} \)

Решить:

1. \ (| х | = 8 \)
2. \ (| у | = −6 \)
3. \ (| z | = 0 \)

Решение

\ (\ begin {array} {ll} {} & {| x | = 8} \\ {\ text {Запишите эквивалентные уравнения.}} & {X = −8 \ text {или} x = 8} \ \ {} & {x = \ pm 8} \\ \ end {array} \)

Решение b

\ (\ begin {array} {ll} {} & {| y | = −6} \\ {} & {\ text {Нет решения}} \\ \ end {array} \)
Поскольку абсолютное значение всегда положительный, у этого уравнения нет решений.

Решение c

\ (\ begin {array} {ll} {} & {| z | = 0} \\ {\ text {Запишите эквивалентные уравнения.}} & {Z = −0 \ text {или} z = 0} \ \ {\ text {Since} −0 = 0,} & {z = 0} \\ \ end {array} \)
Оба уравнения говорят нам, что z = 0z = 0, и поэтому существует только одно решение.

УПРАЖНЕНИЕ \ (\ PageIndex {2} \)

Решить:

1. \ (| х | = 2 \)
2. \ (| у | = −4 \)
3. \ (| z | = 0 \)

Ответьте на

\ (\ pm 2 \)

Ответ б

нет решения

Ответ c

0

УПРАЖНЕНИЕ \ (\ PageIndex {3} \)

Решить:

1. \ (| х | = 11 \)
2. \ (| у | = −5 \)
3. \ (| z | = 0 \)

Ответьте на

\ (\ pm 11 \)

Ответ б

нет решения

Ответ c

0

Чтобы решить уравнение абсолютного значения , мы сначала выделяем выражение абсолютного значения, используя те же процедуры, которые мы использовали для решения линейных уравнений.Выделив выражение абсолютного значения, мы перепишем его как два эквивалентных уравнения.

Как решать уравнения абсолютных значений

Пример \ (\ PageIndex {4} \)

Решите \ (| 5x − 4 | −3 = 8 \).

Раствор

УПРАЖНЕНИЕ \ (\ PageIndex {5} \)

Решите: \ (| 3x − 5 | −1 = 6 \).

Ответ

\ (x = 4, \ space x = — \ frac {2} {3} \)

УПРАЖНЕНИЕ \ (\ PageIndex {6} \)

Решите: \ (| 4x − 3 | −5 = 2 \).

Ответ

\ (x = −1, \ space x = \ frac {5} {2} \)

Здесь приведены шаги для решения уравнения абсолютного значения.

РЕШАЙТЕ УРАВНЕНИЯ АБСОЛЮТНОЙ ЦЕННОСТИ.

1. Выделите выражение абсолютного значения.
2. Напишите эквивалентные уравнения.
3. Решите каждое уравнение.
4. Проверьте каждое решение.

Пример \ (\ PageIndex {7} \)

Решите \ (2 | x − 7 | + 5 = 9 \).

Раствор

	\ (2 | х − 7 | + 5 = 9 \)
Изолировать выражение абсолютного значения.	\ (2 | х − 7 | = 4 \)
	\ (| х − 7 | = 2 \)
Напишите эквивалентные уравнения.	\ (x − 7 = −2 \) или \ (x − 7 = 2 \)
Решите каждое уравнение.	\ (x = 5 \) или \ (x = 9 \)
Чек:

Упражнение \ (\ PageIndex {8} \)

Решите: \ (3 | x − 4 | −4 = 8 \).

Ответ

\ (х = 8, \ пробел х = 0 \)

Упражнение \ (\ PageIndex {9} \)

Решите: \ (2 | x − 5 | + 3 = 9 \).

Ответ

\ (х = 8, \ пробел х = 2 \)

Помните, абсолютное значение всегда положительно!

Пример \ (\ PageIndex {10} \)

Решить: \ (| \ frac {2} {3} x − 4 | + 11 = 3 \).

Раствор

\ (\ begin {array} {ll} {} & {| \ frac {2} {3} x − 4 | = −8} \\ {\ text {Изолировать член абсолютного значения.}} & {| \ frac {2} {3} x − 4 | = −8} \\ {\ text {Абсолютное значение не может быть отрицательным.}} & {\ text {Нет решения}} \\ \ end {array} \)

Упражнение \ (\ PageIndex {11} \)

Решить: \ (| \ frac {3} {4} x − 5 | + 9 = 4 \).

Ответ

Нет решения

Упражнение \ (\ PageIndex {12} \)

Решить: \ (| \ frac {5} {6} x + 3 | + 8 = 6 \).

Ответ

Нет решения

Некоторые из наших уравнений абсолютного значения могут иметь форму \ (| u | = | v | \), где u и v — алгебраические выражения. Например, \ (| x − 3 | = | 2x + 1 | \).

Как бы мы их разрешили? Если два алгебраических выражения равны по модулю, то они либо равны друг другу, либо отрицательны. Свойство для уравнений абсолютного значения говорит, что для любого алгебраического выражения u и положительного действительного числа a , если \ (| u | = a \), то \ (u = −a \) или \ ( и = а \).

Это говорит нам, что

\ (\ begin {array} {llll}
{\ text {if}} & {| u | = | v |} & {} & {}
\\ {\ text {then}} & {| u | = v} & {\ text {или}} & {| u | = −v}
\\ {\ text {и так}} & {u = v \ text {или} u = −v} & {\ text {или}} & {u = −v \ text {or} u = — (- v)}
\\ \ end {array} \)

Это приводит нас к следующему свойству для уравнений с двумя абсолютными значениями.

УРАВНЕНИЯ С ДВУМЯ АБСОЛЮТНЫМИ ЗНАЧЕНИЯМИ

Для любых алгебраических выражений: u и v ,

\ [\ begin {array} {ll} {\ text {if}} & {| u | = | v |} \\ {\ text {then}} & {u = −v \ text {или} u = v} \\ \ nonumber \ end {array} \]

Когда мы берем величину, противоположную количеству, мы должны быть осторожны со знаками и добавлять круглые скобки там, где это необходимо.

Пример \ (\ PageIndex {13} \)

Решите: \ (| 5x − 1 | = | 2x + 3 | \).

Решение

\ (\ begin {array} {ll} {} & {} & {| 5x − 1 | = | 2x + 3 |} & {} \\ {} & {} & {} & {} \\ {\ text {Напишите эквивалентные уравнения.}} & {5x − 1 = — (2x + 3)} & {\ text {or}} & {5x − 1 = 2x + 3} \\ {} & {5x − 1 = −2x − 3} & { \ text {or}} & {3x − 1 = 3} \\ {\ text {Решите каждое уравнение.}} & {7x − 1 = −3} & {} & {3x = 4} \\ {} & { 7x = −2} & {} & {x = 43} \\ {} & {x = −27} & {\ text {or}} & {x = 43} \\ {\ text {Проверить.}} & {} & {} & {} \\ {\ text {Мы оставляем вам чек.}} & {} & {} & {} \\ \ end {array} \)

Упражнение \ (\ PageIndex {14} \)

Решите: \ (| 7x − 3 | = | 3x + 7 | \).

Ответ

\ (x = — \ frac {2} {5}, \ space x = \ frac {5} {2} \)

Упражнение \ (\ PageIndex {15} \)

Решите: \ (| 6x − 5 | = | 3x + 4 | \).

Ответ

\ (х = 3, х = 19 \)

Решите абсолютные неравенства с точностью «меньше чем»

Давайте теперь посмотрим, что происходит, когда у нас есть неравенство по абсолютной величине . Все, что мы узнали о решении проблемы неравенства, по-прежнему актуально, но мы должны учитывать, как абсолютная ценность влияет на нашу работу. Мы снова посмотрим на наше определение абсолютной ценности. Абсолютное значение числа — это его расстояние от нуля на числовой прямой.Для уравнения \ (| x | = 5 \) мы увидели, что и 5, и \ (- 5 \) равны пяти единицам от нуля на числовой прямой. Они являются решениями уравнения.

\ [\ begin {array} {lll} {} & {| x | = 5} & {} \\ {x = −5} & {\ text {or}} & {x = 5} \\ \ nonumber \ end {array} \]

А как насчет неравенства \ (| x | \ leq 5 \)? Где числа, расстояние между которыми меньше или равно 5? Мы знаем, что \ (- 5 \) и 5 ​​- это пять единиц от нуля. Все числа от \ (- 5 \) до 5 меньше пяти единиц от нуля (рисунок \ (\ PageIndex {2} \)).

Рисунок \ (\ PageIndex {2} \).

В более общем виде мы можем видеть, что если \ (| u | \ leq a \), то \ (- a \ leq u \ leq a \) (рисунок \ (\ PageIndex {3} \)).

Рисунок \ (\ PageIndex {3} \).

Этот результат обобщен здесь.

НЕРАВЕНСТВА АБСОЛЮТНОЙ СТОИМОСТИ С \ (<\) ИЛИ \ (\ leq \)

Для любого алгебраического выражения u и любого положительного действительного числа a ,

\ [\ text {if} \ quad | u |

После решения неравенства часто бывает полезно проверить некоторые моменты, чтобы увидеть, имеет ли решение смысл.График решения делит числовую прямую на три части. Выберите значение в каждом разделе и подставьте его в исходное неравенство, чтобы увидеть, делает ли оно истинным неравенство или нет. Хотя это не полная проверка, она часто помогает проверить решение.

Пример \ (\ PageIndex {16} \)

Решите \ (| x | <7 \). Постройте график решения и запишите решение в интервальной записи.

Раствор

Запишите эквивалентное неравенство.
Постройте график решения.
Запишите решение, используя интервальную запись.

Чек:

Для проверки проверьте значение в каждом разделе числовой строки, показывающей решение. Выберите числа, например, −8, −8, 1 и 9.

УПРАЖНЕНИЕ \ (\ PageIndex {17} \)

Изобразите решение и запишите решение в интервальной записи: \ (| x | <9 \).

Ответ

УПРАЖНЕНИЕ \ (\ PageIndex {18} \)

Постройте график решения и запишите его в интервальной записи: \ (| x | <1 \).

Ответ

Пример \ (\ PageIndex {19} \)

Решите \ (| 5x − 6 | \ leq 4 \). Постройте график решения и запишите решение в интервальной записи.

Раствор

Шаг 1. Изолировать выражение абсолютного значения. Изолировано.	\ (| 5x − 6 | \ leq 4 \)
Шаг 2. Запишите эквивалентное сложное неравенство.	\ (- 4 \ leq 5x − 6 \ leq 4 \)
Шаг 3. Решите сложное неравенство.	\ (2 \ leq 5x \ leq 10 \) \ (\ frac {2} {5} \ leq x \ leq 2 \)
Шаг 4. Изобразите решение.
Шаг 5. Запишите решение, используя интервальную запись.	\ ([\ frac {2} {5}, 2] \)
Чек: Чек остается на ваше усмотрение.

УПРАЖНЕНИЕ \ (\ PageIndex {20} \)

Решите \ (| 2x − 1 | \ leq 5 \). Постройте график решения и запишите решение в интервальной записи:

.

Ответ

УПРАЖНЕНИЕ \ (\ PageIndex {21} \)

Решите \ (| 4x − 5 | \ leq 3 \).Постройте график решения и запишите решение в интервальной записи:

.

Ответ

РЕШИТЬ АБСОЛЮТНЫЕ НЕРАВЕНСТВА СТОИМОСТИ С помощью \ (<\) ИЛИ \ (\ leq \)

1. Выделите выражение абсолютного значения.
2. Напишите эквивалентное сложное неравенство.

   \ [\ begin {array} {lll} {| u |

3. Решите составное неравенство.
4. Постройте график решения
5. Напишите решение, используя интервальную запись.

Решите неравенство абсолютных значений с помощью «больше, чем»

Что происходит с неравенством по абсолютной стоимости, имеющим «больше чем»? Мы снова посмотрим на наше определение абсолютной ценности. Абсолютное значение числа — это его расстояние от нуля на числовой прямой.

Мы начали с неравенства \ (| x | \ leq 5 \). Мы видели, что числами, расстояние между которыми меньше или равно пяти от нуля на числовой прямой, были \ (- 5 \) и 5, а все числа между \ (- 5 \) и 5 ​​(Рисунок \ (\ PageIndex {4 } \)).

Рисунок \ (\ PageIndex {4} \).

Теперь мы хотим рассмотреть неравенство \ (| x | \ geq 5 \). Где числа, расстояние от нуля которых больше или равно пяти?

И снова \ (- 5 \) и 5 ​​равны пяти единицам от нуля и поэтому включены в решение. Числа, расстояние от которых до нуля больше пяти единиц, будут меньше \ (- 5 \) и больше 5 в числовой строке (рисунок \ (\ PageIndex {5} \)).

Рисунок \ (\ PageIndex {5} \).

В более общем виде мы можем видеть, что если \ (| u | \ geq a \), то \ (u \ leq −a \) или \ (u \ leq a \).См. , рисунок .

Рисунок \ (\ PageIndex {6} \).

Этот результат обобщен здесь.

НЕРАВЕНСТВА АБСОЛЮТНОЙ СТОИМОСТИ С \ (> \) ИЛИ \ (\ geq \)

Для любого алгебраического выражения u и любого положительного действительного числа a ,

\ [\ begin {array} {lll} {\ text {if}} & {\ quad | u |> a,} & {\ quad \ text {then} u <−a \ text {или} u> a } \\ {\ text {if}} & {\ quad | u | \ geq a,} & {\ quad \ text {then} u \ leq −a \ text {или} u \ geq a} \\ \ nonumber \ end {array} \]

Пример \ (\ PageIndex {22} \)

Решите \ (| x |> 4 \).Постройте график решения и запишите решение в интервальной записи.

Раствор

	\ (| х |> 4 \)
Запишите эквивалентное неравенство.	\ (x <−4 \) или \ (x> 4 \)
Постройте график решения.
Запишите решение, используя интервальную запись.	\ ((- \ inf, −4) \ чашка (4, \ inf) \)
Чек:

Чтобы проверить, проверьте значение в каждом разделе числовой строки, показывающей решение. Выберите числа, такие как −6, −6, 0 и 7.

УПРАЖНЕНИЕ \ (\ PageIndex {23} \)

Решите \ (| x |> 2 \). Постройте график решения и запишите решение в интервальной записи.

Ответ

УПРАЖНЕНИЕ \ (\ PageIndex {24} \)

Решите \ (| x |> 1 \).Постройте график решения и запишите решение в интервальной записи.

Ответ

Пример \ (\ PageIndex {25} \)

Решите \ (| 2x − 3 | \ geq 5 \). Постройте график решения и запишите решение в интервальной записи.

Раствор

	\ (| 2x − 3 | \ geq 5 \)
Шаг 1. Изолировать выражение абсолютного значения. Он изолирован.
Шаг 2. Запишите эквивалентное сложное неравенство.	\ (2x − 3 \ leq −5 \) или \ (2x − 3 \ geq 5 \)
Шаг 3. Решите сложное неравенство.	\ (2x \ leq −2 \) или \ (2x \ geq 8 \) \ (x \ leq −1 \) или \ (x \ geq 4 \)
Шаг 4. Изобразите решение.
Шаг 5. Запишите решение, используя интервальную запись.	\ ((- \ inf, −1] \ cup [4, \ inf) \)
Чек: Чек остается на ваше усмотрение.

УПРАЖНЕНИЕ \ (\ PageIndex {26} \)

Решите \ (| 4x − 3 | \ geq 5 \). Постройте график решения и запишите решение в интервальной записи.

Ответ

УПРАЖНЕНИЕ \ (\ PageIndex {27} \)

Решите \ (| 3x − 4 | \ geq 2 \). Постройте график решения и запишите решение в интервальной записи.

Ответ

РЕШАЙТЕ АБСОЛЮТНЫЕ НЕРАВЕНСТВА СТОИМОСТИ С помощью \ (> \) ИЛИ \ (\ geq \).

1. Выделите выражение абсолютного значения.
2. Напишите эквивалентное сложное неравенство.

   \ [\ begin {array} {lll}
   {| u | > a} & {\ quad \ text {эквивалентно}} & {u <−a \ quad \ text {или} \ quad u> a}
   \\ {| u | \ geq a} & {\ quad \ text {эквивалентно}} & {u \ leq −a \ quad \ text {или} \ quad u \ geq a}
   \\ {| u | > a} & {\ quad \ text {эквивалентно}} & {u <−a \ quad \ text {или} \ quad u> a}
   \\ {| u | \ geq a} & {\ quad \ text {эквивалентно}} & {u \ leq −a \ quad \ text {или} \ quad u \ geq a}
   \\ \ nonumber \ end {array} \]

3. Решите составное неравенство.
4. Постройте график решения
5. Напишите решение, используя интервальную запись.

Решение приложений с абсолютным значением

Неравенство абсолютных значений часто используется в производственном процессе. Изделие должно быть изготовлено с почти идеальными характеристиками. Обычно существует определенный допуск и отклонения от допустимых характеристик. Если отличие от спецификаций превышает допуск, товар отклоняется.

\ [| \ text {actual-ideal} | \ leq \ text {терпимость} \ nonumber \]

Пример \ (\ PageIndex {28} \)

Идеальный диаметр стержня, необходимого для станка, составляет 60 мм. Фактический диаметр может отличаться от идеального на \ (0,075 \) мм. Какой диапазон диаметров будет приемлем для заказчика, не вызывая брака прутка?

Раствор

\ (\ begin {array} {ll} {} & {\ text {Let} x = \ text {фактическое измерение}} \\ {\ text {Используйте неравенство абсолютных значений, чтобы выразить эту ситуацию.}} & {| \ text {actual-ideal} | \ leq \ text {толерантность}} \\ {} & {| x − 60 | \ leq 0.075} \\ {\ text {Перепишите как составное неравенство.}} & {- 0.075 \ leq x − 60 \ leq 0.075} \\ {\ text {Решите неравенство.}} & {59.925 \ leq x \ leq 60.075} \\ {\ text {Ответьте на вопрос.}} & {\ text {Диаметр стержня может находиться в диапазоне}} \\ {} & {59,925 мм \ text {и} 60,075 мм.} \\ \ end {array} \)

УПРАЖНЕНИЕ \ (\ PageIndex {29} \)

Идеальный диаметр стержня, необходимого для станка, составляет 80 мм.Фактический диаметр может отличаться от идеального на 0,009 мм. Какой диапазон диаметров будет приемлем для заказчика, не вызывая брака прутка?

Ответ

Диаметр стержня может составлять от 79,991 до 80,009 мм.

УПРАЖНЕНИЕ \ (\ PageIndex {30} \)

Идеальный диаметр стержня, необходимого для станка, — 75 мм. Фактический диаметр может отличаться от идеального на 0,05 мм.Какой диапазон диаметров будет приемлем для заказчика, не вызывая брака прутка?

Ответ

Диаметр стержня может составлять от 74,95 до 75,05 мм.

Получите доступ к этому онлайн-ресурсу для получения дополнительных инструкций и практики решения линейных абсолютных уравнений и неравенств.

• Решение линейных абсолютных уравнений и неравенств

Ключевые понятия

• Абсолютное значение
  Абсолютное значение числа — это расстояние от 0 на числовой прямой.
  Абсолютное значение числа n записывается как \ (| n | \) и \ (| n | \ geq 0 \) для всех чисел.
  Абсолютные значения всегда больше или равны нулю.
• Уравнения абсолютных значений
  Для любого алгебраического выражения u и любого положительного действительного числа a ,
  \ (\ begin {array} {ll} {\ text {if}} & {\ quad | u | = a} \\ {\ text {then}} & {\ quad u = −a \ text {или} u = a} \\ \ end {array} \)
  Помните, что абсолютное значение не может быть отрицательным числом .
• Как решать уравнения абсолютных значений
  1. Выделите выражение абсолютного значения.
  2. Напишите эквивалентные уравнения.
  3. Решите каждое уравнение.
  4. Проверьте каждое решение.
• Уравнения с двумя абсолютными значениями
  Для любых алгебраических выражений: u и v ,
  \ (\ begin {array} {ll} {\ text {if}} & {\ quad | u | = | v |} \\ {\ text {then}} & {\ quad u = −v \ text {или} u = v} \\ \ end {array} \)
• Неравенства абсолютного значения с \ (<\) или \ (\ leq \)
  Для любого алгебраического выражения u и любого положительного действительного числа a ,
  \ (\ begin {array} {llll} {\ text {if}} & {\ quad | u | = a} & {\ quad \ text {then}} & {- a
• Как решить неравенство абсолютных значений с помощью \ (<\) или \ (\ leq \)
  1. Выделите выражение абсолютного значения.
  2. Напишите эквивалентное сложное неравенство.
     \ (\ begin {array} {lll} {| u |
  3. Решите составное неравенство.
  4. Постройте график решения
  5. Запишите решение, используя интервальную запись
• Неравенства абсолютного значения с \ (> \) или \ (\ geq \)
  Для любого алгебраического выражения u и любого положительного действительного числа a ,
  \ (\ begin {array} {lll} {\ text {if}} & {\ quad | u |> a,} & {\ text {then} u <−a \ text {или} u> a} \\ {\ text {if}} & {\ quad | u | \ geq a,} & {\ text {then} u \ leq −a \ text {или} u \ geq a} \\ \ end {array} \)
• Как решить неравенство абсолютных значений с помощью \ (> \) или \ (\ geq \)
  1. Выделите выражение абсолютного значения.
  2. Напишите эквивалентное сложное неравенство.
     \ (\ begin {array} {lll} {| u |> a} & {\ quad \ text {эквивалентно}} & {\ quad u <−a \ text {или} u> a} \\ { | u | \ geq a} & {\ quad \ text {эквивалентно}} & {\ quad u \ leq -a \ text {или} u \ geq a} \\ \ end {array} \)
  3. Решите составное неравенство.
  4. Постройте график решения
  5. Запишите решение, используя интервальную запись

абсолютных величин неравенств | Как разрешить абсолютные неравенства | График абсолютных неравенств

28 сентября 2020

Время чтения: 5 минут

Введение

Существуют различные аспекты функции абсолютного значения, и один из них представляет собой интересную концепцию неравенства абсолютных значений, которая является пересечением абсолютной стоимости и неравенств.

Неравенства абсолютных значений имеют дело с неравенствами … … Однако существует несколько методов решения неравенств абсолютных значений, таких как использование основных свойств, рассмотрение случаев, визуализация графиков и т.д. концептуализировать шаги, необходимые для решения неравенства абсолютных ценностей.

Также читайте:

---

Абсолютные неравенства значений

Уравнение абсолютного значения не имеет решения, если выражение абсолютного значения равно отрицательному числу, поскольку абсолютное значение не может быть отрицательным.

Итак, мы можем записать как… .. неравенство по абсолютной величине как составное неравенство .

Неравенства абсолютного значения имеют дело с неравенствами \ ((<, ≤,>, ≥) \) в выражениях со знаком абсолютного значения.

Решите неравенство абсолютных значений: — \ (x: | x-9 | <4 \)

Раствор

Простой и легкий способ решить уравнение: —

\ [\ begin {align} & \ left | xa \ right | = \ {~ -x \ text {} + \ text {} a \ qquad \ text {for} ~ x \ text {} <\ text {} a \\\\ & \ {~~ x \ text {} - \ text {} a \ qquad \ text {for} ~ x ~ \ ge a \\ \ end {align} \]

Для любого действительного числа x

x, его абсолютное значение определяется как

\ (\ left | x \ right | \ text {} = \ text {} \ left \ {\ text {} x \ text {if} x \ text {}> \ text {} 0 \ quad 0 \ text {if} x \ text {} = \ text {} 0 \ quad-x \ text {if} x \ text {} <\ text {} 0 ~ \ right \} \)

Функция \ (f (x) = ∣x∣ \) также называется функцией модуля

Какие основные правила необходимо учитывать при решении неравенств по абсолютным значениям? Перейдем к рассмотрению таких свойств абсолютных неравенств.

Основные свойства абсолютных неравенств

Пусть \ (x \) будет гибким или алгебраическим выражением и пусть a будет действительным числом, так что \ (a> 0. \)

И затем, решая неравенства по абсолютным значениям, имейте в виду следующее:

• \ (∣x∣ ≤ a ⇔ — a ≤ x ≤ a \)
• \ (∣x∣ ≥ a ⇔ x ≤ — a \ text {или} x ≥ a \)
• \ (∣x∣
• \ (∣x∣> a ⇔ x <−a \ text {или} x> a \)

А для f (x) и g (x), функций от x, поэтому мы имеем следующие неравенства по абсолютным значениям:

• \ (∣f (x) ∣ ≤ g (x) ⇔ −g (x) ≤ f (x) ≤ g (x) \)
• \ (∣f (x) ∣ ≤ g (x) ⇔ −g (x) ≤ f (x) ≤ g (x) \ text {or} f (x) ≥ g (x) \)
)
• \ (∣f (x) ∣
• \ (∣f (x) ∣> g (x) ⇔ f (x) <−g (x) \ text {или} f (x)> g (x) \)

Вот некоторые другие свойства неравенства абсолютных значений:

1. \ (∣a + b∣ ≤ ∣ a ∣ + ∣b∣ \) с равенством, если оба имеют одинаковый знак, т.е.е. \ (ab> 0 \)
2. \ (∣ a — b ∣ ≤ ∣a∣ + ∣b∣ \) с равенством, если они имеют разные знаки, т.е. \ (ab <0. \)

---

Как решить абсолютные неравенства

Здесь мы узнаем, как решать неравенства по абсолютным значениям:

Значение

\ (| x | \) — это расстояние x от нуля.

Например, и \ (- 2 \), и \ (+ 2 \) представляют собой две единицы от нуля, как вы можете видеть на изображении ниже:

Это означает, что их абсолютные значения будут равны \ (2; \), то есть у нас есть:

\ [| –2 | = | +2 | = 2 \]

Давайте рассмотрим некоторые проблемы неравенства абсолютных значений, чтобы лучше понять, как решать неравенства абсолютных значений.

Проблемы с абсолютным неравенством

Решение неравенств с абсолютным значением \ (| x | <3, \) и построение графика неравенств по абсолютным значениям.

Раствор

В этом неравенстве по абсолютным значениям требуется решить неравенства по абсолютным значениям и найти все значения x, которые находятся менее чем на три единицы от нуля в любом направлении, поэтому решением будет набор всех точек. которые менее чем на три единицы от нуля.

Сначала я нарисую числовую линию:

Глядя на неравенство, я вижу, что число 1 будет работать как решение, так же как и –1, потому что каждое из них меньше трех единиц от нуля. Число 2 будет работать так же, как и –2. Но 4 не будет работать, как и –4, потому что они слишком далеки от нуля. Даже 3 и –3 не будут работать (хотя они на грани), потому что это неравенство «меньше» (но не равно).

Все-таки число 2,99 будет работать, как и –2.99. Другими словами, все точки между –3 и 3, но фактически не включая –3 или 3, будут работать как решения этого неравенства. Итак, построив график неравенства абсолютных значений, решение выглядит так:

Переводя эту картинку в алгебраические символы, я получаю следующее решение:

\ [- 3

Решение неравенств с абсолютным значением: \ (| 2x + 3 | <6. \)

Раствор

Так как это неравенство абсолютного значения «меньше чем», мой первый шаг — очистить абсолютное значение в соответствии с шаблоном «меньше чем».

\ [\ begin {align} & | 2x + 3 | <6 \\\\ & - 6 <2x + 3 <6 \ end {align} \]

Это образец для «меньше чем». Продолжая, я вычту 3 из всех трех «сторон» неравенства:

\ [\ begin {align} & — 6 — 3 <2x + 3 - 3 <6 - 3 \\ & - 9 <2x <3 \\ & - \ frac {9} {2}

Решение фактического неравенства абсолютных значений, \ (| 2x + 3 | <6 \), это интервал:

\ (- \ frac {9} {2}

---

Графическое отображение абсолютных неравенств

Еще один способ решения неравенств абсолютных значений — построение графиков неравенств абсолютных значений.Теперь, как построить график неравенства по абсолютным значениям?

График абсолютных неравенств значений

\ (Y ≥ 2 | х + 1 | −5 \)

Раствор

Шаги, необходимые для построения графиков неравенств абсолютных значений, практически такие же, как и для линейных неравенств.

Шаг 1 Посмотрите на символ неравенства, чтобы убедиться, что график пунктирный

Шаг 2 Нарисуйте график, как если бы он был равенством.

Шаг 3 Выберите точку не на линии, чтобы проверить, где ее затенять.

Итак, сначала отметим, что

≥ используется, поэтому на графике абсолютных значений будет сплошная линия. Затем мы переходим к построению графиков неравенств абсолютных значений. Это уравнение состоит из трех компонентов.

Первый —

+1 внутри абсолютного значения. Затем сместим наш график влево на одну единицу.

Далее идет

−5 снаружи. Это сдвинет наш график на пять единиц вниз.

Последний, есть

2 умножение абсолютного значения. Это объяснит, какой наклон будут у линий. Применяя все к основному графику абсолютных значений, получаем:

\ [Y = 2 | x + 1 | −5 \]

Последний шаг — выбрать точку не на линии для проверки. Поскольку (0,0) нет в строке, я выберу это.

\ [\ begin {align} & (0) ≥ 2 | (0) + 1 | — 5 \\\\ & 0 ≥ 2 | 1 | — 5 \\\\ & 0 ≥ 2 — 5 \\\\ & 0 ≥ — 3 \ end {align} \]

Значит, ноль больше или равен трем отрицательным? Соответственно, (0,0) находится внутри графика, закрашиваем внутреннюю часть.

---

Таблица абсолютных неравенств

Cuemath имеет множество рабочих листов по неравенству абсолютных значений, которые составлены с особой тщательностью, чтобы помочь в укреплении концепций неравенства по абсолютным значениям и способах решения неравенств по абсолютным значениям. Эти уравнения абсолютных значений и таблица неравенств доступны по этой ссылке — https://www.cuemath.com/algebra/inequalities-involving-absolute-values/

---

Сводка

Неравенства абсолютного значения будут составлять 2 набора решений из-за природы абсолютного значения.Мы решаем, записывая два уравнения: одно равное положительному значению, а второе — отрицательному.

Решения абсолютного неравенства значений могут быть проверены графически.

Понятие абсолютного значения сложно, потому что уравнения с абсолютным значением обычно имеют более одного решения. Эта глава помогает облегчить трудности, связанные с уравнениями и неравенствами по абсолютным значениям, и понять, как решать неравенства по абсолютным значениям, предоставляя конкретные шаги, которые необходимо соблюдать при решении неравенств по абсолютным значениям.Это также вводит идею критической точки. Эта идея, а также шаги, которые мы используем, будут полезны в других разделах алгебры — например, при построении графиков неравенств абсолютных значений более чем одной переменной. Таким образом, важно освоить их сейчас.

Автор Неха Тьяги

---

Часто задаваемые вопросы (FAQ)

Что означают абсолютные значения с неравенством?

Неравенство абсолютного значения — это неравенство, имеющее знак абсолютного значения с переменной внутри.

Каковы правила абсолютного значения?

В математике важное правило абсолютного значения действительного числа x обозначает | x | — неотрицательное значение x независимо от его знака. Другими словами, | x | = x, если x положительно, и | x | = −x, если x отрицательно (в этом случае −x положительно), и | 0 | = 0.

Какова цель абсолютного значения?

Когда вы видите абсолютное значение в задаче или уравнении, это означает, что все, что находится внутри абсолютного значения, всегда положительно.Абсолютные значения обычно используются в задачах, связанных с расстоянием, а иногда и с неравенствами.

Почему абсолютное значение всегда положительно?

Нет. Абсолютное значение всегда положительное. Поскольку это расстояние, на котором число находится от 0, оно всегда будет положительным.

Является ли 0 абсолютным значением?

Абсолютное значение 0 равно 0. (Причина в том, почему, поскольку мы не говорим, что абсолютное значение числа положительно: ноль не является ни отрицательным, ни положительным.