Как решить уравнение 2 x 3 x: как решить уравнение 2x-3x=0 — Школьные Знания.com

Содержание

12. Уравнения, содержащие модуль. Рациональные уравнения

МАТЕРИАЛ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ

Уравнения, содержащие модуль

Если в уравнении некоторые выражения, содержащие неизвестное, стоят по знаком модуля, то решение исходного уравнения ищется отдельно на каждом из промежутков знакопостоянства этих выражений.

Пример 1
Решить уравнение |3x-6|=x+2.
Решение:
Рассмотрим первый случай: 3х-6≥0, тогда 3х-6=х+2, 2х=8, х=4.
Рассмотрим второй случай: 3х-6<0, тогда 3х-6=-(х+2), 4х=4, х=1.
Ответ: 1; 4.

Пример 2
Решить уравнение |x-2| - 3|x-1| + 4|x-3| = 5.

Отметим на координатной прямой точки:

х-2=0     х-1=0    х-3=0
х=2        х=1      х=3

Рассмотрим решения уравнения на промежутках (-∞; 1];   (1; 2];  (2; 3] и (3; +∞).

При х≤1: -(х-2) + 3(х-1) -4(х-3)=5, -х+2+3х-3-4х+12=5, -2х=-6, х=3. Ответ не принадлежит промежутку, следовательно нет решений.
При 1<х≤2: -(х-2) - 3(х-1) -4(х-3)=5, -х+2-3х+3-4х+12=5, -8х=-12, х=1,5. Ответ принадлежит промежутку.
При 2<х≤3: х-2 - 3(х-1) -4(х-3)=5, х-2-3х+3-4х+12=5, -6х=-8, х=4/3. Ответ не принадлежит промежутку, следовательно нет решений.
При х>3: х-2 - 3(х-1) +4(х-3)=5, х-2-3х+3+4х-12=5, 2х=16, х=8. Ответ принадлежит промежутку.
Ответ: 1,5; 8.



Рациональные уравнения   Рациональным уравнением называется уравнение вида 

где P(x), Q(x)  - многочлены.

Решение уравнения сводится к решению системы:

Пример 

Решить уравнение

Решение:

x2-4=0,                х-2≠0,

x2=4,                   х≠ 2.

х=-2 или х=2.

Число 2 не может быть корнем.

Ответ: -2.




УПРАЖНЕНИЯ 1. Из данных уравнений выберите те, которые не имеют корней:

а) |x|+4=1;    |x-5|=2;   |x+3|=-6.    б) |1+x|=3;   |1-x|=-4;   8+|x|=2.

Решение:
а)  |x|+4=1 не имеет корней, т.к.  |x|=-3 и модуль не может быть отрицательным числом; |x-5|=2 имеет корни; |x+3|=-6 не имеет корней, т.к.   модуль не может быть отрицательным числом.


Ответ: |x|+4=1; |x+3|=-6.



2. Решите уравнение:

а) |5x|=15;    б) |2x|=16.

Решение:
а) |5x|=15;
    |5||x|=15;
     5|x|=15;
     |x|=3;
     x=3 или x=-3.



3. Решите уравнение:

а) |5x+1|=5;    б) |2x-1|=10.

Решение:
а) |5x+1|=5;
Ответ: -1,2; 0,8.



4. Решите уравнение:

а) |5x2+3x-1|=-x2-36;    б) |3x2-5x-4|=-4x2-23.

Решение:
а) |5x2+3x-1|=-x2-36. Рассмотрим выражение  -x2-36, оно принимает отрицательные значения при любых значениях х, следовательно уравнение |5x2+3x-1|=-x2-36 не имеет корней.
Ответ: нет корней



5. Решите уравнение:

Решение:
Ответ: -1/3.

6. Решите уравнение:
Решение:
14х2-5x-1=0,


7. Решите уравнение:
Решение:



8. Решите уравнение:

Решение:

х ≠3.
Ответ: -4; 1.

9. Найдите, при каком значении переменной значение выражения 
 равно:  а) -6;    б) 6. Решение:



10. Решите уравнение:


Решение:
а) Разложим знаменатели на множители:
х2-36=(x-6)(x+6).
108-24x+х2=(x-6)(x-18).
2x-36=2(x-18).


11. Решите уравнение:

а) х2-6|x|=0;    б) х2+4|x|=0.   

Решение:
а) х2-6|x|=0; 
х≥0: х2-6x=0;   х(х-6)=0, x1=0, x2=6.

x<0:  х2+6x=0;   х(х+6)=0, x1=0, x2=-6.

Ответ: -6; 0; 6.


12.Решите уравнение:

а) х2-3|x|+2=0;    б) х2-2|x|+1=0.   

Решение:
а) х2-3|x|+2=0.
х≥0: х2-3x+2=0;   D=9-8=1, x1=2, x2=1.
x<0:  х2+3x+2=0;   D=9-8=1, x1=-2, x2=-1.
Ответ: -2; -1; 1; 2.



13. Решите уравнение:

а) |x-2|+|x-4|=5;     б) |x-1|-|x-4|=6.

Решение:
а) |x-2|+|x-4|=5.
x≤2: -(x-2)-(x-4)=5, -x+2-x+4=5, x=0,5.
2<x≤4: x+2-(x-4)=5, x-2-x+4=5, 2=5 - нет решений.
x>4: x-2+x-4=5, 2x=11, x=5,5.

Ответ: 0,5; 5,5.


14.Решите уравнение:

а) |3- |4- |x|||=5;   б) 8-|2 -|x|||=3. 

Решение:
а) |3- |4- |x|||=5;
3- |4- |x||=5               или          3- |4- |x||=-5;

|4-|x||=-2 - нет решений            |4-|x||=8
                                                    4-|x|=8 или 4-|x|=-8
                                                    |x|=-4 - нет решений   |x|=12
                                                                                         х=12 или х=-12.
Ответ: -12; 12.


15. Решите уравнение:
Решение:
а) 
3x-7≥0: х2-3x+10=0;   D=9-40=-31<0 - нет корней.

3x-7<0: х2-3x-10=0;   D=9+40=49, x1=5, x2=-2.
3x-7≠0, x≠7/3.
Ответ: -2; 5.


ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

1. Какие из чисел -4; -1;  2;  1,5; 2,5 являются корнями уравнения:

а) |3x-1|=5;    б) |4-2x|=1?

2. Решите уравнение:

а) |3x|=21;    б) |2x|=-12.

3.  Решите уравнение:

а) |2x-5|=1;    б) |3x+6|=18.

4.  Решите уравнение:

5.  Решите уравнение:

6.  Решите уравнение:

7.  Решите уравнение:

8.  Решите уравнение:

9. Решите уравнение:

а) 3(x-1) = |2x-1|;   б) |5-2x|=|x+4|.

10. Решите уравнение:

а) |х2+x|=12;    б) |х2-3x|=10.


Проверь себя




Решение простых показательных уравнений

Простые примеры на показательные уравнения позволят овладеть методикой их решения. Задания не слишком сложные и будут полезными для всех кто изучает показательные уравнения, готовится к тестированию, контрольным или вступительным экзаменам.

Пример 1. Решить уравнение (0,5)х =.
Решение: Первое что нужно сделать это свести уравнение к одному основанию. С этой целью преобразуем правую сторону показательного уравнения

В итоге уравнение сведется к виду

Теперь основы ровны, поэтому можем приравнять показатели

и найти ответ x=-2,5.

Вот такие простые вычисления.

 

Пример 2. Решить уравнение

(2/3)х*(9/8 =27/64.
Решение: Преобразим правую и левую сторону показательного уравнения к одной основе


Подставим в уравнение и приравняем показатели

Таким простым методом нашли решение показательного уравнения x=3.

 

Пример 3. Решить уравнение 5-7х-35*5+35*7х=0.
Решение: Сгруппируем слагаемые, содержащие 5 и 7х.


Последняя запись показательного уравнения многих заводит в тупик. (Не всем легко найти ответ).
Тогда, давайте перепишем уравнение в виде

Согласно свойствам показательных функций решение равно нулю x=0. Только возведением к 0 степени можно получить единицу.
Для наглядности посмотрите графики показательных функций. Они пересекаются в точке x=0.

 

Пример 4. Решить уравнение 14х+2+5*14х-1=2749.
Решение: В подобных задачах необходимо вынести основу с наименьшим показателем. Для этого распишем уравнение к виду




Получили что решение равно единице.

 

Пример 5. Решить уравнение (0,6)х+2 =25/9 .
Решение: Такого рода задачи следует решать по следующей схеме.
Обязательно превратить число 0,6 к дробному виду

Далее уже поступают исходя из условия, в нашем случае превращаем правую сторону.

Приравниваем показатели, предварительно изменив знак в каком либо, чтобы получить одинаковую основу
x+2=-2; x=-2-2=-4.
Решение показательного уравнения x=-4.

 

Пример 6. Решить уравнение (0,25)х-1=2*sqrt(2)
Решение: Преобразим показательное уравнение к одной основе

Подставим выражение в уравнение



Решение уравнения равно 1/4.

 

Пример 7. Решить уравнение (1,44)х-4=6/5.
Решение: Не сразу можно догадаться как упрощать уравнения.
Распишем сначала правую сторону 6/5=1,2.
Основу в показателе сводим к виду

После подстановки приравниваем показатели при одинаковых основаниях

2(x-4)=1; 2x-8=1; 2x=9;x=9/2=4,5.

Решения уравнения x=4,5.

Пример 8. Решить уравнение
Решение: Используем основополагающее

правило для показательных уравнений - свести уравнение к слагаемым с одинаковым основанием.
Выполним манипуляции с основой


Подставляем в уравнение и приравниваем степени

Решение показательного уравнения равно x=-2.

 

Пример 9. Решить уравнение 3х-1+3х-2+3х-3=13.
Решение: Расписываем слагаемые так, чтобы потом сгруппировать слагаемые с одинаковим показником

Дальнейшие действия достаточно просты

Уравнение удавлетваряет значение x=3.

 

Пример 10. Найти сумму решений уравнения
Решение: Можно догадаться что придется вычислять квадратное уравнение. Но к нему еще нужно прийти. Для начала запишем 0,6 в виде

Подставим в показательное уравнения

Теперь можно приравнять степени при основаниях

Корни уровнения x=0; x=-1/2.
Их сумма равна
0-1/2=-0,5.


На этом знакомство с возможными примерами простых показательных уравнений завершено. Сложные примеры можно найти на страницах сайта. Оставайтесь с нами и мы подготовим Вас лучше репетиторов.

Похожие материалы:

заказ решений на аукционе за минимальную цену с максимальным качеством

Предлагаю идею сайта-аукциона по выполнению домашних заданий. Он будет включать:

  • решение задач по математике (сейчас доступен решебник Филиппова), физике, химии, экономике
  • написание лабораторных, рефератов и курсовых
  • выполнение заданий по литературе, русскому или иностранному языку.

Основное отличие от большинства сайтов, предлагающих выполнение работ на заказ – сайт рассчитан на две категории пользователей: заказчиков и решающих задания. Причем, по желанию (чтобы заработать, увеличить свой рейтинг, получить решение сложной задачи) пользователи могут играть любую из этих ролей.

Объединение сервисов в одну систему

Основой для идеи послужили несколько работающих систем, объединение которых позволит сделать сервис для решения задач на заказ. Эти системы:

  • Форум, где посетители обмениваются идеями и помогают друг другу
  • Система bugtracking, где обнаруженные проблемы проходят путь от публикации до принятия в исполнение и решения
  • Аукцион, где цена за товар или услугу определяется в результате торгов
  • Система рейтингов, где участники могут оценивать ответы друг друга. Причем, чем больше рейтинг пользователя, тем более значимым становится его голос

Принцип работы

Для удобства и проведения аналогий с реальной жизнью назовем заказчиков студентами, а решающих задания – репетиторами.

Итак, студенту необходимо решить несколько задач. Он заходит на сайт, выбирает раздел с соответствующей дисциплиной и создает новую тему (аналогия с форумом). Но при создании темы он также указывает стартовую (максимальную) цену, которую он готов заплатить за решение задач и крайний срок исполнения задания. Можно будет назначить и нулевую цену – если студенту нужно только бесплатное решение.

Как только тема создана, все пожелавшие подписаться на раздел репетиторы получают уведомление. Причем, условие получения уведомлений можно настроить. Например, уведомлять только о заказах со стартовой ценой более 500 р. и сроком решения не менее недели.

Заинтересовавшиеся репетиторы делают ставки. Причем студент (автор темы) видит ставки и может посмотреть информацию по каждому репетитору (его решения, рейтинг, дату начала участия в проекте). Когда студент посчитает нужным, он может остановить аукцион и назначить задание одному из репетиторов, сделавшему ставку (не обязательно самую низкую, т.к. можно учитывать и другие факторы – см. выше).

Деньги блокируются на счете студента, и репетитор начинает решать задание. Он должен представить его к сроку, заданному изначально. Выполненное решение публикуется в свободном доступе и его может оценить как заказчик, так и другие репетиторы. На этих оценках и строится рейтинг. Если к решению нет претензий – деньги окончательно переводятся со счета студента на счет репетитора.

За счет чего будет развиваться сервис

Первое – положительная обратная связь. Чем больше условий задач и решений будет опубликовано на сайте, тем чаще его будут находить пользователи через поисковики, будет больше ссылок на готовые решения. Именно поэтому важно размещать решенные задачи в свободном доступе. Знаю это по опыту своего сайта exir.ru (ex irodov.nm.ru) – большая ссылочная база получена исключительно за счет благодарных пользователей.

Второе – удобный сервис для заказчиков и для желающих заработать на решениях.

Преимущества для заказчиков

Студентам и школьникам не нужно перебирать десятки сайтов для сравнения цен, а потом надеяться, что после оплаты они получат качественное решение (и, вообще, все не закончится перечислением денег). Заказчики создают аукцион на понижение цены и могут смотреть на рейтинги желающих решить задачи и ранее выполненные ими решения. Кроме того, деньги окончательно перечисляются исполнителю только после полного решения.

Преимущества для решающих задания

Не нужно создавать и продвигать свой сайт, размещать множество объявлений во всех доступных источниках информации. Заказчики сами придут к вам. Не нужно решать все присланные задания с целью поддержания репутации – можно выбирать те, которые будут интересны по уровню сложности, цене и срокам решения.

Преимущества для владельца сервиса

Если вы не понимаете, какую выгоду получит делающий вам какое-нибудь предложение – будьте осторожны! 🙂 У меня уже есть большой опыт работы с сайтом, предоставляющим бесплатные решения по физике. И вариант с получением прибыли от размещения рекламы подходит и для нового сервиса. Кроме того, мне нравится помогать людям и довольно тяжело смотреть, как множество вопросов по задачам остаются на форуме без ответа. Предложенный аукцион решений сможет значительно сократить число вопросов без ответов.

В будущем возможен вариант и с получением некоторого небольшого процента от оплаты заказов. Но процент этот должен быть минимален и на начальном этапе он взиматься точно не будет.

Что необходимо для создания сервиса

  1. Самым важное сейчас – собрать команду, готовую принять участие в выполнении заданий. Если покупатели заходят в пустой магазин – они надолго забывают в него дорогу.

    Поэтому я собираю предварительные заявки от посетителей, готовых заниматься решениями. Не нужно подписания никаких договоров о намерениях. Просто сообщите, на какие темы вы готовы решать задания, какой у вас опыт подобной работы (e-mail: [email protected]). Когда сервис заработает – я пришлю приглашение на регистрацию.

  2. Выбрать платежную систему.
  3. Сделать подходящий движок для сайта. Нужно решить – создавать его с нуля или изменить какой-нибудь существующий движок (например, форумный) с открытой лицензией.
  4. Привлечь посетителей. Учитывая посещаемость exir.ru и число публикуемых на форуме вопросов, думаю, это не будет большой проблемой.

По грани вычислимого

17 марта Норвежская академия наук объявила лауреатов Абелевской премии 2021 года: ими стали Ласло Ловас и Ави Вигдерсон — за «фундаментальный вклад в теорию компьютерных наук и дискретную математику и ведущую роль в их формировании как центральных областей современной математики». По просьбе N + 1 о работах одного из лауреатов, Ави Вигдерсона, рассказывает Даниил Мусатов, доцент кафедры дискретной математики Физтех-школы прикладной математики и информатики МФТИ.

Вообще говоря, теоретическую информатику можно считать разделом математики, вот только постановки задач в ней берутся не из физики, как в математическом анализе, и не из экономики, как в теории игр, а из практических или фундаментальных вопросов в программировании, проектировании информационных систем и других сферах, связанных с вычислительными устройствами. Можно сказать, что основным предметом этой области является разграничение между задачами, которые в принципе решаются на компьютере, и теми, чье решение невозможно. В отличие от других разделов математики, здесь очень большая часть результатов носит условный характер: они верны и осмысленны только в случае истинности той или иной недоказанной гипотезы. Из этих гипотез выделим и кратко опишем две важнейшие: неравенство классов P и NP и существование односторонних функций. Они важны для понимания как состояния теории в целом, так и вклада Вигдерсона.

Ави Вигдерсон родился в 1956 году в израильской Хайфе. Оба его родителя пережили Холокост, потеряв почти всех родственников. После нацистской оккупации Польши его отец, будучи 17-летним юношей, сумел бежать в СССР, где добрался до Ашхабада, устроился инженером на электростанцию и проработал все военные годы. По словам Ави, отец сыграл огромную роль в его становлении как исследователя: он с раннего детства прививал сыну любовь к математике и очень любил рассказывать окружающим об устройстве разных приборов, чем показывал пример научного обсуждения.

Ави Вигдерсон

Ednawig / wikimedia commons / CC BY-SA 4.0

P=NP?

Проблема равенства P и NP была поставлена ровно полвека назад, в 1971 году, независимо в работах американо-канадского математика Стивена Кука и советского математика Леонида Левина (позднее он также эмигрировал в США из-за политического преследования в СССР). Если говорить кратко, то проблема заключается в оценке алгоритмической сложности переборных задач.

Разберемся сначала, о каких задачах идет речь и что такое алгоритмическая сложность. Задачи здесь изучаются массовые, то есть содержащие бесконечное число различных формулировок: решить уравнение (x2 + 20x + 21 = 0) — это конкретная задача, а решить уравнение (x2 + px + q = 0) для всех p и q — массовая. Кроме того, мы ограничимся дискретными задачами с бинарным ответом. Дискретность означает, что условие записывается конечным числом битов — например, p и q должны быть целыми. Бинарность ответа означает, что ответ будет «да» или «нет»: нужно не найти решение, а указать, есть ли оно.

Нас будут интересовать алгоритмические решения, то есть компьютерные программы, которые принимают на вход условие задачи, и, проработав некоторое время, возвращают правильный ответ. Сложность задачи определяется временем работы алгоритма. Поскольку разных условий бесконечно много, смотрят не на конкретные числа, а на порядок роста времени решения в зависимости от размера задачи (в битах). Говорят, что алгоритм полиномиален, если время его работы растет как многочлен, то есть с задачами размера n алгоритм работает не дольше, чем cnd для некоторых констант c и d. На практике редко используют алгоритмы со степенью многочлена больше 3, но в теории полиномиальность считается синонимом вычислительной эффективности. Это может показаться странным: если время растет как n20, то работа с задачей из 10 битов потребует мощнейшего суперкомпьютера, а если время растёт как n100, то вычисления будут принципиально нереализуемы в силу физических причин. Почему же мы считаем такие алгоритмы эффективными? Во-первых, любая конкретная граница была бы произвольной и зависела бы от особенностей компьютерной архитектуры. Во-вторых, как правило, если какой-то полиномиальный алгоритм для решения задачи мы нашли, то дальше его можно улучшать, чтобы сделать реализуемым на практике.

Класс P как раз объединяет все задачи, для которых найдется хоть какой-то полиномиальный алгоритм.

Теперь определим, что такое класс NP, или же класс переборных задач. Пусть есть задан некоторый эффективный, то есть полиномиальный алгоритм, проверяющий, является ли данная запись решением данной задачи. Вот примеры:

  • дан граф социальной сети, нужно проверить, верно ли, что в данной группе людей все знакомы друг с другом;

  • дана головоломка судоку, нужно проверить, является ли данное заполнение квадрата ее решением;

  • дано число побольше и число поменьше, нужно проверить, что первое делится на второе;

  • дан список требований, которым должно удовлетворять расписание занятий (например, у одного преподавателя не должно быть двух занятий одновременно или слишком большого числа занятий подряд), нужно проверить их выполнение в данном расписании;

  • даны аминокислотная и пространственная структуры белка, нужно проверить, действительно ли белок так свернется;

  • дана математическая теорема и формальная запись ее доказательства, нужно проверить корректность доказательства.

В каждом примере возникает задача о наличии подходящей записи: есть ли решение у головоломки, реализуемы ли требования к расписанию, доказуема ли теорема и так далее. (В случае с теоремой важно, чтобы доказательство было полиномиальной длины). Подобные задачи и образуют класс NP. Их можно придумать огромное количество, и для решения каждой из них возникает переборный алгоритм: рассмотрим все допустимые записи и про каждую из них проверим, является ли она подходящей. В процессе такого перебора либо нужное решение найдется, либо станет ясно, что его не существует. Однако такой перебор будет слишком долгим — экспоненциальным, — и начиная с некоторого размера задачи компьютер с ним никогда не справится — ни существующий, ни любой мыслимый. Вопрос заключается в следующем: есть ли универсальный способ сократить такой огромный перебор до полиномиального, то есть включено ли NP в P?

Для некоторых задач сократить перебор можно: например, третий пример из списка выше соответствует известнейшей задаче о проверке числа на простоту (точнее, тут проверка обратная: есть ли у числа делитель, то есть является ли число составным). В 2002 году индийские математики Маниндра Агравал, Нирадж Каял и Нитин Саксена опубликовали алгоритм (ставший известным под названием AKS по первым буквам фамилий авторов), проверяющий простоту за полиномиальное время, и показали, что в этой задаче большой перебор не нужен. Тут стоит отметить, что многочлен измеряется не от самого числа, а от количества знаков в его десятичной записи, то есть от его логарифма.

Однако для множества других задач подобных алгоритмов не найдено и есть серьезные основания полагать, что их и нет. В конце концов, это прекрасно согласуется с обычной интуицией: в большинстве жизненных задач найти подходящий вариант куда сложнее, чем оценить предложенный. При этом решения задач об оптимальном расписании или о сворачивании белков могли бы кардинально улучшить повседневную жизнь людей, а решение задачи о поиске доказательств теорем — радикально продвинуть наши знания в математике.

Возможность криптографии

С другой стороны, P≠NP — необходимое требование для работы почти любых криптографических протоколов. Большинство из них можно взломать, перебрав возможные ключи или пароли, а их надежность строится на том, что такой перебор неосуществим, а более эффективных способов взлома нет. Если же P=NP, то такие способы есть и, вполне возможно, они осуществимы и на практике. Поэтому такое открытие поставило бы под угрозу все современное мироустройство, что обыграно в фильме Travelling Salesman.

Однако один только факт, что P≠NP, криптографию не спасет. Когда речь идет о сложности алгоритмических проблем, время работы измеряется в худшем случае: если в каких-то ситуациях алгоритм работает долго, то задача считается сложной. Для криптографии этого недостаточно: алгоритм взлома должен работать долго не время от времени, а всегда или почти всегда.

И тут необходимым условием является существование односторонней функции: такой, что по аргументу можно быстро вычислить значение, а вот по значению вычислить хоть какой-то его прообраз почти невозможно. Известным кандидатом на роль такой функции является перемножение чисел: это очень простая операция, а вот разложить число на множители может быть сложно. И AKS-алгоритм тут не поможет: он говорит, есть ли у числа нетривиальные множители, но не помогает их найти. Зато потенциально может помочь квантовый компьютер, для которого есть алгоритм Шора. Однако и квантовые компьютеры не взломают все криптографические протоколы: например, им не поддаются большинство криптографических хеш-функций, а также криптографические протоколы, построенные на задачах из теории решеток.

P=BPP?

Еще один важнейший вопрос — сила рандомизированных алгоритмов. Это процедуры, использующие в своей работе случайные биты. С одной стороны, в результатах могут возникнуть ошибки. С другой стороны, они могут работать значительно эффективнее детерминированных, а если ошибки маловероятны, то алгоритмы вполне можно использовать. Например, задолго до AKS-алгоритма были известны вероятностные тесты простоты. Они используются и сейчас, так как работают гораздо быстрее изобретения индийских математиков, а вероятность ошибки очень мала.

Но есть ряд задач, для которых известны лишь вероятностные полиномиальные алгоритмы, а детерминированные требуют огромного перебора или другой экспоненциально долгой процедуры. Это в принципе невозможно изменить или мы просто пока не придумали подходящий алгоритм? Обычно эту проблему формулируют как вопрос о равенстве P и BPP.

Для задач из класса P существуют полиномиальные детерминированные алгоритмы, а для задач из класса BPP — вероятностные. На первый взгляд проблема равенства P и NP и проблема равенства P и BPP очень похожи: и в NP, и в BPP есть задачи, для которых неизвестно полиномиальных алгоритмов. Тем не менее, многие исследователи считают, что ответы разные: P≠NP, но P=BPP. Ниже мы увидим, почему.

Я знаю пароль

Получив представление о ключевых проблемах теоретической информатики, можно начать знакомство с достижениями Вигдерсона. Среди них наиболее широко известна концепция доказательств с нулевым разглашением (zero-knowledge proofs), разработанная совместно с Одедом Гольдрайхом и Сильвио Микали.

Карьера Вигдерсона связана с двумя странами: Израилем и США. Закончив в 1980 году бакалавриат в Технионе (Хайфа), он поступил в Принстонский университет, где через три года защитил диссертацию под руководством Ричарда Липтона (очень рекомендуем его блог о сложности вычислений «Потерянное письмо Гёделя»).

После нескольких краткосрочных позиций в калифорнийских университетах он вернулся в Израиль, где стал профессором Еврейского университета в Иерусалиме. Затем он несколько раз возвращался на временные позиции в Принстоне, а в 1999 году возглавил специальную программу по компьютерным наукам и дискретной математике в Институте перспективных исследований — знаменитом месте, где работали такие титаны науки, как Альберт Эйнштейн, Курт Гёдель и Джон фон Нейман, и где был создан первый компьютер, программа которого не была выполнена «в железе», а хранилась в памяти, как у подавляющего большинства современных устройств. Программа нацелена на краткосрочные (от года до трех) визиты молодых ученых и интенсивные исследования и обсуждения. За время ее существования получено множество блестящих результатов, а несколько участников, включая и самого Вигдерсона, получили премию Гёделя — главную награду в области теоретической информатики.

Объяснить, что это такое, можно на таком примере. Пусть Боб решает какую-то головоломку, например, судоку, а Алиса знает решение. Боб уже отчаялся и вот-вот бросит поиск, а Алиса хочет его приободрить, убедив, что решение точно есть. Как это сделать, не выдав никакой подсказки? Оказывается, есть универсальная многораундовая процедура: Алиса хитрым образом шифрует решение, а потом по запросу Боба точечно расшифровывает, так что прочитанный фрагмент убеждает Боба, что решение было правильным, но при этом не раскрывает никакой информации о самом решении.

Опишем один раунд одной из возможных процедур подробнее. Вначале Алиса шифрует известное ей решение судоку простейшим шифром замены. Будем считать, что она заменяет цифры 1,2,...,9 на буквы A,B,...,I, но выбирает соответствие случайным образом.

Но зашифрованное решение целиком предъявлять нельзя, иначе Боб легко восстановит исходное. Поэтому все ячейки закрываются «шторками». А Боб делает одно из следующих действий:

  • открыть все шторки в произвольной строке и убедиться, что каждая буква встречается ровно один раз;
  • открыть произвольный столбец;
  • открыть произвольный квадрат 3×3;
  • открыть поля, на которых изначально стояли цифры. На них проверяется корректность замены: одинаковые цифры должны замениться на одинаковые буквы, а разные на разные.

Таким образом, всего есть 28 разных проверок (9 строк, 9 столбцов, 9 квадратов плюс проверка на корректность замены). Если у Алисы есть решение, то она честно проведет все манипуляции и пройдет все проверки. Если решения нет, то где-то должна быть ошибка — и Боб с вероятностью хотя бы 1/28 ее обнаружит. При этом никакой информации про решение Боб не узнает: при первых 27 проверках он увидит только случайную перестановку букв от A до I, а при 28-й — случайную замену исходного условия. Если повторить процедуру достаточно много раз, то сжульничавшей Алисе должно исключительно повезти, чтобы Боб ни разу не наткнулся на ошибку. Если Алиса каждый раз выбирает случайный шифр заново, то Боб все так же не узнает никакой секретной информации.

Пусть Боб не может решить такую головоломку судоку

Алиса же знает решение головоломки

Алиса шифрует известное ей решение случайным шифром замены: вместо цифр подставляет буквы. Ни исходное решение, ни шифрованное не показываются Бобу.

Затем Алиса закрывает все клетки шифрованного решения непрозрачными шторками

Боб может попросить открыть случайно выбранный столбец и убедиться, что все буквы разные

Альтернативно Боб может попросить открыть случайную строку

Третий вариант запроса Боба — случайно выбранный квадрат 3х3

Наконец, Боб может попросить открыть все ячейки, соответствующие исходному условию, и проверить корректность замены. После того, как Боб сделал один из запросов, Алиса уничтожает зашифрованное решение и генерирует шифр заново

Остается вопрос, как реализовать «закрытие и открытие шторок», если между Алисой и Бобом нет физического контакта. В работе Вигдерсона показано, что это можно сделать на основе любой односторонней функции: требуется специальный протокол «привязки к сообщению». Кроме того, этот алгоритм можно распространить с судоку на любую задачу с быстрой проверкой решения, то есть на весь класс NP. Заметим, что именно для судоку есть более простой физический протокол, основанный на тасовании карт, но его сложнее переделать в криптографический.

Какая от этого практическая польза? На основе концепции нулевого разглашения можно построить систему аутентификации, устойчивую к фишингу, краже паролей при помощи поддельных сайтов. Пользователь будет доказывать серверу, что знает подходящий пароль, не раскрывая никакой информации об этом пароле. Взломщик, не знающий пароля, не сможет ничего доказать серверу, а поддельный сервер не сможет ничего узнать о пароле пользователя. На этом строится протокол SRP, он внесен в стандарты, его используют при идентификации ProtonMail, iCloud и некоторые банковские приложения, а появившийся несколько лет назад протокол OPAQUE обещает устранить ряд недостатков SRP.

Тем не менее, в большинстве случаев аутентификация работает менее надежными способами, и на короткое время сервер получает пароль в исходном виде. Более широкому распространению протоколов с нулевым разглашением мешает как определенная инерция мышления разработчиков, так и требования обратной совместимости: например, такой сценарий требует нескольких раундов общения и потому его исполнение в существующих браузерах может быть затруднено.

Хорошие случайности

Пожалуй, наиболее глубок и разносторонен вклад Вигдерсона в теорию вероятностных вычислений. Заметьте, что и одним из ключевых элементов описанной схемы для судоку было случайное шифрование. Именно благодаря нему Боб ничего не узнавал о решении по открытой информации. Но часто рандомизация помогает и решению чисто алгоритмических задач, преобразованию входа в выход.

Представьте, что вы попали в центр лабиринта Минотавра. Минотавр пока спит, и точно известно, что выход есть, так что у вас есть время на побег. Проблема в том, что лабиринт очень большой и многоуровневый, все комнаты похожи друг на друга, а никаких средств записи у вас нет. Так что вы не сможете составлять карту по мере обхода лабиринта и не сможете запомнить, какие комнаты уже обошли. Если бы лабиринт был плоским, можно было бы действовать по правилу левой руки: взяться за стену и на всех развилках поворачивать налево — так вы обойдете весь лабиринт и в какой-то момент наткнетесь на выход. Но для сложной пространственной структуры такой метод уже не сработает: никакого естественного порядка обхода ввести не получится. Оказывается, неплохим решением в такой экстремальной ситуации будет случайное блуждание: оказавшись в новой комнате, выбирайте случайно любую из соседних. В среднем вы доберетесь до выхода достаточно быстро, хотя если очень не повезет, то останетесь в лабиринте навсегда.

Использование случайности в алгоритмах ставит несколько важных вопросов. Один мы уже упоминали: нельзя ли придумать процедуру для решения той же задачи, но без использования случайных битов? Для задачи о лабиринте Минотавра можно, что доказал один из коллег Виндерсона — Омер Рейнгольд. Но для других, более сложных задач ответ неизвестен. Другой вопрос более практичен: откуда брать случайные биты в достаточном количестве для работы наших алгоритмов и процедур взаимодействия? И насколько повлияет качество случайных битов на точность ответа и надежность протокола?

Давайте сначала разберемся с качеством случайности. Ее источники разделяют на два вида: генераторы истинно случайных чисел и генераторы псевдослучайных чисел. Генераторы истинно случайных чисел получают данные из какого-то природного, технического или социального процесса, который протекает случайным образом. Это может быть, например, радиоактивный распад, атмосферные течения, шум аудиокарты, движение мышкой пользователя или котировки на бирже. Есть и специально сконструированные квантовые приборы, в которых стоит лазер, излучающий один фотон, полупроницаемое зеркало и два регистратора, проверяющих, отразился фотон от зеркала или нет. Но какая бы ни была природа процесса, регистрирующий прибор будет неизбежно вносить искажения, так что выдаваемые им биты могут иметь те или иные скошенности или корреляции.

В то же время генераторы псевдослучайных чисел на самом деле являются полностью детерминированными процедурами, но их выход «очень похож» на случайный, так что часто используется вместо него. Примером генератора «на коленке» является такой алгоритм: возьмите четырехзначное число, не оканчивающееся на два нуля, возведите его в квадрат и получите число восьмизначное (если получилось меньше знаков, добавьте в начало недостающие нули). Теперь возьмите серединку, то есть число, образованное знаками с 3-го по 6-й. Это будет следующее число, с которым можно проделать ту же процедуру, и дальше она повторяется по циклу. Например, начнем с числа 2021. Возведя в квадрат, получим 04084441. Серединка — 0844. Снова возведя в квадрат, получим 00712336. Серединка — 7123. Дальше получится 7371, 3316, 9958, 1617, 6146, 7733, 7992, 8720 и так далее. Никакой явной закономерности не просматривается, хотя процедура порождения очень простая. Конечно, у процедуры есть недостатки: например, число 3792 неожиданно переходит само в себя. На практике используют более продвинутые генераторы, но, например, для лотерей псевдослучайные числа не подойдут в принципе.

Для приложений важно как качество случайных битов, так и их количество. Эти требования противоречат друг другу: при «массовом производстве» битов будет возникать разного рода «брак». Предположим, что у нас есть два источника: один очень хороший, но медленный (например, лотерейный барабан), другой низкого качества, но быстрый (например, сеть автоматических метеостанций). Оказывается, есть способ скомбинировать эти источники, получив достаточно много достаточно хороших битов: нужно применить экстрактор. Это детерминированная функция, которой можно «скормить» небольшое количество почти идеальных случайных битов и очень много битов среднего качества, и получить большое число очень хороших случайных битов. В зависимости от того, как измеряется и чему равняется качество и количество битов на входе и выходе, определяется качество самого экстрактора.

Вклад Вигдерсона состоит в разработке нескольких конструкций эффективных экстракторов. Наиболее известный инструмент — зигзаг-произведение, введенное в совместной работе с Салилом Вадханом и уже упомянутым Омером Рейнгольдом и нашедшее применение также в построении других объектов, например, экспандеров. Это графы, которые одновременно достаточно разрежены и хорошо связаны. Они используются в самых разных областях, но в том числе позволяют сократить количество случайных битов, которые использует вероятностный алгоритм. Экспандеры также известны как графы-расширители, а за другие их явные конструкции была вручена премия Абеля 2020 года.

Итак, использование экстрактора позволяет достичь того же результата вычислений с использованием случайных битов худшего качества, а использование экспандера — с использованием меньшего количества случайных битов. А можно ли и вовсе избавиться от их использования и полностью дерандомизировать вероятностный алгоритм? Под дерандомизацией понимается преобразование вероятностного алгоритма в детерминированный, но имеющий нечто общее с исходным. Именно дерандомизацией был в конечном счете получен AKS-алгоритм проверки простоты. Алгоритм Рейнгольда побега из лабиринта Минотавра также получен из случайного блуждания при помощи экспандеров. Может быть, есть и универсальная процедура? С другой стороны, почему же она пока не открыта?

Весьма удивительный ответ на этот вопрос дается в серии работ, из которых особенно выделяются статья Вигдерсона с Ноамом Нисаном «Трудность против случайности» («Hardness vs. Randomness») и две статьи Вигдерсона с Расселлом Импальяццо о дерандомизации при различных предположениях. В работе с Нисаном строится специальная конструкция генератора псевдослучайных чисел на основе произвольной «трудновычислимой» функции. Если эта функция по-настоящему трудновычислима, то генератор настолько хорош, что позволяет заменить вероятностную работу на ограниченный перебор. В работах с Импальяццо уточняется, при каких предположениях нужная трудновычислимая функция найдется.

В первой из них она строится в предположении, что некоторые задачи из NP требуют обязательно либо экспоненциального перебора, либо экспоненциального предвычисления. (Технически это предвычисление определяется как микросхема, заранее изготовленная для задачи известного размера. Если этой микросхеме подать на вход условие задачи, она должна отдать на выходе правильный ответ.) Такое предположение (экспоненциальная гипотеза) сильнее, чем просто P≠NP, но более эффективных алгоритмов, чем экспоненциальные, для ряда NP-задач нет.

Во второй статье с Импальяццо используется предположение без всяких микросхем и предвычислений. Условие заключается в том, что сила вероятностных алгоритмов хоть немного ограничена: BPP≠EXP, то есть хоть какая-то задача, решаемая детерминированно за экспоненциальное время, не может быть решена за полиномиальное время вероятностно. Удивительно, но пока что никто не умеет доказывать, что это верно. Заключение же теоремы слабее, чем в варианте с микросхемами: для любой задачи, решаемой вероятностно, есть достаточно быстрый (но не полиномиальный, а только субэкспоненциальный) детерминированный алгоритм, который решает эту задачу верно, но не всегда, а лишь для подавляющего большинства входов.

Таким образом, на вопрос о силе рандомизированных алгоритмов можно ответить так. Если P=NP, то они ничего не дают (об этом было известно еще с начала 1980-х). Если NP «сильно больше» P, то они тоже ничего не дают. И только в промежутке между этими гипотезами вероятностные вычисления могут быть сильнее детерминированных.

Все еще P≠NP

Тут мы возвращаемся к центральной проблеме теоретической информатики и в некотором смысле всей математики — проблеме равенства P и NP. Почему большинство исследователей верят, что они не равны, но при этом не могут этого доказать? На первый вопрос ответов много, но одним из самых убедительных доводов является существование NP-полных задач (к ним относятся, например, судоку на поле N2 x N2, «Морской бой» и «Сапер» — хотя насчет правильной формализации последнего все еще идут дискусии). NP-полные задачи — «самые сложные»: к ним можно свести любую задачу из NP, так что если какая-то из них решается эффективно, то P=NP.

Сводимость можно понимать как переформулировку одной задачи в терминах другой. Например, существование решения можно записать на формальном языке как математическую теорему, так что задача о доказуемости теорем будет NP-полной. Удивительно, что NP-полных задач очень много. Более того, подавляющее большинство задач из NP либо являются NP-полными, либо эффективно решаются непереборным алгоритмом (и потому лежат в P). Лишь для совсем небольшого числа задач вопрос классификации открыт, и со временем их число уменьшается (как с проверкой простоты). Полиномиальные алгоритмы могут быть весьма нетривиальными, как и доказательства NP-полноты. Тем не менее, нигде эти два множества не соприкасаются. Наблюдается эффект «невидимого забора»: ни один из методов, используемых для полиномиального решения, не работает для NP-полных задач, и ни один из инструментов доказательства NP-полноты не подходит для задач из P. При этом если бы P совпадало с NP, то полиномиальные и NP-полные задачи тоже были бы одним и тем же множеством! И что бы тогда означала та структура, которую мы наблюдаем?

Иллюстрация эффекта «невидимого забора». Слева показана наблюдаемая ситуация: почти все задачи относятся либо к полиномиально разрешимым, либо к NP-полным, есть лишь небольшое число NP-промежуточных. Теорема Ладнера утверждает, что при P≠NP такие промежуточные должны быть. Справа показана гипотетическая ситуация в случае P=NP: все задачи из NP за двумя исключениями одновременно полиномиально разрешимы и NP-полны. Исключения — это тривиальные задачи, где ответ всегда «да» или всегда «нет»

Однако несмотря на огромные усилия и даже объявленную премию в миллион долларов, никто не смог доказать, что P≠NP. За полвека исследований оказалось, что целые группы методов доказательства принципиально не могут сработать.

Говорят о так называемых «барьерах» к доказательству. Первый из них — барьер релятивизации — был открыт еще в 1970-х. Можно помыслить компьютеры, подключенные к «черному ящику» — устройству, которое мгновенно решает заложенную в него задачу. Такие черные ящики называют «оракулами», и они способны значительно ускорить вычисления. При этом они могут ускорить и собственно вычисления, и проверку корректности решений, так что и класс P, и класс NP могут расшириться. Так вот, есть оракул, при котором P=NP, и есть оракул, при котором P≠NP. Это значит, что доказательство любого из этих фактов должно ломаться при вычислениях с оракулами, что исключает различные рассуждения, использующие диагональный метод.

Но в 1980-х годах стали появляться комбинаторные рассуждения, которые преодолевали этот барьер. Появился такой план: попробовать доказать, что все задачи из P лежат в каком-то комбинаторно простом множестве, в котором не лежит какая-то задача из NP. Такого рода рассуждения стали называть естественными доказательствами. Однако этот план потерпел крах: оказывается, если существуют односторонние функции, то естественные доказательства не приведут к неравенству P и NP. Метафорически рассуждение можно изложить так: если P≠NP, то искать доказательства теорем сложно — но тогда сложно искать и доказательство того, что P≠NP.

Затем, в 1990-х годах, появилось несколько замечательных теорем, доказанных при помощи алгебраических рассуждений о многочленах над конечными полями. Это, прежде всего, теорема IP=PSPACE и PCP-теорема. Они преодолевали оба известных барьера, и возникла надежда, что они пригодятся и для решения проблемы равенства P и NP.

Однако Вигдерсон в соавторстве со Скоттом Ааронсоном воздвиг третий барьер, названный барьером алгебризации. Это аналог барьера релятивизации, но для оракулов специального вида — алгебраических. Таким образом, и алгебраические техники тоже были отброшены. Сейчас известны рассуждения, преодолевающие все три барьера, но как их приложить к проблеме P и NP, пока никто не знает.

Мы упомянули лишь о некоторых темах, входящих в область научных интересов Вигдерсона. Конкретно они в той или иной степени связаны с определением границ того, что в принципе можно вычислить: сведение класса NP-задач к P, односторонние функции, доказательства с нулевым разглашением, генерация случайных битов, дерандомизация. Они не выстраиваются в прямую линию, но идут, скорее, по окружности.

Помимо этого, Вигдерсон занимается сложностью доказательств, теорией распределенных вычислений, сложностью логических схем, алгоритмами дискретной оптимизации, теоретическими основами искусственного интеллекта и другими вопросами. Какой бы темой он ни занимался, в его работах сочетаются концептуальная глубина и красивейшая математика. Недавно он выпустил книгу «Mathematics and computation», в которой описал личный взгляд на теорию сложности вычислений и использование в ней математических конструкций. Эта книга прекрасно подойдет для читателей, в некоторой степени уже знакомых с математикой и желающих получить общее представление о теоретической информатике.

Даниил Мусатов

2 + 1 (пример графика), 4x + 2 = 2 (x + 6) (пример решения)


Калькулятор алгебры - это калькулятор, который дает пошаговую помощь по задачам алгебры. (экспонента: «в степень»)
sqrt (квадратный корень) (пример: sqrt (9))

Другие математические символы


Учебное пособие

Прочтите полное руководство, чтобы узнать, как построить графики уравнений и проверить свое домашнее задание по алгебре.Учебное пособие по калькулятору

»


Мобильное приложение

Загрузите мобильное приложение MathPapa! Работает офлайн!


Обратная связь (Для студентов 13+)

Пожалуйста, используйте эту форму обратной связи, чтобы отправить свой отзыв. Спасибо!

Нужно больше практических задач? Попробуйте MathPapa Математическая практика

Решение уравнений - методы и примеры

Понимание того, как решать уравнения, является одним из самых фундаментальных навыков, которые может освоить каждый студент, изучающий алгебру.Решения для большинства алгебраических выражений ищутся, применяя этот навык. Таким образом, учащиеся должны лучше понимать, как проводить операцию.

В этой статье вы узнаете, как решить уравнение , выполнив четыре основных математических операции: сложение , вычитание , умножение и деление .

Уравнение обычно состоит из двух выражений, разделенных знаком, указывающим на их взаимосвязь.Выражения в уравнении могут быть связаны знаком равенства (=), меньше (<), больше (>) или сочетанием этих знаков.

Как решать уравнения?

Решение алгебраического уравнения - это обычно процедура манипулирования уравнением. Переменная остается на одной стороне, а все остальное - на другой стороне уравнения.

Проще говоря, решить уравнение - значит изолировать его, сделав его коэффициент равным 1. Что бы вы ни делали с одной стороной уравнения, сделайте то же самое с противоположной стороной уравнения.

Решите уравнения, добавив

Давайте рассмотрим несколько примеров ниже, чтобы понять эту концепцию.

Пример 1

Решите: –7 - x = 9

Решение

–7 - x = 9

Добавьте 7 к обеим сторонам уравнения.
7 - x + 7 = 9 + 7
- x = 16

Умножить обе стороны на –1
x = –16

Пример 2

Решить 4 = x - 3

Решение

Здесь переменная находится справа в уравнении.Добавьте 3 к обеим сторонам уравнения

4+ 3 = x - 3 + 3

7 = x

Проверьте решение, подставив ответ в исходное уравнение.

4 = x - 3

4 = 7 - 3

Следовательно, x = 7 - правильный ответ.

Решение уравнений путем вычитания

Давайте рассмотрим несколько примеров ниже, чтобы понять эту концепцию.

Пример 3

Решите относительно x in x + 10 = 16

Решение

x + 10 = 16

Вычтите 7 из обеих частей уравнения.

x + 10-10 = 16-10

x = 6

Пример 4

Решите линейное уравнение 15 = 26 - y

Решение

15 = 26 - y

Вычесть 26 с обеих сторон уравнения
15 -26 = 26-26 -y
-11 = -y

Умножим обе части на –1

y = 11

Решение уравнений с переменными с обеих сторон, добавив

Давайте см. несколько примеров ниже, чтобы понять эту концепцию.

Пример 4

Рассмотрим уравнение 4x –12 = -x + 8.

Так как уравнение имеет две стороны, вам необходимо выполнить одну и ту же операцию с обеих сторон.

Добавьте переменную x к обеим частям уравнения

⟹ 4x –12 + x = -x + 8 + x.

Упростите

Упростите уравнение, собрав одинаковые члены с обеих сторон уравнения.

5x - 12 = 8.

Теперь уравнение имеет только одну переменную с одной стороны.

Добавьте константу 12 к обеим частям уравнения.

Константа, прикрепленная к переменной, добавляется с обеих сторон.

⟹ 5x - 12 +12 = 8 + 12

Упростить

Упростите уравнение, объединив похожие члены. И 12.

⟹ 5x = 20

Теперь разделим на коэффициент.

Деление обеих частей на коэффициент означает простое деление всего на число, присвоенное переменной.

Решение этого уравнения, следовательно,

x = 4.

Проверьте свое решение

Проверьте правильность решения, подставив ответ в исходное уравнение.

4x –12 = -x + 8

⟹ 4 (4) –12 = -4 + 8

4 = 4

Следовательно, решение верное.

Пример 5

Решить -12x -5-9 + 4x = 8x - 13x + 15-8

Решение

Упростить, объединив похожие термины

-8x-14 = -5x +7

Добавьте 5x с обеих сторон.

-8x + 5x -14 = -5x + 5x + 7

-3w -14 = 7

Теперь прибавьте 14 к обеим сторонам уравнения.

- 3x - 14 + 14 = 7 + 14

-3x = 21

Разделите обе части уравнения на -3

-3x / -3 = 21/3

x = 7.

Решение уравнений с переменными с обеих сторон путем вычитания

Давайте рассмотрим несколько примеров ниже, чтобы понять эту концепцию.

Пример 6

Решите уравнение 12x + 3 = 4x + 15

Решение

Вычтите 4x из каждой части уравнения.

12x-4x + 3 = 4x - 4x + 15

6x + 3 = 15

Вычтем константу 3 с обеих сторон.

6x + 3-3 = 15-3

6x = 12

Разделить на 6;

6x / 6 = 12/6

x = 2

Пример 7

Решите уравнение 2x - 10 = 4x + 30.

Решение

Вычтем 2x из обеих частей уравнения .

2x -2x -10 = 4x - 2x + 23

-10 = 2x + 30

Вычтем обе части уравнения на константу 30.

-10-30 = 2x + 30-30

-40 = 2x

Теперь разделите на 2

-40/2 = 2x / 2

-20 = x

Решение линейных уравнений с умножением

Линейные уравнения решаются умножением, если при написании уравнения используется деление. Как только вы заметите, что переменная делится, вы можете использовать умножение для решения уравнений.

Пример 7

Решите x / 4 = 8

Решение

Умножьте обе части уравнения на знаменатель дроби,

4 (x / 4) = 8 x 4

x = 32

Пример 8

Решите -x / 5 = 9

Решение

Умножьте обе стороны на 5.

5 (-x / 5) = 9 x 5

-x = 45

Умножьте обе стороны на -1, чтобы коэффициент переменной был положительным.

x = - 45

Решение линейных уравнений с делением

Для решения линейных уравнений с делением обе части уравнения делятся на коэффициент переменной. Давайте посмотрим на приведенные ниже примеры.

Пример 9

Решите 2x = 4

Решение

Чтобы решить это уравнение, разделите обе части на коэффициент переменной.

2x / 2 = 4/2

x = 2

Пример 10

Решите уравнение −2x = −8

Решение

Разделите обе части уравнения на 2.

−2x / 2 = −8/2

−x = - 4

Умножая обе части на -1, получаем;

x = 4

Как решать алгебраические уравнения, используя свойство распределения?

Решение уравнений с использованием свойства распределения влечет за собой умножение числа на выражение в круглых скобках.Затем подобные термины объединяются, а затем выделяется переменная.

Пример 11

Решите 2x - 2 (3x - 2) = 2 (x –2) + 20

Решение

2x - 2 (3x - 2) = 2 (x –2) + 20

Используйте свойство распределения для удаления скобок
2x - 6x + 4 = 2x - 4 + 20
- 4x + 4 = 2x + 16

Сложить или вычесть с обеих сторон

–4x + 4 - 4 –2x = 2x + 16 - 4 –2x
–6x = 12
x = –2

Проверьте ответ, подставив решение в уравнение.

2x - 2 (3x - 2) = 2 (x –2) + 20

(2 * –2) - 2 ((3 * –2) –2) = 2 (–2 –2) + 20
12 = 12

Пример 12

Решите относительно x в уравнении -3x - 32 = -2 (5 - 4x)

Решение

Примените свойство распределения, чтобы удалить круглые скобки .

–3x - 32 = - 10 + 8x

Сложение обеих частей уравнения на 3x дает

-3x + 3x - 32 = - 10 + 8x + 3x

= - 10 + 11x = -32

Сложите обе части уравнения на 10.

- 10 + 10 + 11x = -32 + 10

11x = -2

Разделите все уравнение на 11.

11x / 11 = -22/11

x = -2

Как решать уравнения с дробями?

Не паникуйте, когда увидите дроби в алгебраическом уравнении. Если вы знаете все правила сложения, вычитания, умножения и деления, это легкий кусок пирога для вас.

Чтобы решить уравнения с дробями, вам нужно преобразовать их в уравнение без дробей.

Этот метод также называется «очистка от фракций ».

При решении уравнений с дробями выполняются следующие шаги:

  • Определите наименьшее общее кратное знаменателей (ЖКД) всех дробей в уравнении и умножьте на все дроби в уравнении.
  • Изолировать переменную.
  • Упростите обе части уравнения, применяя простые алгебраические операции.
  • Примените свойство деления или умножения, чтобы коэффициент переменной был равен 1.

Пример 13

Решить (3x + 4) / 5 = (2x - 3) / 3

Решение

На ЖК-дисплее 5 и 3 будет 15, поэтому умножьте оба
(3x + 4) / 5 = (2x - 3) / 3

{(3x + 4) / 5} 15 = {(2x - 3) / 3} 15

9x +12 = 10x -15

Изолировать переменную;

9x -10x = -15-12

-x = -25

x = 25

Пример 14

Решить относительно x 3 / 2x + 6/4 = 10/3

Решение

ЖК-дисплей 2x, 4 и 3 равен 12x

Умножьте каждую дробь в уравнении на ЖК-дисплей.

(3 / 2x) 12x + (6/4) 12x = (10/3) 12x

=> 18 + 18x = 40x

Изолировать переменную

22x = 18

x = 18/22

Упростить

x = 9/11

Пример 15

Решить относительно x (2 + 2x) / 4 = (1 + 2x) / 8

Решение

LCD = 8

Умножьте каждую дробь на ЖК-дисплей,

=> 4 + 4x = 1 + 2x

Изолировать x;

2x = -3

x = -1.5

Практические вопросы

1. Решите относительно x в следующих линейных уравнениях:

a. 10x - 7 = 8x + 13

б. х + 1/2 = 3

с. 0,2x = 0,24

г. 2x - 5 = x + 7

e. 11x + 5 = x + 7

2. Возраст Джареда в четыре раза старше его сына. Через 5 лет Джаред будет в 3 раза старше своего сына. Найдите настоящий возраст Джареда и его сына.

3. Стоимость 2-х пар брюк и 3-х рубашек - 705 долларов. Если рубашка стоит на 40 долларов меньше пары брюк, найдите стоимость каждой рубашки и брюк.

4. Лодке требуется 6 часов при движении вверх по течению и 5 часов при движении вниз по течению. Рассчитайте скорость лодки в стоячей воде, учитывая, что скорость реки составляет 3 км / час.

5. Сумма цифр двузначного числа равна 7. Когда цифры меняются местами, полученное число на 27 меньше исходного. Найдите номер.

6. 10000 долларов распределены между 150 людьми. Если деньги достоинством 100 или 50 долларов. Подсчитайте количество денег каждого достоинства.

7. Ширина прямоугольника на 3 см меньше длины. Когда ширина и длина увеличиваются на 2, площадь прямоугольника изменяется на 70 см 2 больше, чем у исходного прямоугольника. Вычислите размеры исходного прямоугольника.

8. Числитель дроби 8 меньше знаменателя. Когда знаменатель уменьшается на 1, а числитель увеличивается на 17, дробь становится 3/2. Определите дробь.

9. Мой отец на 12 лет больше меня, чем в два раза.Через 8 лет возраст моего отца будет на 20 лет меньше меня, чем в 3 раза. Какого возраста сейчас мой отец?

Предыдущий урок | Главная страница | Следующий урок

Решение линейных уравнений с нулевым Солнцем, без Солнца и «Все-x» Солнцем

Purplemath

Есть три типа решений, которые могут вызвать путаницу. Мы рассмотрим по одному примеру каждого из них, и я объясню различия.Затем мы поработаем над смесью типов уравнений, чтобы вам было удобнее различать типы решений.

Чтобы решить это уравнение, мне сначала нужно упростить левую часть, взяв «минус» в скобки и объединив «похожие» термины:

MathHelp.com

5 - (3 x + 4)

5 - 1 (3 x ) - 1 (+4)

5 - 3 x - 4

5 - 4 - 3 x

1-3 x

Теперь я могу решить обычным способом:

1–3x = 1
-1 -1
-----------
-3x = 0
--- -
-3-3

х = 0

Является ли « x = 0» допустимым решением? Да, действительно, потому что ноль - допустимое число.Дело не в том, что решение - «ничего»; дело в том, что решение - это «что-то», а это «что-то» равно нулю. Итак, мой ответ:


Студенты, как правило, могут привыкнуть к тому, что ноль является решением уравнения, но разница между решением «ноль» (это решение является числовым значением) и «ничего» (возможно, является физической мерой чего-то вроде «без яблок» или «нет денег») может вызвать недоумение.

Убедитесь, что вы понимаете, что «ноль» сам по себе не является «ничем». Ноль - это числовое значение, которое (в «реальной жизни» или в контексте словесной проблемы) может означать , что нет «ничего» чего-то или другого, но сам ноль - реальная вещь; это существует; это что-то".


  • Решить 11 + 3
    x -7 = 6 x + 5-3 x

Во-первых, объедините одинаковые термины; затем решите:

Гм... подожди минутку ...

С каких это пор четыре когда-либо равно пяти? Никогда! Существует ли какое-либо возможное значение x , которое «исправит» это уравнение, чтобы оно говорило что-то имеющее смысл? Будет ли любое значение x когда-либо заставить это уравнение работать?

Нет; это просто невозможно. Я выполнил все свои шаги правильно, но эти шаги привели к тому, что уравнение (а) не содержало переменных и (б) не имело смысла.Поскольку не существует значения x , которое заставило бы это уравнение работать, то у него нет решения. Вот мой ответ на это упражнение:

.

Вот логика для приведенного выше примера: когда вы пытаетесь решить уравнение, вы исходите из (неустановленного) предположения, что на самом деле - это решение. Когда вы в конечном итоге получаете бессмыслицу (например, бессмысленное уравнение «4 = 5» выше), это означает, что ваше первоначальное предположение (а именно, что исходное уравнение действительно имело решение) было неверным; на самом деле решения нет. Поскольку утверждение «4 = 5» совершенно неверно, и с момента нет значения x, которое когда-либо могло бы сделать его истинным , то это уравнение не имеет решения.

Advisory: этот ответ полностью отличается от ответа на первое упражнение в верхней части этой страницы, где было , значение x , что будет работать (это значение решения равно нулю). Не путайте эти две очень разные ситуации : «решение существует и имеет нулевое значение» никоим образом не то же самое, что «никакого значения решения не существует вообще».

И не путайте приведенное выше уравнение типа «без решения» со следующим типом уравнения:

  • Решить 6
    x + 5-2 x = 4 + 4 x + 1

Сначала я объединю похожие термины; тогда решу:

Для предыдущего уравнения я получил «5 = 4», и не было значения x , которое могло бы сделать уравнение истинным. Этот результат противоположен этому. Для этого уравнения существует ли какое-либо возможное значение x , которое могло бы сделать приведенное выше утверждение ложным? Нет; 5 - это , всегда будет равно 5. Фактически, поскольку в последней строке вычислений нет « x », значение x явно не имеет отношения к уравнению; x может быть чем угодно, и уравнение останется верным. Итак, решение:

Это решение также может быть указано как «все действительные числа», «все действительные числа», «вся числовая строка», «(–∞, + ∞)» или « x ∈ & reals;» (последнее означает « x является членом набора действительных чисел»).Вы должны ожидать увидеть некоторые вариации в жаргоне от одного учебника к другому, поэтому не удивляйтесь различиям в форматировании.

Обратите внимание, что, если бы я решил уравнение вычитанием 5 из любой части исходного уравнения, я бы получил:

Другими словами, я бы получил еще одно тривиально верное утверждение. Я также мог бы вычесть 4 x с любой стороны, или я мог бы разделить обе стороны приведенного выше уравнения на 4, или я мог бы разделить на 4, а затем вычесть x с любой стороны, или я мог бы вычесть и 4 x , и 5 с обеих сторон исходного уравнения.Каждый из них - это еще один способ получить другой тривиально верный результат, например «0 = 0». Но независимо от конкретных предпринятых шагов результат (тривиально верное уравнение) всегда будет одним и тем же, и решение останется тем же: «все x ».

Поскольку (как я перечислил выше) существует множество способов прийти к одному и тому же выводу для этого типа уравнения, вы не должны удивляться, если для уравнений «все действительные числа» или «без решения» вы не используйте те же шаги, что и некоторые из ваших одноклассников.Существует бесконечно много всегда верных уравнений (например, «0 = 0») и бесконечно много бессмысленных уравнений (например, «3 = 4»), также будет много способов (правильно) прийти к этим ответам.

Основным выводом из приведенных выше примеров должны быть следующие правила:

x = 0: регулярное решение регулярного уравнения

чушь (например, 3 = 4): нет решения

тривиально верно (например, 0 = 0): решение - все действительные числа

К сожалению, хотя вы почти наверняка встретите хотя бы один из этих вопросов типа «нет решения» или «все реально» в следующем тесте (и, вероятно, также в финале), их обычно не так много в наборе домашних заданий, и ваш инструктор, вероятно, предоставил только по одному образцу каждого типа. Это не дает вам большой практики в интерпретации этих типов решений, поэтому давайте еще несколько примеров.


Сначала я умножу 3 на скобку в левой части. Тогда я решу.

3x + 12 = 3x + 11
-3x -3x
------------------
12 = 11

Моя математика верна, но результат - ерунда.Двенадцать никогда не будет равняться одиннадцати. Итак, мой ответ:


  • Решите 6 - 2 (
    x + 3) = –2 x

Я буду умножать и упрощать в левой части. Тогда я решу.

6-2 (x + 3) = -2x
6 - 2x - 6 = -2x
6-6 - 2x = -2x
0 - 2x = -2x
-2x = -2x
+ 2x + 2x
---------
0 = 0

Ноль всегда будет равняться нулю, и в последней строке моей работы нет даже какой-либо переменной, поэтому переменная явно не имеет значения.Это уравнение верно независимо от значения x . Итак, мой ответ:


  • Решите 2 (
    x + 1) + x = 3 ( x + 2) - 2

Мне нужно перемножить и упростить каждую часть этого уравнения.

2 (х + 1) + х = 3 (х + 2) - 2
2х + 2 + х = 3х + 6 - 2
2х + х + 2 = 3х + 4
3х + 2 = 3х + 4
-3x -3x
----------------------
2 = 4

Нет; никогда не правда.


  • Решить 5
    x + 7 = 4 (2 x + 1) - 3 x -2

Мне нужно упростить правую часть, а затем посмотреть, к чему это приведет.

5x + 7 = 4 (2x + 1) - 3x - 2
5x + 7 = 8x + 4 - 3x - 2
5x + 7 = 8x - 3x + 4-2
5х + 7 = 5х + 2
-5x -5x
------------------
7 = 2

Нет; никогда не правда.


Я разверну левую часть и решу.

8 (x + 2) = 2x + 16
8х + 16 = 2х + 16
-2x -2x
------------------
6x + 16 = 16
-16 -16
------------------
6x + 0 = 0
------ -
6 6

х = 0

Это уравнение имеет значение решения, равное нулю.


  • Решить 1,5
    x + 4 = 4 ( x + 1) - 2,5 x

Я расширю и упрощу в правой части, а затем решу.

1,5x + 4 = 4 (x + 1) - 2,5x
1,5x + 4 = 4x + 4 - 2,5x
1,5x + 4 = 4x - 2,5x + 4
1.5х + 4 = 1,5х + 4
-1,5x -1,5x
--------------------
4 = 4

Это всегда так, поэтому мой ответ:


Я разверну левую часть и решу.

2 (x + 5) = 2x + 5
2x + 10 = 2x + 5
-2x -2x
-----------------
10 = 5

Нет; никогда не правда.


URL: https://www.purplemath.com/modules/solvelin5.htm

Алгебраическое решение уравнений

Алгебраическое решение уравнений

Содержание: Эта страница соответствует § 2. 4 (с. 200) текста.

Предлагаемые задачи из текста:

с.212 # 7, 8, 11, 15, 17, 18, 23, 26, 35, 38, 41, 43, 46, 47, 51, 54, 57, 60, 63, 66, 71, 72, 75, 76, 81, 87, 88, 95, 97

Квадратные уравнения

Уравнения с участием радикалов

Полиномиальные уравнения высшей степени

Уравнения, содержащие дробные выражения или абсолютные значения


Квадратные уравнения

Квадратное уравнение имеет вид ax 2 + bx + c = 0, где a, b и c - числа, а a - не равно 0.

Факторинг

Этот подход к решению уравнений основан на том факте, что если произведение двух величин равно нулю, то хотя бы одна из величин должна быть равна нулю. Другими словами, если a * b = 0, то либо a = 0, либо b = 0, либо и то, и другое. Для получения дополнительной информации о факторизации многочленов см. Обзорный раздел P.3 (p.26) текста.

Пример 1.

2x 2 - 5x - 12 = 0.

(2x + 3) (x - 4) = 0.

2x + 3 = 0 или x - 4 = 0.

x = -3/2 или x = 4.

Принцип квадратного корня

Если x 2 = k, то x = ± sqrt (k).

Пример 2.

x 2 - 9 = 0.

x 2 = 9.

x = 3 или x = -3.


Пример 3.


Пример 4.

x 2 + 7 = 0.

х 2 = -7.

х = ±.

Обратите внимание, что = =, так что решения

x = ±, два комплексных числа.

Завершение площади

Идея завершения квадрата состоит в том, чтобы переписать уравнение в форме, которая позволяет нам применять квадрат корневой принцип.

Пример 5.

x 2 + 6x - 1 = 0.

x 2 + 6x = 1.

x 2 + 6x + 9 = 1 + 9.

9, добавленные к обеим сторонам, были возведены в квадрат половинного коэффициента при x, (6/2) 2 = 9. Причина выбор этого значения заключается в том, что теперь левая часть уравнения представляет собой квадрат бинома (полином с двумя членами). Поэтому эта процедура называется - завершение квадрата .[Заинтересованный читатель может видеть, что это истина, учитывая (x + a) 2 = x 2 + 2ax + a 2 . Чтобы получить «а» нужно всего лишь разделите коэффициент x на 2. Таким образом, чтобы построить квадрат для x 2 + 2ax, нужно добавить 2 .]

(x + 3) 2 = 10.

Теперь мы можем применить принцип квадратного корня и затем решить относительно x.

x = -3 ± sqrt (10).


Пример 6.

2x 2 + 6x - 5 = 0.

2x 2 + 6x = 5.

Метод завершения квадрата, продемонстрированный в предыдущем примере, работает, только если старший коэффициент (коэффициент x 2 ) равен 1. В этом примере старший коэффициент равен 2, но мы можем изменить это, разделив обе части уравнения на 2.

x 2 + 3x = 5/2.

Теперь, когда старший коэффициент равен 1, мы берем коэффициент при x, который теперь равен 3, делим его на 2 и возводим в квадрат, (3/2) 2 = 9/4. Это постоянная, которую мы добавляем к обеим сторонам, чтобы завершить квадрат.

x 2 + 3x + 9/4 = 5/2 + 9/4.

Левая часть - квадрат (x + 3/2). [Проверьте это!]

(x + 3/2) 2 = 19/4.

Теперь мы используем принцип квадратного корня и решаем относительно x.

x + 3/2 = ± sqrt (19/4) = ± sqrt (19) / 2.

x = -3/2 ± sqrt (19) / 2 = (-3 ± sqrt (19)) / 2

До сих пор мы обсуждали три метода решения квадратных уравнений. Что лучше? Это зависит от проблема и ваши личные предпочтения. Уравнение в правильной форме для применения принципа квадратного корня могут быть перегруппированы и решены путем факторинга, как мы видим в следующем примере.

Пример 7.

x 2 = 16.

x 2 - 16 = 0.

(x + 4) (x - 4) = 0.

x = -4 или x = 4.

В некоторых случаях уравнение может быть решено путем факторизации, но факторизация не очевидна.

Метод завершения квадрата всегда будет работать, даже если решения являются комплексными числами, и в этом случае мы извлечем квадратный корень из отрицательного числа.Кроме того, шаги, необходимые для завершения квадрата, следующие: всегда одинаковы, поэтому их можно применить к общему квадратному уравнению

топор 2 + bx + c = 0.

Результатом квадрата этого общего уравнения является формула для решений уравнения называется квадратной формулой.

Квадратичная формула

Решения уравнения ax 2 + bx + c = 0 равны

Мы говорим, что завершение квадрата всегда работает, и мы завершили квадрат в общем случае, где у нас есть a, b и c вместо чисел.Итак, чтобы найти решения для любого квадратного уравнения, запишем его в стандартной форме, чтобы найти значения a, b и c, затем подставьте эти значения в квадратную формулу.

Одним из следствий этого является то, что вам никогда не придется заполнять квадрат, чтобы найти решения квадратного уравнения. Однако процесс завершения квадрата важен по другим причинам, поэтому вам все равно нужно знать, как сделай это!

Примеры использования квадратичной формулы:

Пример 8.

2x 2 + 6x - 5 = 0.

В данном случае a = 2, b = 6, c = -5. Подставляя эти значения в квадратичную формулу, получаем

Обратите внимание, что мы решили это уравнение ранее, заполнив квадрат.

Примечание : Есть два реальных решения. Что касается графиков, есть два пересечения для графика функции f (x) = 2x 2 + 6x - 5.


Пример 9.

4x 2 + 4x + 1 = 0

В этом примере a = 4, b = 4 и c = 1.

В этом примере следует отметить два момента.

  • Есть только одно решение. С точки зрения графиков это означает, что существует только один пересечение по оси x.

  • Решение упрощено, так что квадратный корень не используется. Это означает, что уравнение могло быть решается факторингом. (Все квадратные уравнения можно решить путем разложения на множители ! Я имею в виду, что это могло быть решено легко факторингом.)

4x 2 + 4x + 1 = 0.

(2x + 1) 2 = 0.

х = -1/2.


Пример 10.

х 2 + х + 1 = 0

а = 1, б = 1, с = 1

Примечание: Реальных решений нет. Что касается графиков, то для графика нет перехватов. функции f (x) = x 2 + x + 1. Таким образом, решения сложны, поскольку график y = x 2 + x + 1 не имеет пересечений по x.

Выражение под радикалом в квадратичной формуле, b 2 - 4ac, называется дискриминантом уравнение. Последние три примера иллюстрируют три возможности для квадратных уравнений.

1. Дискриминант> 0. Два реальных решения.

2. Дискриминант = 0. Одно реальное решение.

3. Дискриминант <0. Два сложных решения.

Примечания к проверке решений

Ни один из методов, представленных до сих пор в этом разделе, не может вводить посторонние решения.(См. Пример 3 из раздела Линейные уравнения и моделирование.) Тем не менее, рекомендуется проверить свои решения, потому что при решении уравнений очень легко сделать невнимательные ошибки.

Алгебраический метод, заключающийся в подстановке числа обратно в уравнение и проверке того, что полученное утверждение верно, хорошо работает, когда решение "простое", но не очень практично, когда решение предполагает радикальное.

Например, в нашем предпоследнем примере 4x 2 + 4x + 1 = 0 мы нашли одно решение x = -1/2.

Алгебраическая проверка выглядит как

4 (-1/2) 2 +4 (-1/2) + 1 = 0.

4 (1/4) - 2 + 1 = 0.

1-2 + 1 = 0.

0 = 0. Решение проверяет.

В предыдущем примере, 2x 2 + 6x - 5 = 0, мы нашли два реальных решения, x = (-3 ± sqrt (19)) / 2. Конечно, можно проверить это алгебраически, но это не очень просто. В этом случае либо графический проверить или использовать калькулятор для алгебраической проверки быстрее.

Сначала найдите десятичные приближения для двух предложенных решений.

(-3 + sqrt (19)) / 2 = 0,679449.

(-3 - sqrt (19)) / 2 = -3,679449.

Теперь используйте графическую утилиту для построения графика y = 2x 2 + 6x - 5 и проследите график, чтобы приблизительно найти где х-точки пересечения. Если они близки к указанным выше значениям, вы можете быть уверены, что у вас есть правильные решения. Вы также можете вставить приближенное решение в уравнение, чтобы увидеть, дают ли обе части уравнения примерно те же значения. Однако вам все равно нужно быть осторожным в заявлении о том, что ваше решение является правильным, поскольку оно не точное решение.

Обратите внимание, что если вы начали с уравнения 2x 2 + 6x - 5 = 0 и сразу перешли к графику утилиту для ее решения, то вы не получите точных решений, потому что они иррациональны. Однако, найдя (алгебраически) два числа, которые, по вашему мнению, являются решениями, если графическая утилита показывает, что перехваты очень близко к найденным вами числам, то вы, наверное, правы!

Упражнение 1:

Решите следующие квадратные уравнения.

(а) 3x 2 -5x - 2 = 0. Ответ

(б) (x + 1) 2 = 3. Ответ

(в) x 2 = 3x + 2. Ответ

Вернуться к содержанию

Уравнения с участием радикалов

Уравнения с радикалами часто можно упростить, возведя в соответствующую степень и возведя в квадрат, если радикал является квадратным корнем, кубическим корнем и т. д. Эта операция может вводить посторонние корни, поэтому все решения необходимо проверить.

Если в уравнении только один радикал, то перед возведением в степень вы должны договориться, чтобы радикальный член сам по себе на одной стороне уравнения.

Пример 11.

Теперь, когда мы изолировали радикальный член в правой части, возводим обе части в квадрат и решаем полученное уравнение для x.

Чек:

х = 0

Когда мы подставляем x = 0 в исходное уравнение, мы получаем утверждение 0 = 2, что неверно!

Итак, x = 0 не является решением .

х = 3

Когда мы подставляем x = 3 в исходное уравнение, мы получаем утверждение 3 = 3. Это верно, поэтому x = 3 равно раствор .

Решение : x = 3.

Примечание: Решением является координата x точки пересечения графиков y = x и у = sqrt (х + 1) +1.

Посмотрите, что бы произошло, если бы мы возводили обе части уравнения в квадрат до , выделив радикал срок.

Это хуже того, с чего мы начали!

Если в уравнении более одного радикального члена, то, как правило, мы не можем исключить все радикалы с помощью возведение в степень один раз. Однако мы можем уменьшить количество радикальных членов на , возведя их в степень.

Если уравнение включает более одного радикального члена, мы все равно хотим изолировать один радикал с одной стороны и возвести в степень. Затем мы повторяем этот процесс.

Пример 12.

Теперь возведите обе части уравнения в квадрат.

В этом уравнении есть только один радикальный член, поэтому мы добились прогресса! Теперь выделите радикальный член, а затем возведите в квадрат снова обе стороны.

Чек:

Подставляя x = 5/4 в исходное уравнение, получаем

sqrt (9/4) + sqrt (1/4) = 2.

3/2 + 1/2 = 2.

Это утверждение верно, поэтому x = 5/4 является решением.

Примечание по проверке решений:

В этом случае выполнить алгебраическую проверку было несложно. Однако графическая проверка имеет то преимущество, что показывает, что нет решений, которые мы не нашли бы, по крайней мере, в рамках прямоугольника просмотра. Решение - координата x точки пересечения графиков y = 2 и y = sqrt (x + 1) + sqrt (x-1).

Упражнение 2:

Решите уравнение sqrt (x + 2) + 2 = 2x. Ответ

Вернуться к содержанию

Полиномиальные уравнения высшей степени

Мы видели, что любое полиномиальное уравнение второй степени (квадратное уравнение) от одной переменной может быть решено с помощью Квадратичная формула. Полиномиальные уравнения степени больше двух сложнее.Когда мы встречаемся такая проблема, то либо многочлен имеет особую форму, которая позволяет нам разложить его на множители, либо мы должны аппроксимировать решения с графической утилитой.

Нулевая постоянная

Один частый частный случай - отсутствие постоянного члена. В этом случае мы можем исключить одну или несколько полномочий x, чтобы начать задачу.

Пример 13.

2x 3 + 3x 2 -5x = 0.

x (2x 2 + 3x -5) = 0.

Теперь у нас есть произведение x и квадратного многочлена, равного 0, так что у нас есть два более простых уравнения.

x = 0 или 2x 2 + 3x -5 = 0.

Первое уравнение решить несложно. x = 0 - единственное решение. Второе уравнение может быть решено факторингом. Примечание: Если бы мы не смогли разложить квадратичный коэффициент во втором уравнении, мы могли бы прибегнуть к к использованию квадратичной формулы.[Убедитесь, что вы получили те же результаты, что и ниже.]

x = 0 или (2x + 5) (x - 1) = 0.

Итак, есть три решения: x = 0, x = -5/2, x = 1.

Примечание: Решение находится при пересечении графиков f (x) = 2x 3 + 3x 2 -5x.

Коэффициент

по группировке

Пример 14.

x 3 -2x 2 -9x +18 = 0.

Коэффициент при x 2 в 2 раза больше, чем при x 3 , и такая же связь существует между коэффициенты при третьем и четвертом членах. Группа термины один и два, а также термины третий и четвертый.

x 2 (x - 2) - 9 (x - 2) = 0.

Эти группы имеют общий множитель (x - 2), поэтому мы можем разложить левую часть уравнения на множители.

(x - 2) (x 2 - 9) = 0.

Всякий раз, когда мы находим продукт, равный нулю, мы получаем два более простых уравнения.

x - 2 = 0 или x 2 - 9 = 0.

x = 2 или (x + 3) (x - 3) = 0.

Итак, есть три решения: x = 2, x = -3, x = 3.

Примечание: Эти решения находятся на пересечении графика f (x) = x 3 -2x 2 -9x +18.

Квадратичная форма

Пример 15.

x 4 - x 2 - 12 = 0.

Этот многочлен неквадратичный, он имеет четвертую степень. Однако его можно рассматривать как квадратичный по x 2 .

(x 2 ) 2 - (x 2 ) - 12 = 0.

Это может помочь вам фактически заменить z на x 2 .

z 2 - z - 12 = 0 Это квадратное уравнение относительно z.

(z - 4) (z + 3) = 0.

z = 4 или z = -3.

Мы еще не закончили, потому что нам нужно найти значения x, которые делают исходное уравнение истинным.Теперь заменим z на x 2 и решите полученные уравнения.

x 2 = 4.

х = 2, х = -2.

х 2 = -3.

x = i , или x = - i.

Итак, есть четыре решения: два реальных и два комплексных.

Примечание: Эти решения находятся на пересечении графика f (x) = x 4 - х 2 - 12.

График f (x) = x 4 - x 2 -12 и масштабирование, показывающее его локальное экстремумы.

Упражнение 3:

Решите уравнение x 4 - 5x 2 + 4 = 0. Ответ

Вернуться к содержанию

Уравнения, содержащие дробные выражения или абсолютные значения

Пример 16.

Наименьший общий знаменатель равен x (x + 2), поэтому мы умножаем обе части на это произведение.

Это уравнение квадратичное. Квадратичная формула дает решения

Проверка необходима, потому что мы умножили обе части на переменное выражение. Используя графическую утилиту, мы убедитесь, что оба этих решения проверяют. Решением является координата x точки пересечения графиков. из y = 1 и y = 2 / x-1 / (x + 2).

Пример 17.

5 | х - 1 | = х + 11.

Ключ к решению уравнения с абсолютными значениями - помнить, что величина внутри абсолютного значения столбцы могут быть положительными или отрицательными. У нас будет два отдельных уравнения, представляющих разные возможности, и все решения должны быть проверены.

Дело 1 . Предположим, что x - 1> = 0.Тогда | х - 1 | = x - 1, поэтому мы имеем уравнение

5 (х - 1) = х + 11.

5x - 5 = x + 11.

4x = 16.

x = 4, и это решение проверяет, потому что 5 * 3 = 4 + 11.

Случай 2. Предположим, что x - 1 <0. Тогда x - 1 отрицательно, поэтому | х - 1 | = - (х - 1). Этот точка часто сбивает студентов с толку, потому что это выглядит так, как будто мы говорим, что абсолютное значение выражения отрицательно, но это не так.Выражение (x - 1) уже отрицательное, поэтому - (x - 1) положительное.

Теперь наше уравнение принимает вид

.

-5 (x - 1) = x + 11.

-5x + 5 = x + 11.

-6x = 6.

x = -1, и это решение проверяет, потому что 5 * 2 = -1 + 11.

Если вы используете Java Grapher для графической проверки, обратите внимание, что abs () является абсолютным значением, поэтому вы должны построить график

5 * abs (x - 1) - x - 11 и посмотрите на пересечения по x, или вы можете найти решение как x-координаты точки пересечения графиков y = x + 11 и y = 5 * abs (x-1).

Упражнение 4:

(а) Решите уравнение Ответ

(b) Решите уравнение | х - 2 | = 2 - x / 3 Ответ

Вернуться к содержанию


Математическая сцена - Уравнения III - Урок 2

Математическая сцена - Уравнения III - Урок 2 - Квадратные уравнения
2008 Rasmus ehf и Jhann sak Ptursson

Уравнения III

Урок 2 Уравнения кубической и четвертой степени


Как мы можем решить такие уравнения, как кубическое уравнение показано здесь?

x 3 - x 2 4x + 4 = 0

Существует чрезвычайно сложная формула решения кубические уравнения. Некоторые калькуляторы имеют встроенную формулу и поэтому могут использоваться для решения кубических уравнений.

Мы собираемся узнать, как эти уравнения могут быть решены с помощью факторизация. Если уравнение имеет решения, которые являются целыми числами a, b и c, то мы можем разложить уравнение на множители следующим образом:

x 3 - x 2 4x + 4 = (x - а) (х - б) (х - в) = 0

Умножая скобки, видим, что константа член 4 должен быть числом, которое мы получаем, когда мы умножаем a, b и c вместе.

abc = 4

Все решения a, b и c должны быть множителями 4, поэтому не так много целых чисел, которые нам нужно учитывать.

У нас есть только следующие возможности:

1, 2 и 4

Хорошо изучите каждое из этих чисел, чтобы найти, какие из них являются решениями уравнения.

f (1) = 1 3 - 1 2 4 × 1 + 4 = 0 1 - решение

f (-1) = (-1) 3 - (-1) 2 4 × (-1) + 4 = 6

f (2) = 2 3 -2 2 4 × 2 + 4 = 0 2 - решение

f (−2) = (−2) 3 - (−2) 2 4 × (−2) + 4 = 0 −2 - решение

Мы нашли три решения, поэтому нам не нужно попробуйте 4 и −4 как кубический уравнение имеет максимум три решения.

Эти три числа дают нам значения a, b и c и мы можем факторизовать уравнение.

x 3 - x 2 4x + 4 = (x - 1) (х - 2) (х + 2) = 0

Этот метод включает поиск целых чисел, которые являются множителями (можно разделить на) постоянный член, а затем проверить, действительно ли эти целые числа являются решениями уравнения.
К сожалению, мы не можем предполагать, что решения уравнения третьей степени являются все целые числа.
Однако, если мы можем найти одно целочисленное решение, допустим, что это x = a, тогда Теорема остатка, мы знаем, что (x - a) является фактором уравнения. Мы можно найти другой множитель, квадратичный множитель, путем деления. Затем мы можем решить квадратное уравнение, используя формула решения квадратичных.

Пример 1

Решите уравнение x 3 - 3x 2 2x + 4 = 0

Ставим числа, кратные 4 в уравнение, чтобы проверить, верны ли какие-либо из них.

f (1) = 1 3 - 3 × 1 2 2 × 1 + 4 = 0 1 - решение

f (−1) = (−1) 3 - 3 × (−1) 2 2 × (-1) + 4 = 2

f (2) = 2 3 - 3 × 2 2 2 × 2 + 4 = −4

f (−2) = (−2) 3 - 3 × (−2) 2 2 × (−2) + 4 = −12

f (4) = 4 3 - 3 × 4 2 2 × 4 + 4 = 12

f (−4) = (−4) 3 - 3 × (−4) 2 2 × (−4) + 4 = −100

Единственное целочисленное решение - x = 1.Когда мы нашли одно решение, нам действительно не нужно проверять другие числа, потому что теперь мы можем решить уравнение, разделив на (x - 1) и попытавшись решить квадратичный получаем из деления.

Теперь мы можем разложить наши выражение следующим образом:

x 3 - 3x 2 2x + 4 = (х - 1) (х 2 - 2х - 4) = 0

Теперь нам остается решить квадратичную уравнение.

x 2 - 2x - 4 = 0

Воспользуемся формулой квадратичных с a = 1, b = −2 и c = −4.

Мы нашли все три решения уравнение x 3 - 3x 2 2x + 4 = 0. Это: эфтирфаранди:

.

х = 1

х = 1 + 5

x = 1- 5

Пример 2

Мы можем легко использовать тот же метод для решения уравнение четвертой степени или уравнения еще более высокой степени. Решите уравнение f (x) = x 4 - x 3 - 5x 2 + 3x + 2 = 0.

Сначала мы находим целые множители постоянный член, 2. Целочисленные множители 2 равны 1 и 2.

f (1) = 1 4 - 1 3 - 5 × 1 2 + 3 × 1 + 2 = 0 1 - раствор

f (−1) = (−1) 4 - (−1) 3 - 5 × (−1) 2 + 3 × (−1) + 2 = −4

f (2) = 2 4 - 2 3 - 5 × 2 2 + 3 × 2 + 2 = −4

f (−2) = (−2) 4 - (−2) 3 - 5 × (−2) 2 + 3 × (−2) + 2 = 0 ср. нашли вторую решение.

Два найденных нами решения 1 и −2 означают, что мы можем разделить на x - 1 и x + 2 и остатка не будет. Сделайте это в два этапа.
Сначала разделим на x + 2

Теперь разделите полученное кубический коэффициент по x - 1.

Теперь мы разложили на множители
f (x) = x 4 - x 3 - 5x 2 + 3x + 2 в
f (x) = (x + 2) (x - 1) (x 2 - 2x - 1) и только Осталось решить квадратное уравнение

x 2 - 2x - 1 = 0.Мы используем формула с a = 1, b = −2 и c = −1.

Всего найдено четыре решения. Их:

х = 1

х = -2

х = 1 +

х = 1 -

Иногда мы можем решить уравнение третьей степени, заключив в скобки члены два на два и найдя множитель что у них общего.Давайте посмотрим на это на примере.

Пример 3.

Решите уравнение x 3 - 2x 2 - 4x + 8 = 0

x 3 - 2x 2 - 4x + 8 = 0

(x 3 - 2x 2 ) - (4x - 8) = 0

[x 2 (x - 2) - 4 (x - 2)] = 0

(x - 2) [x 2 - 4] = 0

(х - 2) (х - 2) (х + 2) = 0

Здесь скобка (x - 2) является общим множителем и может быть вынесена за пределы общая скобка.

Обратите внимание, что скоба (x - 2) происходит дважды, когда мы закончили факторизацию. x = 2 - это поэтому двойное решение, и у нас есть только два разных. Это:

x = 2 и x = −2 .

Лауснир: x = 2 og x = −2 .

Примеры, которые мы рассмотрели до сих пор, являются уравнения, в которых член с наибольшей степенью имеет коэффициент 1.

Как мы иметь дело с уравнениями, где этот коэффициент - какое-то другое число?

Общая форма - f (x) = ax 3 + bx 2 + cx + d, где a, b, c и d - целые числа.

Мы можем искать целочисленные решения в том же как и раньше, проверяя множители постоянного члена d. Если мы найдем целочисленное решение, тогда мы можем разделить и найти другие решения, как и раньше.

Если ни один из факторов d не дает нам решения затем мы ищем решения, которые являются дробями.
Предположим, есть дробное решение, и назовем его решение x = t / n.

Это означает, что x - t / n является фактором f (x), или, если мы умножаем на n, то xn - t является множителем.

Теперь предположим, что мы разделили f (x) на xn. - t и нашли квадратичный множитель, мы можем назвать его
Ax 2 + Bx + C.

Теперь у нас есть результат

ax 3 + bx 2 + cx + d = (xn - t) (Ax 2 + Bx + C)

сравнивая коэффициенты x 3 на обе стороны уравнения мы видим, что a = nA и, следовательно, n должно быть множителем а.
Аналогично, сравнивая постоянные члены, мы видим, что d = −tC и, следовательно, t является множителем d.

Мы заключаем, что любая дробь является решением кубическое уравнение ax 3 + bx 2 + cx + d должен иметь вид t / n, где t - множитель числа d, а n - фактор числа a.

Обобщение для функции степени n:

ф (х) = a n x n + a n − 1 x n − 1 + × × × × + а 1 х + 0

с коэффициентами a 0 , а 1 , а 2 , × × × × × а n − 2 , n − 1 и n .

Если эта функция имеет рациональное решение, скажем, t / n, тогда t - коэффициент 0 , а n - коэффициент n .

Пример 4

Решите уравнение f (x) = 2x 3 - 7x 2 + 4x + 3 = 0.

Возможные целые корни f (x) - это делители 3, это 1 и 3. Дроби, которые могут быть корнями, - это эти четыре числа, разделенные на множители 2.Итак, полный список рациональных чисел, которые нам нужно рассмотреть, - это , 1, 3 / 2 и 3.

Сразу видно, что нам не нужно рассмотрите любые отрицательные значения, поскольку все они будут давать отрицательные значения для f (x), а не 0.

Теперь попробуем другие возможности

f () = 2 () 3 - 7 () 2 + 4 × + 3 = 3

f (1) = 2 × 1 3 -7 × 2 + 4 × 1 + 3 = 2

ф ( 3 / 2 ) = 2 ( 3 / 2 ) 3 -7 ( 3 / 2 ) 2 + 4 × 3 / 2 + 3 = 0, поэтому мы нашли решение.

x = 3 / 2 - решение, поэтому (x - 3 / 2 ) - фактор. Разделение на (x - 3 / 2 ) может быть трудным. Поэтому мы умножаем на 2 и вместо этого делим на (2x - 3). Если (x - 3 / 2 ) является фактор

, то (2x - 3).

Теперь нам нужно решить уравнение x 2 - 2x - 1 = 0.Мы уже решили это уравнение в примере 2. Решения: 1 + 2 og 1 - 2.

Итак, мы нашли три решения. Их:

х = 3 / 2 = 1

х = 1 + 2

х = 1 - 2


Попробуйте пройти тест 2 по уравнениям III.

Не забудьте использовать контрольный список для следите за своей работой.

Как решать алгебру

y = 24 - 4x
Пояснение:

Как показано в приведенном выше примере, мы вычисляем значение переменной из одного уравнения и подставляем его в другое.

Нам дано, что

у = 24 - 4х ------ (1)
2x + y / 2 = 12 ------ (2)

Здесь мы выбираем уравнение (1) для вычисления значения x. Поскольку уравнение (1) уже находится в самая упрощенная форма:

(Подставляя это значение y в уравнение (2), а затем решая для x дает)

2x + (24-4x) / 2 = 12 ------ (2) (∵ y = 24 - 4x)
2x + 24 / 2- 4x / 2 = 12
2x + 12 - 2x = 12
12 = 12

Вы можете подумать, что это тот же сценарий, что обсуждался выше (24 = 24).Но ждать! Вы слишком рано пытаетесь сделать вывод. В предыдущем сценарии результат 24 = 24 был получен потому, что мы поместили значение переменной в то же уравнение, что и используется для его вычисления. Здесь мы этого не сделали.

Результат 12 = 12 имеет какое-то отношение к природе системы уравнений, которую мы дано. Независимо от того, какой метод решения вы можете использовать, решение системы линейных уравнения лежат в единственной точке, где их линии пересекаются. В этом сценарии две строки в основном одинаковы (одна линия над другой. На следующем рисунке показан этот сценарий.

Такая система называется зависимой системой уравнения.И решение такой системы - это вся линия (каждая точка на линии - это точка пересечения двух линий)

Следовательно, решением данной системы уравнений является вся строка: y = 24 - 4x

Другой возможный сценарий:

Подобно этому примеру, существует другой сценарий, в котором замена одной переменной в уравнение 2 и приводит к результату, аналогичному показанному ниже:

23 = –46

или

5 = 34

Такой сценарий возникает, когда не существует решения данной системы уравнений.Т.е., когда две линии вообще не пересекаются ни в одной точке.

Следовательно, в случае такого результата, когда кажется, что ваши основные математические правила не работают, простой вывод заключается в том, что решения данной системы не существует. Такая система уравнений называется Несогласованная система .

Распределительная собственность - ChiliMath

Распределительное свойство умножения над сложением позволяет нам исключить символ группировки, обычно в форме круглых скобок. Следующая диаграмма иллюстрирует основной шаблон или формулу, как ее применять.


Основная «формула» распределительной собственности

Несколько заметок:

  • Это делается путем умножения внешнего члена на каждый член в скобках.
  • Таким образом, возьмите член a, стоящий вне скобок, и распределите его по каждому члену внутри скобок.
  • Обратите внимание, что ab означает a, умноженное на b.
  • Точно так же ac означает a, умноженное на c.

Объединение одинаковых терминов с использованием свойства распределения

Пример 1: Распространить, а затем упростить приведенное ниже выражение.

Можно ли сразу скомбинировать x-члены? Не так быстро! Член 2x находится внутри скобок, а 3x - снаружи.Мы не можем объединить их, потому что они находятся в разных местах.

Что нам нужно сделать, так это сначала удалить символ скобки, прежде чем мы сможем объединить похожие термины, которые могут возникнуть при сложении или вычитании. Вот где полезность этого свойства вступает в игру.

На этом этапе скобки опускаются, и все x-члены можно комбинировать. Я бы переставил их, поместив похожие термины рядом, прежде чем выполнять требуемую операцию.


Пример 2: Распределить, а затем упростить приведенное ниже выражение.

Поскольку здесь две круглые скобки, мы должны применить свойство дважды. Это должно избавить нас от символов группировки и позволить нам комбинировать похожие термины.

После удаления двух круглых скобок теперь можно комбинировать похожие термины. Перед выполнением требуемой операции сложения или вычитания убедитесь, что вы переставили термины таким образом, чтобы одинаковые термины располагались рядом.


Пример 3: Распределить, а затем упростить приведенное ниже выражение.

Я надеюсь, что теперь вы видите закономерность. Имея три круглые скобки, мы также должны применить его трижды.

Поскольку все термины теперь находятся за пределами круглых скобок, продолжайте комбинировать похожие термины.


Пример 4: Распространить, а затем упростить приведенное ниже выражение.

Решение:


Пример 5: Распределить, а затем упростить приведенное ниже выражение.

Решение:


Пример 6: Распределить, а затем упростить приведенное ниже выражение.

Решение:

Сначала примените свойство распределения к внутренним скобкам и объедините похожие термины. Наконец, избавьтесь от символа квадратной скобки, распределив еще раз.


Вы также можете использовать свойство распределения при решении уравнений .

Решение линейных уравнений с использованием распределительного свойства

Пример 7: Решите приведенное ниже линейное уравнение, используя свойство распределения.

Как видите, внешнее число 3, находящееся непосредственно слева от круглой скобки, предполагает, что мы можем применить свойство для удаления символа группировки.

  • Возьмите это число 3 и умножьте на каждый член в скобках.
  • После этого символ скобки должен исчезнуть. Затем мы можем перейти к обычным шагам решения уравнения. В этом примере мы выделим переменную «x» слева от уравнения. После распределения вычтите обе части на 3 и разделите на - \, 6 с обеих сторон уравнения, чтобы прийти к окончательному ответу.

Пример 8: Решите приведенное ниже линейное уравнение, используя свойство распределения.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

2015-2019 © Игровая комната «Волшебный лес», Челябинск
тел.:+7 351 724-05-51, +7 351 777-22-55 игровая комната челябинск, праздник детям челябинск